soos anna´ fraktalok [majdnem] k´ epletek n´ ´elkul¨ · i 7500 km-es mer´ ol˝ eccel...2600...

Soos Anna Fraktalok [majdnem] kepletek nelkul

Fraktalok [majdnem] kepletek nelkul

Soos Anna

Babes-Bolyai Tudomanyegyetem


Milyen hosszu a brit tengerpart?Benoit Mandelbrot: ”How long is the coast of Britain?”,Nature, 1967


I 7500 km-es meroleccel...2600 km hosszuI 100 km ...3800 kmI 54 km ...5770 kmI 17 km ...8640 km

ε→ 0⇒ L(ε)→∞Lewis Fry Richardson:

L(ε) ≈ F · ε1−D

Peitgen, H.-O.,Jurgens, H., Saupe, D., Chaos andFractals: New Frontiers of Science, Springer Verlag, Inc.,New York, 1992, 192-198Spanyol-portugal hatar: 20% elteres


Grand Cayon:


1977 Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature

Fraktal:Mandelbrot: olyan geometriai alakzat, melyetfeloszthatunk olyan reszekre, amelyek az eredetivelhasonloak [legalabb valoszınusegi ertelemben]Matematikai: olyan ponthalmaz, melynek Hausdorffdimenzioja nem egesz szam


Cantor-por.


Koch-gorbe [Matematikai tengerpart].


Sierpinski haromszog


Hausdorff mertek es dimenzio

Hs(alakzat) = limε→0

min∑

(atmero)s

1-dimenzios mertek:

Hs = limε→0

Lε· ε1 = L


2-dimenzios mertek

Hs = limε→0

Lε· ε2 = 0

0-dimenzios mertek

Hs = limε→0

Lε· ε0 =∞

Tulajdonsag:∃ s ∈ R: Hs 6= 0 es Hs 6=∞s=Hausdorff dimenzioFraktal: olyan alakzat, amelynek Hausdorff dimenziojanem egesz szamLeteznek:1981 Hutchinson: Fractals and Self Similarity


Onhasono fraktalok


Termeszetben


Iteralt fuggvenyrendszer

f1, f2, ..., fm : Rn → Rn

-eltolas-forgatas-zsugorıtasonhasonlo halmaz:

K = f1(K ) ∪ f2(K ) ∪ ... ∪ fm(K )

Barnsley, 1985: barmely A eseten az iteraltjainak es a Kfraktalhalmaznak a tavolsaga tetszolegesen kicsive teheto


Cantor-halmaz:f1, f2 : R→ R

f1(x) =13

x , f2(x) =13

x +23

E0= [0,1]E1 = [0, 1

3 ] ∪ [23 ,1]

E2 = [0, 19 ] ∪ [2

9 ,13 ] ∪ [2

3 ,79 ] ∪ [8

9 ,1].Ek 2k darab 3−k hosszusagu intervallumK = f1(K ) ∪ f2(K ).


Sierpinski haromszog:q1,q2,q3 az egyenlo oldalu haromszog csucsaifi : R2 → R2

fi(x) =12(x − qi) + qi , i = 1,2,3.

r1 = r2 = r3 = 12


Menger szivacs:


Hasonlosagi dimenzio

Szakasz:N = 3, r =

13, N · r = 1

Negyzet:

N = 4, r =12, N · r 2 = 1


Kocka:N = 8, r =

12, N · r 3 = 1

Altalaban:

D − dimenzio N − resz r − felosztas ⇒ N · rD = 1

D =logNlog 1

r


r = 12 , N = 3⇒ D = log3

log2


Mandelbrot halmaz

fc(x) = x2 + c, x0, x1 = f (x0), x2 = f (x1)....

M = {c ∈ C|a 0 palyaja fc-ben korlatos} == {c ∈ C| f k

c (0) 6→ ∞, ha k →∞}.


Reszlegesen onhasonlo


valtozatok:


Julia halmazokf (x) = x2 + c, c rogzıtett, x valtozik


Veletlen fraktalok


AlkalmazasBrown mozgas


Tortdimenzios Brown mozgas


Virtualis valosag


Mandelbrot terben


Fraktalok az epıteszetben


Koszonom a figyelmet!


soos anna´ fraktalok [majdnem] k´ epletek n´ ´elkul¨ · i 7500 km-es mer´ ol˝ eccel...2600...

Documents