stabilità per e.d.o. (ii): il metodo diretto di lyapunov roberta pappadà 19 maggio 2006
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Stabilità per E.D.O. (II):Stabilità per E.D.O. (II):IL METODO DIRETTO DI IL METODO DIRETTO DI
LYAPUNOVLYAPUNOV
Roberta Pappadà19 maggio 2006
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IntroduzioneIntroduzione
Il metodo diretto di Lyapunov è un importante metodo per lo studio della stabilità delle soluzioni. Si consideri il sistema dinamico autonomo
Il metodo diretto di Lyapunov si basa su particolari classi di funzioni , caratterizzabili in segno, dette funzioni di Lyapunov; tali funzioni permettono di determinare la stabilità o l’instabilità della soluzione di (1). Nel seguito, senza perdere di generalità, si tratterà solo il
caso di stabilità della soluzione nulla.
nxxfx )(
)(xV
)1(
33
Premesse (1)Premesse (1)
Si consideri il sistema dinamico autonomo
dove e .Si assume che soddisfi le seguenti condizioni: (i) è definita e continua in
dove con si indica la norma euclidea di ; (ii) in ogni punto è soddisfatta la condizione
di unicità delle soluzioni di (1) ; (iii) e quindi è una soluzione di (1) .
)(xfx )1(
),........,( 1 nxxx ))(...,),........(()( 1 xfxfxf n)(xf
)(xf
|||| x axx ||||
x0x
0)0,;( 0 ttx0)0( f
),;( 00 xttx
44
Premesse (2)Premesse (2)
Si consideri una funzione scalare continua con derivate
parziali prime continue nell’intorno dell’origine.
Sono necessarie alcune definizioni preliminari.
Definizione:La funzione è detta definita positiva se : (i) , (ii) , per tutti i punti in .Definizione:La funzione è detta semidefinita positiva se : (i) , (ii) , per tutti i punti in .
)(xV
)(xV0)0( V0)( xV 0x
)(xV0)0( V0)( xV 0x
55
Premesse (3)Premesse (3)
Definizione: derivata rispetto ad un campo vettoriale
La derivata di una funzione rispetto al campovettoriale è definita dal prodotto scalare
si calcola direttamente dalla conoscenza di e del campo vettoriale .
V )(xV)(xf
:)(xVV )()( xfxV
)()(
.......... )()(
11
xfx
xVxf
x
xVn
n
V )(xV)(xf
66
Premesse (4)Premesse (4)
Sia , , una soluzione di (1); allora, utilizzando
la regola di derivazione di funzioni composte, se la funzione viene valutata lungo la traiettoria , si ottiene:
Segue che la derivata di lungo descrive la variazione temporale della funzione quando è calcolata lungo unasoluzione dell’equazione differenziale, ovvero .In seguito si indicherà con la derivata di .
)(txx 10 ttt )(xV
)(tx
nn
xx
xVx
x
xVVtxV
)(......
)())(( 1
1
)()(
......)()(
11
xfx
xVxf
x
xVn
n
V f)(xV
)(tx VV VV
77
Teorema di stabilità asintotica di Teorema di stabilità asintotica di LyapunovLyapunov
Se esiste una funzione definita positiva, tale che
sia definita negativa, allora la soluzione del sistema è asintoticamente stabile .
Dimostrazione:
Dimostriamo che è stabile.Poiché è definita positiva per .Fissato , sia ; allora .
Poiché è continua e , possiamo scegliere t. c. se . Inoltre definita negativa implicache se e allora si ha : .
)(xVV
)(xfx 0)( tx
0)( txV 0)(min)( xVxV ax ||||0
0 )(min||||
xVmx
0m
V 0)0( V 0mxV )( 0 |||| 0x V
01 tt |||| 0x
mxVxttxVxttxV )()),;(()),;(( 0000001
88
Ora supponiamo che per un certo risulti con .Ma allora si avrebbe
e si giungerebbe ad una contraddizione.Quindi se , allora la soluzione è definitaper e soddisfa .Pertanto è stabile .
Ora proviamo che è asintoticamente stabile.Fissato , si suppone che e una soluzione di (1) tali che , , .Inoltre, poiché è definita negativa e , t. c. .
01 tt ||),;(|| 001 xttx |||| 0x
mxttxVxttxV )),;((min)),;(( 001001
|||| 0x ),; ( 00 xttx
0tt ||),;(|| 001 xttx0)( tx
0)( tx0 0 , 0
),; ( 00 xttx ||),;(|| 00 xttx 0tt |||| 0xV 0||),;(|| 00 xttx
0 d 000
00 tt, 0)),; (( sup)),; ((0
dxttxVxttxVtt
99
Ciò implica che
ma per sufficientemente grande il secondo membro della
disuguaglianza diventerà negativo assurdo, poiché per ipotesi è definita positiva. Quindi non esiste t. c. , e poiché
é una funzione positiva e decrescente, si ha:
da cui
Segue che la soluzione é asintoticamente stabile .
t
0 ||),; (|| 00 xttx
)),; (( 00 xttxV
, 0)),; (( lim 00
xttxVt
0||),; (||lim 00
xttxt
0)( tx
, )()()()),; (( 000000
ttdxVdtVxVxttxVt
t
V
1010
Dal Teorema di stabilità asintotica di Lyapunov segue, come
corollario, il Teorema di stabilità di LyapunovTeorema di stabilità di Lyapunov :
Se esiste una funzione definita positiva, tale che sia semidefinita negativa, allora la soluzione di è stabile .
Definizione: funzione di Lyapunov
Una funzione che soddisfa le ipotesi del Teorema di stabilità di Lyapunov è detta funzione di Lyapunov peril sistema corrispondente .
)(xVV
0)( tx )(xfx
)(xV
1111
Consideriamo il caso . Le curve , con costante piccola e positiva, costituiscono una famiglia di curve chiuse concentriche che includono l’origine.
Le ipotesi del Teorema di stabilità di Lyapunov implicanoche, per curve chiuse sufficientemente piccole, il campo
vettoriale definito dal sistema
non è mai diretto verso l’esterno.
Interpretazione geometricaInterpretazione geometricadei Teoremi di stabilità di dei Teoremi di stabilità di
Lyapunov (1) Lyapunov (1)
cyxV ),(
2n
c
),( , ),( yxQyyxPx
1212
Le ipotesi del Teorema di stabilità asintotica di
Lyapunov implicano che il campo vettoriale definito dal sistema è
diretto verso l’interno. Ciò è facilmente intuibile tenendo presente che si
suppone definita positiva e
definita negativa, e che, come già visto, risulta:
Interpretazione geometricaInterpretazione geometricadei Teoremi di stabilità di dei Teoremi di stabilità di
Lyapunov (2)Lyapunov (2)
))(())((
)())(())((
txftxV
txtxVtxVdt
dV
V V
cV
1313
Esempi (1)Esempi (1) Data l’equazione del secondo ordine con differenziabile, e , consideriamo il sistema corrispondente:
Le ipotesi assicurano che (0,0) è l’unico punto fisso. L’ energia totale del sistema è data da:
energia cinetica energia potenziale
0)( xqxq 0)0( q 0)( xxq
yx
)(xqy
x
dssqy
yxV0
2
)( 2
),(
1414
Esempi (2)Esempi (2)
La funzione è differenziabile; La funzione è definita positiva. Infatti:
; per ;
.
Pertanto è una funzione di Lyapunov e il punto fisso è stabile.
Per il sistema
consideriamo la funzione .
V
0),( yxV0)0,0( V0)( xxq )0,0(),( yx
V
0))(()( xqyyxqyVxVV yx V )0,0(
3xyx 3yxy
22),( yxyxV
1515
Esempi (3)Esempi (3)
è definita positiva; è definita negativa. Infatti:
Pertanto il punto fisso è asintoticamente stabile.
VV
yVxVV yx
)(2 44 yx
)0,0(
)(2)(2 33 yxyxyx
1616
Teorema di instabilità di LyapunovTeorema di instabilità di Lyapunov
Se esiste una funzione tale che sia definita positiva ed in ogni intorno dell’origine esista un punto per cui vale , allora la soluzione del sistema è instabile .
Dimostrazione: Sia , sufficientemente piccolo , tale che la palla sia contenuta in . Sia ed è finito in
quanto è continua. Scelto tale che , per le ipotesi esiste un
punto
tale che e .
V V 0x
0)( 0 xV 0)( tx)(xfx
0R} |||| | {)( RxxRS
)(max||||
xVMRx
MV
0r Rr 0
0x rx |||| 0 0 0)( 0 xV
1717
Lungo la traiettoria è positiva e quindi è una funzione crescente e .Segue che non può avvicinarsi all’origine.Inoltre, poiché è definita positiva, si ha :
e quindi
ovvero perMa per sufficientemente grande, il secondo membrodella disuguaglianza diviene più grande di e quindi si allontana dalla palla . Segue che la soluzione è instabile.
:C , , ),;( 000 ttxttxx 'V, , )),;(( 000 ttxttxV
0 )),;(( 00 xttxVC
'V
0)),; ((inf 000
mxttxVtt
, )()()()),; (( 000000
ttmxVdtVxVxttxVt
t
)()()),; (( 0000 ttmxVxttxV .0tt t
M)(RS
C
0)( tx
1818
EsempioEsempio
Per il sistema
consideriamo la funzione . è continua con derivate parziali prime continue; e ha valori positivi in ogni intorno
dell’origine;
e per e sufficientemente piccoli il segno di è determinato dal primo termine tra parentesi. Inoltre e quindi è definita positiva in un intorno dell’origine. Pertanto il punto fisso è instabile.
23 yxx
32 xyy 22),( yxyxV
V0)0,0( V V
yVxVV yx )2)(2()3(2 32 xyyyxx )22()46( 3222 yxxyyx
|| x || y 'V
0)0,0( V 'V)0,0(
1919
ConclusioniConclusioni
I teoremi di stabilità ed instabilità di Lyapunov non forniscono alcuna informazione circa la costruzione di una funzione di Lyapunov di un sistema. Ciò costituisce la principale difficoltà nell’applicazione del criterio.
I teoremi forniscono condizioni sufficienti di stabilità. Tali condizioni non sono necessarie.
Le condizioni di stabilità sono locali. In alcuni casi l’intorno dell’origine considerato potrebbe essere anche molto piccolo.
Analogamente a quanto fatto per il sistema dinamico autonomo , il metodo diretto di Lyapunov può essere applicato allo studio della stabilità delle soluzioni del sistema non autonomo , dove e .
)(xfx
),( xtfx ))(),....,(()( 1 txtxtxx n )),(),......,,((),( 1 xtfxtfxtf n