stromning med fria v¨ atskeytor¨ · 2010. 2. 22. · konstanta atmosf¨arstrycket (ytsp...

STROMNING MED FRIA VATSKEYTOR

Vid den fria vatskeytan (vattenytan) kan trycket antas lika med det

konstanta atmosfarstrycket (ytspanningseffekter forsummas).

Stationar, inkompressibel och oftast turbulent stromning.

Stromningen drivs av gravitation och motverkas av vaggfriktion.

Djup, y = vertikalt avstand fran kanalens botten till ytan.

Klassificering m.a.p. variationer i djup:

1. Stromning vid konstant djup och lutning (uniform flow); djupet

lika med det s.k. normaldjupet, yn. Stromningen kan antas en-

dimensionell; gravitation och friktion i balans.

2. Stromning med varierande djup.

(a) Langsamt varierande djup (gradually varied flow, GVF).

Stromningen kan antas endimensionell.

(b) Snabba djupvariationer (rapidly varied flow, RVF).

Stromningen multidimensionell.

Forutom s.k. hydrauliska sprang (hydraulic jumps) ingar inte RVF i

denna kurs, GVF endast delvis.

Ch. 10.1 Stromningslara C. Norberg, LTH

HASTIGHETSFORDELNINGAR

Hastighetsmaximum sker typiskt kring mitten av tvarsnittet, ca. 20%

under ytan baserat pa lokalt djup. Forskjutningen beror av sekun-

darstromning samt viss inverkan av luftmotstand. Medelhastigheten

upptrader narmare botten, kring centrum ca. 60-65% under ytan.

α = korrektionsfaktor for kinetisk energi

α = A−1 ∫

(u/V )3 dA; endimensionell approximation: α = 1.


ENDIMENSIONELL, STATIONAR

STROMNING

Inkompressibel stromning, hydrostatisk tryckvariation ⇒

Q = V (x)A(x) = konst.

z1 +V 2

1

2g= z2 +

V 22

2g+ hf

z1 − z2 = L tan θ + y1 − y2 , L = x2 − x1

hf ≈ fL

4 Rh

V 2av

2g, Vav =

V1 + V2

2

Rh =Dh

4=

A

P(hydraulisk radie)

L tan θ + y1 +V 2

1

2g= y2 +

V 22

2g+ hf

Ex. Rektangulart tvarsnitt

Vatlagd omkrets, P = b + 2 y

Area, A = b y

Hydraulisk radie, Rh =A

P=

y

1 + 2 y/b

Mycket bred kanal, b ≫ y ⇒ Rh = y


YTVAGORS UTBREDNINGSHASTIGHET

Betrakta en bred, horisontell kanal med stillastaende vatten vid visst

konstant djup (kanalbredd b ≫ y). En vagfront med amplitud δy

ror sig till vanster med hastighet c, vattnets hastighet efter fronten

= δV . Fixera en kontrollvolym kring vagfronten.

Massbalans ⇒

m = ρ c y b = ρ (c − δV )(y + δy) ⇒ δV = cδy

y + δy

Bottenfriktion forsummas. Impulsbalans ⇒∫ y+δy

0(p1 − p2) b dh = m [ (c − δV ) − c ] = −ρ c y b δV

∫ y+δy

0(p1 − p2) b dh = b [

ρ g y

2y + 0 − ρ g (y + δy)

2(y + δy) ]

⇒ δV =g δy

c

1 +1

2

δy

y

Eliminera δV

c2 = gy

1 +δy

y

1 +1

2

δy

y

I gransen δy/y → 0 (forsumbar amplitud):

c0 =√

gy (Lagrange 1788)


FROUDES TAL

c0 = utbredningshastighet for sma ytvagor pa grunt vatten

(grunt i forhallande till vaglangden).

Froudes tal: Fr =V

c0, c0 =

√gyh

yh =A

b0(hydrauliskt djup)

Ex. rektangulart tvarsnitt, A = b0 y ⇒ yh = y , c0 =√

gy.

• Underkritisk stromning, Fr < 1. “Lag hastighet, stort djup”.

Storningar t.ex. orsakade av andringar i lutning, hinder o. dyl.

kan formedlas uppstroms via sma ytvagor, V < c0. Stromningen

kan gradvis anpassa sig till nya forhallanden nedstroms.

• Overkritisk stromning, Fr > 1. “Hog hastighet, litet djup”. Nar

stromningen uppstroms ar overkritisk och villkoren nedstroms

kraver andring till underkritiska forhallanden sa kan denna infor-

mation inte formedlas uppstroms via ytvagor, V > c0. Formagan

till gradvisa forandringar ar borta. Den nodvandiga forandringen

sker abrupt i ett s.k. hydrauliskt sprang.

William Froude, England, 1810–1879.


STROMNING VID NORMALDJUP

Betrakta en kanal med givet konstant tvarsnitt lagd med konstant

men liten lutning, S = tan θ, dar θ ar bottenytans vinkel mot hori-

sontalen. Efter nagon viss langd uppnas konstant djup, normaldjupet

yn. Arean konstant ⇒ hastigheten konstant = V0.

Lutning vid normaldjup: S0 = (z1 − z2)/(x2 − x1); oftast extremt

liten, θ < 1◦ (S0 < 0.02).

hf = f(x2 − x1)

4 Rh

V 20

2g= z1 − z2 = S0 (x2 − x1)

V0 =

8g

f

1/2

R1/2h S

1/20

Reynolds tal kan antas mycket hogt; bottenytan skrovlig ⇒ friktions-

faktorn kan antas konstant. Konstant g/f ger

V0 = C (RhS0)1/2 , Q = CA (RhS0)

1/2.

C = Chezys koefficient (Antoine Chezy, Frankrike, 1718–1789). Med

Rh i m och SI galler enligt Chezy: C ∈ (30, 90), undre gransen for

“tranga, skrovliga kanaler”; ovre “breda, slata kanaler”. Irlandaren

Robert Manning (1816–1897) foreslog 1891 foljande approximation:

C =

8g

f

1/2

≃ R1/6h

n[√

m/s]

dar “Mannings n-faktor” beror av ytans beskaffenhet. Trots manga

nya forslag pa korrelationer ger Mannings approximation tillrackligt

bra resultat vid ingenjorsberakningar.


MANNINGS n-faktor

Stromning vid normaldjup (Mannings formel):

V0(m/s) = n−1[Rh(m)]2/3√

S0 , Q = V0 A

Tillverkade (rannor, dammavlopp, kanaler, akvedukter, . . . ) nglas 0.010± 0.002

koppar 0.011± 0.002stal, slatbehandlat 0.012± 0.002

cement, slatmurad 0.012± 0.002tra, hyvlat 0.012± 0.002

tra, obehandlat 0.013± 0.002gjutjarn 0.013± 0.003cement, obearbetad 0.014± 0.002

stal, malat 0.014± 0.003lertegel 0.014± 0.003

stal, nitat 0.015± 0.002tegelsten, cementerad 0.015± 0.003

asfalt 0.016± 0.003plat, korrugerad 0.022± 0.005murad klappersten 0.025± 0.005

Gravda kanaler och dikenslata 0.022± 0.004

grusartade 0.025± 0.005grasbevuxna 0.030± 0.005

steniga, kullersten 0.035± 0.010Naturliga floder och vattendrag

slata, raka 0.030± 0.005stora floder 0.035± 0.010djupa, trogflytande delar 0.040± 0.010

Oversvammade floder och vattendrag

betes- och akermark 0.035± 0.010latt snarskog 0.050± 0.020kraftig snarskog 0.075± 0.025

skog 0.150± 0.050

Medelytrahet, ǫ[mm] ≈ (83n)6, da n < 0.035; ex. n = 0.012 ⇒ ǫ ≈ 1 mm.

Ex. rektangulart tvarsnitt, b = 5.0 m, y = yn = 2.5 m, θ = 0.20◦, slat-murad cement ⇒ n = 0.012 ± 0.002; normalflode? Rh = A/P = 1.25 m;

S0 = tan θ = 0.0035 ⇒ Q = (61 − 86) m3/s; n = 0.012 ⇒ 71 m3/s.


EFFEKTIVA TVARSNITT

Q = n−1AR2/3h

√S0

Vid given area A, lutning S0 och ytbeskaffenhet (n) fas maximalt

normalflode vid maximal hydraulisk radie, d.v.s. minimal vatlagd

omkrets P (Rh = A/P). Det absolut mest effektiva tvarsnittet vid

given area ar saledes det halvfyllda cirkeltvarsnittet.

Rh =A

P=

πR2/2

πR=

R

2=

y

2

• For varje typ av tvarsnitt galler att Rh = y/2 ar mest effektivt.

Det mest effektiva rektangulara tvarsnittet ar saledes da djupet ar

halva kanalbredden (y = b/2).

Rektangulart tvarsnitt, Q = 5.0 m3/s, n = 0.015, S0 = 0.001

(θ = 0.06◦). Dimensioner for mest effektivt tvarsnitt?

Mannings formel ⇒ y = yn = 1.27 m. Mest effektivt da b = 2y =

2.54 m, A = b y = 3.21 m2. Samma area, samma (n, S0) fast yn =

1.07 m (−16%) ger Q = 4.95 m3/s, endast ca. 1% mindre flode. Flo-

det omkring det mest effektiva tvarsnittet ar oftast relativt okansligt

for variationer i djup (vid samma area).

Halvcirkeltvarsnitt med samma area (A = 3.21 m2) och samma (n,

S0) ger Q = 5.42 m3/s (+8.4%); Q = 5.0 m3/s innebar y = R =

1.07 m, A = πR2 = 3.60 m2 (12% mer area, 34% mindre vatlagd

omkrets).


SPECIFIK ENERGI

Lat z beteckna bottenytans vertikala hojd over nagon referensniva.

Stationara forhallanden ⇒ E1 = E2 + hf + ∆z

dar ∆z = z2 − z1 och E = y + V 2

2g (specifik energi).

Forutsatt rektangulart tvarsnitt, konstant bredd b.

Flode per breddenhet: q = Q/b = V y = konst., E = y +q2

2gy2

dE

dy= 0 ⇒ y = yc = (q2/g)1/3 (kritiskt djup)

E(yc) = Emin =3

2yc (kritisk specifik energi)

Vid kritiskt djup ar stromningen kritisk,

(Vc yc)2 = q2 = g y3

c ⇒ Vc =√

gyc ⇒ Frc = 1

y < yc ⇒ Fr > 1 ; y > yc ⇒ Fr < 1


STROMNING OVER BUMP

Rektangulart tvarsnitt, konstant bredd.

Friktion forsummas (hf = 0).

Givet: V1, y1, ∆h; Sokt: y2

Flode per breddenhet, q = V1y1 = V2y2

Specifik energi, E1 = y1 + q2

2gy21

E1 = E2 + ∆h = y2 +q2

2gy22

+ ∆h ⇒

y32 − (E1 − ∆h)y2

2 +q2

2g= 0

Ingen losning for ∆h > ∆hmax = E1 − Ec = E1 − 1.5(q2/g)1/3

∆h ≤ ∆hmax, Fr1 < 1 ⇒ y2 + ∆h < y1 (ytan buktar ned)

∆h ≤ ∆hmax, Fr1 > 1 ⇒ y2 > y1 (ytan buktar upp)


STROMNING UNDER SLUSSPORT

Rektangulart tvarsnitt, konstant bredd b, hf = 0, Fr1 < 1.

∆h = 0 ⇒ E1 = E2, d.v.s. y32 − E1y

22 + q2/(2g) = 0.

En positiv reell rot motsvarande det alternativa djupet, Fr2 > 1.

Vid forsumbar kinetisk energi uppstroms, E1 = y1, fas1 maximalt

flode da y2/y1 = 2/3, qmax ≈ 0.38y1

√2gy1, q = Q/b.

Potentialteori, fritt utlopp (free discharge) ⇒ y2/H ≃ 0.61

q = CdH√

2gy1 (Cd = utstromningsfaktor)

Cd ≈0.61

√

1 + 0.61 H/y1

, H/y1 < 0.5

Om forhallanden nedstroms kraver atergang till Fr < 1 uppstar ett

hydrauliskt sprang. I spranget sker kraftig virvelbildning vilket ger

forluster (dissipation). Nar spranget kommer tillrackligt nara sluss-

porten paverkas flodet, slussporten “drunknar”, Cd minskar, Cd =

f(y1/H, y2/H), se problem P10.77.

1E1 = y1 innebar q ≪ y1

√2gy1, max. flode darfor approximativt.


HYDRAULISKA SPRANG

Hydrauliskt sprang (hydraulic jump): relativt plotslig overgang fran

over- till underkritisk stromning samtidigt som djupet okar.

Fr1 > 1 , Fr2 < 1 , y2 > y1

Virvelbildning m.m. ger upphov till forluster, s.k. dissipation, ut-

trycks oftast i forlusthojd relativt specifik energi uppstroms, hf/E1.

Sprangets utstrackning ca. 5 nedstromsdjup, Ljump/y2 ≃ 5 ± 1.2

(1.7 < Fr1 < 12).

Klassificering:

• Fr1 ∈ (1.0, 1.7]: ondulerande sprang, staende vagor,

hf/E1 < 0.05 (undular jump).

• Fr1 ∈ (1.7, 2.5]: mjukt sprang, mattlig virvelbildning,

0.05 ≤ hf/E1 < 0.15 (weak jump).

• Fr1 ∈ (2.5, 4.5]: instabilt, oscillerande sprang, pulsationer med

kraftiga vagor som skickas nedstroms, undviks vid design,

0.15 ≤ hf/E1 < 0.45 (oscillating jump).

• Fr1 ∈ (4.5, 9.0]: stabil, valbalanserat sprang, okanslig for ned-

stromsforhallanden, rekommenderas vid design,

0.45 ≤ hf/E1 < 0.70, 6 < y2/y1 < 12 (steady jump).

• Fr1 > 9.0: kraftigt sprang, oregelbunden men oftast OK vid

design, 0.70 ≤ hf/E1 < 0.85 (strong jump).


HYDRAULISKA SPRANG

TEORI VS. EXPERIMENT

Djupokning:

η =y2

y1=

1

2

[√

1 + 8Fr21 − 1]

Dissipationshojd (hojdforlust):

hf = E1 − E2 = . . . =(y2 − y1)

3

4y1y2> 0 ⇒ y2 > y1

Relativ dissipation:

hf

E1=

1

8

(√

1 + 8Fr21 − 3)3

(√

1 + 8Fr21 − 1)(Fr21 + 2)

Teori vs. experiment:


stromning med fria v¨ atskeytor¨ · 2010. 2. 22. · konstanta atmosf¨arstrycket (ytsp...

Documents