statique des fluides

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Mr Ambari 2003-2004 Projet de mécanique des fluides Fait par Fait par : Nicolas Battaglia, Martin Panhard, Jean : Nicolas Battaglia, Martin Panhard, Jean Molines, Pierre Chouteau, Vincent Rabier, Stéphane Molines, Pierre Chouteau, Vincent Rabier, Stéphane Bouriou, Julien Agache, Emmanuel Girault, Nicolas Bouriou, Julien Agache, Emmanuel Girault, Nicolas Moreau. Moreau. Thème : Statique des fluides 1 sur 68

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Page 1: Statique Des Fluides

Mr Ambari 2003-2004Projet de mécanique des fluides

Fait parFait par  : Nicolas Battaglia, Martin Panhard, Jean Molines, Pierre Chouteau, : Nicolas Battaglia, Martin Panhard, Jean Molines, Pierre Chouteau, Vincent Rabier, Stéphane Bouriou, Julien Agache, Emmanuel Girault, Nicolas Vincent Rabier, Stéphane Bouriou, Julien Agache, Emmanuel Girault, Nicolas Moreau.Moreau.

Thème : Statique des fluides1 sur 48

Page 2: Statique Des Fluides

Mr Ambari 2003-2004Projet de mécanique des fluides

STATIQUE DES FLUIDESSTATIQUE DES FLUIDES

I.I. Lois générales de la statique des fluidesLois générales de la statique des fluides

1.1. Forces de pression dans un fluideForces de pression dans un fluide2.2. Pression en un point d’un fluidePression en un point d’un fluide3.3. Equations générales de la statique des fluidesEquations générales de la statique des fluides4.4. Théorèmes générauxThéorèmes généraux5.5. Théorème d’ArchimèdeThéorème d’Archimède6.6. Forces de pression uniformeForces de pression uniforme

II.II. Hydrostatique (statique des fluides à masse volumique constante)Hydrostatique (statique des fluides à masse volumique constante)

1.1. Hypothèses de base de l’hydrostatiqueHypothèses de base de l’hydrostatique2.2. Théorèmes généraux de l’hydrostatique et interprétations énergétiquesThéorèmes généraux de l’hydrostatique et interprétations énergétiques3.3. Unité de pressionUnité de pression4.4. Application à la mesure des pressionsApplication à la mesure des pressions5.5. Pression absolue - Pression effectivePression absolue - Pression effective6.6. Application au calcul de la force de pression sur un élément de paroiApplication au calcul de la force de pression sur un élément de paroi7.7. Forces de pression sur paroiForces de pression sur paroi  8.8. Equilibre d’un liquide par rapport à son récipient mobileEquilibre d’un liquide par rapport à son récipient mobile

III.III. FlotteursFlotteurs

1.1. Définitions et conventionsDéfinitions et conventions2.2. Théorème d’EulerThéorème d’Euler  : surface de flottaison: surface de flottaison3.3. Théorème de DupinThéorème de Dupin  : surface de poussée: surface de poussée4.4. MétacentresMétacentres5.5. Stabilités de l’équilibreStabilités de l’équilibre6.6. Notions sur le mouvement d’un flotteurNotions sur le mouvement d’un flotteur

IV.IV. Statique des fluides compressiblesStatique des fluides compressibles

1.1. Coefficient de compressibilitéCoefficient de compressibilité2.2. Fluides peu compressiblesFluides peu compressibles  : liquide: liquide3.3. Les GazLes Gaz4.4. BallonsBallons

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La statique des fluides est l’étude des conditions d’équilibre des fluides au repos. Nous ne distinguerons pas le cas des fluides réels (c’est-à-dire visqueux) et celui des fluides parfaits. En effet, le phénomène de viscosité n’a d’influence que lorsque les particules sont en mouvement, ce qui n’est bien sûr pas le cas en statique des fluides.

I.I. LOIS GÉNÉRALES DE LA STATIQUE DES FLUIDESLOIS GÉNÉRALES DE LA STATIQUE DES FLUIDES

1.1. Forces de pression dans un fluide (Nicolas Battaglia)Forces de pression dans un fluide (Nicolas Battaglia)

Mise en situationMise en situation

Considérons un volume de fluide en équilibre. Nous allons distinguer une partie du fluide S1 totalement séparée par une surface fermée du reste du fluide S2. Les forces auxquelles nous nous intéressons sont les forces que [B] exerce sur S1. Soit dS un élément de la surface fermée, centré en P et de surface dS.

DéfinitionDéfinition  ::

La force de contact notée exercée à dS par S2 en P et dirigée vers l’intérieur de S1 est une force de pression. De la même manière, la force de contact sur l’élément dS exercé par S 1

en P est une force de pression (d’après le principe de l’action et de la réaction). La force de pression est donc par définition une force surfacique.

RemarqueRemarque  : :

Lorsque l’on considère un fluide dans un récipient ou encore la présence d’un corps dans un fluide, il existe également des forces de pression exercée sur la surface de l’interface entre le fluide et le solide considéré.

2.2. Pression en un point d’un fluide (Nicolas Battaglia)Pression en un point d’un fluide (Nicolas Battaglia)

Soit le vecteur normal unitaire au point P de la surface étudiée précédemment, dirigé de S1 vers S2. La force de contact exercée par S1 sur S2 est alors . Nous

considérerons qu’il existe une continuité telle que ait une limite quand l’élément de

surface dS tend vers zéro : . Le quotient p dépend uniquement de la position du point P et non de l’orientation de l’élément dS. Il s’agit de la pression en un point P d’un fluide en équilibre :

Remarque   : En exprimant la force en N et la surface en m², la pression correspondante a comme unité le Pascal (Pa).

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3.3. Equations générales de la statique des fluides (Nicolas Battaglia)Equations générales de la statique des fluides (Nicolas Battaglia)

a.a. Traduction de l’équilibre des forcesTraduction de l’équilibre des forces

L’équilibre d’un volume élémentaire dV de fluide est obtenu quand la somme des actions extérieures sur ce volume se compensent (d’après le principe fondamental de la statique). Enumérons les forces s’exerçant sur un fluide à l’équilibre :

- Des forces de volume ( ), c’est-à-dire des forces issues de la pesanteur ou des forces d’inertie,

- Des forces surfaciques, c’est-à-dire des forces de pression ( ).

b.b. La notion de force volumique équivalente de pressionLa notion de force volumique équivalente de pression

Le théorème d’Ostrogradsky permet de montrer que pour un champ scalaire U et une surface fermée S formant un volume V :

On peut alors définir une force volumique équivalente de pression (la force de pression est par définition une force surfacique). Par définition, la force de pression a pour expression :

(Car et )

La force volumique équivalente de pression est donc .

c.c. L’équation fondamentale de la statiqueL’équation fondamentale de la statique

L’équilibre du fluide est par conséquent traduit par l’équation suivante :

d’où soit

L’équation fondamentale de la statique devient donc (en se ramenant à un élément de volume dV) :

ou

d.d. RemarquesRemarques

Cas particulier :

Dans le cas où les forces d’inertie sont nulles ( comprend uniquement la force de

pesanteur où ρ est la masse volumique du fluide considéré) :

Généralisation :

Dans le cas où les forces volumiques dérivent d’un potentiel (précédemment il s’agissait de forces volumiques dérivant du champ de pesanteur), la définition de la fonction potentiel nous donne : . L’équation fondamentale de la statique est alors la suivante :

Thème : Statique des fluides4 sur 48

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Interprétation :

Nous pouvons conclure de cette dernière formule que les isopotentielles sont des isobares, et réciproquement (Il s’agit du théorème 1 du paragraphe I.4.).

4.4. Théorèmes généraux (Nicolas Battaglia)Théorèmes généraux (Nicolas Battaglia)

Les théorèmes que nous allons énoncer ci-dessous sont applicables dans le cas de forces à distances qui dérivent d’un potentiel.

a.a. Théorème 1Théorème 1  : :

Les surfaces équipotentielles dans un fluide en équilibre sont des surfaces isobares, et réciproquement. D’une manière plus simple, la pression ne dépend que du potentiel. Ce théorème est la conséquence directe de l’équation fondamentale de la statique établie au paragraphe I.3..

b.b. Théorème 2Théorème 2  : :

Dans un fluide à l’équilibre, les surfaces équipotentielles sont des surfaces isochores (volume constant). La réciproque est fausse.En effet, d’après la relation établie au paragraphe I.3.d., le long d’un élément d’arc ,

. Par conséquent, puisque , ρ ne dépend que de N. Donc les surfaces

d’égal potentiel sont des surfaces d’égal volume.

c.c. Théorème 3Théorème 3  ::

Dans un fluide en équilibre, les surfaces équipotentielles sont des surfaces isothermes. La réciproque est fausse. Ce théorème est la conséquence des deux précédents.

5.5. Théorème d’Archimède (Nicolas Battaglia)Théorème d’Archimède (Nicolas Battaglia)

a.a. Mise en situation et démonstrationMise en situation et démonstration

Il s’agit de considérer les forces de pression sur un corps immergé ( ). Les seules forces à distance sont les forces de pesanteur ( ). Soit un volume de fluide en équilibre V délimité par une surface fermée S. Cet équilibre se traduit ainsi :

Par conséquent : Le point d’application de cette force est obtenu en résolvant l’équation de moment des forces :

 ; il s’agit donc du centre de gravité du volume de fluide

déplacé.

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b.b. Enoncé du théorèmeEnoncé du théorème

Enoncé du théorème   d’Archimède (ou principe d’Archimède) : Un corps homogène dans un fluide subit une poussée ascendante verticale égale au poids de fluide déplacé. Cette force, que l’on nomme poussée d’Archimède (notée ), s’exerce au centre de gravité du volume de fluide remplacé.

c.c. Cas du solide totalement immergéCas du solide totalement immergé

Solide homogène

Evoquons l’équilibre d’un solide homogène, totalement immergé :

- Si le poids du solide est inférieur à la poussée d’Archimède, le corps a un mouvement vertical ascendant,

- Si le poids du solide est égal à la poussée d’Archimède, le corps reste immobile verticalement,

- Si le poids du solide est supérieur à la poussée d’Archimède, le corps coule (mouvement vertical descendant).

Solide non homogène

Dans le cas d’un solide non homogène totalement immergé, les conditions d’équilibre précédentes ne suffisent pas :

- Le point d’application de la poussée d’Archimède est au dessus du centre de gravité du solide et sont verticalement alignés : le solide est en équilibre stable,

- Le point d’application de la poussée d’Archimède est en dessous du centre de gravité du solide et sont verticalement alignés : le solide est en équilibre instable,

- Le point d’application de la poussée d’Archimède et le centre de gravité du solide ne sont pas verticalement alignés : le solide a un mouvement de rotation jusqu’à ce qu’il ait atteint un état d’équilibre stable.

d.d. Cas du solide partiellement immergéCas du solide partiellement immergé

Le cas d’un corps partiellement immergé sera précisément étudié au paragraphe III., un tel corps est nommé corps flottant.

6.6. Forces de pression uniforme (Martin Panhard)Forces de pression uniforme (Martin Panhard)

Dans les applications, il arrive souvent que les variations de pression qu’entraîne l’existence du champ de pesanteur soient faibles devant la valeur de la pression : cela peut se produire

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quand deux points quelconques de ce domaine sont à une distance faible suivant la direction du champ et, particulièrement, dans le cas d’un fluide pour lequel la masse volumique ρ est petite (atmosphère). En ce cas, la pression est regardée comme uniforme dans ce domaine considéré ; sa valeur p0 est constante.

ThéorèmeThéorème

Soit une surface fermée (S) située dans un domaine (D) où règne une pression uniforme p0 ; le système des forces de pression s’exerçant sur la surface constitue un torseur nul.

Considérons la normale , dirigée vers l’intérieur, à un élément de surface (dS) d’aire dA appartenant à la surface fermée (S) et entourant le point P =[x,y,z] de cette surface. La force de pression sur cet élément est :

Nous allons montrer que le système de ces composantes constitue un torseur nul.En effet, considérons un cylindre de section droite dA0 dont les génératrices sont

parallèles à l’axe x’x. Il y a un ombre pair d’intersections de ce cylindre ayant une aire

Pour la moitié des éléments, nx est positif tandis qu’il est négatif pour l’autre moitié. Ainsi, la somme des composantes élémentaires p0nxdA est nulle pour le cylindre considéré ; de plus, elles ont un même support : elles sont donc deux à deus directement opposées. Il en est de même pour tous les cylindres élémentaires que l’on peut considérer pour découper entièrement la surface fermée.

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Le théorème précédent nous conduit à négliger l’influence de la pression atmosphérique tant que nous la considérons comme uniforme dans le domaine que nous considérons.

Ce résultat n’est pas incompatible avec le théorème d’Archimède appliqué aux gaz, puisque, dans la démonstration de ce dernier théorème, nous avons fait intervenir le poids du gaz remplacé, et que, de ce fait, nous avons tenu copte des variations de pression qu’entraînent les forces de pesanteur.

Ainsi, supposer la pression uniforme dans un domaine fluide, revient à négliger la poussée sur un corps immergé dans ce domaine.

Du théorème démontré dans le paragraphe 6.2, résulte le corollaire suivant :

Les forces de pression sur une surface courbe (S) soumise à une pression uniforme p0

et limitée par uns courbe plane (C), admettent une résultante , normale au plan de (C), passant par le barycentre G de la surface plane (Σ) intérieure à (C) et de module p0A ou A est l’aire intérieure au contour plan (C).

Ce corollaire trouve son application dans la détermination de l’épaisseur minimale e que devra avoir une conduite de diamètre D, soumise à une pression intérieure p0, sachant que la charge de sécurité du métal, qui est une force rapportée à l’unité de section, est f.

La force F qui tend à séparer les deux moitiés d’une portion de conduite de longueur unité est p0D. Cette force devra être égale à 2fe, d’où :

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xy z’

(S)

y’

x’

z

n dA

dA0

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II.II. HYDROSTATIQUEHYDROSTATIQUE

1.1. Hypothèses de base de l’hydrostatique (Martin Panhard)Hypothèses de base de l’hydrostatique (Martin Panhard)

Le champ des forces à distance se réduit au champ de pesanteur. Ce champ est supposé constant dans la masse fluide considérée :

Sa direction est la verticale du lieu et les surfaces équipotentielles sont des plans horizontaux ;

Son module, qui varie au voisinage du sol, de 978 à l’équateur à 983 au pôle, sera pris égal, le plus souvent, à 990 dynes par gramme (ou cm2/s2) ; dans les calculs rapides, on prend g=1000 dynes par gramme.

La pression atmosphérique est la même en tout point du petit domaine que l’on considère, ce qui revient, comme on l’a vu, à négliger la poussée de l’air. Nous verrons que cette hypothèse est valable au millième près, si les dénivellations correspondant au domaine considéré sont inférieures à 7,5m. La masse volumique du fluide est indépendante de sa pression (fluide incompressible). Cela reste vrai, à un millième près, dans le cas de l’eau, quand la pression passe de la pression atmosphérique à une pression vingt fois plus grande. Pratiquement, un liquide peut être considéré comme incompressible. Dans ce chapitre, nous ne considérerons que des fluides liquides. Comme dans la plupart des cas, le liquide est isotherme, il est aussi isovolume (ou isochore).

2.2. Théorèmes généraux de l’hydrostatique (Martin Panhard)Théorèmes généraux de l’hydrostatique (Martin Panhard)

Surface libre.

Une masse de liquide a un volume constant. Donc, dans un vase, il existe une surface de séparation avec l’atmosphère, dite surface libre. La répartition de la pression est donc équipotentielle ; par suite :

La surface libre d’un liquide en équilibre est plane et horizontaleLe résultat est encore valable si le vase est formé de plusieurs parties réunies par des

canalisations (vases communicants)

Relation fondamentale de l’hydrostatique.

Choisissons l’axe des z vertical, vers le haut ; z est alors l’altitude par rapport à l’origine de l’axe. La profondeur par rapport à l’origine, z’ est définie par

z' = -z

Les relations générales s’écrivent, puisque gx=gy=gz=0 et gx=-g,

; ;

Les deux premières relations montrent, ce que nous savons déjà, que la pression est la même en tout point d’un même plan horizontal.

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La troisième relation peut s’écrire, en désignant par le poids volumique du liquide,

par suite, la pression p en un point situé à la profondeur z’ s’écrit, en désignant par p a la pression atmosphérique et en prenant l’origine des z’ sur la surface libre,

La différence de pression entre deux points B et A est donc :

Transmission de pression.

La différence de pression entre les deux points B et A, situés à une distance verticale h l’un de l’autre, est égale à ρgh. Par un procédé quelconque, augmentons la pression au point A de la quantité Δp, puisque ρ, g et h et, par suite leur produit, restent constants.

Dans un liquide en équilibre, une variation de pression se transmet intégralement.On sait que ce résultat, désigné sous le nom de principe de Pascal, a reçu son

application dans la presse hydraulique.

Liquides superposés. Versons dans un même vase, deux liquides non miscibles : imaginons que leur surface

de séparation ait la forme représentée sur la figure ci-dessous, le liquide 1, de masse volumique ρ1, étant au dessus de la surface de séparation, et le liquide 2, de masse volumique ρ2, au-dessous de cette surface. La pression serait la même au point M, situé sur la surface de séparation, et au point M’, situé dans le liquide 1 au même niveau, puisque le point M peut être considéré comme étant dans le liquide 1. au point P’, situé à la fois sur la verticale passant par M’ et sur la surface de séparation, la pression serait PM + ρ1gh, en désignant par h la distance M’P’ ; au point P, situé sur la verticale passant par M et au même niveau que P’, la pression serait PM + ρ2gh. Les pressions PP et PP’ doivent être égales si le liquide 2 est en équilibre. Ceci entraîne :

Puisque ρ1 est différent de ρ2, une telle égalité ne peut exister que pour h=0. Les points M et P’ et, d’une manière générale, tous les points de la surface de séparation, doivent être au même niveau.

La surface de séparation de deux liquides non miscibles est plane et horizontale.

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La stabilité de l’équilibre exige, en outre, que les couches de liquide se placent les unes au-dessus des autres par ordre de densité décroissante ; le graphique des pressions en fonction de la profondeur est ainsi représenté par une ligne brisée dont les divers segments ont un coefficient angulaire ρ g de plus en plus élevé quand z augmente (cf. fig.).

Le résultat précédent est encore valable pour des vases communicants. S’il y a deux liquides non miscibles dans ces vases, le plus lourd occupe le fond des vases.

Aux points A et A’ situés, respectivement, dans chacun des vases, dans le plan de la surface de séparation, les pressions sont respectivement :

et

Chaque vase contient une même proportion de liquide de nature déterminée tel que :

Thème : Statique des fluides11 sur 48

0

ρ1

ρ2>ρ1

ρ3>ρ2

z’1

z’2

z’3

P1 P2 P3

Z’

Fig. 2

Pa

h1

h2

ρ1

ρ2

A A’

Pa

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Le vase de la fig. 2 contient trois liquides superposés ; on peut, évidemment, considérer un nombre plus grand de liquides, sans rien changer au résultat. On peut alors imaginer que la masse volumique varie d’une manière continue. L’équilibre suppose, dans ce cas, la superposition de couches élémentaires horizontales, la masse volumique étant constante dans chacune de ces couchesL’équilibre est stable ou instable suivant que dρ/dz’ est positif ou négatif. En particulier, si un vase est chauffé par le fond, la masse volumique devenant plus faible vers le bas, il se produit des mouvements de convection qui empêchent l’établissement d’un équilibre.

3.3. Unités de pression (Vincent Rabier)Unités de pression (Vincent Rabier)

Les unités de pressions sont normalisées et données par le tableau suivant :

Système CGS :la barye = 1 dyne/ cm²

Système MTS : la pièze (pz) = 1 sthène / m² = 104 baryes

Système MKSA : le Pascal (Pa) = 1 Newton / m² = 10-3 pièze = 10 baryes

La barye est surtout utilisée par les physiciens, mais c’est en général une unité trop petite et on utilise ses multiples : 1 bar = 106 baryes1 milibar = 103baryes (météorologie).

La pièze est aussi une unité employée sous forme de multiples, notamment par les industries où l’on manipule des gaz :

1 centipièze (cpz) = 10-2 pièze1 hectopièze (hpz) = 102 pièzes.

Le système MKSA ne présente pas en mécanique le même intérêt qu’en électricité, aussi son introduction ne s’effectue que très lentement dans la littérature technique.

Toutefois les industries emploient suivant leurs besoins d’autres unités de pression. Ainsi le système MKfS est encore très utilisé en aérodynamique et en hydrodynamique : son unité de pression est :

1Kgf / m² est équivalente à la pression produite par 1 mm d’eau

On trouve également le Kgf / cm² , unité qui n’appartient à aucun système, pas plus que l’atmosphère qui correspond à la pression produite par 760 mm de mercure ou à 10.33 m d’eau .Nous pouvons donc noter les correspondances suivantes :

Kgf / cm² = 104 Kgf / m² = 104 mm d’eau = 0.981 hpz

Thème : Statique des fluides12 sur 48

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1 atmosphère = 10330 mm d’eau= 1.013 hpz

1 mm d’eau = 1Kgf / m² (unité MKfS)= 0.981 cpz= 98.1 baryes

Si les unités de pression employées en pratique sont très variées, il faudra cependant n’appliquer dans les formules que des unités cohérentes, et en particulier remplacer des pressions données en hauteur h de liquide par des expressions de la forme rgh ou wh.

4.4. Application à la mesure des pressions (Jean Molines)Application à la mesure des pressions (Jean Molines)

o Le principe le plus simple et le plus pratique pour la mesure absolue de pression d’un liquide est le tube piézométrique, constitué par un tube vertical ouvert au sommet et relié au réservoir qui contient le liquide dont ont veut mesurer la pression (fig. 1). Si l’on désigne par pa la pression atmosphérique, la pression au point M du réservoir où doit être contenue la pression, est égale à

pm = .g.h + pa ,

Où h est la distance verticale du point M à la surface libre du liquide dans le tube. Le liquide manométrique, de masse volumique , est, ici, le même liquide que contient le réservoir.

Fig. 1

Thème : Statique des fluides13 sur 48

Pa

h

M

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o Le tube piézométrique a une grande hauteur dès que la pression à mesurer devient un peu grande : par exemple, si la pression dans un réservoir d’eau dépasse la pression atmosphérique, il faut que le tube ait plus de 10 mètres de hauteur. On peut alors utiliser un liquide plus dense dans la manomètre (du mercure par exemple), en donnant au tube une forme en U. On obtient ainsi le plus simple des manomètres à liquide, le « manomètre à liquide à tube en U ».

Si on écrit que la pression est la même en N et N’, on obtient :pm + ’.g.h’ = h..g + pa

Soit pm = (h. - h’.’).g + pa

Thème : Statique des fluides14 sur 48

h

h’ ’

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z’

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5.5. Pression absolue – pression relative (Jean Molines)Pression absolue – pression relative (Jean Molines)

En principe les pressions sont les pressions absolues mais dans de nombreux problèmes, on peut mesurer les pressions à partir d’une origine quelconque (pressions relatives). Comme origine, il est fréquent de prendre la pression atmosphérique. La pression correspondante est appelée pression effective :

pe = p – pa

La pression effective peut être positive ou négative.Dans le cas où elle serait négative, on l’appelle « vide », car elle correspond à des

pressions inférieures à la pression atmosphérique.

Cette notion de pression effective est importante car la plupart des manomètres industriels sont gradués justement en pression effective : le zéro de graduation correspond à la pression atmosphérique.

6.6. Application au calcul de la force de pression sur un élément de paroi Application au calcul de la force de pression sur un élément de paroi (Pierre Chouteau)(Pierre Chouteau)

A partir des théorèmes démontrer au II 2), il est possible de trouver la force de pression qui s’exprime sur un élément de paroi. En composant les forces élémentaires, il nous sera possible, ensuite, de trouver les actions qui s’exercent sur une paroi de grandeur finie.

o Considérons l’élément (dS) de paroi, d’aire dA, qui entoure le point M, situé à la distance verticale z’ de la surface libre

La pression au point M est :

La force de pression qu’exerce le liquide, de l’élément de paroi (dS). Appliquée en un point M de (dS) Normale à la paroi et dirigée du liquide vers la paroi Egale en module à dF1 = padA + ρgz’dA

Thème : Statique des fluides15 sur 48

dF1

Pa

M

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zp

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o Si l’autre face de l’élément est en contact avec l’atmosphère, celle-ci exerce, sur cette autre face, une force de même point d’application et de même direction que la précédente, de sens opposé et de module dF2 = padA.

Finalement, l’ensemble des deux forces exercées sur l’élément (dS) se réduit à la force , appliquée en M, normale à la paroi, dirigée du fluide vers la paroi et égale en module à :

dF = ρgz’dA

Sauf spécification contraire, quand nous parlerons des forces de pression exercées sur une paroi baignée par un fluide sur ses deux faces, il s’agira de l’ensemble des forces s’exerçant sur les deux faces.

7.7. Force de pression sur paroi (Pierre Chouteau)Force de pression sur paroi (Pierre Chouteau)

a.a. Force de pression sur paroi plane, baignée sur une face par l’atmosphèreForce de pression sur paroi plane, baignée sur une face par l’atmosphère

o généralités

Les forces élémentaires dF, exercées sur la paroi plane, sont toutes parallèles. Elles admettent donc une résultante normale à la paroi.

Le module de F est donné par :

Où A désigne l’aire de la surface mouillée (S).

zG’ étant la cote du barycentre de la surface A, on peut écrire :

d’où(1)

De plus, zp’ étant la cote du point d’application de la résultante F,

Thème : Statique des fluides16 sur 48

F = ρg.zG’A

F1

FF2

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or

On peut donc écrire,

d’où

(2)

Pour résumer,

De plus, la pression moyenne sur la paroi est la pression au barycentre de la surface mouillée

o cas où la paroi plane est le fond horizontal d’un vase   : On a alors : zG’= zp’=h

Le module de la force F est alors égal au poids d’un cylindre de liquide qui à le fond pour section droite et pour hauteur, la distance h du fond à la surface libre.

Cette constatation a été jugée paradoxale aux débuts de l’hydrostatique. En effet, dans les trois cas ci-dessous la force sur le fond est la même. En fait, quelle que soit la forme des vases, s’ils sont remplis du même liquide à la même hauteur h, le fond de même surface S est soumis à la même force de pression F = ρghS

Thème : Statique des fluides17 sur 48

Les forces de pression exercées sur une paroi plane baignée, d’un côté par le liquide en équilibre et, de l’autre par l’atmosphère admettent une résultante F :

1. normale à la paroi et dirigée du fluide vers l’extérieur2. dont le module est donné par la formule (1)3. dont le point d’application est donné par la formule (2)

Page 18: Statique Des Fluides

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F F F

oo Exemple du tonneau de PascalExemple du tonneau de Pascal  ::

De faibles quantités d’eau peuvent produire des effets considérables. Ce phénomène est cité depuis longtemps sous la forme classique de l’expérience du tonneau de Pascal. Le fait de remplir d’eau le tube, ce qui ne nécessite qu’une faible quantité d’eau, provoque l’éclatement du tonneau. Avec une hauteur d’eau d’environ 50m, le tonneau éclatait.

o cas d’une paroi rectangulaire dont le côté inférieur est horizontal

La cote du centre d’inertie G est donc la moitié de la hauteur h ; donc avec l la largeur de cette paroi et α l’angle formé avec la verticale ; on a

La cote du point d’application de la force est alors :

On remarque que le point d’application ne dépend que de h. La cote de P reste constante quand la paroi s’incline.

Ces deux dernières formules sont très souvent appliquées dans le cas des barrages, des portes d’écluse et des bassins à flots.

Thème : Statique des fluides18 sur 48

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z1’z2’

pa

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b.b. Force de pression sur paroi plane, baignée sur ses deux faces par le mêmeForce de pression sur paroi plane, baignée sur ses deux faces par le même liquideliquide

Nous nous limiterons à l’étude d’une vanne noyée. Il s’agit d’une vanne verticale baignée par le même liquide en équilibre sur ses deux faces.

Chaque partie du liquide exerce une force sur la vanne. Les forces de pressions dF1 et dF2 sur chacune des faces de l’élément dA sont de même direction, de sens opposés et de modules respectifs,

et

La force résultante sur chaque élément dA est donc,

avec

Δh étant constante quand z1’, la force exercée sur la vanne est appliquée au centre d’inertie de la vanne et a pour module,

c.c. Forces de pression sur des parois baignées, sur une face, par l’atmosphèreForces de pression sur des parois baignées, sur une face, par l’atmosphère

o Les forces élémentaires n’étant plus parallèles leur système n’est pas équivalent en général à une force unique.

Thème : Statique des fluides19 sur 48

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o théorème   : si les forces à distance se réduisent aux forces de pesanteur, les forces de pression exercées par le liquide sur les parois du vase admettent une résultante égale au poids total du fluide contenu dans le vase.

En effet, sur chaque élément d’aire Da, le fluide exerce une force de pression normale ( orienté du fluide vers la paroi). Réciproquement, le même élément de paroi

exerce sur le fluide une réaction égale et opposée à la force précédente. De plus, chaque élément de volume dV subit une force de pesanteur égale à .

On a où G est le poids total du fluide.

Le fluide étant en équilibre, la somme des forces est nulle. D’où,

3. Du théorème précédent, on en déduit que la projection Fx sur une direction horizontale Ox de la résultante des poussées élémentaires suivant Ox est égale à la poussée hydrostatique s’exerçant sur la projection Sx de la surface sur un plan perpendiculaire à la direction Ox.

o Cas particulier   : Si la colonne verticale s’appuyant sur le contour coupe plusieurs fois la surface, il faut

modifier l’énoncé du 2 et résonner en s’inspirant de l’exemple suivant :

La pièce étant de révolution, la résultante horizontale des forces élémentaires est nulle. La résultante est donc verticale.

Thème : Statique des fluides20 sur 48

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On considère un cylindre élémentaire de section droite dσ découpant les surfaces dS et dS’ sur la paroi du vase. Nous avons donc,

et

En projection verticale, nous obtenons

et

On en déduit facilement la résultante des forces de pression

= poids total du liquide

Cela permet d’expliquer le paradoxe suivant : les forces de pression mises en jeu sont très importantes mais leur résultante est faible, c’est le poids réel du fluide.

8.8. Equilibre d’un liquide par rapport à son récipient mobile (VincentEquilibre d’un liquide par rapport à son récipient mobile (Vincent Rabier)Rabier)

Nous allons montrer maintenant , sur deux exemples simples , que si on superpose , au champ de pesanteur, un champ d’inertie, le liquide contenu dans un vase en mouvement peut parfois être considéré en équilibre hydrostatique : Cet équilibre hydrostatique n’est autre que l’équilibre relatif du liquide par rapport au vase.

a.a. Un vase contenant un liquide est déplacé d’un Un vase contenant un liquide est déplacé d’un mouvement de translationmouvement de translation uniformément accéléré.uniformément accéléré.

Soit l’accélération constante, supposée horizontale. L’élément fluide de masse dm, entourant le point M et soumis à l’accélération constante , obéit à la loi générale de la dynamique :

Où est la résultante de toutes les forces agissant sur l’élément de masse dm.

Thème : Statique des fluides21 sur 48

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Il revient au même d‘écrire (principe de d’Alembert) que l’élément de masse dm est en équilibre sous l’action des forces et puisque, d’après la relation précédente,

Cela revient à supposer qu’au poids, , vertical, s’est ajouté la force horizontale.

Le vecteur , qui représente la force par unité de masse ou champ résultant, est ainsi égal à :

Il fait, avec la verticale l’angle constant a défini par .

La surface libre, surface équipotentielle parce qu’isobare, est donc un pal, incliné d’un angle a sur le plan horizontal ; toutes les surfaces isobares sont des plans parallèles à cette surface libre.

Le liquide, qui se déplace en bloc au cours du mouvement, peut être considéré comme en équilibre par rapport à un trièdre lié au vase.

b.b. Considérons maintenant, le cas d’un liquide situé dans un vaseConsidérons maintenant, le cas d’un liquide situé dans un vase cylindrique, de révolution autour de l’axe vertical zz’ et tournant avec lecylindrique, de révolution autour de l’axe vertical zz’ et tournant avec le taux de rotation constant w autour de cet axe.taux de rotation constant w autour de cet axe.

Nous allons raisonner dans un plan méridien dont un point quelconque est défini par les coordonnées z’ et r .

Nous pouvons considérer que l’élément de masse dm, situé à la distance r de l’axe, est soumis à l’accélération centripète –w²r puisqu’il tourne au taux de rotation constant w. Le principe de d’Alembert permet de le considérer comme en équilibre à condition d’ajouter au poids , vertical, la force d’inertie , horizontale. Finalement, tout se passe comme si, en chaque point, le champ massique était :

Thème : Statique des fluides22 sur 48

M w²

h

g

M

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D’après la propriété de superposition des potentiels des champs composants, le champ dérive d’un potentiel dont la différentielle est :

et dont la valeur est :

Les surfaces équipotentielles, donc isobares, sont définies par la condition

ou

La surface libre et toutes les surface d’égale pression sont donc des paraboloïdes de révolution autour de l’axe zz’ et dont le paramètre commun est g/w².La relation entre le potentiel et la pression donne, pour la valeur de la pression en un point d’un plan méridien défini par les coordonnées z’ et r,

.

Prendre la constante égale à pa revient à choisir l’origine de l’axe des z’ au point où cette surface libre coupe l’axe des z’.

III.III. FLOTTEURSFLOTTEURS

1.1. Définitions et conventions (Vincent Rabier)Définitions et conventions (Vincent Rabier)

a.a. FlottaisonFlottaison  

On appelle flotteur ou corps flottant un solide qui reste en équilibre alors qu’il est partiellement immergé dans un liquide.

Le plan de flottaison est le plan de la surface libre du liquide sur laquelle flotte le corps ; c’est donc un plan horizontal.

La ligne de flottaison est la ligne suivant laquelle le plan de flottaison coupe la surface latérale du flotteur, dite le « bordé ».

La flottaison est la surface limitée, dans le plan de flottaison, par la ligne de flottaison. Le centre de flottaison est le barycentre de la flottaison.

b.b. PousséePoussée

Thème : Statique des fluides23 sur 48

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La carène est la partie du flotteur immergée ; elles est limitée au plan de flottaison ; souvent, le mot « carène » désigne le volume de cette partie immergée, ce qui justifie le mot « isocarène » que nous allons rencontrer par la suite.Le déplacement est le module du poids de liquide déplacé par le flotteur.Par suite,

Déplacement = volume de la carène X poids volumique du liquide ( )

Pour l’eau de mer, on prend = 10 260 N/m3.Le centre de carène est le centre d’inertie du volume de liquide déplacé.Les forces de pression qu’exerce le liquide sur le flotteur en équilibre admettent une résultante, la poussée, directement opposée au poids du flotteur.

La poussée :- est verticale- est dirigée de bas en haut- a son support qui passe par le centre de poussée- a un module égale au déplacement

Ainsi,

Déplacement = module du poids du flotteur.

c.c. Positions isocarènes.Positions isocarènes.

Nous admettons que le flotteur a un volume et un poids constants, mais qu’il est possible de faire varier la répartition des masses (arrimage). Ainsi, le volume d’un bateau est défini par le pont étanche et le bordé, mais, à l’intérieur, la cargaison peut être répartie de diverses manières.

Les positions isocarènes réelles sont des positions du flotteur correspondant à des arrimages différents. Puisque le poids du flotteur est constant, pour des positions isocarènes, les volumes immergées sont tous égaux, d’où la terminologie.D’une manière plus générale, on peut considérer des positions isocarènes virtuelles ne correspondant pas à des positions d’équilibre. Pour de telles positions, les plans de flottaison virtuels découpent dans le flotteur des volumes égaux à la carène.La surface de flottaison(ne pas confondre avec la flottaison) est le lieu des centres de flottaison correspondant à des positions isocarènes du flotteur.La surface de poussée est le lieu des centres de poussée correspondant à des positions isocarènes du flotteur.

d.d. Axe instantané d’inclinaisonAxe instantané d’inclinaison

Thème : Statique des fluides24 sur 48

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Pour faciliter la représentation, nous laisserons immobile le flotteur, et, pour passer d’une position isocarène à une autre, nous déplacerons le plan de flottaison. Il convient de remarquer que, si nous faisons tourner le plan de flottaison dans un sens pour passer d’une position isocarène à une autre (flèche f), le même déplacement relatif sera obtenu en faisant tourner en sens opposé (flèche f’) le flotteur par rapport au plan de flottaison fixe.

Passons d’une position isocarène, définie par le plan de flottaison Q, à une position isocarène infiniment voisine, définie par le plan de flottaison Q1. La droite suivant laquelle se coupent les deux plans Q et Q1 s’appelle axe instantané d’inclinaison pour ces deux positions.

Ordinairement, le plan de figure qui sert à représenter le flotteur est perpendiculaire à l’axe d’inclinaison, qui se trouve de ce fait représenté par un point I, tandis que les plans de flottaison, tels que Q et Q1 , définissent un dièdre à deux nappes. Les volumes limités par la surface latérale du flotteur à l’intérieur des deux nappes constituent les onglets.Le volume de l’onglet immergé est évidemment égal à celui de l’onglet émergé.

2.2. Théorème d’EulerThéorème d’Euler  : surface de flottaison (Julien AGACHE): surface de flottaison (Julien AGACHE)

e.e. Théorème d’EulerThéorème d’Euler  ::Le centre de flottaison correspondant à une position d’équilibre du flotteur est aussi le centre de flottaison pour une position isocarène infiniment voisine.

Autrement dit, au cours d’un déplacement isocarène infiniment petit de flotteur, le centre de flottaison reste fixe.

f.f. DémonstrationDémonstration  ::

Considérons deux flottaisons voisines (S) et (S1), qui se coupent suivant l’axe instantané d’inclinaison I, et qui font entre elles l’angle infiniment petit α. (Fig III-b-1)

Désignons par (Sa) et (Sb) les surfaces en lesquelles l’axe I partage la flottaison (S). Les volumes des deux onglets sont respectivement, en désignant par x la distance, à l’axe instantané d’inclinaison, de l’élément d’aire dA de la flottaison

Fig III-b-1

et

(On peut écrire de telles relations étant donné que α est petit)Ecrivons que ces deux volumes sont égaux. De plus dans une intégrale, x>0 et dans l’autre x<0

De ce fait :

Cette dernière relation signifie, que sur l’axe I, se trouve le barycentre de la surface S à savoir le centre de flottaison. (Ceci reste vrai quelque soit l’axe I)

Thème : Statique des fluides25 sur 48

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g.g. CorollaireCorollaire  ::Les flottaisons isocarènes admettent une surface enveloppe qui est touchée par chacune d’elles au centre de flottaison correspondant. Cette surface enveloppe est donc la surface de flottaison.

h.h. GénéralisationGénéralisation  ::Le théorème précèdent s’applique d’une manière plus générale, à des volumes égaux d’une masse constante que l’on limite en haut par une surface plane horizontale, par exemple, à une masse liquide invariable contenue dans un vase que l’on incline d’un petit angle, la surface intérieur du vase jouant alors le rôle des parois du flotteur.

i.i. Vérification expérimentaleVérification expérimentale  du théorèmedu théorème  ::Si on incline, d’un petit angle dans une direction quelconque, un vase demi plein d’eau, la surface libre passe par un point fixe que l’on peut repérer par rapport aux parois du vase, au moyen d’une pointe liée à ces parois.Pour que les indications fournies par un flotteur-indicateur de niveau d’un réservoir d’essence (auto) ou d’eau ne soient pas faussées par l’inclinaison transversale ou longitudinale du réservoir, il convient de placer le flotteur au centre de flottaison de la surface libre du liquide.

3.3. Théorème de DupinThéorème de Dupin  : surface de poussé (Julien AGACHE): surface de poussé (Julien AGACHE)

a.a. Théorème de DupinThéorème de Dupin  ::Le plan tangent à la surface de poussée au centre de poussée P est parallèle à la flottaison correspondant au centre de poussée P

On considère des masses respectivement concentrées aux points A et p et égales à M-m et m (Fig III-c-1). Le centre de gravité du système des deux masses est en P, situé sur la droite Ap et tel que :

Fig III-c-1

Ainsi, si la masse m se déplace de p en p1, le centre de gravité P se déplace parallèlement à tel que :

Ceci posé, on considère deux positions isocarènes x’x et x1’x1

du flotteur (Fig III-c-2). Soit P et P1 les centres de poussée correspondant à ces deux positions. Soit p et p1 les centres

Thème : Statique des fluides26 sur 48

A P1

P

p

p1

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d’inertie respectifs des onglets émergé et immergé. Passer de la position x’x à la position x1’x1

revient à transporter le volume de l’onglet émergé dans le volume de l’onglet immergé.

Fig III-c-2Ainsi d’après ce qui vient d’être écrit, est parallèle à , et de même sens. En désignant par V, le volume de la carène et par v le volume d’un onglet, on a la relation :

Si x1’x1 se rapproche indéfiniment de x’x, pp1 tend à se trouver dans le plan x’x et la droite PP1 tend à se confondre avec la tangente au lieu des centres de poussée.Ce résultat étant vrai quelle que soit la position isocarène infiniment voisine, la flottaison est bien parallèle au plan tangent en P à la surface de poussée.

b.b. Corollaire ICorollaire ILa poussée, qui passe par le centre de poussée P, est une force verticale, donc normale à la flottaison qui est horizontale et, par suite, normale aussi au plan tangent en P à la surface de poussée qui est parallèle à la flottaison.Ainsi, la normale à la surface de poussée en chaque point P est le support de la poussée correspondant à la carène de centre de poussée P.Cette proposition conduit à considérer l’ensemble des supports des poussées correspondant à des positions isocarènes d’un flotteur comme une congruence de droites normales à une même surface qui est la surface de poussée.

c.c. Corollaire IICorollaire IIQuand le flotteur est en équilibre, le poids et la poussée ont même support vertical. Ce support commun passe par le centre d’inertie du flotteur et est normal à la surface de poussée. Nous trouverons donc les orientations d’équilibre du flotteur pour un arrimage déterminé, c'est-à-dire pour un centre d’inertie déterminé, en menant, du centre d’inertie, les normales à la surface de poussée. Il y a équilibre quand l’une de ces normales est verticale.

Thème : Statique des fluides27 sur 48

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3.3. Métacentres (Julien AGACHE)Métacentres (Julien AGACHE)

a.a. Courbes métacentriques de roulis et de tangage.Courbes métacentriques de roulis et de tangage.

Les carènes de navire sont ordinairement symétriques par rapport à un plan dit plan longitudinal. Considérons alors les positions isocarènes déduites les unes des autres par des mouvements tels que l’axe instantanée d’inclinaison soit constamment horizontal et parallèle au plan longitudinal (mouvement de roulis).

Fig III-d-1 Au cours de ces mouvements, le centre de poussée reste sensiblement dans un plan vertical et perpendiculaire au plan longitudinal, dit plan transversal ; le lieu de ces centres est une courbe (C), que nous appellerons courbe de poussée de roulis.

Les poussées correspondant aux diverses inclinaisons de navire sont normales à la courbe (C). Ces normales ont une enveloppe (), développé de la courbe (C) et qui, à cause de l’existence d’un plan de symétrie longitudinal, présente un point de rebroussement M dans ce dernier plan de symétrie (Fig III-d-1). La courbe () est la courbe métacentrique de roulis et le point M, le métacentre de roulis.On suppose que la position d’équilibre du flotteur correspond à une poussée située dans le plan de symétrie longitudinal. Pour une position isocarène d’inclinaison α, supposée petite, le point de contact du support de la poussée avec la courbe () reste voisin de M.On peut donc dire que, pour les inclinaisons de roulis faibles, le support de la poussée passe par le point M, fixe par rapport au navire. En considérant les positions isocarènes déduites les unes des autres par des mouvements tels que l’axe instantané d’inclinaison soit constamment perpendiculaire au plan longitudinal, nous pouvons définir une courbe métacentrique de tangage, et un métacentre de tangage.

b.b. Positions des métacentresPositions des métacentres

Donnons, à partir de la position d’équilibre du flotteur, une petite inclinaison de roulis, α (Fig III-d-1). Le centre de poussée décrit l’élément PP1, tel que PP1=rα, où r est le rayon de courbure PM de la courbe de poussée de roulis au point P (rayon métacentrique de roulis)

Si p et p1 sont les centres d’inertie des onglets et si v et V sont les volumes respectifs d’un onglet et de la carène, nous savons que :

D’où :

Avec les notations utilisées dans la démonstration du théorème d’Euler, l’abscisse xp et point p est donnée par :

Thème : Statique des fluides28 sur 48

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Et comme ,

L’intégrale de surface n’est autre que le moment d’inertie I de la flottaison par rapport à l’axe instantané d’inclinaison. Ainsi

Et donc :

Le même calcul convient pour le rayon métacentrique de tangage.Toutefois le rayon métacentrique de tangage est plus grand que le rayon métacentrique de roulis. En effet, le moment d’inertie du tangage est supérieur à celui du roulis et le volume est le même.

Considérons la normale au point P à la surface de poussée ; les centres de courbure des diverses sections normales passant par P à la surface de poussée sont compris entre les deux centres de courbures principaux, lesquels correspondent aux sections normales par les plans longitudinal et transversal. Ainsi, les deux métacentres marquent les extrémités du lieu des centres de courbure de toutes les sections normales.

4.4. Stabilité de l’équilibre (Jean Molines)Stabilité de l’équilibre (Jean Molines)

a.a. Conditions de stabilitéConditions de stabilité

A partir de la position d’équilibre d’un flotteur, on donne une inclinaison de roulis infiniment petite.

Le centre de gravité G n’est pas modifié.Le centre de poussée vient de P en P1.Le poids et la poussée, tous deux perpendiculaires au plan de flottaison, ont leurs supports

parallèles.Le flotteur est alors soumis au couple poids, poussée. Ce couple dont le sens est indiqué

sur les deux figures 3.1 et 3.2 par la flèche tend à faire chavirer le flotteur si G est au-dessus de M : l’équilibre est instable. Il tend à redresser le flotteur quand G est en dessous de M : l’équilibre est stable.

Thème : Statique des fluides29 sur 48

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Fig 3.1 Fig 3.1 Fig 3.2 Fig 3.2

La condition de stabilité est donc que le vecteur soit dirigé vers le bas ; c’est à dire

avec k<0.

Donc la condition de stabilité s’écrit r-a>0 ou M au-dessus de G.

b.b. ConséquencesConséquences

On augmentera la stabilité d’un flotteur : en abaissant sont centre de gravité G (il faut charger un navire dans la cale et non

sur le pont). En élevant le métacentre (les radeaux de sauvetage correspondent à I/V

relativement grand).Pour surcharger fortement leur barque, les Chinois utilisent de grands bambous parallèles à l’axe longitudinal et écartés de cet axe (flotteurs à balancier).

Thème : Statique des fluides30 sur 48

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D

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5.5. Notions sur le mouvement d’un flotteur (Jean Molines)Notions sur le mouvement d’un flotteur (Jean Molines)

a.a. Oscillations autour de la position d’équilibreOscillations autour de la position d’équilibre

Pour ce calcul, on néglige le frottement du fluide sur la paroi et on ne tient pas compte de la masse de fluide qu’entraîne le bateau dans son mouvement.

Le bateau est en équilibre et est soumis à son poids et à la poussée.On suppose que le bateau s’incline d’un angle infiniment petit, tel que sin()=.Il est alors rappelé à sa position d’équilibre par le couple mg.D soit mg (r-a)

Le mouvement du bateau autour de son centre de gravité est donné par l’équation :

J

Où J est le moment d’inertie du bateau par rapport à un axe parallèle à l’axe instantané d’inclinaison et passant par le centre de gravité.

Le mouvement du flotteur autour de sa position d’équilibre est donc un mouvement périodique de période

ou r-a représente la stabilité du flotteur

b.b. ConséquencesConséquences

La période augment quand J augment et quand r-a (c’est à dire la stabilité) diminue.

Si l’on multiplie toutes les dimensions d’un bateau par L chacune des longueurs et r-a est multiplié par L et la période est multipliée par .Donc une maquette de dimensions 100 fois plus petites aura une période 10 fois plus petite.

Thème : Statique des fluides31 sur 48

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c.c. ChavirementChavirement

Supposons qu’un couple du à un long coup de vent soit appliqué à un flotteur. Celui ci est alors incliné d’un angle par rapport à l’horizontale. Au fur et à masure que la surface présentée au coup de vent diminue, le couple = f() diminue aussi, jusqu’à passer par un minimum pour remonter ensuite (fig. ci dessous). En même temps, un couple de redressement égale à C = mg(r-a)sin() est appliqué en sens inverse.

Les courbes de et C se coupent aux points B et D. Pour l’inclinaison b, les deux couples sont égaux, mais à cause de l’énergie cinétique qu’il possède pour cette inclinaison, le flotteur dépasse l’inclinaison b.

L’énergie cinétique pour l’inclinaison b est égale au travail ,

représenté par l’aire hachurée A1.Le bateau s’arrêtera donc quand le couple de freinage (C - ), qui intervient entre ab et

ad aura effectué un travail égal au précédent, c’est à dire quand A2 sera égale à A1.

Si aa est inférieur à ad , le couple C est plus grand que le couple à l’arrêt du flotteur : Le flotteur retournera à sa position d’équilibre.

Mais si l’aire A2 comprise entre B et D est plus petite que l’aire A1, le flotteur ne sera pas encore arrêté pour l’inclinaison ad à partir de laquelle le couple de chavirement devient supérieur au couple de redressement : le flotteur va alors chavirer.

III.III. Statique des fluides compressiblesStatique des fluides compressibles

1.1. Coefficient de compressibilité (Stéphane Bouriou)Coefficient de compressibilité (Stéphane Bouriou)

Coefficient de compressibilité isotherme :Aucun fluide n’est incompressible : quand la pression augmente à température constante, la masse volumique ρ augmente.

Ce coefficient est homogène à l’inverse d’une pression.

Thème : Statique des fluides32 sur 48

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Il peut aussi s’écrire :

en considérant une masse de fluide m=V ρ

2.2. Fluides peu compressiblesFluides peu compressibles

Un liquide, considéré comme incompressible en hydrostatique, voit, en réalité, sa masse volumique augmenter d’une manière non négligeable aux fortes pressions. L’augmentation r–r0 que subit la masse volumique r0, quand la pression passe, à température constante, de la valeur p0 à la valeur p, peut être caractérisée par le coefficient de compressibilité isotherme cθ . La relation donne, en effet,

Nous allons voir comment intervient cette faible compressibilité dans la loi de variation de pression avec la profondeur.

L’axe de z’ étant vertical vers le bas, l’équation générale de la statique des fluides s’écrit :

Si nous introduisons, dans cette loi, l’expression de 1/r que fournit la relation précédente, nous obtenons :

Par intégration et si on prend l’origine des z’ sur la surface libre, cette équation devient :

ou

Toujours parce que est petit devant l’unité, la relation peut s’écrire :

Thème : Statique des fluides33 sur 48

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Dans le terme correctif, remplaçons par la valeur que donne la relation précédente quand on néglige ce terme correctif ; nous obtenons :

Dans le cas de l’eau, le coefficient de compressibilité isotherme est égal à 5 X 10 -10 m²/N. Puisque r0 est égal à 1000 kg/m3, le terme correctif est égal à 2.5 X10-6z’, z’ étant mesuré en mètres. A une profondeur de 4000 m, il sera de 0,01.

3.3. AtmosphèreAtmosphère

a.a. Loi élémentaire de variation de pression atmosphérique.Loi élémentaire de variation de pression atmosphérique. (Emmanuel Girault)(Emmanuel Girault)

Considérons la loi des gaz parfaits : pv=rT avec p la pression, v le volume massique, r

la constante massique des gaz parfaits et T la température en K.

On a alors : avec

Le quotient p / , homogène à une hauteur, est égal à hT, la hauteur d’une colonne verticale d’un fluide isovolume qui aurait le poids volumique . D’où hT ne dépend que de la nature du gaz : hT = f (r, T).

Dans le cas de l’air sec on a alors : (1) ce

qui donne pour une température de 0°C h0 = 7989 m ≈ 8000 m   ;

et à la température T en K :

(2)

Soit l’axe des z un axe vertical dirigé vers le haut, z représente donc l’altitude (z’, égal à –z, profondeur en hydrostatique).

On a d’où en dérivant on obtient la loi élémentaire suivante :

d’où

Thème : Statique des fluides34 sur 48

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En combinant cette relation avec la relation (1) et (2) on obtient :

(3)

En prenant en compte le cas de l’air sec à 0°C, la relation (3) donne :

(dz en mètres)

Cela veut dire que pour une différence de hauteur de 1 m on aura une variation de 1/8000 de pression. On pourra donc considérer en première approximation que la pression de l’air reste constante sur un volume gazeux peu étendu en hauteur.

b.b. Loi de variation de pression dans une atmosphère isothermeLoi de variation de pression dans une atmosphère isotherme.. (Emmanuel Girault)(Emmanuel Girault)

En partant de l’hypothèse définie précédemment qui consiste à considérer la température Tm constante pour une variation d’altitude de z0 à z, on peut alors considérer la gravité g constante sur ce même intervalle puisque cette hypothèse est une approximation d’ordre supérieur. Dans ce cas on peut facilement intégrer la relation (3) :

On a alors :

C’est la formule du nivellement barométrique servant à mesurer l’attitude à l’aide d’un baromètre.

Ce qui s’écrit aussi : (4)

De même, la loi de variation de la masse volumique ρ ou du poids volumique est la même que celle de la pression car, à température constante, la masse volumique est proportionnelle à la pression. On a donc :

(5)

Thème : Statique des fluides35 sur 48

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c.c. Loi de variation de pression dans une atmosphère où laLoi de variation de pression dans une atmosphère où la température varie linéairement.température varie linéairement. (Emmanuel Girault) (Emmanuel Girault)

Dans la réalité la température décroît linéairement de la côte z0 à la côte z, on a donc :

avec B une constante homogène à l’inverse d’une longueur.

On combinant avec (3) on obtient :

(6)

or et (7)

donc en intégrant (6) on trouve :

Ce qui s’écrit également : (8)

On en déduit facilement la loi de variation de la masse volumique ρ (ou du poids volumique = ρg) de l’air avec l’altitude puisque on a :

Ce qui donne pour relation :

(9)

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d.d. Atmosphère-type (Emmanuel Girault)Atmosphère-type (Emmanuel Girault)

Le service technique de l’Aéronautique français (STA) a défini une atmosphère de référence à laquelle on ramène les performances accomplies par les avions à des dates et en des lieux différents. Cette atmosphère-type se veut la plus proche possible des conditions moyennes tempérées, mais il peut y avoir tout de même de grosses différences avec la réalité (±500 m sur 8000m calculés par les lois de décroissance).

Hypothèse de l’atmosphère type   : L’intensité de la pesanteur g est toujours supposée constante L’air est considéré comme un gaz à l’état parfait ; il est sec ; sa masse volumique,

dans des conditions normales, est 1,293 kg/m3 A l’altitude zéro, la pression est normale (760 mm de mercure) et la température

est de 15°C (ou de 288 K). La masse volumique de l’air à l’altitude zéro est donc de 1.255 kg/m3.

Entre l’altitude zéro et l’altitude 11 000 m (troposphère), la température décroît linéairement. Elle est de -56,5°C (ou de 216 K) à l’altitude 11 000 m Entre 0 et 11 000 m, la loi de décroissance de la température est donc :

(z en mètre, θ en °C)ou

(z en mètre, T en K)

Au-dessus de 11 000 m (stratosphère), la température est constante et égale à -56,5°C (ou 216,5 K).

Dans le cas d’une atmosphère-type, les équations (7), (8) et (9) s’appliquent entre 0 et 11 000 m avec B=22,6.10-6 m-1, z0=0, Tz0=288 K, pz0=760 mm de mercure et ρz0=1,225 kg/m3 et donnent :

Puis on obtient :

0 < z < 11 000 m , mm de Hg

kg/m3

, tirée des deux équations précédentes.

Et toujours dans le cas d’une atmosphère-type, mais cette fois ci pour z>11 000 m, les équations (4) et (5) donnent, avec z0=11 000 m, Tm=216,5 K, pz0=p 11 000=170 mm de mercure, ρ z0=ρ 11 000=0,36 kg/m3 :

Finalement on obtient :

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Z > 11 000 m, mm

kg/m3

ou

Pour des calculs plus rapides on peut utiliser les approximations suivantes :

(z en mètres)

(z en mètres)

Enfin on peut dire que l’atmosphère-type n’est qu’une atmosphère de référence et n’est pas exacte. Mais elle satisfait toujours aux conditions de stabilités (masse volumique inversement proportionnelle à l’altitude).

e.e. Atmosphère réelle (Stéphane Bouriou)Atmosphère réelle (Stéphane Bouriou)

Pour mieux comprendre ce qui se passe, il convient de séparer, avec l’altitude, les variations de composition et de température.

o Composition

Du point de vue de la composition, nous pouvons séparer l’atmosphère en deux parties : l’homosphère où la composition peut être considérer comme constante et l’hétérosphère.

Homosphère :L’homosphère s’étend du sol jusqu’à une altitude de 100 km. La constante de composition est due aux mouvements convectifs et aux vents. Même si la composante verticale du vent est faible devant la composante horizontale, elle ne l’est pas face à la vitesse de chute des différents constituants qui les classifierait en strate selon leur densité (par exemple la vitesse de chute des molécules d’oxygènes dans une atmosphère initialement homogène est de 10 cm par an à 15 Km d’altitude).

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L’organisation météorologique internationale a fixé, en pourcentage en volume, une composition type de l’air sec :

Azote 78,09 HéliumOxygène 20,95 KryptonArgon 0,93 HydrogèneGaz carbonique 0,03 XénonNéon OzoneLe gaz fictif ainsi défini à une masse moléculaire égale à 28,966.Cependant l’atmosphère est toujours plus ou moins humide, le pourcentage en volume de vapeur d’eau variant entre 0,1 et 5%. Ce pourcentage diminuant avec l’altitude malgré l’abaissement de température, il atteint 0,1 au niveau de la stratosphère (à peu près de 10 à 45 Km).De plus il existe d’autres constituants non cités précédemment qui sont d’origines industrielles ou biologiques.

Hétérosphère :L’altitude de transition entre l’homosphère et l’hétérosphère est mal connue mais l’altitude communément adoptée est de 100 +/- 10 km.Dans cette partie de l’atmosphère des phénomènes physiques entrent en jeu comme la photodissociation (vers 230 Km pratiquement tout l’oxygène est monoatomique alors qu’à peine 1% de l’azote est dissocié).Au-dessus de 1500 Km nos connaissances sont imprécises. L’atmosphère n’est quasiment constituée que d’hydrogène et d’hélium. De plus l’importance du rayonnement solaire aux très hautes altitudes fait que quasiment tous les atomes sont ionisés.

Donc la masse molaire est supposée constante, égale à 28,966, jusqu’à une altitude de 100 Km puis diminue avec l’accroissement de l’altitude.

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« Évolution de la température et de la masse volumique en fonction de l’altitude »

o Température

Dans la troposphère (du niveau du sol à une altitude de 17 Km au voisinage de l’équateur et de 9 Km au niveau des pôles) nous pouvons distinguer trois zones.

Dans la couche voisine du sol c'est-à-dire de 0 à 2000 m, les gradients de température peuvent être très grand et soit positif ou négatif selon le fait que la température du sol est supérieure ou inférieure à l’air. Cette influence du sol sur l’atmosphère est quasiment négligeable pour une altitude supérieure à 2000.

Dans la couche comprise entre 2000 et 5000 m il y a parfois des zones d’inversion c'est-à-dire que la température croît avec l’altitude.

Au-dessus de 5000 m jusqu’à la tropopause, les gradients deviennent plus réguliers.

Dans les premiers kilomètres au-dessus de la tropopause, la température reste à peu prés constante, puis de 20 à 45 Km la température croit à cause de l’absorption du rayonnement solaire par l’oxygène et l’ozone dont la concentration est maximum à 25 km.

Dans la mésosphère (qui s’étend de la stratopause jusqu’à 80 Km mésopause) la température baisse fortement jusqu’à un minimum de 180 °K. C’est dans les premiers kilomètres que l’ionisation commence à devenir importante.

Thème : Statique des fluides40 sur 48

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Au-dessus de 80 Km la température s’élève régulièrement. Nous sommes dans la thermosphère qui s’étend jusqu’à l’exosphère partie de l’atmosphère où les molécules peuvent échapper à la Terre.

« Évolution de la température en fonction de l’altitude »

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Dans le tableau ci-dessous nous récapitulons différentes valeurs en fonction de l’altitude :Altitude

(km)Pression Température

(degrés K)Masse volumique Masse

molaire(mm Hg) (mbars)

0 760 1013 288 28,9610 199 265,0 223 28,9620 41,5 55,29 217 28,9630 8,98 11,97 226 28,9640 2,15 2,871 250 28,9650 271 28,9660 256 28,9670 220 28,9680 181 28,9690 181 28,96100 210 28,88120 349 28,07140 714 27,20160 1022 26,66180 1156 26,15200 1236 25,56

IV.IV. LES BALLONS (LES BALLONS (Nicolas MoreauNicolas Moreau))

1.1. Ballon fermé (Masse constante)Ballon fermé (Masse constante)

Il existe trois types de ballons à masse constante : le premier est le ballon-sonde, le second le ballon flasque au sol avec une enveloppe inextensible, et le dernier un ballon toujours tendu avec une enveloppe aussi inextensible. Pour ces trois types de ballons, quelque soit la hauteur, leur masse se conserve.

a.a. Ballon-sondeBallon-sonde

Il est utilisé pour des sondages aérologiques. Il est de forme sphérique constitué en caoutchouc néoprène de très faible épaisseur. Il est rempli d’hydrogène ou d’hélium puis fermé définitivement. Comme le caoutchouc a un petit module d’élasticité, on peut, par une première approximation prendre la pression à l’intérieure égale à la pression à l’extérieure du ballon.L’ensemble du système {ballon + gaz + panier} (le panier contenant tous les appareils de mesures) a un poids constant P. D’autre part le volume Vz0 du ballon au sol et wz0 le poids volumique de l’air au sol provoque une poussée égale à Vz0wz0.La force ainsi qui va permettre au ballon de s’envoler est :

C’est la rupture de l’équilibre au solSchéma   :

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La pression atmosphérique diminue au cours de la montée du ballon (égale à la pression de l’hydrogène d’après nos approximations) alors que la masse reste constante. On a donc un volume Vz0 qui augmente en fonction de la montée. Si l’on prend l’hypothèse que l’atmosphère est isotherme on a la loi suivante :

On a la pression à l’altitude z, le volume à l’altitude z

On peut écrire cette relation avec le poids volumique de l’air w car il est proportionnel à la pression p.

La force de rupture de l’équilibre exprimée précédemment ne varie pas quelque soit l’altitude. Le ballon va donc monter jusqu’à son éclatement : lorsque le volume sera trop grand et que la membrane en caoutchouc se sera déchirée.En règle générale, pour un diamètre du ballon de départ de 1 m, celui-ci, juste avant d’éclater fait 2 m de diamètre à un altitude de 20 000 mètres.Lorsque le ballon éclate, un parachute se déploie et permet au panier de rejoindre le sol avec une vitesse suffisamment faible pour ne pas détériorer le matériel de mesure.

b.b. Ballon flasque au sol à enveloppe inextensibleBallon flasque au sol à enveloppe inextensible

C’est un ballon fermé qui est totalement vide au sol, avec son enveloppe plissée. En s’élevant, il se dilate. La rupture d’équilibre reste constante au cours de la montée, jusqu’au moment où le niveau de plénitude est atteint.Ces ballons flasques peuvent être entourés par une structure rigide. Cette solution fut utilisée pour fabriquer des dirigeables. Ce carénage était utile pour pouvoir naviguer.

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Enveloppe en caoutchouc

Panier(avec instruments de mesure)

00. zz wV

P

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Schéma   :

c.c. Ballon toujours tenu à enveloppe inextensibleBallon toujours tenu à enveloppe inextensible

Ce ballon, pour ne pas éclater doit être constitué d’une enveloppe suffisamment résistante (en polyester). Lorsqu’il s’élève, la pression extérieure diminue alors que la pression intérieure peut augmenter avec l’influence du rayonnement solaire.Ces ballons possèdent une masse et un volume constants, il va donc flotter en se maintenant à un altitude où la densité à une valeur constante.Ils sont utilisés pour des opérations de radiosondages, en sachant que leur durée de vie peut être très grande : de plusieurs mois.

2.2. Ballon ouvert (Volume constante)Ballon ouvert (Volume constante)

a.a. Surpression dans le ballonSurpression dans le ballon

Pour pouvoir soulever des charges importantes à de grandes altitudes, il faut utiliser un ballon ouvert, ou muni d’une soupape s’ouvrant de l’intérieur vers l’extérieure, sous l’action d’une surpression. Lorsque que le ballon s’élève le volume de celui-ci à tendance à augmenter, l’ouverture permet de garder un volume du ballon constant quelque soit l’altitude.On peut remarquer que la surpression qui s’applique sur la paroi intérieure de l’enveloppe n’est pas répartie équitablement aux divers points de celle-ci.En fait la surpression à l’intérieur du ballon est donnée par la formule de Laplace :

est une force par unité de longueur appelée tension de la membrane, et le rayon du ballon. Dans notre étude, on suppose que le ballon contient de l’hydrogène ayant un poids volumique moyen w’, alors que l’air qui l’entoure a un poids volumique moyen w. Les pressions appliquées sur la surface intérieure du ballon aux points M et N distants d’une hauteur h, s’écrit :

Si l’on se trouve sur la surface extérieure les pressions aux points M et N s’écrit alors :

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Enveloppe flasque au

sol

Enveloppe gonflée avec

l’altitude

Structure rigide

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On a donc, en soustrayant les deux relations suivantes, l’expression de la surpression entre les deux points M et N :

Cette surpression est maximale au point le plus élevé : M et la plus basse au point le plus bas : N. L’ensemble de ces surpressions a pour effet de faire monter le ballon.

Schéma   :

b.b. Pouvoir ascensionnelPouvoir ascensionnel

La force provoquée par les surpressions précédemment définies est appelée force ascensionnelle. Elle est verticale, dirigée vers le haut et égale à :

Les forces de pression exercées par le gaz, de poids volumique w’, sur la face intérieure de l’enveloppe, admet une résultante verticale dirigée vers le haut et égale à : Vw’.Les forces de pression exercées par l’air sur la face extérieure de l’enveloppe admettent aussi une résultante verticale dirigée vers le bas et égale à : Vw.

La force ascensionnelle ou pouvoir ascensionnel est la résultante des deux forces précédemment définies rapportée à l’unité de volume :

Si le gaz, possède une densité par rapport à l’air, alors on peut écrire (dans les mêmes conditions de température et de pression) :

Thème : Statique des fluides45 sur 48

h

N

M

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Chaque gaz a un pouvoir ascensionnel différent lorsque les conditions sont normales, voici quelques valeurs :

Air 12,9 1 0

Gaz d'éclairage 5,2 0,4 7,7

Hélium pur 1,8 0,14 11,1

Hélium industriel 2 0,16 10,9

Hydrogène pur 0,9 0,07 12

Hydrogène industriel 1,2 0,09 11,7

Vide 0 0 12,9

Poids volumique à 0°C et 760 mm de mercure

(n/m 3 )

Densité relative

Pouvoir ascensionnel à 0°C et 760 mm de

mercure (N/m3) Gaz

Interprétations du tableau ci-dessus :

- On ne gagne que 8 % de pouvoir ascensionnel lorsque l’on remplace l’hélium par de l’hydrogène. Voilà pourquoi dans certains pays, où cela est possible, on utilise des ballons à l’hélium parce qu’il diffuse beaucoup moins vite que l’hydrogène à travers les enveloppes caoutchoutées et évidemment parce qu’il est moins combustible.

- La présence de 5 % d’air dans l’hydrogène ou l’hélium ne diminue pratiquement pas son pouvoir ascensionnel. Ainsi, il n’est pas nécessaire d’utiliser des gaz purs qui sont difficiles à obtenir et surtout qui possède un coût de fabrication élevé.

- En remplaçant l’hydrogène par du vide, on ne gagnerait que 7 % de pouvoir ascensionnel. Ceci est très négligeable surtout si l’on prend en compte le poids d’un ballon à enveloppe rigide à vide ainsi que sa difficulté de réalisation.

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c.c. PlafondPlafond

La rupture d’équilibre Fz, à l’altitude z, est , comme pour le ballon fermé donnée par la poussée Vwz, le poids du ballon ouvert est Gz. Pour ce type de ballon, le volume reste constant, tandis que le poids est variable, on peut alors écrire la relation suivante :

avec G0, le poids de l’ensemble et w’z, le poids volumique du gaz contenu dans l’enveloppe à l’altitude z.Pour pouvoir simplifier les écritures de la rupture d’équilibre, on suppose l’atmosphère isotherme, ceci s’applique uniquement si nous sommes dans la stratosphère. On considère aussi la température absolue T égale à la température du gaz dans le ballon.

On écrit alors la rupture d’équilibre :

Le ballon sera en équilibre pour une rupture d’équilibre égale à zéro. Il aura atteint son plafond à une altitude zp, définie par :

En utilisant la relation de la variation du poids volumique de l’air avec l’altitude dans une atmosphère isotherme, on obtient le poids G0 de l’ensemble égal à :

avec en mètres

On peut donc écrire :

Si l’on prend un ballon de volume égal à 1000 m3 dont la force ascensionnelle est au sol de 12000 N et qui pèse 8000 N. Si la température moyenne est de 273 °K, il pourra s’élever de la hauteur :

m

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d.d. UtilisationUtilisation

Les ballons ouverts à volume constant peuvent servir à transporter des instruments lourds. EnLes ballons ouverts à volume constant peuvent servir à transporter des instruments lourds. En utilisant ceux-ci, l’observation des satellites peut être assurée à la précision d’une fraction deutilisant ceux-ci, l’observation des satellites peut être assurée à la précision d’une fraction de seconde d’arc.seconde d’arc.

Ils bénéficient d’une stabilité remarquable, ils n’effectuent pas plus d’une révolution à l’heure, leur mouvement pendulaire a donc une amplitude angulaire de l’ordre de 10 secondes d’arc.Les ballons à masse et volume constants ont toutefois un inconvénient non négligeable : il ne peuvent pas être stabilisés à une hauteur fixée car l’échauffement dû au soleil provoque la sortie du gaz pour les ballons ouverts ou l’augmentation du volume pour les ballons fermés et donc une élévation de ceux-ci.

Thème : Statique des fluides48 sur 48