stat_das-bab-v
DESCRIPTION
khgTRANSCRIPT
BAB VMOMENT, SKEWNESS DAN KURTOSIS
A. MOMENT
1. Data TunggalMisalkan diberikan variabel X dengan harga-harga X , X , X , …,X dengan r = 0,1,2, …
maka :
Moment ke r dari X didefinisikan :
Jika r = 1 maka menjadi Mean Aritmatika
Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat dari 2, 3, 7, 8, 10 !
PENYELESAIAN:
a. moment pertama:
b. moment kedua:
c. moment ketiga:
d. moment kempat:
Atau dapat dikerjakan dengan :
X
2 2 4 8 16
3 3 9 27 81
7 7 49 343 2.401
8 8 64 512 4.096
10 10 100 1.000 10.000
Jumlah 30 226 1890 16.594
Moment ke r disekitar didefinisikan :
Jika r = 1 maka
Jika r = 2 maka
Contoh : Tentukan moment pertama, kedua, ketiga dan kempat disekitar rata-rata
dari 2, 3, 7, 8, 10 !
X
2 -4 16 -64 256
3 -3 9 -27 81
7 1 1 1 1
8 2 4 8 16
10 4 16 64 256
Jumlah 0 46 -18 610
Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan :
Contoh : Diberikan data 2,3,7,8,10 empat moment pertama disekitar 4 adalah :
X
2 -2 4 -8 16
3 -1 1 -1 1
7 3 9 27 81
8 4 16 64 256
10 6 36 216 1296
Jumlah 10 76 298 1650
2. Data Berdaftar Distribusi Frekuensi Moment ke r dari X didefinisikan :
Dengan N = , tanda kelas interval
Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga dari X berikut adalah
Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan
(in)f
60 - 62 5 61 3721 226981 30563–65 18 64 4096 262144 115266–68 42 67 4489 300763 281469–71 27 70 4900 343000 189072–74 8 73 5329 389017 584
100 - - - 6745
Moment ke r disekitar didefinisikan :
Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga disekitar berikut adalah
Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan
f
60 - 62 5 6163–65 18 6466–68 42 6769–71 27 7072–74 8 73
JUMLAH 100 - - - -= … .
Moment ke r disekitar A (A adalah sebuah bilangan tetap) didefinisikan :
Contoh : Moment pertama, kedua dan ketiga disekitar A = 65 berikut adalah
Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan
(in)f
60 - 62 5 61 -4 16 -64 -2063–65 18 64 -1 1 -1 -1866–68 42 67 2 4 8 8469–71 27 70 5 25 125 13572–74 8 73 8 64 512 64
JUMLAH 100 - - - - 245
Metode Koding
dengan d = panjang kelas interval
c = sandi
Tinggi badan (in) f c c c
60 - 62 5 -2 4 -8 -10 20 -4063–65 18 -1 1 -1 -18 18 -1866–68 42 0 0 0 0 0 069–71 27 1 1 1 27 27 2772–74 8 2 4 8 16 32 64
JUMLAH 100 - - - 15 97 33
Dari harga-harga untuk beberapa harga r dapat ditentukan berdasarkan hubungan :
Sehingga contoh di atas dengan menghubungkan hubungan di atas : 8,73 – 0,45 = … .
8,91 – 3x 0,45x8,73 + 2x0,45 = … .
Dan untuk yang lain :
B. SKEWNESSSkewness adalah ukuran ketidaksimetrisan (kemencengan) distribusi. Yang dapat menentukan
atau dapat dijadikan ukuran tentang simetris atau tidak simetris dari sebuah distribusi ialah letak dari
nilai Mean, Median, dan Modus. Makin tinggi tingkat (derajat) ketidak simetrisan suatu distribusi
frekuensi akan semakin besar pula perbedaan antara nilai ketiga ukuran tendensi pusat tersebut.
Pada diagram yang simetris besarnya mean = median = modus. Pada distribusi yang tidak
simetris besarnya mean ≠ median ≠ modus. Pada distribusi semacam ini apabila datanya cukup banyak
berlaku ketentuan sbb:
Modus – Median = 2 (median - mean)
Modus = 3 (median) - 2(mean)
Untuk mengukur tingkat kecondongan atau simetris atau tidaknya suatu distribusi dapat kita gunakan
Koefisien Kecondongan atau Coefficient of Skewness.
UKURAN SIMETRIS DAN CONDONGNYA SUATU KURVAUntuk mengukur simetris atau condongnya suatu kurva kita gunakan koefisien skewness,yang dapat
dihitung dengan rumus ;
1. METODE PEARSONKoefisien Skewness dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut
Sk = - Mo (Rumus I) s
Keterangan :
Sk = Koefisien skewness
= Rata-rata
Mo = Nilai modusContoh
Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ
Rentang nilai frekuensi50-54 155-59 260-64 1165-69 1070-74 1275-79 2180-84 685-89 990-94 495-99 4
80
= 97 + 5 = 97 + - 21,625 = 75,375
Mo = 74.5 + 5 = 76,375
=
=
Dengan menggunakan hub antara mean, median, modus rumus diatas dapat diubah
menjadi
Rumus ke-2Contoh :
Tabel 2.4 Distribusi nilai matematika 80 siswa SMA XYZ
Rentang nilai frekuensi50-54 155-59 260-64 1165-69 1070-74 1275-79 2180-84 685-89 990-94 495-99 4
80
= = 75,375
= 74,5 + 5 = 74,5 + 0,952 = 75,452
=
=
Jadi distribusi di atas mempunyai skewness negatif
2.METODE BOWLEY
Dalam menentukan koefisien skewness , bowley mendasarkan pada nilai-nilai Quartil
Diperoleh:Jika :
1. - = maka hasilnya akan 0.
2. - maka hasilnya akan skewness positif.
3. - maka hasilnya akan skewness negatif.
3. METODE PERCENTIL10 – 90 persentil Sk-nya dinyatakan dengan:
Setelah kita ketahui besarnya koefisien skewness maka untuk menentukan gambar dari distribusi itu
condong ke kiri,ke kanan atau simetris didasarkan atas ketentuan berikut :
a. Bila koefisien skewness itu positif berarti mean > median dan mode ,maka kurva condong ke
kiri atau ekornya disebelah kanan.
b. Bila koefisien skewness itu negatif berarti mean < median dan mode ,maka kurva itu
condong ke kanan atau ekornya di sebelah kiri.
c. Bila koefisien skewnes itu besarnya sama dengan nol berarti mean=median=modus, maka
kurva itu simetris.
Untuk data tunggal komputasi skewness melalui Ms. Excel adalah
insert – function- select category : statistical – skew
C. KURTOSIS
Distribusi Simetrik Distribusi Positif Skewness
Distribusi Negatif Skewness
Kurtosis adalah ukuran mengenai keruncingan dari kurva suatu distribusi frekuensi.
Kurtosis ada 3 macam :
1. Leptokurtik
Ialah distribusi frekuensi yang kalau digambarkan kurvanya merupakan kurva yang
agak sempit pada bagian puncaknya atau mendekati runcing.
2. Platikurtik
Ialah distribusi frekuensi yang digambarkan kurvanya agak mendatar (tumpul) pada
puncaknya.
3. Mesokurtik
Ialah distribusi frekuensi yang kurvanya normal yakni bukan leptokurtik dan
plaktikurtik.
Dalam perhitungan untuk mengetahui runcingan kurva dapat mendasarkan pada moment
keempat.
Momen keempat ialah rata-rata dari kuatnya penyimpangan keempat dari nilai mean dalam
suatu distribusi frekuensi.
Kurtosis dalam suatu distribusi frekuensi diukur atas dasar momen keempat tersebut dan
ukuran ini diberik symbol
Distribusi frekuensi yang normal (Mesokurtik) nilai = 3
Distribusi yang lebih mendatar (Platikurtik) Nilai < 3
Distribusi yang lebih runcing (Leptokurtik) nilai > 3
Contoh :
1. Tentukan kurtosis dari 2, 3, 7, 8, 10 !
X
2 -4 16 256
3 -3 9 81
7 1 1 1
8 2 4 16
10 4 16 256
Jumlah 0 46 610
Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)
2. Hitunglah Kurtosis dari data berikut !
Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan
f
60 - 62 5 61 -6,45 41,60 1730,56 208 8652.8063–65 18 64 -3,45 11,90 141,61 214,2 2548.9866–68 42 67 -0,45 0,20 0,04 8,4 1.6869–71 27 70 2,55 6,50 42,25 175,5 1140.7572–74 8 73 5,55 30,80 948,64 246,4 7589.12
JUMLAH 100 - - - - 852.5 19933.367,45
=
2,74
Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)
Momen coefficient of kurtosis dan alpha empat, ukuran keruncingan tersebut dapat juga
dicari dengan menggunakan nilai kuartil dan persentil. Ukuran yang demikian dinamakan quartile
coefficient of kurtosis dan dinyatakan dengn rumus ;
K =
Dari hasil koefisiensi kurtosis di atas, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari
sekumpulan data, yaitu:
1. Jika koefisien kurtosisnya < 0,263, maka distribusinya adalah platikurtik.
2. Jika koefisien kurtosisnya = 0,263, maka distribusinya adalah mesokurtik.
3. Jika koefisien kurtosisnya > 0,263, maka distribusinya adalah leptokurtik.
Tabel 2.1 Tinggi 100 siswa SMA XYZTinggi badan (in) frekuensi
60 - 62 563 – 65 1866 – 68 4269 – 71 2772 – 74 8
100
K = =
Jadi data di atas kurvanya platikurtik (distribusi yang lebih mendatar)
Untuk data tunggal komputasi kurtosis melalui Ms. Excel adalah insert
– function- select category : statistical – kurt
TUGASDATA TINGGI 40 MAHASISWA LAKI-LAKI
UNMUH PONOROGO
Tinggi (cm) Frekuensi121 – 130 3131 – 140 5141 – 150 9151 – 160 14161 – 170 5171 – 180 4
Jumlah 40
Hitunglah :
a.
b.
c. dengan A = 150
d. Koefisien Skewness dengan Metode Pearson I dan II Kemudian simpulkan !
e. Kurtosis ( melalui dan kuartil ) kemudian simpulkan !