İstatİstİksel hİpotez testlerİ (t z...
TRANSCRIPT
1
İSTATİSTİKSEL
HİPOTEZ TESTLERİ
(t – z testleri)
2
Hipotez Nedir?
HİPOTEZ, parametre
hakkındaki bir inanıştır.
Parametre hakkındaki
inanışımızı test etmek için
hipotez testi yaparız.
Bu sınıfın not
ortalamasının 75
olduğuna inanıyorum.
3
Bir hipotez testinde iki hipotez yer alır: H0 : Boş hipotez, sıfır hipotezi H1 yada Ha : Alternatif hipotez Bir çok araştırmada; İnandığımız durum H0 hipotezinde yer alır. Aksi ispat edilemedikçe H0 hipotezi doğru kabul edilir. İddia edilen durum H1 hipotezinde ele alınır. Kendini kanıtlama zorunluluğu H1 hipotezine aittir. H1 hipotezi daima H0 hipotezinin tersi olarak ifade edilir. Not: Geçmiş bilginin olmadığı durumlarda H0 hipotezi iddia olarak ifade edilebilir.
4
Problemlerdeki hipotezleri belirlemek:
Populasyon ortalamasının 75 olduğunu
test edelim.
Adımlar: Soruyu istatistiksel olarak belirtin (H0: = 75)
Zıddını istatistiksel olarak belirtin (H1: 75)
Hipotezler birbirinden tamamen ayrıktırlar.
5
Hipotezlerin belirlenmesi alıştırmaları:
1. Populasyonun günde TV seyrettiği sürenin
ortalaması 12 midir?
= 12 12 H0: = 12 H1: 12
2. Populasyonun günde TV seyrettiği sürenin
ortalaması 12 den farklı mıdır?
12 = 12 H0: = 12 H1: 12
Aşağıdaki durumlarda hipotezleri oluşturunuz:
6
3. Bir şapkanın ortalama maliyetinin
2.000.000 TL’den büyük olduğu iddia
edilmektedir, araştırınız.
H0: 2 000 000 H1: 2 000 000
4. Kitapçıda harcanan paranın 25.000.000
TL’den küçük olduğu iddia edilmektedir,
araştırınız.
H0: >25 000 000 H1: 25 000 000
7
Hipotez Testi Süreci
Populasyon
RET
Örnek
ortalaması 20’dir.
Örnek Hipotez reddedilir
!3
HAYIR5?20 == X
Populasyonun yaş
ortalamasının 35
olduğuna inanıyorum.
(H0 hipotezi )
8
Hipotez çiftleri:
01
00
:
:
=
H
HÇİFT TARAFLI TEST
01
00
:
:
H
HTEK TARAFLI TEST
0
Z
H0 RET
/2
Z 0
H0 RET H0 RET
/2
01
00
:
:
H
HTEK TARAFLI TEST
Z 0
H0 RET
9
Önem Seviyesi -
Örnekleme dağılımının RET bölgesinin
büyüklüğünü gösterir.
Tipik değerleri: 0.01, 0.05, 0.10
Araştırmanın başında araştırmacı
tarafından seçilir.
10
Karar Vermedeki HATALAR
H0: Masumdur
Bir Mahkeme Jürisi
Gerçek Durum Gerçek Durum
Karar Masum Suçlu Karar H 0 Doğru H 0 Yanlış
Masum Doğru HATA 1 - II. Tip
Hata ()
Suçlu HATA Doğru I. Tip
Hata ()
Testin
Gücü (1 - )
H0 ret
edilemez
H0 ret
Hipotez Testi
11
& Ters yönlü ilişki içindedir
Her iki hatayı da aynı
anda azaltamazsınız!
12
‘yı Etkileyen Faktörler:
Populasyon parametresinin gerçek değeri Hipotezdeki parametre değeri ile parametrenin gerçek
değeri arasındaki fark arttıkça da artar.
Önem derecesi -
azalırken artar.
Populasyon standart sapması -
arttıkça artar.
Örnek hacmi - n n azaldıkça artar
13
Hipotez testi adımları:
1. H0 ‘ı belirle.
2. H1 ’i belirle.
3. ‘yı seç.
4. n ‘i seç.
5. Test
istatistiğini seç
.
6. Kritik değerleri hesapla.
7. Veri topla.
8. Test istatistiğini hesapla.
9. İstatistiksel kararı ver.
10. Kararı açıkla ve yorumla.
14
Hipotez Testinde
Test İstatistiğinin Belirlenmesi
Ortalama yada iki
ortalama farkı için
2 biliniyor 2 bilinmiyor n30 n<30
Z İstatistiği t İstatistiği
Oranlar yada iki
oran farkı için
Z İstatistiği
Varyansların testi
Bir varyans için
İki varyans oranı için
2 İstatistiği F İstatistiği
15
Bilindiğinde Z Test İstatistiği
Z X X
n
x
x
=
=
/2
Z 0
H0 RED H0 RED
/2
Z/2 kritik değerler
tablodan bulunur.
45:
45:
1
0
=
H
H
Kabul ve Ret Alanları: örneğin çift taraflı test için
Bilinmediğinde fakat n30 olduğunda Z Test İstatistiği
Z X X
n
x
x
=
=
s
s
ORTALAMALARLA İLGİLİ HİPOTEZ TESTLERİ
16
Çift Taraflı Z Testine Örnek:
Bir fabrikada üretilmekte olan vidaların boylarının ortalaması 100 mm,
ve standart sapması 2 mm olan normal dağılım gösterdikleri
bilinmektedir. Makinalarda olan bir arıza giderildikten sonra üretilen
vidalardan alınan 9 vidalık bir örneğin bot ortalaması 102 mm olarak
bulunmuştur. Makinalardaki arıza giderilirken vidaların boyunun ayarı
bozulmuş mudur? =0.05 için test ediniz ve yorumlayınız.
mmH
mmH
100:
100:
1
0
=
1. Adım: Hipotezlerin belirlenmesi
2. Adım: Test istatistiğinin hesaplanması
392
100102=
=
=
n
XZhesap
17
3. Adım: Kritik değerlerin belirlenmesi:
Z .05 .07
1.6 .4505 .4515 .4525
1.7 .4599 .4608 .4616
1.8 .4678 .4686 .4693
.4744 .4756
Z 0 1.96
.500
- .025
.475 .06
1.9
Standart Normal
Dağılım Tablosu
/2 = .025
.4750
/2 = .025
-1.96
18
4. Adım: İstatistiksel karşılaştırmanın yapılması:
0
Ztablo= 1.96
/2 = .025 /2 = .025
-Ztablo= -1.96 Zhesap=3
H0 RED H0 RED
5. Adım: Karar verme ve yorumlama:
Zhesap değeri H0 RED bölgesine düştüğü için H0 hipotezi reddedilir, yani
vidaları boy ortalaması 100 mm’den farklıdır, makinanın ayarı
bozulmuştur.
19
Tek Taraflı Z Testi Örneği
Bir kutu mısır
gevreğinin ağırlığının
368 gr’dan fazla olduğu
iddia edilmektedir. n=
25 kutuluk bir örnek
alınmış veX = 372.5
gr. olarak bulunmuştur.
Firma
= 15 gram olduğunu
belirtmiştir. 0.05
seviyesinde test ediniz.
368 gr.
20
Çözüm
H0: 368
H1: > 368
= 0.05
n = 25
Kritik değer:
Test İstatistiği:
Karar:
Yorum:
= .05 için H0 hipotezi
reddedilemez.
Ortalamanın 368
gr.dan fazla olduğuna
dair yeterli kanıt yoktur.
Z X
n
=
=
=
372 5 368
15
25
1 50 .
.
Z 0
Ztablo=1.645
=.05
RET bölgesi
Zhesap=1.5
21
Çift Taraflı Z testi örneği:
Bu sene DEÜ.İİBF İktisat bölümünden mezun olacak öğrencilerin
mezuniyet not ortalamalarının 70 olduğu iddia edilmektedir. Bu amaçla
mezuniyet sonrası 36 öğrencilik bir örnek alınmış ve mezuniyet
ortalamalarının 66, standart sapmasının 12 olduğu bulunmuştur. Bu
veriler ışığında iddiayı =0.01 için test ediniz.
I. H0 : =70
H1 : 70 II. Z X X
n
x
x
=
=
s
s
III. =0.01 için z tablo değeri 2.58 IV. |zhes|<|ztab| H0 red edilemez.
22
ORANLARLA İLGİLİ HİPOTEZ TESTİ
Çift Kuyruk Testi 01
00
:
:
PPH
PPH
=
Sol Kuyruk
Testi
Sağ Kuyruk Testi
01
00
:
:
PPH
PPH
01
00
:
:
PPH
PPH
Örnekten hesaplanan oran p ile gösterilirse oranlarla ilgili test istatistiği;
n
PP
PpPpZ
p )1(
=
=
23
ÖRNEK Bir süpermarketler zinciri sahibi müşterilerinin %95’ten fazlasının
süpermarketlerindeki fiyatlardan memnun olduğunu söylemektedir.
Tesadüfi olarak seçilen 200 müşteriden 184’ü fiyatlardan memnun
olduğunu bildirmektedir.%1 önem düzeyinde , süpermarketteki fiyatlardan
memnun olanların oranının %95’e eşit olmadığını söyleyebilir miyiz?
01
00
:
:
PPH
PPH
=01.0= 58.2=tabZ
95.1
200
)95.01(95.0
95.092.0
)1(=
=
=
=
n
PP
PpPpZ
p
0H Kabul
24
ORTALAMALAR ARASI FARKLARLA
İLGİLİ HİPOTEZ TESTLERİ
Çift Kuyruk Testi 211
210
:
:
=
H
H
Sol Kuyruk Testi
211
210
:
:
H
H
Sağ Kuyruk
Testi
211
210
:
:
H
H
25
İki Ortalama Farkı İçin Test İstatistiği
2
2
2
1
2
1
212121 )()()(
21
nn
XXXXZ
XX
=
=
2
2
2
1
2
1
212121 )()()(
21
n
s
n
s
XX
s
XXZ
XX
=
=
)11
(
)(
21
2
21
nns
XXZh
=
biliniyor ise:
bilinmiyor fakat
örnek hacimleri 30 ise:
21
2
22
2
112
nn
snsns
=
1s 2s homojen olduğu
ve
varsayımıyla
26
ÖRNEK
Aynı faaliyet kolunda üretim yapan fabrikaların birincisinden tesadüfi olarak seçilen 80 mamulün ortalama dayanma süresi 135 gün ve standart sapması 15 gün; ikincisinden alınan 95 mamulün ise ortalama dayanma süresi 130 gün ve standart sapması 18 gündür. %1 önem seviyesinde , birinci fabrikada üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin daha fazla olduğunu söyleyebilir miyiz?
211
210
:
:
H
H01.0= 0.5-0.01=0.4900 33.2=tabZ
94.2869080
)18(95)15(80 22
21
2
22
2
112 =
=
=
nn
snsns
27
94.2869080
)18(95)15(80 22
21
2
22
2
112 =
=
=
nn
snsns
95.1
95
1
80
194.286
)130135(
)11
(
)(
21
2
21 =
=
=
nns
XXZh
%1 önem seviyesinde sıfır hipotezi kabul edilerek birinci fabrikada
üretilen mamullerin ortalama dayanma süresinin diğerlerinden daha
fazla olmadığına karar verilir.
0512.04744.05.0)95.1( ==ZP
28
ORANLAR ARASI FARKLARLA İLGİLİ
HİPOTEZ TESTLERİ
Çift Kuyruk Testi
211
210
:
:
PPH
PPH
=
Sol Kuyruk
Testi 211
210
:
:
PPH
PPH
Sağ Kuyruk Testi 211
210
:
:
PPH
PPH
29
Test İstatistiği
Anakütle için Örnek için
2
22
1
11
2121
)1()1(
)()(
n
PP
n
PP
PPppZh
=
2
22
1
11
21
)1()1(
)(
n
pp
n
pp
ppZh
=
21
2211
nn
pnpnp
=
)11
)(1(
)(
21
21
nnpp
ppZh
=
ve ‘nin homojen olduğu varsayımıyla 1p 2p
30
Örnek Bir video kaset kiralayıcısı macera filmi kiralamanın yöredeki erkek ve
kadınlar itibariyle farklılık gösterip göstermediğini merak etmektedir.Sözkonusu şahıs belli bir zaman periyodu içersinde dükkanına gelen 60 erkekten 51’nin ve 40 kadından 20’sinin macera filmi kiraladığını müşahede etmiştir. Bu verilere göre yöredeki erkeklerin kadınlardan daha fazla macera filmi kiraladığını % 5 önem seviyesinde söyleyebilir misiniz?
211
210
:
:
PPH
PPH
645.1=tabZ 85.01 =p 50.02 =p
71.04060
)50.0(40)85.0(60=
=p
78.3
)40
1
60
1)(71.01(71.0
05085.0=
=hZ
0H RED
31
ALIŞTIRMALAR
1. Bir toplumda erkekler arasında akciğer hastalığı oranının %30
olduğu bilinmektedir. Sigara içenlerde akciğer hastalıklarına daha sık
rastlanıp rastlanmadığı araştırılmak isteniyor. Bu amaçla sigara içen
erkekler arasından rasgele seçilen 200 erkekten 80’inin bir akciğer
hastalığı geçirdiği/geçirmekte olduğu saptanıyor. Sigara içenlerde
akciğer hastalığına yakalanma oranının daha fazla olduğu
söylenebilir mi?
2. Büyük bir alışveriş merkezinin kayıtlarına göre merkeze gelen 1000
erkekten 100’ü ,1000 bayandan ise 250’si oyuncak reyonundan
alışveriş yapmıştır. Bayanların çocuklarına daha çok oyuncak alıp
almadıklarını test ediniz.
32
3. Bir çimento fabrikası ürettiği çimentodan yapılan beton blokların
sağlamlığının standart sapmasının 10 kg/m2 ‘den fazla olduğunu iddia
etmektedir. İddiayı test etmek amacıyla 10 beton blok alınmış ve
sağlamlık test yapılmıştır. Test sonucunda alınan örneğin sağlamlık
ortalaması 312 kg/m2, varyansı 195 kg2/m4 olarak bulunmuştur.
a) İddiayı %95 güvenle test ediniz.
b) Aynı veriler için populasyon varyansının 200’ün altında olduğu
iddiasını test ediniz.
c) Aynı veriler için populasyon varyansının 100 olup olmadığını test
ediniz.