spin: conceitos e aplicações
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Seminário sobre conceitos e aplicações do estado da matéria: Spin. Seminário apresentado na disciplina de Física Moderna II ministrada para o curso de Física Médico da USP campus de Ribeirão Preto.TRANSCRIPT
Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach
Aplicacoes
SPIN: Conceito e Aplicacoes
Antonio Carlos da Silva Senra Filho
FFCLRP - USP Ribeirao Preto
8 de maio de 2011
Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes
Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach
Aplicacoes
1 Conceito de SPINAvaliacao historicaDefinicoes da grandeza
2 Experimento Stern-GerlachApareto e teoriaImpacto
3 AplicacoesComputacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear
Antonio Carlos da Silva Senra Filho SPIN: Conceito e Aplicacoes
Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Na mecanica quantica e fısica de partıculas , spin e umacaracterıstica fundamental da propriedade partıculaselementaresTodas as partıculas elementares de uma dada especie tem umdado spin, numero quantico. Quando combinado com oteorema spin-estatıstica , o spin de eletrons resulta doprincıpio de exclusao de Pauli.Spin e mais um grau de liberdade de um sistema quantico.
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Wolfgang Pauli foi o primeiro a propor o conceito de spin,mas ele nao revelou o nome dele. Em 1925, Ralph Kronig ,George Uhlenbeck e Samuel Goudsmit sugeriu umainterpretacao fısica de partıculas girando em torno de seuproprio eixo. A teoria matematica foi trabalhado emprofundidade por Pauli em 1927. Quando Paul Dirac naorigem do seu mecanica quantica relativıstica em 1928, o spindo eletron era uma parte essencial dela.
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Spin e um tipo de momento angular.Esta definicao moderna do momento angular e nao o mesmoque o historico mecanica classica, por definicao:
L = r × p (1)
Escrito como um multiplo da constante reduzida de Planck }Em unidades naturais , o } e omitido, assim as unidades despin estao implıcitas. (spin 1/2, 3/2, 2, . . .)
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Como o nome sugere, spin foi originalmente concebido como arotacao de uma partıcula em torno de algum eixo.Por outro lado, tem algumas propriedades peculiares que osdistinguem dos momentos angulares:
numeros quanticos spin podem assumir valoressemi-inteiros ou inteiros (quantizacao);
Embora a direcao de sua rotacao pode ser alterado, umapartıcula elementar nao pode girar mais rapido ou maislento.
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Estudos teoricos e experimentais tem mostrado que o spinpossuıdo por tais partıculas (elementares) nao pode serexplicado pela premissa de que elas sao constituıdas depequenas partıculas que ainda giram em torno de um centrode massa comum (veja raio classico do eletron).O spin de uma partıcula elementar e uma propriedade fısicaintrınseca, na verdade, parecido com a partıcula de cargaeletrica e massa de repouso .[4]
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Numero quantico spin s e s = n / 2, onde n pode ser qualquernumero nao negativo inteiro.O valor de s para uma partıcula elementar depende apenas dotipo de partıcula, e nao pode ser alterado.S de qualquer sistema fısico e quantizada,
S = }√
s(s + 1) (2)
Sz = mz} (3)
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
O spin de uma partıcula tem consequencias cruciais para suaspropriedades na mecanica estatıstica . Partıculas com spinmeio inteiro obedecem a estatıstica de Fermi-Dirac, e saoconhecidos como fermions.Toda a materia conhecida e basicamente composta departıculas elementares chamadas fermions , e todos osfermions elementares que s = 1 / 2 . Exemplos de fermionssao os eletrons e positrons.[1]
ns =1
e(ε−εF )/kT + 1(4)
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Eles sao obrigados a ocupar os estados quanticosantisimetrico. Esta propriedade proıbe fermions a certosestados quanticos - uma restricao conhecida como o princıpiode exclusao de Pauli [1]
ψA =1
2
[ψα(1)ψα(2)− ψα(2)ψα(1)
](5)
ψt = ψe .ψspin = ψn,l ,ml .ϕ±1/2 (6)
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
O momento magnetico intrınseco µ de uma partıculaelementar com carga q , massa m e momento angular de spinS , e
µ = gq
2mS (7)
onde a quantidade adimensional g e chamado de fator-g.
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Na mecanica classica, o momento angular de uma partıculapossui nao so uma magnitude (o quao rapido o corpo esta emrotacao), mas tambem uma direcao (para cima ou para baixono eixo de rotacao da partıcula). Spin mecanico tambemcontem informacoes sobre a direcao, mas de uma forma maissutil
sz = −s,−s + 1, . . . , s − 1, s (8)
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Interacao Spin-OrbitaDuplica o numero de eletrons por orbita (princıpio deexclusao).O campo magnetico interno e consequencia do momentoangular orbital do eletron. Trata-se de uma interacao fracaque da origem a estrutura fina dos estados excitados
∆E = −µSB (9)
∆E =1
2
gSµb
}S.B, µS =
gSµb
}S (10)
∆E =1
2m2c2
1
r
dV (r)
drS.L (11)
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Momento Angular TotalSe nao existisse interacao spin-orbita, os momentos angularesorbital e de spin, L e S de um eletron atomico seriamindependentes um do outro e entao obedeceriamindependentemente a lei de conservacao de momento angularda mecanica quantica. Estaria no espaco livre -movimentariam de forma aleatoria.
J = L + S
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Para um dado estado quantico , pode-se pensar em um vetorde spin 〈S〉 as componentes sao valores esperados ao longo decada eixo de rotacao, ou seja
〈S〉 =[〈sx〉, 〈sy〉, 〈sz〉
](12)
Este vetor, entao descreveria a ”direcao” em que o spin estaapontando, o que corresponde ao conceito classico do eixo derotacaoOperadores na mecanica quantica
Sx =}2σx , Sy =
}2σy , Sz =
}2σz (13)
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Matrizes de Pauli (spin 1/2)[2]
σx =(0 1
1 0
), σy =
(0 −ii 0
), σz =
(1 00 −1
)(14)
Como um conceito qualitativo, o vetor de spin efrequentemente util porque e facil para a imagem classica. Porexemplo, a mecanica quantica de spin podem apresentarfenomenos analogos aos classicos efeitos giroscopico. [4]
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Avaliacao historicaDefinicoes da grandeza
Para os autovetores de Sx , Sy e Su denotamosrespectivamente, por |±〉x , |±〉y e |±〉u, na base de Sz com osautovetores |±〉
|±〉x =1√2
[|+〉 ± |−〉
](15)
|±〉y =1√2
[|+〉 ± i .|−〉
](16)
|+〉u = cosθ
2e−iϕ/2|+〉+ sin
θ
2e iϕ/2|−〉 (17)
|−〉u = − sinθ
2e−iϕ/2|+〉+ cos
θ
2e iϕ/2|−〉 (18)
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Conceito de SPINExperimento Stern-Gerlach
Aplicacoes
Apareto e teoriaImpacto
O experimento de Stern-Gerlach, nomeado em homenagem aOtto Stern e Walther Gerlach, e um experimento que foirealizado em 1922 que mostra a deflexao de partıculaselementares, frequentemente usado para ilustrar princıpiosbasicos da mecanica quanticaPlanejaram um experimento para determinar se partıculas temalgum momento angular intrınseco
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Apareto e teoriaImpacto
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Apareto e teoriaImpacto
O experimento procurou determinar se partıculas individuaiscomo eletrons tem algum momento angular de spin.O experimento de Stern-Gerlach pode ser conduzido usandopartıculas neutras e a mesma conclusao e obtida, uma vez quefoi designado para testar momento angular, e nao fenomenoseletrostaticos.
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Apareto e teoriaImpacto
∆E = −µsB = −µsz B (19)
∆E = gsµbmsB (20)
∆E = ±gsµbB/2 (21)
Fz = −∂Bz
∂zµbgsms (22)
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Apareto e teoriaImpacto
Se a partıcula viaja atraves de um campo nao homogeneo,entao a forca em um dipolo sera ligeiramente maior que aforca oposta no outro extremo.O ato de observacao na mecanica quantica e equivalente amedicao.Nosso dispositivo de observacao e um detector e neste casonos podemos observar um dos dois valores possıveis,spin-upou spin-downEles sao descritos pelo numero j, e a medicao corresponde aooperador Jz . Em termos matematicos [1, 2]
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Apareto e teoriaImpacto
|ψ〉 = c1|ψj=+ }2〉+ c2|ψj=− }
2〉 (23)
As constantes c1 e c2 sao numeros complexos. A raiz quadradade seus valores absolutos determina a probabilidade do estado|ψ〉 ser encontrado com um dos dois valores possıveis para j.
〈ψ|ψ〉 = 1 (24)
Probabilidade de encontrar a partıcula em cada estado e 0,5
c1 =1√2
c2 =1√2
(25)
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Apareto e teoriaImpacto
A experiencia de Stern-Gerlach teve um dos maiores impactosna fısica moderna:
usando tecnicas similares, o nucleo de alguns atomos temtambem o momentum angular quantizado. Isto e, ainteracao com o spin do eletron que e responsavel pelaestrutura hiperfina das linhas espectroscopicas.
A observacao direta do spin e a prova mais direta daquantizacao na mecanica quantica.
Artigo cientıfico: Improving students’ understanding ofquantum mechanics via the Stern-Gerlach experiment:Guangtian Zhu, Chandralekha Singh
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Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear
Um computador quantico e um dispositivo que executacalculos fazendo uso direto de propriedades da mecanicaquantica.Uma partıcula pode estar em dois ou mais estados ao mesmotempo. Uma famosa metafora denominada o gato deSchrodingerUm qubit pode conter um ”1”, um ”0” ou uma sobreposicaodestesArmazena informacao binaria a partir de estados de spin.
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Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear
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Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear
Sinal de ressonancia magnetica nuclear:
s ∝ ω0
∫d3re−t/T
∗2 (−→r )M⊥(−→r , 0)B⊥(−→r ) sin(ω0t +θB−φ0(−→r ))
(26)Leva magnetizacao de uma amostra (M⊥(−→r , t)) sobre umcampo B0 externo invariante no tempo.Os spins da amostra tendem a se alinhar com o campo nosnıveis de energia gerados pelo efeito Zeeman. Direcaoparalela e antiparalela.
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Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear
Condicoes basicas para MRI: [3]
Existencia de nucleos com spin nuclear (S 6= 0). Porexemplo: 1−3H , 7Li , 13C , 31P , . . .
Interacao com campos magneticos:Estacionario (B0) De radiofrequencia (B1)
Condicao de ressonancia de B1 (ω1 ≈ ω0 = γB0) Relacaode Larmor
M⊥(−→r , 0) =ρ0γ
2}2
4kTB0 M⊥ =
1
V
V∑µ γ =
q
2m(27)
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Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear
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Computacao QuanticaImagens por Ressonancia Magnetica Nuclear
Eisberg, R.; Resnick, R. ”Fısica Quantica - Atomos,Moleculas, Solidos, Nucleos e Partıculas”, 24a tiragem, ed.CAMPUS, Cap. 8, 9.
Cohen-Tannoudji, C.; Diu B.; Laloe F. ”QuantumMechanics”. vol. 1, ed. Wiley-VCH.
Haacke E. M.; Brown R. W.; Thompson M. R. ”MagneticResonance Imaging - Physical Principles and SequenceDesign”, ed. Wiley-LISS. Cap. 1, 7
en.wikipedia.org/wiki/Spin%28physics%29pt.wikipedia.org/wiki/Computadorqu%C 3%A2nticopt.wikipedia.org/wiki/ExperimentodeStern − Gerlachen.wikipedia.org/wiki/Magneticresonanceimaging
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Obrigado!
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