SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ

Kurs Kapsamı•SONLU ELEMANLAR KAVRAMI

•SONLU ELEMANLAR FORMULASYONU

•UYGULAMALARI

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu Elemanlar Çözümleri

Rijitlik Metodu

Esneklik Metodu

Karışık Kullanımlar

G.A. Mekanik CBÜ

Rijitlik Metodu Kullanılarak Çözüm Yapmanın En Çok Bilinen ve Kolay

Yolu Direkt Rijitlik Metodudur Denilebilir

G.A. Mekanik CBÜ

DİREKT RİJİTLİK METODUNUN AŞAMALARI

Düğüm Noktası

Fiziksel Model

G.A. Mekanik CBÜ

İdealleştirme ve Parçalama

• Çubuk Elemanlara Parçalanacak sistemin Parçalanmadan Önceki Ayrışma Noktalarını Yani düğüm Noktalarının Belirtilmesi

Parçalara Ayrılmış Matematiksel Model

G.A. Mekanik CBÜ

Mesnetlerden ve Kuvvetlerden Kurtarılmış Sistem

Elemanların Düğüm Noktalarından Ayrışması

Üst BaşlıklarDikmeler

DiagonallerAlt Başlıklar

Elemanlar Kendi Lokal EksenlerindeEle Alınması(Lokal eksen Takımında Eleman Matrislerinin Bulunması)

G.A. Mekanik CBÜ

Elemanları Orijinal Konumlarında Bir Araya Getirilmesi (Lokal eksen Takımında Elde Edilmiş Rijitlik Matrislerinin Global eksen takımına Taşınması)

Birleştirme (Global Eksen Takımına Taşınan Eleman Rijitlik Matrislerinin Düğüm noktaları Uylaşımına Bağlı Olarak Birleştirilmesi)

Dış Yüklerin ve Mesnet Koşullarının Uygulanması

Problemin Çözümü ve Düğüm noktalarının Yerdeğiştirmelerinin Bulunması

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu elemanlar Çözümü Sonrası Yapılan Diğer İşlemler

Sonlu Elemanlar Yöntemi Kullanılarak Düğüm Noktası Deplasmanları Bulunmuştur Bu Aşamadan Sonra Dizayn İçin Gerekli Diğer Büyüklükler Olan

• Mesnet Reaksiyonları

• Kesit Tesirleri

Bulunurlar.

Tüm Bu İşlemler Eleman Tipinden Bağımsızdır.

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu Elemanlar Metodunda Kullanılan Bazı Eleman Tipleri

G.A. Mekanik CBÜ

Çeşitli yapılarda Kullanılan ve Malzemelerin Mekanik Özelliklerine ait Basit Bağıntılar Kullanılarak Elde Edilen Basit

Eleman TipleriÇeşitli Yapısal

ElemanlarMatematiksel Modelin Adı

Sonlu Eleman Modeli

Çubuk (Bar)

Kiriş (Beam)

Tüp, Boru (Tube, Pipe)

Perde

Kayma Mukavemetine Sahip PerdeG.A. Mekanik CBÜ

Bazı Sürekli Ortam Elemanları

Sonlu Eleman ModeliSonlu Eleman

Modeli

Fiziksel ElemanFiziksel Eleman

3D Cisimler2D Cisimler

G.A. Mekanik CBÜ

Özel Eleman Tipleri

Çatlakların Modellenmesinde Kullanılan Eleman

Tipi Örneği

2 Nokta Birden Aynı Konumda

Sonsuz Eleman

Elemanın Sınırsız Kısmı

Arı Peteği Panel (Sanwich Panel

G.A. Mekanik CBÜ

Makro Elemanlar

G.A. Mekanik CBÜ

Global Koordinat Sistemi

Lokal Koordinat Sistemi

1DKiriş 2DKiriş ve Kafes 3DKiriş ve Kafes vb.

1DKiriş ve Kafes El. 3DKiriş El.

G.A. Mekanik CBÜ

Kiriş 2D Kafes2D Çerçeve Elemanı Kiriş

Çeşitli elemanların serbestlik dereceleri

3D Kafes 3D Çerçeve Elemanı Kiriş

Kiriş

G.A. Mekanik CBÜ

Unutmuyoruzki Homojen Mesnetlenme Koşullarından Olan

Basit, Ankastre, Serbest Uç, Mafsal, Kayıcı Mafsal Benzeri Yapılar

Deplasman veya Dönme Yapamıyorlarsa Yapılamayan

Hareketin Karşılığı Olan Kuvvet ve Moment Değerini Taşıyor Demektir

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu Elemanlar Metodunu Kullanabilmek İçin

• Denklem takımı çözümlerini herhangi bir bilgisayar programı kullanarak çözebilmek gerekir. Yöntem tamamı ile bilgisayar destekli çözüm gerektirir.

• Temel Matris İşlemlerinin Bilinmesi veya Bilgisayara Uygulamasını Bilmeyi gerektirebilir.

(Denklem Takımı Çözümü, Matris Transpozu vb. manipilasyonları yapabilecek seviyede matematik bilgisi gerektirir.)

G.A. Mekanik CBÜ

Elemanın nokta Sayısı:

Noktalara Ait Yer Değiştirmeler:

Noktalara Oluşan Kuvvetler:

Yay Sabiti (Rijitlik):

Basit Yay Elemanı

Yay Elemanın Herbir Düğüm Noktası Sadece Ötelenme Yapabildiği İçin Bu Elemana Ait Düğüm noktası Serbestlik

Derecesi Bir dir. Degree of Freedom (DOF=1)G.A. Mekanik CBÜ

Yay Elemanına Ait Gerilme Deformasyon İlişkisi

(Yayın Lineer Bölgede Davrandığı Kabul Edilmekte)

Bu Kurs Kapsamında Sadece Lineer Problemler ile İlgilenilecektirG.A. Mekanik CBÜ

i ve j noktalarındaki kuvvet değerleri denge denklemlerinde kolayca bulunur

Noktalara Ait Denklemler Matris Formatında yazılırlarsa

G.A. Mekanik CBÜ

Eleman Matrisi (Eleman Rijitlik Matrisi)Rijitlik Matrisi (Daima Simetriktir)

Eleman Noktasal Yerdeğiştirme Vektörü

Eleman Kuvvet Vektörü

G.A. Mekanik CBÜ

Yay Sistemi (İki veya daha fazla Yay elemanının Birleştirilmesi ve Çözüm

Yaklaşımı

2. Eleman Rijitlik matrisi1. Eleman Rijitlik matrisi

Lokal eksen Takımında m numaralı elemanın i nokta nolu bağlantısına karşılık gelen iç kuvvet değeridir.

G.A. Mekanik CBÜ

Eleman Rijitlik Matrislerinin Bir araya Getirilmesi

Düğüm Noktalarındaki Toplam Kuvvet Değerlerinin açılımları

G.A. Mekanik CBÜ

Eleman Rijitlik Matrislerinin Bir Araya Getirilmesi Matris Formundaki Gösterim

Burada K Tüm sistemin Rijitlik Matrisidir.

G.A. Mekanik CBÜ

Sistem Rijitlik Matrisini Elde Etmenin Bir Diğer Gösterimi Önce Elemanları Tüm sistemin Rijitlik Matrisi İçinde Tek Başlarına

Göstermek Sonra Bir Araya Getirmektir.

G.A. Mekanik CBÜ

Dış Yüklerin Yüklenmesi ve Sınır Koşullarının Uygulanması

Yay sisteminin 1 nolu noktada tutulu olduğu, 2 ve 3 nolu noktalardan ise P değerine sahip iki adet dış yükün sisteme etkidiği kabul edilirse;

Sistem Rijitlik Matrisi Bağlı Olan Eşitlik Aşağıdaki Hali Alır.

G.A. Mekanik CBÜ

u1=0 olması sebebi ile u1

bulunduğu kolondaki tüm terimler sıfır ile çarpılacağı için denklemlere bir şey kazandırmayacaktır bu sebeple ihmal edilirler ve kalan 2 (u2, u3) bilinmeyen sağ alt köşedeki kare matris formundaki katsayılar kullanılarak bulunabilirler.

2 bilinmeyen = 2 denklem olduğu için u2, ve u3

kolaylıkla elde edilir.

G.A. Mekanik CBÜ

F1 sistemdeki mesnet reaksiyonu olarak düşünülebilir. Değer olarak da u2, ve u3 ün hesaplanmasında kullanılmayan 1 nolu denklemden kolaylıkla elde edilebilir.

u2 ‘nin daha önceden bulunan değeride yerine konulursa

G.A. Mekanik CBÜ

Sonuçların Değerlendirilmesi• Deforme Olmuş Şeklin Verilen Yükleme ve Sınır Koşulları ile

Uygun olup olmadığının Kontrol Edilmesi Yapılan Analiz Sonucunda Bir Gerekliliktir. (Kullanıcı Yanlış giriş Yapmış Olabilir Kullanılan Program Hazır Program Değilse Programda Bir Hata olabilir)

•

2 ve 3 nolu noktalara gelen kuvvetler + işaretli olup yayın sağ tarafa doğru uzaması beklenir. Dolayısı ile u2 ve u3

nolu noktalarda kuvvet yönü ile aynı olması beklenir. Bu durum elde edilen sonuçlar ile gerçeklenmiş olup deformasyonlar yükler İle uyumludur.

G.A. Mekanik CBÜ

Sonuçların Değerlendirilmesi• Çözümün doğruluğunu Kontrol etmenin bir diğer yolu dış

kuvvetlerin dengesine bakmaktır. (Kullanıcı Yanlış giriş Yapmış Olabilir Kullanılan Program Hazır Program Değilse Programda Bir Hata olabilir)

•

ΣF=0

G.A. Mekanik CBÜ

Sonuçların Değerlendirilmesi• Sonuçları kontrol etmenin bir diğer yolu ise elde

edilen büyüklüklerin karşılaştırılmasıdır.

Yay sistemi için konuşulacak olunursa 3 nolu noktanın deplasmanının 2 nolu noktadan daha büyük olarak çıkacağı aşikardır. Bu gibi basit sistemlerde basit yükleme durumlarında bu değerler öngörülebilir değerler de olabilir. Ancak sistem ve yük durumu karmaşıklaştıkça bu öngörülerin gerçeklenme olasılığı azalır.

G.A. Mekanik CBÜ

Yay elemanlar Hakkında• Kafes sistemlerin çubuk elemanlarının yerine

kolaylıkla konulup analizlerde kullanılıp deformasyonların bulunmasına yardımcı olabilirler.

• Benzer şekilde yanlızca eksenel yüklemelerin söz konusu olduğu kiriş problemlerinin deplasmanlarının bulunmasında kullanılabilirler.

• Diğer taraftan gerilmelerin bulunmasında doğrudan kullanılamazlar ve bu konuda kullanışlı oldukları söylenemez sadece eksenel yüklü sistemlere ait deplasmanların bulunmasında dolaylı yoldan kullanılabilirler.

G.A. Mekanik CBÜ

Yay Eleman Örneği Sayısal

Veriler

İstenenler•2 ve 3 nolu noktaların yer değiştirmeleri•1 ve 4 nolu noktalarda ortaya çıkacak mesnet reaksiyonları•2 nolu yaydaki kuvvet

G.A. Mekanik CBÜ

ÇÖZÜM Eleman Rijitlik Matrislerinin Bulunması

Hatırla Tek Bir Yay Eleman İçin Rijitlik

Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

ÇÖZÜMSistem Rijitlik Matrisinin Oluşturulması (Eleman

Rijitlik Matrislerinin Birleştirilmesi)

Sıfır

G.A. Mekanik CBÜ

Simetrik ve Bant Matris

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu Elemanlar Denklemi

SıfırG.A. Mekanik CBÜ

Azaltılmış Rijitlik Matrisi ve Sonlu Elemanlar Denklemi

Elde Edilen Bilinmeyen Deplasman Değerleri

G.A. Mekanik CBÜ

Ana Matristeki Bilinmeyen Deplasmanların Bulunmasında Kullanılmayan 1. ve 4. Satırdaki Denklemlerin Kullanılması İle F1 ve F2 mesnet reaksiyonları Bir Önceki aşamada bulunan u2 ve u3 değerlerinin yerine konulması ile Kolaylıkla Bulunur.

G.A. Mekanik CBÜ

2 Nolu Yay Elemanındaki Kuvvetin Bulunması

2 Nolu Eleman Rijitlik Matrisi Burada 2 nolu eleman İçin i ve j

değerleri

Hatırlatma Tek Bir Yay Elemanında Biriken Kuvvet ile İç Kuvvetler arasındaki İlişki

veya

Bu durumda 2 Nolu elemana aitmatristen herhangi bir satırıkullanılarak yay da ki kuvvetkolaylıkla hesaplanabilir.

G.A. Mekanik CBÜ

Yay Örneği 2! Verilen Sistemin Rijitlik Matrisinin Oluşturulması

Elemanların Global Düğüm Noktaları numaralarına Göre Bağlantı Şeması

Eleman

G.A. Mekanik CBÜ

Elemanların Rijitlik Matrisleri

G.A. Mekanik CBÜ

Eleman Rijitlik Matrislerinin Birleştirilmesi İle Oluşturulmuş Sistem Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

1Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman

Bir boyutlu çubuk elemanlar kullanılarak yay elemanlarına benzer şekilde deplasmanlar ve mesnet reaksiyonları bulunabilir. Yay tipi elemanlardan farklı olarak çubuk elemanlarda eleman alanıda rijitlik matrisine dahil edileceği için yaylardan farklı olarak bu tip elemanların kullanıldığı hesaplamalarda gerilme değerleride kolaylıkla elde edilebilir.

Elemanın Uzunluğu

Elemanın En Kesit Alanı

Eleman Malzemesinin Elastisite (Young) Modülü

Elemanın Düğüm Noktalarının Yer Değiştirmeleri

Elemanın Birim Boy Değişimi

Elemanda Ortaya Çıkan GerilmeG.A. Mekanik CBÜ

1Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman

Bu Kurs Kapsamında Çubuk elemanlar İle Yapılacak Analizlerde Aşağıdaki Kabuller Kapsamında Yapılacaktır.•Sistemdeki Deformasyonların Küçük Olduğu Kabul Edilecektir. (Geometrik Lineer sistem)•Çubuk Malzemesinin Lineer Elastik Olduğu Kabul Edilecektir.•Yüklemenin Statik Olduğu Kabul Edilecektir.

G.A. Mekanik CBÜ

Eleman Rijitlik Matrisinin Türetilmesi

Yerdeğiştirme ve Deformasyon İlişkisi

Gerilme ve Deformasyon İlişkisi

G.A. Mekanik CBÜ

Eleman Rijitlik Matrisinin Elde Edilmesinde Direkt Metod Kullanılacaktır

u yerdeğiştirme değerinin çubuk ekseni boyunca linner olarak değiştiği kabul edilirse

Gerilme-Deformasyon ve Deformasyon-Deplasman Bağıntılarına Dayanarak Aşağıdaki Çıkarımları kolayca Yapmak Mümkündür.

Burada Δ Çubuğun Toplam Uzama Değeridir.

G.A. Mekanik CBÜ

Eksenel Uzamaya Sahip Bir Çubukta Gerilme Değerinin Kuvvet ve alan Değerlerine Bağlı olarak Yazılması Aşağıdaki gibidir ve gerilme deformasyon ifadesinden bilinen hali ile eşitlenirse

Eşitliği Elde Edilir burada EA/L olarak değerinin bütününü ifade eden k katsayısına kısada elemanın rijitliği adı verilir. Söz konusu k katsayısı daha önce incelenen yaylardaki k katsayısı ile aynı işlevi çubuk eleman için görür!!!!

G.A. Mekanik CBÜ

Yay elemanlara Ait Eleman Rijitlik

• Matrislerindeki k katsayılarının yerine çubuk elemana ait k katsayılarının açılımları yerleştirilirse

• Çubuk Elemana Ait Rijitlik Matrisleri Elde Edilmiş Olur

G.A. Mekanik CBÜ

1 Boyutlu Çubuk Eleman Sonlu Elemanlar Eşitliği

• 1 Boyutlu Çubuk Elemanın Her bir Düğüm Noktası Sadece Ötelenme Yapabildiği İçin Bu Elemana Ait Düğüm noktası Serbestlik Derecesi Bir dir. Degree of Freedom (DOF=1)

G.A. Mekanik CBÜ

1 Boyutlu Çubuk Elemanda gerilme Değerlerinin bulunması

• Bir Boyutlu Çubuk Elemanlarda GerilmeDeğerlerinin Bulunması İçin Yay BenzeşimiKullanılarak Önce elemana Gelen Kuvvet BulunupDaha Sonra Alana Bölünüp Bulunabileceği gibi Buzunluk vektörü kullanılarak Çözümden elde edilenDeplasmanlar Yardımı İle de Çözüme Ulaşılabilir.

G.A. Mekanik CBÜ

1 Boyutlu Çubuk Eleman Örneği

Farklı en kesitte 2 adet çubuk eleman birleştirilmişolup birleşim bölgesinden P kuvveti etkimektedir.Sistemin mesnet reaksiyonlarını ve çubukelemanlarda oluşacak kuvvetleri verilen geometrive yükleme durumu için bulunuz.

G.A. Mekanik CBÜ

Eleman Rijitlik Matrislerinin Bulunması ve Sistem Rijitlik Matrisi Altında Birleştirilmesi

G.A. Mekanik CBÜ

Sınır Koşulları ve Dış Kuvvetlere Bağlı Olarak Sistem Sonlu Elemanlar Eşitliği Oluşturulursa

Sınır Koşulları

Dış yükler

G.A. Mekanik CBÜ

u2 Bilinmeyen Düğüm Noktası Deplasmanının Bulunması

2 Nolu Satırdaki Eşitlikten Bilinmeyen u2

değeri Kolayca Bulunur

G.A. Mekanik CBÜ

u2 Deplasmanının Değeri ve Tüm Deplasmanların Bir Arada

Gösterimi

G.A. Mekanik CBÜ

Çubuk Elemanlardaki Gerilmelerin BulunmasıHatırlanacağı Üzere Gerilme

Yerdeğiştirme Bağıntısı B vektörü Kullanılması durumu

İçin

1 Nolu Elemandaki Gerilme

G.A. Mekanik CBÜ

2 Nolu Elemandaki Gerilme

G.A. Mekanik CBÜ

Elde Edilmiş Sonlu Eleman Denklemi Çözümünü Yay Benzeşimi ile Beraber Kullanarak

Gerilmelerin Bulunması

• Öncelikle Her Bir elemana Gelen Kuvveti bulacağız. Yay İçin İç Kuvvetlerin Bulunduğu Aşağıdaki Denklemler Aynen 1B Çubuklar İçinde geçerlidir.

veya

Yay Denklemlerinde kgörülen yerlere çubukrijitlikleri olan EA/Ldeğerleri konulursa Çubuksistemlere ait iç kuvvetEşitlikleri Elde EdilmişOlurlar

HALA BU SİSTEM DE ÇÖZÜM YAPIYORUZ UNUTMAYALIM

G.A. Mekanik CBÜ

Yay İç Kuvvet Denklemini 1B İç Kuvvet Denklemine Dönüştürelim ve Gerilme

İlişkisini Yazalım

i i i i jF f k u u

i ii i i j

i

E AF f u u

L

i ii

i

E Ak

L

G.A. Mekanik CBÜ

Problemimize Geri Dönüp ui değerlerini kullanarak bir ve iki nolu çubuk iç kuvvetlerini bulacak olursak

1 Nolu Çubuk Kuvveti

1

203

E A PLf

L AE

i ii i j

i

E Af u u

L 1 1

2

3

PF f

2 Nolu Çubuk Kuvveti 2 2 0

3 3

EA PL PF f

L AE

G.A. Mekanik CBÜ

Gerilme Değerlerinin Bulunması

ii

i

fKuvvetGerilme

Alan A

1 Nolu Çubuk Gerilmesi

1

2 3

2 3

P P

A A

2 Nolu Çubuk Gerilmesi

2

3

3

P P

A A

G.A. Mekanik CBÜ

Çubuk ve Yay Elemanlar Hakkında

* Çubuk ve Yay Elemanlar Vasıtası İle Değişken Kesitli Kirişler modellenebilir.* Ne Kadar Çok eleman Kullanılırsa Okadar Çok nokta Hakkında Bilgi Sahibi Olunabilir.

G.A. Mekanik CBÜ

Çubuk veya Yay Elemanlar İle Yapılan Modelleme Örnekleri

G.A. Mekanik CBÜ

1 Boyutlu Çubuk Eleman Örneği

Verilen Yükleme ve Sistem Geometrisi İçin Sistemde Ortaya Çıkacak Mesnet reaksiyonlarını

Bulunuz.

G.A. Mekanik CBÜ

Öncelikle bilinen elastisite bağıntıları yardımı ve uygulanan kuvvetin etkisi ile çubuk uzamasının duvara ulaşıp ulaşmayacağını anlamak çok önemlidir. Çünkü ancak çubuk uzaması duvara kadar erişecekse bu aşamadan sonra mesnet reaksiyonu oluşturur.

Sisteme etkiyen P kuvvetinin değeri çubuğun duvar ile temasından fazlasına yetecek kadar uzamasına sebep olacağı için sonlu elemanlar

eşitliği buna dayanılarak kurulmalıdır.G.A. Mekanik CBÜ

Sistem Global Rijitlik Matrisi

HATIRLATMA Eleman Rijitlik

Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

Yük ve Sınır Koşulları

Sınır Koşulları ve Yük Değerleri sonlu elemanlar Eşitliğine yerleştirilirse eşitlikteki bilinmeyen tek deplasman değeri olan u2 eşitlikten kolaylıkla

elde edilebilir.

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu eleman matris eşitliğindeki tek bilinmeyen olan u2

kolayca elde edilmiştirG.A. Mekanik CBÜ

Sistem global Rijitlik matrisinin 1. ve 3. satırları kullanılarak elde edilmiş deplasmanlar yardımı ile bilinmeyen mesnet reaksiyonları

elde edilir.

G.A. Mekanik CBÜ

Çubuk Elemanda Yayılı Eksenel Yük Olması Durumu

L Boyundaki çubuğa etkiyen qyayılı eksenel yükünün etkisiçubuk uçlarına toplanır venoktasal dış yüklere ilave edilir.

G.A. Mekanik CBÜ

2 ve 3 Boyutlu Eksenel Yük Taşıyabilen Çubuk Eleman

2 ve 3 boyutlu problemlerde elemanın bir düğüm noktası global eksentakımında 2 adet koordinat değeri ile ifade edilebildiği için tek boyutluproblemlerde kullanılan 2x2 boyutundaki eleman rijitlik matrisi,trigonometrik bağıntılar kullanılarak 2 ve 3 boyutlu düzlemlerdekullanılabilecek transforme edilmiş halleri elde edilir.

G.A. Mekanik CBÜ

Lokal Koordinatlar ile Global Koordinatlar arasındaki Bağıntı

Matris Formatında Yazılırlarsa

Tek Bir Düğüm Noktası İçin

Çubuğun Her İki Düğüm Noktası Beraberce Yazılırsa

Lokal Koordinatlar

Global Koordinatlar

G.A. Mekanik CBÜ

Global Eksen Takımındaki 2B Çubuk Elemanın Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

Global Eksen Takımındaki 2B Çubuk Elemanın Gerilmesi

G.A. Mekanik CBÜ

2 Boyutlu Kafes Sistem ÖrneğiYandaki şekildegeometrisi ve yüklemedurumu verilen kafessistemin 2 nolunoktasınındeplasmanını ve herçubuktaki gerilmedeğerlerini bulunuz. (Aenkesit alanı, Eelastisite modülü olupçubukların uzunluğueşit olup Lboyundadırlar.

G.A. Mekanik CBÜ

1 Nolu eleman Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

2 Nolu eleman Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

Tüm Sistemin Sonlu Elemanlar Eşitliği

G.A. Mekanik CBÜ

Sınır Koşulları ve Azaltılmış Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

Azaltılmış Rijitlik Matrisi ve Yer Değiştirmelerin Bulunması

G.A. Mekanik CBÜ

Elemanlarda Oluşacak Gerilmelerin Bulunması

Çubuk Elemanın Gerilme Formulü

G.A. Mekanik CBÜ

2 Boyutlu Kafes Sistem Örneği (Sınır Koşulları Kullanımına Özel Dikkat)

Geometrisi, yükleme durumu ve kesit özellikleri verilen kafes sistemin mesnet reaksiyonlarını ve düğüm noktalarının deplasmanlarını bulunuz.

1. ve 2. Çubuklar

3. Çubuk

G.A. Mekanik CBÜ

1 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

2 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

3 Nolu Çubuk Eleman Rijitlik Matrisi

G.A. Mekanik CBÜ

Global Rijitlik Matrisi ve Sonlu Eleman Eşitliği

Yükleme Değerleri ve Sınır Koşulları

Lokal Koordinatlarda Verilmiş sınır

Koşulları

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu elemanlar denklemindekullanılan sınır şartı ve kuvvetdeğerleri global koordinatlardatanımlı olmalıdır oysa elimizdekibir yerdeğiştirme sınır koşulu vemesnet reaksiyonu sınır koşulu(kırmızı işaretliler) elemanın lokalkoordinatlarında tanımlanmış olupbu tanımlamaların globalkoordinatlara taşınmasıgerekmektedir.

G.A. Mekanik CBÜ

Yer Değiştirme Sınır Koşulunun Lokalden Globale Taşınması

Daha önceki yer değiştirme sınır koşulların dan farklı olarak iki ayrı koordinata bağlı olarak bulunan tek mesnete ait çoklu tutulu olma şartı!

G.A. Mekanik CBÜ

Mesnetlenme Koşulunun Lokalden Globale Taşınması

Mesnetleme koşuluna ait dönüşüm yer değiştirmelere benzer şekilde yapılır.

Koordinat dönüşümününyapılacağı transformasyonişlemin bu sefer kuvvetterimleri yerleştirilipişlemler yapılırsa.

Global Koordinatlardaki Kuvvet tipi sınır koşuluda yerdeğiştirmede olduğu gibi iki parçalı olarak bulundu.

G.A. Mekanik CBÜ

Yorum: İki yerdeğiştirmenin bir birine bağlı olması veaynı zamanda İki mesnet değerinin bir birine bağlıolması bir birine uygun durumlar olur sonlu elemaneşitliğindeki denklemler bu durumda karesel olarakbir boyut azalır ve denkleme iki değişkendenherhangi birisi yerleştirilerek işleme devam edilir.

G.A. Mekanik CBÜ

Öncelikle Sonlu elemanlarMatrisinin Boyutunu Sıfıra eşitliğiOlan sınır Koşullarını KullanarakAzaltalım.

G.A. Mekanik CBÜ

Eşitliği Kullanılarak v3 yerine -u3 yazılır ve F3Y

yerine de -F3X, son olarak F2X yerinede P dışyük değeri yazılırsa azaltılmış sonlu elemanlardenklemi aşağıdaki hali alır.

G.A. Mekanik CBÜ

Bir denklem takımının çözülebilmesi için bilinenler ile bilinmeyenler arasında bir denge olmalıdır ancak burada denklemin her iki yanında problem vardır bu sebeple denklemi iki bilinmeyen yer değiştirmenin çözülebilmesi için yeniden organize edilmelidir. Bu sebeple 3. Eşitlikten kolayca faydalanılabilir. Bu eşitlik 2. denklemde yerine

konulup işleme devamedilierse sisteminyerdeğiştirmeleri bulunur.

G.A. Mekanik CBÜ

Sonlu elemanlar Denklemine Geri Dönülüp DeğeriSıfır Olmayan Tüm Deplasmanlar Yerlerine KonulursaTüm Mesnet Reaksiyonları Elde Edilmiş Olunur.

G.A. Mekanik CBÜ