statisztika statisztikai ő alapfogalmakstatisztika fogalma tömegesen előforduló jelenségek...
TRANSCRIPT
1
Statisztika Sportszervező BSc képzésNBG GI866G4
2010-2011-es tanév II. félév
Oktató:Dr. Csáfor Hajnalkafőiskolai docensVállalkozás-gazdaságtan Tsz.E-mail: [email protected]
Statisztikai alapfogalmakalapfogalmak
Statisztikai alapfogalmak
Statisztika fogalmaSokaság és ismérvStatisztikai adat és mutatószámStatisztikai sorokStatisztikai táblák Mérési szintekAdatfelvétel, adatszerzési módokKérdőívszerkesztésAdatok pontossága
Statisztika fogalma
Tömegesen előforduló jelenségek egyedeirevonatkozó (elméleti és gyakorlati) tevékenység:
adatgyűjtésadatgyűjtésadatfeldolgozásadatok elemzése
a vizsgált jelenség számszerű, tömör jellemzése.Pl. népszámlálás, földtulajdon-összeírás (gyak.),vizsgálati módszerek kiválasztása (elm.)
Statisztika fogalma
Egyidős az állammal…Mo-on a XVIII.sz. az „első összeírás”XIX.sz. a statisztika komoly fejlődésnek indul: kialakul az intézményrendszer központikialakul az intézményrendszer, központi adatszolgáltatás (Fényes Elek, Kőrösi József)Központi Statisztikai Hivatal (KSH, 1867)1993-as XLVI-os törvény a statisztikáról223/2009/EK rendelet az európai statisztikáról Regionális adatszolgáltatás prioritása (NUTS-1. ország, NUTS-2: régió, NUTS-3: megye)
Statisztikai sokaság és ismérv
Statisztikai sokaság:A megfigyelés tárgyát képező egyedek összessége. (élőlény, tárgy, intézmény, stb.)
Sokaság fajtái:diszkrét – folytonos (elkülönült egységek –
önkényes elkülönítés)
álló – mozgó (időpont – időtartam)
2
Statisztikai sokaság és ismérv
Statisztikai ismérvek:Olyan vizsgálati szempontok, amelyek
l já k á é i j ll h őkalapján a sokaság egységei jellemezhetők és egymást nem fedő részekre bontható. Egy adott ismérv szerinti lehetséges tulajdonságokat az ismérv változatainak nevezzük.
Statisztikai sokaság és ismérv
Ismérvek fajtái:1) Időbeli ismérvek2) Területi ismérvek 3) Mennyiségi ismérvek3) Mennyiségi ismérvek4) Minőségi ismérvek
- Alternatív ismérvek- Közös ismérvek- Megkülönböztető ismérvek
Tárgyi ismérvek
Feladat/1.
Sokaság Egy konkrét egység
Ismérv Ismérv-változat
Ismérvfajta/Mérési skála
A magyar Kiss Réka Születési 1976 Időbeli/A magyar népesség
2007. január elsején
Kiss Réka Születési idő
1976 Időbeli/intervallum
Lakóhely Budapest Területi/nominális
Nem Nő Minőségi/nominális
Életkor 29 Mennyiségi/arány
Feladat/2.
Adottak az alábbi sokaságok:Magyarország népessége 2006. jan.1-jén 10 076 581 fő.A budapesti férfiak sörfogyasztása a 2006-os VB idején.BCE oktatói 2006 szept 4 énBCE oktatói 2006. szept. 4-én.Jótékonysági koncertek 2006-ban a Zeneakadémián.
Feladat:Állapítsa meg a sokaságok típusát és egységeit!Az egyes sokaságokra vonatkozóan soroljon fel közös és megkülönböztető ismérveket, majd nevezze meg ezek típusát is!
Feladat/3.Döntse el az alábbi ismérvekről, hogy mennyiségi vagy minőségi ismérvek-e!
Nem (férfi, nő)Él kÉletkorMagasságTestsúly Családi állapotIskolai végzettség FoglalkozásBruttó havi fizetés
Statisztikai adat és mutatószám
Statisztikai adat:Az egyedekről szerezhető információ.fogalmi jegy
Statisztikai mutatószám:Valamilyen statisztikai módszerrel a
fogalmi jegyidőbeli azonosítótérbeli azonosítószámértékmértékegység.(mérés vagy számlálás) Például:
194.000(Havi) Átlagbér Magyarországon 2008-ban bruttó Ft/fő/hó
rendelkezésre álló adatokból számított származtatott statisztikai mérőszám.
3
Statisztikai sorokA sokaság egy ismérv szerinti tömör jellemzése.
Sorkészítés célja szerint:Csoportosító sorÖsszehasonlító sor
Valódi statisztikai sorok
Leíró sor
Ismérvfajtáknak megfelelően:Időbeli (tartam-állapot), területi, minőségi, mennyiségi + leíró sorok
Sorok készítése: ismérvváltozatok számszerű értékek
Nem valódi statisztikai sor
Statisztikai sorok
Csoportosító statisztikai sor:A sokaság belső
Ismérv-változatok
Egységek száma
C1C2
f1f2összefüggéseit fejezi
ki, csoportosítás céljából készül, adatai összegezhetők.(időbeli, területi, minőségi, mennyiségi)
C2..
Ci.
Ck
f2..fi.fk
Összesen: N
Statisztikai sorok
Összehasonlító statisztikai sor:Összehasonlító
d t k t ti tik i
Ismérv-változat
Számérték/ mértékegység
C1 adatadatok statisztikai sorba rendezve, összehasonlítási céllal, adataik nem összegezhetők.(idősor, területi)
C2..
Ci.
Ck
adat..
adat.
adat
Statisztikai táblákStatisztikai sorok összefüggő rendszere.
Egyszerű tábla (összehasonlító és/vagy leíró sorok)Nincs csoportosító sora, egy adata, egy statisztikai sor tagja.
Csoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlítóCsoportosító tábla (csoportosító és/vagy összehasonlító vagy leíró sorok)Egyirányú csoportosítást tartalmaz, egy adata egy statisztikai sor tagja.
Kombinációs tábla (csoportosító sorok)Csak csoportosító sorokat tartalmaz, egy adata egyidejűleg több statisztikai sor tagja.
Statisztikai táblák
Egyszerű statisztikai tábla
Egy városban az orvosellátottság alakulása:
Év Orvosok száma (fő)
Lakosok száma (fő)
Egy orvosra jutó lakosok száma
1990 240 80 000 333,3
1999 360 100 000 277,8
gy g
Statisztikai táblák
Csoportosító statisztikai tábla
Búzatermelés adatai 1991-ben:
Körzet Termés (ezer tonna)
Termésátlag (t/ha)
Dunántúl 2000 5,2Alföld 3000 5,31Észak 705 4,71
Összesen 5705 …
4
Statisztikai táblák
Kombinációs statisztikai tábla
Osztályzat A B C Összesen
Egy felsőfokú intézmény nappali tagozatos hallgatónak jegyei statisztikából 1991/1992 II. félév:
Osztályzat A B C Összesenkar hallgatóinak megoszlása
5 19 23 19 614 32 49 40 1213 24 36 56 1162 20 36 82 1381 1 2 18 21
Összesen 96 146 215 457
Statisztikai táblák
Dimenziószám:Azt mutatja, hogy a tábla egy statisztika adata egyidejűleg hány statisztikai sor tagja.
Táblakészítés szabályai:Cím (azonosítókkal!, idő, hely, stb)Oldalrovatok, fejrovatEgy rovat sem üres (--, ●(●). 0,0)Forrásmegjelölés
Mérési szintekCsak a mennyiségi ismérvek adatai számadatok, de bizonyos szabályok mellett minden ismérv lehetséges változatai számértékké alakíthatókszámértékké alakíthatók.
Mérés: számok meghatározott szabályok szerinti hozzárendelése jelenségekhez (dolgok, tárgyak, események), illetve azok bizonyos tulajdonságaihoz.
Mérési szintek
4 féle mérési szintet (skálát) különböztetünk meg:
Né l / i áli é é i iNévleges/nominális mérési szintSorrendi/ordinális mérési szintKülönbségi/intervallum mérési szintArányskálán történő mérés
Mérési szintek
Névleges/nominális mérési szint:Számok közvetlen hozzárendelését jelenti az egységekhez.Ezek ún. kódszámok, amelyek csak a sokaság egyedeinek azonosítását szolgálják.Közük semmilyen reláció nem áll fenn, és velük számtani művelet nem végezhető.
Pl: rendszám, irányítószám, megyék száma
Mérési szintekSorrendi/ordinális mérési szint:A sokaság egyedeihez – bizonyos közös tulajdonság alapján – rendelt skálaérték sorrendisége írja le azok viszonyát.Az egységhez rendelt számérték sorrendje pontosan tükrözi az adott egység valamilyen szempontból vett sorrendjét.A számértékek magukban nem hordoznak információt (különbségeik nem értelmezhetők), csak azoknak a rendje.
Pl: hallgatók osztályzatai, áruk minőség szerinti osztályozása
5
Mérési szintek
Különbségi/intervallum mérési szint:A skálaértékek különbségei is információt hordoznak a sokaság egyes egyedeiről.g gy gyA skálán az értékek aránya és összege nem értelmezhető.
Pl: a +10 és a +20 C fokok közötti különbség ugyanannyi, mint a -5 és a +5 C fokok közötti különbség.
Mérési szintek
Arányskálán történő mérés:A legtöbb információt nyújtó mérés. A kezdőpont egyértelműen rögzített, ennek köszönhetően két skálaérték egymáshoz viszonyított aránya isskálaérték egymáshoz viszonyított aránya is meghatározhatóvá válik. Az értékek különbsége önmagában semmit sem mond, csak arányskálán értelmezhetők.
Pl: életkor, termelési érték, jövedelem nagysága (amelyeket mind 0 értékről kiindulva mérik)
Adatszerzési módok
Teljeskörű felvétel Részleges felvétel
Monográfia Reprezentatív megfigyelések
Egyéb részleges adatfelvétel
Véletlenen alapuló
Nem véletlen(kontrolált)
Kérdőívszerkesztés
Alapos szakmai hozzáértésTömör, egyértelmű, könnyen megválaszolható kérdésekFőleg feleletválasztós (karikázós, x-elős és kevés kifejtendő választ igénylő)j g y )Ne legyen túl hosszúAjánlott az anonim adatfelvételKompromisszum: csak a legfontosabb dolgokat kérdezzükVéglegesítés előtt: próbalekérdezésHa nyereményhez kötjük, növelhető a válaszadási arány
Adatok pontossága
aA ±
d b l hib k l
αAa
=
l hib k lSzignifikáns számjegyek: a pontosnak tekinthetőszámjegyek
: a legutolsó kiírt szignifikáns számjegy helyértéke
Mért adat Abszolút hibakorlát Relatív hibakorlát
ahol ,2
10ˆk
≤a
k10
Például Mo. népessége (90-ben):
10.277 ezer ± 500 fő
Statisztikai elemzések
áviszonyszámokkal
6
Viszonyszámok
Viszonyszám fogalmaViszonyszámok fajtáiMegoszlási és koordinációs viszonyszámokDinamikus viszonyszámok Viszonyszámok közötti összefüggésekIntenzitási viszonyszámokViszonyszámok grafikus ábrázolása
Viszonyszámok
Viszonyszám: két, egymással kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa
, ahol A: a viszonyítás tárgya(viszonyítandó adat)
B: a viszonyítás alapja
Azonos adatokból (%) – Különböző fajta adatokból (int.)
BAV =
Viszonyszámok fajtáiCsoportosító sorokból:
Megoszlási viszonyszámok (Vm)Koordinációs viszonyszámok (Vk)
Összehasonlító sorokból:Dinamikus viszonyszámok (Vd: Vdl és Vdb)Feladat- és teljesítménymutató (Vf és Vt)Területi összehasonlító (Vö)
Leíró sorokból:Intenzitási viszonyszámok (Vi)
Viszonyszámok fajtái
Megoszlási viszonyszám: rész és egész egymáshoz viszonyított arányát fejezi kiKoordinációs viszonyszám: a sokaság két részadatát viszonyítjaDinamikus viszonyszám: idősor adataiból számított hányados
Intenzitási viszonyszám: különböző fajta, különböző mértékegységű- de egymással kapcsolatban lévő-sokaság adataiból számított viszonyszám
adata)időszakbázis(aBadata)aktárgyidősz(aAV=
Viszonyszámok fajtái
Megoszlási viszonyszám:
adat)vonatkozóegészéresokaság(aBrészadata)egy sokaság(aAVm=
Koordinációs viszonyszám:
adat) vonatkozóegészére sokaság(aB
részadat) szolg. alapjául sviszonyítá(aBrészadat)ott (viszonyítAVk =
Dinamikus viszonyszámok
Bázisviszonyszám:
Láncviszonyszám:
b
t
yybVdb =/
/ iylVdlLáncviszonyszám:
Összefüggések:
1
/−
=iy
lVdl
ii
i lbb
=−1 ii
k
ikk blbl...ll =→=⋅⋅ ∏
=232
7
Feladat/1.
ÉvMagyarországra
érkező külföldiekKülföldre utazó
magyarok Elemezze bázis- és lá i á kk l
Az alábbi táblázatban 2000-2005 közötti idegenforgalommal kapcsolatos adatok láthatók:
ezer fő ezer fő
2000 31 141 11 065
2001 30 679 11 167
2002 31 739 12 966
2003 31 412 14 283
2004 36 635 17 558
2005 38 555 18 622
láncviszonyszámokkal a Magyarországra érkező külföldiek és a külföldre utazó magyarok számának alakulását!
Megoldás
MegoldásViszonyszámok fajtái
Feladatmutató viszonyszám:
dBá i idadata tervezettTárgyid.Vf =
Teljesítménymutató viszonyszám:
adata Bázisid.
énye teljesítm tervezettTárgyid.adata ténylegesTárgyid.Vt =
Viszonyszámok fajtái
Területi összehasonlító viszonyszám:
adata terület ndóViszonyítaVö=adata terület szolg. alapjául sViszonyítá
Vö=
Intenzitási viszonyszámVi = A/B
Fajlagos mérőszámokPl: 100 km-re jutó üzemanyag
Sűrűséget ellátottságot kifejezőSűrűséget, ellátottságot kifejezőPl: orvossal való ellátottság, népsűrűség
Átlagos értéket kifejezőPl: 1 főre jutó átlagkereset
ArányszámokPl: 100 főre jutó születések száma
Gazdálkodás hatékonyságát jelző mutatókPl: 1 dolgozóra jutó termelési érték, 1 főre jutó GDP
8
Intenzitási viszonyszám
Egyenes intenzitási viszonyszám:A mutató színvonalának alakulása egybeesik az int. viszonyszám növekedésével.yPl: orvosok száma / lakosok száma (ezer fő)
Fordított intenzitási viszonyszám:Amikor a jelenség színvonala javul, akkor a fordított int. viszonyszám értéke csökken.Pl: lakosok száma (e fő) / orvosok száma
Intenzitási viszonyszám
Nyers intenzitási viszonyszám:
Pl: tejhozam / tehenek számaPl: tejhozam / tehenek száma dolgozók / hallgatók
Tisztított intenzitási viszonyszám:
Pl: tejhozam / tejelő tehenek száma oktatók / hallgatók
Definíciók
Lakónépesség: az adott területen lakóhellyel rendelkező, és másutt tartózkodási hellyel nem rendelkező személyek valamint az ugyanezenszemélyek, valamint az ugyanezen területen tartózkodási hellyel rendelkező személyek együttes száma.
Természetes szaporodás (fogyás): az élveszületések és a halálozások különbözete.
Definíciók
Tényleges szaporodás (fogyás): a természetes szaporodás (fogyás) és a vándorlási (belföldi és nemzetközi) különbözet (+,–) összege.Gyermeknépesség eltartottsági rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) a 15–64 éves népesség százalékában.Idős népesség eltartottsági rátája: az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.Eltartott népesség rátája: a gyermeknépesség (0–14 éves) és az idős népesség (65–X éves) a 15–64 éves népesség százalékában.
Definíciók
Öregedési index: az idős népesség (65–X éves) a gyermeknépesség (0–14 éves) százalékában.Házasságkötés: a hivatalosan eljáróHázasságkötés: a hivatalosan eljáró anyakönyvvezető előtt – két tanú jelenlétében – kötött házasság.Válás: a jogerőre emelkedett bírói ítélettel felbontott vagy érvénytelenített házasság. Jogerőre az a házasságot felbontó vagy érvénytelenítő ítélet emelkedett, amely ellen további jogorvoslatnak helye nincs.
Definíciók
Élveszületés: (az ENSZ ajánlása szerint) olyan magzat világrajövetele, aki az életnek valamilyen jelét (mint légzés vagy szívműködés illetőleg köldökzsinór-szívműködés, illetőleg köldökzsinórpulzáció) adja, tekintet nélkül arra, hogy mennyi ideig volt az anya méhében és mennyi ideig élt.Teljes termékenységi arányszám: azt fejezi ki, hogy az adott év kor szerinti születési gyakorisága mellett egy nő élete folyamán hány gyermeknek adna életet.
9
Definíciók
Halálozás: az élet minden jelének végleges elmúlása az élveszületés megtörténte után bármikor, azaz az életműködésnek a születés utániéletműködésnek a születés utáni megszűnése, a feléledés képessége nélkül.Csecsemőhalálozás: az élveszületést követően az egyéves kor betöltése előtt bekövetkezett halálozás. A halvaszülött és a születésének évfordulóján meghalt gyermek nem csecsemőhalott.
DefiníciókVárható átlagos élettartam: azt fejezi ki, hogy a különböző életkorúak az adott év halandósági viszonyai mellett még hány évi élettartamra számíthatnak.
Csecsemőhalálozási arányszám: ezer élveszülöttre jutó egy éven aluli meghalt.Halálok: mindazon betegség, kóros állapot vagy sérülés, amely vagy eredményezte, vagy hozzájárult a halálhoz (halálozáshoz), valamint olyan baleset vagy erőszak körülménye, amely halálos sérülést okozott.
Grafikus ábrázolás
Grafikus ábrázolás
Az adatok megjelenítésének, szemléltetésének fontos eszköze. Információ megjelenítése képi formában.(megérteni és készíteni is fontos)( g )Alapvetően arányokat érzékeltet.Cím, egyértelmű jelmagyarázatok, mértékegységek, forrásra való hivatkozás szüks.Bizonyos elemzési eszközökhöz bizonyos ábrázolási módok tartoznak.Általában szoftverekkel (speciális rajzoló szoftverekkel) készülnek.
Grafikus ábrázolás
Kördiagram: megoszlás ábrázolása körcikkek segítségével. (megoszlások, összehasonlítás)
Grafikus ábrázolás
Oszlopdiagram: összehasonlítás az oszlopok magasságával. (összehasonlítás)
10
Grafikus ábrázolásOsztott oszlopdiagram: a csoportosító sorok ábrázolásának eszköze, az összehasonlítandó oszlopon belül a megoszlás területarányos ábrázolása.
Grafikus ábrázolás
Vonaldiagram: idősorok adatainak koordinátarendszerben való ábrázolása.
Grafikus ábrázolás
Pontdiagram: két egymással összefüggésben lévő mennyiségi ismérv értékeinek ábrázolása koordinátarendszerben.
Grafikus ábrázolás
Kartogram: területi sorok ábrázolása térképen, az egyes régiók eltérő színeivel érzékelteti a köztük lévő különbséget.
Grafikus ábrázolás
Kartodiagram: területi sorok esetén
lk l h tóalkalmazható, az egyes földrajzi egységek adatait a térképen elhelyezett diagrammal ábrázolja.
Grafikus ábrázolás
Ponttérkép: a területi sorok szemléltetésére h álh tóhasználható, a pontok sűrűsége az adott területhez tartozó adat nagyságára utal.
11
Grafikus ábrázolásPiktogram: figurális ábrázolás, mely a jelenségeta jelenséget megtestesítő különböző nagyságú figurák alapján fejezi ki a nagyságrendi relációt.
Mennyiségi ismérv szerinti elemzésszerinti elemzés
Számított és helyzeti középértékekSzóródás, szóródási mérőszámokS ó ódás, s ó ódás é ős á o
Középértékekkel szembeni követelmények
maxmin xKx <<
1. közepes helyet foglaljon el az értékek között
2. tipikus érték legyen: álljon közel az előfordulóértékek zöméhez
3. legyen pontosan definiálva
4. könnyen értelmezhető legyen
5. számítása egyszerűen elvégezhető legyen
Középértékek
Számított HelyzetiSzámított középértékek (átlagok)
számtani átlagharmonikus átlagmértani átlagnégyzetes átlag
Helyzeti középértékek:
módusz medián
Átlagok
Súlyozatlan SúlyozottSzámtani
nx
x i∑=n
xfx ii∑=
Harmonikus
Mértani
Négyzetes
∑=
ix
nx1
n n
∑∑=
i
i
i
xff
x
nixx ∏= n f
iixx ∏=
nx
x i∑=2
∑∑=
i
ii
fxf
x2
12
Ugyanazon pozitív értékekből számított átlagok nagyságrendje
maxmin xxxxxx qgh ≤≤≤≤≤
hx gxés érzékeny a kiugróan alacsony értékekre
x qxés érzékeny a kiugróan magas értékekre
1. feladat
Az átlagolandó értékek: 3, 4, 5, 8.
Feladat) S á í ki á i h ik é i éa) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani és
a négyzetes átlagot! b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket! c) Állapítsa meg ugyanazon pozitív számokból
számolt átlagok sorrendjét!
Megoldás
54
8543=
+++=x 681.485434 =⋅⋅⋅=gx
Számtani átlag: Mértani átlag:
4
404.4
81
51
41
31
4=
+++=hx 2 2 2 2
q3 4 5 8 114x 28,5 5.339
4 4+ + +
= = = =
Harmonikus átlag: Négyzetes átlag:
2. feladat
Az átlagolandó értékek és a hozzájuk tartozó súlyok: ( ) adatok: 3, 4, 5, 8
( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1ix
if( ) gyakoriság: 4, 4, 1, 1
Feladat:a) Számítsa ki a számtani, a harmonikus, a mértani
és a négyzetes átlagot!b) Hasonlítsa össze a kapott eredményeket az előző
feladat a) részében kapott eredményekkel!
if
Megoldás
1.481514434=
⋅+⋅+⋅+⋅=x 907.3854310 1144 =⋅⋅⋅=x
Mértani átlag:Számtani átlag
10
762.3658.210
81
51
44
34
10==
+++=hx
907.38543gx
347.410
81514434 2222
=⋅+⋅+⋅+⋅
=qx
Harmonikus átlag: Négyzetes átlag:
Mediánaz az ismérvérték, amelyiknél az összes előforduló ismérvérték fele kisebb, fele nagyobb.
a) egyedi adatokból a rangsorból az -edik érték1+ng
b) osztályközös gyakorisági sorból:
osztópont:
, ahol
: a medián osztályköznek a gyakorisága,
meme
me
me hf
fn
xMe ⋅−
+=−
'1
02
mef
21+n
2n
13
Módusz
diszkrét ismérv esetén: a leggyakrabban előforduló érték
folytonos ismérv esetén: a gyakorisági görbe maximumához tartozó érték
Módusz becslése osztályközös gyakorisági sorból
0x
momo hkk
kxMo ⋅
++=
21
10
: a móduszt tartalmazó osztályköz alsó határa
, ahol
0mox
12 +−= momo ffkmoh
11 −−= momo ffk
: a móduszt tartalmazó osztályköz hossza
Nem egyenlő osztályközök esetén a módusz becslése f* átszámítottgyakoriságok alapján történik.
Megjegyzések
A módusza kiugró, extrém értékekre érzéketlennem mindig létezik (például, ha minden értéknem mindig létezik (például, ha minden érték egyforma valószínűséggel fordul elő)
3. feladat
Egy bp.-i lakóparkban télen megkérdezték a 3 szobás lakások tulajdonosait, hogy mennyi volt az előző havi rezsiköltségük. Az alábbi adatokat kapták ezer Ft.-ban:
75, 64, 69, 80, 76, 77, 86, 79, 65, 72, 73, 75, 75, 70
Feladat:Jellemezzük a 3 szobás lakástulajdonosok előző havi rezsiköltségét az adott esetben felhasználható középértékekkel!
Megoldás
75 ... 70X 7414+ +
= =
Számtani átlag:
A lakástulajdonosok előző havi átlagos rezsiköltsége 74
5,72
152
1==
+nMedián:
Me=75 ezer Ft A lakástulajdonosok felének 75 ezer Ft-nálkevesebb, a lakástulajdonosok másik felének pedig 75 ezerFt-nál nagyobb volt az előző havi rezsiköltsége.
Rangsor készítése:64, 65, 69, 70, 72, 73, 75, 75, 75, 76, 77, 79, 80, 86
ezer Ft.
4. feladatEgy benzinkútnál a napi eladott mennyiség szerint a személygépkocsik megoszlása a következő volt:
Értékesített benzin mennyisége (liter) Gépkocsik száma 10 – 19 1020 – 29 2830 – 39 4240 – 49 1550 – 59 5
Összesen 100
Feladat:Számítsa ki és értelmezze az átlagot!Becsülje meg a mediánt és a móduszt, és írja le jelentésüket!
14
Megoldás
Értékesített benzin mennyisége (liter)
Gépkocsik száma
Osztály-közép
Kumulált gyakoriság
10 – 19 10 15 1020 – 29 28 25 3830 – 39 42 35 8040 – 49 15 45 9550 –59 5 55 100
Összesen 100 --- ---
=⋅++⋅+⋅
==∑∑
100555...25281510
i
ii
fxf
x
A gépkocsik átlagosan 32,7 litert tankoltak a benzinkútnál az adott napon.
32,7 liter
Megoldás
502
1002
==n Mef →≥50'
me
hfn
xMe1
'
02
−−+= =⋅
−+= 10
42385030
Medián:sme= és a 3. osztályközben van
32,86 literme
meme h
fxMe 0, + 42
A gépkocsik fele 32,86 liter benzinnél kevesebbet tankolt,a gépkocsik másik fele pedig ennél többet az adott napon.
,
momo hkk
kxMo ⋅+
+=21
10, =⋅
−+−−
+= 10)1542()2842(
)2842(30
A legtöbb kocsi 33,41 liter benzin körüli mennyiséget tankoaz adott napon.
33,41 liter
Módusz: 3. osztályközben van
Szóródás
Az értékek különbözőségét, változékonyságát nevezzük szóródásnak.
Szóródási mérőszámok
1) Terjedelem:annak az intervallumnak a hossza, amelyen belül az ismérvértékek elhelyezkednek.y
minmax xxT −=
Szóródási mérőszámok
2) Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga Azt mutatja, hogy az ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól.Mértékegysége megegyezik az alapadatok mértékegységével.
A szórás négyzetét varianciának hívjuk.n
xxi∑ −=
2)(σ
nxxf ii∑ −
=2)(
σ
222 xxq −=σ
A szórás néhány tulajdonságai
A szórás akkor és csak akkor nulla, ha minden ismérvérték egyenlő.Az xi ismérvértékek additív transzformációja
tá ó á ált ikután a szórás nem változik.Az xi ismérvértékek multiplikatív transzformációja után a szórás a transzformációnak megfelelően változik.
15
Szóródási mérőszámok
3) Relatív szóráskülönböző alapadatok vagy ismérvértékek szóródásának összehasonlítására szolgál. Mértékegység nélküli szám, általában százalékos formában adják meg.
A relatív szórás az xi ismérvértékek additív transzformációja esetén változik, multiplikatív transzformációja esetén nem változik
10 −≤≤ nVx
V σ=