stati limite di esercizio franco mola, sara cattaneo, francesca giussani politecnico di milano,...

STATI LIMITE DI ESERCIZIOSTATI LIMITE DI ESERCIZIO

Franco MOLAFranco MOLA, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI, Sara CATTANEO, Francesca GIUSSANI

Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria StrutturalePolitecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Strutturale

aicap Associazione Italiana Calcestruzzo Armato e Precompresso

Consiglio Superiore dei LL.PP.

Facoltà di Ingegneria della Università degli Studi di Bologna

LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO:LE STRUTTURE DI CALCESTRUZZO:

DALL’EUROCODICE 2 ALLE NORME TECNICHEDALL’EUROCODICE 2 ALLE NORME TECNICHE

Bologna

13 Marzo 2008

STATI LIMITE DI ESERCIZIO

Il documento EC2 al punto 7.1 prende in considerazione i seguenti stati limite di esercizio

• LIMITAZIONE DELLE TENSIONI

• CONTROLLO DELLA FESSURAZIONE

• CONTROLLO DEGLI SPOSTAMENTI

Lo stato limite di vibrazione, pur riconosciutane l’importanza per alcune particolari strutture, non è oggetto di trattazione nel documento

Lo stato limite di tensione in Lo stato limite di tensione in esercizioesercizio

Le ragioni delle limitazioni delle tensioniLe ragioni delle limitazioni delle tensioni

CalcestruzzoCalcestruzzo Impedire fessure longitudinali negli elementi Impedire fessure longitudinali negli elementi

compressi in c.a.compressi in c.a. Impedire microfessure e deformazioni viscose non Impedire microfessure e deformazioni viscose non

linearilineari Garantire la durabilità strutturaleGarantire la durabilità strutturale

AcciaioAcciaio Impedire sforzi anelastici in esercizioImpedire sforzi anelastici in esercizio Impedire fessure troppo ampieImpedire fessure troppo ampie Garantire la durabilità strutturaleGarantire la durabilità strutturale

Limitazione degli sforzi per il calcestruzzoLimitazione degli sforzi per il calcestruzzo

Viscosità lineareViscosità lineare

Viscosità non lineareViscosità non lineare

0 0 0 c 0t,t = t β t-t

0, 0 0 0 σ σ σ

0, 0 0 0 σ

cσ

cm 0

t = t exp α k -0.4 0.4 k 0.6

t = t k 0.4

σk =f t

α =1.5

k

k

0.45k 0.6k

linearenon viscositàimpedireper fkσ XSXF,XD, fkσ

21

ck2cck1c


Limitazioni tensionali per l’acciaioLimitazioni tensionali per l’acciaio

75.0k fkσ

1k fkσ

8.0k fkσ

5pk5sp

4yk4s

3yk3s

Combinazione di carico caratteristica

Deformazioni imposte

Acciaio da precompressione


Lo stato limite di tensione in Lo stato limite di tensione in esercizio per sezioni in c.a. in esercizio per sezioni in c.a. in

assenza di fessurazioneassenza di fessurazione

15α

108f1022

102α

e

0.3

ck3

5

e

Gli sforzi devono valutarsi nello stadio I non fessurato, Gli sforzi devono valutarsi nello stadio I non fessurato, assumendo come fattore di omogeneizzazione assumendo come fattore di omogeneizzazione ee l’espressione l’espressione

ctct ≤ f ≤ fct,effct,eff

2 3ctm ck ck

ckctm ck

f =0.30f f 60 MPa

f +8f =2.12 ln 1+ f >60 MPa

10

Per azioni istantanee

Per azioni permanenti

ctm ctm3

effct, f ;f10h1.6maxf

Equazioni generali per Equazioni generali per sezioni in c.a.sezioni in c.a.

c c c c

c c

σ =E ε ε <0

σ =0 ε >0

Asse neutro interno alla sezione: 0 Asse neutro interno alla sezione: 0 ≤ y≤ yn n ≤h≤h

n

n

y

c 3 n e i n si0i

y 2 2

c 3 n e i n si G n0i

E ψ y-y b y dy+α y -y A =N

E ψ y-y b y dy+α y -y A =M+N y -y

*c 3 ynE ψ S =N

*c 3 yn G nE ψ I =M+N y -y

* *yn yn G nI S =e+y -y *

3 G n c ynψ = M+N y -y E I

min *c G n n ynσ = M+N y -y × -y I max max *

s e G n i n ynM N y y y y I

n3sc

sss

yyψεε

εEσ

e=M/N

Equazioni generali per Equazioni generali per sezioni in c.a.sezioni in c.a.

Asse neutro esterno alla sezione: Asse neutro esterno alla sezione: yyn n >>hh

2rye n

h

y

z

z'

x'

x

y'

yG

G

y

O

M

N

yn3

c 3 nε =ψ y-y c c 3 nσ =E ψ y-y 0 y h

h*

yn n e i n si0i

S = y-y b y dy+α y -y A

h 2 2*

yn n e i n si0i

I = y-y b y dy+α y -y A

Asse neutro esterno alla sezione: Asse neutro esterno alla sezione: yynn≤≤00

yn i n sii

S = y -y A 2

yn i n sii

I = y -y A

max maxs G n i n ynσ = M+N y -y y -y I

c > 0 ; c = 0

n3ss yyψEσ

n3ss yyψEσ

2

rye n

Specializzazione per sezioni Specializzazione per sezioni rettangolarirettangolari

y'

yG=h/2

h

z

x'd

As

ί As

yz' yn

d'

b

O

G

x

2 2

yn n nn n

n nyn

I d-y +β d'-y h= =e+ -y y 0

d-y +β d'-y 2S

2 2 23*n e s n nyn

n n*yn n e s n n

b h 12+bh h 2-y +α A d-y +β d'-yI h= =e+ -y y h

2S bh h 2-y +α A d-y +β d'-y

2 23*n e s n nyn

n n* 2yn n e s n n

b y 3+α A d-y +β d'-yI h= =e+ -y 0 y h

2S -b y 2+α A d-y +β d'-y

s,min s c ct,eff ctA k kf A

c

c

*1 ct,eff

k 0.4 1 1hk f

h

crc

ct ct,eff

Fk 0.9 0.5

A f

E,dc

N

bh

h*=h per h<1.0 m,h*=1.0 m per h≥1.0 m,

k1=1.5 se NE,d è di compressione,k1=2h*/3h se NE,d è di trazione,

Stato limite di fessurazioneStato limite di fessurazionePrescrizioni per l’armatura minima

0s,min ct,eff skf / s=0.20; f =0.15; h/h*=1

Stato limite di fessurazioneStato limite di fessurazioneCalcolo dell’ampiezza di fessurazioneCalcolo dell’ampiezza di fessurazione

effp,

4213maxr, ρ

kkkcks

p,eff = As/Ac,eff

Ac,eff = min[2.5 b (h–d) ; b (h–yn)/3 ; bh/2]

wk= sr,maxe

t ct,eff sε s e p,eff

s p,eff s

k f σ1Δ = σ - 1+α ρ 0.6

E ρ E

sm

cm

s

s,cr

AB

C

D(a)

(b)

(c)

2.5s,cr

=sm- cm

k3=3.4 ; k1=0.8 ; k2=0.5 ; k4=0.425

NTC wm= smsm wk = 1.7 wm

Stato limite di fessurazioneStato limite di fessurazioneCalcolo dell’ampiezza di fessurazioneCalcolo dell’ampiezza di fessurazione

c

ss A

A

ss,cr t ct,eff e

s

ρλσ =k f 1+α

ρ λ

s,crs sε

s s s

σσ σΔ = 1- 0.6

E σ E

r,max ss =3.4c+0.17 λ ρ

s,cr s,crs

s s s

σ σσ2.5

E E E

s s,cr2.5 s,crsε

s s

σσΔ = 1-

E σ

* *ct t ct,eff 0ct e t ct,efff =k λf ; f =α k f

**ct

s,cr 0cts

fσ = +f

ρ

0.5;3ξ1;δ12.5minλ

s

s

E

6.0

sm

cm

s

s,cr

AB

C

D(a)

(b)

(c)

2.5s,cr

s,cr s,crs

s s s

σ σσ2.5

E E E s

εs

σΔ =0.6

E

s s,cr2.5 s,crsε

s s

σσΔ = 1-

E σ

Stato limite di fessurazioneStato limite di fessurazione

1β1.7β

ENV1992)(EC2,σ

σβ1

ρ

λkkk50

E

σβw

2

s

scr

s

s421

s

sk

0.425k0.6kfαk0.15fσ

2004E):EN1992(EC2,σ

σ1

ρ

λkkk3.4c

E

σw

4tctmetρ

fctmscr

s

scr

s

s421

s

sk

s

sm cm

s

s,cr

AB

C

D

2.5s,cr

F

G

H

I

Effetto di irrigidimento del calcestruzzoFI(F.B.)GI(EC2 2004)HI(EC2 ENV)

sscr

s

scr

s

s

s

sk

ρ

75.0σ 66.1β

BorgesFerry σ

σ1

ρ0.041.5c

E

σβw

Stato limite di fessurazioneStato limite di fessurazione

1β1.7β

σ

σβ1

ρ

λkkk50

E

σβw

2

s

scr

s

s421

s

sk

0.425k0.6kfαk0.15fσ

σ

σ1

ρ

λkkk3.4c

E

σw

4tctmetρ

fctmscr

s

scr

s

s421

s

sk

s

sscr

s

scr

s

s

s

sk

ρ

75.0σ 66.1β

σ

σ1

ρ0.041.5c

E

σβw

sm

cm

s

s,cr

A

B

C

D

2.5 s,cr

F

G

H

I

0.6x2.5 s,cr

Formule di progettoFormule di progetto Procedimento generaleProcedimento generale

2e s e s

1- ξ -α ρ 1+β ξ+α ρ δ+β δ' =0

2

e ctm t

s 2 2 3e s

α ν δ-ξ f kσ =

2 3α ρ δ-ξ +β δ'-ξ +ξ 0 2cr t ctm

M Mν= =

M k f b h 6

3 2e

2 2

2 p 3 p

' 1's t ctmp= σ k f

0k

es s

w λp= + +α

3.4 c+0.17 φ λ ρ ρ 0k s k t ctmw = E w k f

0 2e ek

e222 2e

2 3

2 2

α ν δ-ξ 2α ×λw ξ= + δ+βδ'- 1+β ξ +α

ξ3.4 c ξ +0.34α φ λ δ+βδ'- 1+β ξδ-ξ +β δ'-ξ

3ξ 2ξ× +

δ+βδ'- 1+β ξ δ-ξ +β δ'-ξ

2

s

e

ξρ =

2α - 1+β ξ+δ+βδ'

Formule di progettoFormule di progetto Procedimento approssimatoProcedimento approssimato

3

0.3δ1λ0.3δ.ξ0.9d;h0

s

0.185ρ =

p δ

s e sk

s s s

σ α ρλ λw = 3.4c+0.17 1- 1+

E ρ ρ p λ

0k1 2

wν ν cν*= = u = u =

δ λ 1.181- 1-

0.185ν ν

2 *e1 e 1 2*

ανp +5 ν* 3.4u -0.20 p-ν 17α u +5u =0

νν

s sσ A 0.9d=M

s s

s

σ ,ρ

, ρ

0.20νpρν

νpαp

17cpw517cννν

s

*

e2

0ke

*

pk

k

,w , noti

,w , noti

1800

1250

1500

900300

300

300

y

eN

2500

250x

G

O

P

250

yG

a

691

(5+5)12

(5+5)12

(14+14)14

231

(2+2)10

(12+12)14

(2+2)10

Esempio 1Esempio 1Calcolo dell’armatura minimaCalcolo dell’armatura minima

mm 231a mm 1269yn

N

eNMe

e

ryy Ncr

2

Gn

fck = 45 MPa; fct,eff = 3.8 MPa; s = 200 MPa; k =0.65 (hw>1m)

1) M=Mcr ; N=0

2) N=-6000 kN ; eN=741 mm

1)

2)

cr N ct,eff ii

N AM 1 e f W

A W

mm 196a

Esempio 2Esempio 2 Controllo della fessurazione, Controllo della fessurazione,

Progetto con noti Progetto con noti ΦΦ, , νν , applicazione , applicazione del procedimento approssimatodel procedimento approssimato

b = 100 cm ; h = 50 cm ; c = 5 cm f = 26 mm ; fck = 33 MPa ; kt = 0.6 αe = 15 ; Mk = 600 kNm

fctm = 0.3·332/3 = 3.086 MPa ; = (50 – 6.3)/50 = 0.874Mcr = 0.6 · 3.086 ·(100 · 502 / 6) · 103 · 10-6 = 77.15 kNm=600/77.15=7.77 ; *=7.77/(1–1.18/7.77)=9.16 ; u1=50/26=1.92

kw 0.3 mmkw 0.2 mm ;kw 0.1 mm ;

i i

maxk k ww w k

iwk i 3 i 1, 2, 3 i i i

5

0k w w

2 10 0.3w k 32404 k

0.6 3.086

i i2 w w

32404u k 1246 k

26

2wp 235.93 p 4485 57067 k 0

2 *e1 e 1 2*

ανp +5 ν* 3.4u -0.20 p-ν 17α u +5u =0

νν

0.20νpρs

s t ctmp= σ k f

kw

50

100

4

5

7,334

1026 (As=53.10 cm )2

50

100

4

5

4,854

21326 (As=69.03 cm )

50

100

4

5

2,664

2126 (As=111.51 cm )2

Fig. 1 Designed r.c. sections

C B A

Stato limite di fessurazioneStato limite di fessurazione Verifiche secondo la formulazione generaleVerifiche secondo la formulazione generale

50

100

4

5

7,334

1026 (As=53.10 cm )2

50

100

4

5

4,854

21326 (As=69.03 cm )

50

100

4

5

2,664

2126 (As=111.51 cm )2

Fig. 1 Designed r.c. sections

2n n100y 2 15 53.10 43.70 y 0 2n n100y 2 15 53.10 43.70 y 0

2e s e s

1- ξ -α ρ 1+β ξ+α ρ δ+β δ' =0

2

e ctm t

s 2 2 3e s

α ν δ-ξ f kσ =

2 3α ρ δ-ξ +β δ'-ξ +ξ

s t ctmp= σ k f 0k s k t ctmw = E w k f ses0k ρλ0.173.4cαρλpw

C AB

Esempio 2Esempio 2

0.1 0.2 0.3

45

75

105

0

315

225

135

0.9

0.850

0.836

0.811

Wk (mm)

As(cm2)

h0/d

s MPa

scr

C

wwk k (mm)(mm) As (mmAs (mm22)) sss (MPa)s (MPa) hh00/d/d

0.10.1 1115111151 140140 0.90.9

0.20.2 69036903 221221 0.90.9

0.30.3 53105310 190190 0.90.9

wwk k (mm)(mm) As (mmAs (mm22)) sss (MPa)s (MPa) hh00/d/d

0.1200.120 1115111151 160160 0.8110.811

0.2130.213 69036903 238238 0.8360.836

0.3060.306 53105310 304304 0.8500.850

36010

20

30

130

0

0 120 240

65

s (MPa)

Φ (mm)

s (cm2)

wk=0.1 wk=0.2 wk=0.3

Φ=26 mm Φ=26 mm Φ=26 mm

140 221 290

CA B

360

A

137≤ s ≤156

96 ≤As ≤109

B

215 ≤ s ≤260

57 ≤As ≤69

C

280 ≤ s ≤360

41 ≤ As ≤52

Esempio 2Esempio 2Determinazione del massimo diametroDeterminazione del massimo diametro

* *e ok

max * 2e

17c( p ) 5 w

p p

Stato limite di Stato limite di deformazionedeformazione

Diagramma Momenti-CurvatureDiagramma Momenti-Curvature

1/r

M

McrA B B'

=1

(a)(bII)

M/EII

=0

M/EIII

1/rcr,I 1/rcr,II1/rcr

(bI) 2

s,r s1

2

cr1 M M

I II

1 1 11

r r r

I c I

1 M

r E I

II c II

1 M

r E I

II

II I

Icς1c1EIM

r

1

Calcolo degli abbassamentiCalcolo degli abbassamenti

z2

1

z

Mcr(1)

Mcr(2)

M(z)

z1 z1

z2 z3

z4

z

fM(1)(z)

l

I

1 M1 c 1

r EI

1 1 11 I,1

1 12 I,2

1 23 I,3

4 4 2 34 I,4

1 M1 c 1 0 z z

r EI

1 Mz z z

r EI

1 Mz z z

r EI

1 M1 c 1 z z z

r EI

3 25 I,5

2 46 I,6

7 7 47 I,7

I,1 I,2 I,3 I,4 I,5 I,6 I,7

1 Mz z z

r EI

1 Mz z z

r EI

1 M1 c 1 z z

r EI

with I I ; I I I ; I I


Calcolo degli abbassamentiCalcolo degli abbassamenti

i

71

Mi 1 i

1v z f z,z dz

r z

i j

27cr,j1 1

M M j 2i 1 j 1,4,7I,i I, j

MM z M zv z f z,z dz f z,z c 1 1 dz

EI EI M

Iv z v z v z

i

71

I Mi 1 I,i

M zv z f z,z dz

EI

j

2cr,j1

M j 2j 1,4,7 I,j

MM zv z f z,z c 1 1 dz

EI M


z2

1

z

Mcr(1)

Mcr(2)

M(z)

z1 z1

z2 z3

z4

z

fM(1)(z)

l

Esempio 3Esempio 3

q

A s

70

50

65

2

G

322 4

I

3i

A 70 50 15 31.64 3974.6 cm

70 50 35 15 31.64 65y 38.58 cm

3974.6

50 70I 50 70 3.58 15 31.64 65 35.58 1805303 cm

121805303

W 57457 cm70 38.58

2 3ctmf 0.30 30 2.9 MPa

3 6cr ctm iM f W 2.9 57457 10 10 166.6 kNm

2maxM 40 10 8 500 kNm

fck=30 MPa ; q=4 kN/m ; l=10 m ; As=31.64 cm2 (724) ; e=15

cr

2

cr

Ic

MM , 1cM

Mβ1

IE

M

r

1

22n

n n

32 4

II

y50 15 31 65 y 0 y 9.492 9.492 1234 26.90 cm

2

26.90I 50 15 31.64 65 26.5 1013352 cm

3

c=II /III =1.78

crc I

1 M, M M

r E I

I

I

v 2v v 1

2 2 v 2

21

21

112max

21

*

2max

1 1

2,2,122

dglfM

Mdglf

IE

lMc

lv M

crM

Ic

Esempio 3Esempio 3

Esempio 3Esempio 3 Stato limite di deformazioneStato limite di deformazione

Carico uniformemente distribuitoCarico uniformemente distribuito

Mcr

1

q

McrMmax

1–1

=0 =1

1 1

2 1 12 3max 2 2

2c I

M dv c 1 4 d

2 1E I 4

2

4 3max1 1 12

c I

M 5 4v c 1 ln 2 1

2 48 3E I 4

21 1 cr max4 M M 1 1

1 11

2

2max

Ic I

M5v

48 E I

(1/r)/(1/r) cr

M/M cr

1

(c-1)

(1/r) cr =M cr /E c I I

(c-1)(1- )

1 c

g(ξ)=4(ξ- ξ2) ; f(1)M(ξ, l/2)= ξ/2

Mcr

Q

McrMmax

1 1–1

=0 =1


Carico concentratoCarico concentrato

2

4 3max1 1 12

c I

M5 48 4 12v 1 c 1 1 ln 2 1

2 48 5 3 5E I

2

3max1 1* 2

c I

M 3v 1 c 1 1 8 1 2

2 12E I

2μ

1ξ1

g(ξ)= ξ/2; f(1)M(ξ, l/2)= ξ/2

(1/r)/(1/r) cr

M/M cr

1

(c-1)

(1/r) cr =M cr /E c I I

(c-1)(1- )

1 c

Mcr Mcr

Mmax

1q 1–1q1Q 1–1Q

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1, v/vI

1 (Q)

1 (q)

v/vI (Q)

v/vI (q)1.65

1.56

0.167

0.091

ξ1(Q)

μ

ξ1, v/vI c=1.78

ξ1(q)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

vx[EII/MmaxL2]

vIx[EII/MmaxL2]

vx[EII/MmaxL2]

vx[EII/MmaxL2]

Δ


ConclusioniConclusioni I modelli proposti da EC2 ENV 1992-1-1 E2004 I modelli proposti da EC2 ENV 1992-1-1 E2004

per le analisi allo stato limite di esercizio per le analisi allo stato limite di esercizio introducono i seguenti concettiintroducono i seguenti concetti

La formulazione di sLa formulazione di srmrm che fornisce direttamente il che fornisce direttamente il valore caratteristico di apertura della fessura valore caratteristico di apertura della fessura

L’adozione del contributo irrigidente del calcestruzzo L’adozione del contributo irrigidente del calcestruzzo indipendente dalla tensione dell’acciaioindipendente dalla tensione dell’acciaio

Le formule proposte daLe formule proposte da EC2 sono di semplice utilizzo per la EC2 sono di semplice utilizzo per la valutazione dell’apertura delle fessure. Non sono altrettanto idonee valutazione dell’apertura delle fessure. Non sono altrettanto idonee per il progetto sotto prescritta ampiezza fessurativaper il progetto sotto prescritta ampiezza fessurativa

Possono tuttavia derivarsi formule approssimate, basate su una Possono tuttavia derivarsi formule approssimate, basate su una prefissata posizione dell’asse neutro, che permettono una prefissata posizione dell’asse neutro, che permettono una progettazione agile e sufficientemente approssimata delle sezioni in progettazione agile e sufficientemente approssimata delle sezioni in c.a. allo stato limite di fessurazione.c.a. allo stato limite di fessurazione.

stati limite di esercizio franco mola, sara cattaneo, francesca giussani politecnico di milano,...

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