stabilnost i dinamika konstrukcija
DESCRIPTION
Milan Djuric, Stabilnost i dinamika konstrukcijaTRANSCRIPT
-
~ , r I ...,i-"' - .,..., , // I -1
,., ........... J :r {.~ '-V._
GRAEVl_NSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BE~: j: .
STABILNOST I DINAMIKA l
-
Dr Milan uri, dipl.in., redovni profesor
STABILNOST I DINAMIKA KONSTRUKCIJA
Recenzenti . Dr Nikola Hajdin, dipl.in., redovni profesor Dr Natalija Naerlovi-Veljkovi, dipl.in., redovru profesor
Izdaje Graevinski fakultet Univerziteta u Beogradu., Beograd, Bulevar Revolucije 73
Odobreno za tampu od strane Komisije za izdavaku delatnost Graevinskog fakulteta u Beogradu po preporuci Zavoda za tehniku mehaniku i teoriju konstrukcija sa sednice od 23. aprila 1980. godine
Odgovorni urednik Prof. Dr Milan Gojkovi, dipl.in.
Tehniki urednik Boidar Stamenkovi
Tira: 1000 prirneraka
tampa: Zavod za grafiku tehniku Tehnoloko-metalurkog fakulteta, Beograd, Karnegijeva 4
-
S T A B I L N O S T K O N S T R U K C I J A -------------------- ~--~---------
1.. OSNOVNE PrtEDPOSTAVK.E I JEDNA',INE T~OkIJE KONANIH DEFORMACIJA I TEORIJE DRUGOG REDA
1.1. 1.2. 1.3.
Teorija konanih deformaci ja .. Teorija d r u gog reda .. . Linearizovana teorija d rugog 'red a _ ..
"
2. POJAM ELAS'l'INE 8TABILN03TI 2 .1. Dinamiki i statiki kriterijum
stabilnosti ..... . .. o Q e 2.2 . Analitika formul acij a statikog
kri terijuma stabil nosti ...............
3o DIFERENCIJALNA I INTEGHALNA JEDNAINA PHAVOG TAPA PO TEOJ:~LTI DIWGOG REDA
3.1 . Diferenci jalna jednaina pravce tapa
Str ana
1 / 4 / 6 /
7 ./
9 ./
po teoriji dru~og red.a.................... 12 3 . 2. I ntegralna jednaina pravo~ tapa po
teoriji drugo g reda....................... 14 3.3. Uslovi ravnotee tapa konane d uine
po teori j i drugog red a. ..... .... .......... 15
4. TEORIJA DRUGOG REDA PRA V('G ('J:.AFA SA ImE3TA!'!TNIM PO~RENIM PR.ESE!~O I'-: I KONSTANTNOM AK:3IJ AIJ~OM SILOM
4 .1. 4 . 2 .
Metoda poetnih parame t a ra . . . .. Prosta greda optereena knnce ntri s anom silom ... Uti caj ne linije ..................... .. ... . Fr ime r superpozicije dej s tva ..
5 STABILNOST PRAVOG [ TAPA SA J:ot~ STAN'I'!:H'. POFRb:NIM PHESEKO~ I KONS'!'.c'.,1\'"' r'.Ol'-~ AKSIJAINOM SILOM
"/ j 5.1. ' 5 . 2 .
Sopstvene vrednosti i sops t vene f unkcije . Euler- ovi zadaci s t abilnosti ....
17 . 2l~ 26 28
29 33
I ' '
.I . " r ;n
-- - :.I~
-
6 . ~TAP SA SKOKOVITIM POPRENIM PRESEI-:OM 6.1. Proraun uticaja po teoriji drugog reda........ 4o 6.2. Stabilnost tapa sa skokovitim poprenim
prese kom....................................... 45
7. TAP SA PROMENJIV!M POPRENIM PRESEKQM 7.1. Primena integro-diferencnog postupka na
proraun uticaja po teoriji drugog red~........ 52 7.2. Primena integro-diferencnog postupka na
pro~lem stabilnosti ~O 55
8. PRIMENA METODE DEFORMACIJE NA PRORAUN SISTEMA BTAPOVA PO TEORIJI DRUGOG REDA I NA ODREDJIVANJE KRITINOG OPTEREENJA
8.1. Odredjivanje "konstanti" tapova 0...6; ... >..c.i ..... . o;di e.i, i mo~~:r:iata uklj etenj a ln
-
h.--
D I N A M I K A K O N S T R U K C I J A
I. OSNOVNE JEDNAINE DINAMIKE LINI~TSKIH NOSAA U RAVNI Strana
1. UVOD-DINAMIKO OPTERECENJE . 86 2 OSNOVNE J:~DNAINE DINArlIKE LINIJSKIH NOSAA
U RAVNI o . Cl 88
II. SI STEMI SA JEDNIM .STEPBirnM SLOBODE
l. SLOBODNE OSCILACIJE SIS'rE!V!A SA J EDNIM STEFU;QM SLOBODE
1.1~ Sl obodne nepriguene oscilacije ~ 98 1$2. Slobodne pri~uene oscilacij e sa viskoznim
otporima . ........ c; 103
2 PRINUDNE OSCJLACIJE SI S'.PEMA SA JEDIHM S'l'EPENOM SLOBODE
2.1. Prinudne oscilacije sa harmonijskom poremeajnom sil on1. .... .. ... ...... ..... .. 112
2.2. Sluaj naglog optereenja... .. .. .. .. .. ... . ....... 117 2.3. Impulsno optereenje . . .... . ........ . . . ........... 119 2.4. Sluaj kada je sila P/t/ proizvoljna funkcija
vremena . .. ..... gu,: .31o e 122
III. SISTEMI SA VIE STLPE~J ::;LOBODE 1. SLOBODNE NEPIU GUEEN:C.: OSCILACIJE '.")1 ~3r'.1EMA l ol . Diferencijalne jednaine kretanja .. . 124 1.2. heenje problema slobodnih nepri~uenih osciLa-
cij a si s tema ............... .... . ..... . . . . . . . . . . . l~~ : 1.3. Iterativni postupak za reavanje homo Genih
a l gebarskih jednaina... .. .. . . . .... 134
- , V
2. PRINUD~!E NZPRIGUL.i~NE OSCIJ,ACIJE .':;I s EMA SA VI :..."E S'l'EPENI SLOBODE
2.1 . heenje putem razvijanja optereenja u red prema sopstvenim formama oscilovanja .. ~
2 . 2 . Reenje za sluaj da su prinudne s ile harmo-nijske sinhrone i sinfazne funkcije ...
----=----------
138
141
-
3. DINAMIKO POMERANJE CSLONACA..................... 144-
P H I L O G : Privremeni tehniki propisi za gradjenje u seizmikim podrujima 148
- -----------
-
ST.ABIL!~OST K O r ~ T R U K C I J A
--
-
1. OSUOVNE E'RED~'OS'l'AVKE I JEui: ACH:E TEO!tIJE KONANIH D:Sli'Oill'!ACIJ A I TEORIJE D:;:tl.;GOG REDA
~-[ 1.1 Yreorij a konanih deformacija . I "-----
St a tika konstrukcija za~movana je na s ledeim pretpostuv-kama:
(1) Pret postavka o malim deformacijaoa . P rema ovoj pretpost a -vci s u specifina pramena d u ine, odnosno , dilatacija ose ta-pa , kao i obrtanje poprenog pre:oeka tapa 'P , t ako ma-le veliine da je opr a vdano pretpostaviti zanemarljivo malim njihove kvadrate i v ie stepene E. 1 ; 'P 1 w (2) Pretpostavka o malim veliinama pomeranja napadn:i,h ta aka
\ spoljnih sila. Ova pretpostavka povlai za sobom i spisivanj e u s l ov a ravnote e na nedeforoisa nom elewentu tapa. ~~ (3) P r etpostavka o linearnoj vezi izmedju d ilatacija i napona, odnos no temperaturnih pramena (Hukov za.1
-
- 2 -
Izmedju pomeranja i deformacija postoje sledee veze: .~ . .
dx-rdu = (I-rt) c0sYYdx l I (
dv = (l+E) sin 'Jc/x 12
U okviru linearne teorije pravog tapa, gornje veze su znatno jednostavnije, pa imamo njihov sledei oblik:
du = Edx dv == lf>dx
(1. 1 )1
(1. f}_ )'
Ako odbacimo i pretpostavku (2) o malim veliinama pomeranja napadnih taaka spoljnih sila, .to emo uslove ravnotee posta-viti na deformisanom elementu tapa. Pri tome emo definisati
jJds
1. 2
:.C - c. c te C\':
. ......
1 ! f
' . .. . ,
pojam 11 mrtvog 11 optereenja kao takvu vrstu konzervativnog opte-reenja koje se u toku deformacije ne menja po pravcu i veliini , a moe se smatrati da je zadata po elementu d u ine nedefor-misanog tapa.(Pojam konzervativnog odnosno nekonzervativnog
-:' : --;_ optereenja je uveden prema tome da li radovi ne zavise ili za-vise od putanja).
d-J.1 + Px dx = O t. 3
d 11- V ( dx -r du) + li dv __ = O 1.1
1. 5
U poredjenju sa u s lovima r a vnote e linea rne teorije, ovde uoavamo dodatne lanove -Vdu kao i Hdv. Treba napomenuti da izmedju komponena ta prirodnog s i s tema koor-dinata vektora unutra nj i h s ila i Dekartovih koordinata istog vektora, postoje poznate veze trans form acije:
fJ = /.lco5 'f + V .5i77 Y' 1. ;;
T ::-f/Si77'1'+ Veo.s'!' f b
-
' ; , ' ' .
- 3 -
Izmedju deformacijskih veliina s jedne strane i sila u prese-cima i temperaturnih promena s druge strane, posto je odredjene veze. Napisaemo ove veze zadr av~jui pretpostavku (3) o fizi-
koj linearnosti zadatka, uzimajui da su saglasno Hukovoru za-konu dilatacije linearne proporcionalne naponima i temperatur-nim promenama. Ta.ko dobijamo:
I// -: d'f' _ _ t1 _ a(t .At . t. 6 c/v - d.x - I h
c = ~ + cx't t = c~ (/le.os'!+ Vsin 'f') rat t t. 7 ::..i Ovaj sistem od 7 diferenci j alnih j~dnaina, zajedno sa odgova-
, rajuim graninim uslovima, definie zadatak teorije konanih deformacija. Na raspolaganju imamo 7 jednaina, kojima su odre-djene nepoznate veliine: li, V. 11, u, V, 'P, E , ukupno 7 nepoz-natih. Kako je jednaina (1.7) data u konanom o"Qliku, to moemo
' .
smatrati da je njome odredjena veliina E , pa imamo sis.tem ! od 6 dife_rencijalnih jednaina sa 6 nepoznatih veliina. Reimo li jednainu (1.1) po du , kao i jednainu (1.2) po dv,to unosei pomenute veliine u jednainu (f.5) i reavajui jednainu (1.6) po M, unosei takodje i M u jednainu ( 1.5) ,dobivamo naj-optiji sluaj - _dif_~!.',.e~cj..ja;t.nu jednainu elastike (f.9)
. - - ..,. .-- -------....... . ..... ... --~ - - - - -:.:::: .-....:..:
18 .... __ ,
(EI'f>')'+(t-1-E)(Vcos'f'-llst:n'P)-1-(Eiit at)':: oi ~ f] ~../
1.9
U j ednaini (1.9), pored nepoznate t.p figuriu jo i veliine . Hi V. Kako se vrednosti ovih veliina razlikuju od vrednosti - istih veliina odredjenih linearnom teori j om s amo za konstan-tu, to ih ne moramo smatrati nepoznatim veliinama. Ovu diferencijalnu jednainu moemo nai- u lit eraturi u ne to izmenjenom obliku. Otsustvom transverzalnog optereenja p =0
- .... Y .. -----sledi V=const.
-
- 4 -
Ako s u granini uslovi takvi da je ova konstanta jednaka nuli V=O, i neka je zadata samo a.ksijalno optereenje na krajevima tj. Px=o, odnosno H=-S, (sluaj pritisnutog tapa na krajevi-ma), to e u sluaju da je .:1 = const ili At = o, diferenci-jalne jednaina (1.9) postati:
t. to
Ako je dilatacija zanemarljivo mala: 6=0 :; // s ~.\ i Eicconst,dobiemo: , 'f' + - st:n y; = o ~ :___ eI ..... .J f.11
Prema Kirchoff-u, diferencijalna jednaina je analogna jednai-------------- --- -- ----------------
ni konanih osci l acija klatna. 1.2 Teorija drugo g reda
Teorija konanih deformacija je izveden~ pod pretpostavkom fizike linearnosti zadatka (3), i odbacivanjem pretpostavki o malim deformacijama (1) , kao i o malim pomeranjima napadnih ta-
aka zadatih sila (2) . Treba napomenuti da su u najveem broju sluajeva deformacije zaista male pa je uvodjenje pretpostavke (1) opravdano. 0to s e tie pretpostavke (2), uveriemo se na ne-koliko primera o potrebi njenog odbacivanja . a) Neka je data prosta ~reda , optereena poprenom koncentrisa-~om silom P i silom S na k r ajevi ma grede.
-' p i c s -~---------t ---~:c
sl. t. 3
Ukoliko razmatramo r avnoteu nedeformisanog t apa , sila S nee dati momenat. Uko.liko razmatramo ravnoteu na deformisanom ta-pu dobiemo:
Kako je s esto veoma velika sila , to i pored male vrednosti po-meranja v, proizvod Sv moe biti konaan, a esto i veoma zna-
ajan jer i on uti e na dalje poveanje u c;iba v.
-
b)
- 5 -
/77 777 _,_ ... . (
. I
Me = 11co - flyc
11c == Hco - li ryc - V)
sl. 1~
Za plitak luk s u sile horizontalnog potiska H velike pa e i uticaji svi h sil a na veliine momenata pri pomeranjima v biti veoma znaajni~ Ovde e taniji proraun dati vee veliine momenata.
c)
5l. t. 5
Ne= 11co - Jlyc
Ne = Hco - JI 0'c .f- V) U sluaju viseeg mosta , vrednosti momenata koje daje teorija drugog reda, bie znatno manjih od vrednosti mo~enata prema linearnoj t eoriji. Kako su obino u pitanju veoma veliki ras-poni ovakvih mostova, to e taniji prorauni dati i ekonomi-
nija reenja. Prihvatajui p retpost avku o malim deformacijama (1) , iz siste-ma jednaina teor ije konanih deformacija dobiemo sledei si-stem jednaina teorije drugog reda:
~"'''"'
du = Edx (I) dv == Cf>dx (Z) d JI+ f?c da: :: o (3)
(t. 1'2. ) dV+~dx=D ( ,q) d/'1- vrdx+ duJ + l./dv =o (5) d'f = _ /\1 _ ci' At ( 6)
d.:X eI h E . =:; + ~ t = e~ (t1+-v'f)+ cXt t (7)
-
- 6 -
Nelinearnost ovog sistema jed.naina je oigledna budui da su medjusobno pomnoene nepoznate sile V i H sa nepoznatim dife-rencijalima du i dv. Linearnu teoriju dobijamo k ada pored pretpostavke o malim de-formacijama uvedemo i pretpostavku o malim pomeranjima, tj.us-love ravnotee ispiemo na nedeformisanom elementu. Tada otpa-daju 1 anovi Vdu i J/dv u j ed.na ini ( 5) , kao i lan V. 'f' u j ed-n.1t ini (7). 1
-- - _ j U najveem broju sluajeva moemo zanemariti uticaj dilataci-je c na veliinu pomeranja, pa i mamo sledei sistem diferen-cij a lnih jednaina:
du::: o dv == 'f'dx di! -1- ,P,x d;x =o
dv +;O_y dx =O -.. , d/1-Vdx -1-tldv =0
d'P = _ H _ o!.t: .dt dx I h
. ,
Zanemarujui dilataciju E , izostala je i Pri r eavanju ovog sistema diferencijalnih poznate moemo bir ati veliine pomeranja i li momenata /1 :.:;to s e tie sila /./ i V
(1)
(Z l
(.3)
(4)
(S)
(6)
(f 13)
sedma jednaina. jednaina, za ne-
v , obrtanja 'P , kod pravih ta-
pova e n jihovo odredjivanje uslediti i z graninih uslova za-datka .
,:.f/ '1Treba napomenut i da se sistem od est diferencijalnih j ednaijna teorije drugog r eda ( f.f~) r azlikuje od odgovarajuih dife-1rencij alnih j ednaina linear ne teor~ e samo za lan lldv u i 1 j ednaini broj (5). I 1.3 Li near izovana teorija drugog reda
,,
Sistem jednaina po teoriji drugog reda mo e se linearlzovati, 11
j\b ar po nepoznatim veliinama, polazei od pretpostavke da je I
-
- 7 -
I
proizvod statike i deforrnacijske nepoznate jednak proizvodu -- ----- -- . ..,:. - -~ - - ---- - --- ------------~-., "'""'~-- - - . istih nepoznatih, gde je statik~ ne~o~~~ta~~dredj~na ~~e~a_ linearnoj teo;iji_:_______________ . .::. - -- --- -- ----- - --- -
--- ~ ---- ---SU =So U
Na taj nain dobijamo linearizovanu teoriju drugog reda, iji sistem jednaina glasi:
du =E. da:. dv = 'f'dx di! +13:. dx =O dV+,P_y dx =0 d/1- Vdx - Vodu .;--//odv =O
--------
d'f = _ M _ c:L.t .At: dx EI h
,...- -- --
( 1) (2)
{3) (4)
(5)
(6)
E = IV +ci . t 0 = _.!_ (fl-r Vo '>J. + o! 0 (7) EF - c F ; - __ . -~
(114)
Ako je re o jednom pravom tapu sa zadatim graninim uslovi-/
ma, t ada moemo odrediti silu ~' pa je problem nelinearnosti reen. Za probleme kod sistema tapova, odredjivanje normal-nih s ila ne moemo odv~jiti od odredjivanja transverzalnih si-la, a ove pak zavise od momenata u s usednim tapovima. Zato urnesto sile H stavljamo Ho .
/~, . \ 2 ) FOJ AM ELAS'II CNE STABILi'TOSTI ---
2.1 Dinamiki i statiki kriterijum stabilnosti
Pojam stabilnosti poseduje irok spektar znaenja. Tako ~ovorirno o stabilnosti kretanja, stabilnosti re enja diferencijal-nih jednaina, i najzad i o stabilnosti konstrukcija. ~J:lil::_ nost mo emo shvatiti kao odredjeno s vojst vo kreta!lja nekog
- -- ... ______ -- - -.. - -- - -- ---- - --- - .
s~~~~~- termodinamikog, biolo koe ili pak mehanikog. i\:retanje sistema zavisi od odred~_en_i_~parametara. ? ro::;ene ovih parametara d a j u od.r:e_d.j_ene vrst~- porene aj_a ,,__l:o j i._.
-
- 8 -
izaziva1~ rnal~~?t~panja_ sistema od n~E_o~m~ e_E_?_g t.retanj~_,_ onda s u u pitanju stabilna kreta.nj'.3: . :nestabilna kret?-nja se
--------' ~--j iLl.".'lj aj u kada ~ale pr o::iene poremeaj a izazivaju os etna odstu-- - ------~---
panja -~istema __ ?d nep_orer~ee~~g }cr_~~anjsi,_., U teoriji konstrukc i ja i spitujemo stabilnost inenjerskih kon-strukcija , tj . i.slove koji iilora ju da budu zadovoljeni da bi one bile u stabilnom ravnotenom poloaju. Pri tome ~Fa_~mo najmanje, takozvana k:::-itino optere enje pri kome prvobitni --- - - -- - - -
~ t~~-~ la...Yl ravnoteni P? loa j pos taje nestabilan . Folazef: i od opte definici je s tabilnosti, mo e da se defini~e i kritino
optereenje .
r~ritino optereenje konstrukcije je naj -~anje optere enje te konstr ukcije pri kome odgovarajui poremeaji izazivaju kreta-nje konstrukcije ko je ni je ogranieno na neposrednu okolinu
ravnotena~ poloaja . Ovo je kinematika i li dinamika definicija kritinog opteree-~-- - -- --- -- - ------ - ----- -- - - -- -nja, ili kako s e to esto govori kinematiki ili dinamiki kri-
-~ --.:;. .
terijum s tabilnos t i konstrukcije. f; edjut im, jo od Ojlera (Euler , 1744) u praksi je odomaena dru-ga , statika definicija kritinog optere enja, odnos no statiki
- - ---- -
_ kri t~::r:.._i_j~~~abj. l~_o_s:ti_:
\ Kritino ontereenj e je najmanje optereenje konstrukci,j e pri kome pored prvobitno~ (osnovnog) ravnotenog polo aja postoji ma i jedan drugi ravnoteni poloaj kons trukcije.
Statiki kriterijum stabilnosti nije ekvivalentan dinamikom kr iterijumu i ne d ovodi u svio sluajevima do istih zakljuaka i rezultata. Ne uputajui se detaljnije u to pitanje,treba napoCTenuti da kada je re o elastinom sistemu _outereenom }con-
- - - - - -- -- -- - - -
zervativnim silama (si lama koj e i maju potencijal) sta~iki kri--= - ----------- -------- ~ . --
terij um j_e_ _~_k.yi valentan dinamikom.- S-obzi;o~- da najvei broj - -----~~-----pr:b1ema stabilnosti gr adjevinskih konstrukcija spada u ovu
grupu , a da je statiki kriterijum, i pak , znatno jednostavniji od dinamikog , u teoriji stabilnosti konstrukcija u prioeni je
statiki kriterijum stabilnosti.
-
- 9 -
2.2 Analitika formulacija statikog kriterijuma stabilnosti
Neka je dato takvo optereenje da njegov porast linearne za-visi od jednog jedinog parametra. Za m_!3-le vredn~sti parame-tra optereenja postojae samo jedno ravnotene stanje. Takav ravnoteni "PZ1o-~j-nazi vamo osno~i-~;vnote-n1m-polozaj em. ~ ~_E_oye6~~fe_m_~-a~~~i;~___Qp_t;~e__el).j_a -~~i_j q ~ =;~-~~ ri~o-teni poloaj, tada odgovarajui parametar OI?~~_ree:q._j_~ _n?-zj----- - - -- --- -- - - - - - ----. - - --
vamo kritinim. 1 . R = a,P
sl. 2.1
,:
-
- 10 -
I\) d:c + duo -r d~ ,= ( /-f"~-6") cos ('Po+ r.p) dx dVo + dv= (l-1-,-rEJ st:11 fY::,-1-Y') d.x d(Ho+H)+~dx -=-O d fVo +V)+ fJy dX:::: O d(Ho+/"f)+( flo +JI) ( d11, -1-dv)- ( Vo -rVJ( dx +cluo -r-clu) =-O eF (Eo -1-) = ( flo -rf/) cos ('l'o-r 'P) -r (Vor- V J St'n ('f'o.,. 'P) ] ( d'P0 +Ci'f') = - ( l'fo + /'f} olx
Veliine osnovnog ravnotenog poloaja ne moraju biti male, pa imajui u vidu male vrednosti veliina prirataja koje karakteriu novi ravnoteni poloaj, moemo napisati s lede-
e veze:
c.os ( 'f'o + r.p) -::= cos Y& - 'P s i-n 'Po sfr1 (
-
- 11 -
Sada moemo dati i analitiku formulaciju statikog kriteri-- ---------------- ---- - -- - --- --- --- ~ juma stabilnosti, odnosno kritinog optereenja: Kritipo .
- ---
optereenje je ona najmanja vrednost opt_~re_e_nja, pri kome - _.__ . .. _ -... -~ - . -
homogen sistem linearnih jednaina (B) im~i jedno _reenje - - ..... - ------- . raziiito- od-~trivijalnog. Razmatrajui mogunosti za reava-
nj e ovog - ~i.st~;-a." ~o~mo se lako uveriti da je osnovna teko-a u tome to je sistem jednaina (A), koji treba da da sve veliine osnovnog ravnotenog stanja, nelinearan. ii v?Prihvatiemo pretpostavku (1) i (2) o malim veliinama pome-
ranja, kao i o malim veliinama defor~acija, u osnovnom rav-notenom poloaju. Na taj nain razmatramo osnovni ravnote-ni poloaj izuavajui ravnoteu nedeformisanog tapa. Sada
sistem j ednaina (A) prelazi u sistem j ednaina (A'):
duo == EodX dvo == ~dx di/o
dVo
dl'fo
= - P., dx Jt
=-P dx :t
== Vo dx FEo = Ho E I dVJ0 ;:: - H0 d.x
I I
I
--- --
--
.; ., - '
h/- / --t:' ~ ,-; ... : ,!
(;<
(A I)
Razmotriemo sada sistem jednaina (B). Pclazei od pretpo-stavke o malim veliinama deformacija Eo i ~ , to imaju.:i na umu da su veliine E i l..f , po definiciji male veli ine, moemo zanemariti sve njihove medjusobne proizvode kao male
veliine vieg reda, pa
-
- 12 -
Poredjenjem sistema jed.naina (B ' ) sa linearizovanim jedna-inama teorije II reda (Vidi poglavlje 1.3), ooemo zaklju-iti da sistem jednaina (B') pretst avlja homogen deo siste-ma jednaina teorije II reda. Prema tome, kritino opteree-
j nje moemo definisat; kao najmanju vrednost optereenja,pri ( kome homogen zadatak linearizovane teorije II r eda ima ma i
~ jedno reenje izuzev trivijalnog.
3. DIFERENCIJALNA I INTEGRAL...N"A JEDNAINA PRAVOG TAPA PO TEORIJI DRUGOG REDA
2.1 Diferencijalna jednaina nravog tapa po teoriji drugog r eda.
Jed.naine teorije drugog reda za pravi tap ija je nede-formisana osa usvojena za x osu su sistemom jednaina /~ Time rencijalnih jednaina 1.13 (2-6) V , M
koordinatnog sistema xOy date je dobijen sistem od pet dife-sa pet nepoznati m v , '-\' , ~ ,
\\ Kada jednainu 11J-Jdiferenciramo po x-u i u dobijenu jednainu ~ I unesemo jedn;:i.inu f.13-1, a za M prema jednainama llJ-2 if.IJ-6 '.me-
semo:
J.1
dobijamo diferencijalnu jednainu elastine l ini je pravog ta-pa po teoriji drugog reda :
\...~ . ' dz 2 e . - (eI dv)- d(ll dv)= P _ _E_ IEici ~to) '
d x z d x.2 d.:c O'x .!f d x 2 11 t T ' 3.2
Kada iz j ednaine f.13-J i odgovarajueg graninog uslova sraunamo si l u H i unesemo j e u jednainu J.Q , inte gri s an jem te linearne diferenci jalne jednaine uz odgovarajue granine us l ove nala zimo pomer anje v Iz j edna ine l~-2 dobij amo sada
-
- 13
obrtanje 'f , iz jednaine 3.1 momenat M i konano iz jedna-ine f~-5 silu V . Normalnu i transverzalnu silu sraunavamo iz jednaina ~ib koje za prav tap glase:
N = I-I +- V 'f T = - fl 'f' t- V
Ako uvedemo oznake:
: : f
fl= + s .,C(.x.) = -;: s f
r r
3.3
gd,e su Ic i 5 unapred izabrane konstante, a 1/1(.x.) i f(x) funkci-je koje 1d'efiniu pramenu m'omenta inercije tapa, odnosno optere-
' enja tapa u pravcu x ose, tada jednainu ~. ~ , moemo napisa-ti u obliku:
r .
Jednaina 3.1 predstavlja diferencijalnu jednainu pravog tapa po teoriji drugog reda. Gqrnji znak vai za sluaj pritisnutog, e. donji znak za sluaj - - - - --- - -
~~egn~~~g -~~aI?..i:-__.
-
I I
--
- 14 -
3.2 Integralna jednaina pravog tapa po teoriji drugog reda.
Sistem jednaina /.~ razlikuje se od odgovarajueg sistema jed-naina po teoriji pr?G6 reda po tome to uslov ravnotee mome-nata l.f3-5 sadri lan lfdv koji u uslovu ravnotee momenata po teoriji prvog reda ne postoji. Medjutim, ako na tap pored datih sila ,P~ i p nanesemo jo i raspodeljene spoljanje y momente:
f m dx = lldv ss
odnosno:
Uslovi ravnotee elementa tog tapa po teoriji prvog reda (sli-ka 3.1 ) isti su kao uslovi r avnotee tog tapa optereenog sa-mo silama ~ i ~ po teori,ji drugog reda. Odatle sledi stav: -~ Uticaji u jednom pravom tapu po teoriji drugog reda jednaki su
uticajima u tom tauu po teoriji prvog reda kada je on pored za-datih spoljanjih sila optereen jo i fiktivnim raspodeljenim momentima mf = fl y>
V P.,dX
H -f-1 m'ckT_3dx ;:_ Hdfi ~t
V,..dv
S{ 3. 1
-- --
---
-
- 15 -
Ako sa ~(u) odnosno ~(S) obeleimo obrtanja preseka na mestu u , odnosno na mestu 5 po teoriji drugog reda, sa ~uJ
obeleimo obrtanje preseka na mestu u usled datog op~ereenja ,Px i Py po teoriji prvog reda, a sa 'f"f (t.1,5) obrtanje na mestu u usled jedininog momenta na mestu s po teori-ji prvog reda, tada ~loy __ g.a j~ ___ QE.t:tE!Ilje p_o _t _e_oriji_ dr~gg ~e- __ da jednako obrtanju po __ ~_eorij_i .PJ:'VOg __ reda," usled opt_ereenja
,P~ __ i f.'y - i -;;;~en ~ ~ m f moe da se prikae j efuia inom: r--- - -i j lf'(u) = ~(~) r j 'f',y (u, s)~::_ ~fj) ~:1 3.6
.U/,
Ovo je integralna jednaina pravog tapa po teoriji drugog reda.
3o3 Uslovi ravnotee tapa konane duine po teoriji drugog reda \ .
Integracija uslova ravnotee ispisanih na diferencijalno elementu tapa, daje uslove ravnotee ispisane za sluaj konane duine. Tako integracijom j ednaina !f:5 {;3.~ i 5) jamo sledee izraze:
c c
flc = li ii( - j ~ dx z.
Vc =V~-/ ~dx z.
c c Me - /\1~ -( Vdx 1-J; fldv =O
malom tapa dobi-
3.7
Imajui u vidu parcijalnu integraciju, to posled.nju jednainu moemo napisati u obliku:
c Me -/'1t.k - Vc Xc r Vz:t.xi -r/ (-!}) xd.x r /f ~ -
c z - flw_ Vi - j (-/Ja:_) vdx =0 3.8
-z
\
I
-
- 16 -
Kako je prema prvim d vema j ed.nainama odnosno 'lc Xc
c
\f xc =V~ Xc -f~.rc d.x i..
I 3.7 proizvod #c Vc
3.9
Izraz za momenat 1'1c moemo odrediti u dP.finitivnom obliku, koji je lako izvesti na osnovu s like 3.2
Sl. 3.2
+--o:t"c-JCi (E;;to)
Treba napomenuti da korienjem nurnerikog postupka moemo ta-kodje reavati zadatak teorije drugog reda, polazei pri tome od izraza za momenat na kraju tapa konane duine i odgovara-
jueg definicionog izraza za momenat:
c
- Iv/1- Eic.t h = ~~ -r Yz:t- (xc-Xi )-jPy (a:c-:x.Jclx - h'z"A. (~-vi) r-3.11
( ''' C -/ .r I f( ( (r l r , ~ ( .~ ( ( , . /"
~ ... .~~--,-,,...,--------------;;;;;;;;;:=:._.=... _ __::===========-====-==:.......-====-- - --- - -
-
- 17 -
4> TEORIJA DRUGOG REDA PRAVOG TAPA SA KONSTANTNIM POPRENIM PRESEKOM I KONSTANTNOM AKSIJALNOM SILOM
'4.~Metoda poetnih parametara 4.1.l Pritisnut tap
Diferencijalnu jednainu pravog tapa konstantnog poprenog preseka (eI..-co11st) koji je optereen poprenim optereenjem
p(x) i aksijalnom silom pritiska S na kraju, dobijemo kad u jednaini .3.1 stavimo lf/=1 , f1 i At. O:
1JY 1. li f'.Jf.X) V rllV .,,._ eic
4.1
Opte reenje gornje jednaine jednako je zbiru iz opteg re-enja homogene diferencijalne jednaine i partikularnog re e-nja nehomogene diferencijalne jednaine.
V= "'J, +- Vp
Opte reenje homogene diferencijalne jednaine moemo n~pisati u sle~eem obliku:
13
Ako partikularne reenje usvojimo u obliku: X
v. =J~rx-s)-sin~rx-) p()dS p lt.5
o
Konstante c1 , c2 , c3 i c4 odredjujemo iz graninih uslova na poetku tapa gde je x = O.
V fXOJ = V(O) ::: 1 r "f +- ~ (O) v'fx-o) = 'P(o) = C2 k +- C3 !
-
- 18 -
Za usvojeno partikularne re enje lako se moe pokazati (vidi jednaine 4.9 ) ,da je:
Y,.o (O) =O
Vp'(O) =O -civ 11 (O) - O ;,o -
E.I /// s I - V,0 (O) - ~ (O) = 0
~-6
Tako sistem jednaina 4 .5 predstavlja sistem od etiri jednaine sa etiri nepoznate, ijim re enjem nalazimo:
C1 = V(O) - /\1(o) s
- VroJ c =--2 5 -/t, --:'\ \ \
4. 7
C _ M(o) ~- -s
Kada ova reenja unesemo u jednainu "'1. 2 dobijamo:
1.B V=V(D)+'f>ro> SiTJl
-
- 19 -
X
~ =I 1- C05k (X- . ) p (5) d .5 () s .X.
~, = j l(S(nf
-
- 20 -
tako da jednaine sada piemo u obliku:
X
v (X) = vro> + 'f(O)~ (X) rl1foJ!j(xJ + V(o)~(XJ-j~ (X-J )p(5JdJ o
X
'f(:x.} = 'f(oJcosk.x.-/1(0) A!.sz"n~x -r VroJ ;s-r.r>-jr.; (x- ,5J pr5; dJ s .
o X
M(xJ = 'P(oJEiksi-rJk.x .;-/'1foJ coskx -r- VroJ ~(:xJ-j Fz (.x.-5) P(f)d X
o
V= VroJ -j fJ(5J d 5 ~. l o
4.1.2 Zategnut tap
Diferencijalna jednaina pravog tapa konstantnog poprenog preseka koji je optereen poprenim optereenjem pfx) i ak-sijalnorn silom zatezanja 5 na kraju tapa, d.)bija se kada u jednaini 1.1 umesto znaka "+" unesemo znak 11 - 11
1-. !3
Do opteg reenja ove jednaine moemo doi na analogan nain kako je to pokazano za pritisnut tap u poglavlju 4.1.1. Me-djutim, mi emo se ovde zadovoljiti time to emo koristiti
ve gotovo reenje za pri tisnut tap u kome emo ume st.
-
- 21 -
Sada moemo odrediti funkcije F1 , F2 , F3 i F4 za zategnuti tap: I:
;:; (:X.) = 1
-isz."n i~x I
-
,-- ----( '
/'"i( l f" ( r 1 1
4.1.3 Primena metode poetnih parametara na slu aj \ ,_ prekidnog optereenja
I ~- .)
Razmotriemo takav sluaj optereenja, slika ~1 kada se ono men.ja du nosaa, pa je u takama x-:::a1 odnosno x::a.2 zada-ta koncentrisana sila P1 odnosno P2 , koncentrisani momenat M1 odnosno 112 , i uvedena dodatna podel j ena optereenja A od-nosno Pa Imajui u vidu odredjeni karakter fun.kcij a 'i , ~ , Ji i ~ , koje definiu vrednost jedininog uticaj a u taki sa apcisom x. izazvanog jedininim dejstvima respektivnih ge-neralisanih sila i pomeranja, koje deluju u taki x = o, moe-mo napisati sledee izraze:
5
Slika 1-. 1
V(X) :=: V(o)+'Pfo>1fitx.)+Mro)15 (X)+ Vro)~ fX) -r- FPo (x) +- (t) -r/!"'1~ (x-a. 1 ) -71~r.x-~t> +_F/f(x-a,) + / ... .:t>a1 -"-'. X> a 2
. ksinl cosk.=c -.!::f(o) 5 -r Vro)l=j rx) +- Fp0 (:X)+- (2) 4-. 17 +/-11 Jst.nk(x-a) -- EF.. (x-a. )+-F' (X-a )-r I -=.~1 s 1 3 1 /./ f .. /" -
X')D.. 1 JOQ.2
~========.=..:::=========-=====-=====---'=--~==--~-===-~~- ~-:---=
) )
-
- 23 -
l ycx>,.. Vro> -Pc,x +- /- P,- ~rx-a1 ) -1--/ . . . X> a~ ..:t >a..z
lanovi iza prve vertikalne crte uzimaju se samo za preseke za koje je ;x > 0..1 , lanovi iza druge vertikalne crte samo za preseke za koje je X.> a..2 itd. Partikularni integral F,,ofxJ . za pritisnuti tap optereen jed-nako podeljenim optereenjem f:J , saglasno jednaini 4.1- iz-nosi:
X
Fp(X) =s: f/"AC (X- 5 )-57..'71~ (X-5))dJ -o
f = P ( coskx-1 + k:~2.) Sk 2 "-
4. /8
Izrazi za uticaje u zategnutom tapu optereenom t r ansverzalnim opte~eenjem na slici ~- 1 lako je napisati na osnovu jednaina 4. f7-1 do 4J7-4., pri emu je za zategnuti tap optereen j ed-nako podeljenim optereenjem:
jO kzXZ / Fp (X) = ---z ( Ch~X - f _;:-) s~ - -- 2 -1-- f 9 Polazei ~d optih reenja izvedenih u ovom pog lavlju lako mogu da se odrede uticaji u proizvoljno oslonjenom tapu, pritisnu-tom ili zategnutom silom s, a optereenom proizvoljnim transver--zalnim optereenjem.
-- ------
-
- 24 -
4.2 Prosta greda optereena koncentrisanom silom
Razmotriemo dejstvo pokretne koncentrisane poprene sile P , iji poloaj na gredi odredjuju koordinate a, odnosno a' odmeravane od levog odnosno desnog oslonca grede (sl. 1-. ~ )
I a fp ~---~.i== - ~ 5 ~-x_ ... _ ~~~~l~_-___ -_ _J Sl. 4 . e
Ugib i momenat na levom kraju su jednaki nuli, a veliina ver-a.' tikalne reakcije iznosi Vfo) =P-z: Tako nam je jedini nepo-
znat poetni parametar na levom kraju obrtanje oslonakog pre-seka V'fol Da odredimo ovo obrtanje napisaemo predhodno, -na osnovu j ednaine ~- f7-!> , izraz za momenat u proizvoljnoj ta-
ki teine ose tapa za koju je X vee od a,
Iskoristiemo zatim uslov da momenat na desnom kraju grede mo-ra biti jednak nuli. {) ) \l '.,_ . f I AA( . Pa' . Psi..,,/ia.
1 ,., CJ = lf'(o)I(. I sznc..> + -- sz.nt.J - = o
tv . ~
Iz gornje jednaine sraunavamo vrednost nepoznatog poetnog parametra 'f'(o)
~ -----
J ~
-
- 25 -
Ba sraunatim vrednostima poetnih parametara, koristei jed-naine 4. f7 , dobijamo za deo levo od sile P :
X
-
- 26 .,
4.3 Uticajne linije
Veliine ugiba, obrtanja preseka i momenta savijanja zavise linearno od veliine poprene s ile F , i nelinear~o 9d veli-ine aksijalne s ile S. Ukoliko je sila S=O, tada je i veli-ina Jd ""O , pa vrednosti ugiba, obrtapja 'odnosno momenata jesu odredj ene teorij~m :prvog reda-, .: to ., jest. lin~a-rnom teori-jom. Ukoliko pak sila S tei svojoj kritinoj vrednosti,tada
-v~liina k-l tei veliini 3, 14, p,a e sye p.omenute veliine J . .,,. "';. "; ;"". :""'. r- ~ ' ....... .. '
postati beskonane. Ove ::?etikonane.-.. vredriosti-:u-direktna pos-ledica linearizacije nelinearnih jednaina teorije konanih deformacija. D~ odredimo pramenu momenata savijanja za sluaj da je veliina i'..l konana veliina.'i-zmedju _nulte vrednosti i vrednosti kritine -f5t = 3, 14-, is'ti-~i vaemo - ekstremum funkci-je M(x), smatrajui x manjim od a.
___ X ---/.-1 I
Sl. 4.3
X
-
- 27 -
Kako apscisa preseka u kojoj traimo momenat, x, mora biti manja od apcise koja odredjuje poloaj sile ao , to e ek-strernum bi ti za x = ao Oblik uticajne linije za momenat u preseku odredjenom veliinom apcise ~ , izgledae kao na skici:
X
X
Sluaj b) Ako je lJ>~ odnosno 5 >ft Se I
Veliina ao ne zavisi od apcise x.
tada J. e: a"= .:;;- l < t o '2.0
Oblik uticajne linije za momenat u preseku x dajemo na slede-oj skici:
CJ=O
sl. 4. 5
Ukoliko je X manje od polovine raspona grede, a sila S vea , od jedne etvrtine Eulerove kritine sile, to e uvek postoja-ti odredjeno podruje lJ u okolini sredine grede u kojem e sila P izazivati vei momenat u preseku x , nee;o kada sila P stane iznad samoga preseka X Gornji zakljuci ilustrovani su primerom na slici 4.6 , p;de su prikazane uticajne linije za momenat proste grede u prese-ku X=0,2l kada je lJ=D , tJ=/.Sf ' i u preseku X==o,5.l', za iste vrednosti w.
-
01l
O'll
-
-
- 29 -
~1 s ~ Ll...,,...._..__ __ ,_....,.'6. - + L::..,....-~----,.
z,
~P._,~l---+--7'.~ ~ .A:: ~
Sl . 4. 7 I ~. STABILNOST PRAVOG TAPA SA KONS1'Af(TfJHi
FOPRENH1 PRESEIWM I KONSTA.r:!TtWM AKSI-JALNOM SILOM
5.1 Sopstvene vred.nosti i sopstvene funkcije Kritino optereenje definisali smo kao najmanje od svih
;;--
optereenja za koje homogen s istem jednaina lineari zova-~ ne teorije II reda ima ma i j edno re enje razliite od tri-vijalnog. Tako e zadatak odredjivanja kritinog optereenja biti identian zadatku odredjivanja sopstvenih vredno-sti s istema diferencijalnih jednaina ,I'
: Razmotriemo diferencijalnu j ednainu po pomeranj ima v 5. 1
Neka su ovoj diferencijalnoj jednaini propisani i homo~eni granini uslovi sledeih oblika: a) Slobodno oslanjanje V==O, 1'1=0 , od-nos-no v"~o b) Ukljeteni kraj V==-0, V 1==- 0 c) Slobodni kraj 1'1==0, od??osno v 11:::-0
1 I ?
I I I I
l~ r
i 1~
-
- 30 -
Iz algebre je poznato da jedan sistem linearnih homogenih jed-naina ima reenje razliito od trivijalnog samo ako mu je de-terminanta jednaka nuli. Zadatu diferencijalnu jednainu moe-
' mo zadovoljiti u n taaka razmatranog elementa konstrukcije,pa tako dobijamo sistem od n linearnih homogenih jednaina. Ova-kvi postupci su priblini jer je diferencijalnu jednainu tre-balo zadovoljiti u beskonano mnogo taaka, to znai prei na jedan sistem od beskonano mnogo linearnih homogenih jednaina. Prelazak na samo n jednaina pretstavlja uvodjenje izvesnih vr-sta dodatnih veza stvarnom elementu konstrukcije. Netrivijalno reenje sistema linearnih homogenih jednaina da-je vrednosti parametara optereenj~, l:oje nazivamo s vojstvenim
- - "'"" . -~- --- - --- - --- - - --- ~----. vrednostima. Sa druge strane moemo t v rditi da svakoj od ovih svojstvenih vrednosti odgovara jedna odredjena funkcija v,koja zadovoljava kako diferencijalnu jedna.inu problema, tako i gra-nine uslove. Ove funkcije nazivamo svojstvenim funkc ijamaJ2E.2.-blema.
Neke osobine svojstvenih funkcija /
-
- 31 -.
~ ~ ::J1 ==Jvn(WV-n/)ndx = jl/nd('Pv777 /)'
t t.
k ~ .
]1::: /Vn (}VV771 11}1i -! V17/ ('if/v.,,/)'dx L 54
Vraajui se na poetak i unosei vrednosti integrala r 1 i r 2 , dobiemo sledeu jednakost:
~ /v.,,[(l//v,:,J ~-r k,71/ .(fv-n:)J- v; (Vvm"J/t -f k ~
+ j-Pv-n: v7111 clx - lm2.j f v~ v; dx ==O t l
55
Lako je pokazati da su integrisani lanovi ove jednakosti uvek jednaki nuli, budui da su dati homogeni granini uslovi. Ako je re o ukljetenom kraju, tada je V==O i v':::o Ako je re o slobodnom oslanjanju, tada je v.::o i v"==O I kada je re o slobodnom kraju tada je v ",,,,o i (Y/v") 1 .;- k/f v /""'O Kako su svi integrisani lanovi jednakosti ravni nuli, to emo za rezultat imati sledei izraz:
k k
I //li 21 /I JVVm V71 dx - km . fv7n V77 dx =0 . t
1-5.6
Sprovodei slian postupak i pri~enjujui g a na drugu jednai-nu po svojstvenoj funkciji v..., , dobijamo takodje: / "-
.t:
- k 772
/ f' V.:, v.,_/ cl::c = 0 z
S7
I
I
-
-:- t '.
- 32 -
Oduzimanjem ove dve jednaine anuliramo njihove prve lanove pa nam preostaje sledei izraz:
~ '2. -t' ( k.71} - k.., ) I f ..,,;, V-r/ ~ =o 58
i
--Kako za rn 7':77 mora bi ti i .t'm rk.n , to e b i ti: ~
/ f v,,; v711 d:x =O S. 9 1.
Lako je uveriti se da i za prvi deo jednaine vai izraz: k
I // I/ . J.?'vm V77 dx = O 5. 10 z
Ovo bi bile generalisane osobine ortogonalnosti prvih i dru-g ihi zvoda sopstvenih funkcija V~ , v-n:. Ovim osobinama ortogonalnosti moemo dati i odredj ene ~~~~-i
ko tumaenje. Ako diferencijalnu jednainu napiemo u slede-em vidu:
511 . )
/ J' ' "(
Desnu stranu moemo shvatiti kao izvesno optereenje podelje-nim momentima:
. 1, :!( !. ~}
512
pa e prema tome leva st~ana pretstavljati diferencijalnu jed-nainu elastine linije za takvu vrstu optereenja. Da objas-nimo ovo malo detaljnije treba po,i od prvobitne diferencija-lne jednaine:
(Iv 11) 11 =- (ltv')' 5.13
Prema Betti-jevoj teoremi o uzajamnosti radova, rad momenata flv.,',, na grala:
I
obrtanjima vn moemo izraunati kao vrednost inte-(
~
I I I ==. lf V777 V-n dx '
r r .-.
-- -------~
-
- 33 -
pa ga izjednaiti sa radom momenata Hv~ na obrtanjirna iji je ukupni zbir t akodje dat integralom:
A: ,(:. j 1tv7 / dx -v; =j lt v; v~ dx i !
5".15
Oigledno je da e ova dva integrala biti jednaka na osnovu Bettijeve teoreme o uzajamnosti radova, pa smo ovu vanu oso-binu ortogonalnosti izvoda svojstvenih funkcija mogli dobiti i neposredno, mehanikim tumaenjem lana llv 1 kao fiktivnog
: .= :-=-=..--
pode l je no g momenta. ; -=-- ------~-~::.=, -
5.2 Euler-ovi zadaci stabilnosti
Razmotriemo etiri Eulerova sluaja aksijalno optereenog tapa sa razliitim graninim uslovima. Neka je tap konstan~nog poprenog preseka izloen dejstvu konstantne sile: \.V==- 1 f::::: 1 Diferencijalna jednaina stabilnosti e glasiti: __ .: ___ _
IV i 11 V -rkv =0
Opte reenje ove homogene diferencijalne jednaine pi emo prirrienom metode poetnih .parametara:
V(x) == vro)-r v'(o){si-nkx)/k -/'1(oJ(t- cosk.x)/5- VfoJ(k.x- si-nk.x)/ kS
I V(X):::: v'roJcoskx -Mfo)(kst-11k.X)/S - Vfo) (I- cosk.xJ/ 5
f'1(X):= v'ro>Eiksinkx +1'1(o) coskx -r Vfo)(stnkxJ/k.-
,
-
Prvi Eulerov sluaj
v'(O) ~ 0
V'(O) =O
VfO) =O
- 34 -
5l. 5.1
M(L) =0
Veliinu V~) smo odredili iz uslova ravnotee. Prema tome sve veliine moemo iskazati pomou jednog jedinog poetnog parametra /'1(0)
v(x) = - !'1(0)(1- coskx)/S v'fx)== -1'1(oJ(k.sinkxJ/S
11 (X) .,.. /1 (OJ coskx
Uslov za odredji vanj e poetnog parametra /1(0) jeste /1(L)==O Tako emo dobiti:
M(O) COSkL = 0
Kako veliina /o1fo) nije nula izuzev trivijalnog sluaja pra-volinijske forme r avnotee, to mora biti:
I 1 i coskL - o
Ovo je karakteristina jednaina stabilnosti. Njeni koreni jesu svojstvene vrednosti:
- . k..17 == (2 71- 1) .J/j 21.. Svojstvene funkcije dobijamo unosei u izraz za vrxJ odgova-
rajue svojstvene vrednosti:
V.,== - /'1(0)(1-c.oS.71x./2L)/S1 Vz= -M(O)(f-COS3llx/~l)/S2
V'. = -MfoJ( I- cos ( 2 n-tJ.J'ix)/S n U -n
-
- 35 -
Svojstvene funkcije pretstavljaju forme izviJanja pritisnu-tog tapa, i odredjene su sa tanou do na konstantu. Svojstvenim vrednostima odgovaraju vrednosti kritinog opte-
reenja. Za nas e redovno biti najvanija vrednost najmanje kritine sile.
51 = l3T.77~/(2.L) 2 z 'Z. s~= EI g.71 1 f2LJ
51'};;:: EI ( 2??-1) z .JI I (U) 2
t = -- 5 --------~.-!..
Drugi Euler-ov sluaj .
V(0)=-0 M(O)~O VfO) ==O
v(LJ==O /'1 (L):: O VfL) =O
Sl . 5.12
sl.. 5.3
Poslednji parametar VfOJ smo odredili iz us lova ravnotee. Preostaje samo jedan parametar, a to je veli ina obrtanja
' .
oslonakog poprenog pr-eseka v'(oJ T?-ko moemo napisati:
v(xJ:::: v'ro}(sz:??kxJ/k. V 1(X)== V'(O) C05kX.
11(X) ::= v'(O)Iksz"77.f:.X
I
-
- 36 -
Uslov za odredjivanje poetnog parametra v'foJ jeste v(LJ ==0 V(L) = v'(O)(St.'nkL)/k, =0
Kako veliina v~O) nije jednaka nuli izuzev u trivijalnom sluaju pravolinijske forme ravnotee, to mora biti:
SinkL =O
Ova karakteristina ~e~naina stabilnosti daje sledee kore-ne, -us-t..;a_;i s;~;;;ene vrednosti: kn== -n.li/L. -n1,21 . Svojstvene funkcije sada moemo pisati unosei odgovarajue sopstvene vrednosti:
V,= V'(O)L/.T ( .sin.7/x/L) vz = v '(O)L/2Ji-: ( Si-n 2.7/x/ L)
Treba napomenuti da sopstvene funkcije pretstavljaju forme izvijanja elastine linije tapa i da su odredjene sa tano
u do na konstantu. Svojstvenim vrednostima odgovaraju odredjene vrednosti kriti-
nih sila odnosno kritinog optereenj a:
sl. 5. 4
I l l ---~
-
- 37 -
Trei Euler-ov sluaj
1-:..+---=--.:::: - - - -~s ;f 1777T
V(OJ=O V 1(0) ==O
V(L) =O M(L) =O
sl. ss
Nepoznati poetni parametri su MfOJ i Vfo) Ispisaemo vrx;, v'f:x) i /1(x) u funkciji od ova dva poetna parametra:
vrx) ==- M(O)(t- cosk.x)/5 - VroJ(k.x-sinkx)/k.S V 1fXJ=-l1(0J(k,5i'nk.XJ/S -V(O)(f- COS!r:.X}/S
ft(X)= 11fOJ coskx -1-V(O)( 5Z7?k. X) I k
Ispisaemo uslove za odredjivanje nepoznatih poetnih parame-tara:
V(L) = - /'1fo){f;_ COSkL)/s - VfO)(kL- sz.'-nk,L )/ lS = o HfLJ = /11(0) coskL 1- vroJ rstnkLJ/1
-
- 38 -
.Sa d a funkciju vrx> moemo pisati u obliku:
vTJ(x) = vro>L f1-cosk.,,x- _f_(k.,.,X-57..nk.,,x)j Sn i' k...,L
Vred.nosti kritinih sila iznose: 2
S,= 4,4934 EI L 2.
S = 25Ji2 EI
2 4L2
('1?=: ~, .), . . . )
-~----~~s ~
etvrti Euler-ov sluaj
VfOJ=O
v'ro> =O
V (L..) =O
v'(L ) =O
st.. 5".6
SL. 5.7
Prema u s lovima na levom kraju vidimo da su n epoznati poetni paramet r i MfO) i VfO) Njiilovo odredjivanje treba ostvariti iz uslova na drugom kraju. Tako emo imati sledee usl~v~:
vrLJ =-11ro1r1- coskLJ/S - vroJ(lt.L.-sz"-nk.LJ /ks =O v'{L) = -Hfo)( kS(nfGL)/S - VfO) ( /-C05k.L)/ 5 =O
-
- 39 -
Izjednaavajui determinantu ovog sistema sa nulom dobijamo karakteristinu jednainu stabilnosti:
/ Imajui u vidu sledeu transformaciju: I
Q-2 cosk,L = 2 tg (~L ) sz~kL -::.: I karakteristina jednaina postaje: I
Sz'n k.L/4stn kl - 2 kL coskL_/~ O 2 2 2.7.
JGL /,.,,-2.~ I 2 Ako je Sin -- = O to mora bi ti k,/.., =- '2.J/ ; S1 = -r..11 c-I L 2 .. -Ovim sluajem je odredjena simetrina forma i zvijanja . Ako je 4si.n "'L -k.L 2.coslt!L =O tj. i:a(k.L.J/2 = (k.L)/~
2. 2 J Najmanji koren jeste K.L/2 =- 4J;q34 ......-: , Ovoj vrednosti odgovara kritina sila izvij anja:
rs; ~ 4 >
-
r:-4~ -\
-I ( 6. 1 o'rAP SA Sf.:OtcOVITOM FRO'.'-El'YOi"i POPRECNOG F R2SEKA
S .l Proraun uticaja po teoriji dru~og reda
Posmatra emo ~tap.sa skokovitom promenom poprenog preseka (slika 6.1) , ij i momenat inercije na delu 01 iznosi I 1 , na delu /-2 iznosi I 2 , itd.
-
gde je:
- 41 -
= lm ~ , EI771
I- cos lJ-rn
5-m
Iz uslova ravnotee elemenata tapa na s l ici 6.t.c ,dobijamo: ~
6.1
. '
62.
, Vm = ~d = Vm.t - Wm = Vm-1 - Wm 6.3 . . '
\
Veliine v , 'f , M i V imaju razliite dimenzije. Zbor; to -ga i koeficijenti u j ednainama 6. 1 imaju razliite dL:enzi-j e, a i razliit red veliine, to oteava njihovu numeriku primenu. To moe da se izbegne time to emo umesto V , 'f , M i V uvesti u raun veliine:
r-- J . V= Ic kc V
- 2 ' y> = 6Ic kc 'f> 6.1
l ~ == kc l'-1 V=V -
-gde su ~ i kc konstante, od kojih prva ima d imenzi ju mo-menta inercije L777~] , a druga I4'Bcipronu vrednost duine [ m"1}
.3 Kada prvu jednainu sistet!la 6 . 1 y..o~~m?imo sa Eic kc
' drugu
2. k.: sa Eic kc '
treu s a a sa. Am oznaimo tzv. 2renosnu '-.... - .--::::
- -- ----- - ----~
matricu od vora m -1 do vora m : --
. 1r
-
- 42 -
~ \ I
kc sintJm 2 Ic ( ltc }~r . ) I 1 - Ic ( kc) {t-cost.Jm)
-Im - tJm-SmtJ,,, k.m Im l
-
- 43 -
o
o 6.8 ==
o
t.ln
Vo o o
;1 'fo o o -= A n An-1 .. . 4 1 - 4,., 4n_,.. 4z .. . 4n f'vto o o l~J -Vo ~ l.Jn-1
----Iz graninih uslova na kra ju O i na kr aj u 17 odredju.j e mo -
vrednosti poetnih p a rametara Vo , , 'Pp , Mo u Vo , a so nj i-ma iz predhodnih jednaina staunavamo utic Aj e po teo riji d ru-g og reda u ostalim vorov~ma ~tap~.
Na osnovu izraza ~a uticaj e u za.tercnutom ::t .:iu (vidi ::,o l l'.v-lj e 4.1.'2. ) , mc:i e s e pokazat i d a _E_r~n9~n0 nE.
-
'
,l
-!--,'. ~,
- 44 -
Za. pol:i e u kome ne::ia a ::sij alne sile Srn - O , tako da poje-~-------- -~~-d in i 6lonovi prenocne matrice postaju neodredjeni. Da bi ih
odredili pot.1.aiemo grani6ne vrednosti tih elemenata kada k7'17 tei nuli. Tako dobij amo:
. , / .. I
_ .... t.1 / , '
--- ',
~/' ,/ / :,
'I ( I
6.10
Ic ( kc) 3( . ) _ t Ic (b / ) 3 - ~ 4Jm- szn(.Jm - 6 -r ~ '-m I,.,, ~"' .L .,..,,
Tako dooijarno da prenosne, matrica A177 za polje u kome je aksij alna sila S,,, -=O , ~lasi:
/',
; 'I
o o
o
o '
o o
o o
,I r ' -
,' ,I.' ,,..
,,,-"/ .. li
' ..__J'(J'f /'/,~ A - .. r-
5
1
o
TU . I _
., .
1
/ ."'
.;
. . .,,. , , ,
()
..., t f /
6.11
~---\ . -; I
-~.', ,, ' _: .. ,,'1'\ ' r ! ': ., , ' r I ' (I I !
-,. ,,. . . , I
__!__:;,_ ( l V ,Yu'
\ 1i
; f I L , I
I J
.1 l
-
- 45 -
6.2 Stabilnost tapova sa skokovitim poprenim pres ekom.
Pri razmatranju problema stabilnosti titapa sa skokovitom pramenom poprenog preseka, poprene sile W'o , L.11 , 1-v"z jednake su nuli, tako da matrina jednaina 6.8 sada r,l asi:
v.,, Vo r~ -'f.,., 'Po 'Po 6. f2 = An. An_ A, = B
H-n Ho Mo l Yo Vn ~ . I
Kako matrice A imaju oblik:
1 a,i QfJ Q1't o Q22 a23 a2 6. 13 4::: o a32 a33 Q~-9 o o o 1
to 6e matrica B , koja predstavlja matricu proizvoda svih pre-nosnih matrica A , imati oblik:
1 b2. -bf3 -b,,,,.
o 62'2. bzJ 624 6. 1-f B==
6Jf 633 63_,. o o o o 1
-~
-
- 46 -
Matrina jednaina 6~ predstavlja sistem od etiri jedna-ine sa. osam nepoznatih V., , 'fo , Mo , Va , 1117 , 1i;,, , 11-ri i V".,.., Ako sada iskoristimo granine uslove, kojih na kraju tapa
O i n jma po dva i koji su pri r~zmatranju p roblema sta-bilnosti homo~eni granini uslovi, pa ih unesemo u matrinu jednainu 612 , dobijamo homogen sistem od etiri jedna-ine sa etiri nepoznate.
5obzirom na uvedenu definiciju kritikog optereenja (vidi stra-nu lZ. ) , ZB; __ ;t
-
- 47 -
/ Primer 1. - ~onzolni tap
Homogeni granini uslovi na kraju O i 2 glase:
Ho =o Vz. =O
Vo =o ~ =o
Iz uslova ravnotee dobijamo takodje da je Kada, ih unesemo u jednainu 6. f'2. , sledi:
.;
I o 1-Vo o 8 'fo == r-_ - . Hz. o
o ' o L gde je:
E= Az .A 1
U s lov da je det E=O u ovom sluaju, na o s n ovu ct rue;e ine:
'Po 622 =0 .~---
svodi se na u s lov:
h
jedna-
f
l
-
- 48 - .
Do vrednosti ovog koeficijenta dolazimo mnoenjem matrice
1
o cos t..J2 I. ( K )1'. - -' -
1 (t-cosW2 ) I 2 _-t!z __ . _
o COS!,Jz.
o o o 1 gde je:
{,J = (, . '![;? 1 1 1a
1 7c =I,
U>z =
sa matricom A 1 :
1 Si-n tJ1 - (t-C05lJ1) - ( c.J1 - Si-n t....)1 ) l o COS{.,,,)1 - Si-n l.J1 - ( 1- cos lJ1)
41 ==
o Si77 t..J1 C05 W 1 57..-n 4>1
o o o 1
Tako konano dobijamo karakteristinu jednainu stabilnosti u obliku:
odnosno:
J
-
-- 49 -
Primer 2 . - Slobodno oslonjena 5reda
Homogeni ~ranini uslovi g l ase:
V2 =0 -
Mo=O Mz= O
Kada ih unesemo u matrinu j edna inu 6.12 e jednaine dobijamo:
Vz = b1z 'f>o r 61~ Yo = O ' l'12 = 6;s2 ~ r- 6;::,ft Vc; = O
-
iz prve i tre-
Kako determinanta gornjeg sistema mora biti jednaka nuli , ka-rakteristina jednaina stabiJnosti ima oblik:
-- -- ---
I '
-
- 50 -
Primer 3 - Greda slobodno oslonjena na jednom, a ukljetena na drugom kraju
I'L I ~,-;-~-~--=----=----=--7>-7---.1-:.__-~~------~----_-___ /. 2. :"1? -1-
Na osnovu poznatih graninih uslova na krajevima tapa:
Vo =0 Vz =O ..
f!o =O '1 ==o dolazimo do dve jednaine oblika:
i do karakteristine jednaine stabilnosti:
------
-
- 51 -
Pri~er 4 - Greda ukljetena na oba kraja
~---r._, - ~\-------=--=--=--=------_ ----1--l' 2 (.z I -~-------- ----r
Homogeni granini uslovi na oba kraja tapa oblika glase:
~=O ~2. =O
l daju nam, kad se unesu u matrinu j ednainu 6. 12. , prvu i drugu jednainu u obliku:
V2 = 613 M0 +- 61/1- Vo = O ~ = 623 i1o + 6~,,, Po =o
U ovom sluaju karakteristina jednaina stabilnosti glasi:
-
- 52 -
?. STAP SA PROMENLJIVIM POPRENIM PRESEKOM
7.1 Primena integro-diferencnog postupka na proraun uticaja po teoriji drugog reda
poprenog preseka koji je i ~ du ose tapa Posmatraemo prav tap promenljivog
optereen podeljenim optereenjem //a; (slika 11 )
st. 7.1
Izraz za momenat u proizvoljnoj taki c na deformisanoj osi tapa, glasi:
c
11=/'1i-f"1-i" (x-xi) - flr.. (V-Vi) - fp (.X- 3 )dJ + . j ',y ~ c 7.1 + j'!Jc (v~vf) dJ z.
Kada u gornju jed.nainu unesemo izraz za momenat prema jedna-ini J 1 , zatim uvedemo oznake:
f : - . , _t,2, I / - '-
l /
F(X) v 72
I
-
-
- 53 -
i podelimo jednainu sa Ic , d obijamo: c
ut " Ht ! f rv - - (V-Vt) i - .Pz- (V-Vr) dJ = cJc Eic i 75
c
= _!_ {-11i - Vi (X-Xi)-rfPy (X-j) dj j- F (X) Eic Ovo je integro-diferencijalna jednaina pravog tapa prornen-ljivog poprenog preseka. Reavaemo je numerikim putem de-
lei tap na n delova, kako je to prikazano na slici 7. 2
l Wo H i-o Po t.--~ Iv.. l.
Wn-1
m
-I
Sl. 7 Z
Ako podeljeno optereenje f'x i !'y zamenimo koncentrisanim silama P i W' u svakoj taki usvojene podele, izrazi za ove sile uz predpostavku da se optereenje linearno menja, glase:
({:::: 0.1,P. -- -n)
-
- 54
Vrednosti integrala u j ednaini 7 3 u obliku:
mogu se sada prikazati
c m-1
.J Px {v-v1 )clf = L Pc (Vm-Vi), t C=o c
/1rx-JJdJ= t
m-t L Wj_ (Xm-Xl) (=0
Kada gornje dve jednaine unesemo u jednainu 73 i u is-toj jednaini diferencijalni kolinik zamenimo diferencnim ~~li~nikom, dobijamo konano integro-diferencnu jednainu ob-lika:
Ovakvih jednaina moemo napisati u svakoj taki usvojene po-dele 0,1,2 n; dakle ukupno nr! Zajedno sa etiri gra-nina uslova dobijamo sistem od nr5 linearnih jednaina sa istim brojem nepoznatih: 7N-:5 nepoznata ugiba v_ 1 , Vi,., v; , , Vn , Vn+t i dve nepoznate 11i i "V;:
75
76
_L -- -- ----------
-
- 55 -
7.2 Primena integro-diferencnog postupka na problem stabilnosti
~ Pri razmatranju problema stabilnosti QQRreno_~ptere~nje i temperaturni uticaji su jednaki .Puli;
( t. = O, 1. ~ , . . n )
tako da integro-diferencna jednaina ima oblik:
I.//_ Vm-1 -2v..,, +V-m,..1 _ Ili {V. -V,}-f ..!.._ 11l .A 2.. E Ic m t E.Ic
I
.l'll-1
L Pc (Vm -vc J == (=O
= - Eic [Mir Vi ( Lm-.k:.i J] t:: O, f , fJ ' . . . '17
Gornji sistem od n+t jednainom zajedno sa etiri homogena granina uslova predstavlja homogen sistem od n~5 jedna-ina sa istim brojem nepoznatih. Do kritinog optereenja dolazimo traei najmanju vrednost parametra optereenja za -~?Pi ovaj homogen sistem od n + 5 jednaina ima ma i jedno reenje osim trivijalnog. Homogeni granini uslovi koje korist imo na kraju l i na kraju k kod primene integro-diferencnog postupka; glase:
a) slobodan kraj
i.=O n-1
77
78
17>"1
H,t(. " - -- :V= EI
Vn-1 - 2vT'/ r- Vn,.. '1 = 0 ::/ 2
--
-
b) slobodno oslonjen kraj
1 : ...J
c) ukljeten kraj
-11 po. I ~ L __ I ' I I
,_,.()! -- 11- V..1 o ,_,. ..... v, = , v1 = v_1
- 56 -
.,,_ f ~.,,. : ?l+-1 z:-----:
V...:= V77 ... o
I
~=
TI- I l.t 77 rJ-r 1
~-1---J I I I I
V~= V~ -=O ~
V??,..1 - V-n- 7 ... o I v,.,.,...1' := Vn-1 2,.\
-
- 57 -
8. PRIMENA METODE DEFORMACIJE NA PRORAUN SISTEMA TAPOVA PO TEORIJI DRUGOG REDA I NA ODREDJIVA-
NJE KRITINOG OPTEREENJA
8 .1 Odredj i vanj e "konstanti" tapova a.i.e , i eis i momen-ata uklj etenj a 'JU..iK.,o, Xl~r."o 'JU. iQ, o i :;u is. o
, v
u teoriji drugog reda.
tapovi tipa "K"
Razmotriemo prvo tapove tipa K, tj. takve tapove koji su elastino ukljeteni na oba kraja, a pored dejstva poprenog optereenja i temperaturne razlike izloeni su i dejstvu ak-sijalne sile. Ako je veliina ove aksijalne sile .konstantna pri razliitim optereenjima, bilo okretanjima ukljetenih preseka, okretanjima tetive tapa, dejstvu temperaturne raz-like ili pak poprenog optereenja, to imajui u vidu princip superpozicije, moemo napisati:
8. 1
Treba napomenuti da veliine ai:;t , 6t,ll , Ce.it_ , a!i i CN.r: izraunavamo uvek samo za j~d.nu odredjenu veliinu sile S. Da definiemo ove veliine posmatraemo obostrano kruto uklje-teni tap, optereen aksijalnom silom s, iji ~e kraj i okre-ne za ugao 'Pi
V{O) :::O 'f'(O) = 'Pi
HtoJ I o V(O) >FO
vrlJ .,, o '{#({)o
/}. ;; i ,. I
sL. 8.1
''l.
-
58 -
Ima.mo dva nepoznata poetna para.metra 1Y!oJ i VfOJ za ije od-redji vanje nam na raspolaganju stoje dva uslova:
v((,J = 'Pi Slnt.J - NfoJ 1- cosCJ _ VroJ LV- St."ntu =o ~ s ~5 "P(tJ = ~ cost.J - M (OJ !.St'nu; _ V?oJ 1-costJ = o
s 5 .r I
8.2
Posle sredjivanja ove jednaine glase:
M~ . ~ . -r CJ(t-cosw)-1- V(o)(t.J-SZ"17CJ) = .:;,'?7.s'l..-nCJ
/1(0) 0Sl.0
??(.,V T Y(O)(l-COS{..)) = S~ COS{.J t 8.3
Poslednje dve jednaine moemo reiti po /1(oJ i V(o) , pa na taj nain od.redi ti momenat na kra.ju i tapa i.k u funkciji od ohrtanj a "Pi :
B.4
. z. a = 4J5l77CJ-w co.sw 12(f-COSW)-- WSi.,"1'JW 8.5
Veliina a~ jeste momenat na kraju i kruto uklj etenog ta-pa i~
8.6
- - ----~rz
-
- 59 -
izazvan jedininim obrtanjem oslonakog preseka i Isto - - - - L ... -~ ___ - -
- obrtanje izaziva i momenat na drugom kraju u.kljetenog ta--pa: Ovu veliinu obeleavamo sa 6/Jt. , i moemo je odrediti - iz. uslova ravnotee. Budui da znamo veliinu vertikalne si-
le Yf~ , to je moemo napisati i u funkciji od momenata iza-zvanih jedininim obrtanjem oslonakog preseka:
a V roJ == t.J (c.o5 t...J- 1 J 2 (f-C05W) - t...JSl.._,,,t...)
p0redei ova dva izraza za silu VtoJ , odredjuj emo 6tA!. I -
61:1t. = T 6 - u/2 - c.v s i n t..J
6 - 2(f-C05lt.J)- CU51.-7?lJ
V~liinu C-z:'l dobij amo sabiranjem ai>l i tr:ll
-;
- -'- -.
6I -= -c t
V(D):s:O 'f(O):: 0 11roJ -;:o Y(O) r! O
J
prx.J 1-
t
vt()=O 'f'ro ... o
~- -===~~- -~
8.7
8.9
8 . 10
I '/I;
Sl . 8 .2
-
.,. - 60 -
' './
t ~-./ , vrt.J = _ M ro; 1-c:s4J _ V!QJ tU~.~774) -/ ~ rt-J) P( J) df =0 o
t / 8 . ~1 'Pre; = - 11roJ k. s;7)tJ _ Vro; 1-c:s0 _ J 75 rt-J; "PfJ)df ~o 1~ (~ ~,
o
Ove dve jed.naine, u kojima figuriu dva nepoznata poetna parametra 11foJ i Vfo} , moemo napisati u neto sredj enij em . obliku:
t /1(oJ lJ('f-C
-
- 61 -
tapovi tipa "g"
Na osnovu principa superpozicije, koristei pri tome poznate veze linearne teorije, moemo pisati:
8.f6
sl . 8.3
Kako je : 8 . f7
..
do izraza za koeficijent di7 dol azimo reavajui zadatak na slici 8.1
/1(0)=ftm .
\ ~-~_____
1
V(O) .::O
Y'{O)=olr.1 l"f(O} = 1
VfoJt=O
'((t} =O
Mf{J= O /// 1_ V \_L: -
------ -- ---- --
sl. 8.1
/ /
-
- 62 -
Iz uslova ravnotee dobijamo da je Vfo) = - t/(, , tako da je jedini nepoznat poetni parametar l.ffo) , koji odredjuje-mo iz uslova:
V(t.) = 'f(O) t- coscu + cv-si:77t..> = 0 S 4JS
Reenje gornje jednaine daje:
8t"17~- 4.JCOS 0 t t,; 2 St-nw EI
tako da je:
~ d = td St>n t.
-
- 63 -
odnosno: t
11(0) (,)(I- COSCU) + Y(o)t (UJ- Si??UJ) + (.J . s/~ rt-J) fC( s ) df =o t o
MfoJ4JcosCJ -r YfoJtst."-nc,;- 4J j;:;rt-JJrff)df =O o
Kada eliminiemo V(o) dobijamo traenu veliinu momenta:
Konzolni tapovi - tapovi tipa "S"
B .22
Pri razmatranju metode deformacije u teoriji prvog reda nismo uvodili pojam konzolnih tapova, smatrajui da ovi tapovi mogu na vorove gde su privreni preneti samo momente i ver-
,. tikalne odnosno horizontalne sile, koje smo u daljem postupku 1 smatrali zadatim veliinama_. U teoriji drugog reda ovi t apo-. vi imaju drugaiji tretman, Jer kako emo kasnije videti, -~obr-tanj e v;;a u"'k:c)ji j-e--ovakav -~tap uklj eten dovodi do promene
\ m-ome~ta- ~kljet~nja . ' / \. .. /' 'rffi /
t ~=: t t-------t-
V(O} ==O WOJ ='fi Vfo) =0 MfoJ-FO
Mft) :::0 YfO#O
SL . 8.6
Izraz za momenat u voru i moemo pisati u obliku:
-J1t~ ::= eZ.S ~- . + 7!(_ i..s O -1- '/t{_ {s, At
---- -
_ .....
-
- 64 -
Veliina e,;s jeste momenat u voru i tapa ts iza-zvan jedininim ob::::-tanjem oslonakog preseka i Koristei uslov:
dobijamo:
ff(t) = Ii 'Pz Si-nc.J -1- M (OJ CDSlV =o I
/'f(o) = - UJto U) cI W . - e 'P,.. . o' { Tr_ - ZS "Z.
e - I ts =e - / -- e
e=-wtgw
8~5
8.'26
8. '27
u sluaju proizvoljnog poprenog optereenja na slici e. 7 ' jedini nepoznat poetni parametar je ff(O}
ffX}
I i~ rrrrrrJ J l Ds_s
~ t, ~ sl . 8.7 V(O) =O /'1({,) = 0
'Pfo) =o VfoJ =O {
rro> = f Pff) df o
MfO}:f:O
Iz uslova na kraju S tapa, dobijamo: ( ~ _!tft) ~ 1'1(0)tvcosr.u r Yro; e Si-nw.:.. {.JI~ (t-J ),P(f Jdj ~o
o 8.'2.8
a odatle lako nalazimo /1(0) , pri emu je:
11 {O) = /f.l.is, o . 8 .'29
...::=:__--=======----=~-======-~~-=====---====-~=--=-==~ ~ ~~ ~~
-
h
- 65 ---- - ,/--
8.2 Proraun sistema tapova po teoriji drugog reda
U predhodnom poglavlju definisali smo izraze za momenat po teoriji drugog reda na kraju tapa tipa I(, , tipa J i tipa 5 :
/1 i,;( = Qi,i(_ >t t- 6 Urt >AC - C t.lr! ~~ T- /f{_ t.ltc 11tj = dt.c; ( ~ -_!z~ ) f- /t{. ~ His ""' ez:s lfi -r /ft.zs
830
Pri tome smo takodje odredili izraze za koeficiente tapova konstantnog preseka l1.z:e , 6iI(, , Cz:J( , ci,_~ , e-ts Treba napo-menuti da su ovi koeficienti konstantne veliine za sluaj kon-stantnog poprenog preseka ako je re o teoriji prvog reda, dok u sluaju teorije drugog reda, ove veliine pored geometrijskih
. --- r
zavise i od drugih faktora, kao to je normalna sila;j1 Budui d a emo i ovde zanemarivati uticaje normalnih sila na
skraenja tapova, to e prema tome i ovde biti rei o pribli- n~j . ~etodi defornIB.cija. Osnovne deformacijske nepoznate su uglovi obrtanja vorova, u kojima se sustiu bar dva kruto vezana tapa ~ , 'P2 , '-Pm gde je 'YY1 broj vorova sa bar jednim krutim uglom, i parame-tri pomeranja L!J. 1 , L'l!Z , D. 71 , gde smo san obeleili broj stepeni slobode reetke sistema.
j Ako sa indeksima a. 6 obeleimo sve vrste tapova izuzev konzol-nih tapova, tada ukupno obrtanje ovakvog tapa' moemo pretsta-piti ~ao obrtanje izazvane nekim od parametara pomeranja, tem-,....pe~aturnim promenama i pleganjima _oslo_naca:
77
~b = !- ~ V ah,; r- }V ab,t r- }V a.6, c .J=f
- {. ,{/ .
----- -- --- - --
-
- 66 -
Prema tome izrazi za momente na krajevima :tapa sada glase:
-
8.32
Ovde smo sa gotskim momentima obeleili odgovarajue momente obostrano kruto ukljetenih, jednostrano kruto ukljetenih ili pak konzolnih tapova, izazvanih uticajima od optereenja, temperaturne razlike, promene temperature i sleganja os-lonaca:
8.33
- -
?1t.z-s = ?ttz.s.o +- /tC,s,4t
Time smo izrazili momente na krajevima tapova preko izabra-nih deformacijskih nepoznatih veliina. Da odredimo sve de-formacijske nepoznate treba ispisati m~n _ jednaina i Ispisaemo -m jednaina vorova, postavljajui zahtev da u svakom voru, koji sadri bar jedan krut ugao, bude ispunjen uslov o ravnotei momenata, i _ n jednaina pom~ranja, posta---- - . . . .
vljajui zahtev da kinematiki labilna reetka sistema - pri bilo kojem virtualnom pomeranju ispunjava uslov o anuliranju algebarskog zbira radova svih spoljnih sila .Ukoliko je pak -~ ~-re-etka -sistema k-inematiki stabilna, to e ona stajati
I
-- -- -- -- -------------
-
- 67 -
Jednaine obrtanja
Pri ispisivanju jednaina obrtanja, tj. kod p ostavljanja us-lova o ravnotei vorova sa krutim ug lovima, nema sutinske razlike izmedju prilaza teorije prvog i teorije drugog reda.
(t= f. 2 . .. . m)
Pomenute sume po k se odnose na sve obostrano uklj e tene tapove s i s tema, po !J na sve jednostrano uklj e tene tapo-ve sistema i sume po s na sve kpnzolne tapove sistema. Unosei u jednaine obrtanja izraze za momente, videemo da u m jednaina obrtanje, pored m nepoznatih u g lova obrtanja ~i figuriu jo i n nepoznatih parametara pomera nja Llj , ,j=-/. . .. n
/ Jednaine pomeranja /
t= I,~ . .. 7TJ ~83c c _::,/
Kod ispisivanja jednaina pomeranja, odnosno kod postavljanja uslova ravnotee pri bilo kojem virtualnom pomeranju, treba voditi rauna o tome da se ne smeju zanemariti pomernnja napa-
-.
dnih taaka spoljnih s~la= Poredei osnovne jednaine ravnote-e diferencijalnog elementa tapa ispisane po teoriji II reda i odgovarajue jednaine teorije I reda, formulisali smo stav (vidi stranu 11 ) da se uticaji po teoriji II r eda mogu sra-unati po teoriji I reda ako se razmatrani element nos3a, po-red zadatog optereenja opte~eti jo i sa fiktivnim podeljenim momentima ( 5l . 8.8)
8 . 36
,
-
.. - -68_ -
t>to se tie veliine aksijalnih sila u tap6.vima. iadatogEsis-' teqa, . njih moemo _qdredi ti P
-
- 69 -
Odrediemo izraz za rad X:j(mi) na taj nacin to emo r azma-trati prvo jedan tap tipa a6 , optereen podeljenim momen-tima 777f Pri stanju odredjenom jedininom vrednou para-metara pomeranja t.j , tJ./= 1 , tap a6 se obre z a ugao l'1:z6,,i, a optereenj e mfd.x vri rad m1dx Jilb,j Ako sa L o bele-
- - a.6---- -- - imo zbir po svim tapovima,. _ si_?_t~g_,_ __ obost,ranQ __ ukl.j e_tenih K, - } ed~ostrano ~1-j etenih G, ~-i f..~-- ~ba_krafa- zgl~b;;~---;e~.;ni~!,)no-
emo napisati izraz za rad E',j (777 ) : --
6 13;. (m ') = - L / m 1d.x -va.6,J- 8. 38
a6 a-
U gornju sumu ne ulaze konzolni tapovi S , jer smo pretposta-vili da se oni translatorno pomeraju pri ma kojem par ametru
-f pomeranja. Ako uzmemo u obzir izraz m == ~a.6 O'V/dx' to dal j e s le-di:
I 6 dv -:eirm J = - L f ~a6 dx dx ~6,,j
a{:, a.
Kako je veliina tv{,o.6 konstanta du jednoe; t apa , imamo:
839
-1- 6 E.(m)=-L IV ~a.6 . jdv = -L ~-' ~6 fv,,_ - va.) 8.4o 'J a6 oal, ,c; a. a6 u.c ,J 0
Kako su veliine Va i v6 normalne na pravac ose tapa , r azli-ku pomeranja v6 - vc:::t moemo izrazi ti preko veliine Va.6
- -
Sl. 8.1o
-
- 70 -
koja predstavlja stvarne uglove obrtanja tapa. Unoenjem vrednosti za 1,Va.6 dobijamo:
Ranije smo imali izraz La./, k-a.t, = Lc)a.6 gde je:
Znak + vai za sluaj da je !{{,a.i, sila zatezanja, a znak -za sluaj da je u pitanju sila pritiska.
. /
Ako sa la.6 obeleimo redukovanu duinu tapa, dobijarno:
Konano moemo pisati: I -,
-- -- -- -- --- - - -- --
8 . .+1
8 .12
8 .'93
B.~s
-
- 71 -
~ -
U -poslednjem izrazu za rad fik tivnog optereenja 1?.j ( -mf ) ' znak + vai za sluaj sile pritiska, dok je znak - za ~luaj
s ile za tezanja. Kada u jednaine pomeranja unes emo izraze za mom ent e na kra -jevima odgovaraju e vrste tapova, kao i izr3z za r ad fikt i -vnih podeljenih momenata, tada dobij amo slede i obl ik jedna-
ina pomeranja: 771
/ n
L.. B/-z- Y'i -t- L c /t 6 t -t- cio == o i=1 t.= 1
Sisteme od m jednaina vorova i n j ednaina pomeran j a ill O ~emo pretstaviti i u matrinom obliku, ako i s korist i mo pojam blok matrica i blok matrica kolona:
A +
Ao =0 847
p/ c
Razmotriemo pojedinano sve matrice ko j e fi~uri u u gor nj oj matrinoj jednaini i odrediti ~jene elemente.
;:/: A = I A i.I(, t ', !'(.. == f, 2, .. . m
Matrica A je kvadratna matrica sa m vrsta i m kolona . Nj eni vandijagonalni elementi su "konstante" t~ a dijagonalna su-ma "konstanti" a t."t:'
B = I BiJ I
i et:S
i = 1, '2, .. . m , f =- f, 2 . ... n
--- -
= 8 -! v'
8 18
8 .49
.,
I
-
- 72 -
B je pravou~aona matrica sa m vrsta i ~ kolona. B~ je mat-rica transponovana od matrice B.
c = I cfl I /= t, Q, . .. n l.=1,Q, ... 7J 8.So
Matrica C je kvadratna, a od~edjivanje njenih elemenata se najvie razlikuje od elemenata teorije I reda:
8.51
.Matrica kolona slobodnih lanova A0 i Co pretstavljaju ili zb.i.r.o~ __ momenata usled O.Pt~_r_e..~_gj!i onih tapova koji su su-~-~).j_~[lJ: _ ~-~--~YEF~~-~~~ ---- -- -- ---- --- --------------
I
t.' = f. 2, . . . 7n 8.52
L 7tf: s ;s
ili algebarski zb_ir radova pri jedininoj vr_~dnost~ parame--.- --~-~ - . .,___ .,; ..... -- ~ . - . . -~ - . -
t ra pomeranja, koji izvr.e momenti na krajevima svih tapo-~a koJr-s.e p\i da:fom parametru ,~brnu, spoljne zadat~ -~ii~-~
- . - -. . . . -
i svi aksijalno napregnuti tapovi izuzev konzolni1:1, ukoli-. _..... . ... _ - . . . . . . . __
ko usled stvarnih izduenja , usled temperature ili slega- .a--"""'-..... , __ -- "-.... -- ~... .~- --- .. - .... . . -
nja oslonaca postoje obrtanja istih tapova. - ,.
/ '/
8.53
-
- 73 -
O toku prorauna po metodi deformacija treba napomenuti samo sledee: Posle odredj i vanj a normalnih sila #aa6 , treba sra-unati veliine La6 -t'a.{, pa iz njih sraunati sledee "geome-trijske konstante 11 tapova kao to su ai~ , 6z.',.(. , CI~ i ei.s Posle odredjivanja momenata na krajevima tapova, treba imati na umu da i sve momente du pojedinih optereenih tapova tre-ba takodje raunati po teoriji II reda.
-.....,;./",,,.,,..,,,,,..
8.310dredjivanje kritinoF optereenja za sisteme tapova. /
Kritino optereenj e definisali smo kao najmanju vrednost op-tereenj a pri ko~e homogen problem linearizovane teorije dru-gog reda ima ma i jedno reenje osim trivijalnog. Homogen problem teorije drugog reda izra en preko metode de-formacije, slino kao i u teoriji prvog reda, dat je s i s temom
jednaina obrtanja i po~eranja u obliku: ;.
{=7-2 , rn j=/,'2, . T7
Homogen sistem od m jednaina obrtanja i n jednaina pomero.-nja moemo predstaviti i u matrine~ obliku:
[
A
B'
8 51
B.55
-
-
- 74 -
Uslov za netrivijalno reenje matrine jednaine (8.55) glasi:
A B lJet - o 8 .56
c
Time se problem odredjivanja kritine sile primenom metode deformacije svodi na odredjivanje najmanje vrednosti optere-
enja za koje je ispunjen uslov 8.56
-- -- -----
j
I
~
-
- 75 -
/" _/9': IZVIJANJE STAPA U PLASTINOJ OBLASTI
Do sada smo istraivali zadat ke stabilnosti predpostavljajui da je veza izmedju napona i deformacija linearna, ime smo se zadra-li u elastinom podruju ponaanja tapa. Porastom napona iznad granice proporcionalnosti veza izmedju na-pona i deformacija postaje nelinearna ~ ireverzibiJ.na, pa e nas-tupiti neelastina ponaanje tapa. Poznato je takodje da ako se od neke take iznad granice proporcionalnosti napon pone smanji-vati, veza izmedju napona i deformacija postaje ponovo linearna i to sa istim koeficijentom proporcionalnosti kao i u elastinoj oblasti (slika 92).
G
M~J A. (pr)
Sl . 9.1
1 I I ' G-rt..G' 1-- -----
s r-- -- . --r i /,A I
bpr t'-
1 I
I E.
5l. 9.2.
I I I I
i I
~~l = arctsEr Er = t3o
-
- 76 -
Kao to je poznato j ed.naina ove hiperbole (slika 9.1) vai sve dok je b1t.r manje od granice proporcionalnosti ( 6pr ) Kada je ova ~ranica prekoraena, imamo vie predloenih reenja za vezu izmedju b.Jtr i A Tetmajer je predloio linearnu vezu u obliku:
Rankin je predloio hiperbolinu vezu r- ()u(er OKf" =
lr C ) 2
dok je Jonson dao predlog sa parabolinom vezom u obliku:
Gornji predlozi nastali su kao rezultat brojnih eksperimenata iz kojih su dobijene i vrednosti odgovarajuih koeficijenata koji se javljaju u predloenim reenjima. I pored brojnih predloenih reenja, disperzija teorijskih i eksperimentalnih rezultata u plastinom podruju je dosta ve-lika. Osnovni razlozi su velik~ broj faktora koji utiu na vre-dnost kritine sile u plastinom podruju: ekscentricitet pri
optereenju, struktura materijala, istorija optereenja i dru-go.
----- --- -- -- ~--
-
,..
. '
- 77 -I
9.1 Schanley-eva analiza stabilnosti tapa u plasti-noj oblasti
Posmatramo tap zglobne oslonjen na .gornjem i donjem kraju iji popreni presek ima jednu osu simetrije (s1.9.3). Sila izvija-nja se neprekidno poveava za Pr- A.P tap je takvih dimen-zija da do savijanja dolazi tek kada napon predje granicu pro-porcionalnosti G'pr
I I
I
/ i I I
I 1.0.E l Ae(Z.)
. . . . ->-E.
Lz. ~, I \
e J 1/ "
t ( Arri ,.;,:";;>
-
- 78 -
Pri sav1Janju tapa posmatraemo ta se deava sa dilatacija-ma na konkavnoj i konveksnoj strani tapa. Dok se na konkav-noj strani du celog tapa dilatacije poveavaju, na konveksnoj strani moemo razlikovati dve oblasti du tapa prema tome da li je na toj strani nastupilo smanjenje dilatacije, odnosno ras-tereenje ili nije. Do pojave rastereenja doi e prvo u bli-zini sredine tapa, na nekoj duini a koja zavisi od veliine prirataj a sile .DP , odnosno momenta ( P+L:i. P ) v
Zadravajui predpostavku o ravnom preseku, za promenu dilata-cije proizvoljnog vlakna dobijamo:
A E = Ll c TE. r ~ .Z.
gde je: A re-.t- promena dilatacij e u teitu preseka 2
-.J=_ctv .c: - odstojanje od teita preseka, l7l. dx 2
(9.2)
Promenom dilatacije vlalrn.a dolazi i do promene napona. Za kon-kavnu stranu(povrina F, ) vaie sledea veza:
. (9.) )
gde je: E - tangentni modul elastinosti.
Ako posmatramo deo u blizini sredine tapa u kome je dolo do rastereenja (povrina F2 ), pramena napona iznosi:
(9. Lf )
Daljim poveanjem optereenja i deformacija dolazi do srazmer-no malih poveanja napona na konkavnoj strani i znatnog smanje-nja napona na konveksnoj strani, poto je E > E r Uslov ravnotee sila u preseku moemo napisati u obliku:
b p = jc..G dF =/ t; ( .AT:Z .,.. ~Z)dF-rjc(.L:.re~ f- ;y. 2) dF F F, Fz
(9.5)
a uslov ravnotee momenata spoljnih i unutranjih sila u obliku:
( P.;-AP) v = jAG.zdF ==jEr(A.7l'Z -rlfZ)Z.dF+/E(C.rEZ ~Z)ZdF F F, Fz (9.6)
I
I t I+
1
-
- 79 -
Uvodei pojam statikih momenata ( 5 1 , S2 ) povr ina IJ i ~ u odnosu na teinu osu, kao i pojam momenata inercije
( I, , ~ ) istih povrina u odnosu na teinu os u, gornja dva uslova revnotee piemo u slede em vidu:
t6P = A c5rt: (Er F, t-EFz) -r C (Er S 7 t- ES2) (Pt-AP)v=Lln=.i(Er S1 t-ES2 ) +- X(ErI,rEI2 }
(97)
Moemo sada uvesti i pojam geometrijskih karakteristika popre-nog preseka ~- , si i Ii , koje se odnose na idealan pre-sek:
ErS1 -r ES2 =Er(5t-rnS2 )=Er -Si=E7 -f=i e e= Sr:.
Fz
(9.8)
Iz gornjih izraza jasno j e da je ~- povrina idealnog popre-- --------- -- ~-- - ... ------~ -nog pyee~aJ_odnosno takvog poprenog preseka iji s e rast ere-eni deo pove~:;a- z.bog uve"6~~~g ~;d~-1-;-~la~-tin;s-ti ___ c --i:i "c)cf~
- nos_u _n_a__ -~.an_gentni -~~~d_~l el~~-sti~;;sti - E-;_ . - -- Si jeste statiki momenat idealne povrine poprenog preseka
u odnosu na teite stvarne povrine. fTFi) Veliina Ii predstavlja momenat inercije idealnog poprenog
preseka u odnosu na teinu osu stvarnog poprenog preseka, i jednaka je zbiru momenta inercije idealnog poprenog preseka u od.nosu na teinu osu idealnog poprenog preseka .T? , kao i poloajnog momenta inercije idealne povrine poprenog preseka
2 u odnosu na teinu osu stvarnog poprenog pres~ka Fz e .
-
- 80 - -, r
Sa ovim uvedenim oznakama jednaine 9.7 glase:
Pomnoimo li prvu jednainu sa-e, posle sabiranja sa drugom jednainom dobijamo:
(9. 1o)
odnosno diferencijalnu jednainu sa promenljivirn koeficijenti-ma u obliku:
t-a t1-a -;_z z
(9.12.)
(9./3)
Sada moemo konstatovati da je prema Shanley-u problem stabilnosti tapa u plastinoj oblasti definisan jednainama /9 .11/ i /9.13/ uz odgovarajue granine i prelazne uslove. Mi se ovde neemo baviti sloenim problemom reavanj a ovih
.
dife~encijalnih jednaina sa promenjivim koeficijentima u optem obliku, ve emo potraiti reenja samo za dva karakteristina
sluaja:kada se rastereenje protee du itavog tapa.i kada se rastereenje javlja samo u jednoj taki.
-
h
- 81 - !I t::_
9.2 Engesser-Karman-ovo re enje 9 . 2 .1 Druga Engesser-Karman- ova kritina sila
Za razliku od Shanley-a koji trai onu silu P iznad koje moe da nastupi savi j anje tapa, to znai da se sila izvijanja ne-prekidno poveava za ~P , Engesser-Karman-ovo reenje odnosi
f
se na izvijanje z g lobne oslonjenog tapa u plastinoj oblasti pri konstantnoj s ili izvi janja P (slika 9.4).
sl. 91
Ovo reen je je znatno stari jeg datuma od Shanley- ovof5 reenja, i dugo je smatrano jedinim ispravnim reenjem problema izvija-nja tapa u plastinom podruju. Mi emo ga ovde izvesti iz Shanley- e v of, r e enja (9 .11) stavlja-
jui da je Li.P=O U tom sluaju rastereenje se protee po celoj d u ini t apa , a diferencijalna jednaina ima oblik:
Ako uvedemo o~naku: p
=--
E..I. T l
(9./4)
(9.IS)
dobijamo diferencijalnu jednainu (9 .14) u obliku:
V 11 i- .f' /V = 0 (9.16) I '
I . I
!
-
- 82 -
Opte re enj e g lasi:
v = A sin kt x -r B cos kt x
Korienjem graninih uslova:
~a X=o V=O
V=O
dobijamo:
V = -4 Sz'nkt -;JC kt. ( =~
(9. 17)
(9. f8) (9 .19)
Unos ei izraz 9 .15 u poslednju jednainu (9.19) nalazimo: li
~r = (9. !20)
Ovo je takozvana "Druga Eng esser-Karman-ova kritina sila". Uvedemo li pojam Engesser-Karman-ovog redukovanog modula ela-
stinosti T u obliku:
Et Z: T= __ z I
(9. Z1)
izraz za kritinu silu identifikuj e se p o obliku sa izrazom za .8uler-ovu kritinu silu:
(9.1/.2)
~. l I
-
- 83 -
Primer prorauna Engesser-Karman~ovog modula elastinosti
Nain prorauna prikaza emo na dva prirnera
I profil (ije rebro
~ ~ I
~~2 -fi1
I t, -I I
Pravougaonik
L = 6~3 IZ. z J (tr-'fn)2
T = ~ __g-_:L_ (!E-rff;)2
zanemarujemo) ~2.
I=r-,q
~ 4: F F? 2 h1 !- 772 h2 = o
~7 -r h~ = h
= E, 271 n-r1
~ == 0,667 ?; = 0,687
- - 84
-
- 85 -
9.3 Definicija pojma kritine sile u plastinoj oblasti
shanley je pokazao da klasian prilaz problemu stabilnosti u plastinoj oblasti, kako je to prikazano u Engesser-Karman-ovom reenju, nije korektan. Naime, treba traiti onu s ilu P iznad koje moe da nastupi savijanje tapa praeno poveanjem sile. To znai, da se ne postavlja uslov d/'dv =o , ve uslov d P;' dv "=/= O Na slici 9.5 prikazane su prva i druga Engesser-ova kritina sila (P 1 z' P 11 ) .
p
' ' ........
-------
Sl . q5
V
Shanley je ukazao da tano definisan pojam kritine sile u pla-stinoj oblasti ne postoji. Svaka sila izmedju P 1 i P 11 moe biti kritina, uz odredjeno poveanje sile.
Mogue je takodje zamisliti sluaj kada se sila P umanjuje za veliinu .AP Ako se ovako rastereenj e proiri na celi tap izuzev jedne jedine take, moemo ovakvu silu identifikovati kao Euler-ovu
T."'I ZE.I Pv. = pili= w V ,.._, {2 - /-eule;.- (9.2S)
-
D I N A M I K A K O N S T R U K C I J A
-
h
f I - 89 -
I OSNOVNE JEDNAINE DINAMIKE LINIJSKIH NOSAA U RAVNI
UVOD - DINAMIKO OPTEREENJE 1. Statika konstrukcija razmatra optereenje ija je proraena intenziteta tako spora da moemo zanemariti sve inercijal-
~~ -- --- -- - .
.!l~ ,. sile. Za r azliku od toga Dinamika konstrukcija bavi se takvim optereenjima ija je promena tokom vremena z~atna (slika 1.1) .fTo su takozvana dinamika-optereenja, usled kojih se deformacija nosaa tako menja da se uticaj ubrza-
.nje delia nosaa, odnosno inercijalnih sila vie ne moe zanemariti.
PltJ
:X. 11
t
Pri proraunu konstrukcija na dinamike uticaje znaajna su sledea dinamika optereenja: periodina optereenja, (slika /2 ), iji je specijalan
sluaj harmonijsko periodino optereenje
Pl) = Pltr T J P r t)
a
T +- ,... . T .sl.. 1. 2
-
- 90 -
Udarna optereenja - takva optereenja koja su naglo na-neta na konstrukciju i ostaju na njoj due ili krae vre-me. Prikazaemo ih na slici 1.3 preko Hevisajdov& funkcije
?ft) ?ft)
t, t t
P!J = Po li ft-, J
li ft - t) =(o 1 I
st . .t. 0
Od drugih vrsta optereenja naveemo i pokretna optereeenja, koja nastaju od pokretnih tereta, naprimar od raz-nih vrsta vozila. Naglo izlaganje konstrukcija dejstvu temperature, takozva-nim dinamikim temperaturnim uticajima, izaziva takodje oscilovanje konstrukcije. Na kraju emo pomenuti dinamiko pomeranje oslonaca. To je
sluaj kada temelji naih konstrukcija dobijaju pomeranja odnosno ubrzanja usled seizmikih talasa koji se javljaju u zemljinoj kori. Ova vrsta optereenja je veoma znaajna za nae konstrukcije, i zbog toga je Dinamika konstrukcija u poslednje vreme toliko dobila u vanosti.
,., ..
' I
I _J
-
- 91 -
2. OSNOVNE JEDNAINA-= DINAMIKE L I NIJSKIH NOSAA U RAVNI
Osnovne nepoznate u Dinamici konstrukcija iste su kao i u statici konstrukcija. Kada je re o linijskim nosaima u ran vi to su: pomeranj a taaka ose tapa u i v u pravcu koordinatnih osa sistema Ox.:;, obrtanj a preseka 'f- '1'r , i sile u presecima N , T , /1 odnosno lt , V , /1 Razlika je u tome to su u -~~~-~ici konst~ukcij~ te _ _ve~iine f~kci j e -~e S8J!lO ko~!dinata s , koj~ od~edjuj e poloaj prese-ka, v e6 i yremena t .
Ove nepoznate, kao i u Statici, odredj ujemo i z sistema jed-naina koji se sastoji od _9?I_l~vn~~ _d~fer~ncijalnih j ednaina tapova i od osnovnih jednaina sistema, .t j . graninih
. . . .. .. - -- .
uslova i uslova medjusobne veze tapova po pomeranjima i ~~\_C.--=:..
po silama.
Prvu grupu osnovnih diferenci jalnih jednaina tapova pre~~ stavljaju veze pomeranja i obrtanja s jedne strane i defor--------- ~--- -~ - . -- . --- - - ~- ----- -- . - . macijskih veliina: izvoda ugla obrtanja preseka X , dila----- - - ---- ---- . - -
,tacija E , i _kli_zanja izmedju popr_e~ih_ pres eka tapa i ------- -- - - - - - _____ -- - - -
nj egove ose Y} , s druge strane: JU= C. COSo(_ - 'l'S{77o(_ , (15
I I av , -4 as = cst77o(. +- r cos o( ,
ar~-'f>r) = - i1{ gs
r -,
,/ I
r
... '_.;'
-- I. ~ .,:
~- /i' I '
'
, ('
gde -' je ol _ugao koji tangenta na osu tapa zaklapa sa
_/
' ' I
x -osom sistema O.x.y Grupa j ednaina / ;tf/ razlikuje se od odgovarajuih jednaina Statike konstrukcija sa-mo po tome to umesto totalnih izvoda pomeranja i obrta-
-----:...- - -- -- -nja preseka dolaze parcijalni izvodi tih veliina po 5
-_,
V' ~ -1 (,
'
-
- 92 -
Def ormacij ske veliine tapova X , 6 , Y'r su pomone nepoznate problema koje su za elastian nosa i u Dinamici date poznatim jednainama koje neposredno sle-de iz Hukovog zakona:
= A/ -r ~ to, EF
,.;:,.f( Razlika izmedju Statike i Dinamike konstrukcija je u dru-goj grupi osnovnih diferencijalnih jednaina tapa, gde
---- ---
//)/
umesto uslova ravnotee elementa tapa, u Dinamici dola-- - . ----- -
ze diferencijalne jednaine kretanja elemenata: ~~
lV .,._A - cPv =O ?S &' J
~i r li .SZ:77 ot. - V C.OS ~ .,._ ._?I ('fi - -f>;_) =O i
a u koje pored veliina ije je znaenje poznato iz Stati- ke ulazi gustina tapa j> , odnosno inercijalne sile -..?~i/_, -pFv po j'edinici duine ose tapa u pravcu koordinatnih
---- -- ' --- - ......... _ -.-
osa i momenat" -.::.ftr.P- Y>rJ inercijalnih sila po jedinici duine ose tapa. Takama nad u , v , Y' i Y'r oznaeni su, kao to je uobiajeno, izvodi tih veliina po vrBw menu.
6l. 2 . 1
-----~====~===----'==--'===- --- -- --
-
h
- 93 -
-r-rnte5racione konstante koj e dobijamo integraljenjem jed-\ naina /A/ i /8/ , tj. deform~_ijski i stat~ki nezavi-.\ sne velii~~ t~P~Y-a_~dredjujemo iz osnovnih jedna.ina -5i_;t;;~., tj. graninih uslova i uslova m_e~jusob_ne veze t~pova po pomeranjima i silama!' I L. - ---- . -- -c. ;~va grupa tih uslova, uslovi kompatibilnosti pomeranja
.... -- -- - ... -~ , .h ... . -vorova,_ ista je kao i u Statici konstrukcija:
.,__---- -
/C/
F, ( iI /(_) = A t l~ I ~ (t., lr!.) -'2 (t.~r) = ?v- - Tz~ , Ut: COS/3i r ytSi77}3i = Coi , Tz (t, ~) = C t.d - TzJt.
-< I;, r . J ~ (.
. ,
...,,_.
'
, '
:
- '-:' .. --: //
/ - ,,...':
u ovim jednainama su F,ft;KJi Fz(t.'. k'} poznate linearne ho-mogene funkcije pomeranja vorova i i A:; AtiJ=6tt:~(~,~J pramena duine tetive tapa u ; ?i:.t: -Tr:.t:(t?,, >';-) deformaci-oni ugao na kraju i. tapa t~ , a ?r=?lr ~E,Yf) deformaci-oni ugao na kraju t. tapa VI:' koji je na kraju i kru-to vezan sa tapom t.{:'
I u osnovnim jednainama sistema bitna razlika izmedju Statike i Dinamike konstrukcija je u drugoj grupi uslova, gde uslove ravnotee vorova u Dinamici konstrukcija za-menjuju diferencijalne jednaine kretanj~ vorova:
~ ,,;....;,._...;.-.- - ----- - -
j])/ [ fl'r',t: Si-noin/Jt. -r?iy__- mt ~ =O 2 ..
L 8t'i:~ /tftK +- Cvi .,. 11t -r mt. Kor (Y,- 'l'r)i - O,
~- /
,-
-
...
- 94 -
a u koje pored veliina ije je znaenje poznato iz Statike ulazi masa vora mi , odnosno inercijalne sile -mi vi - m, vt' u pravcu koordinatnih osa i momenat
) . - __ _,
-TTJr..t'~ r'i'-Y.r)i inercij alnih sila u voru . -t'o~-~e polupre-nik inercije ~apremine vora u odnosu na osu normalnu
. n~.F~"':.an i:iosa0a u vo~. t ,:;,~. ''-"..: '
Jednainama /A./, !~/ , IC/ i /lJ/ definisan. je problem. Dina-mike linijskih nosaa u ravni. Da bismo problem reili treba najpre reiti problem tapa definisan diferencijal-nim jednainama /A/ i /&/ , tj. sile u presecima i defor-
macij~ tapa izrazi~i u funkciji sila i po~eranja na kra-jevima tape~~~ Taj zadatak je komplikovaniji od odgovara-jueg zadatka u Statici, jer iako je uvedena i pretpostav-ka o malim deformacijama i pretpostavka o malim pomeranji-ma, jednaine /A I i /8/ nisu medjusobno nezavisne i _ rn_o_r_?ju
_ da s_e _re~a~aju__kao _sistem _sim~_l tanih parcijalnih di.f_e_r_e~~.i-.::: jaln~h ~~dnai~~~ Sile i pomeranja na krajevima tapova od-redjujemo i u Dinamici konstrukcija iz jednaina /c/ i /D/ Reiti ovako definisan problem za jedan sloeniji nosa je
esto vrlo teak zadatak. Zato se zadovoljavamo priblinim reenjima
. \ Zadatak postaje znatno jednostavniji kada raspodeljenu ma-su tapova zamenimo koncentrisanim masama u nizu taaka ko~ je ubrajamo u vorove nosaa. U tom sluaju su raspodelje-ne sile .f>Fi/ i JJFV i raspodelj eni momenti .Pif'/>- >r) u
jednainama/B/ jednaki nuli, pa se tapovi, i ako su opte-reeni silama koje se menjaju s vremenom, saglasno jednainama /A/ i /BI ponaaju u osnovi statiki. Uticaji u nji-ma u proizvoljnom trenutku vremena zavise samo od sila ko-je u tom trenutku dejstvuju na tap. Inercijalni uticaji ulaze tada samo u jednaine IDI kao koncentrisane sile i koncentrisani momenti pa sledi da sile i deformacija nosa-
a mogu da se odrede poznatim metodama Statike konstrukci-ja pod uslovom da je nosa pored datog optereenja optere-en jo i fiktivnim koncentrisanim silama -mi"Vt i -mtVi ~ fiktivnim koncentrisanim momentima -mi.eo:r~-~rJi -~
----- ---~ -----~
-
....
- 95 -
Broj parametara koji odredjuju poloaje svih masa jednog nosaa, a time i sve inercijalne uticaje u njemu , naziva- .
-----
mo _u Dinamici konstrukcija brojem step~~} slobode tog no-saa. Kada raunamo sa raspodelj eno m masom tapova tada je broj stepeni s l obode nosaa beskonaan . Medjutim , za sistem sa koncentrisanim masama broj stepeni slobode je konaan i jednak zbiru broja obrtanja vorova ('f- 'PrJ i i b:;:-oj a pomeranj a vorova t.li i Vi S obzirom da mome-nti inercijalnih sila postoje samo u vorovima u kojima postoji kruta veza tapova, broj nepoznatih obrtanja ('1'-'r'rJi jednak je broju koji je u Statici obeleen sa m. Broj ne-poznatih pomeranja v?. i Vi manji je od dvostrukog broj a
vorova za broj pomeranja koja mogu da se sraur-aju iz us-lova oslanjanja, tj . jecL~ak je bro ju koji je u Statici konstrukcija obeleen sa 2 k:- .rJi , pa je broj stepeni slo-bode sistema u tom sluaju jednak 2-t-N(Zo rZ.s) Broj stepeni slobode s istema moe da bude manji i od ovog broja al~o mase ne postoje u svim vorovima nosaa, tj. ako su mase kao materijalne take koncentrisane samo u odredje-nim vorovima nosaa. U tom sluaju b r oj stepeni slobode sistema jednak j e minimalnom broju elemenata koje treba do- .,.,. dati re etki sistema da bi se spreila pomeranja samo onih
vorova u koj ima su vezane mase nosaa .
-
- 96 -
Da bismo za nosa sa koncentrisanim masama izveli jedna-ine kretanja pretpostaviemo da u svim vorovima nosaa po stoje mase mi i to tako da su u vorovima sa krutom vezom tapova poluprenici inercije Kot. ,,1. o . Da bismo u takvom nosau odredili inercijalne uticaje potrebno je da poznajemo sve deformacijski neodredjene veliine tog no-
saa: obrtanja svih vorova u kojima postoji kruta veza tapova ('f'-)Or)i i=t,2 . .. m , i parametre pomeran.ja Aj , j-;;21 . n , koji odredjuju pomeranja svih vorova nosaa. Ove nepoznate, saglasno onom to je reeno, mogu da se sraunaju iz uslovnih jednaina za deformacijski ne-odredjene veliine koje su poznate iz Statike konstrukci-ja, s tim da te jednaine treba ispisati uvodei pored da-tog optereenja jo i optereenje u vorov~ma nosaa kon-centrisanim silama -Tlli Vt. i -77li vi i koncentrisanim mome-
:z " .. nt ima -71Ji~ ("l'-'f}-Jc.' , odnosno, kada zanemarimo uticaj tran-sverzalnih sila na deformaciju tapova, momentima -mz: ...e~ ;,~ .
.. - - - ---- --- . .. - . ":z .. \_Konc. ~r::tr~-s~~ -~omen~-~ . ~.'17J.tkot-;z .t u~aze sam~ u jedn~~_j.ne __Y.?-: .
_ rov~, dok ~oncentrisane sile -:mt.'vi i -777t Vz' , koje preko parametara pomeranja .al I= I, :2.TJ , mogu da se prikau u obliku:
gde su natnih ranja.
=-
77 7Tlt L Vz: t .Dc
t==1
. . 77 - mi vt = - mi L.... Vi;t .Li.c
t==1
u( ( i vt',t pomeranj a vora t u pravcu koordi-.~~a _pr\s.~.8:.1.1-~-~--~ , ulaze samo u jednaine pome-
~ Jednaina vora t, , tj. uslov da je zbir aktivnih mome-nata i inercijalnog momenta jednak nuli