staff.agu.edu.vn · 2012-09-23 · 2 1 1 y arctan2x 3x 2 arctan2x 1 9x ... 3 2 2cosx 1 y + 3 sinx 1...
TRANSCRIPT
1
TOÁN B1 CHƯƠNG I GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN
Câu 1: ( 2điểm )
Ta có:
1 12 323 4 4
2 2 2x 0 x 0 x 0
1 x 1 1 2x 11 x 1 1 1 2xlim lim limx x x x x x
(0,5 điểm)
Khi x 0 thì 1
2 23 11 x 1 x3
, 14
1 x1 2x 1 ( 2x)4 2
(0,5 điểm)
Nên
2 223 4
2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
1 1x xx x1 x 1 1 1 2x 1 1 13 32 2lim lim lim lim lim lim xx x x x x x x x 3 2 2
(1,0 điểm)
Câu 2: ( 2điểm )
Ta có: x 0 x 0
cosx -1 t anx1 1 1 cosx -1 1 t anx lim lim. x xx x cosx-1 x t anx xx 0 x 0lim cosx 1+ tanx lim 1 cosx - 1 1+ tanx e e
(1,0 điểm)
Khi x 0 thì 21cosx - 1 x , t anx x2
(0,5điểm)
nên 1x
x 0lim cosx +sinx
2
x 0 x 0
xx2lim lim
x xe e e
(0,5 điểm)
Câu 3: ( 2điểm )
2
Ta có: 2
2 2x 0 x 0
1 cosx cos2x 1 cosx + cosx cosx 1 2sin xlim lim x x
(0,5 điểm)
=
12 2
2 2x 0 x 0
cosx 1 2sin x 11 cosx lim lim
x x
(0,5 điểm)
Khi x 0 thì 12
2 22x1 cosx , 1 2sin x 1 sin x2
(0,5 điểm)
Vậy 2x 0
1 cosx cos2xlim x
=
2
2
2 2x 0 x 0
x cosx sin x 1 32lim lim 12 2 x x
(0,5 điểm)
Câu 4: ( 2điểm )
Ta có:
112 22
x 0 x 02 2
1 xsinx 1 1 2sin x 11 xsinx cos2xlim lim
x x tan tan2 2
(0,5 điểm)
Khi x 0 :
1 21
2 2 2 2 2221 1 x x1 xsinx 1 xsinx x , 1 2sin x 1 sin x x , tan2 2 2 4
Do đó 21
2210 02 4
1 sin 1lim lim 2tan
2x x
xx xx x
và
2
210 02 4
1 cos 2lim lim 4tan
2x x
x xx x
(1,0 điểm)
Vậy x 0 x 0 x 02 2 2
1 xsinx cos2x 1 xsinx 1 1 cos2xlim lim lim 6x x x tan tan tan2 2 2
(5,0 điểm)
3
Câu 5: ( 2điểm )
Ta có: 3 3 3x 0 x 0 x 0
s inx - sinxt anx - sinx sinx(1-cosx)cosxlim lim lim arctanx arctanx cosx. arctanx
(0,5 điểm)
Khi x 0 thì 2
3 3xsinx x,1-cosx ,arctanx x2
(0,5 điểm)
3
3 3x 0 x 0
xt anx - sinx 12lim lim
2 arctanx cosx. x (1,0 điểm)
Câu 6: ( 2điểm )
Khi x 0 : 2012 2012 2 2 6 6sin x x , t an x x ,ln(1 + x ) x
Do đó 2012 2 6sin tan , ln(1 ) 2 2x x x x x x x (0,5 điểm)
Nên 2012 2
6x 0 x 0
s in x + t an x + x x 1lim limln(1 + x ) 2x 2x 2
(1,5 điểm)
Câu 7: ( 2điểm )
Ta có:
14
44
13x 0 x 0 x 0 x 033
3x3x 3x1 11 116 3x 2 91616 64lim lim lim limx 168+2x 2 x x1+ 1 1+ 1 124 4
(2,0 điểm)
Câu 8: ( 2điểm )
Đặt t x2
. Khi x2
thì t 0 (0,5 điểm)
Vậy t 0 t 0 t 0x
2
cos t lim x t anx = lim t t an t lim t.co t t = lim t. 12 2 sin t
(1,5 điểm)
Câu 9: ( 2điểm )
4
Ta có: 3 3
2 2 2x 0 x 0 x 0
cosx cosx cosx 1 cosx 1lim lim limsin x sin x sin x
(0,5 điểm)
2x 0 x 0 2 3 2 3
cosx-1 cosx-1lim limsin x cosx 1 sin x cos x cosx 1
Khi x 0 thì 2
2 2 xsin x x , cosx-12
(0,5 điểm)
2 2
3
2 2x 0 x 0 x 0 2 3 2 3
x xcosx cosx 1 1 12 2lim lim lim
4 6 12sin x x cosx 1 x cos x cosx 1
(1,0 điểm)
Câu 10: ( 2điểm )
Ta có: 4 3 2
2x 0 x 0 x 0
x 4x 12xlim lim lim 0 2x 2sinx 2 2cosx x 2cos x 2
(2,0 điểm)
Câu 11: ( 2điểm )
Ta có: 1
ln x x 0
1lim ln cot x1ln xln cot xln x
x 0 x 0lim cot x lim e e
(0,5điểm)
2 2
x 0 x 0 x 0
1 1ln cot x sin x sin xlim lim lim 11 cos x 1ln x cot x. .
x s inx x
(1,0 điểm)
Vậy 1
1ln xx 0
1lim cot x ee
(0,5 điểm)
Câu 12: ( 2điểm )
Ta có: x 0 x 0 x 0
1 2 sinx-2x cosx-2lim lim limx sinx x sinx sinx + x.cosx
(2,0 điểm)
Câu 13: ( 2điểm )
5
Ta có:s inx x s inx-x s inx. .
x - sinx s inx-x x x - sinx 1
x 0 x 0
s inx sinx 1lim lim 1 1 e x x e
(2,0 điểm)
Câu 14: ( 2điểm )
Khi x 0 thì 2
3 3 3 3 2 2xarcsin x x,1 cosx ,sin x x , tan x x ,sin x x2
Nên 3 2 3 2 41 2arcsin cos sin 2 , tan 6sin 10x x x x x x x x x x (1,0 điểm)
Vậy 3 2
3 2 4x 0 x 0
1 2arcsin x cos x sin x x 2xlim lim 2 tan x 6sin x x 10x x
(1,0 điểm)
Câu 15: ( 2điểm )
Ta có: x 02
11 sin 2x limxsin 2x 2x
x 0A lim 1 sin 2x e
(0,5 điểm)
Khi x 0 thì x 0
1limx nên A = (0,5 điểm)
Khi x 0 thì x 0
1limx nên A = 0 (0,5 điểm)
Vậy không tồn tại 21
2xx 0lim 1 sin 2x
(0,5 điểm)
Câu 16: ( 2điểm )
Ta có: x x
2ln arctanx2lim x.ln arctanx lim 1
x
(0,5 điểm)
=
2
2 2
x x
2
2 1 -x. . 1 21+x 1+xlim lim1 2 arctanx. arctanxx 2
(1,5 điểm)
6
Câu 17: ( 2điểm )
Do 1 1arctan xarctan xx 2 x 2
(1,0 điểm)
Mà x 0lim x 0
2
nên
x 0
1lim x.arctan 0x
(1,0 điểm)
Câu 18: ( 2điểm )
Ta có: x 0
11 1 1 lim x.arctanarctan xarctan 0xx x xx 0 x 0lim 1 x lim 1 x e e 1
(2,0 điểm)
Câu 19: ( 2điểm )
Theo quy tắc L’ Hospital ta có:
11 x
1xx
x 0 x 0 x 0
1 x e1 x elim lim lim 1 x
x x
Đặt
1 1x x
2 2
x ln(1 x)ln 1 x x x ln(1 x)1 y x 1y 1 x ln y ln 1 x y 1 x .x y x x
(1,0 điểm)
Nên
1x
2x 0 x 0 x 0 2
xx ln(1 x)ln(1 x) x 1x 1A lim 1 x .lim e.limx x
(0,5 điểm)
2 2
2 2x 0 x 0 x 0 x 0
1 1 1 (x 1)x 1(x 1) (x 1) x 1 1 1 1e.lim e.lim e.lim . e.lim . e
2x 2x 2x 2 2(x 1) (x 1)
( 0,5 điểm)
CHƯƠNG II
7
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Câu 20: ( 2điểm )
Ta có: s inx s inxy sinx sinxy x ln y sinx.lnx cosx.lnx + y =x cosx.lnx +y x x
(2,0 điểm)
Câu 21: ( 2điểm )
Ta có: 53
5 10310
x 1 2x 3y ln y ln x 1 ln 2x 3 ln x ln(7x 3)
x (7x 3)
(0,5 điểm)
1 1ln y ln(x 1) 5ln 2x 3 ln x 10ln(7x 3)3 2
(0,5 điểm)
y 1 10 1 70y 3(x 1) 2x 3 2x 7x 3
(0,5 điểm)
y 53
10
x 1 2x 3 1 10 1 703(x 1) 2x 3 2x 7x 3x (7x 3)
(0,5 điểm)
Câu 22: ( 2điểm )
Ta có: xy x ln y x.lnx (0,5 điểm)
y lnx +1y
(0,5 điểm)
y = y lnx +1 (0,5 điểm)
8
xy = x lnx +1 (0,5 điểm)
Câu 23: ( 2điểm )
Ta có: 2
1 1y arctan2x 3x2 arctan2x 1 9x
(1,0 điểm)
2 2
1 1 3y 2x1 4x2 arctan2x 1 9x
(0,5 điểm)
2 2
1 3y1 4x arctan2x 1 9x
(0,5 điểm)
Câu 24: ( 2điểm )
Ta có: 1y 2lnx. ln x 1 ln 3x2 1 ln 3x
(1,0 điểm)
2lnx 1 1y . 3xx 3x2 1 ln 3x
(0,5 điểm)
2lnx 1yx 2x 1 ln 3x
(0,5 điểm)
Câu 25: ( 2điểm )
9
Ta có: 2
2 231 1y sin x . sin x . 1 arcsin2x3 2 1 arcsin2x
(1,0 điểm)
4 23
1 1 1y 2sin x. sin x . 2x2 1 arcsin2x3 sin x 1 4x
(0,5 điểm)
3 2
1 1y 2sin x.cosx + 3sinx sin x 1 4x 1 arcsin2x
3 2
2cosx 1y + 3 sin x 1 4x 1 arcsin2x
(0,5 điểm)
Câu 26: ( 2điểm )
Ta có: 2
422
42
1 1 xy1 x1 x
1 x
(0,5 điểm)
32 24
2 224
2
1 1 1 x 1 xy . .4 1 x 1 x1 x
1 x
(0,5 điểm)
22 3 224 42 2
1 1 1 4xy . .41 x 1 x1 x
1 x 1 x
(0,5 điểm)
2 4222
x xy1 x 1 x. 1 x1 x
(0,5 điểm)
CHƯƠNG III ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Câu 27: ( 2 điểm )
10
1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 2 2 0 ( , ) (0,0)t x y x y
Do đó 2 2
2 2
sin( ) sin 1x y tx y t
khi ( , ) (0,0)x y ( 0,5 đ )
Vì vậy 2 2
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
sin( )lim ( , ) lim 1 1 1 0x y x y
x yf x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm ) f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
2016 1008 1008 22 1 0 ( 1) 0m m m ( 0,5 đ )
1008 1m 1 1m m ( 0,5 đ )
Câu 28: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 2 2 0 ( , ) (0,0)t x y x y
Do đó
2 2
2
12
22
2 2( , ) (0,0) 0 02
1 1lim lim lim 1(1 ) 11 1
tx y
t
tx y t t
e etx y
( 0,5 đ )
( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 1
2 22 20: 1 , (1 ) 1
t t tt e t )
nên 2 2
2
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
1lim ( , ) lim 11 1
x y
x y x y
ef x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
( 0,5 đ )
4 3 32 1 1 ( 2) 0 0 2m m m m m m ( 0,5 đ )
Câu 29: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 2 2 0 ( , ) (0,0)t x y x y
11
Do đó
2 2
222
2 2( , ) (0,0) 0 02 2
2sin( 1) sin( 1)lim lim lim 1t
x yt
t tx y t t
e ex y
( 0,5 đ )
( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 2 220: sin( 1) 1
t t tt e e )
nên 2 2
2
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
2sin( 1)lim ( , ) lim 1x y
x y x y
ef x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
Khi hàm 2 2
2
2 2
2sin( 1): ( , )x y
ef f x yx y
, f liên tục tại mọi ( , )x y 2 \{(0,0)} .
Do đó
f liên tục trên 2 f liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
2018 1 1 1m m m ( 0,5 đ )
Câu 30: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 2 2 0 ( , ) (0,0)t x y x y
Do đó
2 2
222
2 2( , ) (0,0) 0 02 2
2arctan( 1) arctan( 1)lim lim lim 1t
x yt
t tx y t t
e ex y
( 0,5 đ )
( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 2 220: arctan( 1) 1
t t tt e e )
nên 2 2
2
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
2arctan( 1)lim ( , ) lim 1x y
x y x y
ef x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
12
Khi hàm 2 2
2
2 2
2arctan( 1): ( , )x y
ef f x yx y
, f liên tục tại mọi ( , )x y 2 \{(0,0)} .
Do đó
f liên tục trên 2 f liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
2019 1 0m m ( 0,5 đ )
Câu 31: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm ) Rõ ràng 2 2 0 ( , ) (0,0)t x y x y
Do đó
2 2
992 2( , ) (0,0) 0 09
9
ln(1 ) ln(1 )9 9lim lim lim 1
1 11 1
t
tx y t t
x y t
tx y
( 0,5 đ )
( vì khi ( , ) (0,0)x y nên 0:t
199
9 9 9ln(1 ) , 1 1 (1 ) 1t t tt t )
Vì vậy
2 2
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 9
ln(1 )9lim ( , ) lim 1
1 1x y x y
x y
f x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
Khi hàm
2 2
2 29
ln(1 )9: ( , )
1 1
x y
f f x yx y
, f liên tục tại mọi ( , )x y 2 \{(0,0)} .
Do đó
f liên tục trên 2 f liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
2 2log log2 2(2 2) 1 1 (2 2)
0 0
m mm mm m
13
2 2 2
2 2
2 2
(log )[log (2 2 )] 2 log0
(log )[log (2 2 ) 2] 00
log 0 ( ì log (2 2 ) 2 0 ) 10
m mm
mm
m v mm
( 0,5 đ )
Câu 32: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 2 5
52 20 x y y
x y
với mọi ( , ) (0,0)x y và 5
( , ) (0,0)lim 0
x yy
. ( 0,5 đ )
Áp dụng nguyên lý kẹp ta có: 2 5
2 2( , ) (0,0)lim 0
x y
x yx y
Vì vậy 2 5
2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)lim ( , ) lim 0
x y x y
x yf x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
12 1 2 1 2 (2 1) 2 2 1 | 2 |m m m m m m m ( 0,5 đ )
( 2 1 ) 2 02 1 ( ì 2 0 )
0
m m
m mvm
( 0,5 đ )
Câu 33: ( 2 điểm )
14
1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 10 ( | | | | ) arctan( ) ( | | | | )| | | | 2
x y x yx y
với mọi ( , ) (0,0)x y
và ( , ) (0,0)
lim | | | | 0x y
x y
. ( 0,5 đ )
Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
( , ) (0,0)
1lim (| | | |) arctan( ) 0| | | |x y
x yx y
Vì vậy ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
1lim ( , ) lim (| | | |) arctan( ) 0| | | |x y x y
f x y x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
( 0,5 đ )
2 1 | 1| ( 1) 0m m m m m
0 1m m ( 0,5 đ )
Câu 34: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 10 (| | | |)sin( ) | | | || | | |
x y x yx y
với mọi ( , ) (0,0)x y
và ( , ) (0,0)
lim | | | | 0x y
x y
. ( 0,5 đ )
Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
( , ) (0,0)
1lim (| | | |) sin( ) 0| | | |x y
x yx y
Vì vậy ( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
1lim ( , ) lim (| | | | )sin( ) 0| | | |x y x y
f x y x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
15
f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
( )
3 2 1 0m
g m
m 0 1m m ( 0,5 đ )
( vì g(0) = g(1) = 0 và pt. g(m) = 0 có tối đa 2 nghiệm phân biệt
(do g”(m)= 23 ln 3 0m trên nên đồ thị hàm g lõm trên ) ) ( 0,5 đ )
Câu 35: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 2 2 2 22 2
10 ( )cos( )x y x yx y
với mọi ( , ) (0,0)x y
và 2 2
( , ) (0,0)lim 0
x yx y
. ( 0,5 đ )
Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
2 22 2( , ) (0,0)
1lim ( )cos( ) 0x y
x yx y
Vì vậy 2 22 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
1lim ( , ) lim ( )cos( ) 0x y x y
f x y x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
9 10 9 10 2 2sin cos 1 sin cos sin cosm m m m m m
2 7 2 8sin (sin 1) cos (1 cos )m m m m ( 0,5 đ )
2 7
2 7 2 82 8
sin (sin 1) 0( ìsin (sin 1) 0;cos (1 cos ) 0)
cos (1 cos ) 0m m
v m m m mm m
16
sin 0 sin 1cos 0 sin 0
m mm m
sin 0 sin 1m m ( , )2
2
m kk l
m l
( 0,5 đ )
Câu 36: ( 2 điểm )
1/ ( 1 điểm )
Rõ ràng 2 2 2 22 2
10 ( )sin( )x y x yx y
với mọi ( , ) (0,0)x y
và 2 2
( , ) (0,0)lim 0
x yx y
. ( 0,5 đ )
Áp dụng nguyên lý kẹp ta có:
2 22 2( , ) (0,0)
1lim ( )sin( ) 0x y
x yx y
Vì vậy 2 22 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
1lim ( , ) lim ( )sin( ) 0x y x y
f x y x yx y
( 0,5 đ )
2/ ( 1 điểm )
f liên tục tại (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) (0,0)x y
f x y f
cos( sin ) 1 sin 2 ( )m m k k ( 0,5 đ )
sin 2 ( ) sin 0m k k m ( vì sin 1m )
( )m l l ( 0,5 đ )
Câu 37: ( 1 điểm )
Khi ( , ) (0,0)x y trên :d y x , 2
2( , ) (0,0) 0
4lim ( , ) lim 22x y x
xf x yx
(*)
17
Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x , 2( , ) (0,0) 0
0lim ( , ) lim 0 22x y x
f x yx
(**)
( 0,5 đ )
Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y
Do đó f không liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
Câu 38: ( 1 điểm )
Khi ( , ) (0,0)x y trên : 0d y , 4( , ) (0,0) 0
0lim ( , ) lim 0x y x
f x yx
(*)
Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x ,
4
4( , ) (0,0) 0
1lim ( , ) lim 04 4x y y
yf x yy
(**) ( 0,5 đ )
Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y
Do đó f không liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
Câu 39: ( 1 điểm )
Khi ( , ) (0,0)x y trên : 0d y , 2( , ) (0,0) 0
0lim ( , ) lim 0x y x
f x yx
(*)
Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x ,
2
2( , ) (0,0) 0
1lim ( , ) lim 02 2x y x
xf x yx
(**) ( 0,5 đ )
Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y
Do đó f không liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
Câu 40: ( 1 điểm )
Khi ( , ) (0,0)x y trên :d y x , 4
4( , ) (0,0) 0
1lim ( , ) lim4 4x y x
xf x yx
(*)
Khi ( , ) (0,0)x y trên : y x ,
18
4
4( , ) (0,0) 0
1 1lim ( , ) lim4 4 4x y x
xf x yx
(**) ( 0,5 đ )
Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y
Do đó f không liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
Câu 41: ( 1 điểm )
Khi ( , ) (0,0)x y trên :d y x , 2( , ) (0,0) 0
0lim ( , ) lim 02x y x
f x yx
(*)
Khi ( , ) (0,0)x y trên : 0y ,
2
2( , ) (0,0) 0lim ( , ) lim 1 0
x y x
xf x yx
(**) ( 0,5 đ )
Từ (*), (**) ta có : ( , ) (0,0)
lim ( , )x y
f x y
Do đó f không liên tục tại (0,0) ( 0,5 đ )
Câu 42: ( 1 điểm )
Rõ ràng ' ',xy xyx yf ye f xe
Do đó 2 2'' 2 '' '' 2, (1 ) ,xy xy xy
xyx yf y e f xy e f x e ( 0,5 đ )
Nên 2 2
2 '' 2 '' '' 2
2 2 2 2
( , ) 2
2(1 )
xyx y
xy xy xy
d f x y f dx f dxdy f dy
y e dx xy e dxdy x e dy
Suy ra 2 2 2(1,1) [ 4 ]d f e dx dxdy dy ( 0,5 đ )
Câu 43: ( 1 điểm )
Rõ ràng ' 1 ', lny yx yf yx f x x
Do đó 2 2'' 2 '' 1 '' 2( 1) , (1 ln ), lny y y
xyx yf y y x f x y x f x x ( 0,5 đ )
19
Nên
2 2
2 '' 2 '' '' 2
2 2 1 2 2
( , ) 2
( 1) 2 (1 ln ) ln
xyx y
y y y
d f x y f dx f dxdy f dy
y y x dx x y x dxdy x xdy
Suy ra 2 2(1, ) ( 1) 2d f e e e dx dxdy ( 0,5 đ )
Câu 44: ( 1 điểm )
Rõ ràng ' '4 22 , 2x yf x y f x yx y
Do đó 2 2'' '' ''
2 2
4 22 , 1, 2xyx yf f f
x y ( 0,5 đ )
Nên 2 2
2 '' 2 '' '' 2
2 22 2
( , ) 2
4 2(2 ) 2 (2 )
xyx yd f x y f dx f dxdy f dy
dx dxdy dyx y
Suy ra 2 2 2(1,1) 6 2 4d f dx dxdy dy ( 0,5 đ )
Câu 45: ( 1 điểm )
Rõ ràng 2015
2015 sin .xf e yx
( 0,5 đ )
Nên 2016
2015 ( sin ) cosx xf e y e yx y y
Do đó 2016
2015 (0,0)fx y
=1 ( 0,5 đ )
20
Câu 46: ( 1 điểm )
Rõ ràng 2 2 2 2,f y f xx x y y x y
( 0,5 đ )
Do đó 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 0( ) ( )
f f xy xyx y x y x y
( 0,5 đ )
Câu 47: ( 2 điểm )
Giả sử tồn tại ( , )f x y thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có:
Từ 24 4 '' 2 ''( , ) ( ) 12 ( )
x
f x f x y x y C x f yx C xy
(1) ( 0,5 đ )
Nhưng 2'' 212
xf x y (2) .Từ (1),(2) : ''( ) 0 ( ) ( , )C x C x ax b a b ( 0,5 đ )
Khi đó a, b thỏa (0,0) 1, (1,1) 2f f với 4( , )f x y x y ax b
Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ )
Vậy 4( , ) 1f x y yx
Thử lại : Rõ ràng 4( , ) 1f x y yx thỏa ycbt
Vậy ( , )f x y cần tìm định bởi : 4( , ) 1f x y yx ( 0,5 đ )
Câu 48:( 1điểm)
( , )f x y cần tìm thỏa : 2 2 2
22
2 ( , ) ( )( , ) 1( , ) 1
f x y f x y yx y C xyf x xf x x
( 0,5 đ )
2 2
2 2 44
( , ) ( )( , ) 2 1
( ) 1 2f x y yx y C x
f x y yx y xC x x
( 0,5 đ )
Câu 49: ( 1điểm )
( , )f x y cần tìm thỏa : 3 3 22 ( , ) ( )
(1, ) 2(1, ) 2
f y x f x y y x x C yx
f yf y
( 0,5 đ )
21
3 2
3 2 33
( , ) ( )( , ) 1
( ) 1f x y y x x C y
f x y y x x yC y y
( 0,5 đ )
Câu 50: ( 2điểm )
Giả sử tồn tại ( , )f x y thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có:
Từ 22 3 2 2 3 '' 2 ''10 ( , ) 5 ( ) 10 6 ( )
y
f xy y f x y x y y x C y f x yx C yx
(1) ( 0,5 đ )
Nhưng 2'' 210 6yf x yx (2) .Từ (1),(2) : ''( ) 0 ( ) ( , )C y C y ay b a b ( 0,5 đ )
Khi đó a, b thỏa (0,0) 1, (1,1) 7f f với 2 2 3( , ) 5f x y x y y x ay b
Nên b =1 và a = 0 ( 0,5 đ )
Vậy 2 2 3( , ) 5 1f x y x y y x
Thử lại : Rõ ràng 2 2 3( , ) 5 1f x y x y y x thỏa ycbt
Vậy ( , )f x y cần tìm định bởi : 2 2 3( , ) 5 1f x y x y y x ( 0,5 đ )
Câu 51: ( 2điểm )
Giả sử tồn tại ( , )f x y thỏa yêu cầu bài toán (ycbt) ta có:
Từ 23 2 4 '' ''2 8 ( , ) 2 ( ) ( )
y
f xy x f x y x y x C y f C yx
(1) ( 0,5 đ )
Nhưng 2'' 0yf (2) .Từ (1),(2) : ''( ) 0 ( ) ( , )C y C y ay b a b ( 0,5 đ )
Khi đó a, b thỏa (0,0) 1, (1,1) 1f f với 2 4( , ) 2f x y yx x ay b
Nên b = a = 1 ( 0,5 đ )
Vậy 2 4( , ) 2 1f x y yx x y
Thử lại : Rõ ràng 2 4( , ) 2 1f x y yx x y thỏa ycbt
Vậy ( , )f x y cần tìm định bởi : 2 4( , ) 2 1f x y yx x y ( 0,5 đ )
22
Câu 52: (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
'
'
0 4 2 0 24 2 0 20
x
y
f x xy yf
( 0,5 đ )
Tại điểm dừng I(2,-2):
2 2'' '' ''(2, 2) 2 , (2, 2) 0, (2, 2) 2xyx yA f B f C f ( 0,5 đ )
Nên 2 4 0, 2 0AC B A ( 0,5 đ )
Do đó f đạt cực đại tại (2,-2) ( 0,5 đ )
Câu 53: (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
'
'
0 2 1 0 12 1 0 10
x
y
f x y xx y yf
( 0,5 đ )
Tại điểm dừng I(-1,1):
2 2'' '' ''( 1,1) 2 , ( 1,1) 1, ( 1,1) 2xyx yA f B f C f ( 0,5 đ )
Nên 2 3 0, 2 0AC B A ( 0,5 đ )
Do đó f đạt cực tiểu tại (-1,1) ( 0,5 đ )
Câu 54: ( 2 điểm )
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
'
'
0 1 0 100 1 0
yx
yy
f e xyf xe
( 0,5 đ )
23
Tại điểm dừng duy nhất I(1,0):
2 2'' '' ''(1,0) 0 , (1,0) 1, (1,0) 1xyx y
A f B f C f ( 0,5 đ )
( vì 2 2'' '' ''0, ,y y
xyx yf f e f xe )
Ta có 2 1 0AC B ( 0,5 đ )
nên I(1,0) không là điểm cực trị
Vậy f không có cực trị ( 0,5 đ )
Câu 55: (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
' 2
' 2
0 2( ) 3( ) 0 0 00 00 2( ) 3( ) 0
x
y
f x y x y x y xx y yf x y x y
( 0,5 đ )
Tại điểm dừng duy nhất O(0,0):
2 2'' '' ''(0,0) 2 , (0,0) 2, (0,0) 2xyx y
A f B f C f
( vì 2 2'' '' ''2 6( ) , 2 6( ) , 2 6( )xyx y
f x y f x y f x y )
Ta có 2 0AC B ( 0,5 đ )
Trong mọi lân cận của O(0,0),
Khi y = x > 0: 3( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 8 0f x y f f x x f x
Khi y = x < 0: 3( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 8 0f x y f f x x f x ( 0,5 đ )
Do đó theo cách chọn ( , )x y như vậy, ( , ) (0,0)f x y f đổi dấu
Vậy f không có cực trị ( 0,5 đ )
24
Câu 56: (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:
'
'
0 2 2 2 01 0
2 2 2 00x
y
f x yx y
x yf
( 0,5 đ )
Tại các điểm dừng M 0 0( , )x y thỏa 0 0 1 0x y
2 2'' '' ''
0 0 0 0 0 0( , ) 2 , ( , ) 2, ( , ) 2xyx yA f x y B f x y C f x y
( vì 2 2'' '' ''2, 2, 2xyx yf f f )
Ta có 2 0AC B ( 0,5 đ )
Vì vậy với 0 0 1 0x y :
2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 )f x y f x y x y xy x y x y x y x y
2 2 20 0 0 0
2 2 2
2 2
2
( 2 2 2 ) [( ) 2( )]
( 2 2 2 ) [( 1) 2]( 2 2 2 ) 1( 1) 0
x y xy x y x y x yx y xy x yx y xy x yx y
( 0,5 đ )
Do đó f đạt cực tiểu tại các điểm 0 0( , )x y sao cho 0 0 1 0x y
( 0,5 đ )
25
Câu 57: (2 điểm)
Hàm Lagrange L: 2 2( , ) ( 10)L x y x y x y
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :
'
'
0 2 0 50 2 0 5
10 0 1010 0
x
y
L x xL y y
x yx y
( 0,5 đ x 2)
Tại (5,5) : 2 2 2(5,5) 2 2 0dL dx dy vì 2 2" " "2, 0, 2xyx y
L L L ( 0,5 đ )
Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (5,5) và (5,5) 50f ( 0,5 đ )
Câu 58 : (2 điểm)
Hàm Lagrange L: ( , ) ( , ) ( 10)L x y xy x y xy x y
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :
'
'
0 0 50 0 5
10 0 5( , ) 0
x
y
L y xL x y
x yx y
( 0,5 đ x2 )
Tại (5,5) : 2 2(5,5) 2 2 0dL dxdy dx
( vì 2 2" " "0, 1, 0xyx yL L L ; (5,5) 0d dx dy và 2 2 0dx dy )( 0,5 đ )
Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (5,5) với (5,5) 50f ( 0,5 đ )
Câu 59 : (2 điểm)
Hàm Lagrange L: 2 2( , ) 2 ( , ) 2 ( 5)L x y x y x y x y x y
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :
'
'
2 2 1 12 2
0 1 2 0 1 10 1 2 0 2 2
5 0( , ) 0
x
y
L x x xL y y y
x yx y
( 0,5 đ )
Tại (1,2) : 2 2 2(1, 2) 0dL dx dy
( vì 2 2" " "(1, 2) 1, (1, 2) 0, (1,2) 1xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )
26
Tại (-1,-2) : 2 2 2( 1, 2) 0dL dx dy
( vì 2 2" " "( 1, 2) 1, ( 1, 2) 0, ( 1, 2) 1xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )
Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại (-1,-2) với ( 1, 2) 5f
và đạt cực đại có điều kiện tại (1,2) với (1, 2) 5f ( 0,5 đ )
Câu 60 : (2 điểm)
Hàm Lagrange L: 2 2 2 2( , ) ( , ) ( 1)2 3x yL x y x y x y x y
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :
' 1813
' 1213
7213
2 020
0 2 03
( , ) 01 0
2 3
x
y
xL xL y y
x y x y
( 0,5 đ x2 )
Tại 18 1213 13( , ) : 2 2 218 12
13 13( , ) 2 2 0dL dx dy ( 0,5 đ )
Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại 18 1213 13( , ) với 18 3612
13 13 13( , )f ( 0,5 đ )
Câu 61 : (2 điểm)
Hàm Lagrange L:
2 2( , ) 6 4 3 ( , ) 6 4 3 ( 1)L x y x y x y x y x y
Tọa độ điểm dừng thỏa hệ :
' 4 45 5
' 3 35 5
2 2 5 52 2
0 4 2 00 3 2 0
1 0( , ) 0
x
y
L x xxL y y y
x yx y
( 0,5 đ )
Tại 345 5( , ) : 2 2 234
5 5( , ) 5( ) 0dL dx dy
27
( vì 2 2" " "3 3 34 4 4
5 5 5 5 5 5( , ) 5, ( , ) 0, ( , ) 5xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )
Tại 345 5( , ) : 2 2 234
5 5( , ) 5( ) 0dL dx dy
( vì 2 2" " "3 3 34 4 4
5 5 5 5 5 5( , ) 5, ( , ) 0, ( , ) 5xyx yL L L và 2 2 0dx dy ) ( 0,5 đ )
Vậy f đạt cực tiểu có điều kiện tại 345 5( , ) với 34
5 5( , ) 1f
và đạt cực đại có điều kiện tại 345 5( , ) với 34
5 5( , ) 11f ( 0,5 đ )
Câu 62 : (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng của f trên miền trong 2 2: 1oD x y , thỏa hệ:
'
12'
2 22 2
0 2 1 00 4 0
011
x
y
f xx
f yy
x yx y
nên 1 12 4( ,0)f (1) ( 0,5 đ )
Trên biên 2 2: 1D x y , giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của ( , )z f x y là giá trị lón nhất ( nhỏ nhất) của 2 2z x x trên [-1,1] ( do 2 21y x ).
Do đó ( , )D
Max f x y
= 94[ 1,1]
Max z
tại 312 2( , )
( , )D
Min f x y
= [ 1,1]Min z
= 0 tại (1,0) (2) ( 0,5 đ x 2)
Rõ ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại ( , )D
Max f x y , ( , )D
Min f x y .
So sánh các giá trị ở (1), (2) ta có:
9( , )4D
Max f x y tại 312 2( , )
1( , )4D
Min f x y tại 12( ,0) ( 0,5 đ )
28
Câu 63 : (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng của f trên miền trong 2 2: 100oD x y , thỏa hệ:
'
'
2 2 2 22 2
0 2 12 0 60 2 16 0 8 ( . )
100 100100
x
y
f x xf y y v n
x y x yx y
( 0,5 đ )
Đặt ( , )L x y = 2 2 2 212 16 ( 100)x y x y x y
Tọa độ điểm dừng của L trên biên 2 2: 100D x y , thỏa hệ:
'
'
2 22 2
0 2 12 2 00 2 16 2 0
100100
x
y
L x xL y y
x yx y
6 6
8 80 2
x xy y
Khi đó (6, 8) 100; ( 6,8) 300f f (1) ( 0,5 đ x 2 )
Rõ ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại
( , )D
Max f x y , ( , )D
Min f x y .
So sánh các giá trị ở (1) ta có:
( , ) 300D
Max f x y tại (-6,8)
( , ) 100D
Min f x y tại (6,-8) ( 0,5 đ )
Câu 64 : (2 điểm)
Tọa độ điểm dừng của f trên miền trong 2 2: 4oD x y , thỏa hệ:
29
'
'
2 22 2
0 2 00
0 2 00
44
x
y
f xx
f yy
x yx y
nên (0,0) 0f (1) ( 0,5 đ )
Trên biên 2 2: 4D x y , giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của z = f(x,y) là giá trị
lớn nhất ( nhỏ nhất) của 22 4z x trên [-2,2] ( do 2 24y x ).
Do đó ( , )D
Max f x y
= [ 2, 2]
4Max z
tại ( 2,0)
( , )D
Min f x y
= [ 2, 2]Min z
= -4 tại (0, 2) (2) ( 0,5 đ x 2 )
Rõ ràng hàm f liên tục trên tập compact D nên tồn tại ( , )D
Max f x y , ( , )D
Min f x y .
So sánh các giá trị ở (1), (2) ta có:
( , ) 4D
Max f x y tại ( 2,0)
( , ) 4D
Min f x y tại (0, 2) ( 0,5 đ )
Câu 65 : ( 2 điểm )
f có tập xác định D : 2 2 2{( , ) |1 4}x y R x y ( 0,5 đ )
Áp dụng bđt Bunyakovsky và bđt cổ điển :
( , ) ,x y D
2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 1 (1 1 )(4 1) 6x y x y x y x y
2 2 2 2
2 2 522 2
4 1" "
1 4
x y x y x yx y
( 0,5 đ )
30
2 2 2 2 2 2 2 24 1 (4 ) ( 1) 3x y x y x y x y
2 22 2
2 22 2
2 2
4 04
" " 1 0 11 4
x yx y
x y x yx y
( 0,5 đ )
Do đó ( , ) 6D
Max f x y tại (x,y) thỏa 2 2 52x y
( , ) 3D
Min f x y tại (x,y) thỏa 2 2 2 24 1x y x y ( 0,5 đ )
Câu 66 ( 2 điểm )
Tọa độ điểm dừng của f trên miền trong 2 2: 1oD x y , thỏa hệ:
'
'
2 22 2
0 1 00 1 0 ( . )
11
x
y
ff v n
x yx y
(1) ( 0,5 đ )
Trên 2 2 2{( , ) | 1}D x y R x y , áp dụng bđt Bunyakovsky :
2 2 2 2| ( , ) | | | (1 1 )( ) 2f x y x y x y
Do đó ( , ) 2f x y , “=” xảy ra tại 2 22 2( , )x y D
và 2 ( , )f x y , “=” xảy ra tại 2 22 2( , )x y D
nên ( , ) 2 , ( , ) 2D D
Max f x y Min f x y
(2) ( 0,5 đ x 2 )
Từ (1), (2) ta có ( , ) 2 , ( , ) 2D D
Max f x y Min f x y ( 0,5 đ )
31
Câu 67: (2 điểm)
* Tìm các điểm dừng ở bên trong hình tròn 2 2 25x y .
Ta có 2 12xf x
2 16yf y
0 6 0 60 8 0 8
x
y
f x xf y y
Vì 2 2 36 64 100 25x y nên (6, 8) không nằm bên trong hình tròn. (0.5)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên: 2 2 25x y .
Lập hàm Lagrange: 2 2( , , ) ( , ) ( 25)L x y f x y x y
2 2 2 212 16 ( 25)x y x y x y
Ta có 2 12 2xL x x
2 16 2yL y y
2 22 2
2 2
610 6
80 8 , 11
2525 25
x
y
xL x xL y y y
x yx y x y
32
61
81
13
x
y
(0,5)
Với 1 ta có 1
3(3, 4)
4x
My
.
Với 3 ta có 2
3( 3, 4)
4x
My
(0.5)
Ta có 1( ) 75f M ; 2( ) 125f M
Vậy ( , ) 125D
Max f x y và ( , ) 75D
Min f x y . (0,5)
Câu 68: (2 điểm)
* Tìm các điểm dừng ở bên trong miền D.
2xf x
8yf y
0 00 0
x
y
f xf y
Ta có 1 điểm dừng 1(0,0)M (0,5)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên của miền D.
Lập hàm Lagrange: 2 2 2 2( , , ) 4 ( 4 4)L x y x y x y
33
2 2xL x x
8 8yL y y
2 22 2
2 2
01
0 00
0 01
4 44 4
4 4
x
y
x
L x xy
L y yx yx y
x y
(0,5)
Ta có các hệ sau:
+ 2 2
004 4
x
x y
: vô nghiệm (0,25)
+ 2 2
001 1
14 4
xxyyx y
điểm dừng 2 3(0,1), (0, 1)M M . (0,25)
+ 2 2
10
02
4 4
yy
xx y
điểm dừng 4 5(2,0), ( 2,0)M M . (0,25)
+ 2 2
114 4x y
: vô nghiệm
* Ta có 1( ) 0f M
34
2
3
4
5
( ) 4( ) 4( ) 4( ) 4
f Mf Mf Mf M
Vậy. ( , ) 4D
Max f x y và ( , ) 4D
Min f x y . (0,25)
Câu 69: (2 điểm)
* Tìm các điểm dừng ở bên trong miền D.
2xf x
2yf y
0 00 0
x
y
f xf y
Vì 2 2 0 1x y nên ta có 1 điểm dừng 1(0,0)M (1.0)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên của miền D.
Lập hàm Lagrange: 2 2 2 2( , , ) ( 4 3)L x y x y x x y
2 2 4xL x x
2 2yL y y
2 22 2
2 2
21
0 2 0 00 0 1
( 2) 1( 2) 1
( 2) 1
x
y
x
L x x yL y y
x yx y
x y
35
Với 1
03
xy
x
Điểm dừng 2 3(1, 0); (3, 0)M M
Với 1 1 0x y Điểm dừng 4 (1, 0)M (0.5)
* Ta có 1( ) 0f M
2 4( ) ( ) 1f M f M
3( ) 9f M
Vậy ( , ) 9D
Max f x y và ( , ) 0D
Min f x y . (0,5)
Câu 70: (2 điểm)
Ta thấy miền D là OAB với (0,0), (6,0), (0,6)O A B .
* Tìm điểm dừng ở bên trong OAB
Ta có 2 3 2 2( , ) 2z f x y x y x y x y
2 24 3 2xf xy x y xy
2 3 22 2yf x x x y
2
0 (4 3 2 ) 0 4 3 2 00 2 2 0(2 2 ) 0
x
y
f xy x y x yf x yx x y
(vì 0, 0x y )
13 2 412 22
xx yx y y
36
Vì 1 31 62 2
x y nên ta có 1 điểm dừng 111,2
M
(1,0)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên OAB
Ta có các điểm dừng: (0,0), (6,0), (0,6)O A B .
+ Trên cạnh : 0, 0 6OA y x khi đó 0z .
+ Trên cạnh : 0, 0 6OB x y khi đó 0z (0,25)
+ Trên cạnh : 6 6 , 0 6AB x y y x x
Khi đó 2 2(6 )(2 6 ) 4 ( 6)z x x x x x x
' 2
'
12 480
04 2
x
x
z x xx
zx y
điểm dừng 2 (4, 2)M (0,5)
Ta có: 11( )4
f M
2
( ) ( ) ( ) 0( ) 128
f O f A f Bf M
Vậy 1( , )4D
Max f x y và ( , ) 128D
Min f x y . (0,25)
Câu 71: (2 điểm)
* Ta thấy miền D là OAB với (0,0), (20,0), (0, 20)O A B .
* Tìm điểm dừng ở bên trong OAB
Ta có 23 15xf x y
37
23 15yf y x
2
2
2 4
0 5 0 50 5 0 5 0
25
x
y
xyf x yf x y xx
2
505
xy
xx
Điểm dừng 1(5, 5)M . (1,0)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên OAB
Ta có các điểm dừng (0,0), (20,0), (0, 20)O A B .
+ Trên : 0, 0 20OA y x khi đó 3 2( , ) 3 0xf x y x f x .
trên OA không có điểm dừng.
+ Trên : 0, 20 0OB x y khi đó 3 2( , ) 3 0yf x y y f y .
trên OB không có điểm dừng. (0,25)
+ Trên cạnh : 20 20 , 0 20AB x y y x x
Khi đó 3 2 2( , ) ( 20) 15 ( 20) 75 1500 8000f x y x x x x x x
150 1500
0 10 10x
x
f xf x y
điểm dừng 2 (10, 10)M (0,5)
Ta có: 1( ) 125f M
2
( ) 0( ) ( ) 8000( ) 500
f Of A f Bf M
38
Vậy ( , ) 8000D
Max f x y và ( , ) 125D
Min f x y . (0,25)
Câu 72: (2 điểm)
* Ta thấy miền D là OAB với (0,0), ( 3,0), (0, 3)O A B .
* Tìm điểm dừng ở bên trong OAB
Ta có 2 1xf x y
2 1yf y x
0 2 1 10 2 1 1
x
y
f x y xf x y y
Vì 2 3x y nên ta có 1 điểm dừng 1( 1, 1)M . (0,5)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên OAB
Ta có các điểm dừng (0,0), ( 3,0), (0, 3)O A B .
+ Trên : 0, 3 0OA y x khi đó 2( , ) 2 1xf x y x x f x .
102xf x Điểm dừng 2
1( ,0)2
M . (0,5)
+ Trên : 0, 3 0OB x y khi đó 2( , )f x y y y
2 1
102
y
y
f y
f y
Điểm dừng 31(0, )2
M . (0,25)
39
+ Trên cạnh : 3 3 , 3 0AB x y y x x
Khi đó 2( , ) 3 9 6f x y x x
6 9
3 302 2
x
x
f x
f x y
điểm dừng 43 3( , )2 2
M (0,5)
Ta có: 1( ) 1f M
( ) 0( ) 6( ) 6
f Of Af B
2
3
4
1( )41( )43( )4
f M
f M
f M
Vậy ( , ) 6D
Max f x y và ( , ) 1D
Min f x y . (0,25)
Câu 73: (2 điểm)
* Ta thấy miền D là hình chữ nhật OABC với 1 1(0, 0), (2, 0), (2, ), (0, )2 2
O A B C .
* Tìm điểm dừng ở bên trong miền D
2 2 2 2( , ) 2 4 2f x y xy xy x y x y
40
2 22 4 2 4xf y y xy xy
2 22 8 4yf x xy x x y
0 (1 2 2 ) 0 (1 )(1 2 ) 00 (2 8 4 ) 0 (2 )(1 4 ) 0
x
y
f y x y xy y x yf x x y xy x x y
0112
0214
yx
y
xx
y
Vì 10 2 , 02
x y nên ta có 1 điểm dừng 11(1, )4
M (1,0)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên
Ta có các điểm dừng 1 1(0, 0), (2, 0), (2, ), (0, )2 2
O A B C .
+ Trên : 0, 0 2OA y x khi đó ( , ) 0f x y .
+ Trên 1: 2, 02
AB x y khi đó ( , ) 0f x y (0,5)
+ Trên cạnh 1: , 0 22
BC y x khi đó ( , ) 0f x y
+ Trên 1: 0, 02
CO x y khi đó ( , ) 0f x y
41
Ta có: 11( )8
f M
( ) ( ) ( ) ( ) 0f O f A f B f C
Vậy 1( , )8D
Max f x y và ( , ) 0D
Min f x y . (0,5)
Câu 74: (2 điểm)
* Ta thấy miền D là hình chữ nhật OABC với (0,0), (4,0), (4, 3), (0, 3)O A B C .
* Tìm điểm dừng ở bên trong miền D
4 2xf x
4 2yf y
0 20 2
x
y
f xf y
Ta có 1 điểm dừng 1(2, 2)M (0,5)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên
Ta có các điểm dừng (0,0), (4,0), (4, 3), (0, 3)O A B C .
+ Trên : 0, 0 4OA y x khi đó 2( , ) 4f x y x x
4 20 2
x
x
f xf x
điểm dừng 2 (2, 0)M
+ Trên : 4, 3 0AB x y khi đó 2 2( , ) 4(4 ) 16 4f x y y y y y
42
4 2
0 2y
y
f yf y
Điểm dừng 3 (4, 2)M (0,5)
+ Trên : 3 , 0 4BC y x khi đó 2 2( , ) 4( 3) 9 4 3f x y x x x x
/
/
4 2
0 2x
x
f x
f x
điểm dừng 4 (2, 3)M
+ Trên : 0, 3 0CO x y khi đó 2( , ) 4f x y y y
4 2
0 2y
y
f yf y
điểm dừng 5 (0, 2)M (0,5)
Ta có: 1( ) 8f M
2
3
4
5
( ) 0( ) 0( ) 3( ) 3( ) 4( ) 4( ) 7( ) 4
f Of Af Bf Cf Mf Mf Mf M
Vậy ( , ) 8D
Max f x y và ( , ) 0D
Min f x y . (0,5)
Câu 75: (2 điểm)
* Ta thấy miền D là hình vuông OABC với (0,0), ( 3,0), ( 3, 3), (0, 3)O A B C .
43
* Tìm điểm dừng ở bên trong miền D
2 23 3 15xf x y
6 12yf xy
2 2
2 2
220 , 05
10 2 52
x
y
yf y x xx y
x xf xy x yx
Vì 3 0x và 3 0y nên ta có 2 điểm dừng 1 2( 1, 2), ( 2, 1)M M (1,0)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên
Ta có các điểm dừng (0,0), ( 3,0), ( 3, 3), (0, 3)O A B C .
+ Trên : 0, 3 0OA y x khi đó 3( , ) 15f x y x x
23 15
0 5x
x
f x
f x
Điểm dừng 3 ( 5 , 0)M
+ Trên : 3, 3 0AB x y khi đó 2( , ) 18 9 12f x y y y
18 12
203
y
y
f y
f y
Điểm dừng 42( 3, )3
M (0,5)
+ Trên : 3 , 3 0BC y x khi đó 3( , ) 12 36f x y x x
23 12 0xf x
44
Hàm số không có điểm dừng trên BC .
+ Trên : 0, 3 0CO x y khi đó ( , ) 12f x y y
12 0yf
Hàm số không có điểm dừng trên CO . Ta có: 1( ) 26f M
2
3
4
( ) 0( ) 18( ) 27( ) 36( ) 28
( ) 10 5( ) 22
f Of Af Bf Cf M
f Mf M
Vậy ( , ) 36D
Max f x y và ( , ) 27D
Min f x y . (0,5)
Câu 76: (2 điểm)
* Ta thấy miền D là hình vuông OABC với (0,0), ( ,0), ( , ), (0, )2 2 2 2
O A B C .
* Tìm điểm dừng ở bên trong miền D
cos os( )xf x c x y
os os( )yf c y c x y
45
0 os os( ) 0 os os 00 osy os( ) 0 os os( ) 0
( ì 0 , 0 )2 2 3os os 0os os2 0 32 2
x
y
f c x c x y c x c yf c c x y c x c x y
x yx yx y v x yx x xc cc x c x
Ta có điểm dừng 1( , )3 3
M (1,0)
* Tìm các điểm dừng ở trên biên
Ta có các điểm dừng (0, 0), ( , 0), ( , ), (0, )2 2 2 2
O A B C .
+ Trên : 0, 02
OA y x khi đó ( , ) 2sinf x y x
2cosxf x
0 0xf x (loại)
+ Trên : , 02 2
AB x y khi đó ( , ) 1 sin sin ( )
2f x y y y
cos os( )2yf y c y
0 os( ) os 04 4 4yf c y c y (loại)
+ Trên : , 02 2
BC y x khi đó ( , ) sin 1 sin ( )
2f x y x x
cos os( ) 2cos( ) os2 4 4xf x c x x c
46
04xf x (loại)
+ Trên : 0, 02
CO x y khi đó ( , ) 2sinf x y y
2cosyf y
0 0yf y (loại) (0.5)
Ta có: 13 3( )
2f M
( ) 0( ) 2( ) 2( ) 2
f Of Af Bf C
Vậy 3 3( , )2D
Max f x y và ( , ) 0D
Min f x y . (0,5)
47
CHƯƠNG IV PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Câu 77: ( 2 điểm )
Đặt t = x2 dt = 2xdx. Đổi cận: x = 0 t = 0, x =1 t = 1
1 1
22 20 0
dt 1 dtI22 t t 1 1 3t
2 2
(0,5 điểm)
Đặt 2
1 3 3 1t tan u dt . du2 2 2 cos u
.
Đổi cận: t = 0 1tan u u63
, t = 1 tan u 3 u3
(0,5 điểm)
Vậy 3 32
32 2
66 6
3 1. du1 1 3 4 3 32 cos uI . . du . u2 2 2 3 3 183 3tan u
2 2
(1,0 điểm)
( Có thể sử dụng pp phân tích : 1 1 2 1
212 24 2
0 0 2 212
( ) 3.....1 183( )
2
d xxdxIx x
x
)
Câu 78: ( 2 điểm ) Đặt 2t 1 cos x dt 2cos x.s inxdx = - sin2x dx (0,5 điểm)
Đổi cận: x = 0 t = 2, x = 2 t = 1 (0,5 điểm)
1 22
12 1
(t 1)dt 1 1 1 1 1I 1 dt t ln t ln 22t 2 t 2 2 2
(1,0 điểm)
Câu 79: ( 2 điểm )
I2
20
cos x dx8 2sin x
(0,5 điểm)
Đặt t sinx dt = cosxdx . Đổi cận: x = 0 t = 0, x = 2 t = 1
48
1
20
dtI2 4 t
(0,5 điểm)
Đặt t 2sinu dt = 2cosudu . Đổi cận: t = 0 u = 0, t = 1 u6
6 6
20 0
2cosu du 1 1 2I du .6 122 22 4 4sin u
(1,0 điểm)
Câu 80: ( 2 điểm )
Đặt x x
u sin 3x du 3cos3xdxdv e dx v e
. (0,5 điểm)
Vậy 2
x x 220
0
I e sin 3x 3 e cos3x dx e 3J 1
.
Tính J: (0,5 điểm)
Đặt x x
u cos3x du 3sin 3xdxdv e dx v e
.
Vậy 2
x x20
0
J e cos3x 3 e sin 3xdx 1 3I 2
(0,5 điểm)
Thế (2) vào (1): 2
2 3 eI e 3 1 3I I10
(0,5 điểm)
Câu 81: ( 2 điểm )
1 0 1
4 2 4 2 4 21 1 0
x dx x dx x dxIx x 12 x x 12 x x 12
Tính 0
1 4 21
x dxIx x 12
Đặt t = x2 dt = 2xdx. Đổi cận: x = -1 t = 1, x = 0 t = 0
Vậy
1 1 1
1 20 0 0
dt 1 dt 1 1 1 1I . dt2 t 4 t 3 2 7 t 4 t 32 t t 12
=1
0
1 1 3ln t 4 ln t 3 ln14 7 4
(1,0 điểm)
Tính 1
2 4 20
x dxIx x 12
Đặt t = x2 dt = 2xdx. Đổi cận: x = 1 t = 1, x = 0 t = 0
49
1
2 20
dt 1 3I ln7 42 t t 12
. Nên 1 2
2 3I I I ln7 4
(1,0 điểm)
Câu 82: ( 2 điểm )
Ta có: 9 9 9
sin + cos 2 21,x x
x xxe x e x x
(1,0 điểm)
Mà 9
1
2 dxx
hội tụ do 9 12
(0,5 điểm)
Vậy x 9
1
sinx + cosx dxe x
hội tụ (0,5 điểm)
Câu 83: ( 2 điểm )
Ta có: x
x x
x
arctanx2 elim lim arctanx = 1 22 e
(0,5 điểm)
Mà
x t x
x x x x xt0 0 0
1 e edx dx lim dx2 e e 2 e e 2 e
(0,5 điểm)
=tt x t
xx x x tt t t
0 0
1 1 1 1 e 1 e 1 1lim d(e ) lim ln lim ln ln ln 32 e 2 e 2 2 e 2 2 e 3 2
hội tụ
(0,5 điểm)
Vậy x0
arctanx dx2 e
hội tụ. (0,5 điểm)
Câu 84: ( 2 điểm )
Ta có: 2 2 2
s inx 1 1x 4 x 4 x
(1,0 điểm)
Mà 21
1 dxx
hội tụ (0,5 điểm)
Vậy sinx dx2x 41
hội tụ (0,5 điểm)
50
Câu 85: ( 2 điểm )
Ta có: x x
xxx 1lim lim 1
x 1x
(1,0 điểm)
Mà 1
xdx
phân kỳ vì 1 12
. Vậy 1
xdx x 1
phân kỳ (1,0 điểm)
Câu 86: ( 2 điểm )
Ta có: 33
3x x
2
xxx 2x 1lim lim 1
1 x 2x 1x
(1,0 điểm)
Mà 21
1 dxx
hội tụ vì 2 1 . Vậy 30
xdx x 2x 1
hội tụ. (1,0 điểm)
Câu 87: ( 2 điểm )
Ta có: x
1sinxlim 11
x
(1,0 điểm)
Mà 1
1dxx
phân kỳ vì 1 . Vậy 1
1sin dxx
phân kỳ (1,0 điểm)
Câu 88: ( 2 điểm )
Ta có: 2
0 0
1 11 cos dx 2sin dxx 2x
(0,5 điểm)
Ta có:
2
2x
12sin2xlim 1
122x
(0,5 điểm)
Mà 20
1 dx2x
hội tụ. Vậy 0
11 cos dxx
hội tụ. (1,0 điểm)
51
Câu 89: ( 2 điểm )
Ta có: 2 2 22 2 2
x x1 x cos x 1 x1 x cos x 1 x
(*) (0,5 điểm)
Xét 21
xdx1 x
Ta có: 2
x
x1 xlim 11
x
. Mà 1
dxx
phân kỳ nên 21
xdx1 x
phân kỳ (1,0 điểm)
Từ (*) suy ra 2 21
xdx1 x cos x
phân kỳ (0,5 điểm)
Câu 90: ( 2 điểm )
Ta có: 2
2 2 1 x sin x 1sin x 0 1 x sin x 11 x 1 x
(*) (0,5 điểm)
Mà t
t
1t t t1 1
dx dxlim lim ln 1 x lim ln 1 t ln 21 x 1 x
(1,0 điểm)
Nên 1
dx1 x
phân kỳ2
1
x sin x 1dx1 x
phân kỳ (0,5 điểm)
52
CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 91: (1điểm)
2 2 2 2(1 ) (1 ) 0x y dx x y dy .
2 2 2 2 0(1 ) (1 )
x ydx dyx y
2 2
12 2 2 21 (1 ) 1 (1 )2 (1 ) 2 (1 )
d x d y Cx y
(0,5)
12 21 1 1 1. .2 1 2 1
Cx y
2 2
1 11 1
Cx y
(0,5)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 2 21 1
1 1C
x y
Câu 92: (1điểm)
2 (1 )y y y 2(1 )dy y ydx
Với 0y và 1y , ta có 2 (1 )dy dx
y y
2
1 11
y dy x Cy y
(0,5)
21 1 1
11ln 1 ln
1 1ln
dy x Cy y y
y y x Cy
y x Cy y
53
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 1 1ln y x Cy y
.
Ngoài ra 0y , 1y cũng là nghiệm của phương trình đã cho. (0,5)
Câu 93: (1 điểm)
Ta có 2 2( 1) 4dyx ydx
2 24 1dy dx
y x
1 yarctan arctan2 2
x C (0,5)
Vì (1) 2y nên 1 arctan1 arctan12
C
1 .2 4 4
8
C
C
Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho là yarctan 2arctan2 4
x .
(0,5)
Câu 94: (2 điểm)
Với 0, 0x y ta có: 2 0x yyy x
(1)
Đặt yz y z x y z x zx
Thay vào (1) ta được: 1 0z x zz
2 21 0 1dzx z z z x z zdx
(*) (0,5)
54
Với 1z x y ta có 2 21 1z dx z dz dxdz
z x z x
2
2 2 2
1 ln 1 ln2ln | 1| ln
z Cx
z C x
2 2 2
2 2 2 2
1(1 )
z C xy x C x
(1,0)
Với 2 1z ta có x y .( thỏa (*))
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 2 2 2(1 )y x C x và x y ( 0, 0x y )
(0,5)
Câu 95: (1 điểm)
Với 0x và 0y ta có: 2 2
0x y x yy yxy y x (1)
Đặt yz y z x y z x zx
Thay vào (1) ta được: 1 0z xz
(0,5)
2
2 21
2 2 2
1
ln | | ln2
ln
dz dxx z dzdx z x
z C x z Cx
y x Cx
Ngoài ra x = 0 cũng là nghiệm của phương trình đã cho. (0,5)
55
Câu 96: (2 điểm)
Rõ ràng 0y là nghiệm của phương trình.
Với 0y ta có: os sin
sin os
y y ycx x xy y x ycx y x
(1)
Đặt yz y z x y z x zx
Thay vào (1) ta được: 2cos sin cos sin
1 sin cossin cos
z z z z z z zz x zz z zz z
z
(0,5)
2cos sin 2 os
sin cos sin cosz z z z z c zz x z
z z z z z z
( sin cos )
2 osz z z dz dx
zc z x
(0,5)
2
1
1 sin 12 cos 2.
(cos ) lncos
z dxdzz z x
d z dz C xz z
21ln cos ln lnz z C x (0,5)
21
2*
2* *
cosln | | ln
cos
os
z C xz
z C xz
y yc C x C xyx x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là *os yc C xyx . ( 0, 0 )x y , y = 0 (0,5)
Câu 97: (2 điểm)
Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
56
Với 2( )1
p xx
3( ) ( 1)q x x
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
( ) ( )
( ) ,p x dx p x dxy e q x e dx C C (0,5)
2 2
31 1( 1)dx dx
x xe x e dx C
Ta có 22 2ln 1 ln ( 1)1
dx x C x Cx
(0,5)
22 ln ( 1)ln ( 1) 3
2
( 1)
( 1) ( 1)
xxy e x e dx C
x x dx C
2
2( 1) ,2xx x C C
.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 2
2( 1) ,2xy x x C C
--(1,0)
Câu 98: (2điểm)
Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Với 1( )
lnp x
x x
( x >1)
( ) lnq x x x
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
( ) ( )( ) ,p x dx p x dxy e q x e dx C C
lnln lndxdx
x xx xe x xe dx C
(0,5)
57
Ta có ln (ln )lndx x C
x x (0,5)
ln (ln )ln (ln ) ln
xxy e x xe dx C
2
ln ( ) ln ,2xx xdx C x C C
(0,5)
Theo đề bài: 2 2 2
( ) ln 02 2 2e e ey e e C C
Vậy 2
ln2xy x . (0,5)
Câu 99: (2 điểm)
Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Với 2( )1
xp xx
21( )
1q x
x
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
2 21 1
2
11
xdx xdxx xy e e dx C
x
(0,5)
Ta có 22
1 ln(1 )1 2
xdx xx
(0,5)
2 21 1ln (1 ) ln (1 )2 2
2
2
22
11
1111
x xy e e dx C
x
xdx C
xx
58
2
2
1 ln 11
x x Cx
(0,5)
vì (0) 0y nên 0 ln1 0C C
Vậy 2
2
1 ln 11
y x xx
. (0,5)
Câu 100: (2điểm)
Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Với 2
21( )(1 )
xp xx x
22( )
1q x
x
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
2 2
2 21 1(1 ) (1 )
2
21
x xdx dxx x x xy e e dx C
x
(0,5)
Ta có 2
2 2
1 1 2(1 ) 1
x xdx dxx x x x
22ln ln 1 ln
1xx x
x
(0,5)
2 2ln ln1 1
2
2
2 2
21
1 2(1 )
x xx xy e e dx C
x
x x dx Cx x
2 2
2
1 1 1 11
x xC Cx x x x
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: 21 1 xy C
x x
. (0,5)
59
Câu 101: (2điểm)
/ / / 26 5 3 5 xy y y e x (1)
+ Giải phương trình thuần nhất: / / /y 6y 5y 0 (2)
Ta có phương trình đặc trưng: 21 2k 6k 5 0 k 1 k 5
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x 5x1 2y C e C e (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / / xy 6y 5y 3e (3)
Vì x1f (x) 3e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là x
1y A xe
/ x x
1/ / x x
1
y A e A xe
y 2A e A xe
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 34A 3 A
4
x1
3y xe4
(0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / / 2y 6y 5y 5x (4)
Vì 22f (x) 5x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là 2
2y Ax Bx C
/2/ /2
y 2Ax B
y 2A.
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
2 25Ax 12A 5B x 2A 6B 5C 5x
A 15A 51212A 5B 0 B5
2A 6B 5C 0 62C25
22
12 62y x x5 25
(0.5)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x 5x x 2
1 2 1 23 12 62y y y y C e C e xe x x4 5 25
(0.5)
Câu 102: (2điểm)
/ / /3 2 4 sin xy y y xe x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /y 3y 2y 0 (2)
60
Ta có phương trình đặc trưng: 2k 3k 2 0 k 1 k 2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2):
x 2x1 2 1 2y C e C e , C , C (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 3y 2y 4xe (3)
Vì x1f (x) 4xe nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là :
x 2 x1y x (Ax B)e Ax Bx e
/ 2 x1y Ax 2Ax Bx B e
// 2 x1y Ax 4Ax Bx 2A 2B e
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được:
2A 4 A 22Ax (2A B) 4x
2A B 0 B 4
2 x1y 2x 4x e (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 3y 2y sin x (4) Vì 2f (x) s inx nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là 1y A cosx Bsinx
/1
//1
y A sin x Bcosx
y A cosx Bsinx
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
(A 3B)cosx (3A B)sin x sinx
3101
10
AA 3B 03A B 1 B
23 1y cosx + s inx
10 10 (0.5)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
x 2x 2 x1 2 1 2 1 2
3 1y y y y C e C e (2x 4x)e cosx sin x, C ,C .10 10
(0.5)
Câu 103: (2điểm)
// / 26 9 9xy y y xe x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /6 9 0y y y (2)
Ta có phương trình đặc trưng: 21 2k 6k 9 0 k k 3
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : 3x1 2y C xC e (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 6y 9y xe (3) Vì x
1f (x) xe nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là x1y Ax + B e
61
/ x1// x
1
y A Ax - B e
y Ax 2A B e
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 16Ax 8A 16B x
1A16A 1 1616B 8A 0 1B
32
x1
x 1y e16 32
(0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2y 6y 9y 9x (4)
Vì 22f (x) 9x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là 2
2y Ax Bx C
/2/ /2
y 2Ax B
y 2A.
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
2 29Ax 12A 9B x 2A 6B 9C 9x
A 19A 9412A 9B 0 B3
2A 6B 9C 0 2C3
22
4 2y x x3 3
(0.5)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
3x x 21 2 1 2 1 2
1 1 4 2y y y y C xC e x e x x , C ,C16 32 3 3
(0.5)
Câu 104: (2điểm)
// / 24 8 2 20sin 2xy y y e x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /y 4y 8y 0 (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2
1 2k 4k 8 0 k 2 2i k 2 2i Do đó nghiệm tổng quát của (2): 2x
1 2 1 2y C cos2x C sin 2x e , C ,C (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2xy 4y 8y 2e (3)
Vì 2x1f (x) 2e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là : 2x
1y Ae
/ 2 x1
// 2 x1
y 2A e
y 4A e
62
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được:
14A 2 A2
2x1
1y e2
(0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 4y 8y 20sin2x (4) Vì 2f (x) 20s in2x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2y A cos2x Bsin 2x
/2
//2
y 2A sin 2x 2Bcos2x
y 4A cos2x 4Bsin 2x
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
4A 8B cos2x (8A 4B)sin2x 20sin2x
A 2B 0 2A 4B 0 A 22A B 5 2A B 5 B 1
2y 2cos2x sin2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:
2x 2x1 2 1 2 1 2
1y y y y e C cos2x C sin2x e 2cos2x sin2x, C ,C2
-(0.5)
Câu 105: (2điểm)
/ / /
0
5 6 3 2 3 2 6 2x
t xy y y e dt e x
" '5 6 2 6 5xy y y e x (1) + Giải phương trình thuần nhất: / / /y 5y 6y 0 (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2
1 2k 5k 6 0 k 2 k 3 Do đó nghiệm tổng quát của (2): 2x 3x
1 2 1 2y C e C e , C ,C (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / / xy 5y 6y 2e (3)
Vì x1f (x) 2e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là : x
1y Ae
/ x1
// x1
y A e
y A e
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 2A 2 A 1
x1y e (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình / / /y 5y 6y 6x 5 (4) Vì 2f (x) 6x 5 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2y A x B
/2
//2
y A
y 0
63
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được: 6Ax ( 5A 6B) 6x 5
A 1B 0
6A 65A 6B 5
2y x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
2x 3x x1 2 1 2 1 2y y y y C e C e e x, C , C . (0.5)
Câu 106: (2điểm)
// / 43 4 x xy y y e xe (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /3 4 0y y y (2)
Ta có phương trình đặc trưng: 2k 3k 4 0 k 1 k 4 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x 4x
1 2 1 2y C e C e , C ,C - (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 4xy 3y 4y e (3)
Vì 4x1f (x) e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là 4x
1y Axe
/ 4x1
// 4x1
y 4Ax A e
y 16Ax 8A e
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được:
15A 1 A
5
4x1
1y x e
5 (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 3y 4y xe (4)
Vì x2f (x) xe nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là x
2y (Ax B)e
/ x2
// x2
y Ax A B e
y Ax 2A B e
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được: 6Ax (A 6B) x
1A6A 1 6A 6B 0 1B
36
x2
1 1y x e6 36
(0.5)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
x 4x 4x x
1 2 1 2 1 21 1 1y y y y C e C e xe x e , C ,C5 6 36
(0.5)
64
Câu 107: (2điểm)
// / 3 23 2 cos 2 6 1y y y x x x x x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /3 2 0y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2k 3k 2 0 k 1 k 2 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x 2x
1 2 1 2y C e C e , C ,C (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 3y 2y x cosx (3) Vì 1f (x) x cosx nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: 1y Ax B cosx + Cx D sinx
/1
//1
y A Cx D cosx + Ax B C sinx
y Ax B 2C cosx + 2A Cx D sinx
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được:
Ax 3Cx 3A B 2C 3D cosx + 3Ax Cx 2A 3B 3C D sinx = x cosx
1A10
A 3C 1 3B3A B 2C 3D 0 253A C 0 3C
102A 3B 3C D 017D
50
1yx 3 -3x 17cosx + s inx
10 25 10 50 (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 3 2y 3y 2y 2x x 6x 1 (4)
Vì 3 22f (x) 2x x 6x 1 nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là :
3 22y Ax Bx Cx D
/ 22
//2
y 3Ax 2Bx C
y 6Ax 2B
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
3 2 2 3 22Ax 9Ax 2Bx 6Ax 6Bx 2Cx 2B 3C 2D 2x x 6x 1.
2A 2 A 19A 2B 0 B 5
6A 6B 2C 6 C 152B 3C 2D 1 D 18
65
3 22y x 5x 15x 18 (0.5)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
x 2x1 2 1 2
x 3 -3x 17y y y y C e C e cosx + s inx10 25 10 50
3 21 2x 5x 15x 18, C ,C (0.5)
Câu 108: (2 điểm)
// / 2 25 4 4 10sin 2xy y y x e x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /y 5y 4y 0 (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2
1 2k 5k 4 0 k 1 k 4 Do đó nghiệm tổng quát của (2): x 4x
1 2 1 2y C e C e , C ,C (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2 2xy 5y 4y 4x e (3)
Vì 2 2x1f (x) 4x e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là :
2 2 x1y Ax Bx C e
/ 2 2 x1
// 2 2 x1
y 2Ax (2A 2B)x B 2C e
y 4Ax 4(2A B)x 2A 4B 4C e
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được:
2 22 2 2 2 2 4Ax Ax Bx A B C x
2 4 22 2 0 2
2 2 0 3
A AA B B
A B C C
2 2x1y 2x 2x 3 e (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // /y 5y 4y 10sin2x (4) Vì 2f (x) 10s in2x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2y A cos2x Bsin 2x
/2
//2
y 2Bcos2x 2A sin 2x
y 4A cos2x 4Bsin 2x
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
10Bcos2x 10Asin2x 10sin2x
10A 10 A 110B 0 B 0
2y cos2x (0.5) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
x 4x 2 2x1 2 1 2 1 2y y y y C e C e 2x 2x 3 e cos2x, C ,C (0.5)
66
Câu 109: (2điểm)
// / 3 22 5 4 5 6 6xy y y e x x x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /2 5 0y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2
1 2k 2k 5 0 k 1 2i k 1 2i Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2) : x
1 2 1 2y e C cos2x C sin2x C ,C - (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / xy 2y 5y 4e (3)
Vì x1f (x) 4e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: x
1y Ae
/ //x x1 1y Ae y Ae
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được: 4 4 1A A
1xy e (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 3 2y 2y 5y 5x 6x 6x (4) Vì 3 2
2f (x) 5x 6x 6x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 3 2
2y Ax Bx Cx D
/ 22
//2
y 3Ax 2Bx C
y 6Ax 2B
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
3 2 3 25Ax 6A 5B x 6A 4B 5C x 2B 2C 5D 5x 6x 6x
5A 5 A 16A 5B 6 B 06A 4B 5C 6 C 02B 2C 5D 0 D 0
32y x (0.5)
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: x x 3
1 2 1 2 1 2y y y y e C cos2x C sin2x e x , C ,C (0.5)
Câu 110: (2điểm)
// / 2 24 3 5 3 5xy y y e x x (1) + Giải phương trình thuần nhất: // /4 3 0y y y (2) Ta có phương trình đặc trưng: 2
1 2k 4k 3 0 k 1 k 3 (0.5) Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (2): x 3x
1 2 1 2y C e C e , C ,C - (0.25) + Tìm nghiệm riêng của phương trình // / 2xy 2y 5y 5e (3)
Vì 2x1f (x) 5e nên một nghiệm riêng của phương trình (3) là: 2
1xy Ae
67
2
1
21
2
4
x
x
y Aey Ae
Thay / //1 1 1y , y , y vào (3) và rút gọn ta được:
115 53
A A
21
13
xy e (0.5)
+ Tìm nghiệm riêng của phương trình 24 3 3 5y y y x x (4) Vì 2
2( ) 3 5f x x x nên một nghiệm riêng của phương trình (4) là : 2
2y A x Bx C
2
2
2A2
y x By A
Thay / //2 2 2y , y , y vào (4) và rút gọn ta được:
2 23A (3 8 ) 2 4 3 3 5x B A x A B C x x
3 3 13 8 1 32 4 3 5 5
A AB A BA B C C
22 3 5y x x (0.5)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho
là: x 3x 2x 21 2 1 2
1y y y y C e C e e x 3x 53
(0.25)
68
CHƯƠNG VI LÝ THUYẾT CHUỖI
Câu 111: (1điểm)
1n ta có 3 . ! 0
n
n nnu
n (0.25)
11
13 ( 1)!lim lim .( 1) 3 . !
n nn
n nn nn
u n nu n n
1 11 1lim 3 3 lim 1 3 lim 1
1 1 1
nn n n n
n n n
nn n n
3 1e
(0.5)
Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi số đã cho phân kỳ. (0.25)
Câu 112: (1điểm)
1n ta có
2
01
n
nnu
n
(0.25)
1 11 1lim lim lim 1 lim 11 1 1
nn n n n
nnn n n n
nun n n
lim
11 1 1n
nn
e e
(0,5)
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)
Câu 113: (1điểm)
1n ta có ( 1)
1 01
n n
nnun
(0,25)
1 11 1lim lim lim 1 11 1
n n
nnn n n
n nun n
69
2( 1)1 1
22lim 11
nn n
n n
2( 1)lim1
21 1 1
n
nn
e e
(0,5)
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)
Câu 114: (1điểm)
1n ta có ( 1)
1 01
n n
nnun
(0,25)
11 .22
22 2lim lim 1 lim 1 11 1
nn
nnn n n
u en n
(0,5) Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho phân kỳ. (0,25)
Câu 115: (1điểm)
1n ta có 2. 4. 6... (2 ) 0n n
nun
(0,25)
11
2 . 4. 6.... (2 )(2 2)lim lim .( 1) 2 . 4. 6.... (2 )
nn
nn nn
u n n nu n n
1 1
12( 1) 1lim 2 lim 2 lim 1( 1) 1 1
nn n nn
nn n n
n n nn n n
2 1e
(0,5)
Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)
70
Câu 116: (1điểm)
1n ta có
2
20
1
n
nnu
n
(0,25)
1 2( 1)2 21 1lim lim lim 1 lim 11 1 1
nn n n nn
nn n n n
nun n n
121 1 1
e e
(0,5)
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)
Câu 117: (1điểm)
1n ta có 3
0n nnue
(0,25)
331
1 3
( 1) 1 1lim lim . limn
nnn n n
n
u n e nu e n e n
31 1 1lim 1 1
ne n e
(0,5) Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)
Câu 118: (1điểm)
1n ta có 1tan 02n nu n
(0,25)
2 21
1 1
( 1) tan ( 1). ( 1).2 .22 2lim lim lim lim.2 .4tan
2 2
nn nnnn n n n
nn n
n nu nu nn n
1 1 1lim 12 2n
nn
(0,5)
Theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi đã cho hội tụ. (0,25)
71
Câu 119: (1điểm)
2n ta có 3 0
(ln )
n
n nun
(0,25)
3lim lim 0 1ln
nnn n
un
(0,5)
Theo dấu hiệu Cauchy thì chuỗi đã cho hội tụ (0,25)
Câu 120: (1điểm)
1n ta có 24 ( !) 0
(2 )!
n
nnun
(1) (0,25)
1 21
24 [( 1)!] (2 )! 2 2lim lim . lim 1
(2 2)! 4 [ !] 2 1
nn
nn n nn
u n n nu n n n
Nhưng 1 2 21,
2 1n
n
u n
u n
mọi n 1 . Suy ra {un} tăng (2) (0,5)
Từ (1),(2) : lim 0nn
u
Vậy chuỗi đã cho phân kỳ. (0,25)
72