statistische thermodynamica oasesessie 9
TRANSCRIPT
Oefening 1
t (s)
T (K)
300
550
Glas water
Loden bol
wop
e
w
w w
m c
m c
Q T
T K
300
fop aQ Q
lood lood
lood lood
af
e
m c
m
Q T
T Kc
550
Te
Oefening 1
• We stellen de opgenomen warmte van het water gelijk aan de afgegeven
warmte van het lood:
• We werken uit naar Te:
• BESLUIT: De eindtemperatuur bedraagt 323 K
( ) ( 5500 )30w w lood loode em c T m c T KK
550 300323lood lood w w
lood lood w w
e
K Km c m cT K
m c m c
Oefening 1
• De thermische volumetrische uitzettingscoëfficiënt wordt gedefinieerd door:
• BESLUIT: Het eindvolume bedraagt ongeveer 0,612 dm3
5 1
2 2
1 1
2
1
2
1
2 1
3 2.93 0 10 2 0
3
532 1
2
ln
1 1
dm
0.6
0.625
12 dm
T
T
K KT
P
dt dV
VT
V
Ve
V
V V
V
V T
e
V V e e
V
V
Oefening 2
2 1 1 2 2
1 12
5
2
kunnen we vinden u
3
1
i
0
t P PV PV
PVP Pa
V
3 1 1 3 3 2 3
1
5/71 7/55
13
3
3
52
5 10 0.0150.0
vinden we uit
23 0
1
2Pa m
mP
V PV PV PV
PV
P aV
Oefening 2
• Voor stap 1-2 (isotherm) bekomen we dan
2 21 2 1 1 1
1 1
1 2
1 2 1 2
ln ln 3831 J
0 J
3831 J
V VW nRT PV
V V
E
Q W
Oefening 2
• Voor stap 2-3 (isobaar) bekomen we dan
2 3 2 3 2
3 3 2 22 3 3 2
3 2 2 2 3 2
2 3 2 3 2 3
2
( ) 1018 J
( )
7( ) 3564 J
22546 J
p p
p
W P V V
PV PVQ n C T T
PV PV P V VR
CR R
C
E Q W
Oefening 2
• Voor stap 3-1 (adiabatisch) bekomen we dan
1
3
3 1
1 11 13 1 1 1 1 2
3 1 3 1
0
( ) 2546 J1
2546 J
V
V
Q
P VW P V V dV V V
E W
Oefening 2
• Voor de volledige cyclus geeft dat dan
1 2 2 3 3 1
1 2 2 3 3 1
1 2 2 3 3 1
0 2546 2546 0
3831 3564 0 267
3831 1018 2546 267
E E E E
J J J J
Q Q Q Q
J J J J
W W W W
J J J J
Oefening 3
• Definitie cursustekst p. 44
• De Gibbs vrije energie wordt bepaald door
• Als het systeem in contact staat met een reservoir bij vaste temperatuur en druk wordt stabiel
evenwicht gevonden bij minimale Gibbs vrije energie. Hierin zijn T, P en N de natuurlijke
variabelen.
• Definitie Schroeder p. 150
• Als het systeem zich in een omgeving op constante druk en temperatuur bevindt, dan is de
arbeid die jij moet leveren om het te creëren (= uit het niets maken én in de omgeving plaats
geven) gelijk aan de Gibbs vrije energie:
G E TS PV
( , , )G T P N H TS E TS PV
Oefening 3
• De thermodynamische identiteit is dan gelijk aan
• Hierin is
• Hieruit volgt dat
dG SdT VdP dN
,P N
GS
T
,P T
G
N
, , , ,, ,P N P T P N P TP N P T
G G S
T T N N T N
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑃0
𝑚.𝑔
𝑃𝑎𝑡𝑚. 𝐴
𝑃0. 𝐴
Oefening 4
• De druk bovenaan het gewicht
is 𝑃𝑎𝑡𝑚 en de druk
onderaan het gewicht
is de gasdruk 𝑃0
• De krachten op het
gewicht zijn :
Deze moeten resulterend nul geven, dus :
𝑃0. 𝐴 = 𝑃𝑎𝑡𝑚. 𝐴 + 𝑚. 𝑔
𝑃0 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 +𝑚.𝑔
𝐴⟹
Oefening 4
adiabatische compressie => 𝑃0. 𝑉0𝛾= (𝑃0+Δ𝑃). (𝑉0 + Δ𝑉)𝛾
adiabatisch =>𝑃0. 𝑉0𝛾= 𝑃0. (1 +
Δ𝑃
𝑃0). 𝑉0
𝛾(1 +
Δ𝑉
𝑉0)𝛾
adiabatisch =>𝑃0. 𝑉0𝛾= 𝑃0. (1 +
Δ𝑃
𝑃0). 𝑉0
𝛾(1 + 𝛾.
Δ𝑉
𝑉0)𝛾
adiabatisch =>𝑃0. 𝑉0𝛾= 𝑃0. 𝑉0
𝛾. (1 +
Δ𝑃
𝑃0+ 𝛾.
Δ𝑉
𝑉0+ 𝛾.
Δ𝑃
𝑃0.Δ𝑉
𝑉0)
≅ 0
≅ 0⇓
expansie
kleine verschuiving van gewicht ==> gas ondergaat kleine adiabatische compressie / expansie
Q.E.D.
𝑥Δ𝑉en
Δ𝑃
Oefening 4
𝑃𝑎𝑡𝑚
𝑃0𝐹
𝐹𝑥 = Δ𝑃. 𝐴
𝐹 = (−𝛾.𝑃0𝑉0. Δ𝑉). 𝐴
𝐹 = −𝛾.𝑃0𝑉0. 𝐴2. 𝑥
𝑥
0
"𝑘"
⇒ 𝑓 =1
2𝜋.𝛾. 𝑃0. 𝐴²
𝑚. 𝑉0
is dus terugroepkracht !
=> harmonische trilling ...
Nu : kleine 𝑥 => kleine Δ𝑉 => kleine Δ𝑃
zorgt voor kleine kracht 𝐹𝑥 = Δ𝑃. 𝐴bovenop andere krachten
(die samen evenwicht gaven)
𝐹
Δ𝑃
𝑃0+ 𝛾.
Δ𝑉
𝑉0= 0
... met frequentie :
Oefening 5 a)
h P‘puur
P‘opl
𝜇′opl 𝜇′puur
Patm
𝜇opl 𝜇puur
Patm
tot
evenwicht :
𝜇𝑜𝑝𝑙 = 𝜇𝑝𝑢𝑢𝑟 −𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴
OSMOSE
𝜇 − verlaging door B
𝑡 = 0 𝑡 ≥ 𝑡𝑒𝑣𝑤 > 0
𝜇′𝑜𝑝𝑙 = 𝜇′𝑝𝑢𝑢𝑟𝜇𝑜𝑝𝑙 ≠ 𝜇𝑝𝑢𝑢𝑟𝑒𝑣𝑤
𝑇
−𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴+ 𝑃′𝑜𝑝𝑙.
𝜕𝜇
𝜕𝑃𝑇
= 𝑃′𝑝𝑢𝑢𝑟.𝜕𝜇
𝜕𝑃𝑇
𝜇𝑝𝑢𝑢𝑟 −𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴+ 𝑃′𝑜𝑝𝑙 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 .
𝜕𝜇
𝜕𝑃𝑇
= 𝜇𝑝𝑢𝑢𝑟 + 𝑃′𝑝𝑢𝑢𝑟 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 .𝜕𝜇
𝜕𝑃𝑇
𝜇′𝑜𝑝𝑙 = 𝜇′𝑝𝑢𝑢𝑟
𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴= 𝑃′𝑜𝑝𝑙 − 𝑃′𝑝𝑢𝑢𝑟 .
1
𝑁𝐴
𝜕𝐺
𝜕𝑃𝑇
𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴= 𝑃′𝑜𝑝𝑙 − 𝑃′𝑝𝑢𝑢𝑟 .
𝑉
𝑁𝐴
𝑃′𝑜𝑝𝑙 − 𝑃′𝑝𝑢𝑢𝑟 =𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑉
𝑃𝐵 − 𝑃𝑣𝑎𝑐 =𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑉cf. ideaal gas B in vacuüm !
Oefening 5 a)
∥0
“colligatieve” eigenschap !
“OSMOTISCHE DRUK”
vanuit initiële waarden
eerste orde benaderd i.f.v. 𝑃
van 𝜇 naar 𝐺/𝑁 (en 𝑁 ≅ 𝑁𝐴)
Van ‘t Hoff, 1901 :
𝑒𝑣𝑤
𝑇
Oefening 5 b)
T
G
ijs
water
damp
ijs water gas
T
G
ijs
water '
damp
ijs ’ gas ’water ’
𝜇𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖,𝑝𝑢𝑢𝑟 = 𝜇𝑑𝑎𝑚𝑝,𝑝𝑢𝑢𝑟 𝜇′𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖,𝑜𝑝𝑙 = 𝜇′𝑑𝑎𝑚𝑝,𝑝𝑢𝑢𝑟
𝑡 < 0 𝑡 = 𝑡𝑒𝑣𝑤 > 0
𝑒𝑣𝑤 𝑒𝑣𝑤
𝜇𝑣𝑙,𝑝𝑢𝑢𝑟 −𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴+ 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘 .
𝜕𝜇𝑣𝑙,𝑝𝑢𝑢𝑟𝜕𝑇
𝑃
= 𝜇𝑑,𝑝𝑢𝑢𝑟 + 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘 .𝜕𝜇𝑑,𝑝𝑢𝑢𝑟
𝜕𝑇𝑃
−𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴+ 𝑃2.
𝜕𝜇
𝜕𝑃= 𝑃1.
𝜕𝜇
𝜕𝑃
𝜇′𝑣𝑙𝑜𝑒𝑖,𝑜𝑝𝑙 = 𝜇′𝑑𝑎𝑚𝑝,𝑝𝑢𝑢𝑟Oefening 5 b)
vanuit initiële waarden
eerste orde benaderd i.f.v. 𝑇
−𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴+ 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘 .
𝜕𝜇𝑣𝑙,𝑝𝑢𝑢𝑟𝜕𝑇
𝑃
= 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘 .𝜕𝜇𝑑,𝑝𝑢𝑢𝑟
𝜕𝑇𝑃
−𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇 = − 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘 . 𝑆𝑑 − 𝑆𝑣𝑙
𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇 = 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘 .𝐿
𝑇
𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇²
𝐿= 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘
(analoog voor vriespuntsverlaging)
“KOOKPUNTSVERHOGING”
𝑒𝑣𝑤
−𝑁𝐵. 𝑘. 𝑇
𝑁𝐴= 𝑇′𝑘𝑜𝑜𝑘 − 𝑇𝑘𝑜𝑜𝑘 .
1
𝑁𝐴
𝜕𝐺𝑑𝜕𝑇
𝑃
−𝜕𝐺𝑣𝑙𝜕𝑇
𝑃
van 𝜇 naar 𝐺/𝑁 (en 𝑁 ≅ 𝑁𝐴)
“colligatieve” eigenschap !
(totale) smeltwarmte 𝐿