stetige kleinste-quadrate-approximation
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Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation. Referentin: Mandy Peter. Ausblick. 1. Wiederholung 2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation 2.1. Worum geht es? 2.2. Polynomapproximation + Beispiel 2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen 2.4. Harmonische Analyse + Beispiel - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation
Referentin: Mandy PeterStetige Kleinste-Quadrate-ApproximationAusblick1. Wiederholung2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation2.1. Worum geht es?2.2. Polynomapproximation + Beispiel2.3. Approximation mit verallgemeinerten Polynomen2.4. Harmonische Analyse + Beispiel3. Literatur1. WiederholungDiskrete Kleinste-Quadrate-ApproximationFunktion f(x) nur an diskreten Stellen bekanntApproximation des funktionalen Zusammenhangs mit Hilfe NherungsfunktionGesucht: Das Minimum der Funktion
Zugehriges Gleichungssystem, welches zu berechnen ist:
2. Stetige Kleinste-Quadrate-Approximation2.1. Worum geht es?Konkreter funktionaler Zusammenhang y=f(x) bekannt
Ziel: Funktion f(x) durch Nherungsfunktion P(x) zu ersetzen
2.2. PolynomapproximationGesucht ist das jenige Polynom , dass im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate mglichst gut den funktionalen Zusammenhang im vorgegeben Intervallapproximiert. Gesucht: Minimum der Funktion
Notwendige Bedingungen fr Minimum:
Man erhlt:
Daraus ergibt sich:
Gausche Normalengleichungen
Dieses Gleichungssystem lsst sich in der blichen Form linearer Gleichungssysteme aufschreiben, wenn man die Vektorenund die Matrixwie folgt definiert ist:
Satz:Es sei gegeben und es gelte . Dann besitzen dieNormalengleichungen
eine eindeutige Lsung.
Beispiel
Man approximiere die Funktion auf dem Intervall durch ein Polynom zweiten Grades.
Damit ist gesucht, fr das gilt:
Das Gleichungssystem, was es zu lsen gilt, lautet:
2.3. Approximation mit verallgemeinerten PolynomenSei ein System von n+1 stetigen Funktionengegeben, die auf dem Intervall , , linear unabhngigsind.
Satz:Es sei ein Polynom vom Grad k. Dann sindauf jedem beliebigen Intervall , , linear unabhngig.
Definition:Eine integrierbare Funktion heit Gewichtsfunktion auf dem Intervall , falls gilt: fr und auf jedem Teilintervall von .
Zweck: Teilabschnitte vom Intervall knnen hervorgehobenwerden, auf denen die Approximation besonders genau erfolgen soll.
Verallgemeinertes Polynom:
Gesucht: Minimum der Funktion
Notwendige Bedingungen fr ein Minimum:
Normalengleichungen
Definition:Ein System stetiger Funktionen heit orthogonalauf dem Intervall bezglich der Gewichtsfunktion , falls:
Gilt des weiteren , dann nennt man dasFunktionensystem orthonomiert.
Definition:
Die Zahl
heit die Norm der Funktion auf dem Intervall .
Satz:
2.4. Harmonische AnalyseSei orthonormiertes Funktionensystem auf demIntervall mit den Funktionen
Sei eine stetige periodische Funktion mit der Periode aufdem Intervall . Dann lautet das verallgemeinertePolynom:
Die Summandenheien Harmonische.
Gesucht: Minimale Abweichung des Polynomsvon der Fkt.im Sinne der Methode der Kleinsten Quadrate.
Koeffizienten sind nach der Formel zu bestimmen:
Man erhlt:
Die Koeffizienten und heien trigonometrische Fourierkoeffizienten
Fall 1: f(x) ist gerade FunktionDann:
Fall 2: f(x) ist ungerade FunktionDann:
Bildet man nun im Trigonometrischen Fourierpolynom den Grenzbergang, so ergibt sich die trigonometrische Fourierreihe:
mit , ,
Die Darstellung einer Funktion durch ihr trigonometrischesFourierpolynom nennt man die harmonische Analyse dieser Funktion
Sgezahnschwingung
Lsung der Harmonischen AnalyseUngerade Funktion -> reicht aus b zu berechnen
Lsung der Harmonischen Analyse
BeispielMan bestimme das allgemeine trigonometrische Polynom, das nach dem Kleinsten-Quadrate-Prinzip die Funktion bestmglich approximiert.
Gerade Funktion -> b fllt weg: Zu berechnen
Lsung der Harmonischen Analyse
3. LiteraturHERMANN, M.(2006): Numerische Mathematik. Mnchen: Oldenbourg Wissenschaftsverlag. PETERS, Thomas: [http://www.mathe-seiten.de/fourier.pdf; 21.05.2014][http://me-lrt.de/img/TM3-V02-05-Menschliche-Stimme-Klangkurve.png; 21.05.2014]