Statecharts

Riferimenti (1)

D. Harel, Statecharts: A visual formalism for complex systems, Science of Computer Programming 8 (1987), pp. 231-274.

D. Harel, On visual formalisms,Communications of the ACM 31 (1988), pp. 514-530.

D. Harel, A. Pnueli, J. Schmidt, R. Sherman, On the formal semantics of Statecharts, Proc. 1st LICS, IEEE Press, pp. 54-64, 1986.

C. Huizing, G. Gerth, W. De Roever, Modeling statecharts behavior in a fully abstract way, Proc. 13th CAAP, LNCS 299, Springer, pp. 271-294, 1988.

C. Huizing, W. De Roever, Introduction to design choices in the semantics of Statecharts, Information Processing letters 37 (1991), pp. 205-213.

Riferimenti (2)

A. Maggiolo-Schettini, A. Peron, S. Tini, A comparison of Statecharts step semantics, Theoretical Computer Science 290 (2003), pp. 465-498.

A. Pnueli, M. Shalev, What is a step: on the semantics of Statecharts, Proc. TACS ‘91, LNCS 526, Springer, pp.244-264, 1991.

A. Peron, A., Maggiolo-Schettini, Transitions as Interrupts: A New Semantics for Timed Statecharts, in: Proc. TACS’94, LNCS 789, Springer, 1994, pp. 806-821.

A. Maggiolo-Schettini, A., Peron, A., Retiming Techniques for Statecharts, Proc. FTRTFT’96, LNCS 1135, Springer, 1996, pp. 55-71.

A. Maggiolo-Schettini, M. Merro, Priorities in Statecharts, Proc. Workshop on Analysis and Verification of Multiple-Agent Languages, Stockholm, June 1996, LNCS 1192, Springer, 1996, pp. 404-429.

MotivazioniLa descrizione di sistemi complessi con macchine a stati

finiti (FSM) e della loro controparte visuale con diagrammi a

transizione di stato pone le seguenti difficoltà:

1. i diagrammi sono piatti e quindi non supportano sviluppo a passi, top-down o bottom-up

2. i diagrammi non sono economici; un evento che causa la stessa transizione da un gran numero di stati, come un interrupt ad alto livello, deve essere rappresentato da una transizione con lo stesso evento da tutti gli stati

3. alla crescita lineare del sistema da descrivere corrisponde una crescita esponenziale del numero degli stati

4. i diagrammi sono sequenziali e non esprimono la concorrenza in modo naturale.

Statecharts (1)

Gli Statecharts sono stati proposti per ovviare agli

inconvenienti detti dei diagrammi di stato:

Statecharts = diagrammi di stato + profondità

+ ortogonalità + broadcast

A

C

B

diventa

A

C

B

D

f

f

gg

ee

h

f

h

Statecharts (2)h

C,E C,G

IH

C,F

diventa

B,EB,F

B,Gk

p

e efg

k

e

p

mp

mpe

k h

B

CG

F

E

IH

f

A D

f[in(G)]e

k k

g h

e

k

m

pee

Statecharts (3)

Un’altra caratteristica degli statecharts è la possibilità di ricordare la visita precedente a uno stato e di entrare in uno stato composito A non nello stato di default, ma nello stato in cui il sistema si trovava quando ha lasciato A l’ultima volta.

C D

BHe

f

AEsempio

Entrando in A facendo la trasizione etichettata e, il sistema entrerà in quello degli stati B, C, D in cui si trovava l’ultima volta che ha lasciato A.

Statecharts (4)

Le transizioni dello possono avere un comportamento di output che non è mandato al mondo esterno (come nelle macchine di Mealy), ma può influire sul comportamento dello statechart stesso nelle sue componenti ortogonali dando luogo a reazioni a catena.

B

G

EAEsempio

Se l’ambiente dà m si ha un passo J I, B C,D G.

Se poi l’ambiente dà n si ha un passo I J, C B,G E.

C

D

J I

A

H

e f/g

m/e

n/f

n g

k

e

Statecharts (5)

Data una configurazione C la reazione dello statechart all’input che viene dall’ambiente è descritto come un passo. Si tratta di trovare l’insieme T di transizioni che sono rilevanti in C, ossia originano in qualche antenato di una sottoconfigurazione di C, che sono abilitati dall’evento e sono consistenti (di qui può venire non determinismo). A un micropasso determinato da un evento proveniente dall’ambiente possono seguire micropassi determinati sia dall’ambiente sia da segnali emessi come output da transizioni del micropasso precedente sia dall’aggiornamento di condizioni. Una sequenza di micropassi termina quando non restano più scelte consistenti da effettuare. A questo punto il passo, che è una sequenza massimale di micropassi, è osservabile dall’estermo nei suoi effetti.

Statecharts (6)

Esempio

B

D

AEsempio

Il sistema può passare dalla configurazione (A,B,C) alla configurazione (D,B,F)

C

D

B C

A

ee

Se il sistema è in Be occorre e, allora può andare in C o in D nondeterministicamente

se le transizioni sono considerate nell’ordine A D, B E, C Fe alla configurazione (D,E,F) se le transizioni sono considerate nell’ordine B E, A D, C F.

FE

e/f e[ny f] e f

Statecharts (7)Esempio

D

A

B E sono avvenute in due micropassi differenti allora in un micropasso successivo sarà x = y e potrà avvenire la transizione C F.

B CSe i valori iniziali di x e y sono 0 all’occorrere di eil sistema effettuerà le due transizioni che assegnano 1 a x e a y. Se le due transizioni A D,

FE

e/x:=1 e/y:=1 x = y

Esempio Come descrivere l’esclusività di un evento. Le configurazioni finalisono (C,B) con x=1 oppure (A,D)con x=2.

A

C D

Be[cur(in B)]/x:=1

e[cur(in A)]/x:=2

Statecharts (8)Esempio

F

E

B

CQuando il sistema è in (A,C) la componente a sinistra può andare in F o in B nondeterministicamente ma la componente a destra può andare in D solo se è stata fatta la prima scelta.

G

e/f f[cur(in(F))]

Esempio Come descrivere priorità. Se e ed f occorrono simultaneamente la e-transizione ha priorità.

A

D

Be

e/f

f[ny(e)]

A

Semantica HPSS86 (1)

Consideriamo un sottoinsieme ristretto di Statecharts. La reazione del sistema agli stimoli esterni (eventi) è fatta dalle transizioni. Le transizioni sono etichettate con un’etichetta della forma e/a (evento/azione).

Si assume l’ipotesi di sincronia: il sistema è infinitamente più veloce dell’ambiente e la risposta a uno stimolo esterno è sempre generata nel medesimo passo in cui si ha lo stimolo.

Esempio

Si abbiano le transizioni parallele t0: a/e1, t1: e1/e2, … , tn: en/b .

In presenza di a gli eventi e1, …, en, b sono tutti generati nel medesimo passo.

Semantica HPSS86 (2)

Si vuole però mantenere la relazione di causalità ed escludere situazioni in cui ci sono due transizioni che si causano l’una l’altra.

Esempio

t1: a/b t2: b/a

Possiamo voler assegnare priorità alle risposte agli stimoli. Si può fare usando eventi negati ed espressioni trigger.

Esempio

Nel caso di due transizioni in conflitto t1: a, t2: b tra cui la scelta sarebbe nondeterministica possiamo dare priorità alla transizione stimolata da b:

t1: a.b-- t2: b

Semantica HPSS86 (3)

Il comportamento di uno statechart è una sequenza di passi ciascuno dei quali porta da una configurazione stabile alla successiva. L’ambiente può introdurre nuovi eventi esterni all’inizio di ciascun passo. La risposta del sistema è una sequenza di micropassi. Il primo micropasso consiste di tutte le transizioni stimolate dall’insieme degli eventi di input. I micropassi successivi consistono di tutte le transizioni stimolate dall’insieme di eventi contenenti gli eventi di input e gli eventi generati dai micropassi precedenti. Poiché il numero di transizioni che possono essere fatte in un passo è finito la sequenza di micropassi termina quando non ci sono più transizioni abilitate da aggiungere. Questo conclude un passo e l’insieme degli eventi generati dal passo è l’insieme degli eventi generati nei micropassi.Tale semantica soddisfa sincronia, causalità ed espressione della priorità mediante eventi negati.

Semantica HPSS86 (4)

La semantica data è localmente consistente, ma non globalmente consistente.

Esempio

Consideriamo due transizioni parallele

t1: a--/b t2: b/a

Supponiamo inizialmente E = . Poiché a E allora t1 è abilitata e il primo micropasso fa t1 generando b, nel micropasso successivo b

E e si può fare t2 generando a. Il passo {{t1}, {t2}} è localmente consistente ma non globalmente consistente.

Semantica HPSS86 (5)

La semantica data è operazionale in quanto definisce il comportamento del sistema in termini di operazioni atomiche. E` utile per una realizzazione del linguaggio.

Una semantica dichiarativa definisce il comportamento mediante equazioni ignorando dettagli operazionali (e.g.ordine delle operazioni). Se la semantica dichiarativa è composizionale si chiama denotazionale. Si vuole consistenza delle due semantiche.

La mancanza di consistenza globale della semantica a micropassi di HPSS86 impedisce di dare una semantica dichiarativa e una operazionale consistenti l’una con l’altra.

Semantica PS91 (1)

Vediamo per un insieme ristretto di Statecharts una semantica dichiarativa e una semantica operazionale consistenti.

Sia uno statechart una 5-tupla <, S, T, r, V>, dove è un insieme di eventi primitivi S è un insieme di stati T è un insieme di transizioni r S è lo stato radiceV è un insieme di variabili assunto inizialmente vuoto.

Per ogni stato la funzione children: S 2S dà l’insieme dei suoi sottostati immediati. Uno stato s è basilare se children(s) = , altrimento è composto. L’insieme degli stati basilari è chiamato Basic. Se s2 children(s1) diciamo s1 padre di s2 e s2 figlio di s1.Esiste un unico stato che non ha padre, è r lo stato radice.

Semantica PS91 (2)

Chiamiamo children* e children+ le chiusure riflessiva-transitiva e transitiva, rispettivamente, di children. La funzione children* può essere estesa a un insieme di stati

children*(X) = x X children*(s) Se s2 children*(s1) diciamo s1 antenato di s2 e s2 discendente di s1.

Uno stato s1 è antenato e discendente di se stesso. Se uno stato s1 è antenato o discendente di uno stato s2 diciamo che s1 e s2 sono ancestralmente relati. La radice è un antenato di tutti gli stati.Si richiede che ogni stato abbia un solo padre. Cosí la relazione di figliolanza organizza gli stati di uno statechart in un albero con radice r le cui foglie sono stati basilari e i nodi intermedi sono stati composti.

Semantica PS91 (3)

La funzione type: S {and, or} è una funzione parziale che assegna a ciascuno stato composto il suo tipo. Se children(s) e type(s) = or, allora children(s) è una or-decomposizione di s, ossia quando il sistema è in s è in uno e uno solo dei suoi sottostati. Se children(s) e type(s) = and, allora children(s) è una and-decomposizione di s, ossia quando il sistema è in s è simultaneamente in tutti i suoi sottostati. La funzione type è indefinita sugli stati basilari e la radice deve essere uno stato or.La funzione default: S S identifica per ciascuno stato or s uno dei suoi immediati discendenti come stato di default, ossia come stato in cui il sistema entra entrando in s.Per un insieme di stati X S lca(X), il minimo antenato comune di X, è lo stato x tale che X children*(x) e per ogni altro s S tale che X children*(s) vale x children*(s).Per un insieme di stati X esiste un minimo antenato comune unico.

Semantica PS91 (4)

Un insieme di stati X S è consistente se per ogni due stati s1, s2 Xo s1 , s2 sono ancestralmente relati oppure s1 _|_ s2 . Un insieme X è massimalmente consistente se per ogni stato s S -X, X {x} non è consistente. Un insieme massimalmente consistente è una configurazione dello statechart.

Se X è un insieme consistente il completamento per default di X, completion(X), è la configurazione Y contenente X tale che per ogni stato s Y se X oppure children(s) = allora default(s) Y. Tale richiesta identifica un’unica configurazione Y. La configurazione iniziale X0 è il completamento per default della radice. Per ogni transizione t T source(t) denota l’insieme di stati da cui la transizione esce, target(t) denota l’insieme di stati bersaglio della transizione.

Semantica PS91 (5)

source(t1) ={c2,d2} target(t1) ={g1,h1,i1}

t1

t2

t3

c1 c2

d1 d2

g1

f2f1

e2e1

g2

j1 j2

i2i1

h2h1

B2B1 Esempio

Semantica PS91 (6)

L’arena di una transizione t, denotata arena(t), è il minimo contesto che contiene tutti i cambiamenti causati dalla transizione. Usualmente è il più piccolo stato or contenente source(t) target(t), ma ci possono essere altri casi. Nell’esempio l’arena di t3 non è lo stato N che contiene source(t3) target(t3), bensí lo stato A.

L’abilitazione di una transizione t, denotato trigger(t), consiste di letterali l1,…, lk, k ≥ 0, ciascuno dei quali è o un evento primitivo e o la negazione e di un tale evento e--.

Dato un insieme di eventi E la transizione t è abilitata da E se eE per ogni e trigger(t) ed e E per ogni e-- trigger(t). Denotiamo con triggered(E) l’insieme di transizioni abilitate da E. Denotiamo con actions(t) l’insieme di eventi g1,…, gn, gi 1i0, generati dalla transizione t. Per un insieme di transizioni T, si ha generated(T) = t T actions(t).

Semantica PS91 (7)

Due transizioni t1, t2 sono consistenti se t1= t2 oppure arena(t1)_|

_arena(t2). In caso contrario le transizioni sono in conflitto. Ogni transizione è consistente con se stessa.

Un insieme di transizioni T è un insieme consistente se t1, t2 sono consistenti per ogni t1, t2 T. Denotiamo con consistent(T) l’insieme di tutte le transizioni che sono consistenti con ogni t T.

Running example (1)

Binary_stopwatch

ShowTime

OffStopwatch

OnHigh Medium Low

a a

b b

H0

H1

M0 L0

M1 L1

TimeTime /cl

cl cmcm/

clcl/ cm

Esempio

Running example (2)

L’attività dell’orologio ha due modi, Stopwatch e ShowTime. Il sistema passa da uno stato all’altro all’occorrenza dell’evento a che può rappresentare il premere il bottone dell’orologio. Quando il sistema è nel modo Stopwatch è nello stato Off e va nello stato On all’occorrenza di b che può rappresentare il premere un altro bottone dell’orologio. Lo stato On rappresenta il conteggio del tempo. Lo stato On consiste di tre sottostati Low, Medium e High che rappresentano tre bit di un contatore binario. Ciascun contatore può essere a zero oppure a uno. Inizialmente i contatori sono tutti a zero. Il conteggio è stimolato dal segnale esterno Time. Quando un contatore passa da uno a zero emette un segnale che fa passare di stato il contatore della cifra di ordine più alto. Tutte le reazioni hannoluogo nello stesso passo stimolato da Time. Ad ogni punto dell’attività la pressione del bottone b ferma il sistema e la pressione di a mostra il tempo conteggiato.

Semantica PS91 (8)

Si abbia una configurazione C e un insieme di eventi primitivi I . Si vuole definire un insieme di transizioni T che è fatto in un solo passo in risposta a I. Questo passo sarà costruito incrementalmente prendendo dapprima l’insieme delle transizioni che sono abilitate da I che generano altri eventi e abilitano altre transizioni, e cosí via.

La funzione abilitante En(T) assume che si sia già deciso di effettuare l’insieme di transizioni T e identifica tutte le transizioni che sono abilitate come conseguenza della decisione

En(T) = relevant(C) consistent (T) triggered (I generated(T))

dove relevant(C) è l’insieme di tutte le transizioni i cui insiemi sorgente sono contenuti nella configurazione C. L’insieme consistent(T) sceglie dall’insieme relevant(C) quelle transizioni che sono consistenti con ogni t T. Si considerano solo quelle transizioni che sono abilitate dagli eventi in I e quelle che sono abilitate da queste.

Running example (3)

Sia C = {Binary-Stopwatch, Stopwatch, On, H0, M1, L1}. Le transizioni rilevanti a C sono

relevant( C) = Stopwatch ShowTime, On Off, H0 H1, M1 M0, L1 L0.

Consideriamo l’insieme di eventi di input I = {a, time} e prendiamo T = {L1 L0}. Allora si ha

consistent(T) = {L1 L0, M0 M1, M1 M0, H0 H1, H1H0}

I generated(T) = {a, Time, cl}

triggered (I generated(T)) = {L0 L1, L1 L0, M0 M1, M1 M0, Stopwatch ShowTime, ShowTime Stopwatch}

Abbiamo infine

En({L1 L0})= {L1 L0, M1 M0}.

Semantica PS91 (9)Una proprietà importante della funzione En è che sia concava. Siano X e Y due domini. Una funzione f : 2X 2Y è concava se per ogni X1, X2, X3 X con X1 X2 X3 si ha f(X1) f(X3) f(X2). Se f,g sono funzioni concave lo è anche la loro intersezione f g. Infatti (f(X1) g(X1)) (f(X3) g(X3)) = (f(X1) f(X3)) (g(X1) g(X3)) f(X2) g(X2).

Una funzione è monotonicamente decrescente se per ogni X1 X2 X3 si ha f(X3) f(X2) f(X1) e quindi f(X1) f(X3) = f(X3) f(X2).

Ora relevant (C) essendo indipendente da T, è concava. Mostriamo che triggered (E) è una funzione concava da 2 a 2 T . Basta dimostrare che se E1 E2 E3 sono tre insiemi di eventi e una transizione t è abilitata sia da E1 che da E3 è abilitata anche da E2 . Consideriamo un evento e trigger(t). Poiché t triggered(E1) ne segue e E1 e quindi anche e E2 poiché E1 E2. D’altra parte se e-- trigger(t) e t triggered(E3) allora non e E3 e quindi anche non e E2 E3 . Poiché la concavità è chiusa per intersezione, En(T) è una funzione concava di T.

Semantica PS91 (10)

Consideriamo ora due definizioni degli insiemi di transizioni che sono considerati passi ammissibili da una configurazione C in risposta a un insieme di eventi esterni T. La prima è una definizione operazionale, la seconda è una definizione dichiarativa. Mostreremo che, grazie alla concavità, le due definizioni coincidono.

La definizione operazionale è basata su una procedura non deterministica che costruisce un passo T aggiungendo una transizione alla volta.

Semantica PS91 (11)

Procedura Step construction

1. Poni T =

2. Confronta En(T) con T

2.1 Se T = En(T) riporta successo

2.2 Se T En(T) prendi una transizione t En(T)-T, aggiungila a T e ripeti il passo 2

2.3 altrimenti, ossia se non T En(T) riporta fallimento.

Un insieme T che può essere ottenuto con una successione di scelte di transizioni t En(T)-T è chiamato costruibile.

Running example (4)

Sia T = , I = {time}.

En() = {L1 L0} quindi T En(T).

Poniamo allora T = {L1 L0}. Abbiamo En ({L1 L0}) = {L1 L0,

M1 M0} e quindi ancora T En(T).

Poniamo allora T = {L1 L0, M1 M0}.

Abbiamo En {L1 L0, M1 M0} = {L1 L0, M1 M0, H0 H1} e

quindi ancora T En(T).

Poniamo T = {L1 L0, M1 M0, H0 H1} e abbiamo infine

En(T) = T.

Semantica PS91 (12)

Un insieme di transizioni T è separabile se esiste un sottoinsieme

T’T tale che En(T’) (T-T’) = , altrimenti è detto inseparabile.

Un insieme di transizioni T inseparabile che soddisfa T = En(T)

è detto passo ammissibile del sistema.

Proposizione. Un insieme di transizioni T è una soluzione

inseparabile dell’equazione T = En(T) se e solo se è costruibile.

Prova. Assumiamo che t0 sia una soluzione inseparabile

dell’equazione T0 = En(T0). Mostriamo che T0 è costruibile.

Applichiamo la procedura Step construction aggiungendo nel passo

2.2 solo transizioni nell’insieme (En(T)-T) T0 .

Semantica PS91 (13)

a) La procedura non può fallire.

Inizialmente si ha T = che implica T En(T). Assumiamo che la

procedura fallisca dopo aver aggiunto una transizione t a un T T0.

Questo implica che sia T En(T), ma esista un t’ T {t} tale che

t’ En(T {t}). Se t’ = t poiché t (En(T)-T) T0 segue t’ En(T).

Altrimenti t’ T En(T) e quindi ancora t’ En(T). Inoltre poiché

t’ T {t} T0 e T0 = En(T0) segue t’ En(T0).

Cosí abbiamo identificato tre insiemi di transizioni T T {t} T0.

Con t’ appartenente a En(T) e a EN(T0) ma non a En(T {t}). Ma

questo contraddice che la funzione En sia concava. Quindi la

procedura non può fallire.

Semantica PS91 (14)

b) La procedura non può fermarsi a T T0.

La procedura può fermarsi a T T0 solo se (En(T)-T) T0 = , ma (En(T)-T) T0 = En(T) (T0 -T) = contraddice il fatto che T sia inseparabile.

Viceversa, sia stato ottenuto T con la procedura Step-construction. Mostriamo che T è una soluzione inseparabile. Siano le transizioni ordinate in una sequenza t1, t2 , …, tn secondo l’ordine della loro aggiunta a T. Poiché la costruzione si è fermata T abbiamo che T soddisfa T = En(T).

Rimane da mostrare che T è inseparabile.

Consideriamo un T’ T . Sia tk la prima transizione nell’ordinamento che appartiene a T-T’. Asseriamo che tk En(T’), che conduce al fatto che En(T’) (T -T’) (poiché tk appartiene a entrambi gli insiemi).

Semantica PS91 (15)

Assumiamo, al contrario, che tk En(T’). Allora abbiamo tre insiemi:T1 = {t1, t2 , …, tk-1} , T2 = T’, T3 = T = {t1, t2 , …, tn } tali che T1 T2

T3 e tuttavia1. tk En({t1, t2 , …, tk-1}) 2. tk En(T’)3. tk En(T)1 segue dal fatto che la procedura Step-construction prende le transizioni da aggiungere solo se sono abilitate sotto l’approssimazione corrente, 2 è il nostro assunto, 3 segue dal fatto che tk T = En(T).Ma questo contraddice la proprietà di concavità. Dobbiamo allora concludere che En(T’) (T -T’) per un T’ T, e quindi T è inseparabile.

Semantica PS91 (16)

Vediamo ora l’effetto del passo T. Come reazione all’input I vengono generati gli eventi generated(T). La configurazione successiva è

Nextconfig(C,T) = completion ((C- children*(arena (T)))tT target(t))

Ossia l’effetto di ogni transizione t T sulla configurazione C è di rimuovere da C tutti gli stati che sono tra i discendenti di arena(T) e di aggiungere a C tutti gli stati che sono in target di T. Questo dà una configurazione parziale il cui completamento per default dà la nuova configurazione risultante dal passo T.

Running example (5)

Asssumiamo che C sia il completamento per default dell’insieme di stati consistente {H0, M1, L1}. Supponiamo che sia I = { Time}.

Il solo passo possibile consiste dell’insieme di transizioni

T = {L1 L0, M1 M0, H0 H1} che genera gli eventi addizionali cl, cm. Per calcolare la nuova configurazione prima sottraiamo da C le arene delle tre transizioni e i loro figli, ossia rimuoviamo da C gli stati High, H0, Medium, M1, Low, L1, quindi aggiungiamo a C i bersagli delle tre transizioni e completiamo, ossia aggiungiamo High, H1, Medium, M0, Low, L0.