Sonia TarasSonia

SpanuAndrea Pittorra

Cosa sono le equazioniCosa sono le equazioni Classificazione delle equazioni.Classificazione delle equazioni. Struttura delle equazioni di I gradoStruttura delle equazioni di I grado.. La soluzione.La soluzione. Classificazione in base al numero delle soluzioniClassificazione in base al numero delle soluzioni.. Equazione ridotta a forma normale.Equazione ridotta a forma normale. Primo principio di equivalenza.Primo principio di equivalenza. Secondo principio di equivalenzaSecondo principio di equivalenza Risoluzione di una ‘equazione di primo gradoRisoluzione di una ‘equazione di primo grado Verifica soluzioni di un’equazione.Verifica soluzioni di un’equazione.

2x+5x-2=-4x+3-7x

Trasportiamo al primo membro tutti i termini che contengono l’incognita

cambiandoli di segno2x+5x +7x + 4x -2=-+3Trasportiamo al secondo membro tutti i

termini noti cambiandoli di segno

2x+5x +7x + 4x =+3 +2

A cura di:Frau FrancescoPala FrancescaPatta Simona Francesca

Che cosa sono?Formula risolutivaI 3 tipi di equazioni

Trinomio di secondo gradoRegola di Cartesio

L’ equazione di secondo grado è un trinomio eguagliato a zero.

Ax2+bx+c=0

Esempio: 4x2+4x+1=25

(2x+1)2= 25

Si può notare che il primo membro dell’equazione è il quadrato di un binomioQuindi si può scrivere anche:

2x+1= +/-52x=+5-1

2x= -5-1

X=2

X= -3

Formula risolutiva

X1,2: -b+/-√b2 -4(a)(c)

2(a)

La formula risolutiva è il metodo che utilizziamo in una equazione di 2° grado per trovare x1 e x2. Una volta trovati i valori suddetti, l’equazione è stata completata.

I 3 tipi di equazioneI 3 tipi di

equazione

Pura

Spuria

Completa

Si dice equazione quadratica spuria un'equazione quadratica che manca del termine noto, ossia avente la forma:

ax2+bx=0

Un'equazione di questo tipo si risolve facilmente tramite scomposizione:

X= (ax+b)=0

Per la legge di annullamento del prodotto quest’equazione è equivalente alle due:

X= 0 ax+b=0

E in definitiva le sue soluzioni sono:X=- b aa

Si dice equazione quadratica pura un'equazione polinomiale di secondo grado che manca del termine di primo grado, cioè che è della forma:

ax2+c = 0

Portando c al secondo membro e dividendo per a si ottiene:

x2=-c/a

l'equazione non ammette soluzioni reali (ma due soluzioni immaginarie); viceversa, se:

-c/a > 0

l'equazione è risolta da:X = +-√-c/a

Consideriamo il polinomio completo di secondo grado:ax2+bx+c

e supponiamo anche che il discriminante dell'equazione che si ottiene uguagliando a zero il polinomio sia positivo.

Motiplicando e dividendo per a si ottiene:a (x2 + b x + c )

a a

Abbiamo già trovato prima cheX1 + x2 = - b a

eX1*x2=c a

Dunque: A [x2 +- (x1+x2) x + x1x2] = a [ x2 – x1x – x2x

+ x1x2] = a [ x (x – x1) – x2

(x – x1)] = a (x – x1) (x – x2)

Si considerino i coefficienti a, b, c di un'equazione di secondo grado avente radici reali, si dice che si ha una permanenza se

due coefficienti consecutivi sono concordi, si ha una variazione se sono discordi.

La regola di Cartesio permette di ricavare i segni delle soluzioni di un'equazione di secondo grado essa afferma:

In un'equazione di secondo grado avente radici reali il numero di di soluzioni negative è uguale al numero di permanenze, mentre il numero di soluzioni positive è uguale al numero di

variazioni.

Esempio: Esempio: xx22-5x+6=0-5x+6=0, siccome , siccome a=1 b=-5 c=6a=1 b=-5 c=6 ci sono due ci sono due variazioni si hanno due soluzioni positive infatti esse sono variazioni si hanno due soluzioni positive infatti esse sono xx11=2 e x=2 e x22=3.=3.

 

Attenzione a regola di Cartesio si applica solo se il discriminante non è negativo, infatti in tal caso le radici sono immaginarie.

Regola di Cartesio

A cura di:

Canu Andrea

Costaggiu Claudio

Dessì Chiara

I punti che toccheremoI punti che toccheremo

Definizione di equazione di 3° e Definizione di equazione di 3° e 4° grado4° grado

Come risolvere un equazione di Come risolvere un equazione di 3° e 4° grado3° e 4° grado

Esempio di equazione di 3° e 4° Esempio di equazione di 3° e 4° gradogrado

Esistono due tipi di equazione di Esistono due tipi di equazione di 3° grado:3° grado:

Equazioni reciproche di 3° grado Equazioni reciproche di 3° grado di prima specie.di prima specie.

Equazioni reciproche di 3° grado Equazioni reciproche di 3° grado di seconda specie.di seconda specie.

axax33+bx+bx22+bx+bx+a+a=0=0

•Un equazione di terzo grado reciproca di prima specie è un

polinomio di terzo grado ordinato e completo, in cui i

coefficienti dei termini estremi e di quelli

equidistanti dagli estremi sono uguali, uguagliato a

zero.

Definizione di un equazione di 3° grado

di prima specie

Risoluzione di un equazione di 3° Risoluzione di un equazione di 3° grado di prima specie.grado di prima specie.

axax33+bx+bx22+bx+a=0+bx+a=0 a(xa(x33+1)+bx(x+1)=0+1)+bx(x+1)=0 a(x+1)(xa(x+1)(x22-x+1)+bx(x+1)=0-x+1)+bx(x+1)=0 (x+1)(x+1)[a(x[a(x22-x+1)+bx]=0-x+1)+bx]=0 (x+1)[ax(x+1)[ax22-ax+a+bx]=0-ax+a+bx]=0 (x+1)[ax(x+1)[ax22+(b-a)x+a]=0+(b-a)x+a]=0 {x+1=0{x+1=0 {ax{ax22+(b-a)x+a=0+(b-a)x+a=0

xx11=-1=-1 xx22=-(b-a)+ (b-a)=-(b-a)+ (b-a)22-4a-4a2 2

xx33=-(b-a)- (b-a)=-(b-a)- (b-a)22-4 a-4 a22

2a

2a

Risolvendo le rispettive operazioni otterremo i risultati delle X.

Legge di annullamento del prodotto

Esempio numerico di equazione Esempio numerico di equazione di 3° grado di prima speciedi 3° grado di prima specie

6x6x33+5x+5x22+5x+6=0+5x+6=0 6(x6(x33+1)5x(x+1)=0+1)5x(x+1)=0 6(x+1)(x2-x+1)+5x(x+1)=06(x+1)(x2-x+1)+5x(x+1)=0 (x+1)(x+1)[6(x[6(x22-x+1)+5x]=0-x+1)+5x]=0 (x+1)[6x2-6x+6+5x]=0(x+1)[6x2-6x+6+5x]=0 (x+1)[6x(x+1)[6x22-x+6]=0-x+6]=0 X+1=0X+1=0 6x6x22-x+6=0-x+6=0

xx11=-1=-1 XX2,32,3=-b b=-b b22-4ac-4ac

+-

2a

a= 6

b= 1

c= 6

6x2-x+6=0

Risolvendo la rispettiva operazione otterremo i risultati delle X.

Definizione di un equazione di 3° Definizione di un equazione di 3° grado di seconda speciegrado di seconda specie

Un equazione di terzo grado Un equazione di terzo grado reciproca di seconda specie è un reciproca di seconda specie è un polinomio di terzo grado ordinato polinomio di terzo grado ordinato e completo, in cui i coefficienti e completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono equidistanti dagli estremi sono opposti, uguagliato a zero.opposti, uguagliato a zero.

ax3+bx2-bx-a=0

Risoluzione di un equazione di 3° Risoluzione di un equazione di 3° grado di seconda speciegrado di seconda specie

axax33+bx+bx22-bx-a=0-bx-a=0 a(xa(x33-1)+bx(x-1)=0-1)+bx(x-1)=0 a(x-1)(xa(x-1)(x22+x+1)+bx(x-1)=0+x+1)+bx(x-1)=0 (x-1)(x-1)[a(x[a(x22+x+1)+bx]=0+x+1)+bx]=0 (x-1)[ax(x-1)[ax22+ax+a+bx]=0+ax+a+bx]=0 x-1=0x-1=0 axax22+(b+a)x+a=0+(b+a)x+a=0

xx11= +1= +1

xx22== -(b+a)+ (b+a)-(b+a)+ (b+a)22-4a-4a22

xx33= -(b+a)- (b+a)-4a= -(b+a)- (b+a)-4a22

2a

2a

Risolvendo le rispettive operazioni otterremo i risultati delle X

Legge di annullamento del prodotto

Esempio numerico di equazione Esempio numerico di equazione di 3° grado di seconda speciedi 3° grado di seconda specie

12x12x33-37x-37x22+37x-12=0+37x-12=0 12(x12(x33-1)37x(x-1)=0-1)37x(x-1)=0 12(x-1)(x12(x-1)(x22+x+1)-37x(x-1)=0+x+1)-37x(x-1)=0 (x-1)(x-1)[12(x[12(x22+x+1)-37x]=0+x+1)-37x]=0 (x-1)[12x(x-1)[12x22+12x+12-37x]=0+12x+12-37x]=0 (x-1)[12x(x-1)[12x22-25x+12]=0-25x+12]=0 x-1=0x-1=0 12x12x22-25x+12=0-25x+12=0 xx1=1=11 xx2=2=

xx3=3=

4

3

3

4

Esistono due tipi di equazioni di Esistono due tipi di equazioni di 4° grado:4° grado:

Equazioni reciproche di 4° grado Equazioni reciproche di 4° grado di prima specie.di prima specie.

Equazioni reciproche di 4° grado Equazioni reciproche di 4° grado di seconda specie.di seconda specie.

Definizione di un equazione di 4° Definizione di un equazione di 4° grado di prima speciegrado di prima specie

L’equazione di quarto grado di L’equazione di quarto grado di prima specie, è un polinomio di prima specie, è un polinomio di quarto grado ordinato e quarto grado ordinato e completo, in cui i coefficienti completo, in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono equidistanti dagli estremi sono uguali, uguagliato a zero.uguali, uguagliato a zero.

ax4+bx3+cx2+bx+a=0

Risoluzione di un equazione di 4° Risoluzione di un equazione di 4° grado di prima specie…grado di prima specie…

axax44+bx+bx33+cx+cx22+bx+a=0+bx+a=0

axax22+bx+c+b+a=0+bx+c+b+a=0

a(xa(x22+ )+b(x+ )+c=0+ )+b(x+ )+c=0

aa[(x+ )[(x+ )2 2 -2]+b(x+ )+c=0-2]+b(x+ )+c=0

a[ya[y22-2]+by+c=0-2]+by+c=0 ayay22-2a+by+c=0-2a+by+c=0 ayay22+by-2a+c=0+by-2a+c=0

x2 x2 x2x2 x2

x x2

1x2

1x

1x

1x

ottengo =

y1

y2

……continuo equazione di 4° grado di continuo equazione di 4° grado di prima specie(2)…prima specie(2)…

LeLe yy le abbiamo ottenute con la seguente formula le abbiamo ottenute con la seguente formula risolutiva:risolutiva:

YY1,21,2= -b b= -b b22-4ac-4ac

+-

2a=

Ora bisogna sostituire a : i valori delle y.

1

x+x

x + =1

x

y1

y2

Otteniamo con il m.c.m. X2-Y1X+1=0

X2-Y2X+1=0Otteniamo con il m.c.m.

……continuo equazione di 4° grado di continuo equazione di 4° grado di seconda specie(3).seconda specie(3).

Ora risolvendo le due equazioni Ora risolvendo le due equazioni di secondo grado otteniamo i di secondo grado otteniamo i risultati dellerisultati delle xx ..

xx22-y-y11x+1=0x+1=0

xx22-y-y22x+1=0x+1=0

x1

x2

x3

x4

Esempio numerico di equazione Esempio numerico di equazione di 4° grado di prima specie…di 4° grado di prima specie…

6x6x44-5x-5x33-38x-38x22-5x+6=0-5x+6=0

6x6x44-5x-5x33-38x-38x22-5x+6=0-5x+6=0

6x6x22-5x-38-5+6=0-5x-38-5+6=0

6(x6(x22+ )-5(x+ )-38=0+ )-5(x+ )-38=0

66[(x+ )[(x+ )22-2]-5(x+ )-38=0-2]-5(x+ )-38=0

6(y6(y22-2)-5y-38=0-2)-5y-38=0 6y6y22-12-5y-38=0-12-5y-38=0 6Y6Y22-5Y-50=0-5Y-50=0

1

x2

1x

1

x

1

x

x2 x2 x2x2 x2

Divido tutti i termini per x2

x x2

……continuo equazione di 4° grado di continuo equazione di 4° grado di prima specie(2)…prima specie(2)…

YY1.21.2= 5 = 5 ±± 25-1200 25-1200

55±±3535

12

12

5+3512

40

12

10

3

5-3512

36

12

5

2

x+1x

10

3= x

1 5

2x=-+;

3x2+3=10

m.c.m

2x2+2=-5x

m.c.m =

=

2x2+5x+2=0

3x2-10x+3=0

……continuo equazione di 4°grado continuo equazione di 4°grado prima specie(3).prima specie(3).

3x3x22-10x+3=0-10x+3=0

XX1.21.2= 10 ± 100-36= 10 ± 100-36

xx3.43.4= -5 ± 25-16= -5 ± 25-16

6= 10±8

6=

4= -5±3

4=

18

6

2

6

2

4

8

4

=

=

=

=

3

1

3

2

2

-1

Definizione di un equazione di 4° Definizione di un equazione di 4° grado di seconda speciegrado di seconda specie

L’equazione di quarto grado di L’equazione di quarto grado di prima specie, è un polinomio di prima specie, è un polinomio di quarto grado ordinato e completo, quarto grado ordinato e completo, in cui i coefficienti dei termini in cui i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono opposti, dagli estremi sono opposti, uguagliato a zero.uguagliato a zero.

ax4+bx3-bx-a=0

Risoluzione di un equazione di 4° Risoluzione di un equazione di 4° grado di seconda speciegrado di seconda specie

axax44+bx+bx33-bx-a=0-bx-a=0 a(xa(x44+1)+bx(x+1)+bx(x22-1)=0-1)=0 a(xa(x22-1)(x-1)(x22+1)+bx(x+1)+bx(x22-1)=0-1)=0 (x(x22-1)-1)[a(x[a(x22-1)+bx]=0-1)+bx]=0 (x(x22-1)[ax-1)[ax22-a+bx]=0-a+bx]=0 (x(x22-1)[ax-1)[ax22+bx-a]=0+bx-a]=0 xx22-1=0-1=0 axax22+bx-a=0+bx-a=0

xx11== xx22== xx33== xx44==

Esempio numerico di equazione Esempio numerico di equazione di 4° grado di seconda speciedi 4° grado di seconda specie

2x2x44+5x+5x33-5x-2=0-5x-2=0 2(x2(x44-1)5x((x-1)5x((x22-1)=0-1)=0 2(x2(x22-1)(x-1)(x22+1)+5x(x+1)+5x(x22-1)=0-1)=0 (x(x22-1)-1)[(2(x[(2(x22+1)+5x]=0+1)+5x]=0 (x(x22-1)[2x-1)[2x22+2+5x]=0+2+5x]=0 (x(x22-1)[2x-1)[2x22+5x+2]=0+5x+2]=0 xx22-1=0-1=0 2x2x22+5x+2=0+5x+2=0

Legge di annullamento del prodotto

……continuo equazione di 4° grado di continuo equazione di 4° grado di seconda specie(2).seconda specie(2).

Ora risolviamo l’equazione:Ora risolviamo l’equazione: 2x2x22+5x+2=0+5x+2=0

xx3.43.4 =-5+- 25-4*2(2) -5+-3=-5+- 25-4*2(2) -5+-3

4=

4

-5+3

4=-

2

1

-5-3

4= 2

EQUAZIONI EQUAZIONI PARAMETRICHEPARAMETRICHE

Roberta FlorisRoberta Floris Elisabetta Elisabetta

MelinuMelinu Cristina CartaCristina Carta

Un’ equazione di secondo Un’ equazione di secondo grado si dice grado si dice parametricaparametrica se se almeno uno dei coefficienti almeno uno dei coefficienti

dipende da una o più variabili dipende da una o più variabili dette parametri.dette parametri.

Ecco un’esempio di Ecco un’esempio di equazione parametrica:equazione parametrica:

xx² +Kx+2k=0² +Kx+2k=0

Dove Dove bb è uguale a è uguale a kk e e cc é é uguale a uguale a 2k.2k.

Data l’equazione parametrica:Data l’equazione parametrica:

xx² +Kx+2k=0² +Kx+2k=0

trovare i valori di trovare i valori di kk in modo che in modo che le radici le radici

siano reali.siano reali.

La condizione da verificare è: La condizione da verificare è:

b²-4ac≥0b²-4ac≥0

Nel nostro caso,Nel nostro caso,

a=1,a=1, b=kb=k, , c=2k,c=2k,

per cui:per cui:

kk²-4(1)(2k)≥0²-4(1)(2k)≥0

K²-8k≥0K²-8k≥0

K(k-8)≥0 da cui K(k-8)≥0 da cui

k≤0 o K≥8k≤0 o K≥8

K≤0 o K≥8K≤0 o K≥8

8

+ +

+ + + + + +

- - - - - 0

Data l’equazione parametrica Data l’equazione parametrica x x²-(k-2)x+k+1=0, ²-(k-2)x+k+1=0,

determiniamo i valori di determiniamo i valori di kk in modo in modo che, essendo le soluzioni reali:che, essendo le soluzioni reali:

A) Una radice sia l’opposto dell’altra.A) Una radice sia l’opposto dell’altra.

B) Una radice sia uguale a 2.B) Una radice sia uguale a 2.

C) Una radice sia l’inverso dell’altra.C) Una radice sia l’inverso dell’altra.

D) Il prodotto delle radici sia uguale a D) Il prodotto delle radici sia uguale a -6.-6.

A)UNA RADICE SIA L’OPPOSTO DELL’ALTRA A)UNA RADICE SIA L’OPPOSTO DELL’ALTRA

SE:SE:

XX11= -X= -X2 2 cioè cioè XX11-- XX22=0 ma X=0 ma X11++ XX22= -= -

bb/a, basta quindi imporre che sia /a, basta quindi imporre che sia k-2= 0 k=2k-2= 0 k=2

Per questo valore di k, tuttavia, Per questo valore di k, tuttavia, le soluzioni nonle soluzioni non

sono reali e dobbiamo concludere sono reali e dobbiamo concludere che il che il

problema non ha soluzioni. problema non ha soluzioni.

B) UNA RADICE SIA UGUALE B) UNA RADICE SIA UGUALE A 2A 2

Basta sostituire Basta sostituire 22 al posto di X e al posto di X e risolvere l’equazione in k cosrisolvere l’equazione in k cosìì

ottenuta:ottenuta:

4-2(k-2)4-2(k-2)+k+1=0 k=9+k+1=0 k=9

Questa volta il valore trovato di k Questa volta il valore trovato di k appartiene all’insieme definito appartiene all’insieme definito dalla condizione di realtdalla condizione di realtà à delle delle

radici (9>8)radici (9>8)

èèd d èè quindi la soluzione del quindi la soluzione del problema.problema.

C) UNA RADICE SIA L’INVERSO C) UNA RADICE SIA L’INVERSO DELL’ALTRA SE:DELL’ALTRA SE:

XX 1 1= 1/X2 cioè X= 1/X2 cioè X11*X*X22= 1 ma X= 1 ma X11*X*X22= = c/a,c/a,

basta quindi imporre che sia basta quindi imporre che sia k+1=1 k=0 k+1=1 k=0

per questo valore di K le soluzioni per questo valore di K le soluzioni sono reali esono reali e

sono anche coincidenti;ne sono anche coincidenti;ne consegue che esseconsegue che esse

devono essere uguali a 1.devono essere uguali a 1.

D)IL PRODOTTO DELLE RADICI SIA UGUALE A -6D)IL PRODOTTO DELLE RADICI SIA UGUALE A -6

Deve essere c/a -6 cioDeve essere c/a -6 cioèè k+1= -6 k+1= -6 k= -7k= -7

anche questo valore di k anche questo valore di k èè accettabile accettabile

perchperché èé è minore di 0. minore di 0.