STATISZTIKA

KÉSZÍTETTE: TAKÁCS SÁNDOR

ALAPFOGALMAK

• Statisztika: latin status szóból ered: állapot – Mindig egy állapotot tükröz

• Véletlen tömegjelenségek tanulmányozásával foglakozik – Adatok – megfigyelés, kísérlet eredményei, mindig rögzítettek

• Mérhető adatok – számokkal kifejezhetőek

• Megállapítható adatok pl: igen/nem

– „Egy adat nem adat”

• Minta – egy vizsgálandó halmaz részhalmaza. A vizsgálandó halmazt mintasokaságnak, vagy populációnak nevezzük.

• Leíró statisztika: mintát önmagában tekinti, nem foglalkozik azzal, hogy mi van mögötte.

• Matematikai statisztika: a mintát eszköznek tekinti a populáció megismerésére

• Anekdota: a pénzügyminiszter letekint a Gellért hegyről a gyalogosokra, és mit lát? adóalanyokat

Mire jó a statisztika

• Görög bölcs mondája – olajprések felvásárlása, majd eladása

• Nagyvállalat sikeres tanácsadója –szélhámos – tippeit a jósnőtől kapta – Ne jusson el a információ a konkurenciához

– Milyen értéket képvisel a statisztika? Titkolják az alkalmazását?

– Student próba: Gasset az igazi szerző, Student fedőnév: sörgyári alkalmazott

– Minőségi ellenőrzés

– Szekvenciális analízis – Columbia egyetem – „bizalmas” kategóriába sorolták

– „hintába ültetés”

Feladat

• Stst ábrázolás

Rendszerezés

• Statisztika emberek vagy tárgyak csoportjait (mintáját) vizsgálja. – Sokaság csoport (statisztikai sokaság)

– Egyedek a csoport tagjai

– Sokaság mérete: az egyedek száma

– Ismérv egyedek vizsgált tulajdonságai • Tetszőleges számú ismérvet vizsgálhatunk

• Érdektelen ismérv – felesleges vizsgálni

– Adat ismérv egy konkrét előfordulása

– Pl: vizsgáljuk az iskola tanulóit hajuk színe szerint. • Sokaság: iskola tanulói

• Egyed: Szabó Kitti

• Sokaság mérete: 350 tanuló

• Ismérv: haj színe

• Adat: szőke (barna?)

feladatok

1. A cukorgyárban az egyik minőségi ellenőr azt vizsgálja, hogy mennyi cukrot töltenek a gépek a zacskókba. Ebben az esetben mi a statisztikai sokaság, és mi az ismérv? Mi az adat?

2. Készítsünk képzeletbeli vizsgálatot a drogot használók körében! Mi a statisztikai sokaság? Mik legyenek az ismérvek? Készítsünk a felméréshez kérdőívet!

3. Készítsünk felmérést a diákok kedvenc együtteseiről! Mi a statisztikai sokaság? Mik az ismérvek? Készítsünk a felméréshez kérdőívet!

Ismérvek és adatok fajtái

• Minősítéses ismérvek – Számmal nem kifejezhető, vagy számmal jelölt, de nem szám

jellegű ismérv

– Pl: egyed neme, kerület száma, utca neve New Yorkban

– Nincs értelme matematikai műveleteket végezni

• Rendezhető (pl: iskolai osztályzatok)

– Ha van értelme a rendezésnek

• Nem rendezhető (pl: hajszín)

– Méréses ismérvek

• Számmal meghatározható

• Van értelme matematikai műveleteket végezni

• Mindig rendezhető

– Diszkrét ismérv véges sok, vagy felsorolható értékeket vehet fel

– Folytonos ismérv bizonyos határok között bármilyen értéket felvehet

Gyakoriság

• Adat gyakorisága megmutatja, hogy hányszor fordul elő az adatok között.

• Gyakorisági táblázat (gyakorisági eloszlás): a lehetséges adatokat és azok gyakoriságát tartalmazza.

• Pl: iskolai felmérés, 40 diákot kérdezetek, kinek hány testvére van?

– Ismérv: testvérek száma

– Diszkrét

– A lehetséges értékek: 0,1,2,3,4

•

Testvérek

száma

Gyakoriság

0 7

1 19

2 9

3 4

4 1

Összese

n

40

Osztályközös gyakoriság

• Az adatokat osztályokba soroljuk.

• Az osztályokon alapuló gyakorisági eloszlást osztályközös gyakoriság-nak nevezzük.

• Mikor alkalmazzuk? – Sok különböző adat, viszonylag kis

gyakoriságokkal

– Folytonos ismérvek esetén

• Mire vigyázzunk? – Osztályoknak nem lehet közös része

– Le kell fednie a teljes tartományt

– Osztályok száma • Sem tú kevés, sem túl sok nem jó

• Általában 10-15 –nél több ne legyen

• Ajánlás: k0: osztályok száma, N a sokaság mértéke

• Pl: egy mozicsatorna szeptemberi filmjeinek hossza percben megad-va (100 film)

– A legrövidebb: 29 perc

– A leghosszabb: 135 perc

– Ajánlás szerint 7 osztály

– (135-29)/715 perc, egy osztály szélessége

1k ;22 0

1 kakkorN kk

Osztály Gyakoriság

[29-44) 10

[44-59) 6

[59-74) 25

[74-89) 31

[89-104) 12

[104-120) 7

[120-135] 9

Relatív gyakoriság

• Ismérv relatív gyakorisága (gyakorisági sűrűsége) a gyakoriság és az adatok számának hányadosa

– Gyakoriság: k

– Sokaság mérete: N

– Relatív gyakoriság: k/N

– Szokás százalékban is megadni

– Relatív gyakorisági táblázat (relatív gyakoriság szerepel)

10 n

k

Testvérek

száma

Gyakoriság Relatív

gyakoriság

0 7 17,5%

1 19 47,5%

2 9 22,5%

3 4 10%

4 1 2,5%

Összesen 40 100%

Ábrázolási módok • Oszlopdiagram

• Vízszintes oszlopdiagram

• Térbeli oszlopdiagram – Oszlopok magassága az adatok nagyságát

jelképezik

– Lehet a nagyságuk helyett a gyakoriságukat is ábrázolni

– Pl: tanulók a nyáron milyen közlekedési eszközzel utaztak nyaralni:

Nyaralás

9

11

8

5

3

0

2

4

6

8

10

12

autó busz vonat repülőgép kerékpár

Közlekedési eszköz

Gyere

kek s

zám

a

Nyaralás

9

11

8

5

3

0 5 10 15

autó

vonat

kerékpár

Köz

leke

dési

esz

köz

Gyerekek száma

0

2

4

6

8

10

12

Gyere

kek s

zám

a

autó vonat kerékpár

Közlekedési eszköz

Nyaralás

Közlekedési eszköz Összesen

Autó 9

Busz 11

Vonat 8

Repülőgép 5

Kerékpár 3

Oszlopdiagram

• Mikor használjuk? – Gyakoriságot, relatív

gyakoriságot, vagy valamilyen mennyiségeket szeretnénk összehasonlítani

– Adat időbeli változását akarjuk bemutatni

• Mikor ne használjuk? – Ha az adatok közt van egy

nagyon nagy. (a többi egymással nehezen hasonlítható össze)

– Ha az adatok nagyon kicsit különböznek egymástól

Nyaralás

9 11

200

5 8

0

50

100

150

200

250

autó

busz

más

repü

lőgé

p

vona

t

Közlekedési eszköz

Gyere

kek s

zám

a

Nyaralás

110 111 110 110

1

autó

busz

más

repü

lőgé

p

vona

t

Közlekedési eszköz

Gy

ere

ke

k s

zá

ma

Hisztogram

• Egy speciális

oszlopdiagram

– Oszlopok közt nincsenek

hézagok

– Gyakoriságok a téglalap

területével arányosak

– Téglalap magassága:

táblázatban szereplő

gyakoriságokat osztjuk a

megfelelő osztályköz

szélességével

– Pl: tanulók tömegét mérték

– 100 tanuló esetében:

tömeg gyakoriság Oszlop

magasság

30-40 2 0,2

40-50 10 1

50-60 24 2,4

60-70 35 3,5

70-80 19 1,9

80-90 6 0,6

90-100 4 0,4

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

35 45 55 65 75 85 95

Töröttvonal-grafikon

• Valamely mennyiség

időbeli változásának

szemléltetésére

használják.

• Más neve: vonaldiagram

• A pontokat összekötő

szakaszok csak a

változást érzékeltetik, két

pont között nincs értelme

értékről beszélni.

Átlaghőmérsékletek Tuinszban

0

5

10

15

20

25

30

35

40

január

febru

ár

márc

ius

április

máju

s

júniu

s

júliu

s

augusztu

s

szepte

mber

októ

ber

novem

ber

decem

ber

Hónap

hő

mé

rsé

kle

t (C

°)

Kördiagram

• Relatív gyakoriságok (elsősorban %-ban megadott) ábrázolására használjuk. Az ábrázolt százalékérték a körcikk középponti szögével egyenesen arányos.

• Kördiagram helyett néha tortadiagramot használnak. A középponti szögek torzulása miatt nem mindig ajánlott.

• Mikor használjuk? – Százalékban megadott relatív

gyakoriságokat akarunk ábrázolni

• Mikor ne használjuk? – Ha túl sok az adat

– Sok kis adat mellett egy sokkal nagyobb van

• Pl: Pistike napi időtöltése: – Iskola: 25%

– Alvás: 33%

– Evés: 8%

– Pihenés: 16%

– Házi feladat: 9%

– Egyéb: 9%

Pistike napi időtöltése

25%

33%8%

16%

9%

9%Iskola

alvás

evés

pihenés

házi feladat

egyéb

Pistike napi időtöltése

25%

33%8%

16%

9%9%

Iskola

alvás

evés

pihenés

házi feladat

egyéb

Feladatok Egy országos élelmiszer áruházlánc évi forgalmának

megoszlása: – Nem élelmiszer: 14,3%

– Egyéb élelmiszer: 6,7%

– Kávé: 2,9%

– Szeszesitalok: 9,7%

– Üditők, szörpök: 5,8%

– Konzervek, mirelit: 12,7%

– Tej, sajt, tejtermék: 19,5

– Kenyér, péksütemény: 14,2%

– Zöldség, gyümölcs: 2,9%

– Édesipari áruk, fűszerek: 11,3%

• Ábrázoljuk a megoszlást kördiagramon!

• Mekkorák az egyes körcikkek középponti szögei?

• Ha az évi forgalom 20 milliárd forint volt, számítsuk ki, mennyi bevétel származott az egyes kategóriákból!

• Ennek bemutatására készítsünk oszlopdiagramot!

Sávdiagram • Akkor használjuk, amikor a kördiagramot

• A százalékos adat egy téglalapban van megadva.

– Téglalap szélessége lényegtelen

– Téglalap hossza 100%

– A belsejében levő csíkok hossza a százalékos adatokkal arányos

– Ha több az adat, szerencsésebb, mint a kördiagram

• Függőleges helyzetű sávdiagramhalmozott oszlopdiagram

– Adatok összehasonlítására egymás mellé helyezett halmozott oszlopdiagramokat használnak.

• Ha az oszlopok magassága az összmennyiséggel arányos, torzulnak a részletek

• Egyforma magasságú (100 %-ig halmozott oszlopdiagram) esetén a százalékos arány nyomon követhető

Sávdiagram

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Halmozott oszlop diagram

0

5

10

15

20

25

30

1 2

100%-ig halmozott oszlop diagram

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2

Gyűrűdiagram • A kördiagram egy részlete, egy körgyűrű-sávot

levágunk a kördiagramból.

– több adathalmaz összehasonlítása: az egyes gyűrűkben

ábrázolhatjuk a különböző adathalmazokat.

• Csak indokolt esetben, mert az egyforma típusú adatokat

ábrázoló sávok elcsúszása egymáshoz viszonyítva zavaró lehet.

Gyűrűdiagram

1

6%2

12%

3

23%

4

6%

5

18%

7

6%

8

6%

9

23%

Gyûrûdiagram összehasonlítással

1

6% 2

12%

3

23%

4

6%

5

18%

7

6%

8

6%

9

23%

1

5% 2

8%

3

14%

4

19%

5

5%

7

22%

8

16%

9

11%

Sugár – Pókháló diagram

– ahány adat szerepel az

adathalmazban, annyi egy pontból

kiinduló félegyenest veszünk fel

– a szomszédosok egyforma szöget

zárnak be.

– Minden egyes adatot a neki

megfelelő félegyenesen ábrázolunk,

– a kapott pontokat egy törött vonallal

összekötjük.

• Szintén az adatok változásának

szemléltetésére alkalmas

– Az adatok változásának nagysága az

egyenesek meredekségéből

olvasható le

– minél jobban az origó felé tart egy

szakasz, annál jobban csökken az

adat nagysága, és fordítva.

Sugár (Pókháló) diagram

0

2

4

6

8

1

2

3

4

5

78

9

10

11

12

Módusz

• Az adathalmazból kapott, az adathalmazra jellemző számokat statisztikai mutatóknak nevezzük.

• Módusz: az adathalmazban előforduló adat, amelynek a legnagyobb a gyakorisága. Jel: Mo – Ha a gyakoriság egyszer

fordul elő egymóduszú, ha többször, többmóduszú eloszlás

• Pl: megfigyelik egy áruházban, hogy ki, hány palack ásványvizet vásárol egyszerre.

• Mo=5

Egyszerre

vásárolt palackok

száma

Gyakoriság

1 32

2 16

3 4

4 43

5 65

6 51

7 7

8 3

9 1

Medián

• Az adathalmaz mediánja a nagyság szerint

rendezett elemek közül a középső. Jel: Me

– A halmaz elemeit sorba kell rendezni

– Csak rendezhető adatoknak lehet mediánja

– Páratlan számú adat: Me a középső (van)

– Páros számú adat esetén: Me a két középső

számtani közepe (nincs egy középső)

– A medián a sorba rendezett adatokat két részre

osztja. A medián előtt ugyanannyi adat van, mint

utána.

Kvartilisek

• A medián alatti adatok mediánja az alsó

kvartilis: Q1. Az alsó kvartilis alatt az

adatok ¼ része, fölötte ¾ része van.

• A medián feletti adatok mediánja a felső

kvartilis: Q3. Az felső kvartilis alatt az

adatok ¾ része, fölötte ¼ része van.

• A medián a középső kvartilis: Q2

Q1 Me Q3

Számtani közép

• Két adat számtani közepe a két adat összegének a fele. – Csak akkor van értelme, ha

az összeg értelmezhető

• Méréses adatoknak van számtani közepe

• Minősítéses adatoknak nincs

• Több adat számtani közepét úgy kapjuk meg, hogy az adatokat összeadjuk, és elosztjuk az adatok számával.

2

21 xxx

n

x

n

xxxxx

n

i

i

n

1321 ...

Súlyozott átlag

Osztály Egységek

száma

Egységek

értéke

C1 f1 x1

C2 f2 x2

… … …

Ci fi Xi

… … …

Ck fk xk

Összesen

: n

n

xf

x

vagy

n

xfxfxfxfx

k

i

ii

kk

1

332211 ...

Összefoglalás

• Méréses ismérveknél mindhárom az adatok között helyezkedik el. (nagyobb, mint a legkisebb, kisebb mint a legnagyobb)

• A számtani közép nagyon érzékeny a kiugró értékekre.

• A medián ezzel szemben nem érzékeny a kiugró értékekre. Ezért néha használják számtani közép helyett, ha azt a kiugró értékek „nagyon elvinnék”

– A medián esetében pontosan annyi adat van előtte, mint utána

Minősítéses ismérv Méréses ismérv

Nem rendezhető Rendezhető Diszkrét Folytonos

módusz módusz módusz módusz

medián medián medián

számtani közép számtani közép

Szóródás

• Csak méréses adatokkal foglalkozunk

• Megmutatják, hogy az adatok mennyire

tömörülnek a középértékek körül

• Szóródási mutatók

– Terjedelem

– Átlagos abszolút eltérés

– Szórás

Terjedelem

• A legkisebb és legnagyobb adat közti

különbség a terjedelem

– Mértékegysége azonos a méréses ismérv

mértékegységével

– A terjedelem intervallumában minden adat

benne van

– Interkvartilis terjedelem: Q3-Q1 különbsége

Q1 Me Q3

1/4 1/4 ½

Interkvartilis terjedelem

Hőmérsékletek

• Magyarország és Tunézia átlaghőmérsékleti adatai

• Készítsünk vonaldiagramot a két hőmérsékleti eloszlásról egy koordinátarendszerben

• Határozzuk meg a hőmérsékletek középértékeit

• Melyik ország átlaghőmérséklete körül tömörülnek jobban az adatok

– Számítsuk ki a terjedelmet mindkét esetben

– Jelöljük különböző színnel a grafikonon

Hónap HU Tunézia

január -2,0 C 16,0 C

február 0,5 C 17,0 C

március 4,0 C 19,0 C

április 10,4 C 21,0 C

május 13,1 C 25,0 C

június 18,4 C 27,0 C

Július 20,3 C 31,0 C

augusztus 19,6 C 32,0 C

szeptember 15,6 C 31,0 C

Október 10,2C 26,0 C

November 4,4 C 20,0 C

december -0,1 C 17,0 C

Apák-fiúk magassága

• Állapítsuk meg a táblázat alapján, hogy az apák, vagy a fiúk magasságainak átlaga körül tömörülnek jobban az adatok!

• Állapítsuk meg az apák és a fiúk esetében is: Me,Q1,Q3

• Mely adatok találhatók az interkvartilis terjedelem intervallumában?

Apák Fiúk

167 164

168 166

169 166

171 168

172 169

172 170

174 170

175 171

176 173

182 177

Hiányzások

• A táblázat azt mutatja,

hogy egy 30 fős osztály

tanulói mennyit

hiányoztak 5 hónap alatt.

• Számítsuk ki, hogy az

osztály tanulói átlagosan

mennyit hiányoztak!

• Mi a minta terjedelme,

mediánja, módusza?

• Állapítsuk meg az

interkvartilis terjedelmet!

Mulasztott napok száma

7 8 3 9 4 2 3 0 4 5

3 2 4 2 3 5 3 8 1 6

6 5 0 3 4 6 1 4 1 5

Átlagos eltérések Vizsgáljuk meg a Magyaror-

szág havi középértéktáblá-

zatában, hogy az egyes

hónapok középhőmérsékletei

mennyire térnek el az átlagtól!

(havi középhőmérsékletből

kivonjuk az átlagot)

havi középhőmérsékletek

átlaga: 9,53 C

Pl. januárra:

Hónap HU

január -2,0 C

február 0,5 C

március 4,0 C

április 10,4 C

május 13,1 C

június 18,4 C

Július 20,3 C

augusztus 19,6 C

szeptember 15,6 C

Október 10,2C

November 4,4 C

december -0,1 C 53,1153,9211 xxx

• Számítsuk ki, hogy mennyi az átlagos eltérés az

átlagos középhőmérséklethez képest!

12

... 1221 xxxx

• Mennyi lett az eredmény?

• Az eredmény: 0

– az adatok az átlagtól átlagosan nem térnek el

– bizonyítható, hogy az eltérések összege mindig 0

– a pozitív és negatív számok kiegyenlítik egymást

– nem sok információval szolgál

Átlagos abszolút eltérés a számtani

középtől

12

... 1221______ xxx

x

• Mennyi az eredmény?

• az eredmény: 6,7925

• Meghatározás: A számtani középtől való átlagos

abszolút eltérés az eltérések abszolút értékének

számtani közepe.

• Vegyük az eltérések abszolút értékét:

n

xxx n

x

...21

______

Átlagos abszolút eltérés • Definíció: Egy adott a valós számtól vett átlagos abszolút eltérés az

adathalmaz értékeinek az adott a számtól vett eltérések abszolút értékeinek számtani közepe.

n

axaxax

anx

...21

______

• Feladat: Határozzuk meg a leghidegebb és a legmelegebb hónap középhőmérsékletétől vett átlagos abszolút eltérést!

• Megjegyzés: Az a számtól vett átlagos abszolút eltérés az abszolútérték-függvény tulajdonságai miatt akkor a legkisebb, ha az a szám a mediánnal egyenlő. (a=Me)

• Definíció: Az átlagos abszolút eltérés a mediántól vett eltérések abszolút értékeinek számtani közepe.

n

MexMexMex

Menxx

... 21

_________________

Feladatok 1. Határozzuk meg Magyarország klímatáblázata

alapján a havi középhőmérsékletek mediánját,

majd az átlagos abszolút eltérést!

2. Az alábbi táblázat a munka alól felmentésüket

kérő rabok életkorát mutatja egy

fegyintézetben.

18 20 25 30 37 18 22 27 32 55 60 32 35

45 47 51 18 23 37 42 57 62 75 67 65

Számítsuk ki a minta terjedelmét, a számtani

középtől vett átlagos abszolút eltérését és az

átlagos abszolút eltérését!

Feladatok 3. Tizenkét diák részére matematikából egyhetes

intenzív verseny-előkészítőt tartottak. A hét

végén egy 50 pontos felmérőt írtak. Az alábbi

eredmények születtek:

42 29 21 37 40 33 38 26 29 47 30 45

Mi az adatok mediánja és számtani közepe?

Számítsuk ki a számtani középtől vett átlagos

eltérést és az átlagos abszolút eltérést!

Szórás • ha a különböző előjelű számok semlegesítő hatását

négyzetre emeléssel szűntetjük meg, egy adott számtól

való átlagos négyzetes eltérést kapjuk.

• ha a= , akkor minimálisszórásnégyzet

• Definíció: A szórásnégyzet az eltérések négyzetének

számtani közepe.

• A szórás a szórásnégyzet négyzetgyöke.

n

xxxxxx n

22

2

2

12 ...

x

2

Feladatok

1. Számítsuk ki a klímatáblázat szórását!

– 2=59,2489

– =7,69

2. Számítsuk ki a következő adatok

számtani közepét és szórását: a. 1;4;8;9;10;

b. 3,2;4,7;5,1;5,2;6,3

c. 103;109;110;112;125;131

d. -5;-2;0;1;2;3