sot3-neparametarski testovi[1]
TRANSCRIPT
Predavač: docent Mirko SavićPredavač: docent Mirko Savić[email protected]
Str. 644;221;148
Uvod uUvod uneparametarskeneparametarske
testovetestove
Hi-kvadrat testovi
Najčešće se koriste četiri vrste 2 testa:•test značajnosti proporcije,•test prilagođenosti (aproksimacije) empirijskog rasporeda teorijskom rasporedu,•test nezavisnosti obeležja,•test homogenosti skupa.
Koristi se za upoređivanje dve serije frekvencija.
Str. 646;221;149
Izračunava se vrednost: 2
0
2
;r
2
0 ≤ 2
;r . Nulta hipoteza H0 se prihvata. Ne postoje statistički značajne razlike između teorijskih i empirijskih frekvencija.
2
0 > 2
;r . Nulta hipoteza H0 se odbacuje. Postoje statistički značajne razlike između teorijskih i empirijskih frekvencija.
Tablična vrednost:
0
Oblasti prihvatanja i odbacivanja nulte hipoteze H0
2f
Odbacivanje H0Prihvatanje H0
2
;r
20
2; r
20
2; r
Grafički prikaz:
Test značajnosti proporcije
Ocena značajnosti razlike originalnih frekvencija i teorijskih frekvencija
f t
i
Broj grupa u empirijskom rasporedu mora biti m>2.
Primer 242 (strana 648)Hi kvadrat test – Test značajnosti proporcije
Primer 243 (strana 649)Hi kvadrat test – Test značajnosti proporcije
fi
Str. 648;222;150
SOT-022 K:4-15Hi kvadrat test značajnosti proporcije
5f ti
Sve teorijske frekvencije moraju biti veće od 5! Ako nisu, spajaju se sa susednom!
Test prilagođenosti (aproksimacije) empirijskog
rasporeda teorijskom rasporedu
Broj stepeni slobode:•za normalni raspored r=m−3•za binomni i Puasonov raspored r=m−2.
Primer 244 (strana 651) – Hi kvadrat test – Test prilagođenosti normalnom rasporedu
Testiranje prilagođenosti nekom teorijskom rasporedu.
Str. 651;224;152
Test nezavisnosti obeležja
Testiranje modaliteta dva obeležja jednog osnovnog skupa iz kojeg se formira slučajan uzorak.
Formulišu se sledeće hipoteze:H0: Modaliteti obeležja su nezavisni.H1: Modaliteti obeležja su zavisni.
Broj stepeni slobode: r=(m−1) (k−1)m – broj redova; k – broj kolona u tabeli kontingencije
Str. 652;225;156
m
i
k
jijf
C
1
2
01
2
0
Vrednost koeficijenta u interalu 0≤C≤1
Primer 245 (strana 654)Hi kvadrat test – Test nezavisnosti obeležja
Koeficijent kontingencije:
SOT-079 K:4-18Hi kvadrat test nezavisnosti obeležja
Test homogenosti skupa
Proverava se razlika između više različitih skupova.
Formulišu se sledeće hipoteze:H0: Svi uzorci pripadaju istom osnovnom skupu.H1: Bar jedan uzorak ne pripada osnovnom skupu.
Primer 246 (strana 656)Hi kvadrat test – Test homogenosti skupa
Str. 656;228;153
SOT-028 K:4-17Hi kvadrat test homogenosti skupa
Test na osnovu homogenog niza
Ispituje da li dva nezavisna uzorka pripadaju istom osnovnom skupu.
Str. 658;230;
(Run-test, Wald-Wolfowitz, redosledni test)
Izračunava se
Tablična vrednost:
K0
K nn 21;;
Ako n1≤20 ili n2≤20:
Tablica: Granične vrednosti broja nizova za test homogenog niza K.
H0 se prihvata ako je:
H0 se odbacuje ako je:
(uzorci ne pripadaju istom osnovnom skupu)
(uzorci pripadaju istom osnovnom skupu)
KK nn 21;;0
KK nn 21;;0
Izračunava se vrednost:
Ako n1>20 i n2>20:
uu nn 21;H0 se prihvata ako je:
uu nn 21;
u nn 21;
H0 se odbacuje ako je:
(uzorci ne pripadaju istom osnovnom skupu)
(uzorci pripadaju istom osnovnom skupu)
SOT-089Test na osnovu homogenog niza, mali uzorci
SOT-Test na osnovu homogenog niza, veliki uzorci
Test na osnovu medijane
Kada se podaci iz dva uzorka ne mogu grupisati po parovima i kada uzorci nemaju isti broj jedinica (n1≠n2).
Primer 249 (strana 665)Test na osnovu medijane
Izračunava se vrednost: 2
0
2
;rTablična vrednost:
Str. 662;232;158
SOT-081 K:4-19Test na osnovu medijane
Prošireni test na osnovu medijane
Tri ili više nezavisnih promenljivih.
Primer 260 (strana 699)Prošireni test na osnovu medijane
Izračunava se vrednost: 2
0
2
;rTablična vrednost:
Str. 698;245;161
SOT-084 K:4-20Prošireni test na osnovu medijane
Test na osnovu sume rangova(Wilcoxon-ov T-test ili Mann-Whitney U-test)
Provera da li dva nezavisna uzorka pripadaju istom osnovnom skupu na osnovu toga što imaju istu medijanu.
Str. 667;235;164
Hipoteze se formulišu na jedan od sledećih načina:
1. Dvosmerni test: H0: Me1 = Me2, H1: Me1 ≠ Me 2.
WD≤WA≤WG.
2. Jednosmerni test: H0: Me1 ≤ Me 2, H1: Me1 > Me2.
WA≤WG.
3. Jednosmerni test: H0: Me1 ≥ Me 2, H1: Me1< Me2.
WD≤WA.
Za n1≤10 i n2≤10:
Uvek se uzima suma rangova manjeg uzorkaWA ili WB
Tablične vrednosti WD; WG
Normalizovana slučajna promenljiva u0.
Za n1>10 i n2>10:
Upoređuje se sa uα.
Napomena: U-test se ne radi!
Prvi način izrade:
Primer 251 (strana 676) – Test na osnovu sume rangova
Uz pomoć broja inverzija MW0
MW0 se upoređuje sa tabličnom vrednošću MW.
Drugi način izrade:
Siegel-Tukey-ev testStr. 679;238;
Kada se posmatraju dva nezavisna uzorka formirana iz dva osnovna skupa.
Testiranje značajnosti razlika u varijabilitetu obeležja.
Za dvosmerni test (H0:Me1=Me2) :
WD≤WA≤WG H0 se prihvata
WA≤WD ili WA>WGH0 se odbacuje
Ako je n1<10 ili n2<10:
Izračunava se WA i upoređuje sa WD i WG
(tablica: Donja i gornja kritična vrednost W testa sume rangova)
Za jednosmerni test:
H0:Me1≥Me2 (rizik greške α ide na levu stranu):
WA≥WD
WA<WD
H0 se prihvata
H0 se odbacuje
H0:Me1≤Me2 (rizik greške α ide na desnu stranu):
WA≤WG
WA>WG
H0 se prihvata
H0 se odbacuje
SOT-018 Siegel-Tukey-ev test
Ako je n1>10 i n2>10:
12
12
1
21
1
0
Nnn
NnW
uA
Izračunava se u0 i upoređuje sa tabličnom vrednošću uα (za jednosmerni ili dvosmerni test)
Ako ima zajedničkih rangova za elemente iz oba uzorka:
14
31
212
212121
10
NNSSnnNnn
NnWu
A
S1-zbir kvadrata rangova koji su stvorili zajedničke rangove
S2-zbir kvadrata zajedničkih rangova
SOT- Siegel-Tukey-ev test
Test na osnovu predznaka(Sign-test)
Analiza promena vrednosti obeležja na istim uzorcima u ponovljenim posmatranjima.
Nulta hipoteza može da se formuliše na jedan od sledećih načina: H0: S(+) = S(−)=0,5, 1. Dvosmerni test: H1: S(+) ≠ S(−), 2. Jednosmerni test: H1: S(+) ≤ S(−), 3. Jednosmerni test: H1: S(+) ≥ S(−),
Str. 683;240;165
Primer 254 (strana 686) – Test na osnovu predznaka
Primer 255 (strana 688) – Test na osnovu predznaka
Postoji više načina izračunavanja! Koristićemo sledeće:
S 2
Wilcoxon-ov test ranga sa znakom
1.Provera nulte hipoteze H0 o nepoznatoj vrednosti parametra osnovnog skupa na osnovu jednog uzorka.
Moguće je formulisanje hipoteza na sledeće načine:
1. Dvosmerni test: H0: Me = M e
0 , H1: Me ≠ M e
0 .
2. Jednosmerni test: H0: Me ≥ M e
0 , H1: Me< M e
0 .
3. Jednosmerni test: H0: Me ≤ M e
0 , H1: Me > M e
0 .
2.Testiranje razlike između dva osnovna skupa, gde je ta razlika jednaka određenoj vrednosti medijane.
Str. 692;243;166
Dvosmerni test:
M e0
M e0
H0 se prihvata pod uslovom:WD<W+<WG,
Jednosmerni test:
Ako je H0: Me≥
H0 se prihvata pod uslovom: WD<W+.
Ako je H0: Me ≤
H0 se prihvata pod uslovom: W+<WG.
Za n≥30:
Primer 257 (strana 695) – Wilcoxon-ov test ranga sa znakom
Primer 259 (strana 697) – Wilcoxon-ov test ranga sa znakom
Može se koristiti i standardizovana promenljiva u0.
Kruskal-Wallis-ov testStr. 701;248;
Neparametarska zamena za analizu varijanse jednog faktora varijabiliteta
Testira se sledeća hipoteza:
H0: Me1=Me2=...=Mek, k>2
H1: Bar dve medijane se razlikuju
Izračunava se statistika testa:
131
12
1
2
N
n
TNN
Hk
i i
ik
k – broj uzorakani – broj jedinica u i-tom uzorkuN – ukupan broj jedinica u svim uzorcimaTi – zbir rangova u i-tom uzorku
11
21
NN
Td
i
Ukoliko postoje zajednički rangovi:
12 ddT
d – broj podataka koji čine zajednički rang
Korektivni faktor:
Hk se deli sa korektivnim faktorom!
HH nnnk ;;; 321
Ako se testiraju samo tri uzorka i ni≤5, i=1,2,3:
Tablica: Kritične vrednosti H Kruskal-Wallis-ovog testa u slučaju 3 nezavisna uzorka
HH nnnk ;;; 321
H0 se prihvata
H0 se odbacuje
U ostalim slučajevima se koristi tablica χ2 rasporeda:
2
;rkH H0 se prihvata
H0 se odbacuje 2
;rkH
r=k−1
Obavezno nacrtati grafikon!
SOT-096 Kruskal-Wallis-ov test
Friedman-ov test
Više zavisnih uzoraka u cilju ispitivanja da li svi uzorci pripadaju istom osnovnom skupu.
Neparametarska varijanta analize varijanse sa dva faktora varijabiliteta.
Str. 705;250;168
Postavljanje hipoteza:
H0: Ne postoje statistički značajne razlike između redova (blokova, posmatranja);
H1: Postoje statistički značajne razlike između redova (blokova, posmatranja).
Rangiranje se vrši posebno za svaki red.
QF<Q(k;n;α), 2
;rFQ
.
Primer 263 (strana 706) – Friedman-ov test
H0 se prihvata pod uslovom:
ili
Fergusonov test monotonije trenda
Str. 709;251;
Postupak za testiranje postojanja trenda.
Koristi se ako su u pitanju zavisni uzroci.
Uvek je jednosmerni test.
SOT-101 Fergusonov test monotonije trenda
Kohranov test
Za više od dva zavisna uzorka, gde svaka jedinica u uzorku ima ili nema određenu karakteristiku.
Rk r2
;
Primer 266 (strana 714) – Kohranov test
H0 se prihvata pod uslovom:
Str. 713;254;169
Kolmogorov-Smirnov testStr. 715;256;
Koristi se za dve vrste problema:
1.za upoređivanje neprekidnog empirijskog sa neprekidnim teorijskim rasporedom,
2.za testiranje da li dva uzorka čiji je raspored nepoznat pripadaju istom osnovnom skupu
SOT-019 Kolmogorov-Smirnov test, empirijski i teorijski raspored
SOT- Kolmogorov-Smirnov test, dva uzorka