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  • Sto�didaktische Analyse und Entwicklung eines

    Unterrichtswerkes der punktbasierten analytischen

    Geometrie

    Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades

    vorgelegt an der Europa-Universität Flensburg von

    Johannes Fabian Blauert

    Februar 2017

  • Für Lias.

  • Verwendete Symbole

    Zahlbereiche N Menge der natürlichen Zahlen {1, 2, 3, . . .} N0 Menge der natürlichen Zahlen mit Null {0, 1, 2, 3, . . .} Z Menge der ganzen Zahlen {0, 1,−1, 2,−2, . . .} Q Menge der rationalen Zahlen Q+0 Menge der Bruchzahlen {x ∈ Q | x ≥ 0} R Menge der reellen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen

    Intervalle [a, b] abgeschlossenes Intervall {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ]a, b[ o�enes Intervall {x ∈ R | a < x < b}

    Mengenoperationen ⊆ Mengeninklusion (Gleichheit zugelassen) M +N Mengenaddition; M +N = {X | ∃A ∈M∃N ∈ N : X = M +N} M ·N Mengenmultiplikation;M ·N = {X | ∃A ∈M∃N ∈ N : X = M ·N}

    Elementare Geometrie g(A,B) Gerade durch die Punkte A,B E(A,B,C) Ebene durch die Punkte A,B,C AB Strecke mit den Endpunkten A,B ◦ AB relatives Inneres der Strecke AB (:= AB \ {A,B}) |AB| Länge der Strecke AB |A| , ‖A‖ Betrag eines Punktes; Länge der Strecke AO MAB Mittelpunkt der Strecke AB mAB Mittellot der Strecke AB d(A,B) Abstand der Punkte A und B d(M,N) Abstand der Punktmengen M,N : inf{|AB| | A ∈M,B ∈ N}

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung und Aufbau der Arbeit 11

    2 Vorbetrachtungen 15

    2.1 Analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2 Analytische Geometrie aus hochschuldidaktischer Sicht . . . . . . . . 19

    2.3 Zugänge zur analytischen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2.3.1 Zugang über Pfeilklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.2 Punktbasierte analytische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . 24

    I Fachliche Grundlagen 25

    3 Einleitung 27

    4 Punkte und Geraden 31

    5 Euklidische Geometrie 39

    5.1 Das Punktprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    5.2 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    5.3 Abstand Punkt-Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    6 Geometrie der Ebene 47

    6.1 Geraden in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    6.2 Vielecke und Teilungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    6.3 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

  • 7 Linearkombinationen 65

    8 Geometrie des Raumes 77

    8.1 Das Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    8.2 Lagebeziehungen von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    8.3 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    8.4 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    8.5 Flächen- und Rauminhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    8.6 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    9 Mathematische Vertiefungen 111

    9.1 Berechnung der Gröÿe eines Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

    9.2 Messen von Flächen- und Rauminhalten . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    II Entwurf eines Unterrichtswerkes 115

    10 Zum Aufbau des Unterrichtswerkes 117

    11 Geometrie der Ebene 119

    11.1 A�ne Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    11.1.1 Rechnen mit Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    11.1.2 Rechnen mit Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    11.1.3 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    11.1.4 Lagebeziehungen von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    11.1.5 Koordiatendarstellung von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . 143

    11.1.6 Aufgaben zur a�nen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    11.2 Metrische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    11.2.1 Das Punktprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    11.2.2 Orthogonale Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    11.2.3 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    11.3 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

  • 12 Geometrie des Raumes 187

    12.1 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    12.1.1 Punkte im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    12.1.2 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

    12.1.3 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

    12.1.4 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    12.1.5 Koordinatendarstellung und Normalendarstellung von Ebenen 206

    12.2 Lagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    12.2.1 Lagebeziehungen zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    12.2.2 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . 212

    12.2.3 Lagebeziehungen zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

    12.2.4 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

    12.2.5 Abstand Punkt-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

    12.2.6 Abstand windschiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

    12.3 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

    III Didaktische Analyse 245

    13 Vorbetrachtungen 247

    13.1 Zahlbereiche und Zahlbereichserweiterungen . . . . . . . . . . . . . . 247

    13.2 Der R2 als Zahlbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

    13.3 Didaktische Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

    14 Didaktische Bemerkungen zur Geometrie der Ebene 259

    14.1 A�ne Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

    14.1.1 Rechnen mit Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

    14.1.2 Anmerkungen zur Symbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

    14.1.3 Anmerkungen zu den Beispielaufgaben . . . . . . . . . . . . . 265

    14.1.4 Rechnen mit Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

    14.1.5 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

    14.1.6 Lagebeziehungen von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

  • 14.1.7 Koordiatendarstellung von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . 288

    14.1.8 Aufgaben zur a�nen Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

    14.2 Metrische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

    14.2.1 Das Punktprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

    14.2.2 Orthogonale Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

    14.2.3 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

    14.3 Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

    14.3.1 Exkurs zum Einsatz von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln im Unterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

    15 Didaktische Bemerkungen zur Geometrie des Raumes 315

    15.1 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

    15.1.1 Punkte im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

    15.1.2 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

    15.1.3 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

    15.1.4 Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

    15.1.5 Koordinatendarstellung und Normalendarstellung von Ebenen 327

    15.2 Lagebeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

    15.2.1 Lagebeziehungen zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . 329

    15.2.2 Lagebeziehungen von Gerade und Ebene . . . . . . . . . . . . 331

    15.2.3 Lagebeziehungen zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

    15.2.4 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

    15.2.5 Abstand Punkt-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

    15.2.6 Abstand windschiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

    15.3 Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

    16 Diskussion 347

  • 1 Einleitung und Aufbau der Arbeit

    Die Zielsetzung der vorliegenden Arbeit ist eine umfassende didaktische Analyse der analytischen Geometrie sowie die Entwicklung eines alternativen Zuganges zu diesem Themengebiet, welches sich neben der Analysis und der Stochastik als fes- ter Bestandteil des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II etabliert hat. Trotz dieser festen Verankerung in den Curricula und in den Schulbüchern der Oberstufen- mathematik sind die aktuellen didaktischen Analysen dieses Gebietes unzureichend. Obwohl die Schüler in der Lage sind, die Aufgaben des Zentralabiturs mit Erfolg zu bearbeiten, zeigen genauere Untersuchungen1, dass dieser Erfolg in vielen Fällen auf dem sicheren Beherrschen eines Kalküls beruht, dass die analytische Geometrie den Lernenden auf der Begri�sebene aber groÿe Probleme bereitet.

    Im Sommersemester 2016 wurden Studierende im zweiten Semester des Masterstudiums im

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