V. ESTIMASI ATAU PENDUGAAN PARAMETER

A. Pengertian estimasi Estimasi adalah pendugaan atau perkiraan-perkiraan terhadap ciri-ciri populasi.

B. Derajat KepercayaanDerajat kepercayaan (koefisien kepercayaan) biasanya ditentukan dengan nilai 1- sedangkan selang kepercayaan ditentukan dengan (1- ) 100 %C. Pendugaan Nilai Tengah (hal 241)Salah satu penduga titik bagi nilai tengah populasi adalah statistik X. Sebaran penarikan contoh X berpusat di , dan dalam sebagian besar penerapannya ragamnya lebih kecil dari pada ragam penduga-penduga lainnya. Jadi nilai tengah contoh x akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi nilai tengah populasi .

Bila x adalah nilai tengah contoh acak berukuran n yang diambil dari suatu populasi dengan ragam 2 diketahui, maka selang kepercayaan (1 - ) 100 % bagi adalah :

X - Z/2 /n < < X + Z/2 /n (242) Untuk contoh kecil yang diambil dari populasi yang tidak normal, kita tidak dapat mengharapkan bahwa derajat kepercayaan bagi selang tersebut akan akurat. Tetapi bila ukuran contohnya n 30, bagaimanapun bentuk populasinya, teori penarikan contoh menjamin akan diperolehnya hasil yang memuaskan.Contoh :Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir menghasilkan nilai tengah dan simpangan baku nilai mutu rata-rata sebesar, berturut-turut 2,6 dan 0,3. Buat selang kepercayaa 95 % dan 99 % bagi nilai tengah nilai mutu rata-rata seluruh mahasiswa tingkat akhir.Jawab :

Nilai dugaan titik bagi adalah x =2,6. Karena ukuran contohnya besar, simapangan baku dapat diduga dengan s = 0,3. Nilai z yang luas daerah sebelah kanannya 0,025 yang berarti pula luas sebelah kirinya 0,975 adalah z0,025= 1,96. Dengan demikian selang kepercayaan 95 % bagi adalah : (tabel z hal 470)

1

2,6 – (1,96) (0,3/36) < < 2,6 + (1,96) (0,3/36) yang setelah disederhanakan menghasilkan :

2,50 < < 2,70

Untuk memperoleh selang kepercayaan 99 %, kita harus terlebih dahulu menentukan nilai z yang luas daerah sebelah kanannya 0,005 dan sebelah kirinya 0,995. Dengan demikian nilai z0,005 = 2,575 dan selang kepercayaan 99 % bagi adalah :

2,6 – (2,575) (0,3/36) < < 2,6 + (2,575) (0,3/36) yang setelah disederhanakan menghasilkan :

2,47 <. < 2,73

Selang kepercayaan bagi untuk contoh berukuran kecil, tidak diketahui. Bila x dan s adalah nilai tengah dan simpangan baku contoh berukuran n < 30, maka selang kepercayaan (1 - ) 100 % bagi digunakan rumus :

x - t/2 s/n < < x + t/2 s/n

sedangkan dalam hal ini t/2 adalah nilai t dengan v = n – 1 derajat bebas yang disebelah kanannya terdapat daerah seluas /2

Contoh :Isi 7 kaleng asam sulfat adalah 9.8, 10.2, 9.8, 10.0, 10.2, 10,4 dan 9.6 liter. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi nilai tengah isi semua kaleng bila isi kaleng itu menyebar normal.Jawab :

X = 10.0S = 0.283t/2= 2.447 (tabel t hal 471)v = 6 sehingga selang kepercayaan 95 % bagi adalah = n - 110.0 – (2.447)(0.283/7) < < 10.0 + (2.447)(0.283/7)setelah disederhanakan menjadi 9,74 < < 10,26

2

D. Pendugaan Beda Dua Nilai Tengah Populasi (hal 247)Bila kita mempunyai dua populasi dengan nilai tengah 1 dan 2 dan ragam 1

2 dan 22, maka penduga titik bagi selisih antara 1 dan 2

diberikan oleh statistik x1 - x2. Oleh karena itu untuk mendapatkan nilai dugaan titik bagi 1 - 2, kita mengambil dua contoh acak bebas, satu dari masing-masing populasi, yang berukuran n1 dan n2, kemudian menghitung selisih dua nilai tengah contohnya x1 – x2.Bila kedua contoh itu diambil dari populasi normal, atau bila n1 dan n2 keduanya > 30, maka kita dapat memperoleh selang kepercayaan bagi 1 - 2 dengan mendasarkan pada sebaran penarikan contoh bagi x1 – x2, maka selang kepercayaan (1 - ) 100 % bagi 1 - 2 adalah

(x1 – x2) - zα/2 √σ12/n1+ σ2

2 /n2 < μ1 – μ2 < (x1 – x2) + zα/2 √σ1

2/n1 + σ22/n2

(hal 250)

sedangkan dalam hal ini zα/2 adalah nilai peubah normal baku z yang luas

daerah di sebelah kanannya sebesar α/2

Contoh :Suatu ujian kimia diberikan kepada 50 siswa perempuan dan 75 siswa laki-laki. Siswa-siswa perempuan mencapai rata-rata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan siswa laki-laki memperoleh rata-rata 82 dengan simpangan baku 8, Tentukan selang kepercayaan 96 % bagi beda 1 - 2, dalam hal ini 1 adalah nilai tengah skor semua siswa laki-laki dan 2 adalah nilai tengah skor semua siswa perempuan yang mungkin mengambil ujian ini.Jawab :Nilai dugaan titik bagi 1 - 2 adalah x1 – x2 = 82 – 76 = 6. Karena n1 dan n2 keduanya cukup besar, maka kita dapat mengganti σ1 dengan s1 =8 dan σ2 dengan s2 = 6. Dengan demikian α = 0,04. Dari tabel nilai Z0,02 =

2,05.(x1 – x2) - zα/2 √σ1

2/n1+ σ22 /n2

< μ1 – μ2 < (x1 – x2) + zα/2 √σ12/n1 + σ2

2/n2

6 – 2,05 √64/75+ 36/50< μ1 – μ2 < 6 + 2,05 √64/75 + 36/503,43 < μ1 – μ2 < 8,57

Prosedur pendugaan selisih dua nilai tengah populasi tadi hanya berlaku bila σ1

2 dan σ22 diketahui atau dapat diduga dari contoh yang berukuran

besar. Bila ukuran contoh kecil, kita harus menyandarkan pada sebaran t untuk mendapatkan selang kepercayaannya, asalkan kira-kira populasinya menyebar normal.

3

Selang kepercayaan bagi μ1 – μ2 untuk contoh berukuran kecil, σ12= σ2

2

tetapi nilainya tidak diketahui. Bila x1 dan x2 masing-masing adalah nilai tengah contoh acak bebas berukuran kecil n1 dan n2 , yang diambil dari dua populasi yang hampir normal dengan ragam sama tetapi tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan (1 – α) 100 % bagi μ1 – μ2

diberikan oleh rumus :

(x1 – x2) - tα/2 sp √1/n1+ 1 /n2 < μ1 – μ2 < (x1 – x2) + tα/2 sp √1/n1 + 1/n2

Sp 2

= (n1 – 1) s12 + (n2 – 1)s 2

2

n1 + n2 – 2dimana sp adalah nilai dugaan gabungan bagi simpangan baku populasi, dan tα/2 adalah nilai t dengan v = n1 + n2 – 2derajat bebas yang luas daerah sebelah kanannya sebesar α/2.

Contoh :Suatu pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa dengan metode pengajaran yang biasa. Pelajaran yang sama diberikan pula pada 10 siswa tetapi dengan metode pengajaran yang menggunakan bahan yang telah diprogramkan. Pada akhir semester pada setiap kelas diberikan ujian yang sama. Kelas yang pertama mencapai nilai rata-rata85 dengan simpangan baku 4, sedangkan kelas yang keduamencapai nilai rata-rata 81 dengan simpangan baku 5. Tentukan selang kepercayaan 90 % bagi selisih antara kedua nilai tengah populasi, bila diasumsikan kedua populasi menyebar menghampiri normal dengan ragam yang sama.

Jawab :Misalkan μ1 dan μ2 melambangkan rata-rata nilai semua siswa yang mungkin memperoleh pelajaran ini dengan metode pengajaran biasa dan yang menggunakan bahan terprogramkan. Kita ingin membuat selang kepercayaan 90 % bagi μ1 – μ2 . Nilai dugaan titik bagi μ1 – μ2 adalah x1 - x2 = 85 – 81 = 4. Nilai dugaan gabungan sp

2 bagi ragam σ2 dalam hal ini adalah :sp

2 = (11)(16) + (9)(25) = 20,05 12 + 10 – 2sp = 4,478

Dengan menggunakan α = 0,1, kita dapatkan t0,05 = 1,725 untuk v = n1 + n2 – 2 = 20 derajat bebas. Oleh karena itu selang kepercayaan 90 % bagi μ1 – μ2 adalah :

4

4 – (1,725)(4,478) √ 1/12 + 1/10 < μ1 – μ2 < 4 + (1,725)(4,478) √ 1/12 + 1/10

0,69 < μ1 – μ2 < 7,31

Jadi kita percaya 90 % bahwa selang dari 0,69 sampai 7,31 mencakup selisih sesungguhnya nilai rata-rata pelajaran matematika untuk kedua metode pengajaran tersebut. Kenyataan bahwa kedua ujung selang itu positif menunjukkan bahwa metode pengajaran biasa untuk pelajaran matematika ini lebih unggul daripada metode pengajaran dengan menggunakan bahan terprogramkan.

Selang kepercayaan bagi μ1 – μ2 untuk contoh berukuran kecil; σ12≠ σ2

2 dan nilai tidak diketahui. Bila x1 dan s1

2, dan x2 dan s22 masing-masing nilai

tengah dan ragam contoh bebas berukuran kecil n1 dan n2 yang diambil dari dua populasi yang mendekati normal dengan ragam tidak sama dan tidak diketahui nilainya, maka selang kepercayaan (1 – α) 100 % bagi μ1

– μ2 diberikan oleh rumus:

(x1 – x2) - tα/2 √σ12/n1+ σ2

2 /n2 < μ1 – μ2 < (x1 – x2) + tα/2 √σ1

2/n1 + σ22/n2

tα/2 adalah nilai t dengan derajat bebas

v = (s12/n1 + s2

2/n2)2

[(s12/n1)2/(n1 –1) + (s2

2/n2)2/(n2 – 1)]

yang disebelah kanannya terdapat daerah seluas α/2. (hal 253)

Contoh :Catatan selama 15 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan rata-rata di suatu daerah selama bulan Mei adalah 4,93 cm, dengan simpangan baku 1,14 cm. Di daerah lain catatan serupa selama 10 tahun terakhir menunjukkan bahwa curah hujan rata-rata di bulan Mei adalah 2,64 cm dengan simpangan baku 0,66 cm. Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi selisih curah hujan rata-rata yang sebenarnya selama bulan Mei di kedua daerah tersebut, bila diasumsikan bahwa pengamatan-pengamatan itu berasal dari dua populasi normal dengan ragam yang berbeda.

Jawab :

5

Untuk daerah pertama kita mempunyai x1 = 4,93, s1 = 1,14 dab n1 = 15 sedangkan untuk daerah kedua x2 = 2,64, s2 =0,66, dan n2 = 10. Kita ingin mendapatkan selang kepercayaan 95 % bagi μ1 – μ2 . Karena kedua ragam populasi dan ukuran contohnya tidak sama, maka kita hanya dapat memperoleh selang kepercayaan 95 % yang didasarkan pada sebaran t dengan

v = (1,14)2/15 + 0,662/10)2

[(1,142/15)2/14] + [(0,662/10)2/9]

= 22,7 ≃ 23 derajat bebas.Nilai dugaan titik μ1 – μ2 adalah x1 - x2 = 4,93 – 2,64 = 2,29. Dengan mengambil α = 0,05 diperoleh t0,025= 2,069 untuk v = 23 derajat bebas. Dengan demikian selang kepercayaan 95 % bagi μ1 – μ2 adalah :

2,29 – 2,069 √ 1,142/15 + 0,662/10 < μ1 – μ2 < 2,29 + 2,069 √ 1,142/15 + 0,662/101,54 < μ1 – μ2 < 3,04

Dengan demikian, kita percaya 95 % bahwa selisih curah hujan rata-rata yang sebenarnya selama bulan Mei di kedua daerah tersebut berada dalam selang dari 1,54 sampai 3,04 cm. Bila pengamatan dalam kedua contoh saling berpasang-pasangan sehingga kedua pengamatan itu berhubungan. Misalnya saja kita ingin menguji keefektifan suatu diet baru menggunakan 15 individu dengan mengambil bobot badan sebelum dan sesudah percobaan. Pengamatan dalam kedua contoh yang diambil dari individu yang sama tentu saja berhubungan dan oleh karena itu membentuk suatu pasangan. Untuk mengetahui apakah diet itu efektif, kita harus memperhatikan selisih, d I

masing-masing pengamatan tersebut. Selisih-selisih tersebut dipandang sebagai nilai-nilai suatu contoh acak d1, d2, …., dndari suatu populasi normal dengan nilai tengah μD tetapi ragamnya σD

2 tidak diketahui. Kita duga σD

2 dengan sd2, yaitu ragam selisih-selisi tersebut. Dengan

demikian sd2 merupakan sebuah nilai bagi statistik Sd

2 yang berfluktuasi dari contoh satu ke contoh lainnya. Nilai dugaan titik bagi μ1 – μ2 = μd

diberikan oleh d.Karena ragam bagi D untuk pengamatan berpasangan lebih kecil dari

pada ragam bagi x1 –x2 untuk dua contoh acak bebas, maka setiap yang disimpulan (inferensia) statistik mengenai μ1 – μ2 yang didasarkan pada

6

D akan lebih sensitif. Karena alasan ini kita sering mengusahakan agar dalam suatu percobaa pengamatannya berpasang-pasangan. Hal ini dapat dicapai dengan melakukan pengukuran x1 dan x2 pada individu yang sama, apakah itu orang, binatang, atau tanaman. Jadi peubah acaknya mungkin berupa bobot badan masing-masing individu sebelum dan sesudah suatu percobaan diet yang terkontrol.Contoh lain misalnya dapat mengambil n pasang orang dengan setiap pasangan memiliki ciri yang serupa, misalnya IQ, umur, keturunan, dsb, kemudian dari salah satu anggota setiap pasangan diambil secara acak untuk diukur nilai X1-nya yang satu lagi diukur nilai X2-nya. Umpanya X1 dan X2 adalah nilai yang diperoleh dari dua orang yang ber-IQ sama, yang satu mengikuti kelas biasa sedangkan yang satu mengikuti kelas dengan bahan terprogramkan.Selang kepercayaan bagi μD = μ1 – μ2 untuk pengamatan berpasangan. Bila d dan sd adalah nilai tengah dan simpangan baku selisih n pengamatan berpasangan, maka selang kepercayaan (1 - ) 100 % bagi 1 - 2 adalah :

d - t/2 sd/n < D < d + t/2 sd/n (hal 254)

sedangkan dalam hal ini t/2 adalah nilai t dengan v = n – 1 derajat bebas yang luas daerah sebelah kanannya /2 .

Contoh :Dua puluh mahasiswa tingkat satu dibagi kedalam 10 pasang, setiap pasangan kira-kira mempunyai IQ yang sama. Salah seorang dari setiap pasangan diambil secara acak dan dimasukkan kedalam kelas yang hanya menggunakan bahan terprogramkan. Anggota pasangan yang lain dimasukkan kedalam kelas biasa. Pada akhir semester kedua grup itu diberikan ujian yang sama dan hasilnya adalah sebagai berikut :

Pasangan Bh Terprogramkan Kelas biasa d

7

12345678910

76608558917582647988

81528770867790638583

-58-2-125-2-81-65

Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi selisih sesungguhnya dalam kedua metode pengajaran tersebut.

Jawab :Kita ingin mendapatkan selang kepercayaan 98 % bagi 1 - 2, sedangkan 1 dan 2 adalah nilai rata-rata semua siswa yang mungkin mengikuti kuliah dengan bahan terprogramkan dan kuliah biasa. Karena pengamatannya berpasangan, 1 - 2 =D, dan dugaan titik bagi D

diberikan oleh đ = -16

Sd2 = n di

2 - ( di)2

N (n – 1) = (10) (392) – (- 16)2 = 40,7 10 x 9 sd = 6,38Untuk = 0,02 diperoleh t0,01 = 2,821 untuk v = n – 1 = 9 derajat bebas. Dengan demikian selang kepercayaan 98 % bagi D adalah :

-1,6 – (2,821) (6,38/10) < D < - 1,6 + (2,821) (6,38/10)

-7,29 < D < 4,09 Dengan demikian kita percaya 98 % bahwa selang selang dari – 7,29 sampai 4,09 mencakup selisih nilai rata-rata yang sebenarnya bagi kedua metode pengajaran tersebut. Karena selang ini memungkinkan nilai D sama dengan nol, maka kita tidak dapat menyimpulkan bahwa metode pengajaran yang satu lebih baik dari pada metode pengajaran lainnya, meskipun untuk contoh yang diperoleh ini metode pengajaran biasa menunjukkan hasil yang lebih baik.

8

E. Pendugaan Proporsi (hal 259)

Penduga titik bagi proporsi p dalam suatu percobaan binom diberikan oleh statistik P =x/n, sedangkan x menyatakan banyaknya keberhasilan dalam n ulangan. Dengan demikian proporsi contoh P = x/n akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi parameter p tersebut.

Percobaan binom yaitu adalah percobaan yang memiliki ciri :1. percobaannnya terdiri dari n ulangan2. dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil

atau gagal3. peluang berhasil, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap

ulangan adalah sama, tidak berubah-ubah4. ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lain

Bila proporsi p yang tidak diketahui itu tidak terlalu dekat pada nol atau satu, kita dapat membuat selang kepercayaan bagi p dengan mempelajari sebaran penarikan contoh bagi P, yang merupakan kelipatan peubah acak x. Dengan demikian untuk n yang cukup besar sebaran bagi P menghampiri normal dengan nilai tengah p = E(P) = E(x/n) = np/n = p

dan ragam

p2 = x

2/n = x2/n2 =npq/n2 = pq/n

Selang kepercayaan bagi p untuk contoh berukuran besar. Bila p adalah proporsi keberhasilan dalam suatu contoh acak berukuran n, dan q = 1-p, maka selang kepercayaan kira-kira (1 - ) 100 % bagi parameter binom p diberikan oleh

P - Z/2 pq < p < P + Z/2 pq (hal 261)

n nsedangkan Z/2 adalah nilai z yang luas daerah sebelah kanannya sebesar Z/2.

Metode penentuan selang kepercayaan bagiparameter binom p juga dapat diterapkan bila kita menggunakan sebaran binom untuk menghampiri sebaran hipergeometrik, artinya bila n relatif kecil dibandingkan N.Contoh :

9

Dari suatu contoh acak 500 orang yang makan siang di sebuah restoran selama beberapa hari jumat, diperoleh informasi x = 160 orang yang menyukai makanan laut (seafood). Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi sesungguhnya orang yang menyukai makanan laut untuk makan siangnya pada hari jumat di restoran ini.Jawab :Nilai dugaan titik bagi p adalah p = 160/500 = 0,32. Dengan menggunakan tabel kita peroleh Z 0,025 = 1,96. Jadi dengan mensubsitusikan ke dalam rumus :

p - Z/2 pq/n< p < p + Z/2 pq/nkita peroleh selang kepercayaan 95 %

0,32 – 1,96 0,32 x 0,68 < p < 0,32 + 1,96 0,32 x 0,68500 500

0,28 <p < 0,36

Bila p merupakan titik pusat selang kepercayaan tersebut, maka p menduga p tanpa galat. Tetapi kecil sekali kemungkinannya untuk terjadi bahwa p tepat sama dengan p, dengan kata lain nilai dugaan titik itu mempunyai galat. Besarnya galat sama dengan nilai mutlak selisih p dengan p, dan kita dapat percaya (1 - ) 100 % bahwa selisih ini tidak akan melebihi Z/2 pq /n.Ukuran contoh bagi penduga p. Bila p digunakan untuk menduga p, maka kita percaya (1 - )100 % bahwa galatnya tidak melebihi suatu besaran tertentu e bila ukuran contohnya diambil sebesar :

n = Z 2 /2 p q e2

(hal 262)

Contoh :Berapa besar ukuran contoh yang diperlukan dalam contoh di atas bila kita menginginkan percaya 95 % bahwa nilai dugaan bagi p yang dihasilkan berada dalam 0,02 dari nilai p yang sebenarnya ?

Jawab :Dari 500 orang sebagai contoh memberikan nilai dugaan p = 0,32, maka

n = (1,96) 2 (0,32)(0,68) = 2090 (0,02)2

10

Jadi bila kita mendasarkan pada suatu contoh acak 2090 orang, kita boleh percaya 95 % bahwa proporsi contoh yang dihasilkannya tidak akan berbeda lebih daripada 0,02 dari proporsi yang sebenarnya.

Sering kali sangat tidak praktis atau tidak mungkin mengambil contoh awal untuk menentukan ukuran contoh yang diperlukan untuk mencapai derajat ketelitian tertentu. Dalam hal demikian, kita coba menentukan batas terbesar bagi n dengan memperhatikan bahwa pq = p (1 – p) mempunyai nilai sebesar-besarnya = ¼ karena p harus terletak antara 0 dan 1. Nilai pq selalu < ¼ kecuali bila p = ½.Ukuran contoh untuk penduga p, bila p digunakan sebagai suatu nilai dugaan bagi p, maka kita percaya sekurang-kurangnya (1 -) 100 % bahwa galatnya tidak melebihi suatu besaran e tertentu bila ukuran contohnya:

n = Z 2 /2

4e2

Contoh :Berapa besarnya ukuran contoh yang diperlukan dalam contoh tadi bila kita ingin percaya sekurang-kurangnya 95 % bahwa nilai dugaan bagi p yang dihasilkannya berada dalam jarak sebesar-besarnya 0,02 ?

Jawab : n = (1,96)2 = 2401 (4) (0,02)2

dengan membandingkan hasil pada nilai terdahulu, kita melihat bahwa informasi mengenai p, baik yang berasal dari contoh awal ataupun dari pengalaman lalu, memungkinkan kita mengambil contoh yang lebih kecil dengan tetap memelihara derajat ketelitian yang diinginkan.

F. PENDUGAAN SELISIH DUA PROPORSI (hal 264)

Bila kita ingin membandingkan selisih antara dua parameter binom p1 dan p2. Parameter p1 misalnya saja adalah proporsi perokok yang menderita kanker paru-paru, sedangkan p2 adalah proporsi bukan perokok yang menderita kanker paru-paru.

11

Pertama-tama kita mengambil contoh acak berukuran n1 dari suatu populasi binom yang mempunyai nilai tengah n1p1 dan ragam n1p1q1, serta contoh acak lain berukuran n2 dari populasi binom lain yang mempunyai nilai tengah n2p2 dan ragam n2p2q2. Kemudian hitunglah banyaknya penderita kanker paru-paru dalam masing-masing contoh tersebut, misalkan x1 dan x2 serta hitunglah p1 = x1/n1 dan p2 = x2/n2. Penduga titik bagi selisih antara kedua proporsi populasi p1 – p2 diberikan oleh statitistik p1 - p2 . Dengan demikian selisih antara proporsi contoh p1 - p2

akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi p1 – p2.

Selang kepercayaan bagi p1 – p2 dapat disusun berdasarkan sebaran penarikan contoh p1 - p2 . Selang kepercayaan bagi p1 – p2 untuk contoh berukuran besar, bila p1

dan p2 masing-masing adalah proporsi keberhasilan dalam contoh acak yang berukuran n1 dan n2 serta q1 = 1 - p1 dan q2 = 1 - p2 , maka selang kepercayaan kira-kira (1 - ) 100 % bagi selisih antara dua parameter binom p1 – p2 adalah :

(p1 - p2) - z/2 p1q1/n1 +p2q2/n2 < p1 – p2 < (p1 - p2) +z/2 p1q1/n1 +p2q2/n2 (hal 265)

sedangkan dalam hal ini z/2 adalah nilai z yang luas daerah di sebelah kanannya sebesar /2.

Contoh :Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk kota dan penduduk di sekitar kota tersebut untuk menyelidiki kemungkinan diajukannya rencana pembangunan suatu kompleks gedung serba guna. Bila 2400 diantara 5000 penduduk kota dan 1200 diantara 2000 penduduk di sekitar kota tersebut diwawancarai menyetujui rencana tersebut, buat selang kepercayaan 90 % bagi selisih proporsi sebenarnya yang menyetujui rencana tersebut.

Jawab :

Misalkan p1 dan p2 masing-masing adalah proporsi sebenarnya penduduk kota dan daerah sekitarnya yang menyetujui rencana tersebut. Maka = p1

2400/5000 = 0,48 dan p2 = 1200/2000 = 0,60, dan p1 – p2 diduga sebesar p1 - p2 = 0,48 – 0,60 = - 0,12. Dan tabel z0,05 = 1,645. Dengan demikian selang kepercayaan 90 % bagi p1 – p2 adalah :

12

- 0,12 – 1,645 (0,48)(0,52)/5000 + (0,60)(0,40)/2000 < p1 – p2 < - 0,12 -- +1,645 (0,48)(0,52)/5000 + (0,60)(0,40)/2000

- 0,1414 < p1 – p2 < - 0,00986

Karena kedua titik ujung selangnya negatif, maka kita juga dapat menyimpulkan bahwa proporsi penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana tersebut lebih besar daripada penduduk kota yang menyetujui rencana tersebut

G. Penduga Ragam (hal 268)

Bila suatu contoh berukuran n ditarik dari sebuah populasi normal dengan ragam 2 dan kemudian kita hitung ragam contohnya s2, maka kita memperoleh sebuah nilai bagi statistik s2. Ragam contoh ini akan digunakan sebagai nilai dugaan bagi 2. Dengan demikian statistik s2 disebut penduga bagi 2.Selang kepercayaan bagi 2 dapat diperoleh dengan menggunakan statistik

X2 = (n – 1) s2 yang disebut khi-kuadrat, yang sebaran penarikan 2

contohnya dikenal sebagai sebaran khi-kuadrat dengan v = n – 1 derajat bebas.Selang kepercayaan bagi 2, bila s2 adalah ragam contoh acak berukuran n yang ditarik dari suatu populasi normal, maka selang kepercayaan (1 - ) 100 % bagi 2 diberikan oleh rumus :

(n – 1) s2 < 2 < (n – 1) s2 (hal 270)

x2/2 x2

1 - /2

sedangkan x2/2 dan x2

1 - /2 nilai x2 dengan v = n – 1 derajat bebas yang luas daerah sebelah kanannya berturut-tutur adalah /2 dan 1 - /2.

Contoh :Data berikut merupakan volume dalam desiliter 10 kaleng buah peach hasil produksi sebuah perusahaan tertentu : 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, dan 46.0. Buat selang kepercayaan 95 % bagi

13

ragam volume kaleng buah peach hasil perusahaan tersebut, bila diasumsikan volume kaleng tersebut menyebar normal.

Jawab :S2 = nx2 – (x)2

n(n-1)Dengan mengurangkan 46 untuk setiap pengamatan diperoleh

S2 = (10)(2.72) – (1.2)2

(10)(9)

Untuk mendapatkan selang kepercayaan 95 %, maka kita mengambil = 0,05. Selanjutnya dari tabel diperoleh X2

0,025= 19.023 dan x20,975 = 2.700.

Sehingga diperoleh :

(n – 1) s2 < 2 < (n – 1) s2

x2/2 x2

1 - /2

kita memperoleh selang kepercayaan 95 %(9)(0.286) < 2 < (9) (0.286)

19.23 2.700setelah disederhanakan menjadi 0.135 < 2 < 0.953

H. Penduga Ratio Dua Ragam (hal 271)

Nilai dugaan titik bagi ratio dua ragam populasi 21/ 2

2 diberikan oleh ratio ragam contoh masing-masing s2

1/s22. Jadi statistik s2

1/s22 merupakan

penduga bagi 21/ 2

2.

Selang keprcayaan bagi 21/ 2

2. Bila s1 dan s2 adalah ragam dua contoh bebas berukuran n1 dan n2 yang diambil dari populasi normal, maka selang kepercayaan (1 - ) 100 % bagi 2

1/ 22 diberikan oleh

s21 1 < 2

1 < s21 f/2(v2,v1) (hal 275)

s22 f /2(v1,v2) 2

2 s22

sedangkan dalam hal ini f/2(v1,v2) merupakan nilai f untuk v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1 derajat bebas yang disebelah kanannya terdapat daerah seluas /2; dan f/2(v2,v1) merupakan nilai f yang serupa tetapi untuk v2 = n2 – 1 dan v1 = n1 – 1 derajat bebas.

14

Contoh:Suatu tes penempatan untuk matematika diberikan pada 25 siswa laki-laki dan 16 siswa perempuan. Siswa laki-laki mencapai nilai rata-rata 82 dengan simpangan baku8, sedangkan siswa perempuan mencapai nilai rata-rata 78 dengan simpangan baku 7 Buat selang kepercayaan 98 % bagi 2

1/ 22, bila masing-masing 2

1 dan 22 masing-masing adalah

ragam populasi semua nilai siswa laki-laki dan perempuan yang mungkin mengambil tes tersebut. Asumsikan bahwa populasinya menyebar normal.

Jawab:Dalam hal ini kita mempunyai n1= 25, n2 = 16, s1 = 8 dan s2 = 7. Untuk selang kepercayaan 98 % kita harus mengambil = 0,02. Sehingga diperoleh f0,01(24,15) = 3,29 dan f0,01(15,24) =2,89. Dengan mensubsitusikan nilai-nilai itu kedalam rumus:

s21 1 < 2

1 < s21 f/2(v2,v1)

s22 f/2(v1,v2) 2

2 s22

kita mendapatkan selang kepercayaan 98 % yang dicari, yaitu :

64/49 (1/3,29) < 21/ 2

2 < 64/69 (2,89)0,397 <2

1/ 22 < 3,775

VI. PENGUJIAN HIPOTESIS (hal

Kalau kita berkeinginan untuk mengetahui produk, prosedur, bahan, ataupun yang lainnya mana yang lebih baik, maka dapat dilakukan dengan pengujian hipotesis.Hipotesis adalah dugaan sementara terhadap suatu parameter/populasi.

H0 bersifat netral

Hipotesis

H1 berlainan dengan H0

15

Misalnya H0 produk dua jenis makanan mempunyai kandungan gizi yang sama; H1 produk jenis makan yang satu kandungan gizinya berbeda dari produk yang lainnya (>, =, <)

Untuk menguji hipotesis tersebut perlu dilakukan pengumpulan data dan dihitung dengan rumus yang telah ditentukan dan hasilnya dibandingkan dengan tabel yang telah tersedia.

A. Hipotesis untuk satu populasi

Hipotesis yang diuji biasanya ada 3 macam, yaitu :

1. H0 : = 0

H1 : > 0

Kaidah keputusan bagi hipotesis tersebut : (hal 132-133)

t /2(v), terima H0 Jika t = 1/s (ŷ - 0) n t /2(v), tolak H0

2. H0 : = 0

H1 : < 0

Kaidah keputusan bagi hipotesis tersebut :

- t /2(v), terima H0 Jika t = 1/s (ŷ - 0) n - t /2(v), tolak H0

3. H0 : = 0

H1 : 0

Kaidah keputusan bagi hipotesis tersebut :

t /2(v), terima H0 Jika t = 1/s (ŷ - 0) n t /2(v), tolak H0

Contoh:

16

Dari suatu areal hutan diambil 10 pohon sebagai sampel, hasil pengukuran diameter pohon tersebut adalah 70, 80, 60, 80, 60, 50, 40, 30, 60, 70,(Cm). Ujilah hipotesis di bawah ini, bahwa :a. Rata-rata diameter pohon di areal tersebut > 70 cmb. Rata-rata diameter pohon di areal tersebut < 70 cmc. Rata-rata diameter pohon di areal tersebut 70 cm

Jawab :S2 = x2 – (x)2/n n – 1 = 38.400 – 360.000/10 : 9 = 266,7s = 16,3ŷ = 60

1. Hipotesis 1H0 = = 70H1 = 70

t = 1/s (ŷ - 0) n = 1/16,3 (60 – 70) 10 = - 1,94

t0,025 (9)= 2,26dimana t hitung < t tabel sehingga kita menerima H0 berarti rata-rata diameter pohon dia areal tersebut sama dengan 70 cm

2. Hipotesis H0 = = 70H1 = < 70

t = 1/s (ŷ - 0) n = 1/16,3 (60 – 70) 10 = - 1,94

t0,025 (9)= - 2,26dimana t hitung > t tabel sehingga kita menerima H0 berarti rata-rata diameter pohon dia areal tersebut sama dengan 70 cm

3. Hipotesis H0 = = 70H1 = 70

17

t = 1/s (ŷ - 0) n = 1/16,3 (60 – 70) 10 = - 1,94 = 1,94

t0,025 (9)= 2,26dimana t hitung < t tabel sehingga kita menerima H0 berarti rata-rata diameter pohon dia areal tersebut sama dengan 70 cm

B. Hipotesis untuk dua populasi atas lebihBila kita ingin membandingkan keadaan dua populasi, maka hipotesisnya adalah :

H0 : rata-rata dua populasi tersebut samaH1 : rata-rata dua populasi tersebut berbeda (<, , >)

Hipotesis yang diuji :

1. H0 = A = B

H1 = A > B

Kaidah keputusan yang diambil dari hipotesis tersebut : (hal 137-138)

t/2; (m+n – 2), terima H0

t = d/se mn/m+n > t/2; (m+n – 2), tolak H0

2. H0 = A = B

H1 = A < B

Kaidah keputusan yang diambil dari hipotesis tersebut : - t/2; (m+n – 2), terima H0

t = d/se mn/m+n < - t/2; (m+n – 2), tolak H0

3.H0 = A = B

H1 = A B

Kaidah keputusan yang diambil dari hipotesis tersebut : t/2; (m+n – 2), terima H0

t = d/se mn/m+n > t/2; (m+n – 2), tolak H0

18

d = selisih nilai tengah dua populasise2= JKA + JKB (m + n – 2)JK = x2 – ( x)2/n

Contoh :Areal A yang diambil sebagai sampel sebanyak 4 pohon dan pohon B sebanyak 4 pohon. Ukuran pohon di areal A yaitu : 0.61, 0.49, 0.28, 0.27 (m3)dan daerah B adalah 0.31, 0.10, 0.52, 0.46 (m3) . Apakah kedua areal tersebut mempunyai rata-rata ukuran pohon yang sama atau tidak?.

Jawab:

HipotesisH0 = A = B

H1 = A B

ŶA = (0.61+0.49+ 0.28+ 0.27 ) / 4 = 0,4125ŶB = (0.31+ 0.10+ 0.52+ 0.46) / 4 = 0,3475

JKA = 0,612 + 0,492 + 0,282 + 0,272 - 1,652/4 = 0,082875JKB = 0,312 + 0,102 + 0,522 + 0,462 - 1,392/4 = 0,105075

Se2 = JKA + JKB = ( 0,082875 + 0,105075) : (4+4-2) = 0,031325 (m + n – 2)

d = ŶA - ŶB = 0,4125 – 0,3475 = 0,0650

t = d/se mn/m+n

= 0,0650/ 0,031325 x (4 x 4 )/8 = 0,52

t0,05(4+4-2) = 1,943Jadi t hitung < t tabel sehingga kita putuskan untuk menerima H0 artinya ukuran pohon di dua areal tersebut tidak berbeda.

19

20