Mtodos Numricos M. Audelo1 Interpolacin de Splines1.1 Funcin splineConsiste en una funcin formada por varios polinomios, cada uno sobre un intervalo que se unen obedeciendo ciertascondiciones de continuidad.Supongamos que tenemo : + 1 puntos r0, r1, r2, ..., rn (r0 < r1 < r2 < ... < rn), para 10. Una funcin splinede grado 1 es una funcin o que satisface:1. En cada intervalo [ri1, ri) o es un polinomio de grado menor o igual a 12. o tiene una derivada de orden 1 1 continua en [r0, rn]Ejemplo 1 Spline de grado 0o(r) =8>>>>>>>>>>>:o0(r) = C0[r0, r1)o1(r) = C1[r1, r2)......on1(r) = Cn1[rn1, rn)1 2 3 4 5 6-2-1012345Ejemplo 2 Spline de grado 1o(r) =8>>>>>>>>>>>:o0(r) = a0r + /0[r0, r1)o1(r) = a1r + /1[r1, r2)......on1(r) = an1r + /n1[rn1, rn)1Mtodos Numricos M. Audelo1 2 3 4 5 6-2-1012345El spline de grado 3 o ms concocido como spline cbico es el ms utilizado (1 = 3), debido a que proporciona unexcelente ajuste a los puntos tabulados y su clculo no es excesivamente complejo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-10121.2 Spline cbicoSi [a, /] se divide en : intervalos r0 = a, r1, r2, ..., rn = /, o(r) se dice spline cbico en el intervalo [a, /] si satisfacelas siguientes propiedades:1. rirri+1i = 0, 1, 2, ..., : 1 o(r) = oi(r) = cir3+ ,ir2+ ir + ci2. o(ri) = )(ri)3. oi+1(ri+1) = oi(ri+1) i = 0, 1, 2, ..., : 24. o0i+1(ri+1) = o0i(ri+1)5. o00i+1(ri+1) = o00i (ri+1)6. o00(a) = o00(/) = 0 Trazador Natural; o0(a) = )0(a) y o0(/) = )0(/) Trazador Sujeto2Mtodos Numricos M. AudeloUna forma alternativa de hallar estos coecientes es suponer de partida que el polinomio cbico oi(r) en el intervalo[ri, ri+1] tiene la forma:oi(r) = ai + /i(r ri) + ci(r ri)2+ di(r ri)3De la propiedad 1: o(ri) = )(ri)oi(ri) = ai + /i(riri) + ci(riri)2+ di(riri)3= )(ri)ai= )(ri)Denamos /i = ri+1riDe la propiedad 3oi+1(ri+1) = oi(ri+1)oi+1(ri+1) = ai+1 + /i+1(ri+1ri+1) + ci+1(ri+1ri+1)2+ di+1(ri+1ri+1)3oi(ri+1) = ai + /i(ri+1ri) + ci(ri+1ri)2+ di(ri+1ri)3= ai + /i/i + ci/2i + di/3iai+1 = ai + /i/i + ci/2i + di/3ii = 0, 1, ..., : 2 (1)Como o0i(r) = dS(x)dx= /i + 2ci(r ri) + 3di(r ri)2, utilizando la propiedad 4o0i+1(ri+1) = o0i(ri+1)o0i+1(ri+1) = /i+1 + 2ci+1(ri+1ri+1) + 3di+1(ri+1ri+1)2o0i(ri+1) = /i + 2ci(ri+1ri) + 3di(ri+1ri)2= /i + 2ci/i + 3di/2i/i+1 = /i + 2ci/i + 3di/2ii = 0, 1, ..., : 2 (2)Como o00i (r) = d2S(x)dx2= 2ci + 6di(r ri), utilizando la propiedad 5o00i+1(ri+1) = o00i (ri+1)o00i+1(ri+1) = 2ci+1 + 6di+1(ri+1ri+1)o00i (ri+1) = 2ci + 6di(ri+1ri) = 2ci + 6di/i2ci+1 = 2ci + 6di/ici+1 = ci + 3di/ii = 0, 1, ..., : 2di = ci+1ci3/i(3)Si reemplazamos la ec. 3 en la ec. 1ai+1= ai + /i/i + ci/2i + ci+1ci3/i/3iai+1= ai + /i/i + ci/2i + ci+1ci3/2iai+1= ai + /i/i + ci/2i + 13ci+1/2i 13ci/2i3Mtodos Numricos M. Audeloai+1 = ai + /i/i + 13(2ci + ci+1)/2i(4)Si reemplazamos la ec. 3 en la ec. 2./i+1= /i + 2ci/i + 3di/2i/i+1= /i + 2ci/i + 3ci+1ci3/i/2i/i+1= /i + 2ci/i + (ci+1ci)/i/i+1= /i + 2ci/i + ci+1/ici/i/i+1= /i + ci/i + ci+1/i/i+1 = /i + (ci + ci+1)/i(5)De la ec. 4 despejando /i tenemos:/i = ai+1ai/i

13(2ci + ci+1)/i(6)Disminuimos en la ec. 6 el indice en una unidad/i1 = aiai1/i1

13(2ci1 + ci)/i1(7)Disminuimos en la ec. 5 el indice en una unidad/i = /i1 + (ci1 + ci)/i1(8)Reemplazamos las ec. 6 y 7 en la ec. 8ai+1ai/i

13(2ci + ci+1)/i = aiai1/i1

13(2ci1 + ci)/i1 + (ci1 + ci)/i13(ai+1ai)/i(2ci + ci+1)/i = 3(aiai1)/i1(2ci1 + ci)/i1 + 3(ci1 + ci)/i13(ai+1ai)/i

3(aiai1)/i1= (2ci + ci+1)/i(2ci1 + ci)/i1 + 3(ci1 + ci)/i13(ai+1ai)/i

3(aiai1)/i1= 2ci/i + ci+1/i2ci1/i1ci/i1 + 3ci1/i1 + 3ci/i13(ai+1ai)/i

3(aiai1)/i1= ci1/i1 + 2(/i1 + /i)ci + ci+1/ii = 1, 2, ..., : 1Que representa un conjunto de : 1 ecuaciones:3(a2a1)h1

3(a1a0)h0= c0/0 + 2(/0 + /1)c1 + c2/13(a3a2)h2

3(a2a1)h1= c1/1 + 2(/1 + /2)c2 + c3/23(a4a3)h3

3(a3a2)h2= c2/2 + 2(/2 + /3)c3 + c4/3...3(anan1)hn1

3(an1an2)hn2= cn2/n2 + 2(/n2 + /n1)cn1 + cn/n1Este sistema de ecuaciones no puede ser resuelto, tenemos : 1 ecuaciones y : + 1 incognitas c0, c1, c2, ..., cn.Si consideramos un trazador sujeto:o00(r0) = o00(rn) = 0o000 (r0) = 2c0 + 6d0(r0r0) = 2c0 = 0 =)c0 = 04Mtodos Numricos M. Audeloo00n(rn) = 2cn + 6d0(rnrn) = 2cn = 0 =)cn = 0Con lo cual, el sistema anterior se transforma en un sistema de : + 1 ecuaciones con : + 1 incognitas0 = c03(a2a1)h1

3(a1a0)h0= c0/0 + 2(/0 + /1)c1 + c2/13(a3a2)h2

3(a2a1)h1= c1/1 + 2(/1 + /2)c2 + c3/23(a4a3)h3

3(a3a2)h2= c2/2 + 2(/2 + /3)c3 + c4/3...3(anan1)hn1

3(an1an2)hn2= cn2/n2 + 2(/n2 + /n1)cn1 + cn/n10 = cnQue puede ser representado matricialmente:2666666666641 0 0 0 . . . 0/02(/0 + /1) /10 . . . 00 /12(/1 + /2) /20 . . 00 0 /22(/2 + /3) /30 . .. . 0 . . . .. . . . . . .. . . /n22(/n2 + /n1) /n10 0 0 . . . 0 1377777777775266666666664c0c1c2c3...cn377777777775=2666666666666403(a2a1)h1

3(a1a0)h03(a3a2)h2

3(a2a1)h13(a4a3)h3

3(a3a2)h2..3(anan1)hn1

3(an1an2)hn2037777777777775Una vez resuelto el sistema y determinado los coecientes c0, c1, c2, ..., cn, utilizamos las ec. 3 para determinar di yla ec. 6 para hallar /i conjuntamente con ai = )(ri).Por lo tanto el spline cbico quedara determinado como:o(r) =8>>>>>>>>>>>>>>>:o0(r) = a0 + /0(r r0) + c0(r r0)2+ d0(r r0)3[r0, r1)o1(r) = a1 + /1(r r1) + c1(r r1)2+ d1(r r1)3[r1, r2)o2(r) = a2 + /2(r r2) + c2(r r2)2+ d2(r r2)3[r2, r3)......on1(r) = an1 + /n1(r rn1) + cn1(r rn1)2+ dn1(r rn1)3[rn1, rn)Ejemplo 3 Construya el trazador cbico libre de los siguientes datosrij = )(ri)0.5 0.02475000.25 0.33493750 1.1010000El spline cbico estar determinado como:o(r) = o0(r) = a0 + /0(r r0) + c0(r r0)2+ d0(r r0)3[0.5, 0.25)o1(r) = a1 + /1(r r1) + c1(r r1)2+ d1(r r1)3[0.25, 0)Determinamos la diferencia entre dos puntos consecutivos, donde se denira cada polinomio cbico/i = ri+1ri/0 = r1r0 = 0.25 (0.5) = 0.25/1 = r2r1 = 0 (0.25) = 0.25Los valores del los coecientes ai son:ai = )(ri)a0 = )(r0) = 0.0247500a1 = )(r1) = 0.3349375a2 = )(r2) = 1.1010000c0 = 0c2 = 05Mtodos Numricos M. Audelopara i = 13hi(ai+1ai) 3hi1(aiai1)3h1(a2a1) 3h0(a1ao) =30:25(1.1010000 0.3349375) 30:25(0.3349375 + 0.0247500) = 4. 876 5241 0 0/02(/0 + /1) /10 0 13524 c0c1c235 =2403h1(a2a1) 3h0(a1ao)035241 0 00.25 1 0.250 0 13524 c0c1c235 =2404. 876 5035La matriz aumentada del sistema241 0 0 00.25 1 0.25 4.87650 0 1 035Se transforma en una matriz triangular inferior por eliminacin Gaussiana:24 1.0 0 0 00 1.0 0.25 4. 876 50 0 1.0 035cuya solucin es:c0 = 0c1 = 4. 876 5c2 = 0por tanto con di = ci+1ci3hid0 = 6.502d1 = 6.502y con /i = ai+1aihi

13(2ci + ci+1)/i/0 = 1.03238/1 = 2.2515Por tanto, las ecuaciones son:o0(r) = 0.0247500 + 1.03238(r + 0.5) + 6.502(r + 0.5)3= 6. 502r3+ 9. 753r2+ 5. 908 88r + 1. 304 19o1(r) = 0.3349375 + 2.2515(r + 0.25) + 4. 876 5(r + 0.25)26.502(r + 0.25)3= 6. 502r3+ 3. 470 625r + 1. 101o(r) = 6. 502r3+ 9. 753r2+ 5. 908 88r + 1. 304 190.5r0.256. 502r3+ 3. 470 625r + 1. 101 0.25r0-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1-0.20.20.40.60.81.01.2xy6Mtodos Numricos M. AudeloEjemplo 4 La temperatura media en un recinto vara con respecto al tiempo, un grupo de termocuplas sensa latemperatura en diferentes puntos del recinto, las cuales a travs de una tarjeta de adquisicin de datos enva losvalores hacia un computador la cual calcula la media en cada instante de tiempo que se registra, entregando lasiguiente informacin:i 0 1 2 3ti( min) 10 25 38 59Ti = )(ti)(

C) 14 10 21 15Haciendo uso de un spline cbico natural, calcule lo siguiente:1. Determine el spline indicando sus resultados parciales.2. La temperatura a los 20 minutos.3. La razn de cambio (

C, min) a los 45 min.El spline cbico estar determinado como:o(t) =8