SSIS

VII CICLO ANNO ACCADEMICO 2006-2007

LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA

Unità Didattica Reale

"STUDIO DI FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE"

ALESSANDRO BEMPORAD

(Marzo 2007)

Indice

1. Introduzione p. 2

2. Struttura dell'unità didattica p. 2

3. Contenuti dell'unità didattica p. 5 1a lezione p. 5

2a lezione p. 9 3a lezione p. 11 4a lezione p. 13 5a lezione p. 13 6a lezione p. 15 7a lezione p. 16 8a lezione p. 17 9a lezione p. 19 10a lezione p. 22 Bibliografia p. 25

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Unità Didattica Reale "STUDIO DI FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE"

Alessandro Bemporad

1. Introduzione

In questa Tesina viene descritta la realizzazione in una Scuola Secondaria di un'unità didattica

di matematica riguardante lo studio di funzioni reali di variabile reale. Quest'unità didattica è particolarmente importante poiché, completando il modulo didattico sul calcolo differenziale, metterà a disposizione degli studenti tutti gli strumenti necessari per realizzare un qualunque studio di funzione da esame. Alcuni argomenti riguardo lo studio di funzioni sono già stati affrontati dal docente nelle lezioni precedenti: in particolare gli studenti sono presumibilmente già in grado di studiare il dominio di una funzione, determinarne segno, simmetrie, intersezioni con gli assi e studiarne il comportamento agli estremi del dominio individuando e classificando gli eventuali punti di discontinuità, asintoti orizzontali e verticali. Quest'unità didattica tratta principalmente la parte dello studio di funzioni legata al calcolo differenziale, quindi la determinazione degli intervalli di crescenza e descrescenza, degli estremanti (massimi e minimi relativi e assoluti), degli intervalli di concavità e convessita e dei punti di flesso; inoltre per completare il quadro sugli studi di funzione verrà anche affrontata la determinazione degli asintoti obliqui. Nel prossimo paragrafo (§ 2) verranno fornite sinteticamente tutte le informazioni generali (prerequisiti, obiettivi, struttura dell'unità didattica, etc...) utili alla realizzazione dell'unità didattica qui presentata; successivamente (§ 3) verranno esposti, lezione per lezione, i contenuti dell'unità didattica ed infine verrà illustrata la prova scritta di verifica finale dell'apprendimento.

2. Struttura dell'Unità Didattica TITOLO: "Studio di funzioni reali di variabile reale" COLLOCAZIONE: V liceo scientifico tradizionale ATTIVITA': 13 ore (~ 4 settimane) LUOGHI E MATERIALI: tutte le lezioni si svolgeranno in classe, utilizzando quindi

prevalentemente la lavagna, il libro di testo ed i quaderni degli studenti. Non è da escludere, durante la realizzazione dell’unità didattica, l’uso di fotocopie contenenti esercizi e grafici per un’approfondimento dell’argomento.

METODOLOGIE: tutte le lezioni verranno tenute in classe, quindi ogni argomento verrà

spiegato e discusso alla lavagna. Per stimolare il più possibile l'attenzione degli studenti sarà importante anzitutto fornire ogni contenuto (per esempio il concetto di punto di massimo, minimo, o flesso) ragionando sul suo significato, ossia sulla sua interpretazione geometrica, per passare solo in un secondo momento alla formalizzazione vera e propria. Ogni nuova nozione sarà seguita immediatamente da esercitazioni alla lavagna (stimolando gli studenti con domande da posto) o esercitazioni con lavori di gruppo: inoltre l'unità didattica sarà strutturata in modo da alternare il più possibile ore di

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lezione ed ore di esercitazione in classe. Le verifiche orali avverranno "in corso" con domande da posto, mentre al termine dell'unità didattica è prevista una verifica scritta finale.

Prerequisiti generali Conoscenze Competenze

concetti fondamentali della geometria euclidea piana e geometria solida

risolvere equazioni e disequazioni algebriche, goniometriche, logaritmiche ed esponenziali di

1° e 2° grado definizione delle coniche come luoghi

geometrici risolvere equazioni e disequazioni irrazionali

equazione della retta, della parabola, circonferenza, ellisse ed iperbole

risolvere sistemi di equazioni e disequazioni, di 1° e 2° grado

nozioni di goniometria e trigonometria rappresentare nel piano cartesiano una conica individuandone le principali proprietà

proprietà dei radicali determinare la distanza tra due punti e tra un punto e una retta

proprietà dei logaritmi stabilire le mutue posizioni tra retta e conica e tra coniche

proprietà degli esponenziali impostare problemi che richiedano l'uso di fasci di rette, di circonferenze, etc...

impostare problemi che richiedano l'uso di equazioni parametriche

Prerequisiti specifici Conoscenze Competenze

concetto di funzione classificare funzioni e rappresentarle per punti significato del grafico di una funzione determinare dominio, condominio e segno di

una funzione concetto di dominio, codominio, funzione

composta, funzione inversa riconoscere funzioni limitate, pari e dispari,

crescenti e decrescenti concetto di funzione pari, dispari, periodica individuare le intersezioni di una funzione con

gli assi coordinati concetto di limite di una funzione stabilire la continuità delle funzioni nel loro

dominio limiti notevoli di funzioni classificare i punti di discontinuità di una

funzione concetti di continuità e discontinuità calcolare il limite di una funzione e studiare le

forme indeterminate concetto di asintoti di una funzione determinare gli asintoti orizzontali e verticali

delle curve piane definizione di derivata come limite del rapporto

incrementale, derivata destra e sinistra calcolare la derivata di una funzione e di una

funzione composta regole di derivazione (somma e preodotto di

funzioni, funzione composta, etc...) determinare l’equazione della tangente ad una curva in un suo punto e per un punto esterno

significato geometrico della derivata di una funzione

stabilire e classificare i punti di non derivabilità di una funzione

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Obiettivi Conoscenze Competenze

definizione di punti di massimo e minimo relativi e assoluti, estremanti propri e impropri

classificare funzioni razionali, irrazionali, trascendenti.

condizione necessaria e condizione sufficiente per l'esistenza di estremanti di una funzione

analizzare l’andamento generale di un fenomeno descritto da una funzione, in punti particolari e

saperla rappresentare graficamente definizione di punti di flesso, flesso ascendente

e discendente, flesso a tangente orizzontale, verticale, obliqua

risolvere problemi di geometria analitica

metodo per la determinazione degli estremenati dallo studio del segno della derivata prima

determinare massimi e minimi, relativi e assoluti, di una funzione dallo studio del segno

della derivata prima concetto di concavità e convessità stabilire intervalli nei quali la funzione è

crescente e decrescente, concava e convessa metodo per la determinazione dei punti di flesso

dallo studio del segno della derivata seconda determinare i flessi di una funzione dallo studio

del segno della derivata seconda significato delle derivate successive di ordine

pari e dispari determinare estremanti e flessi di una funzione dallo studio del segno delle derivate successive

concetto di asintoto obliquo determinare l'equazione dell'asintoto obliquo metodo per la determinazione dell'equazione

dell'asintoto obliquo individuare le caratteristiche geometriche e

rappresentare graficamente una funzione dallo studio della relativa equazione

Organizzazione dell'unità didattica

Lezione Articolazione dell'attività didattica Metodologie Tempi (h) 1 Def. punti di max/min.; condiz. necessaria-

sufficiente per l'esistenza di un max/min relativo; estremi di una funzione non

derivabile in un punto; esempi.

Lezione frontale 1

2 Esercitazione in classe. Esercitazione alla lavagna (problem solving).

1

3 Concavità e convessità, flessi; def. e classificazione dei punti di flesso; esempi.

Lezione frontale. 1

4 Verifica orale. - 1 5 Studi di max/min, determinazione concavità

e flessi tramite le derivate successive. Lezione frontale. 1

6 Esercitazione in classe. Esercitazione per gruppi di lavoro. 1 7 Verifica orale. - 1 8 Asintoti verticali, orizzontali, obliqui;

esercitazione in classe. Lezione frontale; esercitazione guidata

alla lavagna. 1

9 Studi di funzioni razionali, irrazionali, trascendenti: esempi.

Lezione frontale; esercitazione alla lavagna (problem solving).

2

10 Verifica scritta. Somministrazione prova strutturata o semistrutturata.

2

11 Correzione verifica scritta. Lezione frontale, problem solving. 1

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Fig.1, sinistra: grafico per illustrare la definizione di punti di massimo e minimo relativi; destra: grafico di 1−+= xxy (alto) e di (basso). )/1(sin 22 xxy =

3. Contenuti dell'unità didattica

1a lezione (1h)

LEZIONE FRONTALE: Iniziamo introducendo il concetto di massimo e minimo relativo: supponiamo di avere una funzione il cui grafico sia del tipo mostrato in Fig. 1 (sinistra). Si notano in particolare due punti del grafico (c1 e c2) in cui la funzione passa da crescente a decrescente (punto c1) e viceversa (punto c2). Dal grafico si può capire come questi due punti, che verranno detti rispettivamente di massimo e minimo relativo, possano essere definiti: si osserva infatti che in un intorno di c1 il grafico della funzione si trova al di sotto del valore f(c1) assunto in quel punto, mentre in un intorno di c2 si trova al di sopra di f(c2). Questa considerazione ci porta a dare la seguente definizione di massimo e minimo relativo: consideriamo anzitutto un funzione che sia definita in un intervallo e consideriamo un punto

)(xf[ baI ,= ] Ic∈ . Diremo allora che il punto c è

un punto di massimo relativo di se esiste un intorno tale che è )(xf II c ⊂ cIx∈∀ )()( cfxf ≤ ; in maniera analoga il punto c sarà un punto di minimo relativo di se esiste un intorno tale che è . Il punto c si dirà invece punto di massimo/minimo relativo proprio se le due disuguaglianze ora scritte valgono in senso stretto (ossia è

)(xf II c ⊂

cIx∈∀ )()( cfxf ≥)()( cfxf < o ). Il

significato dal punto di vista geometrico di queste due definizioni è appunto illustrato in Fig. 1 (sinistra); in particolare il termine "relativo" si riferisce al fatto che è il massimo o il minimo

)()( cfxf >

)(cf

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dei valori che la funzione assume non in tutto l'intervallo [ ]ba, considerato, ma solo in un intorno del punto c, ecco perché massimi e minimi relativi vengono anche detti massimi e minimi locali. Non è detto infatti che un massimo/minimo relativo corrisponda anche al valore massimo/minimo che la funzione assume in tutto l'intervallo [ ]ba, . Per distinguere i due casi ci si riferisce a questi ultimi come massimi e minimi assoluti della funzione: ad esempio nel grafico di Fig. 1 la funzione ha il suo minimo assoluto nel punto a ed il suo massimo assoluto nel punto b. Chiaramente ogni punto di massimo/minimo assoluto è anche un massimo/minimo relativo, mentre non vale il viceversa, come mostrato appunto in Fig. 1.

Potrebbe sembrare a prima vista che ogni punto di massimo/minimo relativo debba necessariamente essere anche un punto di massimo/minimo relativo proprio, ma ciò non è vero. Per esempio la funzione definita da 1−+= xxy , il cui grafico è mostrato in Fig. 1 (destra), ha nell'intervallo un'infinità di punti di minimo, che chiaramente non sono punti di minimo propri. Un altro esempio interessante è dato dalla funzione definita da

[ ]1,0)(xf

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠∀=00

01sin)(22

x

xx

xxf

Il grafico di questa funzione (Fig. 1 destra) è una sinusoide che oscilla tra (per tutti i valori di x tali che , quindi 1/x =

0=y0sin =x πk , ossia πkx /1= ) e (per tutti i valori di x tali che

, quindi 1/x =

2xy =1sin ±=x 2/ππ +k , ossia [ ])12(/2 += kx π ) la cui frequenza tende all'infinito per

(Fig. 2). Poiché risulta per ogni valore della x, il punto x = 0 è un punto di minimo relativo della funzione; tuttavia in questo caso la funzione ha infinite arcate che si appoggiano sull'asse delle ascisse in un qualunque intorno di questo punto, ossia non esiste un intorno di x = 0 per ogni x del quale, diverso da zero, risulti e si conclude che x = 0 è un minimo relativo, ma non è un punto di minimo proprio.

0→x 0)( ≥xf

)0()( fxf >

E' importante inoltre sottolineare un altro punto: il fatto che un funzione abbia, ad esempio, un minimo relativo in un punto non implica necessariamente che la funzione sia sempre decrescente in un intorno sinistro di e sempre crescente in un intorno destro dello stesso punto, sia che si tratti di un punto di minimo che di un punto di minimo relativo proprio. Questo è evidentemente vero per la prima funzione che abbiamo visto, ma anche per la seconda che ha un minimo in x = 0, ma compie infinite oscillazioni all'interno di un qualunque intervallo di 0.

0x

0x

Passiamo adesso a considerare solo le funzioni che siano non solo definite in un intervallo , ma siano anche derivabili (cosa che non avveniva per esempio per la seconda funzione prima

considerata). Vale allora il seguente teorema: [ ba, ]

TEOREMA: se c è un punto di massimo o minimo relativo per la funzione e in tale punto la è derivabile, allora risulta

)(xf)(xf 0)(' =cf .

Infatti, supponiamo per esempio che c sia un punto di massimo relativo, allora per la definizione di punto di massimo relativo esiste un intorno di c per ogni x del quale è . Consideriamo allora un incremento (Fig. 2, sinistra), per cui, se c + h appartiene a tale intorno, sarà

)()( cfxf ≤0>h

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Fig. 2: annullamento della derivata di una funzione f(x) in un punto di massimo (sinistra) e minimo (destra) relativo

)()( cfhcf ≤+ , quindi 0)()( ≤−+ cfhcf da cui si può scrivere che [ ] 0/)()( ≤−+ hcfhcf . Se invece consideriamo un incremento (Fig. 2, sinistra) allora risulta che, se c + h appartiene a tale intorno, sarà nuovamente

0xf 0>x

)()( cfxf ≤ )()( cfxf ≥

E' possibile poi fornire una condizione sufficiente per l'esistenza di un estremo relativo in un punto, vale infatti il seguente

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TEOREMA: sia una funzione continua e derivabile in un intorno di un punto , allora )(xf cx =

se c è un punto di minimo relativo (proprio) di , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>>==

cx < )()( cfxf >

cx < cx > )()( cfxf < e questo per definizione corrisponde a dire che c è un punto di massimo relativo proprio; nel terzo caso infine la funzione è crescente o decrescente per ogni cx ≠ nell'intorno di c, quindi la funzione non ha né un massimo né un minimo in c. La condizione espressa da questo teorema è sufficiente, ma non necessaria: per esempio la funzione che abbiamo visto prima ha un minimo nel punto c = 0, ma non esistono un intorno destro e sinistro in cui la funzione sia, rispettivamente, crescente e descrescente.

xxxf /1sin)( 22=

Mettendo insieme i risultati di questi due teoremi si può concludere che, data una funzione continua e derivabile in un intervallo I, allora un punto c è estremo relativo della funzione se

e solo se è e cambia segno in c. Quindi per le funzioni continue e derivabili in un dato intervallo la ricerca dei punti di massimo e minimo si riduce allo studio del segno della derivata prima. Tuttavia va osservato che una funzione può avere massimi o minimi relativi anche in un punto in cui non esiste la derivata; vediamo degli esempi.

)(xf0)(' =cf )(' xf

Estremi in punti in cui la funzione è derivabile:

Primo esempio: consideriamo la parabola generica (con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate) di equazione e cerchiamo gli eventuali estremi relativi della funzione. Poiché risulta per

cbxaxy ++= 2

02' =+= baxy abx 2/−= questo è un punto stazionario della nostra funzione; in particolare studiando il segno della derivata si ricava che per 0)(' >xf abx 2/−> oppure rispettivamente nel caso in cui sia oppure . Questo ci porta a concludere che il punto , che corrisponde alla coordinata del vertice della parabola, è un punto di minimo se la parabola è rivolta verso l'alto, di massimo altrimenti, come prevedibile.

abx 2/−< 0>a 0

Estremi in punti in cui la funzione non è derivabile:

Primo esempio: determinare massimi e minimi relativi di 3 2)( xxfy == (studiando il segno della derivata si troverà che 0)(' x

0=x → 0=x punto di cuspide).

Secondo esempio: determinare massimi e minimi relativi di 12)( −== xxfy (studiando il segno della derivata si troverà che 0)(' xf varia a seconda del segno del coefficiente a, di conseguenza l'identificazione dei punti di massimo e minimo; si veda Fig. 3, sinistra).

032 ≥−=∆ acb

0>∆ 0=∆ 0

Fig. 3, sinistra: grafici di esempio di tre cubiche (a>0) nel caso 0>∆ (sinistra), (centro) e (destra); destra: grafico della funzione .

0=∆0 la one è monotona decrescente la funzione si annullerà una sola volta, mentre essendo monotona

crescente in ( )e,0 non si annullerà mai in quest'intervallo). funzi

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Fig. 4: esempio di funzione convessa (a) e concava (b) crescente e decrescente; destra: esempio di punti di flesso ascendenti (c) e discendenti (d) per una funzione crescente o decrescente.

3a lezione (1h)

LEZIONE FRONTALE: Consideriamo anzitutto un funzione definita nell'intervallo e derivabile almeno due volte e consideriamo un qualunque punto

)(xf[ ba, ] ( ))(, cfcP sul grafico della funzione, con c interno all'intervallo; essendo la funzione derivabile in c la retta tangente alla curva

non sarà parallela all'asse delle ordinate ed avrà equazione . Si dice allora che nel punto c la funzione considerata è concava (ovvero che volge la concavità verso il semiasse positivo delle ordinate) se esiste un intorno di c per tutti i punti del quale (escluso c) risulta

(ossia le ordinate dei punti sulla curva sono maggiori delle ordinate degli stessi punti sulla retta tangente al grafico; si veda Fig. 4, b). Similmente si dice che la funzione considerata è convessa (ovvero che rivolge la concavità verso il semiasse negativo delle ordinate) in c se esiste un intorno di c per tutti i punti del quale (escluso c) risulta

)(xfy = ( ) )()(')( cfcxcfxyt +−=

)()( xyxf t>

)()( xyxf t< (ossia le ordinate dei punti sulla curva sono minori delle ordinate degli stessi punti sulla retta tangente al grafico; si veda Fig. 4, a). Se invece non ci si trova in nessuno dei due casi precedenti, allora la tangente in P attraversa la curva e si dirà che questa ha in P un punto di flesso (o di inflessione; si veda Fig. 4, c-d), che spiegheremo meglio tra poco.

E' importante chiarire subito un punto: non si deve assolutamente fare confusione tra i concetti di concavità-convessità e crescenza-decrescenza di una funzione. Una funzione convessa può essere sia crescente che decrescente (Fig. 3, a), così come anche una funzione concava (Fig. 3, b). La crescenza-decrescenza di una funzione è determinata dal segno della sua derivata prima; è possibile invece mettere in relazione la concavità del grafico di una funzione in un punto c col segno della derivata seconda in c; vale infatti il seguente

)(xf)(xf ′′

TEOREMA: se risulta 0)( ≠′′ cf allora la curva in ( ))(, cfcP è concava se è , convessa se è ; se invece si ha

0)( >′′ cf0)(

all'aumentare delle x: come si vede dai grafici in Fig. 4, questo corrisponde a dire che la funzione è concava verso l'alto (e viceversa se nell'intorno di un punto risulta 0)( cx < cx >

cx > cx <

0)(' =cf 0)(' ≠cf∞=

→)('lim xf

cx si parla di flesso a tangente

verticale.

La ricerca dei punti di flesso di una funzione avviene quindi studiando il segno della derivata seconda: in particolare, se è una funzione derivabile due volte e definita in un intervallo I, se c è un punto di questo intervallo tale che

)(xf0)( =′′ cf ed inoltre 0)(

4a lezione (1h)

VERIFICA ORALE: Gli studenti verranno interrogati alla lavagna e da posto sugli argomenti svolti nelle lezioni precedenti. In particolare si richiederanno ad ogni studente interrogato almeno una definizione (punti stazionari, estremi relativi e assoluti, estremi propri e non, concavità e convessità, punti di flesso), un teorema (condizione necessaria per l'esistenza di un estremo relativo, condizione sufficiente, teorema di collegamento della concavità della curva al segno della derivata seconda) ed un esercizio scelto tra quelli proposti dal libro di testo. Saranno possibili inoltre domande sugli argomenti svolti nelle unità didattiche precedenti. Indicativamente verranno assegnati in totale 11 punti così ripartiti: 3 punti per la definizione, 4 punti per la dimostrazione, 4 punti per la soluzione dell'esercizio. Il punteggio risultante sarà indicativo per la valutazione finale espressa in decimi.

5a lezione (1h)

LEZIONE FRONTALE: Come abbiamo visto nelle ultime lezioni è possibile determinare gli eventuali estremi relativi di una funzione dallo studio del segno della sua derivata prima

, mentre per individuare gli eventuali punti di flesso sarà necessario studiare il segno della derivata seconda . Tuttavia, sotto alcune condizioni, è possibile utilizzare la derivata seconda per stabilire immediatamente se un punto critico della funzione sia un punto di massimo o minimo relativo, evitando lo studio del segno della derivata prima. Vale infatti il seguente

)(xf)(' xf

)(xf ′′

TEOREMA: Sia una funzione definita in un intervallo )(xf [ ]ba, con derivate prima e seconda continue in tale intervallo. Se in un punto ( )bac ,∈ risulta

0)(' =cf e → c è un punto di massimo relativo proprio 0)(

Il criterio adesso esposto non può essere tuttavia applicato quando nel punto stazionario considerato c non si annulli solo la derivata prima, ma anche la derivata seconda. In questi casi si può applicare la seguente regola generale: si passa anzitutto a calcolare la derivata terza )(xf ′′′ , se risulta allora si conclude che c non è un estremo relativo della funzione (vedremo tra poco che si può concludere in questo caso che c è un punto di flesso). Se invece anche

0)( ≠′′′ cf0)( =′′′ cf

allora si prosegue calcolando le derivate successive fino a determinare la prima che in c non si annulla: se quest'ultima è di ordine pari (ossia è la derivata quarta, sesta, ottava, etc...) allora c è un punto di massimo se tale derivata è negativa, un punto di minimo se invece è positiva (sostanzialmente vale per la derivata di ordine generico pari quanto prima esposto per la derivata seconda). Se invece la prima derivata non nulla in c è di ordine dispari allora il punto considerato non è né di massimo né di minimo.

Esempio: determinare eventuali massimi e minimi della funzione (studiando le derivate successive si conclude che il punto stazionario

155 345 ++−= xxxy0=x non è un estremante,

mentre i punti e 1=x 3=x sono rispettivamente un massimo e un minimo relativo).

L'ultimo teorema che abbiamo visto ci ha fornito un criterio aggiuntivo (detto criterio della derivata seconda) per la determinazione dei punti di massimo e minimo relativi. Esiste un altro teorema che permette invece dalla derivata terza di individuare e classificare gli eventuali punti di flesso, ossia:

TEOREMA: sia una funzione derivabile tre volte, con derivata terza continua, nei punti interni di un intervallo [ e supponiamo che esista un punto tale che sia

; se

)(xf] )ba, ( bac ,∈

0)()(' =′′= cfcf 0)( ≠′′′ cf allora c è un punto di flesso a tangente orizzontale, ascendente se e discendente se invece 0)( >′′′ cf 0)( cf n

0)()( cf n 0)()(

Fig. 5: grafici di )/()12( 2 mmxxy +++= (sinistra) e di (destra) con la parabola perpendicolare e la retta tangente in

)2/()2( 32 ++= xxy1−=x (si veda il testo).

Esempio: verificare che la funzione ha un flesso ascendente in xy 3sin= 0=x , un massimo in 2/π=x e un minimo in 2/π−=x (la derivata prima si annulla ovviamente in quei tre punti, poi quindi

xxxf cossin3)(' 2=)1cos3(sin3)( 2 −=′′ xxxf 03)2/( =−′′ πf (minimo), mentre 0)0( =′′f e ( )xxxxxf coscossin6cos33)( 23 −−=′′′ quindi (flesso ascendente)). 06)0( >=′′′f

Esempio: verificare che la funzione ha un minimo in e un flesso discendente in (risulta

xy 2log= 1=xex = xxxf /)log2()(' = mentre e

, quindi

2/)log1(2)( xxxf −=′′4/)3log2(2)( xxxxxf −=′′′ 0)1(' =f e 02)1( >=′′f (minimo), mentre 0)( =′′ ef e

(flesso discendente)). 06)(

dove m è un parametro reale.

a) Determinare il suo dominio di derivabilità. b) Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che risulti nulla per

. 1=xc) Studiare la funzione corrispondente al valore di m così trovato e disegnarne il

grafico )(xf

γ in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali ( ), dopo aver stabilito quanti sono esattamente i flessi di

Oxyγ ed aver fornito una spiegazione

esauriente di ciò.

(La soluzione è mostrata in Fig. 5, sinistra: in particolare la funzione è definita ovunque per 0≠m , mentre ha una discontinuità asintotica nell'origine per 0=m ; per 0≤m risulta indipendente da m, mentre per risulta , quindi

in

2/)12()( xxxf +=0>m )2/()12()( 2 mxxxf ++=

0)2/()2(2 222 =+−+−=′ mxmxxf 1−=x per 1=m ).

• Esercizio 2 (Problema 1, Esame di Stato di Liceo Scientifico, sessione ordinaria 2002): In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali ( ) è assegnata la curva k di equazione

Oxy

22

3

2

++

=xxy

a) Determinare per quali valori di x essa è situata nel semipiano y>0 e per quali nel semipiano y

Fig. 6: definizione di asintoto obliquo (si veda il testo).

nazione dei punti di flesso con la derivata terza, determinazione di estremamnti e flessi con le derivate successive) ed un esercizio scelto tra quelli proposti dal libro di testo. Saranno possibili inoltre domande sugli argomenti svolti nelle unità didattiche precedenti. Indicativamente verranno assegnati in totale 11 punti così ripartiti: 3 punti per la definizione, 4 punti per la dimostrazione, 4 punti per la soluzione dell'esercizio. Il punteggio risultante sarà indicativo per la valutazione finale espressa in decimi.

8a lezione (1h)

LEZIONE FRONTALE: Sappiamo già come determinare gli eventuali asintoti verticali ed orizzontali di una funzione; tuttavia, in linea generale, una qualunque funzione può avere non solo questi due tipi di asintoto. Esistono infatti funzioni che, quando si avvicinano indefinitamente ad una retta che non è parallela a nessuno dei due assi: si parla in questo caso di asintoto obliquo. Dando una definizione più esatta si dice che una funzione ha per asintot obliquo la retta

∞→x

)(xfqmxyr +=: se la distanza d tra il generico punto ( ))(, xfxP sul grafico della

funzione e la retta r tende a 0 quando ∞→x (Fig. 6), ossia

01

)(lim)(lim

2=

+

−+=

∞→∞→ m

xfqmxxd

xx .

Il problema sarà quindi stabilire quali funzioni possono avere l'asintoto obliquo e determinarne eventualmente l'equazione dell'asintoto qmxy += .

Perché una funzione abbia l'asintoto obliquo sarà ovviamente necessario che non abbia l'asintoto orizzontale, quindi una condizione necessaria per l'esistenza dell'asintoto obliquo è che sia

. Supponiamo di avere una funzione che abbia per ipotesi un asintoto obliquo: questo ∞=∞→

)(lim xfx

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vuol dire che, quando la funzione tende a confondersi con una retta di equazione , ossia potremo scrivere che all'infinito

∞→xqmxy += qmxxf +≅)( . Questo vuol dire che per

determinare il coefficiente angolare m dell'asintoto obliquo sarà sufficiente calcolare il

mx

qmxxxf

xx=

+≅

∞→∞→lim)(lim

Se esiste un asintoto obliquo, il risultato di questo limite darà un valore finito che corrisponde al coefficiente angolare m dell'asintoto obliquo. Per determinare invece il termine noto q, seguendo un ragionamento simile, sarà necessario calcolare il

qmxqmxmxxfxx

=−+≅−∞→∞→

lim)(lim

La funzione considerata avrà un asintoto obliquo solo nel caso in cui entrambi questi limiti risultino finiti; inoltre va sottolineato che, come nel caso dell'asintoto orizzontale, sarà necessario ricercare l'asintoto obliquo sia per +∞→x che per −∞→x , dato che in generale si potranno presentare funzioni con diversi asintoti obliqui a +∞ e -∞, oppure con un asintoto orizzontale a +∞ ed uno obliquo a -∞, etc... Nel caso in cui il risultato del calcolo risulti più semplice, il coefficiente angolare dell'asintoto obliquo può essere anche determinato come limite all'infinito della derivata prima della funzione, infatti se per ∞→x risulta qmxxf +→)( , allora . mxf →)('

Esempio 1: determinare gli asintoti della funzione (asintoto verticale di equazione e asintoto obliquo di equazione

)1/()4( 2 +−= xxy1−=x 1−= xy ).

Esempio 2: determinare gli asintoti della funzione 12 −−= xxy (asintoto obliquo a ∞− di equazione , asintoto orizzontale a 1−= xy ∞+ di equazione 0=y ).

Esempio 3: determinare gli asintoti della funzione xxy 2/1arctan −= (asintoto obliquo a di equazione ∞− 2/2/ π−−= xy , asintoto obliquo a ∞+ di equazione 2/2/ π+−= xy ).

E' utile oservare che per le funzioni razionali che siano un semplice rapporto tra due polinomi l'esistenza di un asintoto obliquo è assicurata quando, se il polinomio al numeratore è di grado n, quello al denominatore sia di grado 1−n . Più in generale si può affermare che se la funzione assegnata è nella forma con e generici polinomi di grado n e d nella variabile x, allora

)(/)( xPxPy dn= )(xPn )(xPd

00

1)1(

=→<≠=→=

+=→+=+≠→>

yeorizzontalntotoasipnkyeorizzontalntotoasipn

qkxyobliquontotoasipnpnntotoasinessunpn

dove in particolare k è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo dei due polinomi.

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9a lezione (2h)

LEZIONE FRONTALE CON ESERCITAZIONE: oggi vedremo alcuni esempi specifici di studi del grafico di funzione per alcune funzioni che possono tipicamente presentarsi in sede d'esame. Prima di tutto però vediamo uno schema riassuntivo dei passi che è necessario compiere per realizzare correttamente uno studio di funzione. Data la funzione si richiederà: )(xf

1) Studio del dominio di : )(xf

0)()()(

≠→ xgxgxf , ,0)()(log >→ xfxf 0)()(2 ≥→ xfxfn (2n pari)

0)()( >→ xfxf )(xg , arcsin 1)(1)( ≤≤−→ xfx , f arccos 1)(1)( ≤≤−→ xfxf

2) Simmetrie: )()()( xfxfxf →−= pari, )()()( xfxfxf →−−= dispari;

Periodicità )()( Txfxf +=

3) Intersezioni con gli assi: asse x: , asse y: (solo se x = 0 nel dominio!) ⎩⎨⎧

==

0)(

yxfy

⎩⎨⎧

==

0)(

xxfy

4) Studio del segno di : )(xf 0)( >xf

5) Limiti ai confini del dominio e all'∞:

kykxfx

=→=±∞→

)(lim asintoto orizzontale cxxfcx

=→±∞=±→

)(lim asintoto verticale

2121 )(lim)(lim SSSSxfSxfcxcx

−=∆→=≠=−+ →→

salto di in x = c )(xf

)(lim)(lim xfSxfcxcx −+ →→

== ma non definita in = o )(xf x c →≠ Scf )( discontinuità eliminabile

mxxf

x=

±∞→

)(lim e qmxyqmxxfx

+=→=−±∞→

)(lim asintoto obliquo

punto di partenza cxkxfcx

=→=+→

)(lim cxkxfcx

=→=−→

)(lim punto di arresto

6) Derivata prima

a) Studio del dominio della )x (punti non nel

b) d )(' x (ricerca punti x

vo

)(' xf :

('fdominio di )(' xf → cuspidi, punti angolosi, flessi a tangente ve le) Studio del segno

rticaella f

stazionari, ossia tali che 0=f → punti di massimo e minimo relati )(' xf cambia segno, flessi a tangente orizzontale )(' xf si annulla, ma non cambia segno)

)(' se

se

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7) Derivata seconda )(xf ′′ : segno della )(xf ′′ (ricerca punti tali che punti di flesso a tangente obliqua, flessi

particolare è possibile classificare per tipi gli studi di funzioni chad esempio:

nali intere, ad esempio:

0)( =′′ xf →ascendenti o discenti)

In e si presentano più di frequente,

1) Razio 23 52 xxy −= , 13 23 +−= xxy 2) Razionali fratte, ad esempio: )1/()1( +−= xxy , )3/()53( 2 −+−= xxxy

3) Irrazionali intere, ad esempio: 92 −x , 3 22 )34 +−= xy (x

)3xx4) Irrazionali fratte, ad esempio: y − /)8( 3= , /(13 4 −−= xxy

xxyxxye

e ge

ey xx

log2log,lo2log, 222

+=+=−−

= , 5) Trascendenti, ad esempio:

22 −−−=

xxxey , ⎟⎞⎜⎛=y1log ,

⎠⎝ + xcos1( )1arcsin −=y

generale che abbiam

x .

Seguendo lo schema o visto adesso, realizziamo adesso lo studio completo di due di queste funzioni.

STUDIO DI (Fig. 7)

xR ; Simme na;

, asse x

Segno: + xexxx ;

no asintoto orizzontale;

- xxy log2log2 +=

Dominio: { }∈x trie: nessu0: >

Intersezioni con gli assi: asse y non nel dominio : 0)2(loglog0log2log2 =+→=+ xxxx 22 /1,1 eexx ===→ − ;

1/10)2(loglog 2 >∪

Limiti: +∞=++∞→

xxx

log2loglim 2 0log2loglim2

=+

+∞→ xxx

x no asintoto

=+++ →→

limlog2loglim0

2

0xx

xx, obliquo; =−∞⋅−∞=+ )()2(loglog xx +∞ 0=x asintoto ve

Derivata prima:

rticale;

eexxxxx

xxf /10)1(log22log2)(' 1− ==→=+=+= ;

nimo relativo;

exxf /10)(' >→> ,

punto )1,/1(1 −eP mi

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Fig. 7: grafico della funzione . xxy log2log2 +=

Derivata seconda: 0log2)1log1(212)1(log2)( 222 =−=−−=++−=′′ xxx

xxxx

xxf per 1=x ,

per punto di flesso a tangente obliqua (0)( >′′ xf →

( )1arcsin −= xy . Fig. 8: grafico della funzione

definita )(' xf ( ) 00221111 222 ≠→≠−=+−−=−− xxxxxx , +∞== +→ +

0/1)('lim0

xfx

,

+

→ −0/lim

0f

x, quindi cuspide rivolta verso il basso;

Derivata seconda:

0=x−= 1)(' x −∞=

( )[ ] 0111

)( 2/32 =−−

−=′′

x

xxf per 1±=x , 0)( >′′ xf : 01 >− x → 11

COMPITO IN CLASSE

LICEO SCIENTIFICO A. GRAMSCI FIRENZE, 21/03/2007

A.S. 2006/2007

ALUNNO/A_____________________________________________________________________

Studiare il grafico della funzione

2a VERIFICA DI MATEMATICA

II QUADRIMESTRE - CLASSE VC

( )( )3

532 +− xx1)−

=x

y . (10)

2) Date un esempio di funzione con un massimo relativo in )(xf ( )3,1 e un minimo relativo in omio generico).

3) inare punti di massimo, minimo e flesso delle funzioni: ( )2,1− (NB: provare con un polin (5) Determ

a) xexy −= 3 ; b) x

y = x21−

azion

. (5)

24 xy − ideri un punto P di ascissa c: ( )

4) Sulla semicirconferenza di equ e = si consdeterminare c in modo che la somma dei quadrati delle distanze di P dai due punti e ( )0,4 4,0

(7) sia minima.

5) Quale dei seguenti grafici rappresenta la funzione 23 1x

xy += (giustificare la risposta (4))?

23

6) Indicare per ognuna delle funzioni sotto rappresentate il corrispondente grafico della loro derivata prima (Suggerimento: riflettere sui punti in cui si annulla la derivata prima; dove

come risulterà il grafico di ?) (3)

)(xf)(xf ′

0)( >′ xf )(xf

→ : A B C )(xf )(xf ′

→ : A B C )(xf )(xf ′

→ : A B C )(xf )(xf ′

(SUFFICIENZA = 18 PUNTI)

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Criteri di valutazione A lato di ogni esercizio è stato indicato il punteggio corrispondente assegnato in caso di risposta corretta: come si vede, complessivamente la prova corrisponde ad un totale di 34 punti; in accordo col docente è stato deciso di considerare raggiunta la sufficienza in corrispondenza dei 18 punti: gli altri voti in decimi sono stati scalati di conseguenza secondo la formula Voto(in decimi) =

con p punteggio raggiunto. E' stata ottenuta in tal modo la seguente Tabella di valutazione:

p⋅+ )9/2(2

Punti 4-5 9 13-14 18 22-23 27 31-32 Voto 3 4 5 6 7 8 9

Per esempio per raggiungere il 6 è sufficiente realizzare correttamente lo studio di funzione e svolgere parzialmente due dei tre esercizi successivi; punti aggiuntivi sono inoltre "garantiti" dagli ultimi due esercizi, a risposta multipla e di più immediata realizzazione.

Bibliografia L'unità didattica è stata sviluppata quasi interamente seguendo il libro di testo adottato in classe dal docente, ossia

• Dodero N., Baroncini P., Manfredi R., "Nuovi elementi di matematica, per il triennio dei licei scientifici sperimentali", vol. C, Ghisetti e Corvi Ed., Milano, 2002.

Sono inoltre stati consultati i seguenti testi:

• M. Bergamini, A. Trifone, “Lineamenti di analisi”, Ed. Zanichelli, 2003.

• Maraschini W., Palma M., "Multi Format", Paravia, 2000.

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Prerequisiti generaliObiettiviConoscenzeCompetenzedefinizione di punti di massimo e minimo relativi e assoluticlassificare funzioni razionali, irrazionali, trascendenti.analizzare l’andamento generale di un fenomeno descritto da definizione di punti di flesso, flesso ascendente e discenderisolvere problemi di geometria analiticametodo per la determinazione degli estremenati dallo studio determinare massimi e minimi, relativi e assoluti, di una fuconcetto di concavità e convessitàstabilire intervalli nei quali la funzione è crescente e decmetodo per la determinazione dei punti di flesso dallo studideterminare i flessi di una funzione dallo studio del segno significato delle derivate successive di ordine pari e dispadeterminare estremanti e flessi di una funzione dallo studioconcetto di asintoto obliquodeterminare l'equazione dell'asintoto obliquometodo per la determinazione dell'equazione dell'asintoto obindividuare le caratteristiche geometriche e rappresentare g