9/30/20091

SPREZANJE BETON - BETON

Spregnute konstrukcije

9/30/20092

POGLAVLJE I - KRATAK PRIKAZ DOSADAŠNJIH RADOVA

NA PROBLEMU PUZANJA BETONA

1.1 Dischinger–ov izraz

n

S

Edd

E1

dd

ϕε

−σ

+ϕσ

⋅=ϕε

pri čemu oznake imaju slijedeće značenje: ε - ukupna veličina deformacije

ϕ - koeficijent tečenjaεs - koeficijent skupljanjaϕn - granična vrijednost koeficijenata tečenja u trenutku t = tn

Nedostatak ove teorije je što ne opisuje realno deformacije u periodu rasterećenja; naime ovim izrazom se ne registriraju reverzibilne (zaostale elastične) deformacije.

σ

σµM

HM EM

NM

9/30/20093

1.2 Poboljšani Dischinger–ov izraz

U smislu poboljšanja Dischinger-ovog izraza (teorija starenja betona) predloženo je korištenje Maxwell-Kelvin-ovog modela, gdje Kelvin-ovelement daje deformacije zaostalog puzanja i povratnog puzanja.

σ

σ

Eb0

µM

Poboljšana teorija starenja bolje opisuje ponašanje betona. Međutim u praksi se, eksperimentalno pokazalo da poboljšana teorija starenja nije u stanju opisati relaksaciju napona pod konstantnim deformacijama.

1.3 Nasljedna teorija starenja Maslov - Arutjunjan

Po ovoj teoriji funkcija specifičnog tečenja uzima se u obliku:

( ) ( ) ( )[ ]τ−γ−−⋅τϕ=τ te1,tC

gdje je funkcija koja uzima u obzir starenje betona( )τϕ

9/30/20094

σ

σ

EH

EK µK

Iako nasljedna teorija starenja znatno uspješnije opisuje vremenske deformacije betona od prethodnih teorija, ona nije našla širu primjenu u teoriji konstrukcija. Razlog je što se zadatak određivanja stanja napona i deformacija i za statički određene sisteme svodi na rješavanje integralnih, odnosno diferencijalnih jednačina sa promjenljivim koeficijentima.

1.4 Rješenje Dischinger-ove diferencijalne jednačine prema

autorima Rusch i Jungwirth

Rusch i Jungwirth su dali rješenje Dischinger-ove diferencijalne jednačineza lokalno sprezanje dva elementa: elastičnog i elementa sklonog puzanju (betonski luk sa čeličnom zategom ili prednaprezanje bez kontakta) i kontinuirano sprezanje (armirani beton, prednaprezanje sa kontaktom, spregnuti nosač).

9/30/20095

Z = 1S

ybz

( )α−⋅⋅ε⋅+σ⋅+σ=σ 1ECC at,ss0,addt,akt,a

Izraz (1-3) daje relativno jednostavno rješenje za naprezanje u elementima armiranog betona usljed uticaja vremenskih deformacija. Međutim, ovim postupkom nisu obuhvaćene promjene dugotrajnog opterećenja, različite starosti betona ili eventualne promjene na sistemu usljed puzanja i skupljanja. U tom slučaju rješenje je jedino moguće primjenom difereničnih postupaka.

1.5 Prijedlog Trost-a

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ] t,s0tt0b

t11E1t ε+ϕ⋅ρ+⋅σ−σ+ϕ+⋅σ⋅=ε

Ovaj postupak ima prednost jer se preko koeficijenta ρ u proračun mogu unijeti teoretske postavke, te dobiti tačnije vrijednosti koje odgovaraju stvarnosti.

9/30/20096

1.6 Prijedlozi raznih autora- Prijedlog prof.ĐurićaProf. Đurić je uveo algebarsku vezu umjesto integralne veze između napona i deformacija.

s0

dE1

Eε+ϕ⋅σ⋅+

σ=ε ∫

ϕ

ϕ⋅σ+σ

=ϕ⋅σ∫ϕ

2d 0

0

s0 E221

E1

ε+⋅ϕ

⋅σ+σ⋅

ϕ

+⋅=ε

- Izraz po Ulickom

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )τε+

⋅τσ−σ

+τϕ+⋅⋅

σ−τσ=ε ,t

tE2t,t1

E2tt s

0

Nedostatak ovog prijedloga je isti kao i kod teorije starenja -ne opisuje reverzibilne (viskoelastične) deformacije.

9/30/20097

- Prijedlog prof.Ivkovićaσ

Eb0

σ

µ10

µ1i

E10

E1i

1

i

( ) ( ) ( )( )

τ⋅

⋅

µ⋅τσ+

σ=ε ∫ ∑

τ =

τ−∗µ

−

∗ dke1kEktkt

kt

1k

k

0i

kkti1

t1E

i10b

Dijagram koeficijenta tečenja urađen prema ovom prijedlogu je u saglasnosti sa dijagramom predloženim CEB preporukama.

- Trost – Bažant-ov modul

( )( ) ( )00

0TB ,t,t1

EE

τΦ⋅τχ+τ

=

Ovaj postupak se pokazao dosta tačan za istorije deformacija afine funkciji puzanja , dok u slučaju ostalih tipova deformacija može poslužiti samo za preliminarnu ocjenu.

9/30/20098

POGLAVLJE II – LINEARNE ALGEBARSKE VEZE TEORIJE

PUZANJA OČVRSLOG BETONA

Svojstva očvrslog betona su u opštem slučaju funkcija izvanredno velikog broja različitih uticajnih faktora:-karakteristika primjenjenih komponenata agregata, cementa, vode i aditiva, -kvantitativnih odnosa ovih materijala u masi svježeg betona,-tehnoloških faktora,-postupaka izrade konkretnog betonskog elementa,-uslova eksploatacije,-dimenzija konstruktivnog elementaNajveći broj svojstava betona zavisi od ostvarene strukture betona.

Reološka svojstva betona načelno bi uvijek trebalo posmatrati u funkciji svojstava strukture, vremena, termohigrometrijskih i drugih parametara vezanih kako za sam materijal, tako i za okolinu i sredinu.

Beton je po reološkim svojstvima viskozan elastičan materijal.

9/30/20099

Jednačine ravnoteže i jednačine kompatibilnosti su osnovni principi mehanike i vrijede za sve materijale.

Karakteristična svojstva pojedinih materijala su određena jednačinama konstitucije, koje predstavljaju odnos između napona i deformacije.

De( ) =ε t ( )

σ

=τ

τ=τt

t

0

Vrijednost deformacije u vremenu t zavisi od svih vrijednosti naprezanjaza , koje varira između 0 i t.

ε ( )τστ τ

Ako je materijal linearno elastičan, prethodni izraz se može pojednostaviti

( ) ( )tDt σ=ε

Međutim, viskoelastičan materijal karakterizira deformacioni proces koji ovisi o cijeloj istoriji naprezanja i njegova konstitutivna relacija mora imati oblik funkcionala.

9/30/200910

ε(t)

τ

τ

τ1τ0 t

τ0 τ1 t

σ(t)

ε0

σ0

Deformacija viskoelastičnog tijela pod konstantnim naprezanjem

Ponašanje materijala se definiše kao linearno ako za istoriju naprezanja:

( ) ( ) ( ) ( )t,;t 021 τ∈ττσ+τσ=σodgovara istorija deformacije:

( ) ( ) ( ) ( )t,;t 021 τ∈ττε+τε=ε

Ovo se ujedno naziva princip superpozicije i koristi se u svim pretpostavkama do sada datih linearnih teorija puzanja betona.

9/30/200911

Granica naprezanja do koje beton ima linearno ponašanje je:

CC f4,0 ⋅≤σ

Za linearno područje može se pisati:

( ) ( )τσ=ε ,tDt 0

gdje je specifična funkcija puzanja, definirana kao odgovor u trenutku t na jedinstven korak naprezanja primijenjen u trenutku t.

( )τ,tD

Starenje betona

Poređenje funkcija D(t,τ) materijala koji stari i materijala koji ne stari

9/30/200912

Reološki modeli

Riesz teorema (istorija deformacija viskoelastičnog tijela u linearnom području) :

( ) ( )( ) ( ) ( )∫

τ

ττστ+σ

=εt

0

d,tdtEtt

Da bi se objasnilo ponašanje betona, kao viskoelastičnog materijala, pod djelovanjem opterećenja, koriste se saznanja reologije, kao dijela fizike, koji se bavi izučavanjem deformacija tijela usljed definiranih sila.

η1E1

E2

En

η2

ηn

E1

η1

E2

η2

En

ηn

a) b)

Standardni model za čvrsto tijeloReološki modeli

9/30/200913

Primjena Kelvin – ovog modela za opis preraspodjele naprezanja između starog i novog betona - autorski rad

NOVI BETON

STARIBETON

)t()t()t( E

ε+ε⋅η

=η

σ&

diferencijalna jednačina prvog reda tipa: + p(t) y = r(t)y&

Uz početni uslov da je y(t0) = y0, rješenje jednačine je: y(t) =∫

+∫∫ −−

∫

t

t

t

t

t

t

pdtt

t

pdpd

eydree 0

0

000)( ττ

ττ

Iz uslova kompatibilnosti dobije se jednačina: ∫τ−

η−

τση

+σ

=τσ

⋅µ

−t

t

)t(E

b0

0b

bn

b

b 0

bn

dte)(1)t(E)t(

E)(1

Nakon provedenih matematičkih transformacija dobije se rješenje za određivanje naprezanja u novom betonu usljed vremenski ovisnih deformacija :

( ) ( )( )t0t

bnE

eb0bb et

−−τµ⋅µ−⋅σ=τσ

9/30/200914

POGLAVLJE III – DEFINICIJA PROBLEMA PRERASPODJELE

NAPREZANJA U BETONSKIM PRESJECIMAPrimjeri kompozitnih presjeka

OO

mont.prednapregnutinosac (MPN)

mont. oplata

beton "in situ"

beton "in situ"

beton "in situ" beton "in situ" beton "in situ"

mont.prednapregnutinosac (MPN)

mont.prednapregnutinosac (MPN)mont.prednapregnuti

nosac (MPN)

mont.prednapregnutinosac (MPN)

9/30/200915

Mehanizam peraspodjele naprezanja i presječnih sila unutar armiranobetonskih i prednapregnutih konstruktivnih elemenata

P P

-P

Pbe

ton

Pfe

der

max

.Pbe

ton

Radni dijagram betona i opruge

t

t

σ

σp

εa,εb

tt0

t0

BETON

CELIK∆εt

Dijagram deformacije betona i čelika pod konstantnim naprezanjem

9/30/200916

Ako se zanemari relaksacija čelika (armatura), može se smatrati da je čelik idealno elastičan materijal. Pod konstantnim dugotrajnim opterećenjem deformacija je konstantna.

dε = dσ/E ; σ = const. ⇒ dσ = 0 ⇒ dε = 0

U vremenskom intervalu dt dolazi do razlike u veličini deformacije u betonu i čeliku. Razlika je posljedica vremenski ovisnih deformacija betona (puzanje i skupljanje).

Iz uslova kompatibilnosti jasno je da će se naprezanje dσ, koje nastaje kao posljedica vremenski ovisnih deformacija betona, pojaviti u armaturi. Pošto moraju uvijek biti zadovoljeni uslovi ravnoteže, a ne dolazi do promjene vanjskog opterećenja, ovaj prirast naprezanja dσ u armaturi, ujedno je pad naprezanja u betonu – PRERASPODJELA NAPREZANJA.

dσp = 0 ⇒ dσa + dσb = 0

Na analogan način se može objasniti preraspodjela naprezanja između dva viskozno-elastična materijala različitih karakteristika.

9/30/200917

2

1 2

1ε

tt0 t1 tDijagram deformacije betona pod konstantnim naprezanjem

Zbog različitog prirasta deformacija dε dolazi do preraspodjele naprezanja dσ između betona 1 i betona 2.

1

2

ARMATURA

dio beton-betondio armatura-beton

εa,εb

∆ε

tt1 ttt0 *

9/30/200918

Metode rješavanja preraspodjele naprezanja u kompozitnim presjecima (teorija k – elemenata)

Ukupni moment i normalna sila u proizvoljnom poprečnom presjeku:

∫∫ ⋅⋅σ=⋅σ=F

0F

0 dFyMdFN

Dijagram naprezanja pojedinih dijelova kompozitnog presjeka

E1

ε1

E2

E3

ε0

εu

ε2

σ10

σ1u

σ20

σ30

σ2u

σ1u

9/30/200919

Ako se promatra jedan dio poprečnog presjeka «k», onda su presječne sile:

∫

∫

⋅⋅σ=

⋅σ=

k

k

F0k

F0k

dFyM

dFNFK

σk0

σku

Prilikom proračuna presječnih sila pojedinih dijelova, mora se zadovoljitisljedeće:

1. Suma svih presječnih sila pojedinih dijelova poprečnog presjeka jednaka je presječnoj sili ukupnog poprečnog presjeka,

2. Deformacije pojedinih dijlova usljed vanjskih presječnih sila su kompatibilne i odgovaraju deformaciji ukupnog presjeka

Moraju biti zadovoljeni uslovi ravnoteže i uslovi kompatibilnosti.

9/30/200920

Preraspodjela presječnih sila

Osnovni razlozi koji dovode do preraspodjele presječnih sila su vremenski ovisne deformacije betona (skupljanje i puzanje).

Matematička funkcija puzanja, koja dosta dobro aproksimira rezultate eksperimenata, može se uzeti:

( ) ( )ct

el

p ebat −⋅=ϕ=ε

ε

Iz rubnih uslova: za t = 0; ϕ(t) = 0za t = ∞ ; ϕ(t) = ϕ∞

ϕ(t) = ϕ∞ (1-ect)

Veličina «c» u eksponentu funkcije se dobijaeksperimentalno (test puzanja).

9/30/200921

Vremenski ovisne deformacije dovode u vremenu dt do promjene konstantnih vrijednosti presječnih sila Nbo + Nbt, Mbo + Mbt, Nao + Nat.

U pojedinim dijelovima poprečnog presjeka javljaju se sljedeće deformacije dt:

BETON (materijal koji puže)

CENTRIČNO OPTEREĆEN POPREČNI PRESJEK

ϕ⋅ϕε

−ϕ⋅⋅+

+⋅

=ε∞

ddFENN

AEdN

d S

bb

bt0b

bbt

t,bb

EKSCENTRIČNO OPTEREĆEN POPREČNI PRESJEK

ϕ⋅⋅

++

⋅+ϕ⋅

ϕε

−ϕ⋅⋅+

+⋅ ∞

dIEMM

IEdM

ddFENN

FEdN

bb

bt0b

bb

t,bS

bb

bt0b

bbt

t,b

ARMATURA, ČELIK ZA PREDNAPREZANJE, ČELIČNI NOSAČ (materijal koji ne puže)

deformacija armature

deformacija čeličnih nosača

aa

t,ael,a FE

dNd

⋅=ε

ČNČN

t,ČN

ČNČN

t,ČNČN IE

dMFE

dNd

⋅+

⋅=ε

9/30/200922

Proračun preraspodjele poprečnih sila se radi u sljedećim koracima:1. Određivanje presječnih sila pojedinih dijelova poprečnog presjeka u

trenutku “t”,2. Ispisivanje promjene deformacije pojedinih dijelova poprečnog

presjeka za interval vremena dt3. Postavka uslova ravnoteže za presječne sile pojedinih dijelova u

trenutku t i t+dt,4. Postavka uslova kompatibilnosti deformacija u intervalu vremena dt,5. Zamjena presječnih sila Nbt, Mbt, Nat,… i uvođenje njihovih

diferencijala dNbt, dMbt, dNat iz uslova ravnoteže u uslove kompatibilnosti,

6. Uz pomoć funkcija puzanja dobijanje sistema diferencijalnih jednačina za proračun presječnih sila ovisnih o vremenu.

Rješenje problema preraspodjele presječnih sila, u matematičkom smislu, svodi se na rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina.

U nastavku su postavljeni sistemi lineranih diferencijalnih jednačina za primjere iz prakse: - sanirani armiranobetonski stub, - spregnuta prednapregnuta greda, - ojačana armiranobetonska greda, - polumontažna stropna konstrukcija, - spregnuti poprečni presjek beton+čelik.

9/30/200923

Rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina za sanirani armiranobetonski stub – autorski rad

bsbn

asan

Nas = X - sila u staroj armaturiNan = Y - sila u novoj armaturiNbs = Z - sila u starom betonuNbn = W - sila u novom betonu

Uslov ravnoteže: 0dWdZdYdX =+++

Uslovi kompatibilnosti:ananasas FE

dYFE

dX⋅

=⋅

sss

sbsbs

0

bsbsasas

ddFEZZ

FEdZ

FEdX

ϕ⋅ϕε

−ϕ⋅⋅+

+⋅

=⋅ ∞

nsn

nbnbn

0

bnbnasas

ddFEWW

FEdW

FEdX

ϕ⋅ϕε

−ϕ⋅⋅+

+⋅

=⋅ ∞

9/30/200924

Dobije se sistem diferencijalnih nehomogenih jednačina, koje imaju homogeno i partikularno rješenje. Detalji rješenja sistema dati su u magistarskom radu.

Rješenje sistema jednačina su funkcije promjene presječnih sila u starom i novom betonu, te staroj i novoj armaturi.

3pq

pH DqreXXX ++=+=

ϕ⋅−

( ) 23

spq

DDqre1qY +

++⋅−=

ϕ⋅−

))me(YXD(21W 1 +−−−= ϕ−

))me(YXD(21Z 1 +−−+= ϕ−

Konstante D1, D2 i D3 su integracione konstante. Odabir matematičkog oblika integracionih konstanti uslovljava ponašanje funkcija X, Y, Z i W.

9/30/200925

Osim tačnog rješenja sistema linearnih diferencijalnih jednačina, postoje približni postupci od kojih se izdvajaju: rješenje pomoću približne funkcije toka vremenski ovisnih presječnih sila i diferenična metoda.

Rješenje pomoću približne funkcije toka vremenski ovisnih presječnih sila

Pretpostavljena funkcija promjene presječne sile u betonu

9/30/200926

Diferenična metoda

Dijagram promjene presječne sile u betonu u ovisnosti od koeficijenta puzanja

Poboljšanje diferenične metode može se dobiti korekcijom λ .

9/30/200927

Iz prethodno izložene definicije problema može se konstatovati slijedeće:1. Tačno rješenje problema preraspodjele naprezanja u

kompozitnim presjecima, koji se nalaze u naponskom stanju I, je rješenje sistema linearnih diferencijalnih jednačina, koje se dobijaju iz uslova ravnoteže i uslova kompatibilnosti,

2. Promjena presječnih sila u pojedinim dijelovima kompozitnog presjeka ovisi od promjene vremenski ovisnih deformacija (puzanje i skupljanje), prema tome funkcija promjene presječnih sila ovisi od funkcije promjene vremenskih deformacija,

3. Odabir funkcije puzanja i skupljanja vrši se na osnovu eksperimentalnih rezultata,

4. Kod kompozitnih presjeka koji se nalaze u naponskom stanju II sistem linearnih diferencijalnih jednačina nije dovoljan za rješenje, s obzirom da položaj neutralne osi zavisi od opterećenja. Dakle potrebno je rješavati iterativnim postupkom, za pojedine korake položaja neutralne osi.

9/30/200928

POGLAVLJE IV – PRIMJERI ZA ILUSTRACIJUPreraspodjela naprezanja u saniranom armiranobetonskom stubu

60

40 1010

60 4010

10

Razmatrimo primjer stuba centrično pritisnutog silom P = 2,0 MN, koji se sastoji od betona C16/20 armiranog sa 4φ25. Nakon 30 godina, stub je ojačan dodatnim slojem betona C30/37, debljine d = 10 cm armiranog sa 20φ20 i opterećenog dodatnim opterećenjem ∆P = 2,0 MN.

Odredit ćemo presječne sile u betonu postojećeg dijela stuba, dimenzija 40/40 cm, i armaturi za stubstarosti 28 dana (t1 = 0) i starosti t2 = 30 g, prije saniranja, a potom presječne sile u starom i novom betonu i staroj i novoj armaturi, od trenutka nanošenja dodatnog opterećenja t3 = 30 g + 28 dana do trenutka t4 = ∞.

Karakteristike presjeka su:- postojeći beton C16/20 Ebs = 27 500 MN/m2

b/h = 40/40 cm- stara armatura Fa = 19,6 cm2 (4φ25) Eas = 210 000 MN/m2

- novi beton C30/37 Ebn = 32 000 MN/m2

d = 10 cm- nova armatura Fa = 62,8 cm2 (20φ20) Ean = 210 000 MN/m2

9/30/200929

a) t1 = 0Nat1 = 0,173 MNNbt1 = 1,827 MN

b) t2 = 0

uslov ravnoteže: dNa + dNb = 0 ⇒ dNa = - dNb

uslov kompatibilnosti: = + dϕ - dϕaa

at

FEdN

bb

bt

FEdN

bb

bt

FEN

∞ϕε s

9/30/200930

Nbt = Nb0 - ⋅ sila u betonu u vremenu t

+

∞bb

sb FEN

ϕε

0

−+

− t

aa

bbFEFE

e

ϕ1

1

1

ϕt (30 g) = 3,33 εst = -21 ⋅ 10-5

Proračunati koeficijent puzanja i mjera skupljanja za beton starosti 30g:

Nat2 = 0,591 MNNbt2 = 1,409 MN

c) t3 = 30g + 28dana (ojačanje stuba i nanošenje dodatnog opterećenja ∆N = 2,0MN )

Iz uslova ravnoteže i kompatibilnosti mogu se direktno dobiti presječne sile u pojedinim dijelovima poprečnog presjeka:

∑N = 0 Nas + Nan + Nbs + Nbn = ∆N

bsbs

bs

asas

as

FEN

FEN

=bnbn

bn

asas

as

FEN

FEN

=anan

an

asas

as

FEN

FEN

=

Nast3 = 0,066 MNNbst3 = 0,702 MNNant3 = 0,211 MNNbnt3 = 1,022 MN

9/30/200931

d) t4 = ∞ ϕs = 0,422 ϕn = 3,55 εss = -1,43 ⋅ 10-5 εsn = -21,23 ⋅ 10-5

Proračun preraspodjele presječnih sila od trenutka ojačanja stuba urađen je na slijedeći način :d1) Diferenična metoda,d2) Rješenje sa pretpostavljenom funkcijom promjene presječnih sila u betonu,d3) Rješenje primjenom osnovne Dischinger-ove diferencijalne jednačine,d4) Pomoću Kelvin-ovog modelad5) Postupak po Stangenberg-ud6) Proračun presječnih sila u funkciji od stare armature (većina autora).

d1) Diferenična metodauslov ravnoteže u trenutku tn: Xn + Yn + Zn + Wn = 0

uslov ravnoteže u trenutku tn+1: Xn+1 + Yn+1 + Zn+1 + Wn+1 = 0

uslov kompatibilnosti u intervalu vremena ∆t = tn+1 - tn

sss

sbsbs

nc

bsbs

nn

asas

nn

FEYY

FEYY

FEXX ϕ

ϕεϕ ∆−∆

++

−=

−

∞

++ 11

∆ϕn -bnbn

nc

bnbn

nn

asas

nn

FEZZ

FEZZ

FEXX +

+−

=− ++ 11

nsn ϕ

ϕε

∆∞

anan

nn

asas

nn

FEWW

FEXX −

=− ++ 11

gdje su: X = Nas ; Y = Nbs; Z = Nbn; W = Nan

9/30/200932

d2) Rješenje sa pretpostavljenom funkcijom promjene presječnih sila u betonu u obliku parabole drugog reda

dNbs + dNbn + dNas + dNan = dN

anan

an

asas

as

FEdN

FEdN

=

( ) ++

−= ∞

∞

∞s

bsbs

bssss

sbsbs

bs

asas

as dFE

Nd

FEN

FEdN ϕϕϕϕ

ϕ0

2

2s

s

sss

ss

bsbs

bs ddFE

N ϕϕεϕ

ϕϕ

ϕϕ

∞∞∞

∞ −

−⋅+ 2

( ) ++

−= ∞

∞

∞n

bnbN

bnonnn

nbnbn

bn

asas

as dFE

NdFE

NFE

dN ϕϕϕϕϕ 2

2n

n

snn

n

n

n

n

bnbn

bn ddFE

N ϕϕεϕ

ϕϕ

ϕϕ

∞∞∞

∞ −

−⋅+ 2

d3) Rješenje primjenom osnovne Dischinger-ove diferencijalne jednačine

Modifikovani izraz za preraspodjelu presječnih sila između dva betona različitih karakteristika:

−

+−=

+−

∞

ϕ

ϕε 1

1

00221 bb

bbFEFE

bbs

bbbt eFENNN

9/30/200933

d4) Pomoću Kelvin-ovog modelaIzraz je izveden u poglavlju II

( ) ( )( )t0t

bnE

eb0bb et

−−τµ⋅µ−⋅σ=τσ

d5) Postupak po Stangenberg-uStangenberg je koristio iste jednačine (uslov ravnoteže i uslov kompatibilnosti), s tim što je u uslovima kompatibilnosti uzeo da je:

Nbs0 + Nbst = dNbst odnosno Nbn0 + Nbnt = dNbnt

Stangenberg je dao vezu između puzanja i skupljanja starog i novog betona u obliku:

ϕ+

ϕ−

ϕ+ϕϕ

⋅ε−tn

tn

tnts

n,ts 1

1

d6) Proveden je isti postupak kao pod d5) samo su presječne sile određene u funkciji od stare armature, što je slučaj kod većine autora koji su se bavili ovim problemom. Stangenberg je odredio presječne sile u funkciji od starog betona.

9/30/200934

Tabela: Presječne sile u MN

Iz pregleda rezultata je vidljivo da se primjenom raznih postupaka dobiju ekstremne vrijednosti u pojedinim dijelovima poprečnog presjeka. Međutim, sa sigurnošću se može tvrditi, da u vremenu od trenutka ojačanja armiranobetonskog stuba do t = ∞ dolazi do porasta naprezanja u novoj armaturi, staroj armaturi i starom betonu, a da dolazi do pada naprezanja u novom betonu.

9/30/200935

Utvrđivanje kapaciteta nosivosti ojačanog armiranobetonskog stuba

Maksimalna nosivost postojećeg stuba je:

Nsd =Fcd + Fsd = Ac ⋅ α ⋅ fcd+Asd ⋅ σsd =0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,85 ⋅ + 19,6⋅10-4 ⋅ 400 =2,235 MN5,116

Karakteristična nosivost je: 596,14,1235,2

4,1=== sd

kN

N

Ukupno opterećenje u konačnom stanju je: Nt = ∞ = 2,0 + ∆N

Početno opterećenje preuzima postojeći stub, a dodatno opterećenje preuzimaju postojeći i novi dio stuba.

Nstaro = 2,0 + Kstaro ⋅ ∆N

Nnovo = Knovo ⋅ ∆N

Kapacitet nosivosti proračunat je po Stangenberg-ovom postupku (d5) i postupku označenom sa (d6).

Moguće dodatno opterećenje u trenutku t = 0 ∆N = 0,612 MN

Moguće dodatno opterećenje u trenutku t = ∞ : d5) ∆N = 0,337 MNd6) ∆N = 0,405 MN

9/30/200936

Programski algoritam

9/30/200937

Preraspodjela naprezanja kod spregnute prednapregnute grede

Primjer urađen u knjizi, navedena u literaturi pod brojem 5, autora Alfreda Mehmela, urađen je i postupkom opisanim u poglavlju III.

75

15

6012

62

1

FZ

S2

Si

S1

Ib1 = 0,0027m4

y1z = 0,34 mEb1 = 40000 MN/m2

BETON 2 : Fb2 = 0,09 m2

Ib2 = 0,000108m4

y2z = 0,60 mEb2 = 30000 MN/m2

ARMATURA : FZ = 0,0012 m2

EZ = 200000 MN/m2

BETON 1 : Fb1 = 0,09 m2

Promatrat ćemo promjenu naprezanja u betonima 1 i 2, od trenutka očvršćavanja betona 2 (t1) do t2 = ∞.

4,89

2,783,70

2,88

3,117,81

12,8310,40

t1 t2

Preraspodjela presječnih sila sa novog na stari beton po Mehmel-u:

X(t) = 0,0758 MN

y(t) = 0,00665 MN

9/30/200938

Preraspodjela presječnih sila sa novog na stari beton – postupak opisan u poglavlju III

2

1

2

1a a2

1y2

y1 N1

N2

M1

M2

uslovi ravnoteže: 0NN 21 =∆+∆0MM 21 =∆+∆

uslovi kompatibilnosti:

22b2b

t220

2b2b

2

1b1b

1 dIEMM

IEdM

IEdM

ϕ⋅⋅

++

⋅=

⋅

ϕ⋅⋅⋅

++

⋅+

+ϕ⋅ϕε

−ϕ⋅⋅

+⋅

=⋅⋅

+⋅ ∞

dyIEMM

IEdM

ddFE

dNFE

dNyIE

dMFE

dN

a22b2b

t220

2b2b

2

2S

2b2b

2

2b2b

2a1

1b1b

1

1b1b

1

Rješenjem sistema jednačina kako je pokazano u primjeru stuba, dobiju se izrazi za sile preraspodjele:

9/30/200939

2

2bI2bE1

1bI1bE1

2bI2bE1

0 eMM

ϕ⋅

⋅+

⋅

⋅−

⋅=∆

( )αϕ

ϕε −

∞

−⋅

⋅⋅

⋅⋅∆

−⋅⋅+−=∆ eFEIEyMFENNN bbbb

abb

S 12222

22200

10,40 13,40

9,703,53

1,14

12,83

2,88

3,117,81

4,89

2,783,70

Mehmel postupak iz magistarskog rada

9/30/200940

Preraspodjela naprezanja kod armiranobetonske grede

Izrazi dobiveni za prednapregnutu gredu mogu se primijeniti i za armiranobetonsku gredu, što je pokazano na primjeru datom u knjizi [ 14 ] (str.464).

Rješenja primjera iz knjige data su u sljedećoj tablici:

Proračun se radi iterativnim postupkom. Prvo se za početni iznos presječnih sila odredi položaj neutralne osi, potom se za preraspodijeljene presječne sile odredi novi položaj neutralne osi, te za novi položaj neutralne osi preraspodjela presječnih sila.Proračun iterativnim postupkom sa 3 koraka i dobiveno je rješenje :

naprezanje u betonu: 2b mMN36,3=σ

naprezanje u pritisnutoj armaturi: 2Ia mMN130=σ

9/30/200941

Na osnovu prethodnih primjera spregnute prednapregnute grede i armiranobetonske grede, može se zaključiti da je primjenjeni postupak upotrebljiv i za slučaj ojačanja armiranobetonskih greda kao na narednoj slici.

1

2

Nb1

Nb2

Nb1

Na Na

∆x

x 0

Označimo sa X0 položaj neutralne ose prije nanošenja ojačanja grede. Usljedpovećanja statičke visine, doći će do pomjeranja neutralne ose prema gore. To pomjeranje nije proporcionalno povećanju visine, jer se sa povećanjem visine poprečnog presjeka povećava i opterećenje.Novi položaj neutralne ose je X0 - ∆X, i početni je korak provođenja postupka iz prethodnog primjera. Usljed većeg inteziteta skupljanja i puzanja novog betona od inteziteta skupljanja betona grede, sila Nb2 će se smanjivati, a sila Nb1povećavati (preraspodjela presječnih sila sa novog betona na stari beton).