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Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation. Referentin: Mandy Peter. Ausblick. 1. Wiederholung 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? 2.2. Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel - PowerPoint PPT Presentation

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Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation

Referentin: Mandy PeterStetige Kleinste-Quadrate-ApproximationAusblick1. Wiederholung2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation2.1. Worum geht es?2.2. Polynomapproximation + Beispiel2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen2.4. Harmonische Analyse + Beispiel3. Literatur1. WiederholungDiskrete Kleinste-Quadrate-ApproximationFunktion f(x) nur an diskreten Stellen bekanntApproximation des funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe NherungsfunktionGesucht: Das Minimum der Funktion

Zugehriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:

2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation2.1. Worum geht es?Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt

Ziel: Funktion f(x) durch Nherungsfunktion P(x) zu ersetzen

2.2. PolynomapproximationGesucht ist das jenige Polynom , dass im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate mglichst gut den funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervallapproximiert. Gesucht: Minimum der Funktion

Notwendige Bedingungen fr Minimum:

Man erhlt:

Daraus ergibt sich:

Gausche Normalengleichungen

Dieses Gleichungssystem lsst sich in der blichen Form linearer Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektorenund die Matrixwie folgt definiert ist:

Satz:Es sei gegeben und es gelte . Dann besitzen dieNormalengleichungen

eine eindeutige Lsung.

Beispiel

Man approximiere die Funktion auf dem Intervall durch ein Polynom zweiten Grades.

Damit ist gesucht, fr das gilt:

Das Gleichungssystem, was es zu lsen gilt, lautet:

2.3. Approximation mit verallgemeinerten PolynomenSei ein System von n+1 stetigen Funktionengegeben, die auf dem Intervall , , linear unabhngigsind.

Satz:Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann sindauf jedem beliebigen Intervall , , linear unabhngig.

Definition:Eine integrierbare Funktion heit Gewichtsfunktion auf dem Intervall , falls gilt: fr und auf jedem Teilintervall von .

Zweck: Teilabschnitte vom Intervall knnen hervorgehobenwerden, auf denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.

Verallgemeinertes Polynom:

Gesucht: Minimum der Funktion

Notwendige Bedingungen fr ein Minimum:

Normalengleichungen

Definition:Ein System stetiger Funktionen heit orthogonalauf dem Intervall bezglich der Gewichtsfunktion , falls:

Gilt des weiteren , dann nennt man dasFunktionensystem orthonomiert.

Definition:

Die Zahl

heit die Norm der Funktion auf dem Intervall .

Satz:

2.4. Harmonische AnalyseSei orthonormiertes Funktionensystem auf demIntervall mit den Funktionen

Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode aufdem Intervall . Dann lautet das verallgemeinertePolynom:

Die Summandenheien Harmonische.

Gesucht: Minimale Abweichung des Polynomsvon der Fkt.im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate.

Koeffizienten sind nach der Formel zu bestimmen:

Man erhlt:

Die Koeffizienten und heien trigonometrische Fourierkoeffizienten

Fall 1: f(x) ist gerade FunktionDann:

Fall 2: f(x) ist ungerade FunktionDann:

Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den Grenzbergang, so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe:

mit , ,

Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrischesFourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser Funktion

Sgezahnschwingung

Lsung der Harmonischen AnalyseUngerade Funktion -> reicht aus b zu berechnen

Lsung der Harmonischen Analyse

BeispielMan bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom, das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmglich approximiert.

Gerade Funktion -> b fllt weg: Zu berechnen

Lsung der Harmonischen Analyse

3. LiteraturHERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. Mnchen: Oldenbourg Wissenschaftsverlag. PETERS, Thomas: [http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf; 21.05.2014][http://me-lrt.de/img/TM3-V02-05-Menschliche-Stimme-Klangkurve.png; 21.05.2014]