Stage scienza e realtà 2011

Il finzionalismo di Harty Field

Tutor: Flavio Zelazek Relatori (in ordine di presentazione):  Francesco AntiliciLaura Lestini Giacomo GusellaMaria Teresa CipolloneMarco PietrosantoRocco Gerace          

I. Introduzione

P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora esistono oggetti matematici astratti

C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri (finzionalismo)

P2) Non esistono oggetti matematici astratti (nominalismo)

P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora esistono oggetti matematici astratti

"Vi è un uomo politico onesto "

è vera se e solo se

Esiste almeno un oggetto che sia un uomo, sia un politico, e sia onesto.

"Vi è un numero primo pari"

Esiste almeno un oggetto che sia un numero, sia primo, e sia pari.

P1) Se gli asserti matematici, presi alla lettera, sono veri, allora esistono oggetti matematici astratti

è vera se e solo se

"Per ogni x, se x è un numero primo allora x è dispari"

A B A > B

V V V

V F F

F V V

F F V

A = "x è un numero primo"

B = "x è un numero dispari"

A > B può essere vera anche se B è falsa !

C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri, oppure lo sono vacuamente.

In un senso non letterale, gli asserti matematici possono essere veri: ad

esempio sono veri secondo la matematica standard, così come gli asserti su

personaggi fittizi sono veri secondo la storia cui fanno riferimento.

C) Gli asserti matematici, presi alla lettera, non sono veri, oppure lo sono vacuamente.

Dilemma di Benacerraf

buona semantica buona epistemologia

P1 P2

Finzionalismo

Dilemma di Benacerraf (Laura)

Argomento dell'indispensabilità (Giacomo)

Conservatività (Maria Teresa)

Nominalizzazione (Marco)

Argomento del miracolo (Rocco)

II. Il Dilemma di Benacerraf

Il dilemma di Benacerraf

oIl problema di Platone

o I numeri naturali che oggetti sono?

o E’ importante capire che tipo di oggetti siano?

o Che rapporto hanno con la nostra conoscenza?

Benacerraf (1965)o I numeri naturali sono insiemi? • Benacerraf: i numeri naturali risultano

differenti se considerati attraverso gli insiemi di Zermelo o di von Neumann e, poiché l’aritmetica non ci offre ragioni per stabilire quale dei due insiemi siano, i numeri naturali non sono insiemi.

Dire esattamente cosa i numeri siano, o cosa non siano, è come cercare distabilire quale è stata la vita adultadi Cappuccetto Rosso (Wagner 1982,Field 1989)

Ma allora cosa sono?

o Benacerraf conclude che i numeri naturali non sono né insiemi né oggetti

o Field propone la spiegazione più naturale del finzionalismo: abbiamo una buona storia sia per i numeri naturali sia per gli insiemi, ed è del tutto irrilevante, all’interno della storia, se identifichiamo i numeri naturali con gli insiemi o meno.

Benacerraf (1973)Locus classicus: come possono gli enti

matematici platonici, indipendenti dal linguaggio, dagli enti fisici e fuori dallo spazio-tempo, produrre conoscenza?

Contro l’intuizione matematica: un’intuizione matematica, che dà pieno accesso al “reame” dei numeri, sarebbe uguale a un’intuizione speciale che ci dice cosa accade esattamente in un remoto villaggio del Nepal:

se i matematici accettano ‘p’, allora p (Field 1989)

Prima richiestaPrima richiesta: una teoria della : una teoria della veritàverità

“La teoria della verità matematica deve essere conforme con una teoria generale della verità, che certifichi che la proprietà degli asserti detta ‘verità’ sia veramente la verità”

‘Vi sono almeno tre numeri perfetti maggiori di 17’

‘Vi sono almeno tre grandi città più antiche di New York’

sono veri se esistono oggetti con proprietà rilevanti indipendentemente da ogni nostra giustificazione

28

812

8496

Seconda richiestaSeconda richiesta:il problema dell’accesso

“ non è possibile tenere conto della connessione fra le condizioni di verità degli asserti dell’aritmetica e ogni evento rilevante connesso con coloro che sono supposti avere conoscenza matematica ” (Benacerraf)

Conoscenza si produce quando un soggetto conosce che p solo se vi è qualcosa che rende vero che p e il soggetto è in relazione con questo qualcosa che gli permetta di stabilire se le condizioni di verità di p sono soddisfatte.

Il dilemma di Benacerraf

Buona semantica Cattiva epistemologia(es. Gödel: viola la seconda richiesta)

Buona epistemologia Cattiva semantica(es. Quine: viola la prima richiesta)

Platonismo

Indispensabilità Verità Aritmetica

Le risposte di Hartry Field

Finzionalismo

Dispensabilità

Conservatività

Nominalizzazione

III. L'argomento di indispensabilità

Argomento dell’indispensabilità

Una delle caratteristiche più interessanti della matematica è la sua applicabilità alle scienze empiriche. Partendo dall’utilità della matematica alcuni filosofi hanno concluso, tramite un’inferenza, l’esistenza di oggetti matematici. 

Cosa sostiene: esistono gli oggetti matematiciCome lo giustifica: esistono perché la matematica entra in maniera indispensabile nelle  spiegazioni dei fenomeni fisici.

Il presupposto dell'argomento di indispensabilità è un'inferenza alla migliore spiegazione. 

Supponiamo che:

a)Abbiamo delle credenze su certi fenomeni ai quali non siamo disposti a rinunciare

b)Questa classe di fenomeni è ampia e complessa

c)Abbiamo una spiegazione abbastanza precisa di questi fenomeni

d) Una delle assunzioni che appaiono in questa spiegazione è l’asserto S e non è possibile nessuna spiegazione dei fenomeni che faccia a meno di S

Abbiamo forti ragioni per credere nell’asserto S

Attacchi di Field all’indispensabilità• Nominalizzazione Le teorie fisiche si possono nominalizzare, spogliare di

qualsiasi riferimento alla matematica

• Ruoli diversi Le entità matematiche, rispetto alle entità fisiche, hanno un

ruolo completamente diverso all’interno delle teorie scientifiche

• Spiegazioni intrinseche Sono preferibili le spiegazioni intrinseche in quanto sono

quelle che si avvicinano di più ai fenomeni e sono le più illuminanti

Il ruolo degli enti matematici nelle spiegazioni del mondo fisico è del tutto diverso dal ruolo delle entità fisiche nelle

medesime spiegazioni.

Le entità fisiche, osservabili o non osservabili, hanno un ruolo CAUSALE, sono sottoposte a leggi di causa-effetto e producono gli effetti che le leggi fisiche cercano di spiegare.

Le entità matematiche vengono considerate come oggetti inerti, come oggetti ACAUSALI, senza alcun ruolo nelle interazioni dei fenomeni fisici.

Come possono queste entità acausali avere un ruolo indispensabile per spiegare le entità causali?

VI.CONSERVATIVITA'

“On this account truth isn’t required for goodness (no necessary truth isn’t required either); what is required instead is something called conservativeness, which

embodies some of the features of necessary truth without involving truth”

H. Field “realism, mathematics and modality” 1989 p.4

• COS’È / COSA NON È

NON È un 'surrogato' del concetto di verità.

NON È la sola proprietà di una teoria matematica: esitono 'virtù secondarie' -eleganza, semplicità etc.- che possono contribuire a determinare la bontà della teoria.

Una teoria matematica S è conservativa rispetto ad una teoria nominalista N se ogni enunciato nominalista che è una conseguenza di N+S è una conseguenza di N solo.

     Questa definizione è piuttosto vaga e fa sorgere                                        un

               PROBLEMA:            Se N è una teoria nominalista 

 

allora potrebbe asserire qualcosa che  ESCLUDE L’ESISTENZA DI ENTITÁ ASTRATTE 

   e quindi ‘N + S’ SAREBBE INCOERENTE!

                     ... PROVIAMO AD ESSERE PIU’ PRECISI

Sia A un qualsiasi asserto nominalista, sia N un qualsiasi corpo di tali asserti; A* non è una conseguenza di N* + S a meno che non sia una conseguenza di N* solo.

•S-> una qualsiasi teoria matematica;•A-> un qualsiasi asserto nominalista;•N-> un qualsiasi corpo di asserti nominalisti A;

   •M(x) significa che x è un oggetto matematico;

•A* -> un qualsiasi asserto nominalista I CUI QUANTIFICATORI SONO RISTRETTI A  ¬M(x);•N* -> il corpo degli asserti A*.

   ... DI COSA STIAMO PARLANDO?!

•A COSA SERVE?

Il concetto di conservatività viene introdotto da Hartry Field per mostrare che non serve pensare la matematica come vera in senso platonista per spiegare la sua applicabilità al mondo fisico.

“It seems to me that the only non-question-begging arguments against the sort of nominalism sketched here (that is, the only non-question-begging arguments for the view that mathematics consists of truths) are based on the applicability of mathematics to the physical world.”H. Field Science without numbers”1980 p.4

Inoltre negare la pretesa di indispensabilità della matematica, non significa negarne anche l’utilità pratica. L’introduzione del concetto di conservatività consente quindi a Field di riconoscere come perfettamente legittimo l’uso della matematica anche da una prospettiva finzionalista.

“[…]If we had a nominalistic theory , than we would be legitimate to introduce mathematics as an auxiliary device that aid us in drawing inferences […] and its usefulness as an auxiliary device is no ground for supposing that it consists of a body of truths.”Field 1980 p.41

VERITA'

Secondo il realismo matematico gli enti matematici -astratti- (numeri, insiemi, funzioni etc) esistono indipendentemente dalla mente e dal linguaggio umani e vanno dunque considerati veri rispetto al loro valore facciale, ovvero, gli asserti matematici vanno considerati come LETTERALMENTE VERI.

   QUELLA DEI REALISTI...

… E QUELLA DEI FINZIONALISTI!

Al contrario essere finzionalisti, secondo Field, non significa negare agli asserti matematici la pretesa di essere “VERI IN UN QUALCHE SENSO”; tuttavia il senso in cui ‘2+2=4’ è vero è lo stesso in cui lo è la proposizione ‘Oliver Twist è nato a Londra’. La seconda è vera “according to a well-known story” la prima “according to standard mathematics”.

IL 'NUCLEO' DI UNA TEORIA FISICA, ciò che in essa è davvero IMPORTANTE, È L'INSIEME DEGLI ASSERTI NOMINALISTI N. 

Questi costituiscono le PREMESSE dalle quali si ricavano CONSEGUENZE -anch'esse nominaliste- ovvero PREDIZIONI.

QUAL È IL SENSO DI TUTTO CIÒ?

Dunque, tutto IL 'POTERE PREDITTIVO' DI UNA TEORIA FISICA STA INTERAMENTE NEL SUO 'NUCLEO‘ nominalista.    

LA MATEMATICA GIOCA UN RUOLO MERAMENTE ACCESSORIO: E' UNO STRUMENTO CHE FACILITA LE INFERENZE DA N ALLE SUE CONSEGUENZE.

V. Nominalizzazione

Il programma di nominalizzazione

L'obbiettivo di Fieldeliminare qualsiasi referenza ad entità matematiche

Quali ? Quelle relative alle applicazioni al mondo fisico

In che modo?

mostrando che è possibile una formulazione della scienza che non necessiti di matematica

Postula l'esistenza di punti nello spazio-tempo

x Bet yz

xy Cong zw

xyz A-Cong tuv

                      z               x       y

x                          y

z                           w

x

yz

t

vu

• 1) per ogni x,y,z e w,   xy Cong zw se e solo se d(x,y) = d(z,w);

• 2) per ogni x,y e z,   y Bet xz se e solo se d(x,y)+d(y,z)=d(x,z);

c’è un punto x tra a1 e a2  (x Bet a1a2) tale che  xa1 Cong cd a xa2 Cong cd

VI. L'argomento del miracolo

L'argomento del miracolo

WIGNER

PUTNAM E IL REALISMO SCIENTIFICO

FINZIONALISMO

L'argomento del Miracolo dice che il realismo della scienza è la migliore spiegazione del successo

della scienza, che altrimenti sarebbe 'miracoloso'.

"L'enorme utilità della matematica nelle scienze naturali è qualcosa che rasenta il misterioso di cui non c'è alcuna spiegazione razionale".

“Il miracolo dell'appropriatezza del linguaggio della matematica per la formulazione delle leggi della fisica è un dono meraviglioso che noi non comprendiamo né meritiamo. Dovremmo esserne grati e sperare che esso rimarrà valido nelle ricerche future e che si estenderà, nel bene o nel male, a nostro piacimento, anche se forse anche a nostro turbamento, alle più ampie branche del sapere.”

WIGNER

The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences" (L'Irragionevole Efficacia della Matematica nelle scienze naturali) 1960

PUTNAM E IL REALISMO SCIENTIFICO

“Scientific Realism is the only philosophy that doesn't make the succes of science a miracle" (1975:73)

1)La Verità delle teorie matematiche spiegherebbe il loro successo predittivo

2)Non c'è nessun'altra spiegazione plausibile di questo successo predittivo.

3)La scienza ha successo.

Pertanto si conclude che le nostre teorie sono vere.

LA RISPOSTA DI FIELD E DEL FINZIONALISMO: NOMINALIZZAZIONE E ADEGUATEZZA NOMINALISTA.

T->Teoria fisica che usa la matematica T'->Teoria altenativa a T non fisica che esprime il contenuto

nominalista presente in T.T è estensione conservativa di T'

Anche se la parte matematica di T è letteralmente falsa ci aspettiamo che abbia conseguenze nominalistiche (osservabili) vere.

OBIEZIONI:1) Circolarità della spiegazione

2) Spiegare come si può credere nelle conseguenze di T se non si crede a T

RISPOSTE:1) Problema anche dei realisti

2) C'è qualcosa di intrinseco e nominalista nelle teorie T e in particolare nel rapporto tra gli elementi non matematici che possiamo estendere con la conservatività alla matematica senza la verità.

TRE PUNTI FORTI PER IL FINZIONALISMO

Un precedenteConsiderare l'ipotesi che il successo predittivo delle teorie

matematiche non dipenda dalla loro verità(matematica).-Il Finzionalismo sostiene che il successo predittivo delle teorie

matematiche che usano la fisica dipende da ragioni diverse dal fatto che queste teorie siano corrette nelle relazioni tra oggetti matematici e non matematici.

- Dipende dalle sole regolarità tra oggetti non matematici.Un precedente?

La teoria della gravitazione di Newton.

Falsa nella sua porzione matematica

Vera nominalisticamente.

Le regolarità nella parte nominalistica della teoria garantiscono il successo predittivo di questa.

Fatti esplicativi fondamentali

Meccanica quantistica->manca la “versione nominalizzata”

O la teoria è vera O coincidenza

Obiezione Finzionalista

1)La verità della teoria sostenuta dal realista spiega davvero perchè le regolarità osservabili concordano con le previsioni della teoria?2) Può il realista affermare che a causa della verità della teoria la sue predizioni si avverano?3) Perchè dovremmo pensare che il rapporto tra gli oggetti non-matematici di una teoria dipenda dalle relazioni acausali con gli oggetti matematici e non da motivi intrinsechi di adeguatezza nominalista?

Perchè gli oggetti non-matematici sono tali da rendere una teoria vera?

Costruzione di teorie

Asserti sulle relazioni tra oggetti matematici e non matematici che la teoria pone sono immaginari

Si suppone come una finzione che gli oggetti non matematici si possano raccogliere in insiemi che soddisfano gli assiomi della nostra teoria degli insiemi

se tali asserti immaginari ricadono sotto questa supposizione, allora rispetteranno qualunque relazione che di fatto intercorre tra ogg. non matematici.

Perchè la nostra teoria è nominalisticamente adeguata senza essere vera?

Assiomi di una teoria con urelementi-> ipotesi generative di una finzione.

Bibliografia

Balaguer M. (2008). Fictionalism in the Philosophy of Mathematics. In Zalta N. E. (a cura di), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/fictionalism-mathematics/.

Field H. (1980). Science without numbers. Basil Blackwell, Oxford.

Field H. (1989). Realism, mathematics and modality. Basil Blackwell, Oxford.

Leng M. (2010). Mathematics and reality. Oxford University Press, Oxford.

Panza M. e Sereni S. (2010). Il problema di Platone. Carocci, Roma.

Sito del gruppo

http://finzionalismo.wordpress.com