soyut(ayrık) matematik

7/30/2019 Soyut(Ayrk) Matematik

1/49

MAT223 AYRIK MATEMATKSaymann Temelleri

1. Blm

Do. Dr. Emrah Akyar

Anadolu niversitesiFen Fakltesi Matematik Blm, ESKEHR

20112012 Gz Dnemi


2/49

Saymann Temelleri Ayenin Doum Gn Partisi

Ayenin Doum Gn Partisi

Aye alt arkadan doum gn partisine davet eder:

Bora, Cenk, Derya, Ebru, Fahri ve Gazi

Soru

Hepsi birbirleriyle tokalatna gre toplam ka tokalama olmutur.

2/49 AYRIK MATEMATK 20112012 Gz Dnemi Anadolu niversitesi


3/49


Bora Ben 6 kii ile tokalatm. Aslnda her birimiz 6 kii iletokalat. Toplamda 7 kii olduumuza gre

7 6 = 42

tokalama olmutur.

Derya Bu say fazla gibi! Senin yaklamn kullanrsak 2 kiilik bir

grupta toplam 2 tokalama olurdu ki bu doru deil (2 kiiierisinde 1 tokalama olur).Her tokalama iki kez saylyor! Bu nedenle Borann bulduusay 2 ye blnmeli. Yani,

7 62

= 422

= 21

tokalama yapld.



4/49


Davetlilerin masada nereye oturacana dair bir anlamazlk kar (HerkesAyenin yanna oturmak istiyor). Bunun zerine,

Aye Her yarm saatte bir yerlerimizi deitirelim. Ta ki herkes heryere oturuncaya kadar.

Gazi bu senin doum gn partin olduuna gre sen hep bakede oturmalsn.

Soru

Bu durumda Ayenin yeri sabit kalmak artyla ka farkl oturu dzeni

mmkndr?


S T ll i A i D G P i i


5/49


Ayenin sana (ilk sandalyeye) 6 davetliden herhangi birisi oturabilir.imdi ikinci sandalyeyi dnelim:

1 Eer Bora ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetlidenherhangi biri oturabilir.2 Eer Cenk ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetliden

herhangi biri oturabilir....

6 Eer Gazi ilk sandalyede ise ikinci sandalyeye kalan 5 davetlidenherhangi biri oturabilir.

O halde ilk iki sandalye iin

5Bora

+ 5Cenk

+5 + 5 + 5 + 5Gazi

= 6 5 = 30

farkl durum sz konusudur.


S T ll i A i D G P ti i


6/49


imdi ilk iki sandalyede kim oturursa otursun 3. sandalye iin benzer ekilde4 farkl durumun sz konusu olduunu syleyebiliriz. Buradan ilk sandalye iin

6 5 4 = 120farkl durum ortaya kar.Bu ekilde devam edilecek olursa,

6 5 4 3 2 1 = 720farkl biimde oturulabilir.Her yarm saatte bir yer deitirseler bu 360 saat yani 15 gn eder.

Soru

Aye de herhangi bir yere oturabilseydi ka farkl oturma dzeni sz konusu

olurdu?

Ayenin oturduu sandalyeye partideki 7 kiiden herhangi birisi oturabilecei, onun yanndaki sandalyeye kalan 6

kiiden herhangi biri oturabilecei, . . . iin 7 6 5 4 3 2 1 = 5040.


S T ll i A i D G P ti i


7/49

Saymann Temelleri Aye nin Doum Gn Partisi

Dans zaman!

Soru

iftler bir kz ve bir erkekten olumak kaydyla ka farkl ift oluturulabilir?

3 kz (Aye, Derya, Ebru) ve 4 erkek (Bora, Cenk, Fahri, Gazi) olduunagre

3 4 = 12

farkl ift oluturulabilir.




8/49


Fahri Herkes parasn ortaya koysun ve saysal loto oynayalm.Uygun sayda kupon doldurursak hangi saylar ekilirseekilsin byk ikramiyeyi kazanabiliriz. (Baya uyankm!)

Saysal lotoda byk ikramiyenin kazanlabilmesi iin katlmclarn

1, 2, . . . , 49 saylar ierisinden belirlenecek olan 6 sayy bilmesi gerekir.

Soru

Byk ikramiyenin kazanlabilmesi iin ka farkl kolon oynamak gerekir?




9/49


Gazi Az nceki farkl oturu problemine benziyor:Aye bir say belirlesin ve kuponu Boraya versin. Bora da birsay belirleyip Cenke ve bu ekilde devam edelim. Bylece,Ayenin 49 seenei var. Aye hangi sayy seerse sesinBora kalan 48 saydan birini seebilir. Byle devam edersek,

49 48 47 46 45 44

farkl kolon oynamamz gerekir.

Aye Gazi yanlyorsun! Bu daha ok el skma problemine benziyor.




10/49


Aye Eer senin sylediin yntemi kullanrsak ayn kolonu birden

fazla kez oynayabiliriz. Mesela,Aye Bora . . .

7 23 . . .semi

olsun. Bir sonraki seferdeAye Bora . . .

23 7 . . .olmas

mmkn.

Cenk Peki 7, 23, 31, 34, 40 ve 48 saylarndan oluan kolon buyntemle ka kez elde edilir?Aye bu 6 saydan herhangi birisini iaretlediinde Bora kalan5 saydan herhangi birisini iaretleyebilir. Buna gre busaylardan oluan kolon bu yntemle

6 5 4 3 2 1

kez elde edilir.




11/49


O halde 49 48 47 46 45 44 kolon ierisindeki her bir kolon6 5 4 3 2 1 kez tekrar ettiinden

49 48 47 46 45 44

6 5 4 3 2 1

= 13983816

farkl kolon sz konusudur.

Bu kadar kolonu oynamaya ne para yeter ne de zaman!




12/49


Saysal lotodan vazgeip Aye, Bora, Cenk ve Derya bri oynamaya kararverirler.

Cenk Bana yine ayn el geldi!

Derya Bu ok zor bir ihtimal!Bri, bir deste (52 kart) kadn oyunculara 13 er 13 er datlmasylaoynanan bir oyun olduuna gre,

Soru

Brite ka farkl el sz konusudur?

Aye Loto probleminin bir benzeri: Cenkin kartlar birer bireraldn dnelim. lk kart destedeki 52 karttan herhangibirisi olabilir. lk kart ne olursa olsun ikinci kart kalan 51karttan biri olabilir. Byle devam edilecek olursa 13 kart iin

52 51 50 40

farkl durum sz konusudur.




13/49

y y

Derya Ancak bu durumda her el yine birden fazla kez saylm olur.Gerekten de Cenk elindeki katlar dizip katlar Ebruyagsterse Ebru katlarn hangi srada geldiini bilemez.Tahmin etmeye alsa ilk kart iin 13, ikinci kat iin 12, buekilde devam edilse Cenk bu katlar

13 12 11 3 2 1

farkl srada alm olabilir. Bu durumda briteki farkl el says

52 51 50 4013 12 11 3 2 1

= 635013559600

olur.Grdn gibi bu ihtimal gerekten ok az.




14/49

y y

Sonuta 6 davetli satran oynamaya karar verirler (Aye hakem olur).

Soru

Bu durumda birbirleriyle ka farkl ma yapabilirler?

A B C

80Z0Z0Z0Z7Z0Z0Z0Z060Z0Z0Z0Z5Z0Z0Z0Z040Z0Z0Z0Z3Z0Z0ZkZ020Z0ZqZ0Z1Z0Z0J0Z0a b c d e f g h

80Z0Z0Z0Z7Z0Z0Z0Z060Z0Z0Z0Z5Z0Z0Z0Z040Z0Z0Z0Z3Z0Z0ZkZ020Z0ZqZ0Z1Z0Z0J0Z0a b c d e f g h

80Z0Z0Z0Z7Z0Z0Z0Z060Z0Z0Z0Z5Z0Z0Z0Z040Z0Z0Z0Z3Z0Z0Z0Z020Z0Z0Z0Z1Z0ZQJ0S0a b c d e f g h




15/49

Bora Bu problem daha nce tarttmz oturma dzeni ile ilgiliprobleme benziyor. 6 kii 6 sandalyeye ka farkl ekildeoturabilir? Bu sorunun cevabnn da 720 olduunusylemitik.

Cenk Ancak ayn satran tahtas bandaki iki kiinin yerdeitirmesi bir eyi deitirmez. Bora nn syledii say dorudeil! Fazla!

Derya Hatta ayn iki kii A masasnda da oynasa, B masasnda daoynasa bir ey deimeyecektir.




16/49

Ebru O halde bu 3 masa 3 2 1 deiik ekildeyerletirilebileceinden ve masalardaki kiiler iki deiik ekildeoturabileceinden ayn iftler 2 2 2 = 8 farkl oturuekliyle masada ayn ma yapacaklar.

Fahri Dolaysyla ayn ma serisi iin 6 8 = 48 farkl yerleim

dzeni mmkndr. Bylece

6 5 4 3 2 1(2 2 2) (3 2 1)

=72048

= 15

farkl ekilde ma yapabilirler.


Saymann Temelleri Kmeler


17/49

Kmeler

TanmNesnelerin bir (iyi tanmlanm) topluluuna kme denir. Bir kmeyioluturan nesnelere ise bu kmenin elemanlar denir.

rnek

Bir iskambil destesinde bulunan kartlar.

Ayenin doum gn partisine katlanlar (Bu kmeyi P ile gsterelim).

6 saydan oluan saysal loto kolonlar.

R

, gerel saylar kmesi.Q

, rasyonel saylar kmesi.Z

, tam saylarkmesi. Z+, negatif olmayan tam saylar kmesi. N, pozitif tamsaylar (doal saylar) kmesi. , bo kme.




18/49

A bir kme ve b de bu kmenin bir eleman ise bu durum b A , elemandeil ise b / A eklinde gsterilir.

Bir A kmesinin eleman says |A| ile gsterilir (baz kaynaklarda n(A)gsterimi de kullanlmaktadr).

Buna gre |P| = 7, |Z| = ve || = 0 olur.

KmelerP = {Aye, Bora, Cenk, Derya, Ebru, Fahri, Gazi}

eklinde elemanlar (kme) parantez(i) ierisinde listelenerek ya da

P = {Aye ve misafirleri}

eklinde szle de tanmlanabilir.




19/49

Kmeler ounlukla daha geni bir kmenin baz zelliklerini salayanelemanlarnn topluluu olarak tanmlanr.

Bu durum yine kme parantezi ve : simgesi (bazen de | simgesi)yardmyla gsterilir.

{x Z : x 0} = Z+,

{x P : x erkek} = {Bora, Cenk, Fahri, Gazi} = E




20/49

Bir A kmesinin her eleman B kmesinin de elemanysa A kmesi Bkmesinin alt kmesidir denir (A kmesi B kmesinin tm elemanlarnbulundurabilecei gibi hi birisini de bulundurmayabilir).

A kmesi B kmesinin alt kmesi ise bu durumu A B eklindegstereceiz.

Yukarda tanmlanan kmelere gre,

E P, N Z+ Z Q R

olur.

A B gsterimiyle A kmesinin B kmesinin alt kmesi olduu ancak Bkmesinin tm elemanlarn bulundurmad ifade edilecektir.

Dolaysyla yukardaki say kmeleri iin kullanlan simgesi simgesiyle deitirilebilir.




21/49

Verilen iki kme yardmyla yeni kmeler tanmlayabiliriz:

ki kmenin arakesiti (kesiimi) her iki kmeye de ait olan elemanlarnkmesidir. A ve B kmelerinin arakesiti A B eklindegsterilir.D = {x P : x 21 yandan byk} = {Aye, Bora, Cenk}olsun. D E = {Bora, Cenk} olur.

Arakesiti bo kme olan kmelere ayrk kmeler denir.

ki kmenin birleimi ise elemanlar en az bu iki kmenin birinde olankmedir. A ve B kmelerinin birleimi A B eklinde gsterilir.

D E = {Aye, Bora, Cenk, Fahri, Gazi}

A ve B kmelerinin fark ise A kmesine ait olup B kmesine aitolmayan elemanlarn kmesidir.

D\E = {Aye}




22/49

A ve B kmelerinin simetrik fark ise yalnzca A ya da yalnzca Bkmesine ait olan elemanlarn kmesidir. A ve B kmelerinin simetrikfark AB ile gsterilir.

DE = {Aye, Fahri, Gazi}

Kmeler zerindeki kesiim, birleim ve fark ilemleri saylar zerindekitoplama, arpma ve karma ilemlerine benzer.

Saylar zerindeki bu ilemlere benzer olarak kmeler zerindeki ilemler debaz kurallara uymak zorundadr. rnein,

A (B C) = (A B) (A C) (1)

olur.



( ) l d l k l l f d k k fi b


23/49

(1) eitliinin doruluunu gstermek iin eitliin sol tarafndaki keyfi birelemann eitliin sa tarafndaki kmeye ait olduunu ve eitliin satarafndaki keyfi bir elemann da eitliin sol tarafndaki kmeye aitolduunun gsterilmesi gerekir.

x A (B C) ise x A ve x B C olur.x A ve x B veya x C olur.

x B ise x A B olur. O halde x (A B) (A C) dir.x C ise x A C olur. O halde x (A B) (A C) dir.

Benzer ekilde,

x (A B) (A C) ise x (A B) veya x (A C)

olur.x (A B) ise x A ve x B x A ve x B C x A (B C).x (A C) ise x A ve x C x A ve x B C x A (B C).




24/49

Bu yntem yerine Venn emalar da kullanlabilir.


Saymann Temelleri Alt Kmelerin Says

Alt Kmelerin Says


25/49

Alt Kmelerin Says

Soru

n elemanl bir kmenin alt kmelerinin says nedir?

Eleman says az olan kmeleri inceleyerek balayalm:Kme Alt kmeleri

{a} , {a}{a, b} , {a}, {b}, {a, b}{a, b, c} , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} {a, b, c}

Eleman Says 0 1 2 3 . . .

Alt kme says 1 2 4 8 . . .

Yukardaki tabloya bakarak n elemanl bir kmenin 2n tane alt kmesiolduu tahmin edilebilir.




26/49

Bu tahminin doru olduunu gstermek hi de zor deildir.a1, a2, . . . , an n elemanl bir A kmesinin elemanlar olsun. A kmesininkeyfi bir alt kmesi iin:

a1 bu alt kmeye ait olabilir veya olmayabilir. ki olaslk var.

a1 bu alt kmeye ait olsa da olmasa da a2 nin bu alt kmeye aitolmas iin yine iki olaslk sz konusudur.

O halde sadece a1 ve a2 nin bu alt kmeye ait olup olmamas iin2 2 = 4 farkl durum sz konusudur.

Benzer ekilde a3 n alt kmeye ait olup olmamas iin iki durum szkonusudur. Bu durumda a1, a2 ve a3 iin 4 2 = 8 durum sz konusuolur.

...

Bu ekilde devam edilecek olursa n elemanl bir kmenin tm altkmelerinin says 2n bulunur.




27/49

Teorem

n elemanl bir kmenin alt kmelerinin says 2n dir.

a S

b S b S

c S c S c S c S

{a,b,c} {a, b} {a, c} {a} {b, c} {b} {c}

E H

E H E H

E H E H E H E H

ekil: {a, b, c} kmesinin alt kmelerinin seimi iin karar aac



Alt kmeleri numaralandrmak


28/49

Alt kmeleri numaralandrmak

Soru

Verilen bir kmenin tm alt kmelerini 0, 1, 2, . . . eklinde nasl

numaralandrabiliriz?

1. Yntem ile balayp nce tek elemanl alt kmeleri sonra iki elemanlve bu ekilde devam etmek. rnein, A = {a, b, c} kmesininalt kmeleri

0. 1. 2. 3. 4. . . . {a} {b} {c} {a, b} . . .

eklinde numaralandrlabilir.2. Yntem Szlk sralamas. Kme parantezlerini ve virgl iaretlerini

kaldrarak0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. a ab abc ac b bc c

eklinde numaralandrlabilir.




29/49

Ancak her iki yntemde ilk bata sorulan soruya kolay bir cevap vermiyor.rnein, 10 elemanl bir kmenin 233. alt kmesini yazabilmek iin

yukardaki listelerin oluturulmas gerekir.

3. Yntem Bu yntemi A = {a, b, c} kmesi zerinde aklayalm:Eer bir eleman bahsedilen alt kmeye ait ise bu elemannpozisyonunu 1 alt kmeye ait deilse 0 ile gsterelim. rnein

{a, c} alt kmesi iin 101 gsterimini kullanalm.

Bylece A kmesinin her alt kmesi karakteruzunluundaki bir karakter dizisi (string) ile kodlanm olur.

Tersi de dorudur. Yani, her karakterlik 0 ve 1 den oluankarakter dizisine A kmesinin bir alt kmesi karlk gelir.




30/49

Onluk sistem kilik sistem karakterlik kod Alt kme0 0 000

1 1 001 {c}2 10 010 {b}3 11 011 {b, c}4 100 100 {a}5 101 101 {a, c}

6 110 110 {a, b}7 111 111 {a, b, c}

Artk 10 elemanl bir kmenin 233. alt kmesini hemen yazabiliriz.233 = (11101001)2 olduu hemen grlebilir. Kme 10 elemanl

olduundan karlk gelen kod 0011101001 olur. O halde 233. alt kme

{a3, a4, a5, a7, a10}

olur.




31/49

Yukardaki durumu genelletirebiliriz. n elemanl bir kmenin alt kmeleriniyukarda yaptmz gibi tam saylarla eletirelim.

0 = (0)2 1 = (1)2 {an}...x = (111 . . . 1

n tane)2 {a1, a2, . . . , an}

olsun. O halde

x = 20 + 21 + 22 + + 2n1 = 2n 1

bulunur.

Bylece toplam alt kme saysnn 2n olduunu bir baka ekilde dahakantlam olduk.


Saymann Temelleri Alt Kmelerin Yaklak Says

Alt Kmelerin Yaklak Says


32/49

y

Artk 100 elemanl bir kmenin alt kmelerinin saysnn 2100 olduunubiliyoruz. Bu olduka byk bir say ama ne kadar byk?

Soru

2100 saysnn ka basama vardr?

Bilgisayar ya da hesap makinesi kullanmadan bu sorunun yantn verebilirmiyiz?




33/49

23 = 8 < 10

2333 < 10

33

2100 < 2 1033

O halde 2100 en fazla 34 basamakldr.

Dier taraftan,210 = 1024 > 1000 = 103

21010

>

10310

2100 > 1030

yani 2100 en az 31 basamakldr.

Bu bize yaklak bir tahmin verebilir. Ancak, biraz hesapla tam basamaksaysn bulabiliriz.



k 1 k


34/49

Eer bir say k basamakl ise bu say 10k1 says ile 10k says arasndadr(10k1 e eit olabilir ama 10k dan kesin kk olur).2100 saysnn k basamakl olduunu kabul edelim. Bu durumda

10k1 2100 < 10k

eitsizliini salayan k saysn bulmalyz. 10 tabannda logaritma alrsak,

(k

1) log 10 100log2

soyut(ayrık) matematik

Documents