LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETASVandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas

Statybinių konstrukcijų katedra

Kazys Aleksandras Vaišvila,Algimantas Patašius,

Raimondas Šadzevičius

STATYBINĖ MECHANIKAMOKOMOJI KNYGA

KAUNAS, ARDIVA2008

Kazys Aleksandras Vaišvila, Algimantas Patašius, Raimondas Šadzevičius

STATYBINĖ MECHANIKAMokomoji knyga

Recenzavo: doc. dr. Jonas Juodis, (LŽŪU Statybinių konstrukcijų katedra)doc. dr. Juozas Vyčius (LŽŪU Hidrotechnikos katedra)

Aprobuota: Statybinių konstrukcijų katedros posėdyje, 2007 01 12, protokolo Nr. 166Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakulteto studijų komisijos posėdyje, 2007 05 15, proto-kolo Nr. 14

Kalbą redagavo Laima JonikienėMaketavo Laurynas ArminasViršelio dailininkas Dainius Radeckas

UDK 624.04 (075.8)Va-112

ISBN 978-9955-896-24-1

© Kazys Aleksandras Vaišvila, Algimantas Patašius, Raimondas Šadzevičius, 2008© Lietuvos žemės ūkio universitetas, 2008

3

TURINYST U R I N Y S .................................................................................................................3ĮVADAS .........................................................................................................................5

Statybinės mechanikos paskirtis ................................................................................5Tampriosios strypinės sistemos ................................................................................5Tampriųjų strypinių sistemų skaičiavimo pagrindinių priklausomybių ir diskretinių modelių sudarymo principai .....................................................................................6

1. SUDĖTINĖS SIJOS SKAIČIAVIMAS ....................................................................91.1. Sijos, atramos, atraminės reakcijos ....................................................................91.2. Kinematinė sudėtinės sijos analizė ..................................................................101.3. Skaičiuotinė schema ir statinė sudėtinės sijos analizė .....................................121.4. Sijų įrąžos ........................................................................................................121.5. Sijų įrąžų diagramų sudarymas ........................................................................131.6. Sijų įrąžų diagramų savybės ............................................................................141.7. Sudėtinės sijos skaičiavimai ............................................................................15

1.7.1. Skaičiuotinė sijos schema ir kinematinė analizė ......................................161.7.2. Statiniai skaičiavimai ................................................................................161.7.3. Infl iuenčių sudarymas ...............................................................................18Atraminių reakcijų infl iuentės ...........................................................................19Lenkimo momentų ir skersinių jėgų infl iuentės .................................................191.7.4. Įrąžų skaičiavimas naudojant infl iuentes ..................................................221.7.5. Daugiaatramių sijų skaičiavimas kompiuteriu..........................................22Sudėtinės sijos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena SIJA.DAT ................231.7.6. Dvitėjinio profi lio parinkimas...................................................................24

2. TRILANKSČIŲ ARKŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI ......................................252.1. Arkų tipai, skaičiuotinės schemos sudarymo principai ....................................252.2. Trilankstės arkos skaičiavimai .........................................................................25

2.2.1. Trilankstės arkos skaičiuotinė schema ir atraminių reakcijų skaičiavimas 252.2.2. Nurodyto pjūvio vidinių įrąžų skaičiavimas .............................................272.2.3. Vidinių įrąžų infl iuenčių sudarymas .........................................................282.2.4. Vidinių įrąžų skaičiavimas pagal infl iuentes ............................................312.2.5. Trilanksčių arkų skaičiavimas kompiuteriu ..............................................31Trijų lankstų arkos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena ARKA.DAT .......312.2.6. Trilankstės arkos vidinių įrąžų diagramos ................................................332.2.7. Skerspjūvio parinkimas: ...........................................................................34

3. PLOKŠČIŲ SANTVARŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI ...................................363.1. Plokščios santvaros skaičiuotinės schemos sudarymo principai .....................363.2. Statiškai išsprendžiamos santvaros skaičiavimai .............................................37

3.2.1. Santvaros skaičiuotinės schemos paruošimas ...........................................373.2.2. Atraminių reakcijų skaičiavimas...............................................................393.2.3. Nurodyto pjūvio strypų įrąžų skaičiavimas ..............................................393.2.4. Nurodyto pjūvio įrąžų infl iuenčių sudarymas...........................................413.2.6. Santvaros skaičiavimas kompiuteriu ........................................................43

4. STATIŠKAI NEIŠSPRENDŽIAMOS KONSTRUKCIJOS (STRYPINĖS SISTEMOS) ................................................................................................................46

4.1. Poslinkių skaičiavimas .....................................................................................464.2. Statiškai neišsprendžiamų strypinių sistemų skaičiavimas jėgų metodu .........47

4.2.1. Strypinės sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnio nustatymas ......47

4

4.2.2. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas ........................................................504.2.3. Kanoninių lygčių sudarymas ....................................................................504.3. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas jėgų metodu ........................524.3.1. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas ........................................................524.3.2. Kanoninių lygčių koefi cientų skaičiavimas ir tikrinimas .........................534.3.3. Galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas ir tikrinimas ............544.3.4. Skersinių ir ašinių jėgų diagramų sudarymas ...........................................55Skersinių jėgų diagramų sudarymo pavyzdžiai: .................................................554.3.5. Reakcijų skaičiavimas ir tikrinimas. Skerspjūvio parinkimas ir perrinki-mas ......................................................................................................................57

4.4. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo jėgų metodu uždavinių sprendimo pavyzdžiai ...............................................................................................................58

4.4.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas ..................................................584.4.2. Rėmo pagrindinės sistemos parinkimas....................................................594.4.3. Rėmo pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos ......................604.4.4. Kanoninių lygčių koefi cientai ir laisvieji nariai........................................624.4.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų, skersinių ir ašinių jėgų diagramos ...644.4.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu .....................66

4.5. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas poslinkių metodu ....................684.6. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo poslinkių metodu uždavinių sprendimo pavyzdžiai .............................................................................................68

4.6.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas ..................................................694.6.2. Rėmo pagrindinės sistemos sudarymas ....................................................704.6.3.Pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos, kai jį veikia vienetiniai poslinkiai ir kai veikia aktyvinės apkrovos ........................................................714.6.4. Kanoninių lygčių koefi cientų ir laisvųjų narių skaičiavimas ....................744.6.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas .......................784.6.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu .....................79

4.7. Strypinių sistemų skaičiavimas baigtinių elementų metodu paremtomis komer-cinėmis kompiuterinėmis programomis..................................................................81

LITERATŪRA ............................................................................................................82

5

ĮVADAS

Statybinės mechanikos paskirtisVisos konstrukcijos turi atitikti bendruosius reikalavimus, turi būti pakankamai

stiprios, pastovios, standžios ir ekonomiškos. Norint, kad statinys atitiktų visus mi-nėtuosius reikalavimus, reikia skaičiavimo būdu patikrinti visas jo pagrindines kons-trukcijas, nustatyti jo elementuose, veikiant apkrovai, atsirandančias vidines jėgas (įrąžas), įtempius bei deformacijas.

Statybinė mechanika yra mokslas, kurio pateikiamais principais ir metodais ga-lima atlikti konstrukcijų stiprumo, standumo ir pastovumo skaičiavimus.

Statinio konstrukcijų skaičiavimas yra vienas iš projektavimo darbų etapų. Jo galu-tinis tikslas – gauti tokį sprendimo rezultatą, kad statinys ir jį sudarantys elementai būtų patikimi, ilgaamžiai, ekonomiški ir jį galima būtų normaliai eksploatuoti nustatytą laiką.

Medžiagų atsparumo kurse pagrindinis nagrinėjimo objektas yra strypas, o sta-tybinėje mechanikoje yra sudėtingesni objektai, sudaryti iš strypų arba kitokio pavi-dalo elementų. Tokioms mechaninėms sistemoms spręsti reikia sudėtingesnių meto-dų ir tobulesnių skaičiavimo priemonių.

Šiuo metu naujausios technologijos leidžia pritaikyti įvairias programas naudo-jantis kompiuterine technika.

Statybinėje mechanikoje daugiausia sprendžiami tik pirmojo skaičiavimo etapo uždaviniai – įrąžų nustatymas bei diagramų sudarymas. Antrajame etape atliekamas skerspjūvio įtempių nustatymas, parametrų (aukščio, pločio ir kt.) parinkimas. Šie už-daviniai dažniausia nagrinėjami įvairių konstrukcijų kursuose (pvz., metalinės kons-trukcijos, gelžbetoninės konstrukcijos ir t. t.).

Statinių laikančiosios konstrukcijos bei jų elementai – sudėtingos mechaninės sis-temos. Jų skaičiavimas – taip pat sudėtingas matematinis procesas. Jį galima atlikti tik matematiškai formalizavus tam tikrus reiškinius, t. y. matematiškai išreiškiant iš-orinių apkrovų poveikį, konstrukcijas sudarančių medžiagų mechaninį poveikį esant įvairioms įtempių būklėms, visos konstrukcijos darbo sąlygas ir kt. (Čyras, 1989). Šių reiškinių matematinė išraiška kartu su pagrindiniais mechanikos (statikos) dėsniais ir sudaro konstrukcijos skaičiavimo matematinį modelį. Šį modelį išspręsti galima pa-naudojus matematikos būdus arba šiuolaikišką skaičiavimo techniką (kompiuterius).

Dabar įvairiose statybinėse organizacijose yra įkurti specializuoti skyriai, kurie užsiima statybinių konstrukcijų projektavimo darbais. Tai labai automatizuotas proce-sas. Daugelio konstrukcijų skaičiavimui sudarytos kompiuterinės programos: paren-kant pradinius duomenis ir sudarant reikiamą informaciją šiai programai realizuoti.

Nesunku suvokti, kad statybinės mechanikos paskirtis turi labai svarbią vietą ūky-je. Beveik visa, kas statoma, turi būti apskaičiuota.

Tampriosios strypinės sistemos

Statybinėje mechanikoje strypinė sistema suprantama kaip konstrukcija, sudaryta iš strypų, kurių skerspjūvio matmenys (plotis ir aukštis) daug mažesni už jų ilgį. Statiniu su-

6

prantama visuma atskirų elementų, sujungtų tarpusavio ryšiais ir sudarančių tam tikrą ne-kintamą plokščiąją ar erdvinę sistemą. Statybinės mechanikos uždavinys – nustatyti vidines jėgas – įražas (lenkimo momentus, skersines ir ašines jėgas), veikiančias tos sistemos strypų atskiruose pjūviuose, taip pat atskirų elementų ir visos sistemos deformacijas.

Strypinės konstrukcijos gali būti statiškai išsprendžiamos ir statiškai neišsprendžia-mos. Statiškai išsprendžiamos, kai jos atramų reakcijas galima rasti iš statikos pusiausvy-ros lygčių, ir paskui, taikant pjūvo metodą, rasti visas vidines jėgas (įrąžas), veikiančias bet kuriame skerspjūvyje. Statiškai neišsprendžiamos – tai tokios sistemos, kurių atra-minių reakcijų ir vidinių jėgų (įrąžų) negalima rasti, taikant tik pjūvo metodą ir statikos pusiausvyros lygtis. Norint išspręsti statiškai neišsprendžiamas sistemas, reikia sudaryti papildomas lygtis. Šios lygtys išreiškia sistemos deformavimosi sąlygas.

Statiškai neišsprendžiamos sistemos nuo statiškai išsprendžiamų sistemų skiriasi tokiomis savybėmis:

a) didesniu standžiu (dėl papildomų ryšių);b) mažesnėmis įrąžomis (ekonomiškesnės);c) netekusi dalies ryšių sistema nesuyra;d) įrąžų priklausomybe nuo skerspjūvio matmenų ir medžiagų savybių;e) papildomų įrąžų atsiradimu dėl temperatūros pokyčių, atramų sėdimo bei ga-

mybos netikslumų. Skaičiuodami konstrukciją, naudojamės ne tikruoju, o idealizuotu jos vaizdu,

t. y. skaičiuotine schema. Strypinių sistemų skaičiuotines schemas sąlygiškai gali-me suskirstyti į:

lankstines, kurių elementai mazguose sujungti (lankstais). Tai santvaros bei vantinės konstrukcijos. Santvaroms būdinga tai, kad išorinė apkrova yra pridėta tik mazguose, todėl, esant išskirstytajai apkrovai, ją būtina pakeisti mazgine. Skai-čiuojant santvaras, pagrindiniai nežinomieji yra strypų ašinės jėgos ir mazgų po-slinkiai. Vantinėse konstrukcijose visi elementai gali būti tempiamieji, taigi čia atsiranda tik ašinės tempimo jėjos;

lenkiamąsias, kurių elementai mazguose sujungti standžiai arba standžiai ir lanks-tiškai. Tai – sijos ir rėmai. Šių konstrukcijų strypai gali būti apkrauti ir skersine apkrova išilgai viso strypo, todėl čia galime įvertinti ne tik ašinių jėgų, bet ir lenkimo momentų bei skersinių jėgų įtaką. Prie lenkiamų sistemų galime priskirti dar ir arkas – pastarųjų strypų ašys yra kreivalinijinės;

mišriąsias, kurios gali būti sudarytos iš įvairių, anksčiau išvardytų konstrukcijų skaičiuojamųjų schemų grupių.

Šiame leidinyje bus nagrinėjamos tik plokščiosios sistemos, t. y. tokios, kur visi konstrukcijų elementai ir išorinė apkrova yra vienoje plokštumoje.

Tampriųjų strypinių sistemų skaičiavimo pagrindinių priklausomybių ir diskretinių modelių sudarymo principai

Tampriosios strypinės sistemos gali būti veikiamos įvairių išorinių apkrovų ir poveikių. Jos skaičiuojamos matricine forma pagal bendrus matematinius modelius ir

7

skaičiavimo algoritmus naudojant kompiuterius. Konstrukcijos fi ziniai ir geometriniai parametrai yra žinomi (pasirinkti).

Pagrindinės lygtys užrašomos ir analizės uždavinių matematiniai modeliai suda-romi remiantis šiomis prielaidomis:

· išorinė apkrova ir išoriniai poveikiai yra kvazistatinio tipo, t. y. jų dinaminio poveikio efektai neįvertinami;

· konstrukcijos medžiaga – idealiai tiesiškai tampri;· deformacijos mažos, todėl pusiausvyros lygtys sudaromos nedeformuotai

sistemai, t. y. sprendžiami geometriškai tiesiniai uždaviniai;· strypai (skaičiuojamieji elementai), jungiantys sistemos mazgus, idealiai

tiesūs.Skaičiuojant įvairias konstrukcijas (santvaras, rėmus, arkas bei kombinuotąsias

strypines sistemas), daromos papildomos, joms būdingos prielaidos.Pagrindinės sąvokos, būtinos sistemos diskretiniam modeliui sudaryti, yra tokios:

bet kuri strypinė sistema yra diskretinė; pjūviais tariamai ją galima suskaidyti į skai-čiuojamuosius elementus ir mazgus. Skaičiuojamieji pjūviai taip pat žymimi strypų ašių lūžio, sutelktųjų jėgų pridėjimo, skerspjūvio matmenų staigaus pasikeitimo ir atra-minių ryšių įtvirtinimų vietose. Jie sąlyginai dalija strypinę sistemą į pavienius elemen-tus ir mazgus. Paskirstytoji apkrova, veikianti tam tikruose strypų ruožuose, pridedama elementams.

Konstrukcijos diskretinio modelio mazgams ir elementams, kuriuose veikia n ieš-komų įrąžų, galimų poslinkių kryptimis būtina sudaryti n–k–m tiesiškai nepriklausomų statikos pusiausvyros lygčių (čia k – sistemos statiško neišsprendžiamumo laipsnis).

Strypinės sistemos elementų deformacijų ir mazgų poslinkių darnos lygtys, kurio-mis apibūdinamas deformacijų ir poslinkių geometrinis ryšys deformuotoje sistemoje, vadinamos geometrinėmis lygtimis.

Ryšys tarp idealiai tampriosios strypinės sistemos deformacijų ir jas sukeliančių įrąžų išreiškiamas apibendrintu Huko dėsniu, deformacijų ir įrąžų vektorių tiesinė pri-klausomybė vadinama fi zinėmis lygtimis.

Statikos pusiausvyros, geometrinės darnos ir fi zinių matricinių lygčių visuma, kuria aprašomas tampriosios strypinės sistemos įtempių ir deformacijų būvis, va-dinama konstrukcijos tampriojo skaičiavimo matematiniu modeliu. Lygčių spren-dimui naudojami tokie tikslieji skaičiavimo metodai: 1) jėgų; 2) poslinkių (defor-macijų); 3) mišrus.

Jėgų metodo nežinomieji yra jėgos atitinkamuose sistemos ryšiuose. Poslin-kių metodo nežinomieji – atskirų sistemos mazgų kampiniai ir linijiniai poslinkiai. Mišraus metodo nežinomieji – ir poslinkiai, ir jėgos.

Naudojamos tokios prielaidos: strypų deformacijos tik tamprios (galioja Huko dėsnis), skaičiavimas pagal nedeformuotą schemą, nepriklausomo jėgų veikimo principas ir kt.

Strypinėms sistemoms automatizuotai skaičiuoti Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišas sukūrė specialų algoritmą ir pro-gramas, formuojančias ne tik pagrindinių matricinių lygčių matricas ir vektorius, bet ir leidžiančias su mažiausia pradine informacija gauti tampriojo sprendimo rezultatus.

8

Norint pagrindinių lygčių formavimo procesą automatizuoti, būtina informacija apie konstrukcijos diskretinį modelį ir jį veikiančias išorines apkrovas.

Pradinę informaciją apie konstrukcijos diskretinį modelį galima skirstyti į:geometrinę – mazgų (taip pat ir atraminių) koordinates;topologinę, pateikiančią elementų, jungiančių mazgus, pavadinimus, elementų su

mazgais sujungimo ypatumus (lankstus, standus sujungimas), atraminių ryšių tipus;fi zinę, nurodančią elementų tipus ir fi zines charakteristikas. Pasirinkti trys skai-

čiuojamųjų elementų tipai. Pirmajam elementų tipui priskiriami tik lenkiami elementai, jiems reikia nurodyti standumus lenkiant EJ (E – tamprumo modulis, J – skerspjūvio inercijos momentas); antrajam tipui – lenkiami ir tempiami bei lenkiami ar gniuždomi elementai, jiems reikia nurodyti 2 standumus: gniuždant EA (A – skerspjūvio plotas) ir lenkiant EJ; trečiajam tipui – tik tempiami arba gniuždomi elementai, jiems reikia nurodyti standumus gniuždant EA.

Sistemos išorinėms apkrovoms ir poveikiams aprašyti būtina tokia informacija:a) išorinės apkrovos tipas ir jos pridėjimo vieta; numatyti du išorinės apkrovos

tipai:1)mazguose pridėtos sutelktosios jėgos (išoriniai momentai); 2) elementus vei-

kianti paskirstytoji apkrova, kuri suvedama į mazginę;b) išorinių poveikių tipai ir jų veikimo vieta. Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lin-

dišo kompiuterinės programos parašytos Fortran kalba ir jomis galima skaičiuoti tam-priųjų strypinių sistemų (sijų, rėmų, arkų, santvarų) analizės uždavinius. Gaunami šie skaičiavimo rezultatai: mazgų poslinkiai, pjūvių lenkimo momentai, ašinės ir skersinės jėgos, atraminės reakcijos. Šioje mokomojoje knygoje pateiksime pagal skaičiuojamą-sias schemas parengtas pradinių duomenų rinkmenas ir pagal skaičiavimo rezultatus sudarytas įrąžų diagramas. Detalūs tampriųjų strypinių konstrukcijų kompiuterinio skaičiavimo pavyzdžiai pateikiami skaičiuojamuosiuose darbuose.

9

1. SUDĖTINĖS SIJOS SKAIČIAVIMAS

1.1. Sijos, atramos, atraminės reakcijosSistemos, kurių visi strypai yra išdėstyti vienoje tiesėje, vadinamos sijomis arba

sijinėmis sistemomis. Jos paprastai būna horizontaliosios ir yra veikiamos tik vertika-liųjų apkrovų. Lenkiamus tiesius strypus įprasta vadinti sijomis. Sijos būna paprastos ir sudėtinės (daugiaatramės).

Skaičiuojamojoje schemoje paprasta sija vaizduojama tiese, kuri reiškia jos ge-ometrinę ašį. Konstrukcijose naudojamos sijos gali būti veikiamos aktyviųjų apkro-vų: sutelktųjų jėgų, išskirstytųjų jėgų ir sutelktųjų momentų. Praktikoje kiekviena reali sija paremiama (atitinkamai pritvirtinama) ant atramų, kurios perima aktyviąją apkrovą. Dėl to judesio suvaržymo kryptimis atramose vyksta reakcijos, t. y. pasy-viosios sijų apkrovos.

Žinoma, kad bet koks kūnas (elementas) plokščioje sistemoje turi tris nevar-žomas judėjimo galimybes (laisvumo laipsnius), t. y. jis gali judėti horizontalia bei vertikalia kryptimis ir suktis.

Sijų atramos pagal tai, kiek yra netekusios laisvumo laipsnių, arba pagal tai, kiek jose yra atraminių ryšių (gali vykti reakcijų), skirstomos į tris tipus: lankstinė paslan-kioji, lankstinė nepaslankioji, standžioji.

Lankstinė paslankioji atrama neleidžia sijai pasislinkti vertikaliai – netekusi vieno laisvumo laipsnio (turinti vieną atraminį ryšį), – joje gali vykti viena Fry reak-cija (Frz = 0, Μr = 0).

Lankstinė nepaslankioji atrama – netekusi dviejų laisvumo laipsnių (turinti du atraminius ryšius), – joje gali vykti dvi Fry ir Frz reakcijos (Mr = 0).

Standžioji atrama – netekusi visų galimų laisvumo laipsnių (turinti tris atraminius ryšius),– joje gali vykti trys Fry, Frz ir Mr reakcijos.

Kad sija būtų kinematiškai stabili, ji privalo turėti ne mažiau kaip tris atraminius ryšius. Priklausomai nuo atramų skaičiaus, jų ryšių pobūdžio, sijos skirstomos į: a) gembines, kurių vienas galas laisvas, o kitas įtvirtintas standžioje atramoje; b) dviatra-mes, kai sija remiasi į dvi atramas, iš kurių viena lankstinė nepaslanki, o kita – lanksti-nė paslanki; c) dviatrames su išsikišusiu ar išsikišusiais galais.

Šios sijos (turinčios tris atraminius ryšius) yra statiškai išsprendžiamos, nes jose vykstančias atramines reakcijas galima apskaičiuoti pagal statikos pusiausvyros lygtis

0;0;0 =Σ=Σ=Σ iyx MFF. Naudojama koordinatinių ašių sistema, kai teigiamoji x ašis nukreipta į dešinę, o

teigiamoji y ašis yra nukreipta žemyn, t. y. ji dažniausiai natūraliai sutampa su veikian-čiomis statybinėse konstrukcijose gravitacinėmis apkrovomis. Vertikaliosios reakcijos randamos užrašant momentų pusiausvyros lygtis apie vieną ir kitą atramas. Horizon-talioji reakcija (dedamoji) nepaslankiojoje lankstinėje atramoje, jei nėra horizontaliųjų apkrovų, yra lygi nuliui.

Sijos, turinčios daugiau kaip tris atraminius ryšius, statiškai neišsprendžiamos, nes jų atraminėms reakcijoms surasti statikos pusiausvyros lygčių neužtenka.

10

Gembinėms sijoms atraminių reakcijų atskirai skaičiuoti nebūtina – jos gau-namos nuosekliai apskaičiuojant sijų skerspjūviuose nuo išorinės apkrovos veikiančias įrąžas.

Dviatramių sijų atraminės reakcijos skaičiuojamos teorinės mechanikos kurse naudojamais metodais tokia tvarka:

1) pažymimos abiejose atramose vertikalių reakcijų kryptys (aukštyn, žemyn);2) rašomos pusiausvyros lygtys 0 ir 0A BM MΣ = Σ = ir apskaičiuojamos FrB

ir FrA reakcijos atitinkamai. Jei gauta teigiama reakcijos reikšmė, patvirtinama pasi-rinktoji kryptis, jei neigiama, – reakcijos kryptis yra priešinga pasirinktajai;

3) patikrinamas reakcijų skaičiavimo teisingumas pagal pusiausvyros lygtį 0;yFΣ = kai siją veikia tolygiai išskirstytoji apkrova, reakcijoms (paskui įrąžoms)

apskaičiuoti pastaroji pakeičiama atstojamąja ,lqFq ⋅= veikiančia išskirstytosios ap-krovos centre.

Sudėtinėmis (daugiaatramėmis) sijomis vadinamos sijinės sistemos, sudarytos iš kelių strypų, tarpusavyje sujungtų lankstais. Skaičiuojant sudėtines sijas, pir-miausia reikia atlikti kinematinę analizę, t. y. skaičiuoti laisvumo laipsnį L ir pati-krinti atraminių ryšių bei lankstų, jungiančių strypus, išdėstymą. Lankstai turi būti išdėstomi pagal šias taisykles:

· Viename tarpatramyje negali būti daugiau kaip du lankstai;· Tarpatramiai su dviem lankstais derinami su tarpatraminiais be lankstų;· Tarpatramiai su vienu lankstu gali eiti vienas po kito.Pastovumui horizontalia kryptimi garantuoti sudėtinėms sijoms užtenka turėti

vieną horizontalųjį ryšį.

1.2. Kinematinė sudėtinės sijos analizė

Prieš pradedant skaičiuoti konstrukciją, būtina įsitikinti, ar ji nėra judri, tai yra – atlikti jos kinematinę analizę. Kiekvienos konstrukcijos skaičiuotinę schemą galima įsivaizduoti kaip grandinę, sudarytą iš tam tikrų kinematiškai nekintamų standžių grandžių – bet kokios formos ir matmenų konstrukcinių elementų, kurie tarpusavyje sujungti ryšiais.

Skaičiuotinės schemos judrumą apibūdina jos laisvumo laipsnis – tai skaičius ge-ometrinių parametrų, reikalingų jos padėčiai erdvėje ar plokštumoje nustatyti. Geome-triškai nekintamais laikomi tokie statiniai, kurių forma nekinta, nesideformuojant jų elementams (grandims).

Grandies padėtį plokštumoje apibūdina trys nepriklausomi parametrai (pavyz-džiui, dvi koordinatės xa, ya ir pasisukimo kampas φb ), vadinasi, vienos grandies lais-vumo laipsnis yra lygus trims. Grandys tarpusavyje ir prie pagrindo siejamos kinema-tiniais ryšiais. Kiekvienas ryšys, atsižvelgiant į tai, koks jis yra, sumažina grandžių laisvumo laipsnį nuo vieno iki trijų. Lankstas, jungiantis dvi grandis, tokios grandžių sistemos laisvumo laipsnį mažina dviem, t. y. jis tampa lygus keturiems. Remiantis šiais samprotavimais, skaičiuotinės schemos laisvumo laipsnis bus:

L=3G–2š–r0, (1.1)

11

čia L – laisvumo laipsnis, G – grandžių skaičius, š – paprastų lankstų, jungiančių grandis, skaičius, r0 – atraminių ryšių skaičius.

Galimi trys L apskaičiuotųjų reikšmių atvejai:1) kai L = 0 – skaičiuotinė schema yra statiškai išsprendžiama ir atitinka būtiną

nejudrumo sąlygą, t. y. kinematinių ryšių yra tiek, kiek reikia geometriniam pastovumui garantuoti;

2) kai L < 0 – skaičiuotinė schema yra statiškai neišsprendžiama ir atitinka būtiną nejudrumo sąlygą, t. y. kinematinių ryšių yra daugiau negu reikia;

3) kai L > 0 – skaičiuotinė schema yra judri, t. y. trūksta kinematinių ryšių.Vadinasi, geometriškai nejudrioms skaičiuotinėms schemoms yra keliama

sąlyga L < 0.Pagal formulę (1.1) negalima visiškai spręsti apie schemos judrumą ir atskirų

grandžių tarpusavio sąveiką. Ji išreiškia būtiną geometrinio pastovumo sąlygą, kuri kartais gali būti nepakankama. Norint išvengti judrių skaičiuotinių schemų, atlieka-ma jų geometrinės struktūros analizė: sistemoje išskiriamos geometriškai pastovios dalys, kurios yra laikomos atskiromis grandimis, tada tikrinama, kaip tos grandys viena su kita sujungiamos.

Yra penki pagrindiniai geometriškai pastovių sistemų sudarymo būdai (1.1 pav.):

1.1 pav. Geometriškai pastovių sistemų sudarymo būdai

1) Prie dviejų grandžių, sujungtų lankstu A, dviem lankstais B ir C, prijun-giama trečioji grandis. Būtina sąlyga, kad visi trys lankstai nebūtų vienoje tiesėje (1.1 a pav.).

12

2) Prie grandies dviem strypais lankstiškai prijungiamas lankstinis mazgas A taip, kad visi trys lankstai nebūtų vienoje tiesėje (1.1 b pav.).

3) Dvi grandys tarpusavyje sujungiamos trimis linijiniais ryšiais, kurių ašys nėra lygiagrečios ir nesikerta viename taške (l.1 c pav.).

4) Prie dviejų lankstais sujungtų grandžių trimis strypais lankstiškai prijungiamas mazgas A taip, kad visi lankstai nepriklausytų tai pačiai grandžiai (l.1 d pav.).

5) Trys grandys, tarpusavyje sujungtos lankstiškai dviem linijiniais ryšiais, kurių susikirtimo centrai (menami lankstai Ci) nebūtų vienoje tiesėje (1.1 e pav.).

Pažeidus grandžių tarpusavio sujungimo dėsningumus, sistemos gali virsti judrio-mis arba akimirksniškai judriomis. Projektuojant konstrukcijas, reikia vengti net artimų akimirksniniam judrumui skaičiuotinių schemų, kai trys lankstai atsiduria vienoje tie-sėje ir kai trys ryšiai yra lygiagretūs arba kertasi viename taške.

Formulė (1.1) yra universali ir tinka įvairių skaičiuotinių schemų laisvumo laips-niui nustatyti.

1.3. Skaičiuotinė schema ir statinė sudėtinės sijos analizė

Sudėtinė sija pradedama skaičiuoti sudarius skaičiuotinę (aukštų) schemą, t. y. išskaidžius ją į paprastas dviatrames ir gembines sijas. Yra žiūrima, kad kiekviename aukšte būtų po tris atraminius ryšius, ir šie ryšiai turėtų į ką remtis. Pastovi dalis, ta, kuri turi tris ryšius, pvz., gembė; ji schemos žemutiniame aukšte, o nepastoviausia sijos dalis, dažniausiai strypas be atramų, – paliekama viršutiniame, pridedant trūkstamus ryšius, gaunamus suardžius lankstus. Lankstai, jungiantys strypus, turi du kinematinius ryšius, jie skaičiuotinėje schemoje pakeičiami lankstiškai nepaslankiomis atramomis.

Sudėtinė sija pradedama skaičiuoti nuo viršutiniojo aukšto, laipsniškai pereinant į žemesniuosius ir perkeliant į juos atramines reakcijas su priešingu ženklu. Jei jėga yra pridėta lankste, t. y. dviejų aukštų sandūroje, tai ją galima pridėti bet kuriame aukšte.

Gembinei sijai įrąžas galima apskaičiuoti nagrinėjant siją nuo laisvojo galo, dviatramės sijos įrąžos apskaičiuojamos paskui, kai apskaičiuojamos vertikalio-sios reakcijos, kurios randamos užrašant momentų pusiausvyros lygtis apie vieną ir kitą atramas.

Išsamiau sudėtinių sijų skaičiavimas bus nagrinėjamas vėliau sprendžiant konkretų pavyzdį.

1.4. Sijų įrąžos

Išorinė apkrova siją veikia nevienodai: skersai veikiančios sutelktosiosios ar išskirs-tytosios jėgos jos skerspjūviuose sukelia skersinių jėgų (Q) ir jėgų momentų (M) įrąžas, o sutelktieji lenkimo momentai – tik momento įrąžą (grynasis lenkimas). Abi įrąžos (išsky-rus grynojo lenkimo atvejį) nėra pastovios (ypač lenkimo momentas), kinta išilgai sijos, todėl svarbu nustatyti, kuriuose skerspjūviuose įrąžų poveikis yra pavojingiausias.

Statmena sijos ašiai vidinių jėgų atstojamoji vadinama skersine jėga Q(z).Vidinių jėgų atstojamosios momentas pjūvio centro atžvilgiu vadinamas len-

kimo momentu M(z).

13

Bet kurio sijos pjūvio įrąžų Q ir M reikšmės ir ženklai gaunami vienodi, nepri-klausomai nuo to, iš kurios pusės (kairės ar dešinės) skaičiuojama, jeigu laikomasi tų pačių medžiagų mechanikos kurse priimtų taisyklių:

Skersinė jėga laikoma teigiama, jei visų jėgų, esančių vienoje pjūvio pusėje, at-stojamoji kreipia tą sijos dalį pagal laikrodžio rodyklės kryptį (skersinė jėga yra teigia-ma, jei ji nagrinėjamo pjūvio atžvilgiu šlieja laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi), ir neigiama, – jei prieš laikrodžio rodyklės kryptį.

Lenkimo momentas laikomas teigiamu, kai sija išsigaubia žemyn ir tempia-mieji sluoksniai bus apačioje (kai lenkiamo strypo tempiamieji sluoksniai bus tei-giamos skerspjūvio ašies pusėje), ir neigiamu, – kai sija išsigaubia į viršų (tempia-mi sluoksniai bus viršuje).

Abi įrąžos (Q ir M) skirtinguose sijos skerspjūviuose yra nevienodos, todėl jų kitimo pobūdis per visą sijos ilgį vaizduojamas diagramomis. Norint teisingai jas nu-braižyti, reikia žinoti šių įrąžų tarpusavio ryšį.

Lenkimo momento, skersinės jėgos ir išskirstyto krūvio intensyvumo ryšys

( ).zdM Qdz

= (1.2)

Bet kurio sijos pjūvio lenkimo momento pirmoji išvestinė pagal kintamąjį sijos ilgį z yra lygi tame pjūvyje veikiančiai skersinei jėgai.

Apskaičiavus lenkimo momento antrąją išvestinę (diferencijavus 1.2 formulę dar kartą) gaunama:

arba

(1.3)

Vadinasi, išskirstytojo krūvio intensyvumas lygus lenkimo momento antrajai iš-vestinei sijos ilgio atžvilgiu.

Pagal sudarytas įrąžų Q ir M diagramas ir jų didumą nustatoma, kuris sijos skers-pjūvis gali būti pavojingas, t. y. kuriame skerspjūvyje medžiaga gali suirti arba atsirasti pernelyg didelės plastinės deformacijos. Tokį sijos skerspjūvį galima numatyti tik ne-sudėtingo jos apkrovimo atvejais, – tada įrąžos apskaičiuojamos tik tame pavojingame skerspjūvyje ir pagal jas parenkami skerspjūvio matmenys.

1.5. Sijų įrąžų diagramų sudarymas

Jei daugiaatramę siją veikia tik vertikalioji apkrova, tai joje ašinės jėgos lygios nuliui. Lenkimo momentai ir skersinės jėgos skaičiuojami taikant pjūvio metodą, atski-riant vieną sijos dalį, o atmestosios dalies poveikis pakeičiamas teigiamų krypčių len-

2

2

2

2

d M dQ qdz dz

d M dQ qdz dz

= = −

= =

⎫⎪⎬⎪⎭

14

kimo momentu, skersine ir ašine jėga, kurių reikšmės skaičiuojamos rašant momentų ir jėgų projekcijų į Y ir X ašis lygtis.

Lenkimo momentus ir skersines jėgas galima taip pat nustatyti taikant tokį praktinį būdą, kuriame slypi pjūvio metodas. Imama pjūviu atskirtoji paprastesnė (mažiau ap-krauta) sijos dalis ir vietoje atmestosios dalies poveikio pjūvio vieta sąlyginai įtvirtina-ma standžiai. Tada vertinama, kurie nagrinėjamo skerspjūvio sluoksniai bus tempiamieji, deformuojant siją skirtingoms jėgoms ar reakcijoms. Jei tempiami sluoksniai pasireiškia teigiamojoje y ašies kryptyje, lenkimo momentas bus teigiamas. Skaičiuojant skersinę jėgą pjūvyje, imama statmenai strypo ašiai veikiančių jėgų algebrinė suma. Laikrodžio rodyklės kryptimi nagrinėjamo pjūvio atžvilgiu veikiančios jėgos sukelia teigiamą sker-sinę jėgą. Taip apskaičiavus įrąžas kituose pjūviuose, braižomos jų diagramos.

Gautos skirtingų ženklų įrąžų reikšmės pagal susitarimą pažymimos nuo atskirai nubrėžtos sijos ašies vertikaliose ordinatėse: teigiamos skersinių jėgų reikšmės pažy-mimos virš ašies, neigiamos – žemiau ašies; teigiamos lenkimo momentų reikšmės pažymimos žemiau ašies, o neigiamos – virš ašies.

Paskui įrąžų reikšmių taškai sujungiami atitinkamomis, ryšį tarp M, Q ir Q nusa-kančiomis (1.2) ir (1.3) išraiškomis. Taip sudaromos įrąžų Q ir M diagramos, nusakan-čios įrąžų kitimą, priklausomai nuo sijos ilgio. Tikrinant jų sudarymo teisingumą (1.2) išraišką tikslinga turėti tokią:

dM = Q(z) · dz (1.4)

čia dM – sijos ruožo momento pokytis; Q(z) · dz – sijos ruožo skersinės jėgos diagramos plotas.Atitinkamo sijos ruožo skersinės jėgos diagramos plotas lygus momento poky-

čiui tame ruože.Aukštų sijų lenkimo momentų diagramas perkėlus ant bendros ašies, gaunamos

visos sudėtinės sijos lenkimo momentų ir skersinių jėgų diagramos. Skersines jėgas dar galima patikrinti pagal iš medžiagų mechanikos žinomą diferencialinį ryšį

dMQ tgdz

= = α (1.5)

Skersinės jėgos dydis nustatomas pagal tangentą kampo, kurį sudaro strypo geo-metrinė ašis su diagramos sudaromąja (arba liestine kreivalinijinės diagramos atveju), o ženklas – pagal tai, kaip ašis mažiausiu kampu gali artėti prie diagramos sudaromo-sios (liestinės): jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi – skersinė jėga bus teigiama, jei prieš – neigiama. Minėto kampo α tangento dydžiui (tai tolygu skersinei jėgai pjūvyje) nustatyti imami tam tikri statieji trikampiai iš lenkimo momentų diagra-mos, momentų ordinatės imamos absoliutiniu didumu, o skersinės jėgos ženklas nustatomas pagal aptartą taisyklę.

1.6. Sijų įrąžų diagramų savybės

1. Neapkrautuose sijos ruožuose skersinė jėga Q pastovi (diagrama – tiesė, lygiagreti sijos ašiai), lenkimo momentas M kinta (diagrama – pasvirusi sijos ašies atžvilgiu tiesė).

15

2. Sijos ruožuose, apkrautuose tolygiai išskirstytuoju krūviu, skersinė jėga Q kinta (diagrama – pasvirusi sijos ašies atžvilgiu tiesė), lenkimo momentas taip pat kinta (diagrama – kvadratinė parabolė).

3. Jei gembinės sijos laisvąjį galą veikia tik koncentruotas momentas, jis skersinės jėgos nesukelia (Q = 0), o lenkimo momentas per visą sijos ilgį – pastovus (M = const).

Toks lenkimo atvejis vadinamas grynuoju lenkimu.Apibendrinus 1, 2 ir 3 savybes, padaroma tokia išvada: atitinkamo sijos ruožo

lenkimo momentų diagrama visada vienu laipsniu yra aukštesnė kreivė už skersinių jėgų diagramą.

1. Jei sijos ruože Q > 0, tai M didėja (lenkimo momentų diagramos kreivė, brai-žant ją iš kairės į dešinę, brėžiama atitinkama kreive teigiamos lenkimo mo-mentų krypties pusėn, t. y. nuo ašies žemyn); jei Q < 0, tai M mažėja (diagramos kreivė braižant nukreipiama nuo ašies į viršų).

2. Jei sijos ruožo pjūvyje veikia sutelktoji jėga F, tos skersinių jėgų diagramos vietoje susidaro šios jėgos dydžio šuolis, o lenkimo momentų diagrama (pasvi-rusi tiesė) keičia kryptį (lūžis). Skersinė jėga skaičiuojama abiejuose to pjūvio (taško) pusėse.

3. Jei sijos ruože veikia koncentruotasis momentas, jis skersinių jėgų diagramai įtakos neturi, o lenkimo momentų diagramoje susidaro koncentruotojo momen-to dydžio šuolis. Lenkimo momentas skaičiuojamas abiejose to taško pusėse.

4. Tame sijos pjūvyje, kur Q diagrama kerta ašį, M diagramoje toje vietoje mo-mento reikšmė yra ekstreminė. Jei toks kirtimas gaunamas nuosekliai keičiantis skersinės jėgos reikšmei (išskirstytojo krūvio ruože), ekstreminei lenkimo mo-mento reikšmei apskaičiuoti nustatoma to pjūvio vieta: iš trikampių panašumo Q diagramoje arba išsprendus prilygintą nuliui skersinių jėgų kitimo lygtį.

5. Jei dviatramių sijų apkrovoje nėra koncentruotojo momento, teigiami Q di-agramos plotai lygūs neigiamiems. Bet kuriame sijos pjūvyje prieš laikro-džio rodyklę veikiantis momentas teigiamus Q diagramos plotus didina, ir atvirkščiai.

1.7. Sudėtinės sijos skaičiavimai

1.1 pavyzdysDuotai sudėtinei statiškai išsprendžiamai sijai reikia:

1.7.1. Sudaryti skaičiuotinę schemą ir atlikti kinematinę analizę.1.7.2. Sudaryti įrąžų nuo duotosios išorinės apkrovos diagramas.1.7.3. Sudaryti dviejų laisvai pasirinktų atraminių reakcijų ir trijų nurodytų

pjūvių įrąžų infl iuentes.1.7.4. Apskaičiuoti šių reakcijų ir nurodytų pjūvių įrąžų reikšmes, naudojantis

infl iuentėmis.1.7.5. Apskaičiuoti pasirinktų atraminių reakcijų ir trijų nurodytų pjūvių įrąžas,

naudojant kompiuterinio skaičiavimo programas.1.7.6. Parinkti atskiriems sijos ruožams dvitėjinius plieninius profi lius, kai leis-

tinieji įtempiai σadm = 200 MPa.

16

1.7.1. Skaičiuotinė sijos schema ir kinematinė analizė

Apskaičiuojame 1.2 pav. pavaizduotos sijos laisvumo laipsnį pagal formulę (1.1):

L=3G–2š–r0=3·4–2·3–6=0.

Vadinasi, sija yra statiškai išsprendžiama ir jai galima sudaryti aukštų schemą.

1.2 pav. Sudėtinės sijos a) skaičiuotinė ir b) aukštų schemos

1.7.2. Statiniai skaičiavimai

Skaičiuoti pradedama nuo viršutiniojo aukšto:Skaičiuojame siją 2–4. Skaičiuotinėje schemoje 1.2 pav. apkrovos veikimo kryptis yra tik vertikali,

todėl šioje ir kitose sijelėse horizontaliosios reakcijos lygios nuliui. Likusios dvi lygtys užrašomos taip:

2 4

4

4 2

2

100 2,0 3,0 0,

66,7 .

100 1,0 3,0 0,

33,3

r y

r y

r y

r y

M F

F kN

M F

F kN

= ⋅ − ⋅ =∑

=

= − ⋅ + ⋅ =∑

=

1.3 pav. Sijos 2–4 schema

Lenkimo momentai skaičiuojami taikant pjūvio metodą, atskiriant vieną sijos dalį. Lenkimo momentas laikomas teigiamu, kai sija išsigaubia žemyn:

4,5 2 33,3 2 66,7 .r yM F l kNm= ⋅ = ⋅ =

Skaičiuojame siją 1–2.

17

Sija 1–2 yra gembinė, todėl jos įrąžas galima apskaičiuoti nagrinėjant siją nuo laisvojo galo. Perkėlus atraminę reakciją Fr2y su priešingu ženklu iš viršutinio aukšto 2–4 bei įvertinus išorinės jėgos F poveikį, nustatomas lenkimo momentas:

1 100 2,0 33,3 2,0 266,7 .M kNm= ⋅ + ⋅ =

1.4 pav. Sijos 1–2 schema

Įvertinę viršutinių aukštų atramines reakcijas apskaičiuojame ir likusių sijų atra-mines reakcijas ir lenkimo momentus.

Skaičiuojame siją 4–7

5 7

7

7 5

5

8,9

2

10,11

10,0 7,0 3,5 7,0 66,7 1,0 0,

25,5 .

0 66,7 8,0 7,0 10,0 7,0 3,5 0,

111,1 .

66,7 1,0 66,7 .

10,0 7,0 66,789, 2 .

4 2

r y

r y

r y

r y

M F

F kN

M F

F kN

M kNm

M kNm

= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ =∑

=

= − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =∑

=

= ⋅ = −

⋅= − =

1.5 pav. Sijos 4–7 schema

Skaičiuojame siją 7–9

2

14,15

16

10,0 (3,0) 121,538, 2 ,

4 225,5 3,0 10,0 3,0 1,5 121, 4 .

M kNm

M kNm

⋅ −= − =

= − ⋅ − ⋅ ⋅ =

1.6 pav. Sijos 7–9 schema

Apskaičiavus atskirų aukštų sijų lenkimo momentus, analogiškai pagal medžiagų atsparumo taisykles nustatomos ir sijų skersinės jėgos.

18

Aukštų sijų vidinių įražų diagramas perkėlus ant bendros ašies, gaunamos visos sudė-tinės sijos lenkimo momentų ir skersinių jėgų diagramos, jos pavaizduotos 2.17 pav.

1.7 pav. Daugiaatramės sijos įrąžų diagramos

1.7.3. Infliuenčių sudarymas

Infl iuentė yra grafi kas, vaizduojantis įrąžos (reakcijos) priklausomybę nuo vienetinės jėgos, kuri gali užimti tam tikras padėtis sijos mazguose.

Tam tikro pjūvio įrąžos infl iuentė sudaroma, įvertinus sudėtinės sijos aukštų schemą, t. y. pradedama nuo to aukšto, kuriame yra nagrinėjamas pjūvis ar atraminė reakcija. Sudarius to aukšto infl iuentę, įvertinama vienetinės jėgos įtaka, kai ji veikia kituose aukštuose.

Braižant dviatramių sijų pjūvių įrąžų infl iuentes, kai pjūvis yra tarpatramyje, sija nagrinėjama du kartus. Pirmą kartą skaičiuojamas lenkimo momentas arba sker-sinė jėga, nagrinėjant dešiniąją sijos dalį, esančią nuo pjūvio, vienetinę jėgą paliekant kairiojoje pusėje, o antrą kartą – daroma priešingai. Nagrinėjama kairioji pusė, kai vienetinė jėga nuo pjūvio yra dešinėje. Abiem atvejais gaunamos priklausomybės nuo atraminių reakcijų, kurios yra žinomos. Reikia tik nustatyti gautų tiesių galioji-mo sritis. Nuo pjūvio į dešinę bus dešinioji tiesė, kuri gauta nagrinėjant kairiąją dalį, kai vienetinė jėga buvo dešinėje. Kairioji tiesė bus ta, kai nagrinėjama dešinioji dalis, o vienetinė jėga – nuo pjūvio kairiojoje pusėje. Jei sija su gembėmis, tai kairioji ir dešinioji tiesės atitinkamai pratęsiamos į kairiąją ir dešiniąją gembę.

Jei braižomos įrąžų infl iuentės pjūviams, kurie yra sijos gembėje, tai nagrinėja-ma tik laisvoji gembės dalis, imant dvi vienetinės jėgos padėtis abipus pjūvio. Užra-šius statikos lygtis abiem atvejais, gaunamos dvi infl iuentės ordinatės, jas sujungus gaunama nagrinėjamo pjūvio įrąžos infl iuentė. Akivaizdu, kai vienetinė jėga bus nuo pjūvio link atramos, įrąža pjūvyje bus lygi nuliui (gembė neapkrauta).

19

Reikia žinoti, kaip infl iuentė yra pratęsiama į kitus aukštus. Akivaizdu, kad kai vietinė jėga yra žemesniuose aukštuose, aukščiau esantys aukštai jos poveikio nejau-čia, t. y. ten infl iuentės ordinatė yra nulinė. Jei pagal aukštų schemą vienetinė jėga gali veikti aukštesniuose aukštuose, tai infl iuentė pratęsiama pagal šią taisyklę: ties atrama infl iuentės ordinatė yra lygi nuliui, ties lankstu – lūžis.

Atraminių reakcijų infliuentės

Sijos 4–7, atramos 5, reakcijų infl iuentė Fr5y sudaroma atidedant +1 ties atrama ir pratęsiant tiesę iki sijos galo, paskui pratęsiama į viršutinį aukštą. Tarpinės reakcijų infl iuentės ordinatės gaunamos nagrinėjant panašiuosius trikampius.

Lenkimo momentų ir skersinių jėgų infliuentės

8 pjūvio įrąžų infl iuentės:8 pjūvio lenkimo momentų infl iuentė:

M8=–1·1 = –1, kai F = 1 – gembės gale;

M8=–1·0 = 0, kai F= 1 – ties aštuntu pjūviu.

Nagrinėjant gembę, kai F = 1 pjūvio dešinėje, M8= 0 .8 pjūvio skersinės jėgos infl iuentė:Skersinė jėga, kai vienetinė jėga yra pjūvio kairėje, t. y. bet kurioje gembės

vietoje, Q8= 1 ir Q8= 0, kai vienetinė jėga dešinėje nuo pjūvio, t. y. – tarpatramyje. Infl iuentės pratęsiamos į viršutinį aukštą.

9 ir 10 pjūvio įrąžų infl iuentės:9 pjūvio lenkimo momento infl iuentė:

M9=Fr7y·7 = 7, kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio;

M9=Fr5y·1 = 1, kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio.

Esant pjūviui labai arti atramos, tai to pjūvio infl iuentė yra kaip gembėje, t. y ana-logiška 8 pjūvio infl iuentei.

10 pjūvio lenkimo momento infl iuentė:

M10=Fr7y·5 = 5, kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio;

M10=Fr5y·2 = 2, kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio.

Pjūvis dviatramės sijos tarpatramyje. Abiem atvejais atramose Fr7y ir Fr5y ly-gios vienetui (žr. reakcijų infl iuentes), todėl ties atramomis reikia atidėti reikšmes 5 bei 2 ir jas punktyrine linija sujungti su kitų atramų nulinėmis reikšmėmis. Pas-

20

kui nustatomos šių tiesių galiojimo sritys. Kai vienetinė jėga buvo kairėje, gauta pirmoji tiesė; ji galios nuo pjūvio į kairę, ją dar reikia pratęsti į viršutinį aukštą. Antroji tiesė gauta, kai vienetinė jėga buvo dešinėje, ji bus dešinioji.

9 pjūvio skersinės jėgos infl iuentė:

Q9=– Fr7y , kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio;

Q9=Fr5y , kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio.

10 pjūvio skersinės jėgos infl iuentė:

Q10 =– Fr7y , kai F = 1 – kairėje pusėje nuo pjūvio;

Q10 =Fr5y , kai F =1 – dešinėje pusėje nuo pjūvio.

Gautos Q9 ir Q10 reikšmės yra lygios atraminių reakcijų reikšmėms (pir-muoju atveju su minuso ženklu); belieka punktyrinėmis linijomis perbraižyti jau turimas reakcijų infliuentes ir nustatyti galiojimo ribas: Q9 ir Q10 infliuentes sudaro dvi lygiagretės tiesės – kairioji ir dešinioji: kairioji nuo -1 iki 0, dešinio-ji – nuo 0 iki +1. Tikroji infliuentės dalis – viršutinė tiesė iki pjūvio, ties pjūviu šuolis žemyn per 1, toliau apatinė tiesė – iki atramos.

Braižant M10 infliuentę ties aštuntuoju pjūviu bus lūžis, o braižant Q10 inf-liuentę – šuolis. Tarpinės įrąžų infliuenčių ordinatės gaunamos nagrinėjant pa-našiuosius trikampius.

Braižome duotų pjūvių ir atraminių reakcijų infl iuentes.

21

1.8 pav. Daugiaatramės sijos infl iuentės

22

1.7.4. Įrąžų skaičiavimas naudojant infliuentes

Z=Σi=1Fizi+Σi=1qiωi+Σi=1Mitgφ, čia F – sutelktoji išorinė apkrova, z – infl iuen-tės ordinatė ties apkrovos pridėjimo tašku, Q – tolygiai išskirstyta apkrova, ω – infl iu-entės plotas po tolygiai išskirstyta apkrova, M – išorinis lenkimo momentas, φ – kam-pas, kuriuo sukama strypo ašis iki infl iuentės sudaromosios, jei suka pagal laikrodžio rodyklę, ženklas teigiamas, jei prieš – neigiamas.

Naudodamiesi infl iuentėmis, apskaičiuojame reakcijų ir nurodytų pjūvių įrąžų reikšmes:

( )

( )( ) ( )

( )( )

5

8

8

9

9

10

100 0,762 10 0,5 1,0 7,0 111,1 ,

100 ( 0,666) 66,6 ,

100 0,666 66,6 ,

100 0,666 10 0,5 ( 7,0) 7,0 312 ,

100 0,666 10 1,0 7,0 7,0 557 ,

100 0, 476 10 0,5 1, 429 2,0 0,5 1, 429

r yF kN

M kNm

Q kN

M kNm

Q kN

M

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ − = −

= ⋅ − = −

= ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅( )( )10

5, 0 2,39 ,

0,095 100 10 0,5 0,714 5,0 0,5 0, 286 2,0 24,5 .

kNm

Q kN

=

= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

1.7.5. Daugiaatramių sijų skaičiavimas kompiuteriu

Daugiaatramių sijų skaičiavimas programa „SIJA“. Pasinaudojant Lietuvos že-mės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kom-piuterine programa „SIJA“, apskaičiuojamos sijų atramų reakcijos, pjūvių skersinės jėgos ir lenkimo momentai, sudaromos nurodytų atramų atraminių reakcijų ir nurodytų pjūvių vidinių jėgų infl iuentės.

Sijos skaičiuotinės schemos paruošimas. Priimame tokias išorinių apkrovų ženklų taisykles: sutelktosios išorinės jėgos laikomos teigiamomis, jei nukreiptos iš viršaus žemyn, neigiamomis – jei veikia iš apačios į viršų; sutelktieji lenkimo momentai, jei suka pagal laikrodžio rodyklę laikomi teigiami, jeigu prieš laikro-džio rodyklę – neigiami. Jei sija yra apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova, tai pir-miausia ją reikia pakeisti sutelktinėmis jėgomis. Paskui pažymimi sijos mazgai. Mazgai yra taškai, kuriuose yra išoriniai ryšiai, vidiniai lankstai ar veikia išorinės apkrovos. Mazgai žymimi eilės tvarka iš kairės į dešinę. Jei pjūvis, kurio įrąžai sudaroma infliuentė, yra ne prie atramų, sutelktųjų jėgų ar momentų pridėjimo vietos, tada įvedamas atskiras mazgas.

Pažymėjus mazgus, žymimi elementai ir pjūviai. Tarp mazgų esanti sijos dalis vadinama elementu. Elementai žymimi taip pat iš kairės į dešinę. Paskui pažymimi kiekvieno elemento du pjūviai: pradžios ir galo. Elemento pradžia laikoma vieta, kuri yra prie mažesnio mazgo numerio. Taip žymint pjūvius, elemento pradžios pjūvis vi-sada yra nelyginis skaičius, o galo – lyginis. Sijos skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, elementais, pjūviais parodyta 1.2 paveiksle.

23

1.9 pav. Sudėtinės sijos a) skaičiuotinė ir b) aukštų schemos

Pradiniai sijos duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje SIJA.DAT. Pra-dinių duomenų rinkmenos pavyzdžiai įrašyti VŪŽF kompiuterių klasės kompiuteriuo-se. Skaičiuotojas pasidaro savo vardu rinkmenos kopiją ir į ją surašo skaičiuojamos sijos pradinius duomenis. Pradinių duomenų pavyzdžio rinkmenoje yra visi pradinių duomenų paaiškinimai.

Sudėtinės sijos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena SIJA.DAT

„KARPYTOS SIJOS SKAICIAVIMAS“„PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“„ELEMENTU SKAICIUS (N)” 8„VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (K1)“ 3„KAMPINIU RYSIU SKAICIUS (K2)“ 2„LANKSTU SKAICIUS (K3)“ 3„VERTIKALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (N1)“ 4„MOMENTU SKAICIUS (N2)“ 0„KELIEMS PJUVIAMS SUDAROMOS Q,M INLIUENTES (NQM)“ 3„KELIOMS ATRAMOMS SUDAROMOS REAKCIJU INLIUENTES (NRA)“ 3„VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K1)“ 1,5,9„KAMPINIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K2)“ 1,9„LANKSTAI YRA MAZGUOSE (K3)“ 2,4,7„AKTYVINES JEGOS VEIKIA MAZGUS (N1)“ 2,3,6,8„MOMENTAI VEIKIA MAZGUS (N2)“ 0„Q IR M INFLIUENTES SUDAROMOS PJUVIAMS (NQM)“ 8,9,10„REAKCIJU INFLIUNTES SUDAROMOS ATRAMOMS (NRA)“ 1,5,9„ELEMENTU ILGIAI (N)“ 2.,2.,1.,1.,3.5,3.5,1.5,1.5„AKTYVINES VERTIKALIOS JEGOS (N1)“ 100.,100.,70.,30.„AKTYVINIAI MOMENTAI (N2)“ 0.

Sijos skaičiavimas atliekamas naudojant programą SIJA.EXE. Sijos skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duomenų rinkmenoje SIJA.REZ.

24

1.7.6. Dvitėjinio profilio parinkimas

Pagal stiprumo sąlygą – σsk=Mmax/Wx<σadm=200MPa. Iš sortimentų lentelės paren-kamas dvitėjinis profi lis, patikrinama jo laikančioji galia.

25

2. TRILANKSČIŲ ARKŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI

2.1. Arkų tipai, skaičiuotinės schemos sudarymo principaiArka vadinama skečiamojo tipo geometriškai pastovi lanko formos strypinė sis-

tema. Statybose dažnai naudojamos belankstės, vienlankstės ir trilankstės arkos. Iš mi-nėtų tipų statiškai išprendžiama trilankstė arka, todėl ją panagrinėsime detaliau. Arkos skaičiuotinė schema sudaroma remiantis tokiomis prielaidomis: skaičiuojamieji ele-mentai tiesūs, nekintamo standžio; juose vyrauja lenkimo ir gniuždymo bei tempimo deformacijos; išorinė apkrova veikia sistemos mazguose.

Arkų aukščiausias taškas yra vadinamas spyna. Vertikalus atstumas nuo arkos spynos iki tiesės, jungiančios apatinius arkos galus, vadinamas arkos pakyla ir žymi-mas raide f. Angos ilgio l ir arkos pakylos aukščio f santykis f/l išreiškia arkos iškilumą, kuris priklauso nuo arkos apybraižos, t. y. nuo y = f(x) išraiškos. Dažniausiai naudoja-mos arkos apybraižos yra parabolės ar elipsės formos.

2.2. Trilankstės arkos skaičiavimai

2.1 pavyzdys.Duotai arkai reikia:2.2.1. Sudaryti skaičiuotinę schemą ir apskaičiuoti atramines reakcijas.2.2.2. Apskaičiuoti nurodyto pjūvio (16) vidines įrąžas.2.2.3. Sudaryti nurodyto pjūvio (16) vidinių įrąžų infl iuentes.2.2.4. Pagal sudarytas infl iuentes apskaičiuoti nurodytų pjūvių vidines įrąžas.2.2.5. Paruošti arkos skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis ir atlikti jos

sprendimą.2.2.6. Pagal skaičiavimo rezultatus pabraižyti arkai ašinių jėgų diagramą.2.2.7. Parinkti idealų plieninį profi lį, kai leistinieji įtempiai σadm = 200 MPa, skers-

pjūvio aukštis h = 0,5m, juostos storis t = 0,1·b, kur b ─ juostos plotis.

2.2.1. Trilankstės arkos skaičiuotinė schema ir atraminių reakcijų skaičia-vimas

Sudarome skaičiuotinę arkos schemą ir apskaičiuojame atramines reakcijas:Arkos ašies horizontali projekcija (angos ilgis l) padalijama į mazgus ir pavienius

tiesius nekintamo standžio elementus, kurių skaičius parenkamas atsižvelgus į arkos lanko apybraižos ypatumus (angos ilgį, pakylos aukštį). Parenkame 20 elementų. Ar-kos pakylos aukštis f apskaičiuojamas pagal formulę:

f = l·0,35 = 34·0,35 = 11,9 m,

čia l – angos ilgis.16 pjūvio koordinatės:

26

x16 = α·l = 0,8·34 =27,2 m;

y16 = 16 16 162 24 4 11,9( ) (34 27,2) 27,2 7,616

34fy l x x

l⋅ ⋅

= ⋅ − = ⋅ − ⋅ = m.

Trijų lankstų arkos skaičiuotinė schema pavaizduota 2.1 pav.

2.1 pav. Trijų lankstų arkos skaičiuotinė schema

Arkos atraminės reakcijos nustatomos kaip ir paprastai dviatramei sijai:

2.2 pav. Trijų lankstų arkos skaičiuotinė schema

00 0r y r yF F=

; 0

20 20r y r yF F=

0 0M =∑ ;2

201727,2· · ·34 0

2 r yF q F+ − = ;

2

20

1727,2· · 2176 43352 191,534 34r y

F qF

+ += = = kN;

20 0M =∑ ;

27

017·34 ·17· 17 ·6,8 02r yF q F⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠;

0

17·17· 17 ·6,813005 5442 398,5

34 34r y

q FF

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = = kN;

Patikrinimas:

0V =∑ ;

0 20 · 398,5 191,5 80 30·17 590 590 02r y r ylF F F q+ − − = + − − = − = ;

iMHf

= ;

2

20

0172· · 398,5·17 30· 6774,5 4335 2439,5kNm

2 2 2K

l r y

llM F q

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= − = − = − =

2439,5 20511,9

H = = kN

2.2.2. Nurodyto pjūvio vidinių įrąžų skaičiavimas

Apskaičiuojamos 16 pjūvio vidinės įrąžos.Lenkimo momentas:

0 ·x x xM M H y= − ;

016 16 16·M M H y= − ;

( ) ( )0 016 20 16· 191,5· 34 27,2 191,5·6,8 1302,2r yM F l x= − = − = = KNm;

M16 = 1302,2─205·7,616 = 1302,2─1561,28 = – 259,08 KNm.

Skersinės jėgos:0 ·cos ·sinx x x xQ Q H= ϕ − ϕ ;

28

016 16 16 16·cos ·sinQ Q H= ϕ − ϕ ;

( ) ( )'16 16 162 2

4· 4·11,92· · 34 2·27,2 0,8434

ftg y l xl

ϕ = = − = − = − ;

φ16 = – 40,030 ;

sin φ16 = – 0,643192;

cos φ16 = 0,765705;0 *16 20 191,5 80 111,5r yQ F F= − + = − + = −

kN;

016 20 191,5D

r yQ F= − = − kN;

16 0,765705·( 111,5) 205·( 0,643192) 85,376 131,854 46,478KQ = − − − = − + = kN;

16 0,765705·( 191,5) 205·( 0,643192) 146,632 131,854 14,778DQ = − − − = − + = − kN.

Ašinės jėgos:0( ·sin ·cos )x x x xN Q H= − ϕ + ϕ ;

016 16 16 16( ·sin ·cos ) (111,5·( 0,643192) 205·0,765705)

71,716 156,969 228,685 ;

K KN Q HkN

= − ϕ + ϕ = − − + =

= − − = −

016 16 16 16( ·sin ·cos ) (191,5·( 0,643192) 205·0,765705)

123,171 156,969 280,140 ;

D DN Q HkN

= − ϕ + ϕ = − − + =

= − − = −

2.2.3. Vidinių įrąžų infliuenčių sudarymas

Sudarome nurodyto pjūvio T16 vidinių įrąžų infl iuentes.Atraminių reakcijų Fr0y ir Fr20y infl uentės sudaromos kaip ir paprastai dviatra-

mei sijai.Horizontaliosios reakcijos H:

34 0,714284· 4·11,9

Hc

lyf

= = = ;

164 · 0,4·0,71428 0,28571

10H H

cy y= = = .

Lenkimo momento M:0 16

16 1627,2·( ) ·(34 27,2) 5,4434

M xy l xl

= − = − = ;

29

0 1616

34 27,2 3,42 2

M l xy − −= = = ;

0 ·M M Hc c c Ty y y y= − ;

0

16· 3,4 0,71428·7,616 2,04M M Hc c cy y y y= − = − = − ;

0

16 16 16 16· 5,44 0,28571·7,616 3,264M M Hy y y y= − = − =.

Skersinės jėgos QT:0 ·cos ·sinT T T TQ Q H= ϕ − ϕ ;

0

16 16

1 1· ·27,2 0,834

QK x

lη = − = − = − ;

0

16 16

1 1·( ) ·(34 27,2) 0,234

QD l x

lη = − = − = ;

0 1 0,52

Qcη = − =

;0

16 16 16 16 16·cos ·sin 0,8·0,765705 0,28571·( 0,643192)0,612564 0,183766 0,428798;

Q Q HK K yη = η ϕ − ϕ = − − − =

= − + = −0

16 16 16 16 16·cos ·sin 0,2·0,765705 0,28571·( 0,643192)0,153141 0,183766 0,336907;

Q Q HD D yη = η ϕ − ϕ = − − =

= + =

0

16 16·cos ·sin 0,5·0,765705 0,71428·( 0,643192)0,38285 0,45942 0,07657;

Q Q Hc c cyη = η ϕ − ϕ = − − − =

= − + =Ašinės jėgos NT:

0( ·sin ·cos );T T T TN Q H= − ϕ + ϕ

0

16 16 16 16 16( ·sin ·cos ) (( 0,8)·( 0,643192) 0,28571·0,765705)0,51455 0,21877 0,73332;

N Q HK K yη = − η ϕ + ϕ = − − − + =

= − − = −

0

16 16 16 16 16( ·sin ·cos ) (0,2·( 0,643192) 0,28571·0,765705)0,12864 0,21877 0,09013;

K Q HD D yη = − η ϕ + ϕ = − − + =

= − = −

0

16 16 16( ·sin ·cos ) (( 0,5)·( 0,643192) 0,71428·0,765705)0,32160 0,54693 0,86853;

N Q Hc c yη = − η ϕ + ϕ = − − − + =

= − − = −

30

2.3 pav. Trijų lankstų arkos infl iuentės

31

2.2.4. Vidinių įrąžų skaičiavimas pagal infliuentes

Skaičiuojame duoto pjūvio vidines įražas pagal infl uentes:

16

13,264· ·2,04·17· 261,12 520,2 259,08 ;2

M F q kNm= − = − = −

16

1·0,07657·17· 0,428798· 19,525 34,304 14,7798 ;2

DQ q F kN= − = − = −

16

1·0,07657·17· 0,336907· 19,525 25,953 46,478 ;2

KQ q F kN= + = + =

16

1·0,86853·17· 0,09013· 221,475 7,21 228,685 ;2

KN q F kN= − − = − − = −

16

1·0,86853·17· 0,73332· 221,475 58,666 280,141 .2

DN q F kN= − − = − − = −

2.2.5. Trilanksčių arkų skaičiavimas kompiuteriu

Trilanksčių arkų skaičiavimas programa „ARKA“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuteri-ne programa „ARKA“, apskaičiuojamos trijų lankstų arkų atramų reakcijos, apskaičiuo-jami pjūvių lenkimo momentai, skersinės ir ašinės jėgos, sudaromos arkos skėtimo jėgos ir nurodyto pjūvio lenkimo momento, skersinės ir ašinės jėgos infl iuentės.

Trijų lankstų arkos skaičiuotinės schemos paruošimas. Ruošiant pradinius duo-menis trijų lankstų arkos skaičiavimui, arkos ašies horizontali projekcija (angos ilgis l) padalijama į mazgus ir pavienius tiesius nekintamo standžio elementus, kurių skai-čius parenkamas paisant norimo skaičiavimo tikslumo bei arkos lanko apybraižos ypatumų (angos ilgio, pakylos aukščio). Programa gali atlikti arkos skaičiavimus, kai ašies projekcija padalinama ne daugiau kaip į 100 dalių. Kompiuteris apskaičiuos atitinkamų arkos ašies pjūvių geometrinius rodiklius bei pjūvių vidines įrąžas.

Trijų lankstų arkos skaičiuotinė schema parodyta 2.1 paveiksle.Pradiniai trijų lankstų arkos duomenys surašomi pradinių duomenų rinkme-

noje ARKA.DAT.

Trijų lankstų arkos skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena ARKA.DAT

„TRIJU LANKSTU ARKOS sKAIČIAVIMAS“„PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“„ARKOS ASIS (NK): 0 ─ APSKRITIMINE, 1 ─ PARABOLINE“ 1

32

„ARKOS PADALINIMO DALIU (PJUVIU) SKAICIUS (N)“ 20„LANKSTO VIETA (LANKSTAS PJUVYJE) (NC)“ 10„Q, M, N INFLIUENTES SUDAROMOS PJUVIUI (NT)“ 16„ARKOS ANGOS ILGIS (m) (L)“ 34.„PAKYLOS AUKSTIS (m) (F)“ 11.9„ATRAMU AUKSCIU SKIRTUMAS (m) (H)“ 0.„SUTELKTUJU JEGU DYDZIAI PJUVIUOSE (kN) (N-1)“ 0.,0.,0.,0.,0.

,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,80.,0.,0.,0.„SLOGINIU INTENSYVUMAI RUOZUOSE (kN/m) (N)“ 30.,30.,30.,

30.,30.,30.,30.,30.,30.,30.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.,0.

Trijų lankstų arkos skaičiavimas atliekamas naudojantis programa ARKA.EXE. Arkos skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duo-menų rinkmenoje ARKA.REZ. Pagal skaičiavimo rezultatus braižomos vidinių įrą-žų diagramos.

33

2.2.6. Trilankstės arkos vidinių įrąžų diagramos

2.4 pav. Trijų lankstų arkos vidinių įrąžų diagramos

34

2.2.7. Skerspjūvio parinkimas:

Pavojingas pjūvis 5.

Mmax = M5 = 473,875 kNm;

N = |N5| = 250,234 kN;

max 200sk adm

x

M NW A

δ = + ≤ δ = MPa;

Arkos skerspjūvį parenkame plieninį dvitėjinį profi lį pavaizduotą 2.5 pav.

2.5 pav. Plieninis dvitėjinis profi lis

Profi lio atsparumo momentas max

xx

IWy

= ;

max 2hy = ;

2 xx

IWh⋅

= .

Profi lio inercijos momentas2 2

2 22 2 4x

h A hI y A A⎛ ⎞= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

,

įstačius į profi lio atsparumo momento išraišką gauname 2 24 2x

h A h AWh

⋅ ⋅= ⋅ = .

Iš stiprumo sąlygos išskaičiuojame skerspjūvio plotą

3 3250,234·10 473,875·10 2 2000,5sk MPa

A A

− − ⋅δ = + =

⋅.

Žinant, kad profi lio plotas A = t·b·2, kadangi t = 0,1·b, tai A = 0,1·b·b·2, įstačius į profi lio inercijos ir atsparumo momentų išraiškas ir žinant, kad h = 0,5m, gauname

35

Ix = 2·b·0,1·b·0,252;

2 2 22· ·0,1· ·0,25 2·0,1· ·0,250,25 0,25x

b b bW = = .

Įstačius į stiprumo sąlygą

3 3250,234·10 473,875·10 2 2000,1 2 0,5 0,1 2sk MPa

b b b b

− − ⋅δ = + =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

išreiškiame b priartėjimo būdu. Pagal GOST 8239-72 vaslcuotojo plieno dvitėjinio profi lio sortimentų lentelę pri-

imame b = 232 mm = 0,232 m.

A = 0,1·b·b·2 = 0,1·0,232·0,232·2 = 0,0107648 m2;

2 22·0,1·0,232 ·0,25 0,00269120,25xW = =

m3.

Tikriname įtempius:

3 3250,234·10 473,875·100,0107648 0,0026912

23,246 176,083 199,329MPa MPa

sk

adm<200 =

− −

δ = + =

= + = δ .

Sąlyga patenkinta. Galutinai priimame b = 0,232 m = 232 mm.

36

3. PLOKŠČIŲ SANTVARŲ SKAIČIAVIMO UŽDAVINIAI

3.1. Plokščios santvaros skaičiuotinės schemos sudarymo principaiSantvara – tai geometriškai pastovi sistema, sudaryta iš strypų, kurių galai

lankstiškai sujungti į mazgus. Realių santvarų strypų galai mazguose yra sujungia-mi standžiai. Eksperimentiniais tyrimais nustatyta, kad standžius mazgus pakeitus lankstiniais, strypų įrąžų bei mazgų poslinkių paklaidos gaunamos nedidelės. Taigi skaičiavimams supaprastinti, parenkant santvaros idealizuotą skaičiuotinę schemą, yra daromos šios prielaidos:

- santvaros mazgai yra idealūs lankstai;- išorinė apkrova veikia tik sistemos mazguose;- strypai, jungiantys mazgus – absoliučiai tiesūs, strypų geometrinės ašys susi-

kerta lankstinių mazgų centruose;- strypų ilgių pokyčiai, lyginant su jų matmenimis – gana maži.Pagal šias prielaidas strypuose atsiras tik ašinės jėgos, todėl toliau svarstant laiko-

ma, jog strypai yra atsparūs tempimui ir gniuždymui.Plokščiosios santvaros yra konstruojamos pagal geometriškai nekintamų sis-

temų sudarymo principus. Santvaras pradėti skaičiuoti tikslinga nuo jų skaičiuoja-mųjų schemų struktūros analizės, sistemos laisvumo (statiško neišsprendžiamumo) laipsnio nustatymo.

Pagrindinis santvaros elementas yra lankstiškai sujungtų trijų strypų trikampis ABC (3.1 pav.). Tai geometriškai nekintama fi gūra. Prie šio trikampio dviejų strypais B–D ir C–D prijungus lankstinį mazgą D, gaunama taip pat nekintama sistema ir t. t. Šią sistemą būtina dar pritvirtinti prie pagrindo trimis ryšiais, kurie nebūtų lygiagretūs ir nesikirstų viename taške (du ryšiai – mazge „A“ ir vienas ryšys mazge „C“, 3.l a pav. ir 3.1 b pav.). Gali būti visi trys ryšiai, esantys skirtinguose mazguose (3.1 c pav.). Tokios santvaros vadinamos paprastosiomis.

3.1 pav. Santvarų sudarymo pavyzdžiaiSantvaros, kurioje yra M mazgų, S strypų ir r0 atraminių ryšių, laisvumo laipsnis

L nustatomas iš šios priklausomybės:

L=2M – S – r0 (3.1)

čia L – laisvumo laipsnis, M – mazgų skaičius, S – strypų skaičius, r0 – atraminių ryšių skaičius.

37

Sudėtingos santvaros projektuojamos pagal bendrus kinematiškai nejudrių siste-mų konstravimo principus, aptartus l.2 poskyryje.

Atliekant santvaros kinematinę analizę, pirmiausia pagal formulę (3.1) apskaičiuoja-mas laisvumo laipsnis L, tada nustatoma, ar teisingai išsidėstę kinematiniai ryšiai.

Santvarų atraminių ryšių reakcijos randamos iš įprastų jėgų projekcijų bei momentų pusiausvyros lygčių. Reikia pabrėžti, kad lankstinėje nepaslankioje atramoje reakcijos jė-gos kryptis Fr yra nežinoma, todėl ji yra išskaidoma į dvi dedamąsias Fry ir Frx(vertikaliąją ir horizontaliąją). Dedamosios šioje mokomojoje knygoje vadinamos tiesiog reakcijomis.

Strypų ašinės jėgos skaičiuojamos taikant pjūvio metodą, aptartą teorinės mecha-nikos ir medžiagų mechanikos kursuose. Tam skiriami trys būdai:

- mazgų išpjovimo;- momentų centro;- projekcijų.Taikant mazgų išpjovimo būdą, yra išpjaunamas mazgas ir, užrašant jėgų pro-

jekcijų lygtis į dvi tarpusavyje statmenas ašis, apskaičiuojamos ašinės jėgos. Šį būdą visada galima taikyti, kai nežinomųjų yra du, pvz., kai į nagrinėjamą mazgą „sueina“ du strypai. Į mazgą gali „sueiti“ ir daugiau strypų, tačiau jų ašinės jėgos jau turi būti žinomos, nes galima užrašyti tik dvi nepriklausomas jėgų projekcijų lygtis.

Naudojantis momentų centro bei projekcijų būdais, santvara dalijama į dvi dalis, paskui vienai iš jų užrašoma jėgų projekcijų arba momentų pusiausvyros lygtis, iš kurios apskaičiuojama ieškoma strypo ašinė jėga. Lygtis užrašoma tokia, kad į ją neįeitų kitų strypų, esančių pjūvyje, ašinės jėgos. Sudėtingesnėms santvaroms ne visada pavyksta iš vienos lygties rasti vieną nežinomą ašinę jėgą. Tada gali prireikti apskaičiuoti papildomai vieną ar keletą strypų įrąžų taikant kitą būdą. Jei pjūvis kerta tris strypus, visada nežino-mą įrąžą galima rasti užrašant vieną lygtį. Šie būdai taikomi ir infl iuentėms sudaryti.

3.2. Statiškai išsprendžiamos santvaros skaičiavimai

3.1 pavyzdys.Duotai santvarai reikia:3.2.1. Sudaryti plokščios santvaros skaičiuotinę schemą ir nustatyti santvaros

mazginę apkrovą.3.2.2. Apskaičiuoti atramines reakcijas.3.2.3. Apskaičiuoti nurodytame pjūvyje strypų įrąžas.3.2.4. Sudaryti nurodyto pjūvio įrąžų infl iuentes.3.2.5. Pagal sudarytas infl iuentes apskaičiuoti strypų įrąžas.3.2.6. Paruošti santvaros skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis.

3.2.1. Santvaros skaičiuotinės schemos paruošimas

Santvaros skaičiuotinė schema sudaroma numeruojant lankstinius mazgus ir skai-čiuojamaisiais pjūviais sąlyginai dalijant sistemą į atskirus strypus ir mazgus. Pirmiausia pažymimi santvaros mazgai, paskui pažymimi santvaros strypai. Koordinačių ašys X, Y

38

pravedamos taip, kad visų santvaros mazgų koordinačių reikšmės būtų teigiamos. San-tvaros skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, strypais parodyta 3.2 paveiksle.

3.2 pav. Santvaros skaičiuotinė schema

3.2 pav. parodytai santvarai, apkrautai pastovia q = 2,4 kN/m2, ir laikina p = 1,2 kN/m2 tolygiai išskirstytąja apkrova (apkrova yra viršutinėje santvaros juostoje, san-tvarų žingsnis s = 3m, atstumas tarp mazgų a = 3m, santvaros aukštis h = 4m), reikia rasti mazgines apkrovas.

Skaičiuojame santvarą veikiančias išorines mazgines apkrovas:

1

1 1 2,4 3 3 10,82 2

F q a s= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = kN;

2 2,4 3 3 21,6F q a s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = kN;

4 2,4 3 3 21,6F q a s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = kN;

61 1 1 1( ) 2, 4 3 3 (2, 4 1, 2) 3 32 2 2 2

10,8 16, 2 27

F q a s q p a s

kN

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ =

= + =

8 ( ) (2,4 1,2) 3 3 32,4F q p a s= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = kN;

10 ( ) (2,4 1,2) 3 3 32,4F q p a s= + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = kN;

12

1 1( ) (2,4 1,2) 3 3 16,22 2

F q p a s= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = kN.

39

3.2.2. Atraminių reakcijų skaičiavimas

Atraminės reakcijos apskaičiuojamos iš pusiausvyros (momentų ir jėgų projekci-jų) lygčių.

3 0M =∑ ;

1 4 6 8 10 11 122 3 4 4 5 0r yF a F a F a F a F a F a F a− ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ;

1 4 6 8 10 1211

2 3 4 54

10,8 3 21,6 3 27 6 32,4 9 32,4 12 16,2 1512

32,4 64,8 162 291,6 388,8 243 93,15 ;12

r y

F a F a F a F a F a F aFa

kN

− ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= =

⋅− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= =

− + + + + += =

11 0M =∑ ;

1 3 2 4 6 8 125 4 4 3 2 0r yF a F a F a F a F a F a F a− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ;

1 2 4 6 8 123

5 4 3 24

10,8 15 21,6 12 21,6 9 27 6 32,4 3 16,2 312

162 259,2 194,4 162 97,2 48,6 68,85 .12

r y

F a F a F a F a F a F aFa

kN

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅= =

⋅⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅

= =

+ + + + −= =

Patikrinimas:

0;Y =∑1 2 3 4 6 8 10 11 12 0r y r yF F F F F F F F F− − + − − − − + − = ;

10,8 21,6 68,85 21,6 27 32,4 32,4 93,15 16,2 162 162 0− − + − − − − + − = − = .

3.2.3. Nurodyto pjūvio strypų įrąžų skaičiavimas

Nustatome strypų pasvirimo kampus:

2 4 12 4 4 3 3h htg

a aα = = = =

⋅ ⋅ ⋅;

018,435α = ;

40

sin 0,316228α = ; cos 0,948683α = ;

2 4 22 2 3 3

h htga a

β = = = =⋅ ⋅

;

sin 0,55470β = ; cos 0,83205β = .

Strypų įrąžų (ašinių jėgų) skaičiavimas:N8 skaičiavimas. Pjūvis kerta tris strypus, todėl galima užrašyti vieną lygtį, į

kurią įeitų ieškomoji ašinė jėga N8. Taikomas momentų centro būdas imant centrą 7-ajame mazge.

7 0M =∑ ;

1 2 3 4 83 2 2 02r y

hF a F a F a F a N− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ =

;1 2 3 4

8

3 2 22

10,8 9 21,6 6 68,85 6 21,6 32

97, 2 129,6 413,1 64,8 60,75 ( ).2

r yF a F a F a F aN

h

kN gniuždomas

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅= =

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅= =

+ − += = −

N10 skaičiavimas. Taikomas momentų centro būdas imant centrą 4-ajame mazge.

4 0M =∑ ;

1 2 3 10

3 cos2 04r y

hF a F a F a N ⋅ ⋅ α− ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ;

1 2 310

2 10,8 6 21,6 3 68,85 33 cos 0,75 4 0,9487

464,8 64,8 206,55 27,04 ( ).

2,846

r yF a F a F aN h

kN tempiamas

− ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅= = =

⋅ ⋅ α ⋅ ⋅

− − += =

N9 skaičiavimas. Šiuo atveju taikomas projekcijų būdas į horizontaliąją ašį.

0H =∑ ;

8 9 10cos cos 0N N N+ ⋅ β + ⋅ α = ;

41

8 109

cos 60,75 27,04 0,9487 42,185 ( ).cos 0,832

N NN kN tempiamas− − ⋅ α − ⋅= = =

β

3.2.4. Nurodyto pjūvio įrąžų infliuenčių sudarymas

Sudarant infl iuentes, naudojami tie patys skaičiavimo metodai ir tos pačios sta-tikos lygtys kaip ir skaičiuojant įrąžas veikiant pastoviai apkrovai. Atraminių reakcijų infl iuentes braižomos kaip ir paprastos dvitramės sijos atveju, t. y. naudojant tiesės lygties išraiškas.

Braižant ašinių jėgų infl iuentes atraminių reakcijų infl iuentės laikomos žinomomis.Skaičiuojant infl iuentes, kai yra taikomas mazgų išpjovimo būdas, strypo ašinė jėga

skaičiuojama du kartus: kai vienetinė jėga pridėta nagrinėjamame mazge ir kai jos nėra, tai yra ji – kituose mazguose. Gautos išraiškos iš projekcijų lygčių atidedamos ties tais mazgais, kur buvo vienetinė jėga. Kai taikomas momentų centro ar projekcijų būdas ir pjūvis yra tarpatramyje, tai ta pati lygtis užrašoma du kartus mažiau apkrautai pusei: na-grinėjant kairiąją dalį, laikoma, kad vienetinė jėga yra dešiniojoje o nagrinėjant dešiniąją dalį ─ kairiojoje. Gaunama ašinės jėgos priklausomybė nuo atraminių reakcijų, kurių infl iuentės yra žinomos. Belieka nustatyti dviejų gautų tiesių galiojimo sritis. Nuo pjūvio į dešinę galios ta tiesė, kuri gauta, kai vienetinė jėga buvo dešinėje, o nuo pjūvio į kairę ─ ta, kuri gauta, kai vienetinė jėga buvo kairėje. Tarp mazgų, kur buvo pjūvis ir juda viene-tinė jėga, bus jungiamoji tiesė, jungianti dešiniąją ir kairiąją dalis.

Infl iuentė N8:1) kai F =1 yra pjūvio dešinėje:

7 0M =∑ ;

3 82 02r y

hF a N⋅ ⋅ + ⋅ = ;

inf inf3 3inf inf

8 3

2 2 2 3 23

4r y r y

r y

F a FN F

h− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= = = − ⋅ ;

6

13 1,52

y = − ⋅ = −;

8

13 0,754

y = − ⋅ = −;

10 0y = ; 6

13 0,754

y ⎛ ⎞= − ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2) kai jėga F=1 yra pjūvio kairėje:

7 0M =∑ ;

11 82 02r y

hF a N− ⋅ ⋅ − ⋅ = ;

inf inf11 11inf inf

8 11

2 2 2 3 23

4r y r y

r y

F a FN F

h− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= = = − ⋅ ;

42

1

13 0,754

y ⎛ ⎞= − ⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2 0y = ; 4

13 0,754

y = − ⋅ = − .

Infl iuentė N10:1) kai jėga F=1 yra pjūvio dešinėje:

4 0M =∑ ;

3 10

3 cos 04r yF a N h⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ α = ;

inf inf3 3inf inf

10 3

31,054093 0,75 4 0,948683cos

4

r y r yr y

F a FN F

h

⋅ ⋅= = = ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅ α;

6

11,05409 0,527052

y = ⋅ = ; 8

11,05409 0,263524

y = ⋅ = ; 10 0y = ;

12

11,05409 0,263524

y ⎛ ⎞= ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2) kai jėga F=1 yra pjūvio kairėje:

4 0M =∑ ;

11 10

33 cos 04r yF a N h− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ α = ;

inf inf11 11inf inf

10 11

3 4 3 3 43,16228

3 cos 3 4 0,948683r y r y

r y

F a FN F

h⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = ⋅⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ ;

1

13,16228 0,790574

y ⎛ ⎞= ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

; 2 0y = ; 4

13,16228 0,790574

y = ⋅ = .

Infl iuentė N9:

0H =∑ ;

8 9 10cos cos 0N N N+ ⋅ β + ⋅ α = ;

int int int intinf 8 10 8 109

cos 0948683cos 0,83205

N N N NN − − ⋅ α − − ⋅= =

β;

1

0,75 0,79057 0,948683 0,75 0,75 00,83205 0,83205

y − + ⋅ − += = = ;

2 0y = ;

43

4

0,75 0,79057 0,948683 0,75 0,75 00,83205 0,83205

y − ⋅ −= = = ;

6

1,5 0,52705 0,948683 1,5 0,5 1,201850,83205 0,83205

y − ⋅ −= = = ;

8

0,75 0,26352 0,948683 0,75 0,25 0,600930,83205 0,83205

y − ⋅ −= = = ;

10 0y = ;

12

0,75 0,26352 0,948683 0,75 0,25 0,600930,83205 0,83205

y − + ⋅ − += = = − .

Pagal gautas infl iuentes apskaičiuojame strypų įrąžas.

N8= 0,75·F1– 0,75·F4–1,5·F6– 0,75·F8+ 0,75·F12= 8,1–16,2– 40,5–24,3+12,15=–60,75 kN;

N9=1,20185·F6+ 0,60093·F8– 0,60093·F12=32,45+19,47–9,735=42,185 kN;

N10= – 0,79057·F1+0,79057·F4+0,52705·F6+0,26352·F8– 0,26352·F12=

= – 8,5382+17,0763+14,2303+8,5382– 4,2691= 27,0375 kN.

3.2.6. Santvaros skaičiavimas kompiuteriu

Plokščių santvarų skaičiavimas programa „SAN“. Pasinaudojant Lietuvos že-mės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „SAN“, apskaičiuojamos santvarų atramų reakcijos, strypų ašinės jėgos, sudaromos nurodytų strypų ašinių jėgų infl iuentės.

Pradiniai santvaros duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje SAN.DAT. Pradinių duomenų pavyzdžio rinkmenoje yra visi pradinių duomenų paaiškini-mai. Papildomai paaiškinsime tik strypų adresų masyvo paruošimą pradinių duome-nų rinkmenos dalyje „STRYPŲ ADRESAI“. Šis masyvas gaunamas surašant strypų sužymėjimo didėjimo eile strypų pradžios ir galo mazgų numerius.

Santvaros skaičiavimas atliekamas naudojant programą SAN.EXE. Santvaros skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duomenų rinkmenoje SAN.REZ. Santvarų pagrindiniais nežinomaisiais yra ašinių jėgų {N} mazgų poslin-kių {u} ir atraminių reakcijų {R} vektoriai.

Statiškai išsprendžiamos santvaros skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena SAN.DAT

„STATISKAI ISPRENDZIAMOS SANTVAROS SKAIČIAVIMAS“„PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“„SANTVAROS STRYPU SKAICIUS (ST)“ 21

44

„MAZGU SKAICIUS (M)“ 12„HORIZONTALIU RYSIU SKAICIUS (K1)“ 1„VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (K2)“ 2„KELIEMS APKROVIMO ATVEJAMS SKAICIUOJAMA SANTVARA“ 1„HORIZONTALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (N1)“ 0„VERTIKALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (N1)“ 7„KELIEMS STRYPAMS SUDAROMOS IRAZU INFLIUENTES (KEL)“ 3„PER KELIS MAZGUS JUDES VIENETINE JEGA SUDARANT INFLIUENTES (KUR)“ 7„STRYPU ADRESAI (2*ST)“ 1 2 1 3 2 3 2 4 2 5 3 5 4 5 4 6 4 7 5 7 6 7 6 8

7 8 7 9 8 9 8 10 9 10 9 11 10 11 10 12 11 12 „HORIZONTALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K1)“ 3„VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (K2)“ 3 11„HORIZONTALIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (N1)“ 0„VERTIKALIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (N2)“ 1 2 4 6 8 10 12„INFLIUENTES SUDAROMOS STRYPU IRAZOMS (KEL)“ 8 9 10„VIENETINE JEGA JUDA PER MAZGUS (KUR)“ 1 2 4 6 8 10 12„MAZGU KOORDINATES X (M)“ 0. 3. 3. 6. 6. 9. 9. 12. 12. 15.

15. 18.„MAZGU KOORDINATES Y (M)“ 4. 4. 0. 4. 1. 4. 2. 4. 1. 4. 0. 4.„HORIZONTALIU JEGU DYDZIAI (N1)“ 0.„VERTIKALIU JEGU DYDZIAI (N2)“ 10.8 21.6 21.6 27.

32.4 32.4 16.2

45

3.3 pav. Santvaros strypų įražų infl iuentės

46

4. STATIŠKAI NEIŠSPRENDŽIAMOS KONSTRUKCIJOS (STRYPINĖS SISTEMOS)

Konstrukcijos (strypinės sistemos), kuriose iš statikos pusiausvyros lygčių nega-lima surasti visų reakcijų ir įrąžų, vadinamos statiškai neišsprendžiamomis. Šias siste-mas galima suskirstyti į išoriniu ir vidiniu atžvilgiais statiškai neišsprendžiamas. Be to, gali būti ir vienu metu abiem atžvilgiais statiškai neišsprendžiamos sistemos.

Išoriniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamos vadinamos tokios strypinės siste-mos (konstrukcijos), kuriose atraminių ryšių yra daugiau negu reikia ir iš statikos pusiausvyros lygčių visų reakcijų apskaičiuoti negalima. Vidiniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamomis vadinamos strypinės konstrukcijos, kurių reakcijas galima rasti iš statikos pusiausvyros lygčių, bet šių lygčių neužtenka visoms veikiančioms vidi-nėms jėgoms (įrąžoms) apskaičiuoti.

Kad būtų galima bet kurioje statiškai neišsprendžiamoje strypinėje konstrukcijoje rasti visus ieškomuosius dydžius – reakcijas, lenkimo momentus, skersines ir ašines jė-gas, trūkstamą statikos pusiausvyros lygčių skaičių reikia papildyti tamprumo lygtimis. Į šias papildomąsias tamprumo lygtis įeina strypinę sistemą veikiančios išorinės arba vidinės jėgos bei veikiant toms jėgoms atsirandančios deformacijos – atskirų pjūvių linijiniai ir kampiniai pasiskirstymai. Pasiskirstymai priklauso nuo strypų medžiagos ir jų skerspjūvio momentų, todėl į tai reikia atsižvelgti jau skaičiavimo pradžioje.

Visose papildomosiose tamprumo lygtyse nežinomieji gali būti arba jėgos – atra-minės reakcijos, atskirų pjūvių lenkimo momentai, skersinės ir ašinės jėgos arba de-formacijos – atitinkamų pjūvių linijiniai ir kampiniai pasislinkimai. Pagal tai, kas yra nežinomieji tose papildomosiose tamprumo lygtyse – jėgos ar poslinkiai – taikome du pagrindinius skaičiavimo metodus – jėgų ar poslinkių.

4.1. Poslinkių skaičiavimas

Konstrukciją veikianti išorinė apkrova ar kiti poveikiai (temperatūros pokyčiai, atramų sėdimas) sukelia deformacijas – poslinkius. Šie poslinkiai gali būti linijiniai ir kampiniai. Poslinkiai bus žymimi ∆iK; čia pirmasis indeksas parodo pjūvio numerį, o antrasis – poslinkio kryptį. Poslinkiai, kuriuos sukelia vienetinė jėga, žymimi δij.

Statybinėje mechanikoje poslinkiams skaičiuoti taikoma Moro formulė, kuri su-sideda iš Moro integralų:

KK KiK

l l l

M M Q Q N Ndx K dx dxEI GA EA

− − −

⋅ ⋅ ⋅∆ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ , (4.1)

čia M, Q, N – įrąžos nuo išorinės apkrovos strypo ruožo l ilgyje;

, , ,K KKM Q N− − −

– tos pačios įrąžos, nuo vienetinės jėgos F=1.0 pridėtai ieško-mo poslinkio K kryptimi;

E – tamprumo modulis; A – skerspjūvio plotas; K – koefi cientas, įvertinantis netolygų tangentinių įtempių skerspjūvyje pa-

siskirstymą ir priklausantis nuo skerspjūvio formos.

47

Jeigu kiekvieno strypinės sistemos strypo skerspjūvis yra vienodas per visą strypo ilgį, tai Moro formulė bus :

1 1

iK K K K

l l l

KM M dx Q Q dx N N dxEI GA EA

− − −

∆ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ (4.2)

Skaičiuojant įvairias sijas, rėmus, skersinių ir ašinių jėgų įtaka dažniausia yra ne-didelė, todėl Moro formulė supaprastėja:

1iK K

l

M M dxEI

−

∆ = ⋅ ⋅∫ (4.3)

Skaičiuojant poslinkį pirmiausia sudaroma vienetinė lenkimo momentų diagrama MK nuo vienetinės jėgos, o vėliau lenkimo momentų diagrama M nuo išorinės apkro-vos poveikio. Tolesniam skaičiavimui pritaikomas žinomas grafi nis analizės būdas, pa-gal kurį strypai suskaidomi į vienodų standumo ruožus ir paprastų formų diagramomis, kurių svorio centras ir plotai yra lengvai nustatomi. Taigi, taikant šį būdą, integravimas pakeičiamas pirmosios diagramos ploto (A) ir antrosios diagramo ordinatės (Z) ties pirmosios diagramos svorio centru sandauga. Moro integralo išraiška tampa tokia:

1iK A Z

EI∆ = ⋅∑ (4.4)

Esant tai pačiai medžiagai ir skirtingiems strypų skerspjūvio inercijos momen-tams, taikomas redukuotas inercijos momentas I0, kartu ir redukuotas standis EI:

1 OiK

i

I A ZEI I

∆ = ⋅ ⋅∑ (4.5)

čia I0 – inercijos momentas pagal didžiausią ar mažiausią strypų skerspjūvių iner-cijos momentus.

4.2. Statiškai neišsprendžiamų strypinių sistemų skaičiavimas jėgų metodu

4.2.1. Strypinės sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnio nustatymas

Statiškai neišsprendžiamos sistemos skaičiavimas pradedamas skaičiuotinės sche-mos analize. Pirmiausia nustatomas statinio neišsprendžiamumo laipsnis. Jis atitinka taip vadinamųjų „atliekamų“ ryšių skaičiui. Juos pašalinus sistema tampa statiškai iš-sprendžiama. Ši sistema turi būti ir geometriškai pastovi. Stačiakampis uždaras rėmas (4.1-as ir 4.2-as pav.) yra tris kartus statiškai neišsprendžiamas. Uždarą kontūrą sudaro keletas standžiai tarp savęs sujungtų strypų.

48

4.1 pav. Belankstis rėmas 4.2 pav. Stačiakampis uždaras rėmas

Belanksčio rėmo (4.1 pav.) įtvirtinimai jungiasi žeme, kuri gali būti laikoma labai standžiu strypu. Norint uždarą kontūrą padaryti statiškai išsprendžiamu, reikia jį perpjauti ir pašalinti „atliekamus“ vidinius ryšius. Pašalintųjų ryšių vietoje reikia pridėti nežinomas įrąžas (4.3 ir 4.4 pav.). Reikia nepamiršti, kad vidinių ryšių jėgos yra abipusės.

4.3 pav. Perpjautas belankstis rėmas 4.4 pav. Perpjautas rėmo uždaras kontūras

Rėmai gali būti išoriniu arba vidiniu atžvilgiais statiškai neišsprendžiami. Išoriniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiami yra tokie rėmai, kurių atraminių reakcijų nustatymui nepakanka statikos pusiausvyros lygčių. Vidiniu atžvilgiu statiškai neišsprendžiamoms sistemoms negalima nustatyti vidinių įrąžų. Gali būti ir tokios sistemos, kurios vienu metu yra abiem atžvilgiais statiškai neišsprendžiamos.

Sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis gali būti nustatomas keliais būdais. Paprasta sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnį nustatyti atmetant „perteklinių“, t. y. statiškai nebūtinų ryšių skaičių. Atmetama tiek ryšių, kiek reikia, kad sistema būtų statiškai išsprendžiama ir geometriškai pastovi. Atmestų ryšių skaičius n, tai sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis.

Sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis gali būti nustatomas įvairiomis em-pirinėmis formulėmis.

Jei paprastas rėmas turi R išorinių ryšių ir tris nepriklausomas statikos pusiausvy-ros lygtis atraminėms reakcijoms skaičiuoti, tada išoriniu atžvilgiu statiškai neišspren-džiamos sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis bus lygus:

n = R – 3, (4.6)

čia n – sistemos statinio neišsprendžiamumo laipsnis; R – sistemos atraminių ryšių skaičius.

49

Kai sistema statiškai neišsprendžiama vidiniu arba abiem atžvilgiais, tada formulę reikia papildyti. Uždaras kontūras yra tris kartus statiškai neišsprendžiamas (4.4 pav.). Jei sistema turi K uždarų kontūrų, tada gausime tokią formulę:

n = 3·K – Š, (4.7)

čia K – uždarų kontūrų, sudarytų sistemoje strypų ašimis, skaičius. Uždarą kontūrą gali sudaryti vien tik strypai, strypai ir pagrindas ar net standi paslanki atrama;

Š – viengubų (paprastų) lankstų skaičius (atramų lankstai neskaičiuojami).Rėme esantys vidiniai lankstai sumažina jo statinio neišsprendžiamumo laips-

nį. Jei lankstas jungia du strypus, tada jis vadinamas viengubu. Kai rėmo mazge esantis lankstas jungia m strypų, tada šiame mazge bus m – 1 viengubų lankstų. Šiuo atveju gausime tokią formulę:

n = R + 3·K – Š – 3, (4.8)

čia Š – viengubų lankstų skaičius (atramų lankstai neskaičiuojami).Nustatysime statinio neišsprendžiamumo laipsnį 4.5 ir 4.6 pav. pavaizduotiems

rėmams. Statinio neišsprendžiamumo laipsnį apskaičiuosime iš 4.8 formulės.

4.5 pav. Keturis kartus neišsprendžiamas rėmas 4.6 pav. Šešis kartus neišsprendžiamas rėmas

Daugiaatramių lankstų laisvai į polines atramas besiremiančių sijų statinio neiš-sprendžiamumo laipsnis yra lygus jų viduriniųjų atramų skaičiui. Įtvirtinus standžiai vieną ar abu sijos galinius pjūvius, pjūvio statinio neišsprendžiamumo laipsnis padidėja atitinkamai vienu ar dviem vienetais. Įvedus į tokią siją vieną ar daugiau lankstų, sta-tinio neišsprendžiamumo laipsnis sumažėja atitinkamu vienetų skaičiumi. Daugiaatra-mių neišsprendžiamų sijų pavyzdžiai pateikti 4.7 paveiksle.

4.7 pav. Daugiaatramės neišsprendžiamos sijos

50

a – tris kartus; b – vieną kartą.

4.2.2. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas

Skaičiuojant statiškai neišsprendžiamas strypines sistemas jėgų metodu pirmiausia nustačius statinio neišsprendžiamumo laipsnį parenkama pagrindinė sistema (PS). Daž-niausiai ji parenkama statiškai išsprendžiama sistema. Pagrindinė sistema gaunama pa-šalinus iš statiškai neišsprendžiamos sistemos ir „atliekamų“ ryšių. Parenkant pagrindinę sistemą gali būti pašalinti ir vidiniai, ir išoriniai ryšiai. Ryšius reikia pašalinti taip, kad pagrindinė sistema būtų kinematiškai nekintama, t. y. geometriškai nejudri ir statiškai išsprendžiama. Pašalintų vidinių ar išorinių ryšių kryptimis pridedame nežinomas jėgas X1, X2,....,Xn. Šios jėgos yra pagrindiniai nežinomieji skaičiuojant strypinę sistemą jėgų metodu. Visų nežinomųjų jėgų Xi dydžius rasime skaičiuodami poslinkius pagal Moro integralus. Kad paprasčiau būtų skaičiuoti, iš pradžių nežinomas jėgas Xi prilyginame vienetui, t. y. atliekame skaičiavimą nuo vienetinių jėgų, o paskui nuo duotųjų apkrovų.

Pagrindinę sistemą tikslinga rinkti elementarią: gembinę arba dviatramę siją, gembinį arba dviatramį rėmą (esant sudėtingam rėmui jis gali būti dviatramis).

Tokiu būdu galima parinkti daug skirtingų pagrindinių sistemų.

Vieną kartą statiškai neišsprendžiamai sijai (4.8 pav.) parinktos kelios pagrindinės sistemos.

4.8 pav. Vieną kartą neišsprendžiamos sijos pagrindinės sistemos

Pateiktas pagrindines sistemas reikia taip suprasti, kad jos turėtų būti apkrautos apkrovomis, bet dėl galimų sudėtingų paveikslų nubraižymo tai nedarome.

4.2.3. Kanoninių lygčių sudarymas

Parinkus pagrindinę sistemą ir apkrovus ją duotąja apkrova bei Xi nežinomaisiais, galima sudaryti papildomas poslinkių lygtis. Jos išreiškia sąlygas, kurių fi zinė prasmė yra ta, kad poslinkiai atmestųjų ryšių kryptimis, veikiant vienetinėms jėgoms ir išorinei (duo-tąjai) apkrovai, turi būti lygūs nuliui. Poslinkiai skaičiuojami naudojant Moro integralą, taikant grafi nį analizės būdą (žr. 4.1 poskyrį). Esant tris kartus statiškai neišsprendžiamai strypinei sistemai, poslinkius atmestų ryšių kryptimis galima išreikšti:

1

2

3

0,0,0.

∑ =⎧⎪∑ =⎨⎪∑ =⎩

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... 0,... 0,

....................................................... 0.

n f

n f

n n nn nf

δ + δ + + δ + ∆ =⎧⎪δ + δ + + δ + ∆ =⎪⎨⎪⎪δ + δ + + δ + ∆ =⎩ (4.9)

51

Bendruoju atveju kanoninių lygčių sistema n kartų statiškai neišsprendžiamai strypinei sistemai užrašoma taip:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... 0,... 0,

....................................................... 0.

n n f

n n f

n n nn n nf

X X XX X X

X X X

δ + δ + + δ + ∆ =⎧⎪δ + δ + + δ + ∆ =⎪⎨⎪⎪δ + δ + + δ + ∆ =⎩ (4.10)

Pirma lygtis išreiškia pagrindinės sistemos poslinkį lygų nuliui pirmo atmesto ryšio kryptimi. Antra lygtis – antro ryšio kryptimi ir t. t.

Koefi cientai prie nežinomųjų δij yra vienetiniai poslinkiai, iš jų δii vadinami pa-grindiniais. Jie visada yra teigiami ir nelygūs nuliui (pavyzdžiui, δ11; δ22; δ33 ir t. t.). Šalutiniai poslinkiai δij gali būti teigiami, neigiami arba lygūs nuliui (pavyzdžiui, δ12; δ13; δ23 ir t. t.). Remiantis poslinkių ryšio teorema:

δij = δji, (4.11)

t. y. δ12 = δ21; δ13 = δ31; δ23 = δ32 ir t. t.

Šalutiniai poslinkiai δij išdėstyti simetriškai pagrindinės įstrižainės atžvilgiu. Pir-mas poslinkio indeksas nurodo vietą, o antras – priežastį, kuri sukelia šį poslinkį.

Poslinkiai ∆if vadinami lygties laisvaisiais nariais. Juos sukelia atmestuose ryšiuo-se duotoji išorinė apkrova (bendruoju atveju raide f žymima išorinė apkrova, t. y. su-telktoji apkrova, momentas ar paskirstytoji apkrova). Šie poslinkiai taip pat gali būti teigiami, neigiami arba lygūs nuliui.

Anksčiau minėtų poslinkių δij ir ∆if apskaičiavimui sudaromos vienetinės (atskirai nuo kiekvieno nežinomojo Xi ir duotųjų apkrovų) lenkimo momentų diagramos. Šios dia-gramos integruojamos taikant Moro formulę bei grafi nį analizės būdą (žr. 4.1 poskyrį).

Jei strypinė sistema yra daugiau kaip vieną kartą statiškai neišsprendžiama, atlieka-me kinematinę kontrolę, t. y. patikriname koefi cientus prie nežinomųjų bei laisvuosius narius. Tam tikslui sudaroma suminė lenkimo momentų diagrama nuo visų vienetinių jėgų Xi poveikio. Ši suminė diagrama taikant Moro formulę integruojama (atskirai su kiekviena vienetine) ir (atskirai su duotųjų apkrovų) lenkimo momentų diagramomis. Jei koefi cientai ir laisvieji nariai apskaičiuoti teisingai, turi būti tenkinamos tokios lygybės:

δ1∑ = δ11 + δ12 +...+ δ1n (i = 1,2, ... n)δ2∑ = δ21 + δ22 +...+ δ2n (i = 1,2, ... n)....................................................................................................................δn∑ = δn1 + δn2 +...+ δnn (i = 1,2, ... n)∆∑f = ∆1f + ∆2f +...+ ∆nf (4.12)

Patikrinus šias lygybes jau galima spręsti kanonines lygtis. Jos sprendžiamos bet kuriuo matematiniu metodu arba taikant lygčių sprendimo kompiuterines programas.

52

Išsprendus kanoninių lygčių sistemą ir nustačius nežinomųjų Xi reikšmes apskai-čiuojami galutiniai lenkimo momentai:

Mi = Mi1X1 + Mi2X2 +...+ MinXn + Mf, (4.13)

čia Mi1,Mi2,...,Min – pjūvio lenkimo momentai pagrindinėje sistemoje nuo viene-tinių jėgų, Xi;

Mf – pjūvio lenkimo momentas pagrindinėje sistemoje nuo duotųjų apkrovų; X1, X2,..., Xn – dydžiai, gauti iš kanoninių lygčių.

4.3. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas jėgų metodu

Rėmu vadinama geometriškai pastovi skaičiuotinė schema, sudaryta iš stan-džiai bei lankstiškai mazguose sujungtų strypų. Rėmai gali būti paprasti ir sudėtingi. Paprastaisiais vadinami vienaukščiai rėmai su viena anga. Rėmai, turintys daugiau aukštų ir angų, vadinami sudėtingais.

Rėmų įrąžos nustatomos taikant įprastus analitinius skaičiavimo būdus arba naudojant šiuolaikines kompiuterines programas.

Poskyryje bus nagrinėjamas rėmų skaičiavimas jėgų metodu naudojantis analiti-niais metodais ir taikant specialią kompiuterinę programą.

4.3.1. Pagrindinė sistema ir jos parinkimas

Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimas pradedamas pagrindinės sis-temos (PS) parinkimu. Naudojant jėgų metodą dažniausiai parenkama statiškai išsprendžiama sistema. Pagrindinė sistema gaunama pašalinus iš statiškai neiš-sprendžiamos sistemos n „atliekamų“ ryšių. Parenkant pagrindinę sistemą, gali būti pašalinti ir vidiniai, ir išoriniai ryšiai. Pašalintų vidinių ar išorinių ryšių kryptimis pridedame nežinomas jėgas X1, X2,....,Xn. Šios jėgos yra pagrindiniai ne-žinomieji skaičiuojant strypinę sistemą jėgų metodu. Pagrindinę sistemą tikslinga rinkti elementarų gembinį arba daugiaatramį rėmą. Tokiu atveju galima parinkti daug skirtingų pagrindinių sistemų. Ryšius reikia pašalinti taip, kad pagrindinė sistema būtų kinematiškai nekintama ir neliktų uždarų, statiškai neišsprendžiamų kontūrų.

Tris kartus neišsprendžiamam rėmui (4.9 pav., a) parinktos kelios pagrindi-nės sistemos (4.9 pav., b, c, d, e, f).

53

4.9 pav. Tris kartus neišsprendžiamo rėmo pagrindinės sistemos

Šiuo atveju reikia suprasti, kad pagrindinės sistemos yra apkrautos nežinomomis jėgomis bei duotąja apkrova (ji nežymima, siekiant neapkrauti paties brėžinio).

4.3.2. Kanoninių lygčių koeficientų skaičiavimas ir tikrinimas

Rėmo kanoninių lygčių koefi cientų apskaičiavimui sudaromos vienetinės lenkimo momentų diagramos atskirai nuo kiekvieno nežinomojo, prilyginto vienetui (skersinių ir ašinių jėgų įtakos dažniausiai nepaisoma).

Integruojant atitinkamas diagramas, koefi cientai randami taikant Moro formulę poslinkiams skaičiuoti:

0

,l

i jij

M Mdz

EIδ = ∑∫ (4.14)

čia Mi, Mj – lenkimo momentai pagrindinėje sistemoje nuo vienetinių jėgų, vei-kiančių atmestųjų ryšių i ir j kryptimis;

EI – sistemos pjūvių standumas lenkiant.Jeigu bent viena įrąžų diagrama yra tiesinė, tada diagramų integravimui galima

panaudoti grafi nį analizės būdą ir koefi cientus apskaičiuoti iš tokios formulės:

,cij

yEIω

δ = ∑ (4.15)čia ω – pirmosios lenkimo momentų diagramos plotas; yc – antrosios lenkimo momentų diagramos (būtinai tiesinės) ordinatė ties

pirmosios diagramos sunkio centru.Abi diagramos sumavimo ilgyje turi kisti pagal vienodą dėsningumą (be šuolių,

lūžių ir pan.). Kai abi diagramos yra vienoje strypo ašies pusėje, tada poslinkis teigia-mas. Jei diagramos priešingose strypo pusėse – poslinkis neigiamas.

Jei sistema daugiau kaip vieną kartą statiškai neišsprendžiama, atliekama pirmoji kine-matinė kontrolė, nes apskaičiuotus kanoninių lygčių koefi cientus ir laisvuosius narius reikia

54

patikrinti. Tam tikslui sudaroma suminė lenkimo momentų diagrama nuo visų vienetinių jėgų poveikio. Ji gali būti gaunama dviem būdais: paprasčiausiai sumuojant visas vienetines dia-gramas arba sudarant lenkimo momentų diagramą nuo visų vienetinių jėgų, veikiančių kartu, poveikio. Taikant Moro formulę ir grafi nį analizės būdą, ši suminė diagrama dauginama pati iš savęs ir iš Mi. Jei koefi cientai apskaičiuoti teisingai, turi būti sąlyga:

0

,l

ii

M Mdz

EI∑

∑δ = ∑∫ (4.16)

čia δi∑ – i–osios eilutės koefi cientų prie nežinomųjų suma; M∑ – suminė vienetinių lenkimo momentų diagrama.Pagal pateiktas formules tikrinami kiekvienos lygties (4.12) koefi cientai atskirai. Jei tikriname visų koefi cientų teisingumą iš karto, tada turi būti tenkinama

tokia sąlyga:2

0

,l M

dzEI

∑∑ ∑δ = ∑∫ (4.17)

čia δ∑∑ – visų lygčių koefi cientų prie nežinomųjų suma.Kanoninių lygčių laisvasis narys ∆if yra pagrindinės sistemos poslinkis i ryšio

kryptimi nuo išorės apkrovų. Jie skaičiuojami integruojant atitinkamas diagramas:

0

,l

i fif

M Mdz

EI∆ = ∑∫ (4.18)

čia Mi –pagrindinės sistemos lenkimo momentas nuo vienetinės jėgos xi; Mf – pagrindinės sistemos lenkimo momentas nuo duotosios apkrovos.Jei kanoninių lygčių laisvieji nariai apskaičiuoti teisingai, jie turi tenkinti to-

kias lygybes:

0

lf

f

M Mdz

EI∑

∑∆ = ∑∫ (4.19)

4.3.3. Galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas ir tikrinimas

Išsprendus kanoninių lygčių sistemą ir nustačius nežinomųjų Xi reikšmes, ap-skaičiuojami galutiniai lenkimo momentai pagal 4.13 formulę.

Apskaičiavus charakteringuose pjūviuose veikiančius lenkimo momentus, sudaroma galutinė lenkimo momentų diagrama M. Paskui atliekama jos statinė ir kinematinė kontrolė.

Statine kontrole pirmiausia nustatome, ar diagramos pobūdis atitinka žinomus rei-kalavimus, pavyzdžiui: lūžis ties sutelktos jėgos pridėties tašku, šuolis ties momento pridėties tašku ir panašiai. Paskui tikriname mazgų pusiausvyrą.

Jei diagrama netenkina reikalavimų, reikia ieškoti klaidų lenkimo momentų dia-gramose pagrindinėje sistemoje nuo duotosios apkrovos ir vienetinių jėgų.

Kinematinėje kontrolėje įsitikinama, ar tikrai pagrindinės sistemos pjūvių, kuriuose buvo atmesti ryšiai, poslinkiai tų atmestų ryšių kryptimis yra lygūs nu-liui. Poslinkiai lygūs nuliui, jei tenkinama tokia sąlyga:

55

0

0,l MM

dzEI

∑∑δ = ∑ =∫ (4.20)

čia δ ∑ – suminis sistemos poslinkis atmestų ryšių kryptimi; M – galutinė lenkimo momentų diagrama.Jei poslinkis nelygus nuliui, tai gautoji paklaida neturi viršyti 1%.

4.3.4. Skersinių ir ašinių jėgų diagramų sudarymas

Skersinių jėgų diagrama sudaroma naudojantis lenkimo momentų diagrama ir di-ferencialiniu ryšiu:

,dM Q tgdz

= = α (4.21)

o kai lenkimo momentų diagrama tiesinė, formule:

,M Qz

∆=

∆ (4.22)

čia ∆z – strypo ilgio pokytis (atstumas tarp galų to ruožo, kuriame lenkimo mo-mentų diagrama yra vienos tiesės atkarpa, o skersinė jėga yra pastovus dydis);

∆M – lenkimo momento reikšmės pokytis tame ruože.Jeigu lenkimo momentų diagrama – kreivė, tada vietoje lenkimo momentų pokyčio

∆M skaičiuojamas lenkimo momentų diagramos ties tuo pjūviu liestinės pokytis. Visais atvejais, skaičiuojant lenkimo momentų diagramos ar jos liestinės pokytį iš reikšmės, kuri atitinka pjūvį su didesne abscise z, atimama reikšmė, atitinkanti pjūvį su mažesne abscise z. Skaičiuojant pokyčius tokiu būdu, gaunamas teisingas skersinės jėgos ženklas.

Skersinių jėgų diagramų sudarymo pavyzdžiai:

4.10 pav. Skersinių jėgų diagrama, kai veikia sutelktoji jėga

56

Q1–2 = ( )2 1 0;M M

l− −

> (4.23)

Q2–3 = 3 2 0.M Ml

− −< (4.24)

4.11 pav. Skersinių jėgų diagrama, kai veikia paskirstytoji apkrova

Q1 = ( )1 0;/ 2

M Ml

′ − −> (4.25)

Q2 = 2 0,/ 2

M Ml

′−< (4.26)

čia 1 2 ;

2M M

M f−

′ = − (4.27)2

.4

qlf = (4.28)

Sudarius skersinių jėgų diagramą, tikrinama, ar šios diagramos pobūdis atitinka žinomas diagramų savybes.

Ašinių jėgų diagrama gaunama mazgų išpjovimo būdu nagrinėjant vidinių ir išori-nių jėgų pusiausvyrą mazguose (4.12 pav.). Lenkimo momentai atraminiuose pjūviuose atidedami pagal tempiamus sluoksnius, skersinės jėgos pjūviuose ─ pagal teigiamą šlytį, o nežinomos ašinės jėgos rodomos brėžinyje taip, kad jos sukeltų tempimo įtempius pjū-viuose. Skaičiavimą pradedame nuo mazgo, kuriame yra du strypai. Išpjautame mazge pridedamos įrąžos bei duotosios apkrovos ir rašomos jo pusiausvyros sąlygos:

4.12 pav. Mazgo išpjovimas

57

1) ∑Fx = 0;

F – Q5 + N4 = 0; N4 = Q5 – F.

2) ∑Fy = 0;

Q4 – N5 = 0; N5 = Q4.

Toliau jau galima skaičiuoti ir mazgą, kuriame yra trys strypai. Vieno iš šių strypų ašinė jėga bus jau žinoma. Apskaičiavus visas ašines jėgas, sudaroma jų diagrama ir patikrinima pagal žinomus dėsningumus.

4.3.5. Reakcijų skaičiavimas ir tikrinimas. Skerspjūvio parinkimas ir perrinkimas

Atraminės reakcijos nustatomos iš atraminių mazgų statikos pusiausvyros lygčių, pavyzdžiui:

1) ∑Fx = 0;

FrAx – Q1 = 0; FrAx = Q1.

2) ∑Fy = 0;

FrAy – N1 = 0; FrAy = N1.

3) ∑MA = 0;

–MA + M1 = 0; MA = M1.

Statinė kontrolė atliekama užrašant statikos lygtis visam rėmui, nubraižius skai-čiuojamąją schemą su visa apkrova ir jau surastomis atraminėmis reakcijomis. Jėgų projekcijų suma į dvi, tarpusavyje statmenas ašis, bei lenkimo momentų suma bet kurio taško atžvilgiu turi būti lygi nuliui.

Patikrinus visų skaičiavimų teisingumą, iš įrąžų diagramų nustatomi strypų pavo-jingi pjūviai ir tikrinamas jų stiprumas (jei skerspjūviai iš anksto buvo žinomi). Jei skai-čiuojant įrąžas buvo pasirinkti tik strypų standumų santykiai, tada strypų skerspjūvius reikia parinkti. Kai parinktų strypų standumai skiriasi nuo užsiduotųjų, juos reikia keisti ir sistemą skaičiuoti iš naujo. Perskaičiavus parenkamas naujas skerspjūvis. Skaičiavimai baigiami, kai parinktų strypų standumų santykiai artimi užduotiesiems.

4.13 pav. Mazgo A atraminės reakcijos

58

4.4. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo jėgų metodu uždavi-nių sprendimo pavyzdžiai4.1 pavyzdys.Duotas statiškai neišsprendžiamas rėmas (4.14 pav.), jo matmenys L = 820cm,

H = 360cm. Rėmas apkrautas jėga F = – 66kN, momentu Mf = – 38kNm ir tolygiai iš-skirstyta apkrova, kurios intensyvumas q = 30kN/m. Vertikalių rėmo strypų standumas EI, horizontalių – 4EI.

4.14 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiuotinė schema

Duotam rėmui (4.14 pav.) reikia :4.4.1. Sudaryti rėmo skaičiuotinę schemą ir nustatyti sistemos statinio neišspren-

džiamumo laipsnį.4.4.2. Parinkti rėmui pagrindinę sistemą.4.4.3. Sudaryti pagrindinei sistemai lenkimo momentų diagramas, kai jį veikia

vienetinės jėgos ir kai veikia aktyvinės apkrovos.4.4.4. Apskaičiuoti kanoninių lygčių koefi cientus ir laisvuosius narius.4.4.5. Sudaryti rėmui galutines lenkimo momentų, skersinių ir ašinių jėgų dia-

gramas.4.4.6. Paruošti rėmo skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis ir atlikti jo

sprendimą.

4.4.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas

Skaičiuojant pirmiausia sudaroma sistemos skaičiuotinė schema (4.15 pav.). Skai-čiuojamaisiais pjūviais statinio schema tariamai dalijama į mazgus ir pavienius elementus. Rėmo laisvumo laipsnis L rodo tiesiškai nepriklausomų statikos pusiausvyros lygčių, kurias reikia užrašyti nežinomoms įrąžoms apskaičiuoti, skaičių. Skaičiuojant lenkiamas strypi-

59

nes sistemas nuo išorinių poveikių, reikia įvertinti ne tik lenkimo momentų, bet ir ašinių jėgų įtaką. Skaičiuojant lenkiamas strypines sistemas, pagrindiniais ieškomaisiais dydžiais laikomi lenkimo momentų {M}, mazgų poslinkių (u) ir atraminių reakcijų {R} vektoriai. Jeigu reikia, prie ieškomų dydžių priskiriamas ir ašinių jėgų vektorius {N}.

Nagrinėjamo rėmo statinio neišsprendžiamumo laipsnis apskaičiuojamas pagal 4.7 formulę n = 3·K – Š = 3·1 – 1 = 2, t. y. rėmas dukart statiškai neišsprendžiamas.

4.15 pav. Rėmo skaičiuotinė schema

4.4.2. Rėmo pagrindinės sistemos parinkimas

Pasirenkame pagrindinę sistemą suardant lankstą.

4.16 pav. Rėmo pagrindinė schema

60

4.4.3. Rėmo pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos

Lenkimo momentų M1 diagrama

4.17 pav. Lenkimo momentų M1 diagrama

1 2 3 4 5

6,7

8

9

10

0 ,1,0 4,1 4,1,

1,0 8,2 8,2,1,0 8,2 8,2,8,2.

M M M M MMMMM

= = = = == ⋅ =

= ⋅ == − ⋅ = −= −

Lenkimo momentų M2 diagrama

4.18 pav. Lenkimo momentų M2 diagrama

1

2,3

4,5 6,7 8,9

10

1,0 7,2 7,2,1,0 3,6 3,6,

0,1,0 7,2 7,2.

MMM M MM

= − ⋅ = −= − ⋅ = −

= = =

= ⋅ =

61

Suminė lenkimo momentų MΣ diagrama, kuri sudaroma nuo suminio X1 ir X2 po-veikio

4.19 pav. Suminė lenkimo momentų MΣ diagrama

Tikrosios apkrovos sukeltų lenkimo momentų diagrama Mf

4.20 pav. Lenkimo momentų Mf diagrama

1

2 3 4 5

2 2

6 7

8

9 10

66 3,6 237,6 ,0,30 8,2 504,3 ,

4 4

30 8,2 4,1 1008,6 ,2

30 8,2 4,1 38 1046,6 .2 f

M F H kNmM M M M

q LM M kNm

LM q L kNm

LM q L M kNm M

= ⋅ = ⋅ == = = =

− ⋅ − ⋅= = = − = −

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + = =

62

4.4.4. Kanoninių lygčių koeficientai ir laisvieji nariai

Jėgų metodo kanoninės lygtys

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0,0.

F

F

x xx x

δ + δ + ∆ =δ + δ + ∆ =

Kanoninių lygčių koefi cientai δ11 , δ12 , δ21 ir δ22

)

( )

( )

11

12 21

22

1 1 2 1 530,18,2 8,2 8,2 8,2 7,2 8,2 ,4 2 3

1 1 212,58,2 7,2 7,2 ,2

1 1 2 248,82 7,2 7,2 7,2 ,2 3

1 1 2 1 2 17,2 7,2 7,2 8,2 7,2 8,2 1,02 3 2 3 3

12

EI EI EI

EI EI

EI EI

EIΣΣ

⎛ ⎞δ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞δ = δ = − ⋅ ⋅ ⋅ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞δ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎛ ⎞δ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠

+ ⋅1 2 1 2 353,81,0 7,2 8,2 1 8,2 8,2 8,2 .3 3 3 3 EI

⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

Kanoninių lygčių laisvieji nariai ∆1F ir ∆2F

( )

]

1

3

2

1 1 1 21046,6 7,2 8,2 1008,6 8,2 8,24 2 3

30 8,2 1 66029,98,2 ,12 2

1 11046,6 7,2 7,22

1 2 1 24561,8237,6 3,6 7,2 3,6 .2 3 3

F

F

EI EI

EI

EI

EI

⎡⎛ ⎞⎡ ⎤∆ = ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎢⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣⋅

+ ⋅ ⋅ = −

⎡⎛ ⎞∆ = ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎦

Sudauginame diagramos MF plotus ir atitinkamas ordinates iš suminės dia-gramos MΣ:

3

1 1 1 2 1 13,6 237,6 3,6 7,2 1046,6 7,2 8,2 1,02 3 3 2 2

1 1 2 30 8,2 18,2 1008,6 8,2 ) 8,24 2 3 12 2

6030,4 4238,6 41468 .

f EI

EI

EI EI EI

Σ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= − + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

63

Patikriname, ar teisingai apskaičiuoti kanoninių lygčių koefi cientai ir laisvieji nariai:

11 12 22 2

1 2

2 ,530,1 212,5 248,8 353,822 ,

353,9 353,8 ,

,66029 24561 41468 .

z

f f f

EI EI EI EI

EI EI

EI EI EI

Σ

δ + δ + δ = δ

⎛ ⎞+ ⋅ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

≈

∆ + ∆ = ∆

− + = −

Apskaičiuojame jėgų x1 ir x2 reikšmes

11 1 12 2

21 1 22 2

1 2

1 2

00

530,1 212,5 66029,9 0

212,5 248,8 24561,8 0

x xx x

x x EI EI EI

x x EI EI EI

δ + δ =⎧⎨δ + δ =⎩⎧ ⋅ − ⋅ − =⎪⎪⎨⎪− ⋅ + ⋅ + =⎪⎩

iš pirmos lygties:

1 2

11

530,1 212,5 66029,9,212,5 66029,9 ,

530,1

x xxx

⋅ = ⋅ +⋅ +

=

įstatom į antrą

22

22

2

2

1

1

212,5 66029,9212,5 248,8 24561,8,530,1

45456,25 14031353,75 248,8 24561,8 0,530,1 530,1

163,61 1907,5,11,66,

530,1 212,5 11,66 66029,9,129,2.

x x

x x

xx

xx

⋅ +⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠− ⋅

− + ⋅ + =

==

= ⋅ +=

64

4.4.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų, skersinių ir ašinių jėgų diagramos

Galutinė lenkimo momentų diagrama Mg

4.21 pav. Lenkimo momentų Mg diagrama

1

2

3

4

5

2

6 7

8

9

10

11,66 7,2 66 3,6 153,6 ,11,66 3,6 41,98 ,11,66 3,6 41,98 ,

0,0,

0 50,84 30 8,2 529,7 ,2 4

8,2129,2 8,2 30 8,2 50,84 ,2

50,84 38 12,84 ,12,84 11,66 7,2 71

M kNmM kNmM kNmMM

M kNm

M kNm

M kNmM

−

= − ⋅ + ⋅ == − ⋅ = −= − ⋅ = −==

+ ⋅= + =

= ⋅ − ⋅ ⋅ =

= − + = −= − + ⋅ = ,1 .kNm

Patikriname, ar gerai apskaičiuoti lenkimo momentai

1 1 1 2 1 1 2153 3,6 3,6 7,2 41,98 3,6 7,2 3,62 3 3 2 3 3

1 2 1 2 1 141,98 3,6 3,6 12,84 7,2 8,2 1,0 71,1 7,22 3 2 3 3 2

2 11,0 8,23 3

M g EIΣ

⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛⋅ − ⋅ − ⋅31 1 2 30 8,2 150,84 8,2 8,2 8,2 0.

4 2 3 12 2EI⎤ ⎡ ⎤⋅⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎦

65

Skersinių ir ašinių jėgų diagramos

1 2

3 4

5

6

7 8

11,66 66 54,34 ,11,16 ,

129,2 ,129,2 30 8,2 116,8 ,

11,66 .

Q kNQ kNQ knQ kNQ kN

−

−

−

= − = −=

== − ⋅ = −= −

4.22 pav. Rėmo skersinių jėgų Q diagrama

1 4

5 6

7 8

129,2 ,11,66 ,129,2 30 8,2 116,8 .

N kNN kNN kN

−

−

−

= −== − ⋅ = −

4.23 pav. Rėmo ašinių jėgų N diagrama

66

Jėgų pusiausvyros mazge 5

4.24 pav. Rėmo 5 mazgo pusiausvyros schema

0,

116,8 116,8 0,

0,

0,

50,84 38 12,84 0.

y

x

F

F

M

=

− =

=

=

− + + =

∑

∑∑

4.4.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu

Rėmų skaičiavimas programa „JEG“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio uni-versiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „JEG“, apskaičiuojamos statiškai neišsprendžiamų rėmų atramų reakcijos, rėmo pjūvių skersinės ir ašinės jėgos bei šių pjūvių lenkimo momentai.

Rėmo skaičiuotinės schemos paruošimas. Jei rėmas yra apkrautas tolygiai iš-skirstyta apkrova, tai pirmiausia ją reikia pakeisti sutelktinėmis jėgomis. Paskui pa-žymimi rėmo mazgai. Mazgai yra taškai, kuriuose yra išoriniai ryšiai, vidiniai lanks-tai ar veikia išorinės apkrovos bei taškai, kuriuose susikerta strypai.

Pažymėjus mazgus, žymimi strypai ir pjūviai. Tarp mazgų esanti rėmo dalis va-dinama strypu. Vėliau pažymimi kiekvieno strypo du pjūviai: pradžios ir galo. Strypo pradžia laikoma vieta, kuri yra prie mažesnio mazgo numerio. Tokiu būdu žymint pjūvius, strypo pradžios pjūvis visada yra nelyginis skaičius, o galo – lyginis. Be to, pjūvių numeris yra susiejamas su strypų numeriu – strypo galinio pjūvio numeris yra du kartus didesnis už strypo numerį.

Koordinačių ašys X, Y pravedamos taip, kad visų rėmo mazgų koordinačių reikšmės būtų teigiamos. Rėmo skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, stry-pais, pjūviais parodyta 4.15 pav.

Pradiniai statiškai neišprendžiamo rėmo skaičiavimo duomenys surašomi pradi-nių duomenų rinkmenoje JEG.DAT. Papildomai paaiškinsime strypų adresų masyvo paruošimą pradinių duomenų rinkmenos dalyje „STRYPŲ ADRESAI“ ir informaci-jos apie jėgų metodo pagrindinės sistemos nurodymą:

67

Strypų adresų masyvas gaunamas surašant strypų sužymėjimo didėjimo eile stry-pų pradžios ir galo mazgų numerius.

Skaičiuotojas statiškai neišsprendžiamo rėmo pagrindinę sistemą gali parinkti pats, arba pagrindinės sistemos parinkimą pavesti kompiuteriui. Informacija apie skaičiuotojo parinktą pagrindinę sistemą nurodoma rinkmenos dalyje „INFORMA-CIJA APIE PAGRINDINĘ SISTEMĄ“. Jei skaičiuojama panaudojant priimtą pa-grindinę sistemą, tai nurodomi pjūvių numeriai, kuriuose pašalinami vidiniai ryšiai. Pašalinus ašinės jėgos ryšį pjūvyje, įrašomas pjūvio numeris, pašalinus skersinės jėgos ryšį – pjūvio numeris su neigiamu ženklu, jei pašalinus kampinį – pjūvio nu-meris padidintas 100 kartų. Norint, kad pagrindinę sistemą pasirinktų kompiuteris, reikia rinkmenos dalyje „STATINIO NEIŠSPRENDŽIAMUMO LAIPSNIS“ įrašy-ti neigiamą skaičių.

Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo jėgų metodu pradinių duomenų rin-kmena JĖG.DAT.

„STATISKAI NEISSPRENDZIAMO REMO SKAICIAVIMAS JEGU METO-DU“

„PAVYZDYS mokomajai knygai“„STRYPU SKAICIUS (N)“ 5„STRYPU ADRESAI (2*N)“ 1,2,2,3,3,4,4,5,5,6„KOKIOS IRAZOS VERTINAMOS APSKAICIUOJANT KOEFICIENTUS“„RASOME 1 ─ JEIGU LENKIMO MOMENTUS“„2 ─ JEIGU LENKIMO MOMENTUS IR ASINES JEGAS“„─1 ─ JEIGU ASINES JEGAS“ 1„STRYPO STANDumas LENKIMUI (EI) (N)“ 1.,1.,4.,4.,1. „STRYPO ASINIS STANDumas (EF) (N)“ 0.,0.,0.,0.,0.„KURIO STRYPO STANDumas PRIIMTAS PRADINIU“ 1„MAZGU SKAICIUS (M)“ 6„MAZGU KOORDINATES X (m)“ 0.,0.,0.,4.1,8.2,8.2„MAZGU KOORDINATES Y (m)“ 0.,3.6,7.2,7.2,7.2,0. „HORIZONTALIU RYSIU SKAICIUS (R1)“ 2„HORIZONTALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R1)“ 1,6„VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (R2)“ 2„VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R2)“ 1,6„KAMPINIU RYSIU SKAICIUS (R3)“ 2„KAMPINIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R3)“ 1,6„LANKSTU SKAICIUS (S)“ 1„LANKSTAI YRA PJUVIUOSE (S)“ 4„HORIZONTALIU JEGU SKAICIUS (NH)“ 1„HORIZONTALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NH)“ 2„HORIZONTALIU JEGU DYDZIAI (NH)“ –66.„VERTIKALIU JEGU SKAICIUS (NV)“ 1„VERTIKALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NV)“ 4„VERTIKALIU JEGU DYDZIAI (NV)“ 246.

68

„MOMENTU SKAICIUS (NM)“ 1„MOMENTAI VEIKIA MAZGUS (NM)“ 5„MOMENTU DYDZIAI (NM)“ –38.„sutelktuju JEGU,GAUTU PAKEITUS TOL. PASKIRS. APKR., SKAICIUS (SL)“ 1„SLOGINIAI PAKEISTI JEGOMIS, PRIDETOMIS MAZGUOSE (SL)“ 4„STATINIO NEISSPRENDZIAMUMO LAIPSNIS (K)“ 2„INFORMACIJA APIE PAGRINDINE SISTEMA (K)“ 4, –4UZDAVINIO SPRENDIMO DATA 2007 09 03

Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimas jėgų metodu atliekamas programa JEG.EXE. Rėmo skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duo-menų rinkmenoje JEG.REZ.

4.5. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas poslinkių metodu

Skaičiuojant statiškai neišsprendžiamas konstrukcijas poslinkių metodu, pagrin-diniais nežinomaisiais imami mazgų poslinkiai (kampiniai ir linijiniai). Šių nežinomų poslinkių skaičius m yra vadinamas kinematinio neišsprendžiamumo laipsniu. Žinant šiuos poslinkius, galima nustatyti deformuotą sistemos vaizdą ir, įvertinus tiesinį ryšį tarp poslinkių ir deformacijų bei tarp deformacijų ir įrąžų, gauti šias įrąžas. Kinema-tinio neišsprendžiamumo laipsnis nebūtinai turi sutapti su statinio neišsprendžiamu-mo laipsniu. Kaip ir jėgų metode, poslinkių metode neįvertinama: a) strypų ašinių ir skersinių jėgų įtaka jų deformacijoms; b) skirtumas tarp iškreivintų strypų ilgio ir jų projekcijų dydžio į pirminę kryptį.

4.6. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiavimo poslinkių metodu uždavinių sprendimo pavyzdžiai

4.2 pavyzdys

Duotas statiškai neišsprendžiamas rėmas (4.25 pav.), jo matmenys a = 3,0m, b=2,0m. Rėmas apkrautas vertikalia jėga F1 = 150kN, horizontaliomis jėgomis F=110kN ir vienodai išskirstyta apkrova, kurios intensyvumas q = 15kN/m. Rėmo strypų standumų santykiai EI = 3:1,5:4:3.

69

4.25 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo schema

Duotam rėmui (4.25 pav.) reikia :4.6.1. Sudaryti rėmo skaičiuotinę schemą ir nustatyti sistemos statinio neišspren-

džiamumo laipsnį.4.6.2. Parinkti rėmui pagrindinę sistemą.4.6.3. Sudaryti pagrindinei sistemai lenkimo momentų diagramas, kai jį veikia

vienetiniai poslinkiai ir kai veikia aktyvinės apkrovos.4.6.4. Apskaičiuoti kanoninių lygčių koefi cientus ir laisvuosius narius.4.6.5. Sudaryti rėmui galutinę lenkimo momentų diagramą.4.6.6. Paruošti rėmo skaičiavimo kompiuteriu pradinius duomenis ir atlikti jos

sprendimą.

4.6.1. Rėmo skaičiuotinės schemos sudarymas

Pažymėjus mazgus, žymimi strypai ir pjūviai. Koordinačių ašys X, Y pravedamos taip, kad visų rėmo mazgų koordinačių reikšmės būtų teigiamos.

Rėmo skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, strypais, pjūviais parodyta 4.26 paveiksle.

70

4.26 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo skaičiuotinė schema

4.6.2. Rėmo pagrindinės sistemos sudarymas

Poslinkių metodo pagrindinė sistema (4.27 pav.) gaunama skaičiuotinėje schemoje pasitelkiant papildomus ryšius taip, kad gautume sujungtų mazguose vienaangių sijų visumą. Įvestieji ryšiai, kurie priešinasi mazgo pasisukimui (bet nevaržo linijinių poslinkių), yra vadinami mazginiais arba standžiais (perima tik momentą), o tie, kurie priešinasi pasislinkimui, yra vadinami linijiniais. Minėtieji standūs ryšiai mazguose vaizduojami kvadratukais, o linijiniai ryšiai – įprastai, lankstiniu paslankiu ryšiu.

Gautoji sistema turi būti ekvivalentiška pradinei kinematiniu požiūriu. Dėl to įvestiesiems ryšiams suteikiami tam tikri kampiniai ir linijiniai poslinkiai, kurie lai-komi pagrindiniais nežinomaisiais (iš viso jų yra m). Įvedamų ryšių kiekis ir poslin-kių metodo lygčių skaičius priklauso nuo pradinės skaičiavimo schemos kinematinio neišsprendžiamumo laipsnio m = mk + ml. Plokščiojo rėmo mazgų kampinių posūkių skaičius mk yra lygus nesuvaržytų standžių mazgų skaičiui. Mazgų ar jų grupių (jei neįvertinamos strypų išilginės ir skersinės deformacijos) linijinių poslinkių skaičius ml nustatomas iš vadinamosios rėmo lankstinės schemos, gautos įterpus lankstus į visus pradinės schemos mazgus. Be to, pradinėje schemoje esančios gembės turi būti atmestos. Gautoji poslinkių metodo pagrindinė sistema yra vienintelė. Ją sudaro įvai-riai įtvirtintos dviatramės sijelės.

71

4.27 pav. Statiškai neišsprendžiamo rėmo pagrindinė sistema

M1 = F1·a = 150·3 = 450 kNm.

4.6.3.Pagrindinės sistemos lenkimo momentų diagramos, kai jį veikia vie-netiniai poslinkiai ir kai veikia aktyvinės apkrovos

Kanoninių lygčių koeficientams ir laisviesiems nariams skaičiuoti reikia sudaryti lenkimo momentų diagramas pagrindinėje sistemoje nuo rėmo maz-gų vienetinių nežinomų poslinkių poveikio ir nuo pirminės apkrovos poveikio. Reakcijos rif ir Rįf gali būti dvejopos: sutelktieji momentai mazgų ryšiuose ir sutelktosios jėgos linijiniuose ryšiuose.

72

4.28 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl Z1 poveikio

4.29 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl Z2 poveikio

73

4.30 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl Z3 poveikio

4.31 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl Z4 poveikio

74

4.32 pav. Lenkimo momentų diagrama dėl išorinių jėgų poveikio

EIil

= ; 11

3 0,33333 9EI EIi EI

a= = = ⋅

⋅; 2

2

1,5 0,3752 2 2EI EIi EI

b= = = ⋅

⋅ ⋅;

33

4 0,44443 9EI EIi EI

a= = = ⋅

⋅;

44

3 1,52

EI EIi EIb

= = = ⋅ ;

45

3 1,52

EI EIi EIb

= = = ⋅ .

4.6.4. Kanoninių lygčių koeficientų ir laisvųjų narių skaičiavimas

Paskaičiuojame kanoninių lygčių koefi cientus ir laisvuosius narius:

11 1 12 2 13 3 14 4 1,

21 1 22 2 23 3 24 4 2,

31 1 32 2 33 3 34 4 3,

41 1 42 2 43 3 44 4 4,

0;0;0;0.

F

F

F

F

r z r z r z r z Rr z r z r z r z Rr z r z r z r z Rr z r z r z r z R

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =⎧⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =⎪⎨ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =⎪⎪ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =⎩

75

4.33 pav. r11 nustatymas

4.34 pav. r12 nustatymas

4.35 pav. r13 nustatymas

4.36 pav. R1F nustatymas

3 0;M =∑11 2 3 43 3 4 3 0,375 3 0,4444 4 1,51,125 1,333 6 8,458 ;

r i i i EI EI EIEI EI EI EI

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅

3 0;M =∑

12 42 2 1,5 3 ;r i EI EI= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

3 0;M =∑

2 413

2 4

3 6 3 0,375 6 1,54 2

0,281 4,5 4,219 ;

i i EI EIrl l

EI EI EI

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = − =

= ⋅ − ⋅ = − ⋅

3 0;M =∑1, 450;FR M= =

21 12 3 ;r r EI= = ⋅

76

4.37 pav. r22 nustatymas

4.38 pav. r23 nustatymas

4.39 pav. r24 nustatymas

4.40 pav. R2F ir R4F nustatymas

5 0;M =∑22 4 54 4 4 1,5 4 1,5 6 6 12 ;r i i EI EI EI EI EI= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅

5 0;M =∑4

23

4

6 6 1,5 4,5 ;2

i EIr EIl⋅ − ⋅ ⋅

= − = = − ⋅

5 0;M =∑54

24

4 5

66 6 1,5 6 1,5 4,5 4,5 0;2 2

ii EI EIr EI EIl l

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = − = ⋅ − ⋅ =

5 0;M =∑ 2, 0;FR =

0;H =∑ ( )4, 110 110;FR F= − = − − =

77

31 13 4,219 ;r r EI= = − ⋅ 32 23 4,5 ;r r EI= = − ⋅

4.41 pav. r33 nustatymas

4.42 pav. r34 nustatymas

4.43 pav. R3F nustatymas

41 14 4,5 ;r r EI= = ⋅

42 24 0;r r= =

43 34 4,5 ;r r EI= = − ⋅

4.44 pav. r44 nustatymas

Apskaičiuotus koefi cientus statome į kanoninę lygčių sistemą:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

8,458 3 4,219 4,5 450 0;3 12 4,5 0 0 0;

4,219 4,5 4,57 4,5 110 0;4,5 0 4,5 9 110 0.

z z z zz z z z

z z z zz z z z

⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + =⎧⎪ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + =⎪⎨− ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ − =⎪⎪ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + =⎩

0;H =∑2 4

33 2 2 22 4

2

3 12 3 0,3754

12 1,5 0,070 4,52

4,57 ;

i i EIrl l

EI EI EI

EI

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + = +

⋅ ⋅+ = ⋅ + ⋅ =

= ⋅

0;H =∑4

34 2 24

12 12 1,5 4,5 ;2

i EIr EIl⋅ − ⋅ ⋅

= − = = − ⋅

0;H =∑3, 110 ;FR F kN= = −

0;H =∑54

44 2 2 2 24 5

1212 12 1,5 12 1,52 2

4,5 4,5 9 ;

ii EI EIrl lEI EI EI

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + = + =

= ⋅ + ⋅ = ⋅

78

Išsprendę lygtį gauname ieškomus mazgų poslinkius:

1 74,231;z = − 2 14,035;z = 3 12,061;z = − 4 18,863.z =

4.6.5. Rėmo galutinės lenkimo momentų diagramos sudarymas

Sudarome galutinę MΣ diagramą. MΣ kiekviename pjūvyje surandama pagal formulę:

1 1 2 2 3 3 4 4 ;FM M M z M z M z M z∑ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

1, 151,875M kNm∑ = − ; 2, 0M ∑ = ; 3, 4M ∑ = ;

( ) ( )24, 2 1 3

2

3 3 0,3753 3 0,375 74,231 12,0614

83,510 3,392 86,902 ;

iM i z zl

kNm

∑

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅ − =

= − − =

( )5, 3 33 3 0,4444 74,231 98,974 ;M i z kNm∑ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −

6, 0;M ∑ =

( )

( )

4 47, 4 1 4 2 3 4

4 4

6 64 2 4 1,5 74,231

6 1,5 6 1,52 1,5 14,035 12,061 18,863 445,3864 4

42,105 54,274 84,884 264,123 ;

i iM i z i z z zl l

kNm

∑

⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ − −

⋅ ⋅− ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ = −

− − − =

( )

( )

4 48, 4 1 4 2 3 4

4 4

6 62 4 2 1,5 74,231

6 1,5 6 1,54 1,5 14,035 12,061 18,863 222,6934 4

42,105 84,21 54,274 84,883 0,674 ;

i iM i z i z z zl l

kNm

∑

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ − +

⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ − ⋅ − + ⋅ = − −

− + + + =

59, 5 2 4

5

6 6 1,54 4 1,5 14,035 18,8632

84,21 84,883 0,674 ;

iM i z zl

kNm

∑

⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ =

= − + =

510, 5 2 4

5

6 6 1,52 2 1,5 14,035 18,8632

42,105 84,883 42,778 .

iM i z zl

kNm

∑

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ =

= − = −

79

4.45 pav. Rėmo galutinė momentų diagrama

4.6.6. Statiškai neišsprendžiamų rėmų skaičiavimas kompiuteriu

Rėmų skaičiavimas programa „DELTA“. Pasinaudojant Lietuvos žemės ūkio universiteto Statybinių konstrukcijų katedros doc. dr. L. Lindišo sukurta kompiuterine programa „DELTA“, apskaičiuojami rėmo mazgų poslinkiai pageidaujamomis kryp-timis. Kaip tarpiniai skaičiavimo rezultatai, pateikiami statiškai išsprendžiamų rėmų pjūvių lenkimo momentai, kai jį veikia aktyvios apkrovos ir kai jį veikia skaičiuojamų poslinkių kryptimis pridėtos vienetinės jėgos. Rezultatuose pateikiamos apskaičiuotos statiškai neišsprendžiamų rėmų atramų reakcijos, rėmo pjūvių skersinės ir ašinės jėgos bei šių pjūvių lenkimo momentai.

Rėmo skaičiuotinės schemos paruošimas. Rėmo skaičiuotinė schema sudaroma pagal 4.6.2 poskyryje išdėstytus principus, išskyrus tai, kad jei rėmas yra apkrautas tolygiai išskirstyta apkrova, jos nereikia pakeisti sutelktinėmis jėgomis.

Rėmo skaičiuotinė schema su pažymėtais mazgais, strypais, pjūviais parodyta 4.27 paveiksle.

Pradiniai rėmo poslinkių skaičiavimo duomenys surašomi pradinių duomenų rinkmenoje DELTA.DAT. Paaiškinsime tik strypų adresų masyvo paruošimą pradinių duomenų rinkmenos dalyje „STRYPŲ ADRESAI“ ir informacijos apie poslinkių me-todo pagrindinės sistemos pateikimą.

80

Strypų adresų masyvas gaunamas surašant strypų sužymėjimo didėjimo eile stry-pų pradžios ir galo mazgų numerius. Poslinkių metodo pagrindinė sistema nurodoma įrašant rinkmenos dalyje „INFORMACIJA APIE PAGRINDINE SISTEMA“ mazgų numerius, kurių poslinkiai fi ktyviai yra suvaržyti išoriniais ryšiais. Jei ryšiu suvaržo-mas mazgo kampinis poslinkis, tai pradinių duomenų rinkmenoje įrašomas mazgo nu-meris, jei horizontalus – mazgo numeris su neigiamu ženklu, jei vertikalus – mazgo numeris padidintas 100 kartų.

Pradinių duomenų pavyzdžio rinkmenoje yra visi kiti pradinių duomenų paaiš-kinimai.

Rėmo poslinkių skaičiavimo pradinių duomenų rinkmena DELTA.DAT

„STATISKAI NEISSPRENDZIAMO REMO SKAICIAVIMAS POSLINKIU METODU“

„PAVYZDYS MOKOMAJAI KNYGAI“„STRYPU SKAICIUS (N)“ 5„STRYPU ADRESAI (2*N)“ 1,2,2,3,3,4,3,5,5,6„STRYPU STANDUMAI (EI) (N)“ 3.,1.5,4.,3.,3.„MAZGU SKAICIUS (M)“ 6„MAZGU KOORDINATES X (m) (M)“ 0.,9., 9., 18., 9., 9.„MAZGU KOORDINATES Y (m) (M)“ 8.,8.,4.,4.,2.,0.„HORIZONTALIU RYSIU SKAICIUS (R1)“ 2„HORIZONTALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R1)“ 1,6„VERTIKALIU RYSIU SKAICIUS (R2)“ 3„VERTIKALIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R2)“ 1,4,6„KAMPINIU RYSIU SKAICIUS (R3)“ 2„KAMPINIUS RYSIUS TURI MAZGAI (R3)“ 1,6„LANKSTU SKAICIUS (NEPRIIMANT ATRAMINIU) (S)“ 1„LANKSTAI YRA PJUVIUOSE“ 2„HORIZONTALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (NH)“ 2„HORIZONTALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NH)“ 4,5„HORIZONTALIU JEGU DYDZIAI (kN) (NH)“ 110.,-110.„VERTIKALIU AKTYVIU JEGU SKAICIUS (NV)“ 1„VERTIKALIOS AKTYVIOS JEGOS VEIKIA MAZGUS (NV)“ 3„VERTIKALIU JEGU DYDŽIAI (kN) (NV)“ 150.„AKTYVIU MOMENTU SKAICIUS (NM)“ 1„MOMENTAI VEIKIA MAZGUS (NM)“ 3„MOMENTU DYDZIAI (kNm) (NM)“ -450.„KELIS STRYPUS VEIKIA PASKIRSTYTOJI APKROVA (SL)“ 1„PASKIRSTYTOJI APKROVA VEIKIA STRYPUS (SL)“ 1„PASKIRSTYTOSIOS APKROVOS INTENSYVUMAS (kN/m) (SL)“ 15.„POSLINKIU METODO NEZINOMUJU SKAICIUS (K)“ 4„INFORMACIJA APIE PAGRINDINE SISTEMA (K)“ 3,5,-4,-5„POSLINKIU KRYPTYS (K)“ 1,1,1,1

81

Rėmo poslinkių skaičiavimas atliekamas naudojantis programa DELTA.EXE. Rėmo poslinkių skaičiavimo rezultatai su paaiškinimais pateikiami skaičiavimo duo-menų rinkmenoje DELTA.REZ.

4.7. Strypinių sistemų skaičiavimas baigtinių elementų metodu paremtomis komercinėmis kompiuterinėmis programomis

Pastaruoju metu baigtinių elementų metodas (BEM) dažnai taikomas skaičiuojant inžinerines konstrukcijas (strypines, plokščiąsias, kevalines) kompiuteriais. Sukurta gana daug ir mokomųjų, ir komercinių kompiuterinių programų projektavimui ir anali-zei. Strypinė konstrukcija nagrinėjama kaip tam tikrų konstrukcinių elementų, sujungtų baigtiniame kiekyje mazgų, visuma. Kiekvieno elemento įtempių ir deformacijų bū-vis nagrinėjamas atskirai ir iš anksto, tada sudaromos lygtys, aprašančios jų ir mazgų bendrą darbą. Strypinė sistema natūraliai skaidoma elementais. Baigtiniais elementais strypinėse sistemose imami strypai, sujungti galais mazguose. Tai atitinka poslinkių metodo idėją. Jei šių mazgų poslinkiai yra žinomi, tai galima rasti visų taškų poslinkius ir įrąžas strypuose.

Baigtinių elementų metodas imamas kaip pamatas kuriant universaliąsias bei spe-cializuotas kompiuterines programas. Universaliosios programos ALGOR, ANSYS, ABAQUS, COSMOS/M skirtos mechaninėms, šiluminėms, hidraulinėms, elekromagne-tinėms ir kitokioms fi zinėms sistemoms modeliuoti ir analizuoti. Specializuotos baigtinių elementų integruotosios programos (CAD, CATIA, MicroStation, ProEngineer, Euclid, NASTRAN, PATRAN, SINDA, TEAP, INTERGRAPH, Nemetschek ir kt.,) yra susiju-sios su automatizuotu geometriniu projektavimu ir gali būti taip pat naudojamos atliekant mokslinius tyrimus ir sprendžiant taikomuosius inžinerinius uždavinius. Statybinėms konstrukcijoms iš plieno, gelžbetonio, medžio bei aliuminio projektuoti naudojamos Ma-trix Frame, LIRA, STAAD.Pro, ROBOT, REAL Steel. Jomis galima atlikti tiek statinius, tiek dinaminius konstrukcijų skaičiavimus. Šios kompiuterinės programos leidžia sta-tybines konstrukcijas analizuoti ir projektuoti pagal daugelio pasaulio šalių statybines normas. Visos šios programos pritaikytos dirbti Windows aplinkoje.

82

LITERATŪRA

1. Čyras A. Statybinė mechanika. Vilnius: Mokslas, 1990. 448 p.2. Karkauskas R., Krūtinis A., Atkočiūnas J., Kalanta S., Nagevičius J. Statybinės

mechanikos uždavinių sprendimas kompiuteriais. Vilnius: Mokslo ir enciklope-dijų leidykla, 1995. 264 p.

3. Klimavičius V. Statybinė mechanika. Vilnius: Mintis, 1965. 451 p.4. Mikuckis F. Lenkimas. Metodinė priemonė, skirta LŽŪU Vandens ūkio ir že-

mėtvarkos fakulteto Vandens apsaugos inžinerijos ir vadybos bei hidrotechni-kos specialybių studentams. Kaunas: LŽŪU leidybos centras, 2005. 34 p.

5. Rimkus L., Skaržauskas V. Plokščiųjų strypinių konstrukcijų mechanika. Mo-komoji knyga. Vilnius: Technika, 2005. 184 p.

Statybine mechanikaStatybine mechanikaStatybine mechanikaStatybine mechanikaStatybine mechanikStatybine mechanik

Tiražas 250 vnt. Spausdino UAB „Ardiva“

Jonavos g. 254, LT-44132, Kaunas, Tel.: (8-37) 36 34 01; Faks.: (8-37) 33 47 34;

El. p.: info@ ardiva.lt; www. ardiva.lt.

Statybine mechanika