Statistikk Vg2P

1

Statistikk Løsninger

Innhold

Modul 2: Presentasjon av tallmateriale .................................................................................................. 2

Tabeller - Frekvens - Relativ frekvens - Kumulativ frekvens ............................................................... 2

Søylediagram/stolpediagram .............................................................................................................. 4

Sektordiagram ..................................................................................................................................... 5

Linjediagram/kurvediagram ................................................................................................................ 9

Ulike dataframstillinger – ulike inntrykk ........................................................................................... 13

Modul 3: Sentralmål .............................................................................................................................. 15

Modul 4: Spredningsmål ....................................................................................................................... 17

Modul 5: Gruppert datamateriale ......................................................................................................... 20

Eksempeloppgaver fra Udir ................................................................................................................... 27

Oppgaver og løsninger

Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA

Statistikk Vg2P

2

Modul 2: Presentasjon av tallmateriale

Tabeller - Frekvens - Relativ frekvens - Kumulativ frekvens 2.1

Standpunktkarakterene i matematikk til elevene i en klasse er gitt i tabellen.

Elev nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Standpunktkarakter 4 4 2 2 3 5 1 2 4 3 5 5 6 2 2

Sett opp en tabell som viser frekvens, kumulativ frekvens og relativ frekvens for de ulike karakterene.

Lag tabellen både for hånd og i et regneark. Bruk 2 desimaler ved utregning av relativ frekvens.

Vis hvilke formler du bruker i regnearket.

For hånd.

Standpunkt- karakter

Tellekolonne Frekvens Kumulativ frekvens

Relativ frekvens

1 | 1 1 1

0,0715

2 |||| 5 6 5

0,3315

3 ||

2 8 2

0,1315

4 |||

3 11 3

0,2015

5 |||

3 14 3

0,2015

6 | 1 15 1

0,0715

Sum 15 15 1,00

Excel.

Statistikk Vg2P

3

2.2

Tabellen under viser når på året elevene i en klasse var født.

Årstid Vinter

desember – feb. Vår

mars - mai Sommer

juni - august Høst

september – nov.

Antall 6 11 8 5

a) Hvor mange elever er det i klassen?

Antall elever i klassen: 6 11 8 5 30

b) Bruk regneark og sett opp en tabell som viser relativ frekvens, relativ frekvens i prosent,

kumulativ frekvens, relativ kumulativ frekvens og relativ kumulativ frekvens i prosent for de ulike

årstidene.

c) Hvor stor del av elevene i klassen er født om vinteren eller om våren?

Fant i oppgave b) at 57 % av elevene er født om vinteren eller våren.

2.3

a) Lag en oversikt i din egen klasse som viser hvilken måned elevene i klassen er født.

Sett januar = 1, februar = 2, mars = 3, osv.

b) Lag en tabell etter årstid slik som i oppgave b) ovenfor.

Statistikk Vg2P

4

Søylediagram/stolpediagram 2.4

Olav fisker hummer. Tabellen viser hvor mange hummer Olav fikk på de første 15 trekkene.

Trekk nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Antall hummer 4 3 3 2 1 1 0 2 1 3 0 2 2 1 1

a) Sett opp en tabell som viser frekvens, relativ frekvens og kumulativ frekvens for antall hummere

per trekk.

b) Lag et stolpediagram som gir en oversikt over hummerfangstene til Olav.

Statistikk Vg2P

5

2.5

Lag et stolpediagram for hånd som viser fordelingen av gutter og jenter i klassen din.

Sektordiagram 2.6

a) Fyll ut resten av tabellen. Avrund alle svar til nærmeste hele tall

Næringsinnhold i 100 g pepperkaker

Antall gram

Prosent Grader

Protein 5 5 % 18

Karbohydrater 75 75 % 270

Fett 16 16 % 58

Annet 4 4 % 14

Sum 100 100 % 360

b) Lag et sektordiagram ”for hånd” som viser næringsinnholdet i 100 g pepperkaker.

Antallgram; Protein;

5; 5 %

Antallgram;

Karbohydrater; 75; 75 %

Antallgram; Fett; 16;

16 %

Antallgram; Annet; 4;

4 %

Næringsinnhold i 100 g pepperkaker

Protein

Karbohydrater

Fett

Annet

Statistikk Vg2P

6

2.7

a) Fyll ut resten av tabellen. Avrund alle svar til nærmeste hele tall

Månedsutgift til en tilfeldig 17-åring

I kroner Prosent Grader

Mat inkludert snop 550 22 % 79

Klær 825 33 % 119

Fornøyelse 430 17 % 61

Hygiene 190 8 % 29

Annet 505 20 % 72

Sum 2500 100 % 360

b) Lag et sektordiagram ”for hånd” som viser månedsutgiftene til 17-åringen.

Kroner; Mat inkludert snop;

550; 22 %

Kroner; Klær; 825; 33 %

Kroner; Fornøyelse; 430; 17 %

Kroner; Hygiene; 190;

8 %

Kroner; Annet; 505; 20 %

Månedsutgifter

Statistikk Vg2P

7

2.8

Tabellen viser karakterfordelingen i matematikk i en klasse i videregående skole.

Karakter 1 2 3 4 5 6

Antall elever 2 5 8 6 3 1

a) Lag et stolpediagram som illustrerer karakterfordelingen.

b) Lag et sektordiagram (kakediagram) som illustrerer karakterfordelingen.

Karakterfordeling

Frek

ven

s

Karakter

Karkterer; 1; 2; 8 %

Karkterer; 2; 5; 20 %

Karkterer; 3; 8; 32 %

karater 4

Karkterer; 5; 3; 12 %

Karkterer; 6; 1; 4 %

Karakterfordelig

1 2 3 4 5 6

Statistikk Vg2P

8

2.9

To elever undersøkte hvilke fritidsaktiviteter elevene i klassen likte best. De fikk følgende resultater:

Fritidsaktivitet Håndball Fotball Volleyball Svømming Annet

Antall 7 9 3 2 6

a) Lag et søylediagram som illustrerer fritidsaktivitetene til elevene.

b) Lag et sektordiagram som illustrerer fritidsaktivitetene til elevene.

Fritidsaktiviteter

Frek

ven

s

Frekvens; Håndball; 7; 26

%

Frekvens; Fotball; 9; 33 %

Frekvens; Volleyball; 3; 11

%

Frekvens; Svømming; 2; 8

%

Frekvens; Annet; 6; 22 %

Fritidsaktiviteter

Håndball

Fotball

Volleyball

Svømming

Annet

Statistikk Vg2P

9

Linjediagram/kurvediagram 2.10

Tabellen viser antall drepte i trafikken i Norge i perioden 2001 til 2008.

År 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Antall drepte 275 310 280 257 224 242 233 255

Lag et linjediagram som viser utviklingen av antall trafikkdrepte fra 2001 til 2008.

Antall drepte

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Statistikk Vg2P

10

2.11

Tabellen viser utslipp av CO2 til luft i perioden 1998 til 2008.

År 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

CO2 i millioner tonn

41,2 42,0 41,6 43,0 42,0 43,3 43,9 42,9 43,3 45,0 44,2

a) Lag et kurvediagram som viser utviklingen av CO2 fra 1998 til 2008.

La andreaksen variere fra 0 til 50.

b) Lag samme kurvediagram som i a), men la andreaksen gå fra 39 til 46.

c) Forklar forskjellen mellom de to diagrammene.

Utslipp av CO2

Utslipp av CO2

i millionertonn

Utslipp av CO2

Utslipp av CO2

i millionertonn

Statistikk Vg2P

11

2.12

Diagrammet viser antall felte elg per år i Norge fra 1986 til 2008

a) Fortell med egne ord hvordan utviklingen av felte elg har vært i denne perioden.

I perioden fra 1986 til 1988 var det en svak nedgang i antall felte elg.

Fra 1988 til 1993 steg antall felte elg fra ca 25 000 elg i 1998 til ca 39 000 elg i 1993.

Mellom 1993 og 1995 falt antall felte elg til ca 34 000.

Fra 1995 til 2008 har antall felte elg ligget mellom ca 34 000 og 39 000.

Statistikk Vg2P

12

Diagrammet nedenfor viser antall felte elg i Norge fra 1986 til 2008 fordelt på alder.

b) Hvilke år ble det felt flere 1 ½-åringer enn kalver?

I 1992 og 1993 ble det felt flere 1 ½-åringer enn kalver.

c) Hvor mange elg ble det felt totalt i 2006?

Det ble felt ca 35 000 elg i 2006. Dette kan du finne ved å legge sammen antall felte elg i hver

gruppe. I diagrammet ovenfor ser vi at antall felte kalver er ca 11 000, antall felte 1 ½-åringer er

også ca 11 000 og det resterende antallet er ca 13 000 dyr. Til sammen blir det 35 000 dyr.

Dette kan du også se ut fra diagrammet i oppgave a)

Statistikk Vg2P

13

Ulike dataframstillinger – ulike inntrykk 2.13

Ved en skole har en gruppe elever kartlagt hvor mange gutter og hvor mange jenter ved skolen som

røyker. De presenterer tallene i tabellen under.

Jenter Gutter Sum

Røyker 77 85 162

Røyker ikke 263 325 588

Sum 340 410 750

a) Presenter resultatene i tabellen i et egnet diagram.

b) Presenter resultatene i tabellen som prosentandeler i et egnet diagram.

Røyker ikke

Røyker

Røyker ikke

Røyker

Statistikk Vg2P

14

2.14

a) Lag en tabell som viser antall scoringer per kamp i siste serierunde i tippeligaen.

Løsningen viser antall mål per kamp i nest siste serierunde (runde 29) i tippeligaen 2009.

Antall mål per kamp

0 1 2 3 4 5

Antall kamper 0 0 1 4 2 1

b) Presenter resultatet i et egnet diagram.

An

tall

mål

pe

r ka

mp

Antall kamper

Antall mål per kamp i tippeligaens runde 29

Statistikk Vg2P

15

Modul 3: Sentralmål 3.1

Tabellen viser antall drepte i trafikken i Norge i perioden 2001 til 2008.

År 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Antall drepte 275 310 280 257 224 242 233 255

a) Hvor mange er blitt drept i trafikken på disse 8 årene?

Antall drepte i perioden 2001 til 2008 er 2 076 personer.

b) Finn gjennomsnittlig antall drepte i trafikken i perioden 2001 til 2008.

Gjennomsnittlig antall drepte i trafikken er:

275 310 280 257 224 242 233 255

260 personer8

c) Finn medianen.

Sorterer i stigende rekkefølge.

Antall drepte 224 233 242 255 257 275 280 310

Medianen blir 255 257

2562

3.2

Tabellen viser utslipp av CO2 til luft i perioden 1998 til 2008.

År 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

CO2 i millioner tonn

41,2 42,0 41,6 43,0 42,0 43,3 43,9 42,9 43,3 45,0 44,2

a) Hvilket år ble det sluppet ut mest CO2 til luft?

I 2007 ble det sluppet ut 45,0 millioner tonn. Dette var det største utslippet i denne perioden.

b) Finn gjennomsnittlige utslipp av CO2 i perioden 1998 til 2008.

Gjennomsnittlige utslipp av CO2

41,2 42,0 41,6 43,0 42,0 43,3 43,9 42,9 43,3 45,0 44,2

42,9 millioner tonn11

c) Finn medianen.

Sorterer i stigende rekkefølge.

Medianen blir 43,0

CO2 i millioner tonn

41,2 41,6 42,0 42,0 42,9 43,0 43,3 43,3 43,9 44,2 45,0

Statistikk Vg2P

16

3.3

Tabellen viser karakterfordelingen i matematikk i en klasse på videregående skole.

a) Hva er typetallet?

Typetallet er 3.

b) Finn medianen.

Antall elever i klassen er 25.

Finner mediannummer:

25 1 26

132 2

Av tabellen ser vi at karakter nummer 13 må være

en 3-er når karakterene er sortert i stigende

rekkefølge.

Medianen er 3.

c) Finn gjennomsnittet.

Gjennomsnittskarakteren er: 2 1 5 2 8 3 6 4 3 5 1 6 81

3,24 3,225 25

d) Finn relativ frekvens for de ulike karakterene.

e) Multipliser den relative frekvensen for en karakter med tilhørende karakter.

Se tabellen ovenfor.

f) Legg sammen svarene du fikk i oppgave e). Hva oppdager du?

Relativ frekvens multiplisert med karakter gir gjennomsnittskarakteren.

Karakter 1 2 3 4 5 6

Antall elever 2 5 8 6 3 1

Karakter Frekvens Kumulativ

frekvens

1 2 2

2 5 7

3 8 15

4 6 21

5 3 24

6 1 25

Karakter Frekvens Kumulativ

frekvens

Relativ

frekvens

Relativ frekvens

multiplisert med karakter

1 2 2 0,08 0,08 1 0,08

2 5 7 0,20 0,20 2 0,40

3 8 15 0,32 0,32 3 0,96

4 6 21 0,24 0,24 4 0,96

5 3 24 0,12 0,12 5 0,60

6 1 25 0,04 0,04 6 0,24

Sum 25 1,00 3,24

Statistikk Vg2P

17

Modul 4: Spredningsmål 4.1

Standpunktkarakterene i matematikk til elevene i en klasse er gitt i tabellen.

Elev nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Standpunktkarakter 5 4 2 2 3 5 1 2 5 3 5 5 6 2 2

a) Finn typetall, median og gjennomsnitt.

Sorterer karakterene i en tabell.

Typetallet er karakteren 2 og karakteren 5.

Medianen finner vi på plass nummer

15 1

82

Når elevene er sortert i stigende rekkefølge, vil elev

nummer 8 ha karakteren 3.

1 2 2 2 2 2 3 3 4 5 5 5 5 5 6

Medianen er 3.

Gjennomsnittskarakteren er 1 1 5 2 2 3 1 4 5 5 1 6

3,515

b) Foreta en vurdering av sentralmålene du fant i oppgave a). Hvilket av sentralmålene synes du sier

mest om karakterene i klassen? Argumenter for svaret ditt.

Typetallet forteller hva de fleste elevene i klassen fikk i standpunktkarakter. Dette sentralmålet

forteller best hva den enkelte elev fikk i karakter.

Medianen og gjennomsnittsverdien viser mer hvilket nivå klassen som helhet ligger på.

c) Finn variasjonsbredde og kvartilsbredden i karakterfordelingen ovenfor.

Variasjonsbredden er 6 1 5

Nedre kvartil er karakteren 2 og øvre kvartil er karakteren 5

1 2 2 2 2 2 3 3 4 5 5 5 5 5 6

Kvartilsbredden er 5 2 3

d) Bruk digitalt hjelpemiddel og finn standardavviket.

Legger karakterene i en liste i GeoGebra, og bruker kommandoen standardavvik

Standardavviket er 1,54

Karakter Frekvens Kumulativ

frekvens

1 1 1

2 5 6

3 2 8

4 1 9

5 5 14

6 1 15

Sum 15

Statistikk Vg2P

18

4.2

Olav fisker hummer. Tabellen viser hvor mange hummer Olav fikk på de første 15 trekkene.

Trekk nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Antall hummer 4 3 3 2 1 1 4 2 1 3 0 2 2 1 1

a) Hvor mange hummer fikk Olav på de 15 første

trekkene?

Olav fikk 30 hummer til sammen på disse 15

trekkene.

b) Finn median, typetall og gjennomsnitt.

Systematiserer hummerfangsten i en tabell.

Typetallet er 1.

Medianen finner vi på plass nummer

15 1

82

Ved å bruke kumulativ frekvens

ser vi at plass nummer 8 gir

medianen 2.

Gjennomsnittsfangst per trekk

er 2 hummer

c) Finn varians og standardavvik

for hånd.

Se tabellen.

Antall

hummer

Frekvens Kumulativ

frekvens

0 1 1

1 5 6

2 4 10

3 3 13

4 2 15

Sum 15

Antall hummer Frekvens

x f x f 2

x x f

0 1 0 2

0 2 1 4

1 5 5 2

1 2 5 5

2 4 8 2

2 2 4 0

3 3 9 2

3 2 3 3

4 2 8 2

4 2 2 8

Sum 15 30 20

Gjennomsnitt: 30

215

x

Varians: 20

1,3315

Standardavvik 1,33

Statistikk Vg2P

19

d) Finn varians og standardavvik ved å bruke et digitalt hjelpemiddel.

Legger hummerfangstene i en liste i GeoGebra og bruker kommandoen standardavvik og varians.

Finner at variansen er 1,33 og standardavviket er 1,15.

Statistikk Vg2P

20

Modul 5: Gruppert datamateriale 5.1

Ved en skole ble høyden til alle elevene på VG2 målt. Resultatet er presentert i tabellen.

Høyde til elevene

Høyde i cm Frekvens

150,160 6

160,165 21

165,170 60

170,175 73

175,180 64

180,185 67

185,190 24

190,200 8

Sum 323

Du skal tegne et histogram som viser resultatene.

a) Finn søylehøyden i hvert intervall.

Høyde til elevene

Høyde i cm Frekvens Klassebredde

Histogramhøyde

frekvens

klassebredde

150,160 6 10 0,6

160,165 21 5 4,2

165,170 60 5 12

170,175 73 5 14,6

175,180 64 5 12,8

180,185 67 5 13,4

185,190 24 5 4,8

190,200 8 10 0,8

Sum 323

b) Presenter resultatet i et histogram.

Statistikk Vg2P

21

5.2

Tabellen viser aldersfordelingen i Norge i 2009.

Alder Antall personer

i tusen

0,25 1 536

25,35 622

35,45 722

45,70 1 422

70,80 287

80,112 220

Kilde: Statistisk sentralbyrå

a) Hvor mange personer bodde det i Norge i 2009?

Antall personer i tusen: 1536 622 722 1422 287 220 4809 .

Det bodde ca 4,8 millioner i Norge i 2009.

Statistikk Vg2P

22

b) Presenter aldersfordelingen i Norge i et histogram.

Finner søylehøydene og tegner histogrammet.

Alder Antall personer i

tusen Klassebredde

Histogramhøyde

frekvens

klassebredde

0,25 1 536 25 61

25,35 622 10 62

35,45 722 10 72

45,70 1 422 25 57

70,80 287 10 29

80,112 220 32 9

Statistikk Vg2P

23

5.3

Statens Veivesen var interessert i å finne ut hvilken fart bilistene holdt på en ny veistrekning. Høyeste

tillatte fart på strekningen var 100 km/t.

Hastigheten ble målt på 20 biler. Målingen viste følgende resultater. Farten er gitt i km/t.

95.5 103.8 101.2 92.0 89.8 101.5 110.0 120.2 104.1 99.2

119.9 103.8 105.0 131.7 95.2 108.4 113.4 114.9 106.3 102.7

a) Lag en frekvenstabell der du grupperer resultatene i følgende grupper:

80,100 , 100,105 , 105,110 , 110,120 , 120,135

b) Presenter resultatene i tabellen i et egnet diagram.

Velger å presentere resultatene i et histogram.

Fart i

km/t Tellekolonne Frekvens Klassebredde

Histogramhøyde

frekvens

klassebredde

80,100 |||| 5 20 0,25

100, 105 |||| || 7 5 1,4

105, 110 ||| 3 5 0,6

110, 120 ||| 3 10 0,3

120, 135 || 2 15 0,13

Statistikk Vg2P

24

c) Finn medianen ved å bruke enkeltmålingene av farten.

Setter opp resultatene i stigende rekkefølge.

89.8 92.0 95,2 95,5 99,2 101.2 101.5 102.7 103.8 103.8

104.1 105.0 106.3 108.4 110.0 113.4 114.9 119.9 120.2 131.7

Medianen er 103.8 km/t 104.1 km/t

103.95 km/t 104,0 km/t2

d) Finn medianen ved å bruke det klassedelte materialet.

Medianen er den midterste observasjonsverdien når alle observasjonsverdiene er sortert i

stigende rekkefølge. I denne oppgaven har vi 20 fartsmålinger. Medianen er gjennomsnittet av

farten til bilist nummer 10 og bilist nummer 11. Legger til en kolonne med kumulativ frekvens i

tabellen. Ser da at både nr 10 og nr 11må ligge i intervallet 100, 105

Bilist nr 10,5 ligger 10,5 5 5,5 plasser fra venstre klassegrense.

Medianen blir:

5

100 5,5 km/t 103,9 km/t7

e) Forklar hvorfor medianverdiene i oppgave c) og d) er ulike.

I oppgave c) bruker vi enkeltmålingene til å finne medianen.

I oppgave d) finner vi i hvilken gruppe medianen ligger. Vi beregner så hvor i gruppen medianen

omtrent må ligge. Ved denne beregningen forutsetter vi at målingene i gruppen fordeler seg

jevnt. Dette blir ikke helt nøyaktig og svarene vil i de fleste tilfeller være ulike.

Fart i

km/t Frekvens

Kumulativ

frekvens

80,100 5 5

100, 105 7 12

105, 110 3 15

110, 120 3 18

120, 135 2 20

Statistikk Vg2P

25

5.4

a) Bruk fartsmålingene i forrige oppgave og finn gjennomsnittsfarten.

Summerer alle fartsobservasjonene og deler på antall observasjoner.

Gjennomsnittsfart 2118,6 km/t

105,9 km/t20

b) Finn gjennomsnittsfarten i det klassedelte materialet i forrige oppgave.

Nedre

klassegrense

Øvre

klassegrense

Klassemidtpunkt

x

Frekvens

f

x f

80 100 90 5 450

100 105 102,5 7 717,5

105 110 107,5 3 322,5

110 120 115 3 345

120 135 127,5 2 255

Sum 20 2090

Gjennomsnittsfart 104,5

Gjennomsnittsfarten er 104,5 km/t

c) Forklar hvorfor svarene i a) og b) er ulike.

I oppgave a) finner vi den nøyaktige gjennomsnittsfarten av de 20 målingene.

I oppgave b) bruker vi klassemidtpunktet og beregner gjennomsnittsfarten ut fra dette. Vi antar

dermed at målingene i hver klasse fordeler seg jevnt, noe som gir en viss unøyaktighet.

Statistikk Vg2P

26

5.5

Tabellen viser aldersfordelingen i Norge i 2009.

Kilde: Statistisk sentralbyrå

a) Finn medianen

Legger til en kolonne med kumulativ

frekvens i tabellen.

Medianplass: 4809 1

24052

Ser at medianen må ligge i intervallet

35,45

Median nr 2405 ligger 2405 2158 247

plasser fra venstre klassegrense.

Medianen blir:

247

35 10 år 38,4 år722

b) Finn gjennomsnittsalderen

Gjennomsnittsalderen er 39,7 år.

c) I følge Statistisk sentralbyrå) er gjennomsnittsalder i den norske befolkningen 39 år per 1. januar

2009. Gi en forklaring på at gjennomsnittsalderen du fant i b) er noe høyere.

I oppgave b) regner vi ut gjennomsnittsalder på grunnlag av klassemidtpunkt. I de øverste

gruppene vil nok klassemidtpunkt gi et galt bilde av den reelle situasjonen. Her vil midtpunktet i

klassen ligge nærmere nedre klassegrense enn øvre – hvorfor?

Alder Antall personer

i tusen

0,25 1 536

25,35 622

35,45 722

45,70 1 422

70,80 287

80,112 220

Alder Antall personer

i tusen Kumulativ frekvens

0,25 1 536 1536

25,35 622 2158

35,45 722 2880

45,70 1 422 4302

70,80 287 4589

80,112 220 4809

Nedre klassegrense

Øvre klassegrense

Klassemidtpunkt

x

Frekvens f

x f

0 25 12,5 1 536 19 200

25 35 30 622 18 660

35 45 40 722 28 880

45 70 57,5 1 422 81 765

70 80 75 287 21 525

80 112 96 220 21 120

Sum 4 809 191 150

Gjennomsnittsalder 39,7

Statistikk Vg2P

27

Eksempeloppgaver fra Udir

Eksempeloppgave 2P, april 2007

En oversikt over årslønnen til de ansatte i en bedrift viste følgende:

Årslønn (i tusen kroner)

Hyppighet

160 - 199 10

200 - 239 12

240 - 279 8

280 - 319 2

320 - 359 5

360 - 399 0

400 - 439 0

440 - 479 0

480 - 519 3

a) Lag et diagram som gir en god framstilling av tallmaterialet ovenfor.

Klassebredden er lik. Et søylediagram vil dermed gi en god framstilling av tallmaterialet.

b) Omtrent hvor stor er gjennomsnittslønnen i denne bedriften?

Gjennomsnittslønnen i bedriften er omtrent 257 500 kr.

Hyp

pig

he

t

Årslønn

Årslønn i tusen

Nedre klassegrense

Øvre klassegrense

Klassemidtpunkt

x

Frekvens f

x f

160 199 179,5 10 1795

200 239 219,5 12 2634

240 279 259,5 8 2076

280 319 299,5 2 599

320 359 339,5 5 1697,5

480 519 499,5 3 1498,5

Sum 40 10300

Gjennomsnittslønn 257,50

Statistikk Vg2P

28

c) Kommenter om du synes at gjennomsnittslønnen er et godt mål for lønnsforholdene i bedriften. Gjennomsnittslønnen er ikke et veldig godt mål for lønnsforholdene i bedriften. Noen få personer i bedriften har en mye høyere lønn enn de andre. Lønnen til disse personene trekker gjennomsnittslønnen opp.

d) Foreslå et annet sentralmål som egner seg godt i dette tilfellet. Bruk tabellen til å finne verdien til dette sentralmålet. Medianen vil egne seg godt i dette tilfellet.

Medianplass: 40 1

20,52

Velger å bruke plass nummer 20.

Ser da at medianen må ligge i intervallet

200 239 .

Median nr 20 ligger 20 10 10 plasser

fra venstre klassegrense.

Medianen blir:

10

200 39 232,512

Medianverdien blir 232 500 kr. Denne verdien gir et mer realistisk bilde av gjennomsnittslønnen i

bedriften.

Årslønn (i tusen kroner)

Hyppighet Kumulativ frekvens

160 - 199 10 10

200 - 239 12 22

240 - 279 8 30

280 - 319 2 32

320 - 359 5 37

360 - 399 0 37

400 - 439 0 37

440 - 479 0 37

480 - 519 3 40

Statistikk Vg2P

29

Eksempeloppgave 2P, desember 2007

Noen skoleelever i Steinkjer ville undersøke hvor mange personer det er i hver bil i trafikken inn til

sentrum om morgenen. De telte antall personer i hver av 30 biler og fikk følgende resultat:

2, 1, 4, 3, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 3, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 1, 1, 4, 4, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4

a) Finn medianen og gjennomsnittet av datamengden. Systematiserer dataene i en tabell. Medianen finner vi på plass nummer

30 1

15,5 152

Ved å bruke kumulativ frekvens ser vi at plass nummer

15 gir medianen 2.

Gjennomsnittlig antall personer i bilene er

1 12 7 2 3 3 6 4 5 22,3

30

b) Framstill dataene i et søylediagram. Hvordan kan du ved å forandre på søylediagrammet gi ulike inntrykk av hvor stor del av bilene som har passasjerer?

Diagrammet viser hvor mange biler som har passasjerer.

An

tall

bile

r

Antall personer i bilen

Antall personer i hver bil

1

2

3

4

5

An

tall

bile

r

Passasjeroversikt

Bil uten passasjer

Bil med passasjer

Antall

personer Frekvens

Kumulativ

frekvens

1 12 12

2 7 19

3 3 22

4 6 28

5 2 30

Sum 30

Statistikk Vg2P

30

c) Hvor stor del av bilene har mer enn 1 passasjer?

11 biler har mer enn 1 passasjer. Det tilsvarer ca 11

100% 37%30

av bilene

Skoleelever i en annen by gjennomførte en tilsvarende undersøkelse. De fikk følgende resultat:

1, 5, 1, 3, 2, 4, 1, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 5, 3, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 4, 3, 2, 1, 5, 2, 3, 1

d) Finn standardavviket både for denne datamengden og for den fra Steinkjer. Det ene standardavviket er større enn det andre. Kunne du på forhånd ha gjettet hvilket som var størst bare ved å se på resultatene av undersøkelsen? Kommenter. Legger inn dataene i liste i GeoGebra og bruker kommandoen standardavvik. Standardavvik til skolen i Steinkjer er 1,35. Standardavvik til skolen i den andre byen er 1,31. Systematiserer dataen i den andre byen i en tabell for å få en oversikt.

Standardavvikene i de to undersøkelsene er nesten like. Antall personer i bilene i den andre byen sprer seg litt jevnere enn personene i bilene i Steinkjer. Ut fra denne betraktningen kunne enn ha gjettet at standardavviket (mål for spredning) var større i undersøkelsen som ble foretatt i Steinkjer enn undersøkelsen i den andre byen.

Antall

personer Frekvens

Kumulativ

frekvens

1 8 8

2 8 16

3 6 22

4 5 27

5 3 30

Sum 30