st04 discrete probability distributions
DESCRIPTION
statistikaTRANSCRIPT
STATISTIKA
Discrete Probability Distributions
Discrete Probability Distributions 2
Discrete Probability Distributions
• Distribusi Hipergeometrik
• Bernoulli Processes
– Distribusi Binomial
– Distribusi Geometrik
– Distribusi Binomial Negatif
• Poisson Processes
– Distribusi Poisson
– Distribusi Exponensial
– Distribusi Gamma
• Distribusi Multinomial
DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Hypergeometric Distributions
Discrete Probability Distributions 4
Hypergeometric Distributions
• Situasi
– Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu populasi berukuran N
– Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok, masing-masing berukuran k dan (N – k)
• Contoh
– Suatu populasi berupa
• hari hujan dan hari tak hujan
• stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek
• sukses dan gagal
Discrete Probability Distributions 5
Hypergeometric Distributions
• Persamaan/rumus
– Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N obyek
adalah kombinasi
!!
!
nnN
N
n
N
!!
!
!!
!
xnxnkN
kN
xxk
k
xN
kN
x
k
– Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan
(n – k) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses
dan (N – k) gagal adalah
Discrete Probability Distributions 6
Hypergeometric Distributions
– Jadi probability mendapatkan X = x sukses dalam sampel
berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N
yang memiliki k elemen sukses adalah
n
N
xn
kN
x
kknNxfX ,,;
– Distribusi kumulatif dari probability mendapatkan x sukses
atau kurang adalah
x
i
Xn
N
in
kN
i
kknNxF
0
,,;
Discrete Probability Distributions 7
Hypergeometric Distributions
– Nilai rata-rata (mean) suatu distribusi hipergeometrik
adalah
N
knXE
– Variance
1Var
2
NN
nNkNknX
– Catatan
NnNknxkx ;;;
Discrete Probability Distributions 8
Hypergeometric Distributions
Contoh hypergeometric distribution
DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Bernoulli Processes:
Distribusi Binomial
Discrete Probability Distributions 10
Contoh Ilustrasi (1)
• Investigasi thd suatu populasi
– karakteristik populasi → variabel
– nilai variabel
• nilai ujian: 0 s.d. 100
• status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda
• usia: 0 s.d. ...
• cuaca: cerah, berawan, hujan
Discrete Probability Distributions 11
Contoh Ilustrasi (2)
• Contoh lain
– Jawaban pertanyaan:
• ya / tidak
• benar / salah
• menang / kalah
• lulus / tak-lulus
• sukses / gagal
SUKSES
vs
GAGAL
Discrete Probability Distributions 12
Distribusi Binomial
• Jika
– variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil
– probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak
berubah (tetap) apapun hasil experimen sebelumnya
Distribusi Binomial
• Probabilitas hasil suatu distribusi binomial
– prob(sukses) = p
– prob(gagal) = q = 1 – p
Discrete Probability Distributions 13
Distribusi Binomial atau Bukan?
Event Binomial ?
(True / False)
Why ?
hujan
tak-hujan
F prob kejadian
berubah
jenis kelamin
warga desa
F prob kejadian
berubah
jenis kelamin
bayi yang baru
lahir
T prob tetap
Discrete Probability Distributions 14
Distribusi Binomial
• Ilustrasi
– Peluang sukses (S) dalam suatu experimen adalah p → prob(S) = p
– Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q
– 1x experimen:
• peluang sukses p
• peluang gagal q
– 2x experimen:
• peluang sukses kmd sukses (S,S): pp
• peluang sukses kmd gagal (S,G): pq
• peluang gagal kmd sukses (G,S): qp
• peluang gagal kmd gagal (G,G): qq
Discrete Probability Distributions 15
Sukses-Gagal dalam 2x Experimen
jumlah
kesuksesan
cara
sukses
jumlah cara
suksesprobabilitas
2 SS 1 pp 1 p2q0
1SG atau
GS2 pq + qp 2 p1q1
0 GG 1 qq 1 p0q2
Discrete Probability Distributions 16
Sukses-Gagal dalam 3x Experimen
jumlah
sukses
cara
sukses
jumlah cara
suksesprobabilitas
3 SSS 1 1 ppp 1 p3q0
2SSG, SGS,
GSS3 3 ppq 3 p2q1
1SGG,
GSG, GGS3 3 pqq 3 p1q2
0 GGG 1 1 qqq 1 p0q3
Discrete Probability Distributions 17
Sukses-Gagal dalam 3x atau 5x Experimen
– 3x experimen:
• peluang sukses pada experimen ke-3: qqp
• peluang sukses di salah satu experimen: pqq + qpq + qqp
– 5x experimen:
• peluang sukses 2x: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp
3232 102
5qpqp
Discrete Probability Distributions 18
Banjir
• Peluang debit melampaui 100 m3/s dalam satu tahun adalah p p = probability of exceedence (success)
• Maka peluang
– debit terlampaui di tahun ke-3, namun tidak terjadi di tahun ke-2 dan ke-1 adalah qqp
– debit terlampaui satu kali pada salah satu tahun dalam periode 3 tahun adalah pqq + qpq + qqp = 3pq2
– debit terlampaui 2 kali dalam 5 tahun adalah ppqqq + pqpqq + … + qqqpp = 10p2q3
Discrete Probability Distributions 19
Distribusi Binomial (1)
• Jika
– peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p
– probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil experimen yang
lain
• Maka
– peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali experimen adalah
nxppx
npnxf
xnx
X ,...,2,1,01,;
koefisien binomial
Discrete Probability Distributions 20
Distribusi Binomial (2)
• Distribusi binomial kumulatif
qpn
pqcs
nxppi
npnxF
x
i
iniX ,...,2,1,01,;
0
• Nilai rata-rata dan varian
• Skewness coefficient
qpnX
pnXE
Var
p = q simetris
q > p negative skew
q < p positive skew
Discrete Probability Distributions 21
Distribusi Binomial (3)
• Contoh #1
– Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D).
– Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana).
– Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3x?
– Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5x, 4x, 3x, 2x, 1x, 0x?
Discrete Probability Distributions 22
Distribusi Binomial (4)
• Setiap kali pemilihan
– prob(As) = probabilitas kegiatan A terpilih
prob(As) = ¼ = 0.25 = p
– prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak terpilih
prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q
• Dalam 5 kali pemilihan
– peluang terpilih (sukses) 3 kali adalah
088.075.025.03
525.0,5;3,; 23
XX fpnxf
Discrete Probability Distributions 23
Distribusi Binomial (5)
• Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)
jumlah sukses jumlah kejadian peluang terjadi
0 1 0.237
1 5 0.396
2 10 0.264
3 10 0.088
4 5 0.015
5 1 0.001
∑ = 1.000
koefisien
binomial
Discrete Probability Distributions 24
Distribusi Binomial (6)
• Contoh #2
– Diketahui probabilitas (risiko) muka air banjir dalam suatu tahun melebihi elevasi h m adalah 0.05. Apabila m.a. banjir melebihi h m, maka wilayah A akan tergenang.
– Apabila setiap kejadian banjir adalah independent(banjir pada suatu tahun tak bergantung pada banjir pada tahun yang lain), maka kejadian banjir tersebut dapat dipandang sebagai proses Bernoulli.
– Berapa risiko (probabilitas) wilayah A tergenang 2 kali dalam periode 20 tahun?
Discrete Probability Distributions 25
Distribusi Binomial (7)
• Solusi
– Misal: x = jumlah kejadian wilayah A tergenang
n = periode (jumlah tahun) yang ditinjau
p = risiko m.a. banjir melewati h m
(risiko wilayah A tergenang)
– Maka: x = 2; n = 20; p = 0.05
– Jadi:
1887.095.005.02
2005.0,20;2,; 182
XX fpnxf
Discrete Probability Distributions 26
Distribusi Binomial (8)
• Contoh #3
– Agar 90% yakin bahwa debit banjir rancangan yang
akan dipilih tidak terlampaui selama periode 10
tahun, berapakah kala ulang debit banjir rancangan
tersebut?
• Contoh #4
– Memperhatikan contoh #3, tariklah kesimpulan
mengenai risiko debit banjir kala-ulang T tahun
terlampaui paling sedikit 1 kali dalam periode T
tahun.
Discrete Probability Distributions 27
Distribusi Binomial (9)
• Solusi
– Misal
• Qd = debit banjir rancangan
• p = probabilitas bahwa debit banjir rancangan terlampaui
• n = 10 tahun
• x = jumlah tahun debit banjir rancangan terlampaui
– Probabilitas debit banjir rancangan tak terlampaui adalah
%90prob dQQ
Discrete Probability Distributions 28
Distribusi Binomial (10)
0105.0
90.01
11190.0
10
10,10;0
10.0
10
100
p
p
p
pppfX
tahun951 ulang Kala pT
Jadi untuk memperoleh keyakinan 90% bahwa debit banjir
rancangan tak terlampaui dalam 10 tahun, maka diperlukan
debit banjir rancangan kala ulang 95 tahun.
Discrete Probability Distributions 29
Distribusi Binomial (11)
• Apabila dipilih debit banjir kala ulang 10 tahun
(p = 10%), maka kemungkinan debit ini
dilampaui adalah
651.010.0,10;01prob 10 XfQQ
Discrete Probability Distributions 30
Distribusi Binomial (12)
• Secara umum dapat ditetapkan bahwa risiko debit banjir
rancangan kala ulang T tahun terlampaui paling sedikit 1x
dalam periode T tahun adalah:
63.011
atau
651.010.0,10;01prob 10
e
fQQ X
• Jadi terdapat 63% kemungkinan bahwa debit kala ulang T
tahun terlampaui paling sedikit 1x dalam periode T tahun.
• Jika umur rancangan bangunan dan kala ulang rancangan
sama, maka sangat besar risiko bahwa debit rancangan
tersebut akan dilampaui dalam periode umur rancangan.
DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Bernoulli Processes:
Distribusi Geometrik
Discrete Probability Distributions 32
Distribusi Geometrik (1)
• Situasi
– Suatu sequence proses Bernoulli, namun ingin diketahui
probability sukses yang pertama kali terjadi
– Jika pada pengamatan (experimen) ke-x diperoleh sukses
pertama kali, maka haruslah dimiliki (x – 1) kali gagal
sebelumnya dan diikuti oleh sekali pengamatan dengan
hasil sukses
probability p1 qx1
Discrete Probability Distributions 33
Distribusi Geometrik (2)
• Probability distribusi geometrik
• Distribusi geometrik kumulatif
1,2,3,...,; 1 xqppxf xX
,...3,2,1,prob;1
1
xxXqppxFx
i
iX
0; maka 1 jika
1untuk berlaku
pxFx
x
X
Discrete Probability Distributions 34
Distribusi Geometrik (2)
• Nilai rata-rata
• Varian
p
XE1
2
varp
qX
Discrete Probability Distributions 35
Distribusi Geometrik (3)
ppp
ppp
p
pxpppx
xqpxXE
x
x
x
x
x
x
x
x
111
11
,...3,2,1,
0
1
1
1
1
1
1
Discrete Probability Distributions 36
Distribusi Geometrik (4)
• Contoh
– Berapakah probability suatu banjir 10-
tahunan akan terjadi pertama kali dalam 5
tahun pertama setelah proyek selesai?
– Berapakah probability banjir tersebut akan
terjadi pertama kali secepat-cepatnya pada
tahun ke-5 setelah proyek selesai?
Discrete Probability Distributions 37
Distribusi Geometrik (5)
• Solusi
– Probability banjir terjadi pertama kali pada tahun ke-5
adalah:
0656.0
10.0110.010.0;54
Xf
Discrete Probability Distributions 38
Distribusi Geometrik (6)
• Solusi
– Probability banjir terjadi pertama kali paling cepat
pada tahun ke-5 (jadi dapat terjadi pada tahun ke-5,
6, 7, 8, 9, atau 10) dapat dicari dengan
memperhatikan bahwa banjir tidak datang selama
periode 4 tahun pertama.
– Dengan demikian probability banjir terjadi pertama
kali paling cepat pada tahun ke-5 adalah:
6561.0
10.0144
q
DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Bernoulli Processes:
Distribusi Binomial Negatif
Discrete Probability Distributions 40
Distribusi Binomial Negatif (1)
• Situasi
– Ingin diketahui probability diperolehnya sukses ke-k
terjadi pada experimen ke-x (tentu saja x ≥ k).
– Dalam hal ini, pastilah terdapat (k – 1) sukses pada
(x – 1) experimen, yang mendahului sukses ke-k
pada experimen ke-x.
– Probability (k – 1) sukses dalam (x – 1) experimen
adalah:
kxk qpk
x
1
1
1 distribusi binomial
Discrete Probability Distributions 41
Distribusi Binomial Negatif (2)
– Sedangkan probability sukses pada experimen ke-x
adalah p.
– Jadi probability sukses ke-k pada pengamatan ke-x
adalah:
,...1,,1
1,;
kkxqp
k
xpkxf kxk
X
• Nilai rata-rata dan varian
p
kXE
2var
p
qkX
Discrete Probability Distributions 42
Distribusi Binomial Negatif (3)
• Contoh
– Berapakah probability bahwa banjir 10-tahunan akan
terjadi keempat kalinya pada tahun ke-40?
• Solusi
0206.0
90.010.03
39
10.0110.014
14010.0,4;40
364
4404
Xf
DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Poisson Processes:
Distribusi Poisson
Discrete Probability Distributions 44
Distribusi Poisson (1)
• Situasi
– Proses Bernoulli dalam suatu interval waktu p
adalah probability terjadinya suatu event dalam
interval waktu tersebut.
– Jika interval waktu t sangat pendek sedemikian
hingga probability p menjadi kecil dan jumlah
pengamatan (experimen) n bertambah sedemikian
hingga np konstan, maka
• expektasi jumlah kejadian dalam interval waktu total tetap
Discrete Probability Distributions 45
Distribusi Poisson (2)
• Sifat
– Proses Poisson adalah suatu proses diskrit
pada skala waktu kontinu.
– Oleh karena itu, distribusi probability jumlah
event dalam suatu waktu T adalah sebuah
distribusi diskrit, akan tetapi distribusi
probability waktu antar events serta waktu
sampai ke event ke-n adalah distribusi
kontinu.
Discrete Probability Distributions 46
Distribusi Poisson (3)
• Probability distribusi poisson
• Distribusi geometrik kumulatif
0dan1,2,...,0,!
;
pnxx
exf
x
X
x
i
i
Xi
exF
0!
;
Discrete Probability Distributions 47
Distribusi Poisson (4)
• Mean dan variance
• Skewness coefficient
XE
21
sc
Xvar
Discrete Probability Distributions 48
Distribusi Poisson (5)
• Contoh #1
– Probability banjir 20-tahunan (kala ulang 20 tahun)
akan terjadi dalam 10 tahun:
• dengan memakai distribusi binomial
• dengan memakai distribusi poisson
315.095.005.01
1005.0,10;1 9
Xf
303.0!1
5.005.0;1
5.005.010
5.0
ef
np
X
Discrete Probability Distributions 49
Distribusi Poisson (6)
• Contoh #2
– Probability 5 kejadian banjir 2-tahunan dalam 10
tahun adalah:
• dengan memakai distribusi binomial
• dengan memakai distribusi poisson
246.05.05.05
105.0,10;5 5105
Xf
176.0!5
55;5
55.010
55
ef
np
X
n tidak cukup besar untuk
mendapatkan pendekatan
yang baik dengan distribusi
poisson
Discrete Probability Distributions 50
Distribusi Poisson (7)
• Contoh #3
– Probability kurang daripada 5 kejadian (max. 4
kejadian) banjir 20-tahunan dalam 100 tahun adalah:
44.0!
55;4
5;44prob5prob
505.0100
poisson distribusi
4
0
5
i
i
X
X
i
eF
FXX
np
n
CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Poisson Processes:
Distribusi Exponensial
Discrete Probability Distributions52
Distribusi Exponensial (1)
• Distribusi probability waktu (interval) T di antara
kejadian-kejadian suatu event dapat dihitung sbb.
t
X
e
tf
t
;0
waktu dalam event terjadi tidak yprobabilit tTprob
tTprob1tTprob
Discrete Probability Distributions 53
Distribusi Exponensial (2)
• Distribusi exponensial kumulatif
tT etP 1;tTprob
tT
T et
tPtp
d
;d;
• Mean dan variance
1TE 2var T
CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Poisson Processes:
Distribusi Gamma
Discrete Probability Distributions 55
Distribusi Gamma (1)
• Distribusi probability waktu sampai terjadinya
suatu event ke-n kalinya.
!1
,;1
n
etntp
tnn
T
• Mean dan variance
n
TE 2
var
n
T
,...2,1
0
0
n
t
Discrete Probability Distributions 56
Distribusi Gamma (2)
• Contoh
– Berapa risiko terjadi banjir ke-4 kalinya dalam waktu 10
tahun jika risiko banjir per tahun adalah 0.10?
• Solusi
4.010.04,4,10 pnnt
78.0
!14
104.0
!14.0,4;10
104.0344
1
e
n
etp
tnn
T
DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS
Distribusi Multinomial
Discrete Probability Distributions 58
Distribusi Multinomial (1)
• Distribusi binomial: sukses vs gagal, yes vs no
• Distribusi multinomial
– hasil x1, x2, …, xk
– prob p1, p2, …, pk
k
kkk
xk
xx
kpppxxxXXX ppp
xxx
nf ...
!!...!
!21
212121 2121
,...,,;,...,,,...,,
Discrete Probability Distributions 59
Distribusi Multinomial (2)
• atau
k
i i
xi
Xx
pnpnxf
i
1!
!,;dalam persamaan tsb
kpxX 1tor adalah vekdan ,,
Syarat nxpk
i
i
k
i
i 11
dan 1
• Mean dan variance
iiiii ppnXpnXE 1var
Discrete Probability Distributions 60
Distribusi Multinomial (3)
Contoh multinomial distribution
Discrete Probability Distributions 61