SPECTRE DU CORPS NOIRLa luminance spectrale du corps noir est décrite par la loi de PLANCKbâtie sur des considérations thermodynamiques statistiques.

λLd

d2 h⋅ C2

⋅ λ5−

⋅

e

h C⋅

λ k⋅ T⋅ 1−

:=λ

Ldd

en w/m-3/stéradian

L est la luminance de la source en w/m-2/stéradian

h constante de PLANCK définie ci-dessous

k constante de BOLTZMANN définie ci-dessous

C vitesse de la lumière

T température absolue en degrés KELVIN du corps noir

λ longueur d'onde de la lumière.

La luminance spectrale du corps noir dépend de la longueur d' onde etde la température.Il est commode de représenter la loi de PLANCKsous forme d'un réseau de courbes

Deux approches de cette loi avaient été développées historiquementavant PLANCK.

1 )Pour les courtes longueurs d'onde: λT petit devant hC/kil est possible d'admettre l'approximation

e

hC

λkT 1− e

hC

λkT:=e

hC

λkT 1−

alors :

λLd

d2 h⋅ C2

⋅ λ5−

⋅ e

hC−

λkT:=

λLd

d

Il s'agit de la relation de WIEN,valable pour λT inférieur à 5000µm°K.

2 )Pour les grandes longueurs d'onde: λT grand devant hC/k

le terme exponentiel devient faible,il est possible d'effectuer ledéveloppement en série

e

hC

λkT 1−hC

λkT:=e

hC

λkT 1−

alors :

λLd

d2 C⋅ k⋅ T⋅ λ

4−⋅:=

λLd

d

Il s'agit de la relation de RAYLEIGH-JEANS valable pour λT supérieur 100000 µm °K mais en profond désaccord dans le domaine ultraviolet,pour laquelle la luminance spectrale tendrait vers l'infini.

Le maximum de la loi de PLANCK est obtenu par dérivation:

λM TM⋅ 0.002898:=λM TM⋅ m°K

λMLM

dd

4.096 10 6−⋅ TM( )5

⋅:=λM

w

m3

La loi de STEPHAN-BOLTZMANN est obtenue par intégrationde la loi de PLANCK λ variant de 0 à l'infini,pour une température T

Lσ T4

⋅

π:=

σσ

2π5 k4

15 C2⋅ h3

⋅:=

k

Après cette introduction sur le corps noir de PLANCK ,on va définir une nouvellecourbe spectrale du corps noir:

On définit les variables suivantes:

t temps:= temps s

x élongation:= élongation m

m masse du− photon−:= masse kg

ω0 pulsation optique− maximum−:= pulsation s 1−

G 6.67428 10 11−⋅:= kg 1− m 3−

⋅ s2⋅

ω pulsation variable−:= pulsation s 1−

wΦ puissance optique−:= puissance

h 6.62606896 10 34−⋅:= Js

k 1.3806504 10 23−⋅:= J°K 1−

msC 299792458:=

Soit l 'équation differentielle du deuxième ordre avec second membre:

m 2txd

d

2⋅

m π⋅ ω0⋅

2 txd

d⋅+ m ω0( )2

⋅ x⋅+ m C⋅ ω0⋅:=m 2txd

d

2⋅

m π⋅ ω0⋅

2 txd

d⋅+ m ω0( )2

⋅ x⋅+

On cherche la solution forçée

ω2

− ω0( )2+ i

π ω⋅ ω0⋅

2⋅+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

x⋅ C ω0⋅:=ω2

− ω0( )2+ i

π ω⋅ ω0⋅

2⋅+

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

x⋅

On a alors pour l 'impédance x:

xC ω0⋅

ω2

ω0( )2−⎡

⎣⎤⎦

2 π ω⋅ ω0⋅

2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

+

:=ω

On calcule la dérivée de la puissance par rapport à ω:

ωΦ

dd

m x2⋅ ω

2⋅:=

ωΦ

dd

m x2⋅ ω

2⋅

m C2⋅ ω

2⋅ ω0( )2⋅

ω2

ω0( )2−⎡

⎣⎤⎦

2 π ω⋅ ω0⋅

2

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

+

:=m x2⋅ ω

2⋅

ωΦ

dd

m C2⋅

ω

ω0

ω0

ω−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2π

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+

:=ω

Φdd

ωΦ

dd

Φ0

ω0

ω0

ω

ω

ω0−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2π

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅

:=ω

Φdd

On intègre par rapport à ω

ω0z:=

ω

ω0

0

∞

z1

z1z

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2π

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+

⌠⎮⎮⎮⎮⌡

d 10E-001=

On a de plus les relations suivantes pour un photon:

Φ0 m C2⋅ ω0⋅:= m

Φ0 h ν0⋅ ω0⋅:= ω

Φ0 k T0⋅ ω0⋅:= ω

Φ0 R λ0( )2⋅:= λ

Φ0 π L0⋅ λ0( )2⋅:= λ

R2π k4

⋅ T0( )4⋅

h3 C2⋅

:=T

R2π m⋅ C3

⋅

λ3

:=m

d 'ou la nouvelle constante de Stephan

σ2π k4

⋅

h3 C2⋅

:=

w

m2°K 4−

σ 8.731835E-009=

T 6000:= °K Température du soleil

o( ).5

180:= demi angle sous lequel est vu le soleil

R σ T4⋅ o( )2⋅ 8.731835E+001=:= Nouvelle constante solaire en w/m2

Pour le corps humain la température est de 300 °K et la surface 2 m2:

σ 300( )4⋅ 2⋅ 1.414557E+002= w

La puissance rayonnée par le corps humain est de 140 w:

log luminance spectrique relative

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0-4 -2 0 2 4

log longueur d'onde relative

log

lum

inan

ce s

pect

rique

rela

tive

log luminance spectriquerelative

y log1

x1x

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2π

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

:=

xen fonction de logx.

(1/((x-1/x)*(x-1/x)+3,1416*3,1416/4))

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 2 4 6 8 10 12

x

z1

x1x

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2π

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+

:=

x

en fonction de x longueur d' onde relative

La constante de STEPHAN officielle est:

w

m2°K 4−2 π

5⋅ k4

⋅

15 h3⋅ C2

⋅5.6704E-008=

On a donc un coéfficient entre les deux valeurs de stephan égal à:

π4

156.493939E+000=

En fait , on a la relation de la luminance suivante que nous développerons

2 k4⋅ T4

⋅

h3 C2⋅

2 m⋅ C3⋅

λ3

:=2 k4

⋅ T4⋅

h3 C2⋅

w

m2 str⋅

équation que l 'on peut écrire différemment

m C2⋅

h3 C3⋅

λ3

⋅ k4 T4⋅:=m C2

⋅h3 C3

⋅

λ3

⋅ énergie( )4

On a la décomposition suivante:

h C⋅

λm C2

⋅:=h C⋅

λm λ⋅

hC

2.210219E-042=:=m λ⋅ kg m⋅

hCλ

⋅ k T⋅:=hCλ

⋅ λ T⋅h C⋅

k1.438775E-002=:=λ T⋅ m oK⋅

m C2⋅ k T⋅:=m C2⋅

mT

k

C21.536181E-040=:=

mT

kg oK 1−⋅

Définitions des grandeurs de planck

lplG h⋅

C34.051344E-035=:= m

mplh C⋅

G5.45552E-008=:= kg

tplG h⋅

C51.351383E-043=:= s

Définition du facteur d 'échelle astronomique.

On définit les grandeurs suivantes:

λe 2.426310217 10 12−⋅:= m longueur d 'onde de l ' électron

a 137.0359997:= constante de structure fine

λnλea

1.770564E-014=:= m longueur d 'onde de NAMBU.

On définit ce rapport astronomique à priori que l 'on justifira à postériori.

Kλnlpl

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

38.347137E+061=:=

me 9.1093821 10( ) 31−⋅:= kg masse de l 'électron

mn me a⋅ 1.248313E-028=:= kg masse de NAMBU

Kmplmn

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

38.347138E+061=:=

On calcule le diamètre de l 'univers observable:

Φu K lpl⋅ 3.381713E+027=:= m

Φu3600 24⋅ 365.25⋅ C⋅

3.574473E+011= années lumière

On calcule la masse de l 'univers observable:

Mu K mpl⋅ 4.553797E+054=:= kg

On calcule la radiance de l 'univers:

R2π Mu⋅ C3

⋅

Φu3( )1.993451E-002=:=

w

m2

On calcule la température extra galactique:

ΘR h3

⋅ C2⋅

2π k4⋅

2.282969E+006=:= (degrés K)^4

T Θ.25 3.887094E+001=:= °K

On calcule la longueur d 'onde correspondante:

λgh C⋅

k T⋅3.701416E-004=:= m

Cette longueur d 'onde est une bonne candidate pour celle du graviton.

La masse du graviton est:

mgh

λg C⋅5.971279E-039=:= kg

Identités remarquables.

e 1.602176487 10 19−⋅:= C

εo1

C2 4⋅ π 10 7−⋅

8.854188E-012=:=

mplmn

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2K

2

3⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ 1.909963E+041=:=

mplmn

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

mplmn

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

21.909963E+041=

e2 a⋅

G mn2⋅ 2⋅ εo⋅

1.909963E+041=

Mumn

1.909963E+041=

Φuλn

1.909963E+041=

Φu λn⋅

lpl1.909963E+041=

λnlpl

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

21.909963E+041=

Autres identités:

Φulpl

8.347138E+061=

Mumpl

8.347138E+061=

λglpl

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

28.347138E+061=

mplmg

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

28.347138E+061=

mplmn

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

38.347138E+061=

λnlpl

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

38.347137E+061=

e2 a⋅

G mg2⋅ 2⋅ εo⋅

8.347138E+061=

K 8.347138E+061=

Equation de la relativité générale:

Rαβ

1 R⋅ Gαβ

⋅

2− Λ G

αβ⋅+ T

αβ−:=R

αβ

1 R⋅ Gαβ

⋅

2− Λ G

αβ⋅+

On prends comme définition que:

E2 P2 C2⋅:=E2

hν

Cmv:=

hν

C

hλ

p:=hλ

Tαβ

0:=αβ

car Tαβ

4− π2 1

λ2

1

λ2

−⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

:=αβDonc

Dans le plan des omégas on a deux relations:

ΩM ΩΛ

+ 1:=ΩM ΩΛ

+ pour un un univers dominé par la matière et euclidien.

ΩM 2 ΩΛ

⋅:=Mpour un univers stationnaire.

ΩM23

:=M

ΩΛ

13

:=Λ

R2

Λ− 0⋅=Λ

G Mu⋅2

Φu3 3⋅⋅

1

3 Φu2⋅

C2⋅+ 7.859013E-039=

C2

Φu27.859013E-039=

23 2⋅

G

Φu3Mu

1 C2⋅

3 Φu2⋅

− 0:=2

3 2⋅

G

Φu3Mu

1 C2⋅

3 Φu2⋅

−

Mu

Φu31.177507E-028=

kg

m3

ΦuC

1.128018E+019= s

ΦuC 3600⋅ 24⋅ 365.25⋅

3.574473E+011= années lumières

Compte tenu de ce qui vient d'ètre démontré il ne reste dansl'équation de la relativité que le terme:

Gαβ Rαβ

0⋅=αβ

Dans l'espace de Lorentz on a la relation:

ΔΦ

1 2tΦ

d

d

2

C2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

0⋅=

Φ

ou Φ est la radiance.

On va rechercher une solution du type: Φ Ψ e1iφ⋅:= Ψ

et Ψ L y z, ( ) Ω x t, ( )⋅:= L

L y z, ( ) luminance de la source

Ω x t, ( ) angle solide sous lequel est vue la pupille à partir de la source.

En reportant la solution Φ dans le d'Alembertien on obtient les équationssuivantes dues à la partie réelle et à la partie imaginaire:

ΔΨ

1 2tΨ

d

d

2

C2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

Ψ gradφ( )21

tφ

dd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

C2−

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

− 0:=ΔΨ

1 2tΨ

d

d

2

C2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

Ψ gradφ( )21

tφ

dd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

C2−

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

−

Ψ Δφ

1 2tφ

d

d

2

C2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

21

tΨ

dd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ t

φdd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

C2gradΨ gradφ⋅−

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⋅+ 0:=Ψ Δφ

1 2tφ

d

d

2

C2−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎠

21

tΨ

dd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ t

φdd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

C2gradΨ gradφ⋅−

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⋅+

On choisit : φ ωt εkr−:= ωt φ 2π νt 2πεrλ

−:= νt ε ±1⋅=ε

tφ

dd

ω⋅=φ gradφ εk−:= εkω

2

C2k2

:=ω

2

C2Δφ

1 2tφ

d

d

2

C2− 0:=Δφ

1 2tφ

d

d

2

C2−

Il reste donc les deux équations:

ΔΨ

1 2tΨ

d

d

2

C2− 0:=ΔΨ

1 2tΨ

d

d

2

C2− et t

Ψdd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ t

φdd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

C2gradΨ gradφ⋅− 0:=

tΨ

dd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠ t

φdd

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

⋅

C2gradΨ gradφ⋅−

La vitesse de groupe a pour expression Ug C2 kω

⋅:=ω

Upω

k:=

ω

La vitesse de phase a pour expression

Donc : Ug Up⋅ C2:=Ug Up⋅

On décompose le d'Alembertien de Ψ en deux et on recherche unesolution impulsionelle.

L y z, ( ) 2 h⋅C2 e

π− y2⋅

λo( )2

e

π− z2⋅

λo( )2

⋅

λo( )4⋅:=

λ

en w

m2stéradian

Le d'Alembertien de L(y,z)Ω(x,t) se décompose en deux équations

ΔL y z, ( ) 0:= et ΔΩ x t, ( )

1 2tΩ x t, ( )d

d

2

C2− 0:=ΔΩ x t, ( )

1 2tΩ x t, ( )d

d

2

C2−

L 'intensité impulsionelle est donnée par l'expression:

I y z, ( )

2 h⋅ C2⋅

∞−

∞

ye

π− y2⋅

λo( )2

⌠⎮⎮⎮⎮⌡

d⋅∞−

∞

ze

π−z2

λo( )2⋅

⌠⎮⎮⎮⎮⌡

d⋅

λo( )4:=

λ

I y z, ( )2h C2

⋅

λo( )2:=

λ

en w/stéradian

Si on fait intervenir l'angle solide ,la puissance est

Ψ y z, x, t, ( )2 h⋅ C2

⋅ Ω⋅

λo( )2:=

Ω

Pour une surface S et un demi cone θ d'émission la puissance Ψ est:

Ψ 2π h⋅ C2⋅

S sin θ( )2⋅

λo( )2⋅:=

θw

La puissance cohérente est alors:

Ψc 2π h⋅ ν2

⋅:= ν et le nombre de canaux d'information:

N Ssin θ( )2

λo( )2⋅:=

θ

Pour le rayonnement extragalactique:

λg 3.701416E-004= m sin θ( ) 1⋅=θ

R 2π hC2

λg( )4⋅ 1.993451E-002=:=

w

m2

Et Ψ R Φu2⋅ 2.279707E+053=:= w

Ψ 2π C5

⋅

G2.279707E+053=:= w

E Mu C2⋅ 4.092749E+071=:= J

T 2π E⋅

Ψ1.128018E+019=:= s

TΦuC

1.128018E+019=:= s

ΦuC 3600⋅ 24⋅ 365.25⋅

3.574473E+011= années lumière

Pourquoi le fonds extragalactique est noir?

D'après le formalisme de Hamilton-Jacobi on a les relations:

v go t⋅:= tx1 go⋅ t2⋅

2:=

t

Au bord de l'univers x=Φu/2 et v=C.

On en déduit que goC2

Φu:=o

C2

Φu2.657692E-011=

m

s2

txd

d

2 go⋅ t⋅

2v⋅=:=

g

On a donc la courbe:

PENTE=vitesse de la lumière

0

2E+26

4E+26

6E+26

8E+26

1E+27

1,2E+27

1,4E+27

1,6E+27

1,8E+27

0 5E+18 1E+19 1,5E+19

temps en secondes

dist

ance

s en

met

res

Série1

Donc pour un photon emis à la vitesse de la lumière au bord de l'universobservable,il arrive avec une vitesse nulle chez nous.Il a donc perdu toute son énergie.Ceci justifie la distance observable et le temps observable.

Diamètre de l'univers observable Φu 3.381713E+027= m

Temps de propagation depuis le bords de l'univers observable:

ΦuC

1.128018E+019= s

Autre solution si on tient compte de la phase:

I y z, ( )

2 h⋅ C2⋅

∞−

∞

ye

π− y2⋅

λo( )2

e2i−

π yPy

h⋅

⌠⎮⎮⎮⎮⌡

d⋅∞−

∞

ze

π−z2

λo( )2⋅

e2i−

π zPz

h⋅

⌠⎮⎮⎮⎮⌡

d⋅

λo( )4:=

λ

I y z, ( )2hC2 e

π− Py( )2 Pz( )2+⎡⎣ ⎤⎦λ0( )2

h( )2

λ0( )2:=

hC

Pour l'angle solide élémemtaire:

dΩ x t, ( ) π sin θ( )2⋅∞−

∞

x Ct−

λo

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

eπ−

x ct−

λ0

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2

e

2i x Ct−( )−

h

⌠⎮⎮⎮⌡

d⋅:=x Ct−

λo

Pour un angle solide fini:

Ω x t, ( ) π sin θ( )2⋅ e

π− Px( )2⎡⎣ ⎤⎦ λo( )2⋅

h2⋅:= θ

Ψ LSΩ:= LSΩ

Ψ I y z, ( ) Ω x t, ( )⋅:= I

Ψ π 2h νo( )2⋅ e

π− P2⋅ λo( )2⋅

h2sin θ( )2⋅:= ν

L 'énergie est alors:

E h νo⋅ sin θ( )2⋅ e

π− P2λo( )2⋅

h2:= ν

Equation de la polarisation:

On part de l'équation:

L y z, ( ) 2 h⋅C2 e

π− y2⋅

λy( )2

e

π− z2⋅

λz( )2

⋅

λo( )4⋅:=

λ

et on calcule le Laplacien de L qui doit être nul par définition:

yLd

d2

h C2⋅ 2− π

y

λy( )2⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

e

π− y2⋅

λy( )2

⋅ e

π− z2

λz( )2

⋅

λo( )4⋅:=

yLd

d

2yLd

d

2

2− h⋅ C2⋅ e

π− y2⋅

λy( )2

e

π− z2

λz( )2

⋅

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦⋅ 2

π

λy 24

π2 y2

⋅

λy( )4−

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

λo( )4:=2y

Ld

d

2

On doit avoir :

ΔL 0:=

1

λy( )2

1

λz( )2+ 2π

z2

λz( )4

y2

λy( )4+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

:=1

λy( )2

1

λz( )2+

On retombe sur l'équation de la polarisation:

y2

Ay( )2z2

Az( )2+ 1:=

y2

Ay( )2z2

Az( )2+

Rayonnement extragalactique.

Les mesures extragalactiques rapportées par ELBAZ sont visualiséesci-dessous:

On constate que conformement à notre théorie sur le corps noir les pentesà gauche et à droite sont respectivement égales à 2 et -2 en loglog.

λLd

d2 h⋅ C2

⋅1

λ

λM

λM

λ−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

2π

2⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

2+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

λM( )5⋅

⋅:=λ

Ldd

De plus les maxima sont décalés suivant la loi:

λM λO 1 z+( ):= z avec λO 0.0000745:=O m

On en déduit la température: Température0.0028980.0000745

3.889933E+001=:=

Suivant notre nouvelle loi sur le corps noir:

Longueurgraviton0.014388

Température3.698778E-004=:= m

"E:\isophot(50%).jpg"

Massegravitonh

C Longueurgraviton⋅5.975537E-039=:= kg

Vérification du facteur d'échelle:

KLongueurgraviton

lpl⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

28.335245E+061=:=

Longueurgravitonλg

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

29.985753E-001=

On est limité par la précision du graphique,mais on vérifie très bien le facteurd'échelle tel que nous l'avons défini.

Le diamètre de l'univers observable est:

Φ K lpl⋅ 3.376895E+027=:=

ΦuΦ

1.001427E+000=

Φ

3600 24⋅ 365.25⋅ C⋅3.56938E+011=

Rayon temporel de l'univers observable =357milliards d'années lumière

La valeur communément admise pour le rayon temporel est:

Φa2 h2

⋅

G 2π( )2⋅ 150me( )31.306283E+026=:= m

ΦaC 3600⋅ 24⋅ 365.25⋅

1.380742E+010=

13.8 milliards d'années lumière

densitéuniversMu

Φu31.177507E-028=:=

kg

m3

densitégravitonmg

λg31.177507E-028=:=

kg

m3

Dans la courbe ci-dessous on a reporté les lambdamax des courbes spectrales de ELBAZ en fonction de λo(1+z) avec λo=0,0000745m.

LAMBDAMAX

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025

LAMBDAMAX

LAM

BD

AO

(1+z

)

Série1

Les courbes spectrales sont modélisables suivant la formule ci-dessous:

λLd

d2 h⋅

C2

λo 1 z+( )⋅

λ

λ

λo 1 z+( )−

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

2π

2

4+

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

λo 1 z+( )⎡⎣ ⎤⎦5

⋅

⋅:=λ

Ldd

Ceci est une généralisation de la loi de PLANCK.

L 2 m⋅C3

λo 1 z+( )⎡⎣ ⎤⎦3

⋅:= m

L2 k4

⋅ T4⋅

h3 C2⋅

:=

L2 h⋅ C2

⋅

λo 1 z+( )⎡⎣ ⎤⎦4

:=λ

Pour les courtes longueurs d'onde,on a suivant notre méthode

λLd

d2 h⋅ C2

⋅ λ2

⋅

λo 1 z+( )⎡⎣ ⎤⎦7

:=λ

Ldd

Pour les grandes longueurs d'onde,on a suivant notre méthode

λLd

d2 h⋅ C2

⋅

λ2

λo 1 z+( )⎡⎣ ⎤⎦3

⋅:=

λLd

d

Pour les courtes longueurs d'onde,on a suivant la méthode de PLANCK

λLd

d2 h⋅ C2

⋅ e

hC−

λkT

λ5

:=λ

Ldd

Pour les grandes longueurs d'onde,on a suivant la méthode de PLANCK

λLd

d2 C⋅ k⋅ T⋅

λ4

:=λ

Ldd