statistique descri

8/4/2019 statistique descri

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Technicien Spcialis en Commerce


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SOMMAIRE

Gnralits :................................................................................................................................ 2

I. Dfinitions :.................................................................................................................... 2II. Apport de la statistique aux conomistes : ..................................................................... 2III. Les limites de la mthode statistique : ........................................................................... 2IV. Le vocabulaire utilis en statistique : ............................................................................. 3V. Quelques symboles mathmatiques utiliss : ................................................................. 5

Chapitre I : La reprsentation graphique .................................................................................... 6I. Le diagramme en btons : .............................................................................................. 6

II. Le tuyau dorgue : .......................................................................................................... 6III. Le diagramme :............................................................................................................... 7IV. Le polygone des frquences : ......................................................................................... 7V. La courbe cumulation (courbe des f cumuls) : ............................................................. 8VI. Le diagramme polaire : .................................................................................................. 9VII. Les graphiques secteurs :........................................................................................... 11

Chapitre II : LES PRANCIPALES CARACTERISTIQUES DUN SERIE ........................... 12INTRODUCTION.................................................................................................................... 12SECTION 1 .............................................................................................................................. 12

I. LES MOYENNES....................................................................................................... 12II. La mdiane (Me) .......................................................................................................... 23

III. Le Mode : ................................................................................................................. 25IV. Le choix dune caractristique de tendance centrale :.............................................. 27

SECTION 2 .............................................................................................................................. 28I. Lintervalle de variation ou ltendue : ........................................................................ 28II. Lintervalle inter quartile : ........................................................................................... 29III. Lcart absolu moyen : ............................................................................................. 31

SECTION III ............................................................................................................................ 33I. La dtermination algbrique de la concentration ......................................................... 33II. La dtermination graphique de la concentration la courbe de Lorentz GINI............... 35

Chapitre III :Les Sries double entres : Rgression Linaire (Corrlation) ........................ 37I- notion de tableau de contingence : ............................................................................... 37II- gnralisation du tableau de contingences : ................................................................. 38

III- La rgression linaire ................................................................................................... 39IV- la corrlation linaire :.................................................................................................. 43

Chapitre IV : Analyse des sries chronologiques..................................................................... 47I Gnralits : .................................................................................................................... 47II lanalyse de la tendance longue : trend .................................................................... 48

CHAPITRE V :Populations et chantillons, recensements et sondages .................................. 49I. Quelques termes de base : ............................................................................................ 49II. Exemples: ........................................................................................................ 50III. tapes d'une enqute statistique : .................................................................... 50

EXERCICES ............................................................................................................................ 52


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STATISTIQUE DESCRIPTIVE

GENERALITES :

I. Dfinitions :

Statistique descriptive

On appelle statistique la mthode scientifique qui vise observer, collecter,analyser des donnes quantitatives. La statistique descriptive est la partie de la statistique qui sert dcrire unphnomne, c--d de mesurer, classer les mesures, prsenter ces mesures parquelques indicateurs de manire donner une ide simple et rapide dun phnomnetudi.Les statistiques se sont des donnes chiffres relatives un phnomne tudi.EX : des statistiques du chmage.

II. Apport de la statistique aux conomistes :

La statistique est un outil indispensable tant aux thoriciens qu aux praticiens deconomie.1. La statistique est utile aux thoriciens : Elle permet de mettre en vidence (rvler) lexistence dinterdpendance entrediffrents phnomnes conomiques. EX : M=P*T Elle permet de tester la validit dune hypothse thorique.

Investissement = f (revenu) =0.76R+124Consomm

Revenu thsaurisEpargn

Investi

2. La statistique est utile aux praticiens de lconomie : La statistique permet aux entrepreneurs de mieux contrler la gestion de leursentreprises. Elle permet galement au pouvoir public de mieux dfinir leurs politiquesconomique, fiscale, montaire et demploi.

III. Les limites de la mthode statistique :Pour viter des erreurs dinterprtation due une mauvaise utilisation statistique, il

faut savoir :1. La statistique sintresse au grand nombre, elle ignore les cas particuliers.2. La rsultante dun grand nombre dinformations peut tre diffrente de lasommation de ces diffrentes informations.

*comportement collectif # sommation des comportements individuels3. Quand on tudie un phnomne on nest jamais certain que lon dispose detoues les informations le concernant.

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4. Il ne faut pas oublier que la statistique nest quun outil au service deconomiste, ce qui nous oblige de ne jamais, oublier de faire une analyseconomique des rsultats. Les mmes causes # les mmes effets. Les corrlations mmes trs parfaites ne signifient pas toujoursquil y a interdpendance entre les phnomnes tudis.

IV. Le vocabulaire utilis en statistique :

1. Population statistique:

Ensemble sur lequel porte ltudeEx : Age des tudiants de 1reanne : lensemble tudi cest lge.

2. Unit statistique :Une population se compose dlments chaque lment est appelunit statistique.EX : la population dtudiants : lunit statistique est un tudiant.

3. Caractre statistique :

est le critre retenu pour tudier une populationContinu

Il peut tre quantitatif discontinu, discretQualitatif

9 Un caractre est dit quantitatif lorsquil est mesurable Continu : cest un caractre qui peut prendre toutes les valeursun intervalle donn.

EX : ge

Discontinu : cest un caractre qui ne peut prendre que quelquesvaleurs dans un intervalle donn

EX : le nombre des frres, Mnage

9 Un caractre est dit qualitatif lorsquil nest pas mesurableEX : la nationalit, les catgories sociales professionnelles.

4. Modalit statistique : de caractre :

On appelle une modalit les diffrentes situations possibles dun caractre.EX : caractre sexe : modalits possibles : M/FCaractre tat matrimonial : 4 modalits possibles :

clibataire/mari/divorc/veuf.

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5. Effectifs(frquences absolues) :

est le nombre dunits statistiques relatif une modalit donne :45Age Effectifs17-1818-1919-20

20035050

Effectifs total 600

6. Frquence relative:est la part des effectifs dune modalit.

EX : 200/600=33/100 est la frquence relative de premire modalit

7. Srie statistique :

Distribution de frquences, distribution de statistiques ou tableau statistique,est un tableau qui nous donne lensemble des valeurs mesurant le caractre.

EX :sexe EffectifsMasc.Fm.

200100

Nombreenfants

Arbre demnages

total 300 2 183 28

Salaires (dh) Effectifs 4 10[40-60[ 10 5 4[60-70[ 25[70-80[ 05

total 60

total 40

Srie avec des classes.

8. Classes :

Srie simple.

On appelle classe un groupement de valeurs du caractre selon des intervallesqui peuvent tre gaux ou ingaux.

Pour chaque classe on peut dfinir : Une limite infrieure Une limite suprieure Intervalle de classe (amplitude)= limite (sup)- limite (inf) Centre de classe = [limite (sup) + limite (inf)]/2

NB : [40-60[ signifie quon comptabilise les salaris qui gagnent entre 40 et 60DH,en incluant ceux qui gagnent 40 DH et excluant ceux qui gagnent 60Dh.

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V. Quelque symboles mathmatiques utiliss :

1. Les valeurs du caractre = x1, x2,, xi,, xn

Notes Nbre dtudiants1x 10 x12x 25 x23x 12 x34x 4 x4

2. Les effectifs sont symboliss par : x1, x2, xi, xnx1, x2, xi, xn= N =effectif total

3. Frquence relative :

Fi = effectif de la modalit i / effectif total

4. oprateur somme ( )

Notation : n variablesn

x1+ x2+ xi.+ xn=xii=1

Proprits :

n n

axi = axii=1

n

i=1

n

a + xi =axi = n a.

i

+ xii=1

5. opration de produit : ( )

Notation : le produit de x variable s crit :nX1.x2.x3.xn = xi

i=1

Proprit :

nn n

a = a n axi = a n xii=1 i=1 i=1

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CHAPITRE I : LA REPRESENTATION GRAPHIQUE

intrt dun graphique cest de synthtiser des informations statistiques dunemanir image, cest dire globale.

I. Le diagramme en btons :On sen sert pour reprsenter des sries caractre discret.

CordonnNombre denfants Nombre de mnage0 251 422 383 154 65

40 .30 .20 .

10 .. . . . . . .Les valeurs de

0 1 2 3 4 5 6 caractre

AbscisseTotal 128

II. Le tuyau dorgue :

On se sert de ce graphique pour reprsenter des sries caractre qualitatifEX : La population une station balnaire est compose de :Allemands : 45%Franais : 30%Espagnoles : 15%Autres : 10%

50 %

45 %

40 %S rie 1

35 %

30 %

25 %

20 %

15 %

10 %

5 %

0 %

A lle m a n d s F ra n a is E sp a gn o le s A utr es

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III. Le diagramme :Il permet de reprsenter des sries de caractres ou les observations sont

regroupes en classe.a. Cas ou les intervalles de classe sont gaux :50%

45%

40%

35%

30%

AllemandsFranaisEspagnolesAutres

25%

20%

15%

10%

5%

0%1

Remarque :1) Lorsque une des limites de classe nest pas prcise dans un tableau ilconvient de prendre comme intervalle de classe le mme que celui de la classesuivante ou prcdente.2) La surface des rectangles est proportionnelle leur effectif.

b. Cas ou les intervalles de classe ne sont pas gaux :

EX : Rpartition de population selon leurs salaires.

25

Srie1

20

15

10

5

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Pour tracer lhistogramme, on commence par corriger les effectifs.

IV. Le polygone des frquences :Il permet de donner une image plus lisse du phnomne que lhistogramme. On

obtient en joignant les milieux des sommes des rectangles de lhistogramme.

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. . . . . . . .0 10 20 30 40 50 60

Remarque :1) La surface sous le polygone = la surface de lhistogramme.2) Lorsquil y a un trs grand nombre de classe, lintervalle de classe devient deplus en plus petit et le polygone de frquences se transforme en cours de frquence.

Courbe de frquences

V. La courbe de cumulation (courbe des f cumuls) :

Elle permet de connatre le nombre dobservations suprieures ou infrieures unevaleur donne.Les 2 types de courbes de cumulation : Courbe cumulative croissante : permet de connatre le nombreobservations infrieures une valeur donne. Courbe cumulative dcroissante : il permet de connatre le nombreobservations suprieures une valeur donne.

a) Cas dune variable continue :

Salaire xi Xi cumuls Xi cumuls

[10-20[ 9 9 65[20-30[ 13 22 56[30-40[ 22 44 43[40-50[ 10 54 21[50-60[ 7 61 11[60-70[ 4 65 4Total 65 Moins de la borne

suprieurePlus de laborneinfrieure

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Remarque :On obtiendrait le mme graphique si on remplace les frquences absolues par lesfrquences relatives (les pourcentages)Courbe cumule dcroissante

Courbe cumule croissante70

60

50

40

30

20

10

0

1 2 3 4 5 6 7

b) Cas dune variable discrte (discontinue)

NB denfants (xi) NB de mnage Xi cumuls Xi cumuls1 5 5 652 10 15 603 30 45 504 20 65 20Total 65 =xi

Xi

65402010

Xi0 1 2 3 4 5

VI. Le diagramme polaire :On lutilise pour reprsenter des sries chronologiques cest dire des sries ou

les observations seront des temps rguliers.

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a) Les principes des coordonnes polaires : un point M dans lespace estparfaitement repr : Si on connat ses coordonnes cartsiennes (x, y). Si on connat ses coordonnes polaires (e, o).

Y Me

OX

b) Le diagramme polaire :

Soit la srie chronologique suivante : chiffre daffaire mensuel

Anne 1999 2000

Janvier 55 65Fvrier 53 75Mars 65 72Avril 50 40Mai 43 42Juin 41 38Juillet 35 32Aot 30 34Septembre 34 38Octobre 40 40Novembre 45 33dcembre 55 45

ide est de prsenter chaque mois par unaxe, nous aurons donc 12 axes, chaque axefaisant avec son voisin un angle.

Avr.

30 .20 .10 .

Juillet . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Jan

80 70 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 8010 .20 .30.

Oct.

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VII. Les graphiques secteurs :

On les utilise pour reprsenter une srie exprime en pourcentages.EX : Pourcentage de touristes.

FR

All

EspAutres

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CHAPITRE II : LES PRANCIPALES CARACTERISTIQUESUN SERIE

INTRODUCTION

image.

Avec la reprsentation graphique nous avons vu comment synthtiser une srie avec

Dans ce chapitre nous allons voir comment synthtiser une s rie par quelques chiffres.

Ces nombres sont appels caractristiques dune srie.

Soit les srie suivantes :

Serie1 : 78-79-80-83Srie2 : 60-70-80-90-100

Srie3 : 1-1-1-1-396

Les sries ont toutes la moyenne 80 mme si elles sont trs diffrentes les unes que les autres.Les valeurs de la 1re srie sont proches de la moyenne alors que celles de la 3me sontloignes de la moyenne.

Il y a donc ncessit, pour rsumer une srie de donnes de la prsenter en 2 types decaractristiques :

- les caractristiques de valeurs centrales.

- les caractristiques de dispersion.

SECTION 1 : Les Caractristiques de Valeur Centrale :

I. LES MOYENNES

A- La moyenne arithmtique :

A-1 Dfinition

Etant donne n observations quon va appeler X1,X2 ,X3,Xi,Xn onappelle une moyenne arithmtique simple le nombre

Somme de toutes les observations

= Le nombre dobservations

=x1 + x2 + ....... + xi + ......+ xn

n

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n

xi: = i =n : Une moyenne arithmtique simple

n

Lorsque les observations sont groupes c'est--dire que lon observe

N1 fois X1N2 fois X2

La moyenne arithmtique scrit :

=x1 + x1 + ..... + x2 + x2 + ......

n1 + n2 + .... + nn

e

n

nixi Une moyenne arithmtique pondre

= i =nnnii =1

A-2 Application

Exercice1 : soit la srie de notes suivante : 2-6-12-10-12-10-10-6

=2 + 6 + 12 + 10 + 12 + 10 + 10 + 6

=68

8 8

= 8 5,

Exercice2 : soit la srie des notes de lexercice qui peut tre prsente de lamanire suivante :

Notes xi Effectifs ni ni xi

=68

= 8 5,8n

nixi

2 1 26 2 1210 3 30

= i =112 2 24

ni total 8 68

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Exercice3 : soit les srie suivante :rpartition selon lage

age Ni Centre declasse xi

ni xi

=3155

= 35

85,88

Annes

[20 [25 8[25 [30 10[30 [35 20[35 [40 25

22,527,532,537,5

180275650937,5

Moyenne de lage ou lage moyen[40 [45 15[45 [50 10

42,547,5

637,5475

TOTAL 88 3155

a-3 Mthode des simplifications des calculs

Lorsque les calculs sont compliqus, on peut les simplifier en prcdant unchangement de variable

Par changement dchelle : Tout variable Xi peut scrire : Xi= a Xi

a= nouvelle chelle Xi= nouvelle variable

ExXi a * Xi Xi a * Xi

24 = 1 * 24 24 = 6 * 4

36 = 1 * 36 36 = 6 * 6

a=1 a = 6 i = 4Xi = Xi a =6 i = 6

par changement dorigine et dchelle : tout variable Xi peut s crire

'x +i = x0 axi

X0 = nouvelle origine a : n.chelle i : n. variable

Ex :Xi X0 a Xi

14 = 4 + 2 * 5

22 = 4 + 2 * 9

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Si on pose x =x + ax ' x ' =xi x0

0i i ia

La moyenne arithmtique :

=n

ix

i

ni

( )+ '

=ni x0 axi

ni

= +

'0x ni a nixi

=x0

ni

+ a

'nixi

ni

= x a+ ' 'iavec

i =

'nix

i

0

X0= n originea: n chelle'x : n variable

i

n i

' =x +

0 a xi

On utilise cette relation pour simplifier les calculs de la manire suivanteOn prend pour X0 la valeur de caractre la plus frquenteOn prend a lintervalle des classes lorsque les classes sont gaux

Application :

Calculez la moyenne avecAge effictifs xi xi= (xi- x0)/a ni*xi

changement du variablex0 = 37,5 cest le centre declasse modalea= 5i =( xi - x0)/5

20-25 825-30 1030-35 2035-40 2540-45 1545-50 10

22,5 -327,5 -232,5 -137,5 042,5 147,5 2

-24-20-2001520

=

'n

' ix

i

total 88 -29

i

n


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i

= 37,5+5(-29/88)=35,8 ans

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a-4 calcul de la moyenne arithmtique laide des frquences relatives

=n

ix

i=

n x

n+ x + ...... + nixi + nnxn

ni 11 2 2 ni

=nixi +

n2x2 + ......... +nnxn

ni ni ni= fixi + f2x2 + ........ + fnxn

ni: frquence relative

ni xi Ni fi fixi

o : = f1x1 +f2x2 +.+fnxn

= fixi

10 511 812 1013 1214 5

0,1250,200,250,300,125

1,251,62,53,60,75

=12,7

B- La moyenne gomtrique :

b-1 Dfinition

40 12,7

tant donne n observations connues individuellement (x1,x2,x3,,,,,,,,,,, xn)on appelle moyenne gomtrique simple de ces n observations la grandeur G t.p :

G= n X .1X.....2

Xn = (X .1X....2

Xn) 1/n

1i =n n

G = xii 1=b-2 calcul de G

lorsque les observations sont groupes ; chaque pondr Xi sera pondrpar leffectif correspondant, la moyenne gomtrique scrit :

G = n X .1X .1X1*X .2X .2X2 *X3 *X3X3

G= X1n .1 X2 n2.X3n3....Xn .nnn

N= n1+n2 +..+nn

calculer G est plus facile en passant par le logarithme, en effet.


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G= n X .1X....2

Xn = ()X .1X .2X .....3

Xn1/n

log G = 1/n log (X1.X2..Xn)

= 1/n [ ]log X1 + log X2..... + logXn

logXiLog G=

Ni

La moyenne gomtrique pondre

=G n n1x1n2.x2 n

n

........xn

=G ()nx

1 .1

x n2 .......2

1

x nn nn

logG ()x1 log

.n xn x........n

(xlo

g n1

x. n2x.....n

)n

1=1

2

n2

2

n= 1 nxn n x n n

1log. +1 2 log 2 + +...... n=

n

log G = n i

log x i

n i

Application : calculer la xi ni log xi ni log ximoyenne gomtrique

log G =7 31 6,

= 0 9145,

2 16 210 312 2

0,3010,77211,158

0,3011,5563,02,158

8 G = 100,9145 = ,8 2


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Total 8 7,316

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C- la moyenne harmonique :

c-1 Dfinitiontant donne n observations connues individuellement x1,x2,x3..xn

on appelle moyenne hormique le nombre H tel que :

1

=1 x1

H

+1

+ ......+x2

n

1xn

=

1xi

n

H =n

1

xi

moyenne harmonique simple.

Si les observations sont groupes la moyenne harmonique scrit :

1 x .1x

x+ . 1x

+ ..... + nn . 1 ni 1

1 2

1= 2

xn =xi

M n1 + n2 +n...... n

nini

=H

Moyenne harmonique pondre ni

1

xi

xi ni 1/ xi ni.1/ xi

c-2 Application

2 16 210 312 2

0,50,1660,10,083

0,50,3320,20,166

1=

xi

H ni

total 8 1,298

1x

=,1 298i8

H =8

= 6 16,,1 298

c-3 Remarque

1 ni1xi ni .Xi 1

=H ni

=ni

avecXi =xi

inverse de la moyenne = moyenne des inverses


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D -La moyenne quadratique :

Dfinition : Etant donn n observations connues individuellement X1 ;X2 ;..xn

2

Q =x x+

2 + 2+ x

n Q=

ix

2

12 2 ..... 2

n n

Q =xi

2

mn

oyenne quadratique simple

si les observations sont groupes, la moyenne quadratique scrit :22 2

Q 2 =n1.x1

+ n2.x

2+ ...... + n

n.x

n

n1

+ n2 + ......+ nn

2Q =

Q =2n

i .xi

2ni .xi moyenne quadratique pondre

n i n i

Application:

xi Ni Xi Ni. Xi

2 = =2

=Q

in .x

i

ni

664838 2 1

6 2

10 3

436

100

472

300Q = 83 = 9 1. 12 2 144 288

2

total 8 664

Q2 =in .x

i

in= in .Xi avecX in

i

=x2i

Carr de la moyenne = la moyenne des carrs


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Gnralisation de la notion moyennes :

d.1- moyenne dordre r

on appelle moyenne dordre r la quantit Mr tel que :

1rr r n

M =x1 + x2 + ........ + xn

r n

rr r

rM =x1

r

+ x2 + .... +xnn

M1 = 1x + x

2+ x

3+ ....... + x

n M1Si r= 1 1 1 = n

22 2

si r= 2M2 = x1 + x2 + .......+ xn M2 = Q 2 M = Qn2 2 2

si r= -11

M1 =x1

1

1+ x21+ ...... + x

n 1 =H1 =1

M1 =H

si r= 0.

n

M 0 = G

M1 H

d.2- le classement des moyennes : les ingalits entre les moyennes :

On dmontre que les moyennes sordonnent selon la valeur de r c--dque si : 1r < r2 M

1r

2me quartile Q2= Me 50% < 50%>3m quartile Q3= 75%< 25%>

B- Dfinition inter quartile :

On appelle inter quartile : Q3 Q1 diffrence entre 1r quartile

et 3me quartile.

N.B : Intervalle Inter quartile contient 50% des observations

C- Application :

N= 82Rang : 82/4 =20 ,5Classe : [15-20]

Interpolation : 15+

Salaires Effectifs

10-15 9

15-20 25

20-25 32

25-30 16

Total 82

Ecart I. Inter quartile

Q3 Q1

=24,3 - 17,3

= 7DH

Ni Cum

9

34

66

82

Interprtation : Si 25 individus Augmentation de 5 DH

Si 01 Individu Augmentation 5/25 DH

(20,5 - 9) = 11,5 5/25 * 11,5

Donc Q1 = 15 + 5/25 *11,5 = 17,3 DH

2me Mthode :

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Calcul de Q3

Rang : 82*3/4 =61,5

Classe = [20-25]

Interpolation : si 32 individus augmentation de 5 DH

01 Individu Augmentation de 5/32

(61,5 34) = 27,5 individus Augmentation 5/32 *27,5

Donc Q3 = 20+ [(5/32) *27,5]

Signification : 24,3dh cest le salaire tel que 75% gagnent plus de 24,3 et 25%

gagnent moins de 24,3 DH.

Inter. Inter quartile : 7 DH = Q3-Q1

Signification : pour 50% des effectifs lcart Maximu m de salaire est de 7 DH

D Remarque :

1- Les dciles : valeur du caractre que 10 % d es observations ont une valeur qui

est infrieure D1 et 90% des observations ont une valeur qui est suprieure

D1.

On appelle 9 me dcile de 9 la valeur du caractre tel que 90% des observations

lui sont infrieures, et 10% des observations lui sont suprieures. Lintervalleinter dcile D9 - D1 contient 80% des observations

2- Les percentiles :On appelle percentiles P1 la valeur du caractre telle que un pourcent (1%) des

observations ont une valeur infrieure P1 et 98% ont une valeur suprieure

P1.

Pour le statisticien KELLY pour supprimer les valeurs aberrantes il suffit de

calculer lintervalle inter percentile P93 P07 qui contient 86% des observations.

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cart absolu moyen :

A- Dfinition : On appelle cart absolu moyen que lon dsigne par la

moyenne arithmtique des carts absolus entre les valeurs du caractre et

la moyenne arithmtique.

_

Ca= ni xi x / ni

B- Application : soit le tableau suivant :

Poids ni xi ni * xi _ _xi x ni xi x

55-60 1260-65 17

65-70 3670-75 2475-80 11

57,562,5

67,572,577,5

6901062,50

24301740

852,50

10,255,25

0,254,759,75

12389,25

9114

107,25100 6775 442,5

Ca= 442.5 / 100 = 4.42 Kg = 67.75 Kg

Signification : Ca = 4.42 Kg signifie quen moyenne, chaque individu

sloigne de la moyenne (67.75 Kg) de 4.42 Kg.

Remarque : Pour dire si une dispersion est grande ou non, pour comparerdeux sries entre elles, on se sert de lindice de dispersion relatif = Ca / X *100

Exemple :

Poids de filles Poids des garons

=52 Kg =68 Kg

Ca= 2 Kg Ca = 17 Kg

2/52 *100= 3.8% 17/68 * 100 = 25%

Dispersion Faible dispersion plus importante

IV- La variance et lcart type :A- Dfinition :

On appelle une variance la moyenne arithmtique des carrs des carts entre les

valeurs du caractre et la moyenne arithmtique.

2 =ni(xi x) 2 / ni

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On appelle cart-type (ou cart quadratique moyen) la racine carr de 62

_

= ni(xi x) 2/ ni

B- Application :

Le mme tableau prcdent

(xi- )2 ni*(xi- )2

105,062527,5625

0,0625

22,5625

95,0625

1260,75468,5625

2,25

541,50

1045,6875

3318,75_

= ni(xi x) 2/

ni = 3318.75/100 =5.76

Signification : En moyenne chaque individu scarte du poids moyen

(67.5 kg) de 5.76 kg.

C- Remarque :

Si on veut savoir la valeur de dispersion on u tilise le cfficient de

variation = /

Ex :

=67.75 Kg / =(5.76/67.75) *100= 8.5%

Ex 2 :Soient 2 modles dampoules lectrique dont on a relev les dures devie.

Modle 1 : Dure de vie moyenne 1400 H.

Modle 1 : D ure cart-type =100 H

Modle 2 : Dure de vie moyenne 1800 H.

Modle 2 : D ure cart-type = 250 H

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Modle I Modle II

6/ =100/1400 = 7% 250/1800 *100 = 14%

Le modle I est plus faible que le modle II

Formule dveloppe :Donc = ni xi2 x 2

ni

Poids ni xi xi2 ni * xi2

55-60 1260-65 1765-70 3670-75 2475-80 11

57,562,567,572,577,5

330625390625455625525625600625

3967566406,25164025126150

66068,75

100 462325 2 = 462325 - (67.75)2 33.19100

= 3319.

=5.76

SECTION III : Les Caractristiques de Concentration

La concentration ne sapplique qu des sries statistiques ou la concentration

de la variable a un sens

EX : on peut parler de la concentration de revenus, concentration foncire

Autres EX : on ne peut pas parler de concentration dge

On peut dterminer la concentration soit algbriquement soit graphiquement

I. La dtermination algbrique de la concentrationCette dtermination ncessite la connaissance de la mdiale Notion de la mdiale (Ml)

A- La mdiale

Si dans une srie on dsigne par xi la valeur du caractre, par ni les effectifs, lamdiale est la valeur du caractre qui partage en deux parties gales le produitcumul de ni xi.Si xi dsigne un salaireNi dsigne le nombre de salaris

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Le produit cumul des ni xi reprsente la totalit des salaires Verss

Cest--dire la masse salariale.

nixi

La mdiale, cest le salaire tel que la moiti de la masse salariale a servi payerune partie qui touche moins de cette Mdiale et lautre moiti de la masse s a servi payer les gens qui touchent plus de cette Mdiale.

B- Mesure de la concentration

M sert mesurer la diffrence entre ML et ME :M=ML ME* SiM = 0 cela veut dire que ML =ME

C'est--dire lindividu qui est au milieu leffectif est en mmetemps celui qui est plac tel que la moiti de la masse salariale a tverse des gens qui touchent moins que lui, et lautre moiti des gensqui reoivent plus que lui, on a donc une distribution galitaireconcentration est nulle

* Si m 0 cela indique quil y a une concentration* Si m est faible par rapport lintervalle de variation la concentration estfaible* Si m est important, la concentration est forte

Inter variation

C- application

salaire ni xi nixi nixi10-15 8 12.5 112.5 112.515-20 25 17.5 437.5 550

20-25 32 22.5 720 127025-30 16 27.5 440 1710total 82 1710

M= ML MECalcule de la ML :Rang = 1710/2=855Classe [20.25]Interpolation linaire

720 5dh1dh 5/720dh

(855-550) =3055 5/720*305dh

Donc ML= 20+5/720*350

}ML = 22.12dh M = ML - ME

= 22 ,12 - 21,091dh

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M/inter varia = 1/20=5% concentration faibleLintervalle de variationtant gale : (30-10)=20

Signification ML = 22.12 dh

est le salaire tel que la moiti de la masse salariale a servi payer desgens qui gagnent moins que 22.12 dh et lautre moiti de la massesalariale a servi payer les gens qui gagnent plus que 22.12 dh

II. La dtermination graphique de la concentration la courbe de LorentzGINI

A- la graphique de GINIGINI propose de mesurer la concentration en mettant en abssices les

frquences cumules en%, et en ordonnes ni xi cumuls en %

salaire ni Fi% Fi% *n xi nixi Nixi% Nixi%cum10-15 9 11 11 12.5 112.5 6.6 6.615-20 25 30.5 41.5 17.5 437.5 25.6 32.220-25 32 39 80.5 22.5 720 24.1 74.325-30 16 13.5 100 27.5 440 25.7 100

total 82 100 1710

Remarques :

/ : Diagonal de lgalit: Aire de concentration

1) si 10% de la population touchent 10% du revenu, 20% de lapopulation touchent 20% du revenu. Dans le cas dune rpartitiongalitaire du salaire, laire de concentration serait confondue avec

diagonal.

2) Dans le cas dune repartions illgalitaire parfaite des salaires,

(comme dans le cas thorique ou 0.1% de la population toucherait

99.99% de la masse salariale : la courbe

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B)-Le coefficient de Gini :

Gini propose de calculer la concentration laide de coefficient suivant :

Aire de concentrationC=Aire du triangle ABC

Aire de GC =

5000(100*100/2)

On peu estimer laire de concentration de la manire suivant :Aire de concentration = 5000-(S1+S2+S3+S3)

B S=1/2 a*b S1 = (116.6)

S2= (41.5-11)/2(6.6+32.2)A S3= (80.5-41.5)/2(32.2+74.3)A S4 = (100-80.5)/2(74.3+100)

n Si = 4404S = n/2(a+b)

b

Remarque : 0


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CHAPITRE III :LES SERIES A DOUBLE ENTREES :REGRESSION LINEAIRE (CORRELATION)

I- notion de tableau de contingence :

A. une distribution statistique doubleCest une distribution ou lobservation seffectue selon 2 caractres.

EX : Rpartition des tudiants selon la taille et lgeRpartition des logements selon le nbre de pices et superficie

superficienbr de piece

10-30 30-50 50-70 70-80 total

1 3 12 1 14 3 183 1 7 4 124 10 7 17

5 6 6 6total 4 16 20 17 57

B. distributions marginales

Ce sont les distributions relatives la seul variable X ou Y

a- la rpartition des logements selon le nombre de pices (X)Nbre depices (x)

Nbre de logement

1 42 183 124 175 6total 57

Cette distribution qui concerne la seule variable x est applle distribution marginale (marginalcar on la trouve la marge du tableau statistique)On peut calculer la moyenne de cette distribution, (et sa signification est le nbre de picesmoyenne par logement)

Moyenne appele moy.marginale note

b- la rpartition des logements selon la superficie :

superficie y Nbre de logements

10-30 430-50 1650-70 2070-80 17total 57

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Cette distribution qui concerne la seule variable y est appele distribution marginale on peutcalculer la moyenne (qui exprime la surface moy des logements) applle moy.marginal note

C. Les distributions conditionnelles :

On appelle distribution Conditionnelle la distribution ou lon a pos une condition sur lunedes variables.Ex : Rparation de logements de 30-50mCette distribution est appele Distribution Conditionnelle parce que lon ne sintresse quauxlogements qui satisfont la condition de surface 30-50 m2.On peut calculer la moyenne de cette distribution (c-a-d le nombre moyen de pices deslogts de 30-50 m2) on appelle cette moyenne : moyenne conditionnelle.Dans cet exercice on calculeRemarque il existe autant de distributions conditionnelles relatives au caractre x que lecaractre y a de modalits

II- gnralisation du tableau de contingences :x y Y1 Y2 . Yj . Ym totalX1 X11 X12 . X1j . X1m X1.X2 X21 . X2j . X2m X2. . . Xi Xi1 Xi2 . Xij . Xim Xi. . . Xk Xk1 Xk2 . Xkj . Xkm Xk. total

x.1 x.2 . x.j . x.m x..x1 x2 . . . xk = les modalits de xy1 y2 . . . yk = les modalits de y

x1 .effectifs pour la 1re modalits de x et pour toutes les modalits de y

La distribution marginale de X :

X(xi) Xi.1X X1.2X X2.. .. .iX Xi.kX Xk.

Total X..

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La distribution marginale de y :

y(xi) Xj.1y X.12y X.2

. .

. .iy X.imy Xm.Total X..

Distribution conditionnelle relatif X et Y

Dist. Conditionnelle relative X Dist. Conditionnelle relative Y

X Xij y Xij1X X1j2X X2j. .. .iX XijkX Xkj

1y Xi12y Xi2. .. .iy Xijmy Xim

Total X.j Total Xi.

III- La rgression linaire

A. Prsentation du problme :Soit le tableau suivant :

quPrix

42 51 60 62 74 83 Total

70 1 175 1 177 1 180 1 186 1 193 1 1Total 1 1 1 1 1 1 6

Ce tableau est un tableau de contingence ou les observations sont connues individuellement,on peut prsenter plus simplement ce tableau de la manire suivante :

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Nous avons un ensemble de points un nuage statistique qui nous indique que les prix estles quantits voluent selon la mme tendance.Il est possible de schmatiser ce nuage :-Par une fonction simple : la fonction linaire (Droite) qui sont inconnus et quil faudratrouver.

a=pente de droiteb=ordonne lorigine

Une telle droite est appelle droite de rgression D(x)A=coefficient de rgressionLa rgression cest le fait de relier y x par une fonctionCalcule des paramtres de la droite de rgression :

B. la mthode des moindres carrsNotion de moindres carrs :

Partons dun nuage statistique thorique :

Il sagit de rsumer ce nuage par une droite. Soit y= ax+b lquation de la droite recherche. Pour toute valeur de x (xi) nous avons une valeur rellement observe y. Pour toute valeur xi, nous avons une valeur calcule sur la droite y. Pour toute une valeur xi, nous avons une erreur destimation gale | yi yi |.

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La droite de rgression idale doit tre de telle manire que la somme des erreursdestimation doit tre la plus faible possible, | yi yi | doit tre minimum.

Pour viter les valeurs absolues, on convient de calculer les carrs des erreurs. Ladroite de rgression doit tre telle que :

(yi yi) 2 minimum, et on appelle cela la condition des moindres carrs.

C. Calcul des paramtres de la droite de rgression.Il sagit de trouver y= ax + b sachant que : (yi yi) 2 min.Remplaons yi par sa valeur (yi (axi+b)) 2 min.Posons (yi ax ; - f) 2 = Z (a , b).Pour que Z soit minimum, il suffit dannuler (rendre nul) les drivs de ce polynme parrapport a et par rapport b.1 Calcul de b :Supposons a est connu, et drivons par rapport a b et a.dZ / db = 2 [ (yi ax ; -b)] (-1) = 0 Z = U2

Z = 2UU [yi ax ; -b) = 0

yi axi nb = 0 U = (yi ax ; -b)Divisons par n, on obtient (yi / n axi / n b = 0 - a = b

Donc :b = - a

La droite de rgression passe donc par le point moyen ( , ).2 Calcul des a :

axy

Y yi

M xi x

Xi

x0 X

Le paramtre a Que nous cherchons correspond la pente de la droite de rgression qui passe

par le point moyen M (

; ).Procdons un changement dorigine, et prenons comme nouvelle origine le point moyenM(x ; ), les nouvelles cordonnes deviennent :Xi = xi

Yi = yi -

La droite de rgression a pour quation y = ax

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La condition des moindres carre scrit ; (yi i) 2 min (yi yi) 2 = (yi axi) 2min

Drivons par rapport a : 2 [ (yi axi)] (-Xi) = 0 (yi axi)] Xi = 0 => (yi ai) Xi = 0 => xi yi a xi2 = 0

Donc a = xi yi /xi2

= (xi x) (yi - )/ (xi x)2

3- lquation de la droite de rgression :

Dy(x) =Y = ax + ba = (xi - ) (yi - ) / (xi ) 2

b = - a

D Application:Prix(x) Qts(y)70 7275 5177 60

Dy (x) a pour quation:Y = ax + b

_ _

xixi (xi x)(y i y)80 6286 74

33 83

a = =

x 2 (x i_

x)2

481 372 xi

=x n= 481 / 6 = 80

y = 372 / 6 = 62

Trouver Dy (x).xi - yi - (xi- ) (yi - ) (xi- ) 2

-10-5-306

13

-20-11-2012

21

200556

072

273

100259036

169

a = 606 / 339 = 1.79b = 62 (1.73)80b = -81DoncDy(x) a pour quation :

y = 1.79x 81606 339 La loi de loffre pour ce bien

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IV- la corrlation linaire :

Dans le paragraphe prcdent, nous avions estim y en fonction de x, et nous avions obtenu ladroite de rgression Dy(x)On peut pour le mme nuage statistique estimer x en fonction de y, et trouver la droite dergression Dx(y) lui aura pour quation.

Pour toute yi, nous avons une valeur observe xi.Pour toute yi, nous avons une valeur estime sur la droite xiPour toute yi, nous avons une erreur destimation gale | xi xi |Dx(y) idale est tel que : | xi xi | minimum ou encore (xi xi) 2 minimumEn procdant de la mme manire que dans le paragraphe prcdent, on trouve lquation deDx(y).X = ay + ba = xi yi

2 yi

b = a

Dans le rfrentiel XMY nous obtenons 2 droites :Soit y = ax pour Dy(x)Soit x = ay pour Dx(y)Ou encore y = 1/a x4 cas peuvent se produire :

1er

cas : les 2 droites sont confondues Y= axX = ay a = 1/a aa = 1Y = 1/yx

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2me cas : les 2 droite font entre elles un angle trs faible :

3me cas : les 2 droite font entre elles un angle lev :

4me cas : les 2 variables sont indpendantes lune de lautre :

Si on appelle coff de corrlation la Quantitr tel que :r2

= a . a

, on peut crire : Si r = 1 on a une corrlation parfaite. Si r = +1 on a une corrlation parfaite positive. Si r = -1 on a une corrlation parfaite.

Corr. positive : c d les variables varient dans le mme sens. Si r = -1 = corrlation parfaite ngative.

C d les deux phnomnes varient en sens inverse.Par exemple Prix et Quantit

Si 0 < r < 1 = la corrlation est positive, elle est dautant plus forte que lon serapproche de 1.

Si -1 < r < 0 = la corrlation est ngative, et elle est dautant plus forte que lon serapproche de -1.

Si r = 0 = corrlation nulle.

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Application : calculer le coefficient de corrlation dune autre faon (existe-t-il un lien entre yet x).

Prix Qt x x y - (x x ) (yi - ) (x x )2 (yi - ) 2

70 4275 5177 6080 6286 7433 83

606 339 1110

r2 = a. a = 606 606 donc r = 0.98339 1110

x y= (x

x)(y y)a =

i i

2ii

=

606= 1.79

ix (xi

x) 2

339

x y= (x

x)(y y)a =

i i

2ii

= 606

= 0.545

iy (yi

y) 2 1110

On a une trs forte corrlation car r = 0.975 tend vers 1

: Remarque : lorsquon critr2 = a. ar = racine a .a, nous avons une expression trspositif. Comment trouver alors le signe dune corrlation ?

Rponse : le sens de la corrlation est donne par le signe de a et a. Si a et a sont >0le produit a.a >0corrlation positive. Si a et a sont 0 corrlation ngative.

On peut dire dune corrlation quelle est trs satisfaisante partir 0.86.On peut dire dune corrlation quelle parfaite partir de 0.96.IV formule facilitant les calculs :1/ calcul de a :

a = (xi ) (yi - ) =N

, N = xi yi - xi

x y

(xi x) 2D

xi

i + x

Or x =

=

N

yiN

xi = nx

yi = n

On remplace : N = xi yi - nx -nx + nx

N = xiyi n x y

D = (xi x ) 2 = (xi2 2xix + x2) = xi2 2xxi + nx 2

= xi2 2nx 2 + nx 2

D = xi2 n 2


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xiyi n x yDonc a = 2

x2 n xFormule dveloppe

xi yi Xi yi xi2

x 2 calcul de r :

xi yi nr2= a.a a =

xi2 n 2

xi yi na =

yi2

n 2

Donc r = a *a'

V Autre formule de r :

[ (xi ) (yi - )] 2

r = (xi ) 2 (yi - ) 2

Or (xi ) 2

2x = (xi ) 2 = n2x

n (yi ) 2

2y = (yi ) 2 = n2yn

Donc r == [(xi

x)(yi

y)]2

(xi ) (yi )

n.x. yn 2 . 2x. 2y

Si on appelle : covariance de x et de y lexpression :

(xi ) (yi )Cov (xy)

nCov (xy)

r scrit : r =x.y

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CHAPITRE IV : ANALYSE DES SERIESCHRONOLOGIQUES.

I

Gnralits :A. Dfinition :

Une srie chronologique est une srie o les observations de la variable sont faites desintervalles rguliers de temps.

B. les diffrentes composantes dune srie chronologique.

Soit la srie chronologique suivante : Evolution trimestrielle du chiffre daffaire duneentreprise

trimtres 1 2 3 41998199920002001

120130144157

148162178196

155169186210

120132145160

Reprsentation graphique de la srie :

Lexamen dune srie chronologique rvle lexistence de diffrences composantes :Un mouvement de tendance longue ( long terme), appele trend .Un mouvement saisonnier qui est les variations saisonnires.

Des variations accidentelles : ce sont des variations imprvisibles dues des circonstancesexceptionnelles.

C. intrt dune analyse dune srie chronologique :

Lanalyse des sries chronologiques permet de sparer le mouvement de long terme dumouvement saisonnier, ce qui nous permettra de faire des calculs de prvision.

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II lanalyse de la tendance longue : trend

Dterminer le trend, cela revient lisser la srie pour liminer les variations saisonnires,cette technique de lissage de la srie est appele Ajustement. Les 2 mthodes dajustementles plus utiliss sont :

La mthode des moyennes mobiles.

Lajustement analytique.

A. la mthode des moyennes mobiles :

Elle consiste diviser un nuage statistique en sous nuages comprenant chacune(n1) donnes du sous nuages prcdent, et remplacer chaque sous nuage par un point telque : xi = mdiane des xi yi = moyenne des valeurs yi.

B. Oprations sur les matrices :

1 matrices transposes :

1 3 4 1 2A = A = 3 -12 -1 5 4 5

2 Laddition :1 -1 3 0 4 3 1 3 6

+ =2 4 1 3 -1 -1 5 3 0

(aij) + (bi j) = (ai j + bij)

Proprits :

- commutativit- association- lment neutre

- lment symtrique aii = 0(n ;p) la matrice nullet (a+b) = ta+tb

3- Multiplication par un rel :1 -1 3 3 -3 9

3 * =2 4 1 6 12 3

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CHAPITRE V :POPULATIONS ET ECHANTILLONS,RECENSEMENTS ET SONDAGES

Les journaux, la tlvision, les revues nous inondent constamment de graphiques, detableaux et de statistiques de toutes sortes, dans diffrents domaines :

Sondages, rfrendums, popularit des partis politiques et de leur chef.

Social Criminalit, suicide, avortement, racisme, pratiques religieuses, orientationssexuelles, habitudes alimentaires.

Importations, exportations, prix de vente, taux d'inflation, indice des prix laconomie consommation (IPC), taux d'intrt, salaires, taux de chmage, cotes

boursires, indices boursiers, dficits gouvernementaux.Dmographie Taux de mortalit, taux de natalit, population par province, par nationalit.

Culture Entres au box office, cotes d'coutes.

tudes Rsultats scolaires, prts et bourses, cote R et cote Z.

Sports Meilleurs compteurs, classement des quipes, salaires des joueurs.

Ces prsentations peuvent parfois nous induire en erreur volontairement ou non.Il nous faut donc dvelopper un esprit critique et savoir interprter ces

informations.

I. Quelques termes de base :

La population cible est l'ensemble de tous les objets que l'on tudie.

Une unit statistique est un objet de cette population.

Un chantillon est une partie choisie d'une population.

Le nombre d'objets composant une population ou un chantillon est appel sa taille.Lorsque l'on veut connatre certaines caractristiques d'une population, on dit qu'onenqute sur la population.Une enqute peut tre ralise auprs de toute la population ou sur un chantillon.

Un recensement est une enqute ralise auprs de toute la population.

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Un sondage est une enqute ralise sur un chantillon.

II. Exemples:

1. tude portant sur la langue maternelle des Qubcois:

la population est l'ensemble des Qubcoiset la caractristique est la langue maternelle.

2. tude portant sur la dure des ampoules lectriques produites l'usine X.La population est constitue des ampoules lectriques produites l'usine Xet la caractristique tudie est la dure des ampoules.

3. Une compagnie pharmaceutique veut vrifier un nouveau vaccin contre une certaine maladie.On administre ce produit 50 patients atteints de la maladie.

La population est forme de tous les gens atteints de la maladie,l'chantillon est form des 50 patients qui on a administr le mdicament et lacaractristique tudie est la rponse au mdicament.

Les cots levs et les dlais trop longs, relis un recensement, sont lesprincipales raisons qui nous amnent utiliser un sondage puisque la taille d'un

chantillon est beaucoup plus petite que celle de la population.Au Canada, il y a un recensement tous les cinq ans. Le dernier date de 1996.

III. tapes d'une enqute statistique :

1. Dterminer la population cible et les caractristiques de cette population que l'on veuttudier.

2. Dterminer la manire dont l'chantillon va tre prlev.

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3. Construire des instruments (questionnaires ou autres).4. tablir un pr-test ou tude-pilote.5. Recueillir les donnes.6. Compiler les donnes.7. Mettre en forme les donnes.8. Analyser les donnes (analyse descriptive ou infrentielle).9. Interprter les rsultats.10. Communiquer les rsultats.

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EXERCICES

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I OBJECTIFS VISES :

1. construction dun tableau statistique :2. distinguer une variable quantitative dune variable qualitative

3. reprsentation graphique des variables quantitatives discrtes et continues4. calcul et interprtation des caractristiques de tendance centrale : moyenne. mdiane mode quartiles

5. calcul et interprtation des caractristiques de dispersion : variance cart type coefficient de variation

Exercice 1 :

Dans une entreprise de 80 salaris on a enregistr les salaires mensuels suivants : 54 salaris gagnent 6 000 dirhams ou plus ; 34 salaris gagnent 8 000 dirhams ou plus ; 20 salaris gagnent 10 000 dirhams ou plus ; 8 salaris gagnent 12 000 dirhams ou plus ;

1. Prsenter ces donnes dans un tableau avec des classes de mme amplitude ensachant quaucun salari ne gagne plus de 14 000 DH.

2. Calculer la moyenne et donner sa signification.

3. Calculer la mdiane et donner sa signification.4. Calculer le mode graphiquement, algbriquement et donner sa signification.5. Combien gagnent les 20% des salaris les mieux pays.

Exercice 2 :

La rpartition des salaris dune entreprise de confection selon leurs gainsmensuels (en milliers de dirhams) se prsente comme suit :

Gains mensuels effectifs[4-6[ 25[6-8[ 40[8-12[ 58[12-18[ 27

[18-20[ 620 et plus 4

1. dterminer graphiquement le salaire modal2. calculer le coefficient de variation3. calculer ltendue4. calculer algbriquement et graphiquement la mdiane.

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Exercice 3 :

La rpartition par ge dune population dun centre de vacances est comme suit :Classe dage (en annes) effectifs0-55-15

15-2525-3535-4545-5555-6060-7575-100

1642

44403032153615

1. tracer lhistogramme de cette distribution2. calculer lcart type et donner sa signification3. on dsire rajeunir cette population en invitant au centre des vacances des

personnes de la classe [25-35[.combien faudrait-il en faire venir pour quela moyenne de la population soit de 35 ans.

Exercice 4 :

Dans une commune urbaine, on a relev la rpartition en pourcentages de10 000 contribuables selon le montant des impts pays.Classes dimpts Frquences relatives en pourcentages1-3 83-6 126-L2 20L2-12 2612-18 F618-22 1022-30 6

1. Trouver les valeurs manquantes de ce tableau sachant que la moyenne est gale 11,42

2. tracer la courbe cumulative croissante3. dterminer graphiquement et algbriquement limpt mdian. donner sa signification4. quel est le pourcentage des contribuables qui paient un impt annuel suprieur

20 000dh ?cela reprsente combien de personnes ?

Exercice 5 :

Soit la distribution statistique suivante qui donne la rpartition des propritaires

terriens selon la superficie des terres cultivables dans une certaine rgion agricole :

Superficie des terres en hectares Nombre de propritaires2-4 244-8 368-14 2214-20 1820-40 1440-100 6

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Partie I :1. prciser le caractre tudi et prciser sa nature.2. donner la signification de du centre de la 2me classe.3. dterminer rapidement la mdiane et donner sa signification4. dterminer algbriquement le mode et donner sa signification5. calculer la superficie moyenne et lcart type. Que peut on conclure ?

6. dterminer le 1er

et le 9me

dcile et donner leurs significationsPartie II :1. dterminer graphiquement la concentration foncire dans cette rgion agricole,

Calculer lindice de GINI2. dterminer algbriquement la concentration3. dterminer graphiquement le pourcentage des propritaires dont la superficie des

terres est infrieure la mdiale.

Exercice 6 :

Pendant 9 annes les bnfices dune entreprise ont augment :

de 4% par an pendant les 3 premires annes. de 7% par an pendant les 4 annes suivantes. De 10% par an pendant les 2 dernires annes de la priode considre.

Quelle est laugmentation moyenne des bnfices de cette entreprise sur les 9 annes ?

Exercice 7 :

Le tableau suivant donne la rpartition des salaires mensuels des cadres duneentreprise :

Salaires en 1000DH Nombre des cadres6-8 508-10 7010-16 8016-22 5022-30 5030-34 8034-38 20total 400

1. prciser le caractre tudi et sa nature2. reprsenter graphiquement cette distribution, tracer le polygone des frquences3. dterminer rapidement :

le salaire mdian des cadres donner sa signification. Le 3me quartile (Q3). donner sa signification.

4. donner graphiquement le salaire modal des cadres.5. calculer le salaire moyen des cadres.6. Calculer le coefficient de variation et donner sa signification7. Pour motiver davantage ses cadres, lentreprise dcide une augmentation gnrale des

salaires de 20%. Calculer la nouvelle moyenne et le nouveau coefficient de variation.

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II OBJECTIFS VISES :

1. Calcul de la fonction linaire2. calcul et commentaire du coefficient de corrlation3. interprtation des distributions marginales4. interprtation des distributions conditionnelles

Exercice 8 :

Une entreprise a prsent ses dpenses de publicit et ses chiffres pour les 6dernires annes dans le tableau suivant (en 106 DH)

Dpenses de publicit Chiffre daffaires2 104 1610 5014 12018 14024 210

1. Lentreprise pense qu il ya un lien entre dpenses de publicit (X) et le chiffredaffaire(Y).pouvez vous le confirmer ?

2. tablir par la mthode des moindres carrs la relation liant le chiffre daffaires etles dpenses de publicit

3. combien lentreprise peut-elle esprer raliser comme chiffre daffaireS avec desdpenses de publicit de 30 ?

Exercice 9 :

On a observ une population en retenant 2 caractres : le nombre denfants(X) et lataille du logement (Y).les rsultats sont les suivants :

Nombre de pices 2 3 4 Total

Nombre denfants1 22 15 9 462 7 38 22 673 0 7 30 37Total 29 60 61 150

1. calculer le nombre moyen denfants et le nombre moyen de pices des logements.

2. calculer

3. calculer

x2 et donner sa signification

y 3 et donner sa signification4. on se propose de voir sil existe un lien entre le nombre denfants et la surface des

logements. Confirmer

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Exercice 10 :

Le tableau suivant donne la rpartition des salaris dune entreprise de btiment selon lenombre denfants charge X et les salaires mensuels perus y en milliers de DH

Nombre de pices Y 1-3 3-5 5-9

Nombre denfants X1 4 8 162 6 12 243 3 6 124 2 4 8

1. donner la distribution marginale de la variable X2. donner la distribution conditionnelle de la variable Y lie la modalit 4 de X.3. que signifient les valeurs 16 et 3 souligne dans le tableau4. vrifier de deux manires diffrentes que les deux variables sont indpendantes.

Dites dans ce cas est gal le coefficient de corrlation linaire : r (sans lecalculer.

5. calculer la variance marginale de Y.

Exercice 11 :

Une tude ralise dans un club sportif concernant le poids et la taille de 124 adhrentsa fourni les informations suivantes :

poids en Kg Y 50-60 60-65 65-75 75-80

taille en mtres X1,60-1,70 12 7 6 41,70-1,75 ? 6 8 31,75-1,80 9 8 8 41,80-1,90 ? 7 5 61,90-2,00 3 5 3 3

1. complter le tableau sachant quil y a 27 adhrents qui mesurent entre 1.70met1.75m.

2. quels sont les caractres tudis ? Quelle est leur nature ?3. que signifient les chiffres 7 et 8souligns dans le tableau4. quelle est la moyenne du poids des adhrents ? Comment appelle-t-on cette

moyenne ?

5. quelle est la taille moyenne des adhrents ? Comment appelle-t-on cettemoyenne ?6. en dsignant par X la taille et par Y le poids calculer et donner la signification

_

de y 2_

7. donner sans la calculer la signification de x3

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Exercice 12 :

Une entreprise commerciale a prsent ses ventes xi et ses frais de publicit yi au

cours du premier semestre de lanne 2003 comme suit (en 1000 DH)

Mois Ventes Frais de publicitJanvier 40Fvrier 30Mars 42Avril 46Mai 44

juin 38

1.10.81.21.41.31.1

1. dterminer une fonction linaire qui donne le montant des ventes lorsquonconnat les frais de publicit.

2. quel serait le montant des ventes si les frais de publicit atteindront3500DH.

3. dterminer sil y a ou non une liaison entre les ventes et les frais depublicit.

statistique descri

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