stabilità dei sistemi

Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1

Stabilità dei sistemi

Retroazionati

G(s)

H(s)

-

+ G(s)G(s)G(s)G(s)


SommarioIn questa lezione si tratteranno:

La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati (di controllo)

La funzione di trasferimento ad anello aperto Concetto di stabilità Condizioni di stabilità Criterio di stabilità di Bode I margini di fase e di ampiezza


La funzione di trasferimento di un sistema retroazionato (o anche a catena chiusa) è, com’è noto:

)()(1

)()(

sHsG

sGsW

Premessa


Il prodotto che compare al denominatore della W(s)

)()( sHsG

è la cosiddetta funzione di trasferimento ad anello aperto

Premessa


Cos’è la stabilità? La stabilità è un concetto basilare della fisica Tale concetto, pienamente applicabile nel caso

dei sistemi di controllo in esame, si riferisce alla tendenza di un sistema a ritornare verso lo stato di equilibrio dal quale il sistema è stato allontanato con una perturbazione


Cos’è la stabilità?

stabilità

perturbazione

sistema


Cos’è la stabilità? Naturalmente, le grandezze in gioco nella

stabilità sono quelle che definiscono il sistema e cioè le variabili di stato oppure le uscite u(s)

Inoltre, come risalta nell’esempio che segue, la stabilità dipende anche dall’entità delle perturbazioni (o sollecitazioni)

Una perturbazione troppo grande può portare il sistema a stati instabili


Cos’è la stabilità?

instabilità

perturbazione eccessiva


Cos’è la stabilità? Si può allora così specificare la stabilità nello

studio dei sistemi lineari invarianti (p. es. i sistemi di controllo):un sistema è stabile se, in

conseguenza di una sollecitazione limitata, la sua

risposta (variazione dell’uscita) è limitata

(Bounded Input Bounded Output)


La stabilità di un sistema può essere verificata studiando la sua funzione di trasferimento W(s)

Come si verifica la stabilità?


Lo studio della funzione di trasferimento W(s) di un sistema retroazionato è però pesante perché richiede lunghi calcoli

matematici si operano somme,

prodotti e divisioni con polinomi complessi di ordine qualsiasi!



Esiste un modo più semplice per studiare la stabilità di un sistema

retroazionato?

Fortunatamente sì!



Si studia la sola funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)•G(s)

È sicuramente più semplice; non c’è da fare minimi comuni multipli fra polinomi complessi

Trovata la chiave!



Un sistema si dice stabile se a variazioni limitate dell’ingresso corrispondono variazioni limitate dell’uscita

In altre parole se il sistema è in uno stato stabile e lo si perturba (senza esagerare!), l’uscita varierà in modo limitato

La stabilità di un sistema retroazionato (di controllo) può essere verificata studiando la funzione di trasferimento ad anello aperto H(s)•G(s)

Riepilogo


Condizioni di stabilità Una condizione necessaria, ma non

sufficiente, perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s) siano a parte reale non positiva

Tali sistemi sono detti a sfasamento minimo La suddetta condizione si presenta molto

frequentemente nella pratica dei sistemi di controllo


Condizioni di stabilità Se dunque siamo in presenza di un sistema a

sfasamento minimo, si può considerare quale condizione di stabilità il criterio di stabilità ristretto di Nyquist o, più semplicemente, il cosiddetto criterio di stabilità di Bode che è una conseguenza diretta del suddetto criterio di Nyquist

Il criterio di stabilità di Bode può essere enunciato come segue:


Criterio di stabilità di BodeUn sistema a sfasamento

minimo è stabile se la funzione di trasferimento

ad anello aperto G(s)•H(s), alla pulsazione di taglio t,

ha una fase con valore assoluto

minore di 180°


Cos’è t?t è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il

modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0

dB e quindi t è la pulsazione che si individua

nell’intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l’asse delle

pulsazioni


Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) t?

Questo è il valore di t

|G(s)•H(s)|

E questa è la

fase della G(s)•H(s) alla pulsazione t


Condizioni di stabilità In realtà, il criterio di Bode individua

condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo

Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: il margine di fase il margine di ampiezza (o di guadagno)


Cos’è il margine di fase? Il margine di fase può essere definito:

m= 180° + (t)

Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover

L’individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue


Cos’è il margine di fase?

|G(s)•H(s)|

si trova (t)

In corrispondenza di t

che, in questo

esempio, vale

-135°Il margine di fase m

dell’esempio considerato, vale dunque

180°-135°=+45°

-90°

-180°-135°

(t)

m


Condizioni di stabilità

Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di fase è maggiore di 30° (m> 30°)

Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di fase è negativo (m< 0°)


Cos’è il margine di ampiezza?

Il margine di ampiezza può essere definito:

mgdB= 0 - |G(s)•H(s)|dB(=-180°)

Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180°

L’individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue


Cos’è il margine di ampiezza?

|G(s)•H(s)|

2. si rileva il modulo del guadagno in dB

1. In corrispondenza di = -180°

3. che, in questo esempio, è negativo

Il margine di ampiezza mgdB dell’esempio

considerato, è dunque positivo

-180°

mgdB = 0-|G(s)•H(s)|dB(=-180°)


Condizioni di stabilità Concludendo, si può dire che un sistema di

controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase m e di ampiezza mgdB sono entrambi positivi

Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che m sia maggiore di 30° e che mgdB sia maggiore di 1020 dB

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