13

Capitolul 2 Descrierea numeric i grafic a datelor

Pe parcursul acestui curs voi face referire n mod repetat la un proiect de

statistic ce poate fi gsit n cadrul Bibliotecii Digitale de pe site-ul Academiei de

Studii Economice. Este vorba de unul dintre ultimele capitole ale crii Statistic, de

E. Lilea, M. Vatui, D. Boldeanu i Z. Goschin1. Cred c ar fi util s descrcai acest

proiect pentru c vom acoperi o parte semnificativ a lui.

2.1 Elemente introductive

Procesul prelucrrii seriilor de date ncepe cu analiza prestatistic a datelor,

urmat de sistematizarea datelor statistice.

Analiza prestatistic a datelor urmrete depistarea eventualelor valori aberante i surprinderea unor caracteristici ale seriei, fapt pentru care n aceast faz a analizei se utilizeaz, n principal, reprezentarea grafic a seriei.

Sistematizarea datelor statistice presupune clasificri i grupri ale datelor pentru formarea de clase sau grupe ct mai omogene de uniti statistice.

Clasificarea datelor (gruparea unitilor elementare ale unei populaii dup

anumite criterii) ocup un loc important n cadrul statisticii descriptive. n funcie de

modul de constituire al claselor, avem de-a face cu:

Clasificri artificiale, atunci cnd, pentru sistematizarea informaiilor disponibile, clasele sunt definite pe baza unor criterii pragmatice. De cele mai multe ori, criteriile alese nu sunt eseniale, putnd fi considerate chiar arbitrare. Un exemplu de clasificare artificial este cel al prezentrii locuitorilor cu drept de vot dintr-o localitate prin liste zonale (n ideea c aceast grupare nu are nimic n comun cu inteniile de vot).

Clasificri naturale, care permit definirea claselor n funcie de criterii eseniale. n acest caz se asigur att sistematizarea datelor statistice, ct i surprinderea unor caracteristici eseniale ale populaiei statistice. Un exemplu de clasificare natural l reprezint clasificarea firmelor din economie (sau dintr-un eantion) pe ramuri de activitate. Astfel, orice societate din Romnia trebuie s prevad n statutul su unul sau mai multe obiecte de activitate, toate acestea fiind incluse n Clasificarea Activitilor din Economia Naional (CAEN). Clasificarea pornete de la cel mai agregat nivel, fiind implementate 21 de seciuni (de la A la U), ce reprezint sectoare

1 Link: http://www.biblioteca-digitala.ase.ro/biblioteca/carte2.asp?id=95&idb=6 Dac acest link nu

funcioneaz, accesai Biblioteca Digital de pe site-ul Academiei de Studii Economice (link:

http://www.biblioteca-digitala.ase.ro/biblioteca/model/index2.asp), intrai n seciunea Finane,

Asigurri, Bnci i Burse de Valori i cutai cartea n list (n februarie 2014 era la poziia 31).

14

vaste ale economiei, dup care niveul de detaliu crete, clasificarea coninnd coduri CAEN cu 2, 3 i 4 cifre (cel mai ridicat nivel de detaliu). Exemplu: Seciunea P nvmnt, 85 nvmnt, 854 nvmnt superior, 8542 nvmnt superior universitar2. O alt clasificare a firmelor este realizat dup dimensiunea acestora, prin prisma numrului de angajai i a cifrei de afaceri. Astfel, EUROSTAT, biroul de statistic al Uniunii Europene, clasific firmele n microntreprinderi (1-9 angajai, cifr de afaceri anual sub 2 milioane de euro), ntreprinderi mici (10-49 angajai, cifr de afaceri anual sub 10 milioane de euro), ntreprinderi mijlocii (50-249 angajai, cifr de afaceri anual sub 50 de milioane de euro) i ntreprinderi mari (peste 250 de angajai). n fine, o alt clasificare a firmelor se poate face dup forma de proprietate a acestora.

n cazul unei clasificri, grupele trebuie s satisfac urmtoarele patru

principii de baz:

Principiul completitudinii, n virtutea cruia fiecare valoare din cadrul seriei iniiale de valori se ncadreaz ntr-o anumit o grup.

Principiul unicitii, potrivit cruia o unitate din cadrul seriei de valori va fi inclus doar ntr-o singur grup de valori.

Principiul omogenitii, care postuleaz faptul c grupele sunt astfel definite nct unitile din fiecare grup s fie omogene (se mai spune c unitile ce aparin unei anumite grupe sunt echivalente).

Principiul organizrii ierarhice a grupelor, ce recomand acea form de organizare a datelor astfel nct s fie permise agregri succesive de clase adiacente pentru creterea gradului de generalitate a gruprii.

O metod des ntlnit de grupare este cea pe intervale de variaie egale, n

acest sens trebuind parcuri urmtorii doi pai:

1. Definirea grupelor Se consider c fiecare grup este complet definit dac sunt precizate limita inferioar (xinf) i limita superioar (xsup). Diferena dintre valoarea minim i maxim a unei serii de date poart numele de amplitudine a acelei serii (As), fapt pentru care, n mod similar, n cazul grupelor vorbim de amplitudinea grupei (Ag). ntruct discutm acum cazul intervalelor de variaie egale, amplitudinea tuturor grupelor va fi aceeai. n teoria statistic s-au propus mai multe formule de calcul pentru

determinarea amplitudinii grupelor. Menionm aici doar cteva din aceste

propuneri:

Propunerea lui D. V. Huntsberger (unele surse atribuie aceast propunere lui H. A. Sturges), potrivit creia Ag = As/p, unde p=1+3,3logn iar n reprezint numrul de observaii al seriei.

2 Unul dintre site-urile care prezint clasificarea activitilor din economia naional (CAEN rev 2) este

http://coduricaen.info/

15

De exemplu, pentru n=40, log40=1,6, fapt pentru care p=6,28. Cum

numrul de grupe (p) nu poate fi dect un numr ntreg, alegem p=6.

Dac avem n vedere datele din proiectul de statistic menionat mai

sus, pentru variabila vechime, Ag=As/6=35/6=5,836.

Atenie! Dac este cazul, rotunjirea trebuie fcut prin adaos. Altfel,

riscm ca cele mai ridicate valori ale seriei de date s nu fie incluse n

ultimul interval definit, ceea ce ar contraveni primului dintre cele

patru principii enunate mai sus.

Exerciiu: Determinai amplitudinea grupelor pentru variabila producie din acelai

proiect de statistic.

Propunerea lui Brooks i Carruthers, potrivit creia Ag=As/p, unde p trebuie s satisfac relaia p

16

folosi clasificarea deja enunat, care face distincia ntre microntreprinderi,

ntreprinderi mici, mijlocii i mari.

Prin urmare, putem folosi aceste grupe (inegale), care ns conduc la o grupare

uzual (chiar natural) a datelor. Prezentarea acestei grupri se realizeaz similar cu

cea a gruprilor n intervale egale: prin intermediul tabelelor de repartiie sau prin

grafice adecvate (diagrama prin bare sau prin coloane inegale, asemntoare

histogramei).

Serii statistice

Seriile statistice reprezint o modalitate frecvent de prezentare a datelor,

care rezult din sistematizarea i/sau gruparea datelor primare. Aceste serii definesc

corespondena dintre dou iruri de date statistice, n care primul reprezint variaia

caracteristicii urmrite, iar al doilea ir cuprinde frecvenele de apariie a variantelor

caracteristicii (frecvenele putnd fi absolute sau relative). Astfel, o serie statistic cu

o singur caracteristic are urmtoarea form:

p

p

n

x

nn

xxX

K

K

21

21

unde x1, x2, ..., xp sunt variantele nregistrate pentru caracteristica X, iar n1, n2, , np

sunt frecvenele de apariie ale variantelor caracteristicii X. Aa cum spuneam mai

sus, aceste frecvene pot fi absolute, reprezentnd numrul efectiv de observaii

pentru fiecare valoare xi, sau relative, reprezentnd ponderea observaiilor care au

valoarea xi n numrul total de observaii.

Seriile statistice sunt clasificate n:

- serii de distribuie, pentru care caracteristica urmrit este numeric;

- serii teritoriale, care prezint variaia n spaiu a caracteristicii analizate, valorile caracteristicii referindu-se la unitile teritoriale din care fac parte;

- serii enumerative, care se prezint sub forme de liste a unitilor dup o anumit caracteristic.

Cel mai frecvent ntlnite n practic sunt seriile de distribuie, n particular

cele unidimensionale (cnd este urmrit o singur caracteristic). Cu toate acestea,

vom trece succint n revist cteva caracteristici ale seriilor de distribuie

bidimensionale.

n mod uzual, seriile de distribuie bidimensionale sunt prezentate prin

intermediul tabelelor de contingen precum cel de mai jos.

17

Y

X y1 y2 ... yj ... yp Total

x1 n11 n12 ... n1j ... n1p n1.

x2 n21 n22 ... n2j ... n2p n2.

... ... ... ... ... ... ... ...

xi ni1 ni2 ... nij ... nip ni.

... ... ... ... ... ... ... ...

xk nk1 nk2 ... nkj ... nkp nk.

Total n.1 n.2 ... n.j ... n.p n..

n acest tabel,

x1,x2,...,xi,...,xk reprezint variantele nregistrate dup caracteristica X,

y1,y2,...,yj,...,yp reprezint variantele nregistrate dup caracteristica Y,

nij reprezint frecvena absolut a observaiilor pentru care X=xi i Y=yj,

ni. reprezint numrul total de observaii pentru care X=xi, indiferent de valorile lui Y,

n.j reprezint numrul total de observaii pentru care Y=yj, indiferent de valorile lui X.

Tabelul de mai sus conine p+k+3 distribuii, dup cum urmeaz:

- o distribuie bidimensional de frecvene absolute;

- p+k distribuii condiionate, unidimensionale, de frecvene absolute. Acestea sunt reprezentate de cele k linii i p coloane ale tabelului de mai sus (n1j,n2j,...,nij,...,nkj reprezint distribuia valorilor lui X condiionat de yj, j=1,2,...,p, iar ni1,ni2,...,nij,...,nip reprezint distribuia valorilor lui Y condiionat de xi, i=1,2,...,k);

- dou distribuii marginale, unidimensionale, de frecvene absolute. Acestea sunt reprezentate de ultimul rnd i ultima coloan din tabelul de mai sus. n1.,n2.,...,ni.,...,nk. reprezint distribuia marginal a valorilor lui X, iar n.1,n.2,...,n.j,...,n.p reprezint distribuia marginal a valorilor lui Y.

Exerciiu: Pentru datele din proiectul de statistic, construii un tabel care s

evidenieze distribuia bidimensional a vechimii n munc i a produciei, folosind

gruparea pe 6 intervale egale realizat anterior. Reprezentai grafic distribuia

bidimensional astfel determinat prin graficul norului de puncte i tragei

eventualele concluzii.

Rezolvarea acestui exerciiu se gsete n proiectul de statistic.

Aa cum spuneam mai sus, seriile de distribuie unidimensionale sunt printre

cele mai frecvente n practic, fapt pentru care n continuare ne vom concentra

asupra caracterizrii acestora. Astfel, analiza primar (grafic i numeric) a datelor

cuprinde calcularea mai multor indicatori:

18

- Indicatori pentru caracterizarea tendinei centrale a unei serii de distribuie: o mrimi medii (media aritmetic, ptratic, geometric, armonic), o indicatori medii de poziie (mediana, valoarea modal, cuartilele);

- Indicatori pentru caracterizarea gradului de dispersare a unei serii de distribuie fa de tendina central: abaterea medie absolut, dispersia, abaterea medie ptratic, coeficientul de variaie;

- Indicatori pentru caracterizarea asimetriei i aplatizrii unei serii de distribuie.

2.2 Indicatori pentru caracterizarea tendinei centrale a seriilor de

distribuie

Indicatorii folosii pentru caracterizarea aspectelor eseniale ale tendinei

centrale a unei serii statistice univariate (unidimensionale) sunt clasificai, n raport

cu valorile utilizate pentru calculare, n dou clase:

- Mrimi medii, calculate pe baza valorilor numerice ale seriei de distribuie;

- Indicatori medii de poziie, calculai pe baza rangurilor sau a statisticilor de ordine (aceti indicatori se pot calcula i pentru caracteristici calitative).

n 1945, statisticianul britanic George Udny Yule a definit ase proprieti pe

care ar trebui s le aib un indicator al tendinei centrale:

a) S fie o msur definit obiectiv, independent de dorina utilizatorului i, n acelai timp, invariabil n timp i spaiu.

b) S in seama de toate valorile nregistrate.

c) S aib o semnificaie concret i uor de neles chiar i de nespecialiti.

d) S aib o formul de calcul simpl i rapid.

e) S fie o msur puin sensibil la fluctuaia eantionului (s nu prezinte valori semnificativ diferite dac se calculeaz pe baza mai multor eantioane de

acelai volum, extrase prin acelai procedeu din aceeai colectivitate).

f) S se preteze la calcule algebrice, care s asigure comparabilitatea mai multor serii statistice.

Din pcate, n statistica descriptiv nu exist o msur a tendinei centrale

care s satisfac simultan toate cele ase proprieti. De aceea, orice rezultat va fi

interpretat cu precauie, lund n considerare caracteristicile valorilor observate.

19

2.2.1 Mrimi medii

Pentru calcularea indicatorilor medii va trebui s avem n vedere urmtoarele

aspecte:

1. Calcularea mrimilor medii este fezabil i devine util atunci cnd seria de distribuie include un numr suficient de mare de valori. Unii practicieni consider 12 drept numrul minim de observaii i vd seturile de date de peste 30 de observaii drept ideale.

Exemplu: S presupunem c dispunem de datele privind venitul lunar a dou

persoane: 500 RON i 10.000 RON. Indiferent de tipul ales al mediei, acest indicator

nu va fi reprezentativ pentru aceast serie de date ntruct avem de-a face cu doar

dou valori, i acelea puternic disparate.

2. Omogenitatea seriei de date este foarte important atunci cnd se calculeaz media sa. De exemplu, dac n cadrul seriei sunt observate dou sau mai multe grupe de valori ce au caracteristici diferite, atunci se recomand calcularea indicatorilor medii la nivelul fiecrei grupe, aceti indicatori fiind mai aproape de trstura seriei, dect o singur mrime, ce nu caracterizeaz niciuna dintre grupele de valori. Altfel spus, mediile se calculeaz numai atunci cnd exist o valoare central n jurul creia graviteaz valorile individuale ale seriei. Dac n urma reprezentrii grafice (de exemplu, prin histogram sau poligonul frecvenelor) se observ mai multe centre n jurul crora se grupeaz valorile, se recomand calcularea mediei pentru fiecare subgrup i, numai dac este cazul, se calculeaz un indicator mediu pentru ntreaga serie.

Exemplu: Reeaua de distribuie carburani a unei companii petroliere conine unele

staii (benzinrii) mai bune i unele mai puin performante. Staiile mai bune sunt, n

mod evident, cele localizate n zone cu potenial economic ridicat, cu trafic intens

(att autoturisme, ct i utilitare i camioane), cu acces facil i beneficiind de o bun

vizibilitate din trafic. Alte staii nu ntrunesc ns toate aceste condiii, rezultatul

observndu-se n vnzrile de carburani. Presupunnd c o companie are o reea

polarizat, n care un grup de staii sunt performante, cu vnzri ridicate, n timp ce

un grup distinct sunt localizate mai prost sau mai greu accesibile, care au vnzri

reduse, atunci calcularea vnzrii medii zilnice pe staie nu are o mare semnificaie.

Aceasta pentru c valoarea medie obinut nu va reprezenta n mod real

performana medie a reelei, niciuna dintre staiile existente nefiind reprezentat de

media calculat. Calcularea a dou medii, una pentru grupul de staii performante i

una pentru grupul de staii cu vnzri reduse ar putea oferi informaii mai valoroase

managementului companiei, care ar putea adopta decizii adecvate pentru creterea

vnzrilor reelei prin impulsionarea vnzrilor unora dintre staiile mai puin

performante.

20

Clopotul lui Gauss este un tip special de grafic la care se face deseori

referire, chiar i de ctre nespecialiti. Chiar dac distribuia normal (Gauss-

Laplace) va fi prezentat ntr-un capitol ulterior, referirea la aceast

distribuie special poate fi util n contextul prezentrii mrimilor medii.

n graficul de mai sus, pe axa OX sunt reprezentate valorile posibile pe care le

poate lua variabila statistic, n timp ce nlimea graficului indic numrul de

observaii al fiecrei valori individuale. Forma particular a acestui grafic

(forma de clopot) implic faptul c sunt observate foarte puine valori foarte

reduse ale variabilei i, n aceeai msur, foarte puine valori foarte ridicate

ale acesteia, majoritatea observaiilor fiind plasate n zona de mijloc a

valorilor posibile.

Atenie! Chiar dac clopotul lui Gauss este deseori menionat n cele mai variate

domenii, chiar de ctre persoane care n-au avut vreodat tangene cu statistica, s-a

artat c puine fenomene din zona economic genereaz astfel de distribuii,

exemplele de distribuii normale venind mai degrab din zona tiinelor naturale.

Graficul de mai jos arat distribuia greutii la natere a fetielor nscute la

termen. Acesta este un caz n care calcularea mediei are sens: distribuia

prezint o tendin central, iar media calculat (n acest exemplu,

media=3,39kg) este un indicator al acestei tendine centrale.

21

Exist ns i situaii n care fenomenele studiate nu prezint o unic tendin

central, aa cum este cazul, de exemplu, pentru distribuiile bimodale.

Graficul de mai sus arat existena a dou tendine n cadrul seriei de date,

ceea ce nseamn c media calculat nu va fi un bun indicator al unei

tendine centrale. Acest grafic este potrivit pentru discuia anterioar privind

o reea de distribuie de carburani polarizat, cu multe benzinrii cu vnzri

reduse i multe benzinrii cu vnzri ridicate.

O alt situaie aparte este prezentat n graficul de mai jos, care ilustreaz

distribuia femeilor i brbailor dup nlime. Dup cum se poate observa,

att distribuia femeilor(cea din stnga), ct i cea a brbailor (cea din

dreapta), au forme apropiate clopotului lui Gauss (chiar dac sunt uor

asimetrice spre stnga).

Aceasta nseamn c, cel mai probabil, media calculat va fi un bun indicator

al tendinei centrale avnd n vedere nlimea indivizilor. Dar probabil doar

n cazul n care media este calculat separat pentru femei i pentru brbai

22

n graficul ce urmeaz, linia punctat reprezint valorile cumulate pentru

ambele sexe. Chiar dac i aceste valori sunt oarecum distribuite sub forma

unui clopot, ele provin din cele dou distribuii distincte de mai sus.

Diferenele evidente existente ntre cele dou distribuii implic faptul c

analiza ar trebui fcut separat pe sexe, nu folosind datele cumulate.

3. Indicatorii medii sunt sensibili n ceea ce privete existena valorilor extreme (acele valori care se ndeprteaz n mare msur de ansamblul seriei de date). De aceea, nainte de calcularea acestor indicatori, valorile aberante trebuie eliminate, dar aceast eliminare trebuie fcut cu mare precauie i doar pentru acele valori pentru care exist certitudinea c sunt ntr-adevr aberante. Continund exemplul de mai sus privind vnzrile de carburani, unele condiii speciale i/sau temporare pot face ca una sau mai multe staii s aib vnzri extraordinare pe o anumit perioad de timp. O astfel de staie de distribuie, cu o valoare foarte mare a vnzrilor, nu ar trebui totui lsat n afara calculului mediei celorlalte staii. Cu toate acestea, decizia privind excluderea uneia sau mai multor staii din calculul mediei trebuie s in cont de caracteristicile particulare ale acesteia i de valorile nregistrate efectiv pn la urm, decizia de excludere este subiectiv i trebuie bazat pe cunoaterea fenomenului studiat.

4. Nu este obligatoriu ca valoarea calculat a mediei s se regseasc printre valorile seriei de distribuie (de fapt, acest lucru poate fi considerat chiar ntmpltor). Cu toate acestea, n mod ideal, seria de distribuie ar trebui s conin valori apropiate mediei, altfel ne-am putea gsi n situaia descris la punctul 2.

23

Media aritmetic (momentul iniial de ordinul 1)

Media aritmetic este, de departe, mrimea medie calculat cel mai adesea,

ea prezentnd ceea ce este tipic, comun, n evoluia fenomenului cercetat.

Pentru o serie simpl de valori x1, x2, ..., xn, media aritmetic, notat ax , se

calculeaz prin intermediul relaiei =

=n

iia xn

x1

1.

Pentru o serie de distribuie (serie de distribuie dup variante), unde

x1,x2,...,xp reprezint variantele nregistrate pentru caracteristica X, iar n1,n2,...,np

reprezint frecvenele de apariie ale acestor variante, pentru calcularea mediei

aritmetice se aplic relaia i

p

iia nxn

x =

=1

1. Aceasta mai poart numele de medie

aritmetic ponderat, ni reprezentnd ponderile (sau greutile) valorilor xi.

Exemplu: Se cunosc urmtoarele date reprezentnd notele unei grupe de studeni la

cursul de statistic. S se calculeze media aritmetic a acestei serii de distribuie.

Note (xi): 4 5 6 7 8 9 10

Frecvene (ni): 6 8 16 17 8 3 0

Observaie: Dac seria de valori a caracteristicii X este prezentat pe intervale (serie

de distribuie pe intervale), fr a exista posibilitatea analizei datelor primare, atunci,

prin convenie, pentru calcularea mediei aritmetice va fi folosit mijlocul fiecrui

interval. n acest caz, ns, valoarea calculat va fi doar apropiat de valoarea real a

mediei.

Media aritmetic a caracteristicilor alternative

n general, unitile unei populaii statistice pot fi mprite n dou grupe

complementare. Astfel, prezena sau absena unui anumit fenomen va fi

reprezentat prin intermediul unei variabile binare (numit i variabil alternativ,

dihotomic sau boolean).

Exemplu: Starea civil curent a persoanelor dintr-un eantion poate fi ncadrat n

categoria cstorit sau necstorit (fr a ine deci cont de diversele categorii n

care o persoan necstorit se poate afla).

Presupunem c avem urmtoarele date:

Stare civil (xi): Cstorit (x1=1) Necstorit (x2=0)

Frecvene (ni): n1=50 n2=100

Media aritmetic a acestei caracteristici va fi calculat folosind formula prezentat

mai sus, fapt pentru care media este (1*50+0*100)/150=50/150=0,33.

24

n cazul general, se consider o populaie de mrime N, din care P uniti

posed o proprietate (caracteristica binar ia valoarea 1), iar Q=N-P uniti nu

posed acea proprietate (caracteristica binar ia valoarea 0). Media caracteristicii

binare este (1*P+0*Q)/(P+Q)=P/N, uneori notat p, reprezentnd ponderea unitilor

care posed proprietatea respectiv n totalul unitilor populaiei.

Media ptratic (momentul iniial de ordinul 2)

Pentru o serie simpl de valori, media ptratic se calculeaz pe baza relaiei

=

=n

iip xn

x1

21

Pentru o serie de distribuie dup variante

p

p

n

x

nn

xxx

K

K

21

21 , formula de

calcul a mediei ptratice este =

=p

iiip nxn

x1

21

Media ptratic se folosete atunci cnd se dorete acordarea unei

importane sporite valorilor mari absolute din cadrul unei serii. n calcularea mediei

ptratice, valorile pozitive i cele negative din cadrul seriei nu se compenseaz (aa

cum se ntmpl n calculul mediei aritmetice). De fapt, ntruct ridicarea la ptrat a

valorilor caracteristicii elimin semnul acestora, calcularea mediei ptratice are sens

doar pentru serii de distribuie cu valori pozitive (altfel returneaz valori ce nu

prezint relevan n raport cu seria pentru care e calculat).

Exerciiu: Calculai media ptratic pentru datele din exemplul de pe pagina

anterioar (notele unei grupe de studeni la cursul de statistic).

Material opional: Media armonic

Pentru o serie simpl de valori, media armonic se determin astfel:

=

=n

i i

h

x

nx

1

1

Pentru o serie de distribuie, media armonic se calculeaz astfel:

i

p

i i

h

nx

nx

=

=

1

1

Media armonic se aplic pentru cazuri speciale de serii de date, nlocuind

media aritmetic, n special n domeniul indicilor statistici. n plus, media armonic

este egal cu media aritmetic, calculat din valorile inverse ale termenilor seriei de

distribuie.

25

Datorit metodei de calcul, n determinarea mediei armonice valorile pozitive

le pot compensa pe cele negative.

Exerciiu: Calculai media armonic pentru aceleai date folosite mai sus.

Material opional: Media geometric

Formula de calcul a mediei geometrice pentru o serie simpl este:

n

n

iig xx

=

=1

n cazul unei serii de distribuie, formula de calcul este np

i

nig

ixx =

=1

Aceast msur statistic se utilizeaz mai rar pentru caracterizarea tendinei

centrale pentru o serie de distribuie, fiind recomandat doar atunci cnd seria

prezint variaii foarte mari ntre termeni sau se caracterizeaz printr-un pronunat

caracter de asimetrie.

Material opional: Inegalitatea mediilor

ntre mediile prezentate mai sus exist urmtoarea relaie de ordine:

pagh xxxx .

Material opional: Media de ordinul k (momentul iniial de ordinul k)

Pentru o serie de distribuie, media de ordinul k se calculeaz conform

formulei:

kp

ii

ki

knx

nx

1

1

1

=

=

n funcie de valorile parametrului k se obin o serie de cazuri particulare:

- pentru k=1 se obine formula de calcul a mediei aritmetice; - pentru k=2 se obine formula mediei ptratice; - pentru k=-1 se obine relaia de calcul a mediei armonice; - pentru k0 se obine formula de calcul a mediei geometrice.

2.2.2 Indicatori medii de poziie

Avantajul indicatorilor medii de poziie este oferit de faptul c acetia in

seama nu numai de valorile seriei de date, dar i de forma de distribuie a acestora.

n plus, indicatorii medii de poziie se pot determina i pentru variabile nenumerice.

26

Grupe de note ni

[2, 4) 10

[4, 6) 30

[6, 8) 45

[8, 10] 15

Total 100

Valoarea modal (valoarea dominant)

Valoarea modal (notat n acest curs Mo) a unei serii de distribuie este acea

valoare a caracteristicii cu cea mai mare frecven de apariie, fapt pentru care se

mai numete valoarea dominant a seriei.

n cazul n care k variante nregistrate (k>1) au frecven de apariie egal,

atunci seria de distribuie are k valori modale. Cu toate acestea, considerm c

determinarea Mo nu are sens pentru seriile de distribuie pentru care toate

variantele nregistreaz aceeai frecven de apariie.

Pentru seriile de distribuie pe intervale, Mo se determin n doi pai:

- n primul rnd, se determin intervalul modal ca fiind cel cu frecvena cea mai ridicat. Notm acest interval prin IMo=[xi

inf, xi

sup).

- Apoi, Mo se calculeaz folosind diverse formule de interpolare, bazate pe anumite presupuneri. Cele mai uzitate sunt:

i) Mo=(xiinf

+xisup

)/2, dac se consider c n cadrul tuturor intervalelor,deci i

al intervalului modal, frecvenele sunt distribuite uniform. Prin urmare, n

acest caz Mo coincide cu centrul intervalului modal;

ii) Mo=xiinf

+li1/(1+2), unde li=xisup

-xiinf reprezint mrimea intervalului

modal, 1=ni-ni-1 reprezint diferena dintre frecvena intervalului modal i

frecvena intervalului precedent, iar 2=ni-ni+1 reprezint diferena dintre

frecvena intervalului modal i cea a intervalului urmtor. Aceast formul de

interpolare se aplic atunci cnd se presupune c valorile din distribuia

iniial urmeaz o repartiie normal.

Observaie: Dac 1=2, atunci cele dou formule returneaz aceeai valoare.

Exemplu: S presupunem c distribuia notelor la un examen

se prezint conform datelor din tabelul alturat.

Pentru determinarea Mo, primul pas const n determinarea

intervalului modal. Acesta este intervalul [6, 8).

Dac presupunem c notele sunt distribuite uniform n cadrul

acestui interval, atunci Mo=(6+8)/2=7.Dac ns avem indicii

potrivit crora valorile sunt distribuite normal n cadrul

intervalelor, atunci Mo va fi determinat pe baza formulei prezentate mai sus,

respectiv Mo=6+(8-6)*(45-30)/[(45-30)+(45-15)]=6,67.

Observaie: Dac nu avem indicii privind distribuia valorilor n cadrul intervalelor,

aplicarea uneia dintre metodele de interpolare de mai sus poate duce la rezultate

eronate. De exemplu, date fiind datele din tabel, este posibil ca valoarea 5 s apar

de 28 de ori n cadrul seriei iniiale de date, n timp ce valorile 6 i 7 s apar de 20,

27

respectiv 25 de ori. Calculele precedente indic Mo ca fiind 7 sau 6,67, nu 5. Aceast

eroare apare datorit faptului c nu beneficiem de observaiile originale, ci de datele

agregate. Lipsa de informaie este suplinit de ipoteze, care pot fi adevrate sau nu.

Valoarea median (cuantila de ordinul 2)

Mediana seriei de distribuie (notat n acest curs Me) este acea valoare care

mparte seria n dou grupuri egale din punct de vedere al numrului elementelor

existente de cele dou pri ale acestei valori. Altfel spus, numrul valorilor

individuale mai mari dect mediana va fi egal cu numrul valorilor individuale mai

mici dect mediana.

Me se determin pentru seriile de distribuie ale cror valori sunt ordonabile

cresctor sau descresctor, fapt pentru care acest indicator mediu de poziie nu se

calculeaz pentru caracteristici nominale (ale cror valori nu pot fi ordonate).

Pentru o serie simpl de valori, determinarea Me presupune, n primul rnd,

ordonarea cresctoare sau descresctoare a valorilor individuale ale caracteristicii.

Dup ordonare, mediana se identific astfel:

- Dac seria ordonat are un numr impar de termeni, n, Me corespunde valorii de rang (n+1)/2;

Exemplu: n seria (5, 6, 13, 20, 34, 40, 61), Me=20.

- Dac seria ordonat cresctor este format dintr-un numr par de termeni atunci, n mod convenional, Mese determin ca medie aritmetic ntre valoarea individual de rang n/2 i cea de rang n/2+1.

Exemplu: n seria (13, 28, 34, 40, 58, 61), Me=(34+40)/2=37.

Observaie: n cazul seriei simple cu numr impar de valori, mediana determinat

respect pe deplin definiia de mai sus, n timp ce n cazul seriei cu numr par de

valori, mediana se determin n mod convenional i nu respect pe deplin definiia

dat.

n cazul unei serii de distribuie dup variante (valori individuale cu frecvene

de apariie), semnificaia Me este afectat de metoda de calcul. n aceast situaie,

Me este considerat a fi acea valoare individual a caracteristicii corespunztoare

primei frecvene cumulate care depete (n+1)/2.

Exemplu: Tabelul de mai jos cuprinde informaii cu privire la numrul de aparate

defecte (xi) dintr-o sut de loturi de aparate.

Din tabel se observ c prima frecven cumulat cresctor care depete

(100+1)/2=50,5 este 70, aceasta corespunznd numrului median de 2 aparate

defecte ntr-un lot. Me astfel determinat nu respect ntru totul definiia dat,

deoarece observm c valoarea 2 nu mparte seria n dou pri egale: numai 30%

28

Grupe

de

note

ni Frecvene

Cumulate

cresctor

[2-4) 10 10

[4-6) 30 40

[6-8) 45 85

[8-10] 15 100

Total 100

din loturi au un numr de defecte mai mic dect 2 i nu 50%, cum cere definiia. Din

aceast cauz, n asemenea situaii, folosirea medianei ca indicator mediu de poziie

nu este cea mai bun practic.

n cazul unei serii de distribuie pe intervale (cnd datele i pierd

individualitatea), Me se determin doar n mod aproximativ, printr-un procedeu de

interpolare liniar bazat pe ipoteza repartizrii uniforme a frecvenelor n intervalul

median. Procedeul de determinare a valorii mediane se desfoar n urmtoarele

etape:

- Se identific intervalul median, cel care corespunde primei frecvene cumulate cresctor care depete (n+1)/2. Notm acest interval prin IMe=[xi

inf, xi

sup).

- Me se determin cu ajutorul relaiei i

i

jj

ii n

nn

lxMe

=

+

+=

1

1inf 2

1

, unde li=xisup

-

xiinf reprezint mrimea intervalului median, ni este frecvena intervalului

median, iar

=

1

1

i

jjn este suma frecvenelor precedente intervalului median.

Exemplu: Vom determina valoarea median pentru

datele din exemplul de la pagina 26 (date privind notele

obinute la un examen). Pentru aceasta, trebuie mai

nti s calculm frecvenele absolute cumulate

cresctor.

Intervalul median este [6, 8), ntruct frecvena

cumulat cresctor pentru acesta este prima care

depete valoarea (100+1)/2=50,5. Apoi, folosind

relaia de mai sus, Me=6+(8-6)*(50,5-40)/45=6+2*10,5/45=6,47.

Numr de

aparate

cu defecte

ntr-un lot (xi)

Numr de

loturi de

aparate (ni)

Numr cumulat

cresctor de

loturi de

aparate

0 10 10

1 20 30

2 40 70

3 15 85

4 10 95

5 5 100

Total 100

29

Cuartilele (cuantilele de ordinul 4)

Cuartilele sunt valori localizate ntr-o serie ordonat, care mpart aceast

serie n patru pri egale, astfel nct fiecare diviziune conine 25% din valorile

individuale nregistrate pentru acea variabil numeric. Procedeul de determinare a

celor 3 cuartile (Q1, Q2, Q3) este asemntor cu cel de determinare a valorii mediane.

Observaie: Q2=Me

Mult mai rar folosite sunt decilele (cuantilele de ordinul 10) i centilele

(cuantilele de ordinul 100). Cele 9 decile mpart seria de distribuie n 10 grupe,

fiecare dintre acestea cuprinznd 10% din numrul de observaii, iar cele 99 de

centile mpart seria n 100 de grupe, fiecare dintre acestea cuprinznd 1% din

numrul de observaii.

Observaii privind indicatorii tendinei centrale

Atunci cnd caracteristica pe baza creia s-a definit seria de valori este una

nominal, se poate determina doar Mo.

Pentru o serie de date a unei caracteristici ordinale se pot determina Me sau

Mo, calcularea mediei fiind imposibil. Dac seria este numeric, dintre aceti doi

indicatori va fi aleas Me, aceasta fiind o msur mai stabil fa de Mo.

Media aritmetic este cel mai frecvent folosit indicator al tendinei centrale,

dar aceast medie este sensibil la existena valorilor aberante i nu este potrivit

pentru o distribuie multimodal sau cu o asimetrie pronunat. Pentru astfel de serii

de distribuie se recomand folosirea Me sau Mo, care sunt mai robuste la prezena

valorilor extreme.

2.3 Indicatori pentru caracterizarea dispersrii seriilor de distribuie

Indicatorii tendinei centrale, n special valoarea calculat a mediei, sunt

reprezentativi numai n msura n care seria de date este omogen (seria are, ntr-

adevr, o tendin central). Verificarea omogenitii valorilor individuale necesit

msurarea i analiza mprtierii/concentrrii fa de valorile tipice calculate.

Exemplu: S presupunem c, n dou populaii, aceeai variabil nregistreaz valorile

(2,2,2,10,18,18,18) i (9,9,9,9,10,11,11,11,11). Cele dou serii au aceeai medie

aritmetic i aceeai valoare median, ambele egale cu 10, dar mprtierea valorilor

individuale este diferit, a doua serie fiind evident mai omogen.

Indicatorii mprtierii utilizai n analizele statistice sunt de mai multe feluri.

Astfel, n funcie de numrul de variante luate n calcul (sau dup gradul lor de

sintez) exist indicatori simpli i indicatori sintetici.

30

Indicatorii simpli ai dispersrii sunt msuri statistice obinute dintr-un numr

redus de valori individuale, n general prin compararea sub form de diferen cu

indicatorul tendinei centrale, fapt pentru care se exprim n unitatea de msur a

variabilei observate. Un exemplu de indicator simplu al dispersrii este amplitudinea

seriei, calculat n valoare absolut (xmax-xmin) sau n procente, relativ la media seriei

de distribuie. Un alt exemplu l reprezint abaterea intercuantilic, calculat ca

diferen ntre cuantila superioar i cea inferioar, ambele avnd acelai ordin.

ntruct informaiile despre variabilitate oferite sunt relativ reduse, indicatorii simpli

ai mprtierii sunt folosii destul de rar.

Spre deosebire de indicatorii simpli, indicatorii sintetici ai mprtierii

exprim printr-o singur valoare numeric variaia tuturor valorilor individuale fa

de tendina central. La baza determinrii indicatorilor sintetici stau abaterile

individuale dar, pentru a se evita compensarea celor cu valori pozitive cu cele cu

valori negative, abaterile vor fi luate n modul sau se va opera cu ptratele acestora.

Principalii indicatori sintetici ai mprtierii fa de tendina central sunt abaterea

medie absolut, dispersia, abaterea medie ptratic i coeficientul de variaie.

Abaterea medie absolut (abaterea medie liniar)

Abaterea medie absolut reprezint media aritmetic (simpl sau ponderat)

a abaterilor absolute ale termenilor seriei de la tendina lor central, caracterizat cu

ajutorul mediei sau medianei. Dac notm prin c valoarea tipic a tendinei centrale

fa de care se analizeaz dispersia seriei (valoarea medie sau median), atunci se

folosesc urmtoarele relaii:

pentru o serie simpl =

=n

iic cxn

d1

1

pentru o serie de distribuie dup variante (cu frecvene) i

p

iic ncxn

d =

=1

1

n cazul seriilor de distribuie pe intervale, pentru calculul abaterii medii

liniare se iau n considerare centrele intervalelor. Prin urmare, calculul se face

folosind formula enunat mai sus, valabil i n cazul seriilor de distribuie pe dup

variante.

Abaterea medie absolut se exprim n aceeai unitate de msur cu cea a

caracteristicii, fapt pentru care acest indicator nu se poate utiliza pentru a compara

dispersarea seriilor de date pentru caracteristici diferite (exprimate n uniti de

msur diferite).

Exemplu: Se consider seria simpl (1,2,4,5,7,8,9,10,11,13). Media acestei serii este

7, iar mediana este 7,5. Tabelul de mai jos conine abaterile absolute fa de medie

i median, precum i sumele corespunztoare.

31

xi 1 2 4 5 7 8 9 10 11 13 Total

|xi-7| 6 5 3 2 0 1 2 3 4 6 32

|xi-7,5| 6,5 5,5 3,5 2,5 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 5,5 32

Potrivit formulelor de mai sus, 2,3== Mex dd . Aceast egalitate nu are loc foarte frecvent, n general cei doi indicatori avnd valori distincte. De fapt, n general

xMe dd .

Dispersia (variana, momentul centrat de ordinul 2)

Variana unei serii de distribuie se calculeaz ca medie aritmetic a

ptratelor abaterilor valorilor individuale de la media aritmetic a acesteia.

Prin urmare, pentru o serie simpl de repartiie, formula de calcul a dispersiei este

n

xxn

ii

=

= 1

2

2

)( , iar pentru o serie de distribuie dup variante

n

nxxp

iii

=

= 1

2

2

)(

Date fiind aceste formule, se poate observa c, la fel ca n cazul mediei,

dispersia este sensibil la prezena valorilor aberante.

Variana este un indicator intermediar pentru aprecierea gradului de

dispersare al unei serii de distribuie. Acest indicator sintetic al mprtierii nu se

exprim ntr-o unitate concret de msur (de fapt, se poate exprima n ptratul

unitii de msur a seriei, dar unitatea de msur este cel mai frecvent ignorat, din

considerente practice). Mrimea varianei este influenat direct de ordinul de

mrime al valorilor seriei de distribuie (variana nu este o msur normalizat). De

exemplu, dac valorile individuale ale unei serii sunt multiplicate cu 10, valoarea

calculat a varianei va fi de 100 de ori mai mare dect cea obinut din datele

originale.

Pentru o serie simpl de valori sau de distribuie, cu ct valoarea varianei

este mai apropiat de zero, cu att dispersarea acestei serii n jurul mediei este mai

redus (variana unei serii de valori constante este egal cu zero).

Tem: Calculai valoarea varianei pentru datele din exemplul precedent.

Material opional: Regula de adunare a dispersiilor

Pentru o populaie mprit n p grupe, dac 2x reprezint variana total,

calculat pentru ansamblul seriei, 2xi, cu i=1,2,...,p reprezint varianele la nivelul

grupelor, ni reprezint numrul de valori din cadrul fiecrei grupe i, iar ix media

caracteristicilor la nivelul grupei i, atunci

32

22int

1

2

1

2

2

)(

ext

p

iii

p

iixi

x n

nxx

n

n

+=

+=

==

2int reprezint media varianelor grupelor. Aceasta cuantific dispersia din

interiorul grupelor, deci dispersia datorat aciunii factorilor locali, ce au impact la

nivelul acestor grupe. 2ext, variana mediilor de grup, este un indicator al dispersrii

acestor medii n jurul mediei seriei de date. 2ext cuantific dispersarea datorat

factorului de grupare, prin intermediul acestui factor msurndu-se disimilaritile

dintre grupe.

Pe baza egalitii de mai sus a fost enunat regula de adunare a dispersiilor,

care spune c dispersia total este egal cu suma dintre media dispersiilor i

dispersia mediilor.

Urmtorii indicatori relativi sunt calculai i interpretai n practica statistic:

o Coeficientul de determinare, k1=2

ext/2

x. Acest indicator msoar influena factorului de grupare, n funcie de care s-a structurat colectivitatea general, asupra varianei caracteristicii urmrite.

o Coeficientul de nedeterminare, k2=2

int/2

x=1-k1. Acest indicator exprim msura n care variaia caracteristicii urmrite (dispersia total) este influenat de variaia factorilor aleatori, care acioneaz n interiorul subcolectivitilor.

Exemplu: Considerm valorile variabilei X (productivitatea muncii) pentru dou grupe

(dou secii ale unei ntreprinderi), sub forma seriilor urmtoare:

Grupa A (20, 30, 27, 9, 6, 40, 50, 32, 39, 43, 26, 15, 18), n1=13

Grupa B (10, 20, 31, 37, 39, 40, 20, 6, 8, 25, 31, 10, 10, 22, 21, 30, 5), n2=17

Aplicnd formulele de pn acum, obinem urmtoarele rezultate:

La nivelul grupei A, 31,2713/3551 ==x iar 85,16621 =x .

La nivelul grupei B, 47,2117/3652 ==x iar 39,13222 =x .

La nivelul ntregii serii de distribuie, 2430/720 ==x iar 69,1552 =x .

Variana la nivelul grupelor este 32,14730

1739,1321385,1662int =

+= .

Variana dintre grupe este 37,830

17)2447,21(13)2431,27( 222 =+=ext .

Regula de adunare a dispersiilor enunat mai sus este verificat, ntruct

.69,15537,832,147 222int xext ==+=+ Nu n ultimul rnd, coeficienii pentru msurarea influenei celor dou

categorii de factori n cadrul dispersiei totale a seriei de distribuie sunt

k1=8,37/155,69=0,054, iar k2=147,32/155,69=0,946.

33

Aceste rezultate arat c cele dou grupe nu se deosebesc prea mult n ceea

ce privete dispersia valorilor n jurul mediilor din grup, ntruct dispersia

productivitii la nivelul ntregii ntreprinderi este explicat ntr-o msur

covritoare (94,6%) de variaia productivitii ca urmare a factorilor specifici i

aleatori care acioneaz n cadrul fiecrei secii A i B. Calculele de mai sus arat c

dispersia productivitii generale este explicat doar ntr-o mic msur (5,4%) de

mprtierea productivitilor medii ale seciilor fa de productivitatea medie a

ntreprinderii. Altfel spus, influena factorului de grupare asupra varianei

productivitii este foarte redus.

Dispersia caracteristicilor alternative

Dup cum am vzut deja, prezena sau absena unui anumit fenomen este

reprezentat prin intermediul unei variabile binare (numit i variabil alternativ,

dihotomic sau boolean). n cazul general, se consider o populaie de mrime N,

din care P uniti posed o proprietate, iar Q=N-P uniti nu posed acea

proprietate. Prin convenie, caracteristica binar va lua valoarea 1 pentru acele

uniti care posed proprietatea i valoarea 0 pentru cele care nu posed acea

proprietate. De aceea, media caracteristicii binare este (1*P+0*Q)/(P+Q)=P/N,

reprezentnd ponderea unitilor care posed proprietatea n totalul unitilor

populaiei.Variana caracteristicii binare este

N

Q

N

P

QP

PQNPQ

QP

QNPPNQ

QP

QNPPNP =+

+=+

+=+

+)(

)(/

)(

)/()/(

)(

)/0()/1( 22222

Dac notm p=P/N, atunci dispersia variabilei binare poate fi scris ca p(1-p),

reprezentnd produsul dintre ponderea n totalul unitilor populaiei a unitilor

care posed proprietatea i ponderea unitilor care nu posed acea proprietate.

Exerciiu: Considerm o populaie caracterizat printr-o variabil binar 0/1

reprezentnd, de exemplu, mediul de reziden urban/rural, sexul masculin/feminin,

mrimea firmei mic/mare etc. Care este media celei mai eterogene astfel de

populaii?

Pentru a rspunde acestei ntrebri, s ne gndim mai nti care ar putea fi

cea mai omogen populaie caracterizat de o variabil binar. Este acea populaie

n care toate unitile posed proprietatea urmrit sau, din contr, nicio unitate nu

posed acea proprietate. De exemplu, dac variabila binar reprezint mediul de

reziden urban/rural, cea mai omogen populaie este cea n care toi indivizii

provin din mediul urban sau toi provin din mediul rural. Prin comparaie, o

populaie n care 99% din indivizi provin din mediul urban, n timp ce 1% provin din

mediul rural este tot o populaie cu o omogenitate ridicat, dar totui uor inferioar

celei n care absolut toi indivizii aparin unui mediu de reziden. Continund n

34

acest sens, acea populaie n care 50% din indivizi provin din mediul urban i 50%

provin din mediul rural este cea mai eterogen populaie caracterizat prin aceast

variabil binar. Dac notm cu 1 apartenena la mediul urban i cu 0 pe cea la

mediul rural, media va fi p=P/N=0,5.

Care este dispersia celei mai eterogene astfel de populaii? Cu alte cuvinte,

care este valoarea maxim a dispersiei pentru o variabil alternativ? Dup cum

spuneam mai sus, media celei mai eterogene populaii este p=P/N=0,5, ceea ce

nseamn c dispersia este p(1-p)=0,5*0,5=0,25.

Abaterea medie ptratic (abaterea standard)

Abaterea standard se calculeaz ca rdcin ptrat din dispersie, .2 = Aceasta este o msur statistic utilizat frecvent pentru caracterizarea

gradului de dispersare a valorilor seriei n jurul mediei, indicatorul fiind recomandat,

n principal, datorit faptului c se calculeaz pe baza unei relaii simple.

Faptul c acest indicator se exprim ntr-o unitate concret de msur (n

unitatea seriei de date) poate fi vzut drept un avantaj, ntruct interpretarea

rezultatelor este facilitat de aceast trstur, dar i drept un dezavantaj, ntruct

acest indicator nu poate fi folosit pentru compararea dispersrii unor serii de date

diferite.

De regul, abaterea standard este folosit pentru caracterizarea distribuiilor

teoretice. ntruct detalii despre aceste aspecte vor fi prezentate ulterior,

menionm doar c dac distribuia unitilor din colectivitatea investigat, dup

caracteristica urmrit, este sub form de clopot (fie i uor asimetric), atunci

intervalul ( ) + xx , conine aproximativ 68% din observaii, intervalul ( ) 2,2 + xx conine puin peste 95% din observaii iar aproape toate observaiile (99,74% din acestea) sunt situate n intervalul ( ) 3,3 + xx .

Coeficientul de variaie (de omogenitate)

ntruct att media, ct i abaterea standard, sunt indicatori exprimai n

unitatea de msur a caracteristicii analizate, aceti indicatori nu pot fi folosii

pentru a compara dou serii de date ce sunt exprimate n uniti de msur diferite.

De exemplu, nu putem compara media i abaterea standard calculate pentru o serie

ce se refer la vnzarea unui produs, cu valori exprimate fizic, cu msurile similare

ale altei serii exprimate n uniti monetare.

Coeficientul de variaie nltur acest inconvenient, ntruct este o mrime

adimensional ce se calculeaz prin raportarea abaterii standard la nivelul mediu al

seriei de distribuie: .100/ = xCV Datorit modului de calcul, o valoare mai mic a coeficientului de variaie va

indica o omogenitate mai ridicat a seriei supuse analizei. n practic se consider c

35

Grupe de intrri

n cont (mii lei)

Numr de

intrri (ni)

[3, 4) 26

[4, 5) 33

[5, 6) 64

[6, 7) 7

[7, 8] 10

Total 140

CV

36

Formula pentru determinarea medianei este i

i

jj

ii n

nn

lxMe

=

+

+=

1

1inf 2

1

, fapt pentru

care Me=5+(70,5-59)/64=5+11,5/64=5,18 (mii lei).

Abaterea medie absolut fa de media aritmetic este 121,02/140=0,864 (mii lei).

(Nu am mai calculat abaterea medie absolut fa de median, dar aceasta se poate

determina n mod similar.)

Formula de calcul a dispersiei este 143,1140/993,159)(1

1

22 === =

p

iii nxxn

.

Abaterea medie ptratic se calculeaz ca radical din dispersie, deci =1,069 (mii lei).

Coeficientul de variaie se calculeaz conform formulei ,100/ = xCV fapt pentru care CV=1,069/5,09*100=21%.

ntruct coeficientul de variaie este inferior pragului de 35%, populaia care a

produs seria de distribuie de mai sus poate fi considerat drept omogen. Prin

urmare, media aritmetic determinat anterior (5,09 mii lei) este vzut drept un

bun indicator al tendinei centrale a seriei de distribuie.

2.4 Indicatori pentru caracterizarea formei seriilor de distribuie

Pentru caracterizarea asimetriei i/sau aplatizrii unei serii de distribuie se

poate recurge la reprezentarea grafic a acesteia sau la un ansamblu de indicatori

statistici. Metoda grafic, ce se recomand a fi aplicat ca punct de plecare, se poate

utiliza pentru orice fel de variabile (calitative i cantitative), seria de distribuie fiind

reprezentat prin intermediul histogramei sau a poligonului frecvenelor. Indicatorii

pe care i vom prezenta n continuare, utilizai pentru verificarea caracterului normal

al distribuiei seriei de valori, se pot calcula doar pentru caracteristici numerice.

2.4.1 Indicatori ai asimetriei seriilor de distribuie

O distribuie este asimetric dac valorile sale, reprezentate prin frecvene

(absolute sau relative), sunt inegal dispersate de o parte i de alta a valorii centrale.

Asimetrie spre dreapta Asimetrie spre stnga

37

Compararea indicatorilor tendinei centrale

Simpla inspectare vizual a distribuiei valorilor seriei poate arta dac

aceasta este asimetric sau nu. n plus, compararea principalilor indicatori ai

tendinei centrale, respectiv valoarea medie ( x ), valoarea median (Me) i valoarea

modal (Mo) indic direcia asimetriei. Pentru o distribuie simetric, x = Me = Mo.

n cazul distribuiilor asimetrice spre dreapta, MoMex

38

ntruct n cazul unei serii de distribuie cu asimetrie redus se verific relaia

),(3 xMexMo pentru caracterizarea asimetriei unei astfel de serii se poate

folosi indicatorul calculat potrivit relaiei ./)(3 MexCasP = Fiind un indicator adimensional, coeficientul de asimetrie propus de Pearson

se utilizeaz i n analiza comparativ a asimetriei pentru mai multe serii de

distribuie.

Coeficientul de asimetrie al lui Fisher

Determinat pe baza relaiei dintre momentele centrate de ordinul 2 i 3.

Pentru o serie de distribuie dup variante (cu frecvene), momentul centrat

de ordinul k se calculeaz pe baza relaiei =

=p

ii

kik nxxn 1

)(1 . Dup cum se poate

observa, momentul centrat de ordinul 1 reprezint media abaterilor valorilor

individuale de la media seriei de distribuie, n timp ce momentul centrat de ordinul

2 este dispersia seriei de distribuie.

Momentul centrat de ordinul 3 (notat 3) este un indicator al asimetriei, fr

ca acesta s pun ns n eviden intensitatea asimetriei. Astfel, dac 30, distribuia este asimetric spre stnga.

Propunerea lui Fisher a fost de a calcula un indicator pe baza relaiei

CasF=3/3.

Informaiile oferite de acest indicator permit att caracterizarea sensului, ct

i a intensitii asimetriei. De remarcat c, ntruct >0, semnul CasF este dat de

semnul momentului centrat de ordinul 3, fapt pentru care interpretarea este similar

cu a celor de mai sus: CasF0 indic asimetrie

spre stnga, iar CasF=0 indic faptul c seria de distribuie este simetric. Intensitatea

asimetriei seriei de distribuie este indicat de mrimea coeficientului CasF, cu ct

acesta este mai mare (n valoare absolut), cu att asimetria este mai pronunat.

2.4.2 Indicatori ai aplatizrii seriilor de distribuie

O serie de distribuie este aplatizat dac la variaii mari ale valorii

caracteristicii observm variaii limitate ale frecvenelor. Aprecierea gradului de

aplatizare (de boltire) a seriei se face, ntr-o prim etap, prin compararea curbei

frecvenelor acesteia cu cea a repartiiei normale (Gauss-Laplace) ce are aceeai

medie i abatere standard cu a seriei de date investigate. Acest raionament este

vizualizat n figura de mai jos, unde curba indicat prin linia roie continu este curba

normal (denumit i mezocurtic), cea indicat prin linia albastr punctat este o

curb leptocurtic, iar cea indicat de linia mov punctat fin este o curb platicurtic.

39

Rdcinile etimologice ale denumirilor utilizate sunt greceti: kurtos = cocoat, platys

= larg, lat, leptos = ngust, subire.

Analitic, pentru caracterizarea aplatizrii (boltirii) seriei de distribuie se

calculeaz coeficienii lui Pearson i lui Fisher pentru aplatizare.

Coeficientul lui Pearson pentru aplatizare

Determinat pe baza momentelor centrate de ordinul 2 i 4. Formula de calcul

este

CapP=4/22=4/

4.

Pentru repartiia normal, valoarea acestui indicator este egal cu 3. Prin

urmare, pentru a aprecia boltirea unei serii, valoarea indicatorului calculat va fi

comparat cu 3 (pentru majoritatea seriilor economice, valoarea indicatorului se

situeaz ntre 2 i 6). Astfel, dac valoarea calculat a CapP3, atunci seria de

distribuie urmeaz o repartiie aproximativ normal (este mezocurtic). Dac

CapP>3, atunci curba frecvenelor este leptocurtic, distribuia fiind mai ascuit

dect cea normal. n fine, dac CapP

40

Tem: Caracterizai asimetria i aplatizarea distribuiei punctelor obinute de 60 de

studeni (atenie, va trebui s calculai cuartilele, ntr-un mod similar calculului Me).

Punctajul 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 Total

Nr. studeni (ni) 4 8 11 19 12 6 60