stromy - Ústav informatiky pf upjŠ · 2016. 5. 17. · a1.3konečnéfunkcieaichkódovanie 9 a1.3...

A1Stromy

A1.1 Nekonečné podmnožiny ℕ 2A1.1 Nekonečné podmnožiny ℕ 2A1.1 Nekonečné podmnožiny ℕ 2

A1.1 Nekonečné podmnožiny ℕ...

D Nech 𝐴 je nekonečná podmnožina ℕ. De inujme funkciu mmb („member“ – člen) z množiny ℕ do množiny 𝐴indukciou:• mmb (0) = min(𝐴).• Ak 𝑛 ∈ ℕ, tak mmb (𝑛 + 1) = min{𝑘 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘 > mmb (𝑛)}.

• Ak 𝐴 je množina párnych prirodzených čı́sel, tak platı́:• mmb (0) = 0.• mmb (1) = 2.• mmb (2) = 4.• mmb (3) = 6.• mmb (4) = 8.• mmb (5) = 10.

P De inı́cia mmb je korektná, lebo ak 𝑛 ∈ ℕ, tak množina {𝑘 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘 > mmb (𝑛)} je neprázdna – nekonečnámnožina 𝐴 totiž nemôže byť podmnožinou konečnej množiny {0, … , mmb (𝑛)}.

V 1

Nech 𝐴 je nekonečná podmnožina ℕ. Potom mmb je jediná všade rastúca bijekcia z ℕ na 𝐴.

1 Ak 𝑛 ∈ ℕ, tak mmb (𝑛 + 1) > mmb (𝑛).

Postupne platı́:mmb (𝑛 + 1) = min{𝑘 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘 > mmb (𝑛)}

(podľa de inı́cie mmb ),mmb (𝑛 + 1) ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘 > mmb (𝑛)},mmb (𝑛 + 1) > mmb (𝑛).

2 Ak 𝑛,𝑚 ∈ ℕ, tak mmb (𝑛 + 𝑚) ≥ mmb (𝑛).

Tvrdenie dokážeme matematickou indukciou podľa𝑚, t. j. podľa vety ???:• mmb (𝑛 + 0) ≥ mmb (𝑛) platı́ triviálne.• mmb (𝑛 + (𝑚 + 1))= mmb ((𝑛 + 𝑚) + 1),> mmb (𝑛 + 𝑚)

(podľa sublemy 1),≥ mmb (𝑛)

(podľa indukčného predpokladu).

3 mmb je všade rastúca.𝑛 < 𝑚

(predpoklad s cieľom mmb (𝑛) < mmb (𝑚)),𝑛 + 1 ≤ 𝑚,mmb (𝑛 + 1) ≤ mmb (𝑚)

(podľa sublemy 2, lebo𝑚 = (𝑛 + 1) + (𝑚 − 𝑛 − 1), pričom𝑚 − 𝑛 − 1 ≥ 0),mmb (𝑛) < mmb (𝑛 + 1)


(podľa sublemy 1),mmb (𝑛) < mmb (𝑚).

4 𝐴 ⊆ mmb [ℕ].

Nech 𝐴 ⧵ mmb [ℕ] ≠ ∅. Potom postupne platı́:existuje𝑚 z ℕ, že𝑚 = min(𝐴 ⧵ mmb [ℕ])

(podľa vety ???, lebo 𝐴 ⧵ mmb [ℕ] je neprázdna podmnožina ℕ),𝑚 ∈ 𝐴 ⧵ mmb [ℕ],𝑚 ∈ 𝐴 a𝑚 ∉ mmb [ℕ],𝑚 ≠ mmb (0),𝑚 ≠ min𝐴

(podľa de inı́cie mmb ),𝑚 > min𝐴

(lebo𝑚 ∈ 𝐴),množina {𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 < 𝑚} je neprázdna a konečná

(lebo obsahujemin𝐴 a je podmnožinou konečnej množiny𝑚),existuje 𝑙 z ℕ, že 𝑙 = max{𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 < 𝑚}

(podľa vety ???),𝑙 ∈ {𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 < 𝑚},𝑙 ∈ 𝐴 a 𝑙 < 𝑚,𝑙 ∉ 𝐴 ⧵ mmb [ℕ]

(lebo𝑚 = min(𝐴 ⧵ mmb [ℕ]) a 𝑙 < 𝑚),𝑙 ∈ mmb [ℕ]

(lebo 𝑙 ∈ 𝐴),existuje 𝑛 z ℕ, že 𝑙 = mmb (𝑛),𝑚 > mmb (𝑛)

(lebo𝑚 > 𝑙),𝑚 ∈ {𝑘 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘 > mmb (𝑛)}

(lebo𝑚 ∈ 𝐴),𝑚 ≥ min{𝑘 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘 > mmb (𝑛)}

(minimummnožiny {𝑘 ∈ 𝐴 ∶ 𝑘 > mmb (𝑛)}, lebo množina 𝐴 je nekonečná),𝑚 ≥ mmb (𝑛 + 1)

(podľa de inı́cie mmb ),𝑚 > mmb (𝑛 + 1)

(lebo𝑚 ∉ mmb [ℕ]),mmb (𝑛 + 1) ∈ {𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 < 𝑚},mmb (𝑛 + 1) ≤ 𝑙

(lebo 𝑙 = max{𝑎 ∈ 𝐴 ∶ 𝑎 < 𝑚} = 𝑙),mmb (𝑛 + 1) ≤ mmb (𝑛)

(lebo 𝑙 = mmb (𝑛)),čo je spor so sublemou 1.Platı́ teda 𝐴 ⧵ mmb [ℕ] = ∅, čiže 𝐴 ⊆ mmb [ℕ].

5 mmb [ℕ] ⊆ 𝐴.

Lebo mmb ∶ ℕ → 𝐴.

6 Ak 𝑓 a 𝑓 sú rastúce bijekcie z ℕ na 𝐴, tak 𝑓 = 𝑓 .

Nech {𝑘 ∈ ℕ ∶ 𝑓 (𝑘) ≠ 𝑓 (𝑘)} ≠ ∅. Potom postupne platı́:existuje𝑚 z ℕ, že𝑚 = min{𝑘 ∈ ℕ ∶ 𝑓 (𝑘) ≠ 𝑓 (𝑘)}


(podľa vety ???),𝑓 (𝑚) ≠ 𝑓 (𝑚)

(lebo𝑚 ∈ {𝑘 ∈ ℕ ∶ 𝑓 (𝑘) ≠ 𝑓 (𝑘)}),𝑓 (𝑚) < 𝑓 (𝑚), pričom {𝑖, 𝑗} = {0, 1},existuje 𝑛 z ℕ, že 𝑓 (𝑛) = 𝑓 (𝑚)

(lebo podľa predpokladov 𝑓 (𝑚) ∈ 𝐴 a 𝑓 je surjektıv́na na 𝐴),𝑓 (𝑛) < 𝑓 (𝑚),𝑛 < 𝑚

(z všade-rastúcosti 𝑓 a linearity


𝑛 = (mmbrng( )) (𝐼(𝑚)),𝑛 = (𝐼 ∘ (mmbrng( )) )(𝑚),𝑛 = den (𝑚)

(podľa de inı́cie den ),𝑛 ∈ rng(den ).

3 den je komonotónna s 𝐼.

Nech 𝑙, 𝑚 ∈ 𝑀. Potom postupne platı́:den (𝑙) ≤ den (𝑚),akk (𝐼 ∘ (mmbrng( )) )(𝑙) ≤ (𝐼 ∘ (mmbrng( )) )(𝑚)

(podľa de inı́cie den ),akk (mmbrng( )) (𝐼(𝑙)) ≤ (mmbrng( )) (𝐼(𝑚)),akk mmbrng( )((mmbrng( )) (𝐼(𝑙))) ≤ mmbrng( )((mmbrng( )) (𝐼(𝑚)))

(podľa vety 1),akk 𝐼(𝑙) ≤ 𝐼(𝑚).

Zo sublem 1, 2 a 3 už dostávame dokazované tvrdenie.

A1.2 Posúvanie funkciı́ 6A1.2 Posúvanie funkciı́ 6A1.2 Posúvanie funkciı́ 6

A1.2 Posúvanie funkcií

D Nech 𝑓 je funkcia z podmnožiny ℕ a 𝑛 je prirodzené čı́slo. Potom de inujme funkciu shf(𝑓, 𝑛) („shift“ – posun)takú, že platı́ dom(shf(𝑓, 𝑛)) = {𝑖 ∈ ℕ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑓)}, a ak 𝑖 ∈ dom(shf(𝑓, 𝑛)), tak

(shf(𝑓, 𝑛))(𝑖) = 𝑓(𝑖 − 𝑛).

P Zdôraznime, že shf(𝑓, 𝑛) je tiež funkcia z podmnožiny ℕ.

• Nech 𝑓 = {⟨1,♢⟩, ⟨3,♡⟩, ⟨4,♣⟩}. Potom shf(𝑓, 5) = {⟨5 + 1,♢⟩, ⟨5 + 3,♡⟩, ⟨5 + 4,♣⟩} = {⟨6,♢⟩, ⟨8,♡⟩, ⟨9,♣⟩}.

V 1

Nech 𝑓 je funkcia z podmnožiny ℕ a 𝑛 je prirodzené čı́sla. Potom

𝑛 ∩ dom(shf(𝑓, 𝑛)) = ∅.

𝑛 ∩ dom(shf(𝑓, 𝑛))= 𝑛 ∩ {𝑖 ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑓)}

(podľa de inı́cie shf),= 𝑛 ∩ {𝑗 + 𝑛 ∶ 𝑗 ∈ dom(𝑓)}

(posun indexov),= ∅.

V 2

Nech 𝑓 je funkcia z podmnožiny ℕ. Potom

rng(shf(𝑓, 𝑛)) = rng(𝑓).

rng(shf(𝑓), 𝑛)= rng({⟨𝑖, (shf(𝑓, 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(𝑓, 𝑛))})

(lebo shf(𝑓, 𝑛) je funkcia),= rng({⟨𝑖, 𝑓(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑓)})

(podľa de inı́cie shf),= rng({⟨𝑖 + 𝑛, 𝑓(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝑓)})

(posun indexov),= {𝑓(𝑖) ∶ 𝑖 ∈ dom(𝑓)},= rng({⟨𝑖, 𝑓(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝑓)}),= rng(𝑓)

(lebo 𝑓 je funkcia).

V 3

Nech 𝑓 a 𝑓 sú funkcie z podmnožiny ℕ a 𝑛 je prirodzené čı́slo. Potom

shf(𝑓 , 𝑛) = shf(𝑓 , 𝑛), práve keď 𝑓 = 𝑓 .

→ 𝑓


= {⟨𝑖, 𝑓 (𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝑓 )}(lebo 𝑓 je funkcia),

= {⟨𝑖, (shf(𝑓 , 𝑛))(𝑖 + 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 + 𝑛 ∈ dom(shf(𝑓 , 𝑛))}(podľa de inı́cie shf),

= {⟨𝑖, (shf(𝑓 , 𝑛))(𝑖 + 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 + 𝑛 ∈ dom(shf(𝑓 , 𝑛))}(podľa predpokladu),

= {⟨𝑖, 𝑓 (𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝑓 )}(podľa de inı́cie shf),

= 𝑓(lebo 𝑓 je funkcia).

← Tvrdenie je triviálne.

V 4

Nech 𝑓 je funkcia z podmnožiny ℕ a𝑚 a 𝑛 sú prirodzené čı́sla. Potom

shf(shf(𝑓,𝑚), 𝑛) = shf(𝑓,𝑚 + 𝑛).

shf(shf(𝑓,𝑚), 𝑛)= {⟨𝑖, (shf(shf(𝑓,𝑚), 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ shf(shf(𝑓,𝑚), 𝑛)}

(lebo shf(shf(𝑓,𝑚), 𝑛) je funkcia),= {⟨𝑖, (shf(𝑓,𝑚))(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(shf(𝑓,𝑚))}

(podľa de inı́cie shf),= {⟨𝑖, 𝑓((𝑖 − 𝑛) − 𝑚)⟩ ∶ (𝑖 − 𝑛) − 𝑚 ∈ dom(𝑓)}

(podľa de inı́cie shf),= {⟨𝑖, 𝑓(𝑖 − (𝑚 + 𝑛))⟩ ∶ 𝑖 − (𝑚 + 𝑛) ∈ dom(𝑓)},= {⟨𝑖, (shf(𝑓,𝑚 + 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(𝑓,𝑚 + 𝑛))}

(podľa de inı́cie shf),= shf(𝑓,𝑚 + 𝑛)

(lebo shf(𝑓,𝑚 + 𝑛) je funkcia).

V 5

Nech 𝑓 a 𝑔 sú funkcie z podmnožiny ℕ také, že 𝑓 ∪ 𝑔 je funkcia, a 𝑛 je prirodzené čı́slo.

shf(𝑓 ∪ 𝑔, 𝑛) = shf(𝑓, 𝑛) ∪ shf(𝑔, 𝑛).

shf(𝑓 ∪ 𝑔, 𝑛)= {⟨𝑖, (shf(𝑓 ∪ 𝑔, 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(𝑓 ∪ 𝑔, 𝑛))}

(lebo shf(𝑓 ∪ 𝑔, 𝑛) je funkcia, keďže 𝑓 ∪ 𝑔 je funkcia),= {⟨𝑖, (𝑓 ∪ 𝑔)(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑓 ∪ 𝑔)}

(podľa de inı́cie shf),= {⟨𝑖, (𝑓 ∪ 𝑔)(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑓) ∪ dom(𝑔)},= {⟨𝑖, (𝑓 ∪ 𝑔)(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑓)} ∪ {⟨𝑖, (𝑓 ∪ 𝑔)(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑔)},= {⟨𝑖, 𝑓(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑓)} ∪ {⟨𝑖, 𝑔(𝑖 − 𝑛)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(𝑔)}

(lebo v prvom prı́pade 𝑖 ∈ dom(𝑓) a v druhom 𝑖 ∈ dom(𝑔)),= {⟨𝑖, (shf(𝑓, 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(𝑓, 𝑛))} ∪ {⟨𝑖, (shf(𝑔, 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(𝑔, 𝑛))}

(podľa de inı́cie shf a opäť podľa de inı́cie shf),


= shf(𝑓, 𝑛) ∪ shf(𝑔, 𝑛)(lebo shf(𝑓, 𝑛) a shf(𝑔, 𝑛) sú funkcie).

V 6

Nech 𝑛 je prirodzené čı́slo. Potomshf(∅, 𝑛) = ∅.

shf(∅, 𝑛)= {⟨𝑖, (shf(∅, 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(∅, 𝑛))}

(lebo shf(∅, 𝑛) je funkcia),= {⟨𝑖, (shf(∅, 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ dom(∅)}

(podľa de inı́cie shf),= {⟨𝑖, (shf(∅, 𝑛))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 − 𝑛 ∈ ∅},= ∅.

V 7

Nech 𝑓 je funkcia z podmnožiny ℕ. Potomshf(𝑓, 0) = 𝑓.

shf(𝑓, 0)= {⟨𝑖, (shf(𝑓, 0))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(𝑓, 𝑛))}

(lebo shf(𝑓, 𝑛) je funkcia),= {⟨𝑖, 𝑓(𝑖 − 0)⟩ ∶ 𝑖 − 0 ∈ dom(𝑓)}

(podľa de inı́cie shf),= {⟨𝑖, 𝑓(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝑓)},= 𝑓

(lebo 𝑓 je funkcia).

A1.3 Konečné funkcie a ich kódovanie 9A1.3 Konečné funkcie a ich kódovanie 9A1.3 Konečné funkcie a ich kódovanie 9

A1.3 Konečné funkcie a ich kódovanie

P Pripomeňme, že prirodzené čı́slo 𝑎 nazývame deliteľom prirodzeného čı́sla 𝑏, ak existuje prirodzené čı́slo 𝑐 také,že 𝑏 = 𝑐𝑎. Alternatıv́ne tiež hovorı́me, že 𝑏 je násobkom 𝑎 alebo že je nı́m deliteľné.

V 1

Nech 𝑛 je prirodzené čı́slo. Potom 1 a 𝑛 sú delitele 𝑛.

• Keďže 𝑛 = 𝑛 ⋅ 1, podľa de inı́cie deliteľa je 1 deliteľ 𝑛.• Keďže 𝑛 = 1 ⋅ 𝑛, podľa de inı́cie deliteľa je 𝑛 deliteľ 𝑛.

P Pripomeňme, že pod prvočíslom budeme rozumieť prirodzené čı́slo, ktoré má práve dva delitele, a to 1 a seba.

D Pod Prm („primes“ – prvočı́sla) budeme rozumieť množinu všetkých prvočı́sel.

V 2

Nech 𝑛 je prirodzené čı́slo a 𝑛 > 1, tak 𝑛má prvočı́selného deliteľa.

Tvrdenie dokážeme jednokrokovou matematickou indukciou, t. j. podľa vety ???.Podľa vety 1 sú 1 a 𝑛 delitele 𝑛. Navyše sú rôzne, lebo 𝑛 > 1.Rozoberme dva prı́pady:• Nech 𝑛 už nemá iného deliteľa.Potom podľa de inı́cie prvočı́sla je 𝑛 prvočı́slo. Potom však má prvočı́selného deliteľa, a to samého seba.

• Nech 𝑛 ešte má deliteľa rôzneho od 1 a 𝑛.Označme ho𝑚. Potom platı́:existuje prirodzené čı́slo 𝑘 také, že 𝑛 = 𝑘𝑚

(podľa de inı́cie deliteľa),𝑚 ≠ 0

(inak by platilo 𝑛 = 𝑘 ⋅ 0 = 0),𝑘 ≠ 0

(inak by platilo 𝑛 = 0 ⋅ 𝑚 = 0),𝑘 ≠ 1

(inak by platilo 𝑛 = 1 ⋅ 𝑚 = 𝑚),𝑘 > 1,𝑘𝑚 > 𝑚

(lebo 𝑘 > 1 a𝑚 > 0),𝑛 > 𝑚 > 1

(lebo 𝑛 = 𝑘𝑚,𝑚 ≠ 0 a podľa predpokladu𝑚 ≠ 1),𝑚má prvočı́selného deliteľa

(podľa indukčného predpokladu),existuje prvočı́slo 𝑝, že 𝑝 je deliteľ𝑚,existuje prirodzené čı́slo 𝑙, že𝑚 = 𝑙𝑝

(podľa de inı́cie deliteľa),𝑛 = 𝑘(𝑙𝑝),𝑛 = (𝑘𝑙)𝑝,𝑝 je deliteľom 𝑛

(podľa de inı́cie deliteľa),𝑛má prvočı́selného deliteľa.


V 3

Množina Prm je nekonečná.

Nech Prm je konečná. Je tiež neprázdna, lebo naprı́klad 2 ∈ Prm. Potom existuje súčin 𝑠 všetkých jej prvkov. Platı́𝑠 > 0, lebo 0 ∉ Prm. Potom 𝑠 + 1 > 1, takže čı́slo 𝑠 + 1musı́ mať podľa vety 2 nejakého prvočı́selného deliteľa.To však nie jemožné, lebo toto čı́slo dáva po delenı́ každým prvočı́slom zvyšok 1, teda nie je nı́m deliteľné (podľade inı́cie deliteľnosti).

D Pod prm („prime“ – prvočı́slo) budeme rozumieť funkciu mmbPrm.

P Podľa vety 1.1 je prm jediná rastúca bijekcia z ℕ do Prm.

• • prm(0) = 2.• prm(1) = 3.• prm(2) = 5.• prm(3) = 7.• prm(4) = 11.• prm(5) = 13.

D • Konečnou funkciou nazveme každú funkciu 𝑓 z konečnej podmnožiny množiny ℕ.• Nech𝑀 je množina. Potom konečnou𝑀-funkciou nazveme každú konečnú funkciu 𝑓 do množiny𝑀.Množinu všetkých konečných𝑀-funkciı́ označı́me FFn („finite𝑀-function“ – konečná𝑀-funkcia).

• Množinu FFnℕ budeme označovať zjednodušene FFn.

• {⟨2,♡⟩, ⟨4,♢⟩, ⟨5,♣⟩} je konečná {♡,♢,♣,♠}-funkcia.

• {⟨2, 5⟩, ⟨4, 3⟩, ⟨5, 0⟩} je konečná ℕ-funkcia.

V 4 (základná veta aritmetiky)Nech 𝑥 je kladné prirodzené čı́slo. Potom existuje jediná konečná ℕ-funkcia 𝑓 taká, že

𝑥 =∈dom( )

prm(𝑖) ( ) .

1 Nech 𝑦 je kladné prirodzené čı́slo. Potom existuje konečná ℕ-funkcia 𝑔 taká,

𝑦 =∈dom( )

prm(𝑖) ( ) .

Tvrdenie dokážeme jednokrokovou matematickou indukciou, t. j. podľa vety ???.Rozoberme dva prı́pady:• Nech 𝑦 = 1.Nech 𝑔 = ∅. Potom platı́:∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

= 1(lebo dom(𝑔) = ∅),

= 𝑦.• Nech 𝑦 > 1.


Potom platı́:existuje nejaký prvočı́selný deliteľ 𝑦

(podľa vety 2),existuje 𝑛 z ℕ, že prm(𝑛) je deliteľom 𝑦

(podľa de inı́ciı́ Prm a prm),existuje prirodzené čı́slo 𝑧, že 𝑦 = 𝑧 ⋅ prm(𝑛)

(podľa de inı́cie deliteľa),𝑦 > 𝑧 > 0

(lebo 𝑧 ⋅ prm(𝑛) = 𝑦 > 0 a prm(𝑛) > 1),existuje konečná ℕ-funkcia ℎ taká, že 𝑧 = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

(podľa indukčného predpokladu).Rozoberme dva prı́pady:• Nech 𝑛 ∈ dom(ℎ).De inujme funkciu 𝑔 tak, že dom(𝑔) = dom(ℎ), a ak 𝑖 ∈ dom(𝑔), tak

𝑔(𝑖) = ℎ(𝑖), ak 𝑖 ∈ dom(ℎ) ⧵ {𝑛},ℎ(𝑖) + 1, ak 𝑖 = 𝑛.

Podľa de inı́cie FFn je 𝑔 naozaj konečná ℕ-funkcia a platı́:∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

= ∏ ∈dom( )⧵{ } prm(𝑖) ( ) ⋅ prm(𝑛) ( )

(rozdelili sme množinu indexov na dve disjunktné časti),= ∏ ∈dom( )⧵{ } prm(𝑖) ( ) ⋅ prm(𝑛) ( )

(podľa de inı́cie 𝑔),= ∏ ∈dom( )⧵{ } prm(𝑖) ( ) ⋅ prm(𝑛) ( ) ⋅ prm(𝑛)= ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ) ⋅ prm(𝑛)

(zlúčili sme dve disjuntné množiny indexov),= 𝑧 ⋅ prm(𝑛),= 𝑦.

• Nech 𝑛 ∉ dom(ℎ).De inujme funkciu 𝑔 tak, že dom(𝑔) = dom(ℎ) ∪ {𝑛}, a ak 𝑖 ∈ dom(𝑔), tak

𝑔(𝑖) = ℎ(𝑖), ak 𝑖 ∈ dom(ℎ) ⧵ {𝑛},0, ak 𝑖 = 𝑛.

Podľa de inı́cie FFn je 𝑔 naozaj konečná ℕ-funkcia a platı́:∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

= ∏ ∈dom( )∪{ } prm(𝑖) ( )

(podľa de inı́cie 𝑔),= ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ) ⋅ prm(𝑛) ( )

(rozdelili sme množinu indexov na dve disjunktné časti),= ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ) ⋅ prm(𝑛)

(podľa de inı́cie 𝑔),= 𝑧 ⋅ prm(𝑛) ,= 𝑧 ⋅ prm(𝑛),


= 𝑦.

2 Nech 𝑔 a 𝑔 sú konečné ℕ-funkcie taká,

∈dom( )prm(𝑖) ( ) =

∈dom( )prm(𝑖) ( ) .

Potom 𝑔 = 𝑔 .

2.1 Nech 𝑝 ⋅ 𝑏 = 𝑝 ⋅ 𝑏 , kde 𝑝 je prvočı́slo a pre obe 𝑘 z {0, 1} je 𝑎 prirodzené čı́slo a 𝑏 prirodzenéčı́slo, ktoré nie je násobkom 𝑝. Potom 𝑎 = 𝑎 .

Nech {𝑘, 𝑙} = {0, 1}, pričom 𝑎 = min{𝑎 , 𝑎 }. Potom platı́:𝑝 ⋅ 𝑏 = 𝑝 ⋅ 𝑏

(predpoklad),𝑝 ⋅ 𝑏 = 𝑝 ⋅ 𝑏

(lebo {𝑘, 𝑙} = {0, 1}),𝑏 = 𝑝 ⋅ 𝑏

(obe strany rovnosti sme vydelili čı́slom 𝑝 , pričom platı́ 𝑎 − 𝑎 ≥ 0, keďže podľa predpokladu𝑎 = min{𝑎 , 𝑎 } ≤ 𝑎 ),

𝑎 − 𝑎 = 0(ak by platilo 𝑎 − 𝑎 > 0, t. j. 𝑎 − 𝑎 − 1 ≥ 0, znamenalo by to, že 𝑏 = (𝑝 ⋅ 𝑏 ) ⋅ 𝑝, čo by bolspor s predpokladom, že 𝑏 nie je násobkom 𝑝 (podľa de inı́cie násobku)),

𝑎 = 𝑎 ,𝑎 = 𝑎

(lebo {𝑘, 𝑙} = {0, 1}).

2.2 dom(𝑔 ) = dom(𝑔 ).

Nech 𝑛 ∈ dom(𝑔 ) ⧵ dom(𝑔 ), kde {𝑘, 𝑙} = {0, 1}.Potom platı́:∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ) = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

(podľa prepokladu),prm(𝑛) ( ) ⋅ ∏ ∈dom( )⧵{ } prm(𝑖) ( ) = prm(𝑛) ⋅ ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

(na ľavej strane sme rozdelili množinu indexov na dve disjunktné časti, pravú sme vynásobili 1),𝑔 (𝑛) + 1 = 0

(podľa sublemy 2.1 a de inı́ciı́ Prm a prm),čo je však spor.

3 Nech 𝑛 ∈ dom(𝑔 ) ∩ dom(𝑔 ). Potom 𝑔 (𝑛) = 𝑔 (𝑛).

∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ) = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

(podľa prepokladu),prm(𝑛) ( ) ⋅ ∏ ∈dom( )⧵{ } prm(𝑖) ( ) = prm(𝑛) ( ) ⋅ ∏ ∈dom( )⧵{ } prm(𝑖) ( )

(na oboch stranách sme rozdelili množinu indexov na dve disjunktné časti),𝑔 (𝑛) + 1 = 𝑔 (𝑛) + 1


(podľa sublemy 2.1 a de inı́ciı́ Prm a prm),𝑔 (𝑛) = 𝑔 (𝑛).

Zo sublem 2.2 a 2.3 už vyplýva dokazované tvrdenie.Zo sublem 1 a 2 už vyplýva dokazované tvrdenie.

...

D Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia do množinyℕ. De inujme funkciu cff („code of the finite function“ – kód konečnejfunkcie) z množiny FFndom( ) do množiny ℕ takto:Ak 𝑓 ∈ FFndom( ), tak

cff (𝑓) =∈dom( )

prm(𝑖) ( ( )) − 1.

Funkciu cffIdeℕ budeme označovať zjednodušene cff.

P Platı́ tedacff(𝑓) =

∈dom( )prm(𝑖) ( ) − 1.

• Nech 𝐼 = {⟨♡, 0⟩, ⟨♢, 1⟩, ⟨♣, 2⟩, ⟨♠, 3⟩}. Potom platı́:cff ({⟨2,♡⟩, ⟨4,♢⟩, ⟨5,♣⟩})= prm(2) (♡) ⋅ prm(4) (♢) ⋅ prm(5) (♣) − 1,= prm(2) ⋅ prm(4) ⋅ prm(5) − 1,= 5 ⋅ 11 ⋅ 13 − 1,= 1329184.

• cff({⟨2, 5⟩, ⟨4, 3⟩, ⟨5, 0⟩})= prm(2) ⋅ prm(4) ⋅ prm(5) − 1,= 5 ⋅ 11 ⋅ 13 − 1,= 2973953124.

V 5

Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia do ℕ. Funkcia cff je injekcia z FFndom( ) do ℕ.

Nech 𝑓 , 𝑓 ∈ FFndom( ). Potom platı́:cff (𝑓 ) = cff (𝑓 )

(predpoklad s cieľom 𝑓 = 𝑓 ),∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ( )) − 1 = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ( )) − 1

(podľa de inı́cie cff a opäť podľa de inı́cie cff ),∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ( )) = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ( )) ,dom(𝑓 ) = dom(𝑓 ) a pre každé 𝑖 z dom(𝑓 ) platı́ 𝐼(𝑓 (𝑖)) = 𝐼(𝑓 (𝑖))

(podľa základnej vety aritmetiky 4),dom(𝑓 ) = dom(𝑓 ) a pre každé 𝑖 z dom(𝑓 ) platı́ 𝑓 (𝑖) = 𝑓 (𝑖)

(lebo 𝐼 je injektıv́na),𝑓 = 𝑓

(lebo 𝑓 a 𝑓 sú funkcie).


V 6

Nech 𝐵 je bijektıv́na funkcia do ℕ. Funkcia cff je bijekcia z FFndom( ) na ℕ.

1 cff je injektıv́na.

Podľa vety 5, lebo 𝐵 je injekcia.

2 cff je surjektıv́na na ℕ.

Nech 𝑥 ∈ ℕ. Potom platı́:𝑥 + 1 je kladné čı́slo,existuje konečná ℕ-funkcia 𝑔 taká, že 𝑥 + 1 = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( )

(podľa základnej vety aritmetiky 4),existuje funkcia 𝑓 taká, že 𝑓 = 𝑔 ∘𝐵

(lebo 𝐵 je funkcia z ℕ do dom(𝐵), keďže 𝐵 je bijekcia z dom(𝐵) do ℕ),𝑓 je konečná dom(𝐵)-funkcia 𝑓

(lebo rng(𝑓) ⊆ rng(𝐵 ) = dom(𝐵) a dom(𝑓) = dom(𝑔), pričom dom(𝑔) je konečná podmnožinaℕ podľade inı́cie FFndom( )),

𝑓 ∘𝐵 = 𝑔(lebo 𝐵 je bijekcia),

𝑥 = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖)( ∘ )( ) − 1,𝑥 = ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ( )) − 1,𝑥 = cff (𝑓)

(podľa de inı́cie cff ),𝑥 ∈ rng(cff ).

Zo sublem 1 a 2 už vyplýva dokazované tvrdenie.

V 7

Nech𝑀 je spočı́tateľná množina. Potom FFn je spočı́tateľná množina.

Nech 𝐵 je nejaká bijekcia z𝑀 do ℕ. Podľa vety 6 je cff bijekcia z FFndom( ) čiže FFn do ℕ. Z toho už vyplývadokazované tvrdenie.

V 8

Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia doℕ. Nech 𝑓 a 𝑔 sú konečné dom(𝐼)-funkcie. Nech ℎ je injekcia z dom(𝑓) do dom(𝑔)taká, že pre všetky 𝑖 z dom(𝑓) platı́ ℎ(𝑖) ≥ 𝑖 a 𝐼(𝑓(𝑖)) ≤ 𝐼(𝑔(ℎ(𝑖))). Potom

cff (𝑓) ≤ cff (𝑔).

Platı́:cff (𝑓)= ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ( )) − 1

(podľa de inı́cie cff ),≤ ∏ ∈dom( ) prm(𝑖) ( ( ( ))) − 1

(lebo podľa predpokladu 𝐼(𝑓(𝑖)) ≤ 𝐼(𝑔(ℎ(𝑖))) a podľa de inı́ciı́ Prm a prm platı́ prm(𝑖) > 0),≤ ∏ ∈dom( ) prm(ℎ(𝑖)) ( ( ( ))) − 1

(lebo podľa predpokladu platı́ 𝑖 ≤ ℎ(𝑖) a podľa de inı́cie prm a vety 1.1 je funkcia prm všade rastúca),= ∏ ∈{ ∶ ∈dom( )} prm(ℎ(𝑖)) ( ( ( ))) − 1,= ∏ ∈{ ∶ ( )∈ [dom( )]} prm(ℎ(𝑖)) ( ( ( ))) − 1


(keďže ℎ je injektıv́na, tvrdenia 𝑗 ∈ dom(𝑓) a ℎ(𝑗) ∈ ℎ[dom(𝑓)] sú ekvivalentné),= ∏ ∈ [dom( )]} prm(𝑘) ( ( )) − 1,≤ ∏ ∈dom( ) prm(𝑘) ( ( )) − 1

(lebo podľa predpokladu ℎ[dom(𝑓)] ⊆ dom(𝑔)),= cff (𝑔)

(podľa de inı́cie cff ).

V 9

Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia do ℕ. Nech 𝑓 a 𝑔 sú konečné dom(𝐼)-funkcie. Nech 𝑘 je prirodzené čı́slo také, žeak 𝑖 ∈ dom(𝑓), tak 𝑘 + 𝑖 ∈ dom(𝑔). Nech pre všetky 𝑖 z dom(𝑓) platı́ 𝐼(𝑓(𝑖)) ≤ 𝐼(𝑔(𝑘 + 𝑖)). Potom


Je to špeciálny prı́pad vety 8, pretože funkcia 𝑖 ↦ 𝑘 + 𝑖 z dom(𝑓) je naozaj injektıv́na do dom(𝑔).

V 10

Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia do ℕ. Nech 𝑓 je konečná dom(𝐼)-funkcia a 𝑛 je prirodzené čı́slo. Potom

cff (𝑓) ≤ cff (shf(𝑓, 𝑛)).

Je to špeciálny prı́pad vety 9, pretože podľa de inı́cie shf platı́, že z 𝑖 ∈ dom(𝑓) vyplýva 𝑛 + 𝑖 ∈ dom(shf(𝑓, 𝑛)),a ak 𝑖 ∈ dom(𝑓), tak 𝑓(𝑖) = (shf(𝑓, 𝑛))(𝑛 + 𝑖), a teda aj 𝐼(𝑓(𝑖)) ≤ 𝐼((shf(𝑓, 𝑛))(𝑛 + 𝑖)).

V 11

Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia do ℕ. Nech 𝑓 a 𝑔 sú konečné dom(𝐼)-funkcie také, že dom(𝑓) ⊆ dom(𝑔). Nech prevšetky 𝑖 z dom(𝑓) platı́ 𝐼(𝑓(𝑖)) ≤ 𝐼(𝑔(𝑖)). Potom


Je to špeciálny prı́pad vety 9, pretože podmienka dom(𝑓) ⊆ dom(𝑔) znamená, že ak 𝑖 ∈ dom(𝑓), tak 𝑖 ∈ dom(𝑔).

A1.4 Konečné postupnosti 16A1.4 Konečné postupnosti 16A1.4 Konečné postupnosti 16

A1.4 Konečné postupnosti

...

P Pripomeňme, že každé prirodzené čı́slo je množinou všetkých prirodzených čı́sel od neho menšı́ch. Ak teda𝑚, 𝑛 ∈ ℕ, tak𝑚 ∈ 𝑛 znamená𝑚 < 𝑛, ale aj𝑚 ⊆ 𝑛.

D • Nech𝑀 je množina. Konečnou𝑀-postupnosťou nazveme každú konečnú𝑀-funkciu 𝛼 takú, že dom(𝛼) ∈ ℕ.Množinuvšetkýchkonečných𝑀-postupnostı́ označı́me FSq („finite𝑀-sequences“ –konečné𝑀-postupnosti).

• Pod konečnou postupnosťou budeme rozumieť konečnú𝑀-postupnosť, kde𝑀 je nejaká množina.• Nech𝑀 je množina a 𝑛 ∈ ℕ. Potom Konečnou𝑀-postupnosťou dĺžky 𝑛 nazveme každú konečnú𝑀-funkciu 𝛼takú, že dom(𝛼) = 𝑛.Množinu všetkých konečných𝑀-postupnostı́ dlžky 𝑛 označı́me FSq („finite sequences“ – konečné postup-nosti).

• Množinu FSqℕ budeme označovať zjednodušene FSq.• Množinu FSqℕ budeme označovať zjednodušene FSq .

• Ak 𝛼 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩}, tak 𝛼 je konečnáℕ-postupnosť dlžky 3, lebo dom(𝛼) = {0, 1, 2} = 3 ∈ ℕ a rng(𝛼) ={2, 3, 4} ⊆ ℕ.


((((

∘)∧

())→((

∘)∘

∘))↔((

∘)→

(()→

((∘

)∘∘

))))→

→((((

∘)∧

())→((

∘)∘

∘))→((

∘)→

(()→

((∘

)∘∘

))))

(((

∘)∧

())→((

∘)∘

∘))↔((

∘)→

(()→

((∘

)∘∘

)))

(((

∘)∧

())→((

∘)∘

∘))→((

∘)→

(()→

((∘

)∘∘

)))

((∘

)∧(

))→((

∘)∘

∘)

(∘

)→((

)→((

∘)∘

∘))

(∀(

∘))→(

∘)

∘

∀(

∘)

∘

()→

((∘

)∘∘

)

(∘

)∘∘

• Ak𝛼 = {⟨0,♡⟩, ⟨1,♣⟩, ⟨2,♢⟩, ⟨3,♡⟩} tak𝛼 je konečná {♡,♢,♣,♠}-postupnosťdlžky4, lebodom(𝛼) = {0, 1, 2, 3} =4 ∈ ℕ a rng(𝛼) ⊆ {♡,♢,♣,♠}.


(↔

)→(

→)

↔

→

…

… (↔

)→(

→)

↔

→

… …

…

• Ak 𝛼 = {⟨0, 1⟩, ⟨2, 4⟩}, tak 𝛼 nie je konečná ℕ-postupnosť, lebo dom(𝛼) = {0, 2} ∉ ℕ.

P ∅ je konečná𝑀-postupnosť pre ľubovoľnú množinu𝑀, lebo dom(𝛼) = ∅ = 0 ∈ ℕ a rng(𝛼) = ∅ ⊆ 𝑀.

D Konečnú postupnosť ∅ budeme označovať ε.

P Ak 𝑛 = dom(𝛼) = 0, pod zápismi (𝛼(0), … , 𝛼(𝑛 − 1)) či 𝛼(0)…𝛼(𝑛 − 1) budeme rozumieť ε čiže ∅.

P Ak 𝛼 je konečná𝑀-postupnosť pre nejaké𝑀 a dom(𝛼) = 𝑛, tak 𝛼 zapisujeme v ďalšı́ch ekvivalentných tvaroch:• (𝛼(𝑖) ∶ 𝑖 ∈ 𝑛),• (𝛼(𝑖) ∶ 𝑖 < 𝑛),• (𝛼(𝑖)) ∈ ,• (𝛼(𝑖)) ,• (𝛼(0), … , 𝛼(𝑛 − 1)),• 𝛼(0)…𝛼(𝑛 − 1).

• (2, 4, 3) je konečná ℕ-postupnosť {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩}.

• (♡,♣,♢,♡) je konečná {♡,♢,♣,♠}-postupnosť {⟨0,♡⟩, ⟨1,♣⟩, ⟨2,♢⟩, ⟨3,♡⟩}.

• (𝑖 ) čiže (0, 1, 4, 9, 16) je konečná ℕ-postupnosť {⟨0, 0⟩, ⟨1, 1⟩, ⟨2, 4⟩, ⟨3, 9⟩, ⟨4, 16⟩}.

• () je ∅.

V 1

Nech 𝛼 je konečná postupnosť. Potom platı́ dom(𝛼) = 0 práve keď 𝛼 = ε.

dom(𝛼) = 0,akk dom(𝛼) = ∅,akk 𝛼 = ∅,akk 𝛼 = ε

(podľa de inı́cie ε).


V 2

Nech𝑀 je najviac spočı́tateľná neprázdna množina. Potom FSq je spočı́tateľná množina.

Nech𝑚 je ľubovoľný prvok𝑀. Nech 𝐹 je funkcia z ℕ do FSq de inovaná vzťahom 𝐹(𝑛) = 𝑛 × {𝑚}.

1 𝐹 je injektıv́na.

𝐹(𝑛 ) = 𝐹(𝑛 )(predpoklad s cieľom 𝑛 = 𝑛 ),

𝑛 × {𝑚} = 𝑛 × {𝑚}(podľa de inı́cie 𝐹),

dom(𝑛 × {𝑚}) = dom(𝑛 × {𝑚}),𝑛 = 𝑛 .

2 |ℕ| ≤ |FSq |.

Je to dôsledok sublemy 1.

3 |FSq | ≤ |ℕ|.

|FSq |≤ |FFn |

(lebo podľa de inı́cie FSq platı́ FSq ⊆ FFn ),= |ℕ|

(podľa vety 3.6).Zo sublem 2 a 3 už dostávame dokazované tvrdenie.

V 3

Nech𝑀 je spočı́tateľná množina a 𝑛 ∈ ℕ, pričom 𝑛 > 0. Potom FSq je spočı́tateľná množina.

Nech 𝐵 je bijekcia z𝑀 do ℕ. Nech 𝐹 je funkcia z ℕ do FSq de inovaná vzťahom 𝐹(𝑚) = (𝑏 (𝑚)) .


𝐹(𝑚 ) = 𝐹(𝑚 )(predpoklad s cieľom𝑚 = 𝑚 ),

(𝐵 (𝑚 )) = (𝐵 (𝑚 ))(podľa de inı́cie 𝐹),

(𝐵 (𝑚 ))(0) = (𝐵 (𝑚 ))(0),𝐵 (𝑚 ) = 𝐵 (𝑚 ),𝐵(𝐵 (𝑚 )) = 𝐵(𝐵 (𝑚 )),𝑚 = 𝑚 .

2 |ℕ| ≤ |FSq |.

Je to dôsledok sublemy 1.

3 |FSq | ≤ |ℕ|.

|FSq |≤ |FSq |

(lebo podľa de inı́cie FSq platı́ FSq ⊆ FSq ),= |ℕ|

(podľa vety 2).Zo sublem 2 a 3 už dostávame dokazované tvrdenie.


P Vety 2 a 3.6 zabezpečujú korektnosť nasledujúcej de inı́cie.

D Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia doℕ. De inujme funkciu cfs („code of the finite sequence“ – kód konečnej postup-nosti) z množiny FSqdom( ) množiny ℕ vzťahom

cfs = dencff ↾FSqdom( ) .

Funkciu cfsIdeℕ budeme označovať zjednodušene cfs.

P Platı́ tedacfs = dencff↾FSq.

• Podľa de inı́cie cff platı́:• 0 = 1 − 1 = cff(ε), pričom ε ∈ FSq.• 1 = 2 − 1 = prm(0) − 1 = cff({⟨0, 0⟩}) = cff((0)), pričom (0) ∈ FSq.• 2 = 3 − 1 = prm(1) − 1 = cff({⟨1, 0⟩}), pričom ({⟨1, 0⟩}) ∉ FSq.• 3 = 4 − 1 = 2 − 1 = prm(0) − 1 = cff({⟨0, 1⟩}) = cff((1)), pričom (1) ∈ FSq.• 4 = 5 − 1 = prm(2) − 1 = cff({⟨2, 0⟩}), pričom {⟨2, 0⟩} ∉ FSq.• 5 = 6−1 = 2 ⋅ 3−1 = prm(0) ⋅ prm(1) − 1 = cff({⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}) = cff((0, 0)), pričom (0, 0) ∈ FSq.• 6 = 7 − 1 = prm(3) − 1 = cff({⟨3, 0⟩}), pričom {⟨3, 0⟩} ∉ FSq.• 7 = 8 − 1 = 2 − 1 = prm(0) − 1 = cff({⟨0, 2⟩}) = cff((2)), pričom (2) ∈ FSq.• 8 = 9 − 1 = 3 − 1 = prm(1) − 1 = cff({⟨3, 1⟩}), pričom {⟨3, 1⟩} ∉ FSq.• 9 = 10 − 1 = 2 ⋅ 5 − 1 = prm(0) ⋅ prm(2) − 1 = cff({⟨0, 0⟩, ⟨2, 0⟩}), pričom {⟨0, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∉ FSq.• 10 = 11 − 1 = prm(4) − 1 = cff({⟨4, 0⟩}), pričom {⟨4, 0⟩} ∉ FSq.• 11 = 12 − 1 = 2 ⋅ 3 − 1 = prm(0) ⋅ prm(1) − 1 = cff({⟨0, 1⟩, ⟨1, 0⟩}) = cff((1, 0)), pričom(1, 0) ∈ FSq.

Všimnime si len riadky s prvkami FSq:• (cff ↾ FSq)(ε) = 0.• (cff ↾ FSq)((0)) = 1.• (cff ↾ FSq)((1)) = 3.• (cff ↾ FSq)((0, 0)) = 5.• (cff ↾ FSq)((2)) = 7.• (cff ↾ FSq)((1, 0)) = 11.Podľa de inı́cie cfs teda dostávame:• cfs(ε) = dencff[FSq](ε) = 0.• cfs((0)) = dencff[FSq]((0)) = 1.• cfs((1)) = dencff[FSq]((1)) = 2.• cfs((0, 0)) = dencff[FSq]((0, 0)) = 3.• cfs((1, 0)) = dencff[FSq]((1, 0)) = 4.• cfs((2)) = dencff[FSq]((2)) = 5.

V 4

Nech𝑀 je spočı́tateľná množina a 𝐼 je injekcia z𝑀 do ℕ. Potom cfs je bijekcia z FSq na ℕ.

Postupne platı́:cff je injekcia z FFn do ℕ

(podľa vety 3.6),cff ↾ FSq je injekcia z FSq do ℕ,


FSq je nekonečná množina(podľa vety 2),

dencff ↾FSq je bijekcia z FSq na ℕ(podľa vety 1.2),

cfs je bijekcia z FSq na ℕ(podľa de inı́cie cfs ).

V 5

cfs je bijekcia z FSq na ℕ.

Je to špeciálny prı́pad 4 s využitı́m de inı́cie cfs.

V 6

Nech 𝐼 je injektıv́na funkcia do ℕ. Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné dom(𝐼)-postupnosti. Nech 𝑘 je prirodzené čı́slo také,že dom(𝛽) ≥ dom(𝛼) + 𝑘. Nech pre všetky 𝑖 z dom(𝛼) platı́ 𝐼(𝛼(𝑖)) ≤ 𝐼(𝛽(𝑘 + 𝑖)). Potom

cfs (𝛼) ≤ cfs (𝛽).

cff (𝛼) ≤ cff (𝛽)(podľa vety 3.9),

(mmbcff [FSq ]) (cfs (𝛼)) ≤ (mmbcff [FSq ]) (cff (𝛽))(podľa vety 1.1),

((cff ↾ FSqdom( )) ∘(mmbcff [FSqdom( )]) )(𝛼) ≤ ((cff ↾ FSqdom( )) ∘(mmbcff [FSqdom( )]) )(𝛽),cfs (𝛼) ≤ cfs (𝛽)

(podľa de inı́cie cfs a opäť podľa de inı́cie cfs ).

V 7

Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné ℕ-postupnosti. Nech 𝑘 je prirodzené čı́slo také, že dom(𝛽) ≥ dom(𝛼) + 𝑘. Nech prevšetky 𝑖 z dom(𝛼) platı́ 𝛼(𝑖) ≤ 𝛽(𝑘 + 𝑖). Potom

cfs(𝛼) ≤ cfs(𝛽).

Podľa de inı́cie cfs je to špeciálny prı́pad vety 6.

V 8

Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné ℕ-postupnosti a 𝑛 je prirodzené čı́slo. Nech shf(𝛼, 𝑛) ⊆ 𝛽. Potom


Je to špeciálny prı́pad vety 7, pretože podľa de inı́cie shf platı́, že z 𝑖 ∈ dom(𝛼) vyplýva𝑛+𝑖 ∈ dom(shf(𝛼, 𝑛)) ⊆dom(𝛽), a ak 𝑖 ∈ dom(𝛼), tak 𝛼(𝑖) = (shf(𝛼, 𝑛))(𝑛 + 𝑖) = 𝛽(𝑛 + 𝑖), a teda aj 𝛼(𝑖) ≤ 𝛽(𝑛 + 𝑖).

V 9

Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečnéℕ-postupnosti také, že dom(𝛼) ⊆ dom(𝛽). Nech pre všetky 𝑖 z dom(𝛼) platı́ 𝛼(𝑖) ≤ 𝛽(𝑖).Potom



Je to špeciálny prı́pad vety 7, pretože podmienka dom(𝛼) ⊆ dom(𝛽) znamená dom(𝛼) + 0 ≤ dom(𝛽).

D Nech 𝑀 je spočı́tateľná množina. Množinu všetkých injektıv́nych konečných 𝑀-postupnostı́ označı́me FIS(„finite injective sequences“ – konečné injektıv́ne postupnosti).Množinu FIS budeme označovať zjednodušene FIS.

• Konečná ℕ-postupnosť (2, 4, 3) je injektıv́na.

• Konečná ℕ-postupnosť (0, 0) nie je injektıv́na.

• Konečná ℕ-postupnosť (2, 0, 3, 4, 0) nie je injektıv́na.

D Nech 𝐵 je bijekcia z 𝑀 do ℕ. De inujme funkciu cfi („code of the finite injective sequence“ – kód konečnejinjektıv́nej postupnosti) z množiny FISdom( ) množiny ℕ vzťahom

cfi = dencfs ↾FISdom( ) .

Funkciu cfiIdeℕ budeme označovať zjednodušene cfi.

P Platı́ tedacfi = dencfs↾FIS.

• Vieme už, že platı́:• cfs(ε) = 0.• cfs((0)) = 1.• cfs((1)) = 2.• cfs((0, 0)) = 3.• cfs((1, 0)) = 4.• cfs((2)) = 5.Okrem (0, 0) sú všetky uvedené konečné postupnosti injektıv́ne, a teda patriace do FIS Platı́ teda:• (cfs ↾ FIS)(ε) = 0.• (cfs ↾ FIS)((0)) = 1.• (cfs ↾ FIS)((1)) = 2.• (cfs ↾ FIS)((2)) = 4.• (cfs ↾ FIS)((1, 0)) = 5.Podľa de inı́cie cfi teda dostávame:• cfi(ε) = dencfs[FIS](ε) = 0.• cfi((0)) = dencfs[FIS]((0)) = 1.• cfi((1)) = dencfs[FIS]((1)) = 2.• cfi((1, 0)) = dencfs[FIS]((1, 0)) = 3.• cfi((2)) = dencfs[FIS]((2)) = 4.

V 10

Nech𝑀 je spočı́tateľná množina. Potom FIS je spočı́tateľná množina.

Platı́:|ℕ|≤ |FSq |

(podľa vety 3),


≤ |FIS |(lebo podľa de inı́ciı́ FIS a FSq platı́ FSq ⊆ FIS ),

≤ |FSq |(lebo podľa de inı́cie FIS platı́ FIS ⊆ FSq ),

= |ℕ|(podľa vety 2).

Z toho už vyplýva dokazované tvrdenie.

V 11Nech 𝐵 je bijekcia z𝑀 do ℕ. Potom cfi je bijekcia z FISdom( ) na ℕ.

Postupne platı́:cfs je injekcia z FSqdom( ) do ℕ

(podľa vety 4),cfs ↾ FISdom( ) je injekcia z FISdom( ) do ℕ,FISdom( ) je nekonečná množina

(podľa vety 10),dencfs ↾FSqdom( ) je bijekcia z FSqdom( ) na ℕ

(podľa vety 1.2),cfi je bijekcia z FISdom( ) na ℕ

(podľa de inı́cie cfi ).

V 12cfi je bijekcia z FIS na ℕ.

Je to špeciálny prı́pad 11 s využitı́m de inı́cie cfi.

Zobrazenie cff sa dá využiť i na zostrojenie istej párujúcej funkcie, pomocou ktorej potom skonštruuejeme rozkladmnožiny ℕ na spočı́tateľne veľ spočı́tatených množı́n:

D De inujme zobrazenie paf („pairing function“ – párujúca funkcia) z ℕ na ℕ vzťahom

paf(𝑚, 𝑛) = dencfs↾FSq ((𝑚, 𝑛)).

V 13

paf je bijekcia z ℕ na ℕ.

1 dencfs↾FSq je bijekcia z FSq na ℕ.

cfs je injekcia z FSq do ℕ(podľa vety 5),

cfs ↾ FSq je injekcia z FSq do ℕ,FSq je spočı́tateľná množina

(podľa vety 3),dencfs↾FSq je bijekcia z FSq na ℕ

(podľa vety 1.2),

2 paf je injekcia z ℕ na ℕ.


Nech ⟨𝑚,𝑛 ⟩, ⟨𝑚 , 𝑛⟩ ∈ ℕ . Potom platı́:paf(𝑚 , 𝑛 ) = paf(𝑚 , 𝑛 )

(predpoklad s cieľom ⟨𝑚,𝑛 ⟩ = ⟨𝑚 , 𝑛 ⟩),dencfs↾FSq ((𝑚 , 𝑛 )) = dencfs↾FSq ((𝑚 , 𝑛 ))

(podľa de inı́cie paf a opäť podľa de inı́cie paf),(𝑚 , 𝑛 ) = (𝑚 , 𝑛 )

(podľa sublemy 1),𝑚 = 𝑚 a 𝑛 = 𝑛 ,⟨𝑚 , 𝑛 ⟩ = ⟨𝑚 , 𝑛 ⟩.

3 paf je surjekcia z ℕ na ℕ.

Nech 𝑘 ∈ ℕ. Potom platı́:𝑘 ∈ ℕ

(predpoklad s cieľom 𝑘 ∈ rng(paf)),existuje 𝛼 z FSq , že dencfs↾FSq (𝛼) = 𝑘

(podľa sublemy 1),existujú𝑚 a 𝑛 z ℕ, že 𝛼 = (𝑚, 𝑛)

(podľa de inı́cie FSq ),dencfs↾FSq ((𝑚, 𝑛)) = 𝑘,paf(𝑚, 𝑛) = 𝑘

(podľa de inı́cie paf),𝑘 ∈ rng(paf).

Tvrdenie vyplýva zo sublem 1 a 2.

D Nech𝑚 ∈ ℕ. De inujme množinu Dcm („decomposition of ℕ“ – rozklad množiny ℕ) z ℕ na Pow(ℕ) vzťahom

Dcm = {paf(𝑚, 𝑛) ∶ 𝑛 ∈ ℕ}.

V 14

{Dcm ∶ 𝑚 ∈ ℕ} je rozklad množiny ℕ na nekonečne mnoho nekonečných množı́n. Navyše ak 𝑚 ,𝑚 ∈ ℕa𝑚 ≠ 𝑚 , tak Dcm ∩ Dcm = ∅.

1 Nech𝑚 ∈ ℕ. Potom Dcm je spočı́tateľná množina.

Nech 𝐹 je funkcia z ℕ do ℕ de inovaná vzťahom 𝐹(𝑛) = paf(𝑚, 𝑛).

1.1 𝐹 je injekcia.

Nech 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ. Potom postupne platı́:𝐹(𝑛 ) = 𝐹(𝑛 )

(predpoklad s cieľom 𝑛 = 𝑛 ),paf(𝑚, 𝑛 ) = paf(𝑚, 𝑛 )

(predpoklad s cieľom 𝑛 = 𝑛 ),⟨𝑚, 𝑛 ⟩ = ⟨𝑚, 𝑛 ⟩

(podľa vety 13),𝑛 = 𝑛 .

Potom platı́:|Dcm |


= |{paf(𝑚, 𝑛) ∶ 𝑛 ∈ ℕ}|(podľa de inı́cie Dcm ),

= |{𝐹(𝑛) ∶ 𝑛 ∈ ℕ}|(podľa de inı́cie 𝐹),

= |𝐹[ℕ]|,≥ |ℕ|

(podľa sublemy 1.1),|Dcm |

(lebo Dcm ⊆ ℕ).

2 Nech𝑚 ,𝑚 ∈ ℕ. Nech Dcm ∩ Dcm ≠ ∅. Potom𝑚 = 𝑚 .

Postupne platı́:Dcm ∩ Dcm ≠ ∅

(predpoklad),existuje 𝑘, že 𝑘 ∈ Dcm ∩ Dcm ,pre obe 𝑖 z {0, 1} platı́ 𝑘 ∈ Dcm ,pre obe 𝑖 z {0, 1} platı́ 𝑘 ∈ {paf(𝑚 , 𝑛) ∶ 𝑛 ∈ ℕ}

(podľa de inı́cie Dcm ),pre obe 𝑖 z {0, 1} existuje 𝑛 , že platı́ 𝑘 = paf(𝑚 , 𝑛 ),𝑘 = paf(𝑚 , 𝑛 ) a 𝑘 = paf(𝑚 , 𝑛 ),paf(𝑚 , 𝑛 ) = paf(𝑚 , 𝑛 ),⟨𝑚 , 𝑛 ⟩ = ⟨𝑚 , 𝑛 ⟩

(podľa vety 13),𝑚 = 𝑚 .

3 Nech 𝑘 ∈ ℕ. Potom existuje𝑚 z ℕ, že 𝑘 ∈ Dcm .

Postupne platı́:existujú𝑚 a 𝑙 z ℕ, že paf(𝑚, 𝑛) = 𝑘

(podľa vety 13),𝑘 ∈ {paf(𝑚, 𝑙) ∶ 𝑙 ∈ ℕ},𝑘 ∈ Dcm

(podľa de inı́cie Dcm ).Tvrdenie vyplýva zo sublem 1, 2 a 3.

A1.5 Konkatenácia 26A1.5 Konkatenácia 26A1.5 Konkatenácia 26

A1.5 Konkatenácia

...

D Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné postupnosti. Potom de inujme 𝛼 ‖ 𝛽 vzťahom

𝛼 ‖ 𝛽 = 𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼)).

Potom 𝛼 ‖ 𝛽 nazveme konkatenácia konečných postupnostı́ 𝛼 a 𝛽.

• Nech platı́:• 𝛼 = (2, 4, 3) = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩}.

↔

→

…

…

↔

→

… …

…

• 𝛽 = (3, 6) = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}.


((((

∧)→

(∧

))∧((

∧)→

))→((

∧)→

))↔

↔(((

∧)→

(∧

))→(((

∧)→

)→((

∧)→

)))

((((

∧)→

(∧

))∧((

∧)→

))→((

∧)→

))→

→(((

∧)→

(∧

))→(((

∧)→

)→((

∧)→

)))

(((

∧)→

(∧

))∧((

∧)→

))→((

∧)→

)

((∧

)→(

∧))→(((

∧)→

)→((

∧)→

))

(∧

)↔(

∧)

(∧

)→(

∧)

((∧

)→)→

((∧

)→)

(∧

)→

(∧

)→

Potom platı́:𝛼 ‖ 𝛽= (2, 4, 3) ‖ (3, 6),= {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩} ‖ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩},= {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩} ∪ shf({⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}, 3)

(podľa de inı́cie konkatenácie, pričom dom(𝛼) = 3),= {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩} ∪ {⟨0 + 3, 3⟩, ⟨1 + 3, 6⟩},= {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩} ∪ {⟨3, 3⟩, ⟨4, 6⟩},= {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩, ⟨2, 3⟩, ⟨3, 3⟩, ⟨4, 6⟩},= (2, 4, 3, 3, 6).

A1.5 Konkatenácia 28A1.5 Konkatenácia 28A1.5 Konkatenácia 28((((

↔)→

((→

)∧(

→)))∧

(((

→)∧

(→

))→(

→)))→

((↔

)→(

→)))↔

↔(((

↔)→

((→

)∧(

→)))→

((((

→)∧

(→

))→(

→))→((

↔)→

(→

))))

((((

↔)→

((→

)∧(

→)))∧

(((

→)∧

(→

))→(

→)))→

((↔

)→(

→)))→

→(((

↔)→

((→

)∧(

→)))→

((((

→)∧

(→

))→(

→))→((

↔)→

(→

))))

(((

↔)→

((→

)∧(

→)))∧

(((

→)∧

(→

))→(

→)))→

((↔

)→(

→))

((↔

)→((

→)∧

(→

)))→

((((

→)∧

(→

))→(

→))→((

↔)→

(→

)))

(↔

)↔((

→)∧

(→

))

(↔

)→((

→)∧

(→

))

(((

→)∧

(→

))→(

→))→((

↔)→

(→

))

(((((

→)∧

(→

))→((

→)∧

(→

)))∧

(((

→)∧

(→

))→(

→)))→

(((

→)∧

(→

))→(

→)))↔

↔((((

→)∧

(→

))→((

→)∧

(→

)))→

((((

→)∧

(→

))→(

→))→(((

→)∧

(→

))→(

→))))

(((((

→)∧

(→

))→((

→)∧

(→

)))∧

(((

→)∧

(→

))→(

→)))→

(((

→)∧

(→

))→(

→)))→

→((((

→)∧

(→

))→((

→)∧

(→

)))→

((((

→)∧

(→

))→(

→))→(((

→)∧

(→

))→(

→))))

((((

→)∧

(→

))→((

→)∧

(→

)))∧

(((

→)∧

(→

))→(

→)))→

(((

→)∧

(→

))→(

→))

(((

→)∧

(→

))→((

→)∧

(→

)))→

((((

→)∧

(→

))→(

→))→(((

→)∧

(→

))→(

→)))

((→

)∧(

→))↔((

→)∧

(→

))

((→

)∧(

→))→((

→)∧

(→

))

(((

→)∧

(→

))→(

→))→(((

→)∧

(→

))→(

→))

((→

)∧(

→))→(

→)

((→

)∧(

→))→(

→)

(↔

)→(

→)

• (3, 6) ‖ (2, 4, 3) = (3, 6, 2, 4, 3).


P Predchádzajúce dva prı́klady ukazujú, že konkatenácia nie je komutatıv́na.

V 1

Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné postupnosti. Potom platı́:• 𝛼 ‖ 𝛽 je konečná postupnosť.• dom(𝛼 ‖ 𝛽) = dom(𝛼) + dom(𝛽).• rng(𝛼 ‖ 𝛽) = rng(𝛼) ∪ rng(𝛽).

1 𝛼 ‖ 𝛽 je množina usporiadaných dvojı́c.

Postupne platı́:𝛼 je množina usporiadaných dvojı́c

(podľa de inı́cie konečnej postupnosti),𝛽 je množina usporiadaných dvojı́c

(podľa de inı́cie konečnej postupnosti),shf(𝛽, dom(𝛼)) je množina usporiadaných dvojı́c

(podľa de inı́ciı́ konečnej postupnosti a shf),𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼)) je množina usporiadaných dvojı́c,𝛼 ‖ 𝛽 je množina usporiadaných dvojı́c

(podľa de inı́cie konkatenácie).

2 𝛼 ‖ 𝛽 je funkcia.

Postupne platı́:⟨𝑛,𝑚 ⟩, ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ 𝛼 ‖ 𝛽

(predpoklad s cieľom𝑚 = 𝑚 ),⟨𝑛,𝑚 ⟩, ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ (𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼))

(podľa de inı́cie konkatenácie),⟨𝑛,𝑚 ⟩, ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ 𝛼

alebo ⟨𝑛,𝑚 ⟩, ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∫ shf(𝛽, dom(𝛼))alebo ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ 𝛼 a ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ shf(𝛽, dom(𝛼)), kde {𝑘, 𝑙} = {0, 1},

𝑚 = 𝑚 alebo𝑚 = 𝑚 alebo ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ 𝛼 a ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ shf(𝛽, dom(𝛼)), kde {𝑘, 𝑙} = {0, 1}(lebo 𝛼 a shf(𝛽, dom(𝛼)) sú funkcie),

𝑚 = 𝑚 alebo ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ 𝛼 a ⟨𝑛,𝑚 ⟩ ∈ shf(𝛽, dom(𝛼)), kde {𝑘, 𝑙} = {0, 1},𝑚 = 𝑚 alebo 𝑛 ∈ dom(𝛼) a 𝑛 ∈ dom(shf(𝛽, dom(𝛼)))𝑚 = 𝑚 alebo 𝑛 ∈ dom(𝛼) ∩ dom(shf(𝛽, dom(𝛼))),𝑚 = 𝑚 alebo 𝑛 ∈ ∅

(podľa vety 2.1).𝑚 = 𝑚

(druhá možnosť je sporná).Podľa sublemy 1 už dostávame dokazované tvrdenie.

3 dom(𝛼 ‖ 𝛽) = dom(𝛼) + dom(𝛽).

dom(𝛼 ‖ 𝛽)= dom(𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼)))

(podľa de inı́cie konkatenácie),


= dom(𝛼) ∪ dom(shf(𝛽, dom(𝛼))),= dom(𝛼) ∪ {𝑖 ∈ ℕ ∶ 𝑖 − dom(𝛼) ∈ dom(𝛽)}

(podľa de inı́cie shf),= dom(𝛼) ∪ {𝑖 ∈ ℕ ∶ 0 ≤ 𝑖 − dom(𝛼) < dom(𝛽)}

(lebo podľa de inı́cie konečnej𝑀-postupnosti je 𝛼 je funkcia z podmnožiny ℕ),= dom(𝛼) ∪ {𝑖 ∈ ℕ ∶ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛼) + dom(𝛽)},= {𝑖 ∈ ℕ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝛼)} ∪ {𝑖 ∈ ℕ ∶ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛼) + dom(𝛽)},= {𝑖 ∈ ℕ ∶ 𝑖 < dom(𝛼)} ∪ {𝑖 ∈ ℕ ∶ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛼) + dom(𝛽)},= {𝑖 ∈ ℕ ∶ (𝑖 < dom(𝛼)) ∨ (dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛼) + dom(𝛽))},= {𝑖 ∈ ℕ ∶ 𝑖 < dom(𝛼) + dom(𝛽)},= {𝑖 ∈ ℕ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝛼) + dom(𝛽)},= dom(𝛼) + dom(𝛽)

(lebo dom(𝛼) + dom(𝛽) ⊆ ℕ).

3 rng(𝛼 ‖ 𝛽) = rng(𝛼) ∪ rng(𝛽).

rng(𝛼 ‖ 𝛽)= rng(𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼)))

(podľa de inı́cie konkatenácie),= rng(𝛼) ∪ rng(shf(𝛽, dom(𝛼))),= rng(𝛼) ∪ rng(𝛽)

(podľa vety 2.2).Zo sublem 1, 2 a 3 už dostávame dokazované tvrdenie.

V 2

Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné postupnosti Nech𝑀 je množina. Potom 𝛼 ∈ FSq a 𝛽 ∈ FSq práve vtedy, keď 𝛼 ‖ 𝛽 ∈FSq .𝛼 ∈ FSq a 𝛽 ∈ FSq ,akk rng(𝛼) ⊆ 𝑀 a rng(𝛽) ⊆ 𝑀

(podľa de inı́cie FSq a opäť podľa de inı́cie FSq ),akk rng(𝛼) ∪ rng(𝛽) ⊆ 𝑀,akk rng(𝛼 ‖ 𝛽) ⊆ 𝑀

(podľa vety 1),𝛼 ‖ 𝛽 ∈ FSq

(podľa de inı́cie FSq ).

V 3

Nech 𝑀 je množina. Nech 𝛼 je konečná 𝑀-postupnosť a 𝛼 ≠ ε. Potom existuje konečná 𝑀-postupnosť 𝛽 že𝛼 = (𝛼(0)) ‖ 𝛽.

Postupne platı́:𝛼 = (𝛼(𝑖)) dom( )

(lebo 𝛼 ∈ FSq ),𝛼 = (𝛼(0)) ‖ (𝛼(𝑖 + 1)) dom( )

(lebo podľa vety 4.1 platı́ dom(𝛼) ≥ 1),(𝛼(0)) ∈ FSq a (𝛼(𝑖 + 1)) dom( ) ∈ FSq

(podľa vety 2, lebo podľa predpokladu 𝛼 ∈ FSq ),existuje 𝛽 z FSq , že 𝛼 = (𝛼(0)) ‖ 𝛽

(stačı́ za 𝛽 vziať (𝛼(𝑖 + 1)) dom( ) ∈ FSq ),


V 4

Nech𝑚 je množina a 𝛼 je konečná postupnosť. Potom platı́:• dom((𝑚) ‖ 𝛼) ≥ 1.• ((𝑚) ‖ 𝛼)(0) = 𝑚.

• Platı́:dom((𝑚) ‖ 𝛼)= dom((𝑚)) + dom(𝛼)

(podľa vety 1),= 1 + dom(𝛼),≥ 1.

• 𝑚= ((𝑚))(0)

(podľa už dokázanej časti),= ((𝑚) ‖ 𝛼)(0)

(lebo podľa de inı́cie konkatenácie platı́ (𝑚) ⊆ (𝑚) ‖ 𝛼).

V 5 (asociativita konkatenácie)Nech 𝛼, 𝛽 a 𝛾 sú konečné postupnosti. Potom platı́

𝛼 ‖ (𝛽 ‖ 𝛾) = (𝛼 ‖ 𝛽) ‖ 𝛾.

𝛼 ‖ (𝛽 ‖ 𝛾)= 𝛼 ∪ shf(𝛽 ‖ 𝛾, dom(𝛼))

(podľa de inı́cie konkatenácie),= 𝛼 ∪ shf(𝛽 ∪ shf(𝛾, dom(𝛽)), dom(𝛼))

(podľa de inı́cie konkatenácie),= 𝛼 ∪ (shf(𝛽, dom(𝛼)) ∪ shf(shf(𝛾, dom(𝛽)), dom(𝛼)))

(podľavety 2.5, ktorej podmienka, že𝛽∪shf(𝛾, dom(𝛽)) je funkcia, je splnená, lebopodľade inı́cie konkatenácieplatı́ 𝛽 ∪ shf(𝛾, dom(𝛽)) = 𝛽 ‖ 𝛾),

= (𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼))) ∪ shf(shf(𝛾, dom(𝛽)), dom(𝛼)),= (𝛼 ‖ 𝛽) ∪ shf(shf(𝛾, dom(𝛽)), dom(𝛼))

(podľa de inı́cie konkatenácie),= (𝛼 ‖ 𝛽) ∪ shf(𝛾, dom(𝛽) + dom(𝛼))

(podľa vety 2.4),= (𝛼 ‖ 𝛽) ∪ shf(𝛾, dom(𝛼) + dom(𝛽)),= (𝛼 ‖ 𝛽) ∪ shf(𝛾, dom(𝛼 ‖ 𝛽))

(podľa vety 1),= (𝛼 ‖ 𝛽) ‖ 𝛾

(podľa de inı́cie konkatenácie).

• Nech 𝛼 = (2, 4, 3), 𝛽 = (7, 1) a 𝛾 = (2, 3, 8, 2).

Potom platı́:• 𝛽 ‖ 𝛾 = (7, 1, 2, 3, 8, 2).


• 𝛼 ‖ (𝛽 ‖ 𝛾) = (2, 4, 3, 7, 1, 2, 3, 8, 2).

• 𝛼 ‖ 𝛽 = (2, 4, 3, 7, 1).

• (𝛼 ‖ 𝛽) ‖ 𝛾 = (2, 4, 3, 7, 1, 2, 3, 8, 2).

Ako môžeme vidieť, naozaj tu platı́ 𝛼 ‖ (𝛽 ‖ 𝛾) = (𝛼 ‖ 𝛽) ‖ 𝛾.

V 6 (neutrálny prvok konkatenácie)Nech 𝛼 je konečná ℕ-postupnosť. Potom platı́ 𝛼 ‖ ε = ε ‖ 𝛼 = 𝛼.

• 𝛼 ‖ ε= 𝛼 ∪ shf(ε, dom(𝛼))

(podľa de inı́cie konkatenácie),= 𝛼 ∪ shf(∅, dom(𝛼))

(podľa de inı́cie ε),= 𝛼 ∪ ∅

(podľa vety 2.6),= 𝛼.

• ε ‖ 𝛼= ε ∪ shf(𝛼, dom(ε))

(podľa de inı́cie konkatenácie),= ∅ ∪ shf(𝛼, dom(∅))

(podľa de inı́cie ε),= shf(𝛼, dom(∅)),= shf(𝛼, 0),= 𝛼

(podľa vety 2.7).

P Vety 5 a 6 znamenajú, že pre každú množinu 𝑀 je množina FSq s asociatıv́nou operáciou ‖ a neutrálnymprvkom εmonoid.

V 7

Nech 𝛼, 𝛽 a 𝛽 sú konečné postupnosti. Potom

𝛼 ‖ 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛽 , práve keď 𝛽 = 𝛽 .

→ Postupne platı́:𝛼 ‖ 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛽

(predpoklad s cieľom 𝛽 = 𝛽 ),𝛼 ∪ shf(𝛽 , dom(𝛼)) = 𝛼 ∪ shf(𝛽 , dom(𝛼))


(podľa de inı́cie konkatenácie a opäť podľa de inı́cie konkatenácie),(𝛼 ∪ shf(𝛽 , dom(𝛼))) ⧵ 𝛼 = (𝛼 ∪ shf(𝛽 , dom(𝛼))) ⧵ 𝛼,shf(𝛽 , dom(𝛼)) ⧵ 𝛼 = shf(𝛽 , dom(𝛼)) ⧵ 𝛼,shf(𝛽 , dom(𝛼)) = shf(𝛽 , dom(𝛼))

(podľa vety 2.1 a opäť podľa vety 2.1),akk 𝛽 = 𝛽

(podľa vety 2.3).← Tvrdenie platı́ triviálne.

V 8

Nech pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́ je𝑚 množina a 𝛼 konečná postupnosť. Potom (𝑚 ) ‖ 𝛼 = (𝑚 ) ‖ 𝛼 , právekeď𝑚 = 𝑚 a 𝛼 = 𝛼 .→ (𝑚 ) ‖ 𝛼 = (𝑚 ) ‖ 𝛼 ,

((𝑚 ) ‖ 𝛼 )(0) = ((𝑚 ) ‖ 𝛼 )(0)(podľa vety 4 a opäť podľa vety 4),

𝑚 = 𝑚(podľa vety 4 a opäť podľa vety 4),

(𝑚 ) ‖ 𝛼 = (𝑚 ) ‖ 𝛼 ,𝛼 = 𝛼

(podľa vety 7).← Tvrdenie je pravdivé triviálne.

V 9

Nech 𝑀 je množina. Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné 𝑀-postupnosti také, že 𝛼 ⊆ 𝛽. Potom existuje jediná konečnápostupnosť 𝛾 taká, že 𝛼 ‖ 𝛾 = 𝛽. Navyše 𝛾 je𝑀-postupnosť.

1 dom(𝛼) ≤ dom(𝛽).

𝛼 ⊆ 𝛽(predpoklad),

dom(𝛼) ⊆ dom(𝛽),dom(𝛼) ∈ ℕ

(podľa de inı́cie FSq ),dom(𝛽) ∈ ℕ

(podľa de inı́cie FSq ),dom(𝛼) ≤ dom(𝛽).

Podľa sublemy 1 teda môžeme de inovať konečnú postupnosť 𝛾 vzťahom

𝛾 = (𝛽(dom(𝛼) + 𝑖)) dom( ) dom( ).

Potom platı́:

2 rng(𝛾) ⊆ 𝑀.

rng(𝛾)= rng((𝛽(dom(𝛼) + 𝑖)) dom( ) dom( )),⊆ rng(𝛽)⊆ 𝑀

(podľa de inı́cie FSq ).

3 𝛼 ‖ 𝛾 = 𝛽.

𝛼 ‖ 𝛾


= 𝛼 ∪ shf(𝛾, dom(𝛼))(podľa de inı́cie konkatenácie),

= 𝛼 ∪ {⟨𝑖, (shf(𝛾, dom(𝛼)))(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(shf(𝛾, dom(𝛼)))}(lebo shf(𝛾, dom(𝛼)) je podľa de inı́cie shf funkcia),

= 𝛼 ∪ {⟨𝑖, 𝛾(𝑖 − dom(𝛼))⟩ ∶ 𝑖 − dom(𝛼) ∈ dom(𝛾)}(podľa de inı́cie shf),

= 𝛼 ∪ {⟨𝑖, 𝛾(𝑖 − dom(𝛼))⟩ ∶ 0 ≤ 𝑖 − dom(𝛼) < dom(𝛾)}(lebo 𝑖 − dom(𝛼) ∈ ℕ a podľa sublemy 1 platı́ dom(𝛾) ∈ ℕ),

= 𝛼 ∪ {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ 0 ≤ 𝑖 − dom(𝛼) < dom(𝛽) − dom(𝛼)}(podľa de inı́cie 𝛾),

= 𝛼 ∪ {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛽)},= {⟨𝑖, 𝛼(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝛼)} ∪ {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛽)}

(lebo 𝛼 je podľa de inı́cie FSq funkcia),= {⟨𝑖, 𝛼(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 < dom(𝛼)} ∪ {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛽)}

(lebo podľa de inı́cie FSq platı́ dom(𝛼) ∈ ℕ),= {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 < dom(𝛼)} ∪ {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛽)}

(lebo 𝛼 ⊆ 𝛽 a 𝛽 je podľa de inı́cie FSq funkcia),= {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 < dom(𝛼) ∨ dom(𝛼) ≤ 𝑖 < dom(𝛽)},= {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 < dom(𝛽)},= {⟨𝑖, 𝛽(𝑖)⟩ ∶ 𝑖 ∈ dom(𝛽)}

(lebo podľa de inı́cie FSq platı́ dom(𝛼) ∈ ℕ),= 𝛽

(lebo 𝛽 je podľa de inı́cie FSq funkcia).

4 Ak pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́ 𝛼 ‖ 𝛾 = 𝛽, tak 𝛾 = 𝛾 .

Postupne platı́:𝛼 ‖ 𝛾 = 𝛼 ‖ 𝛾

(lebo obe strany sa rovnajú 𝛽),𝛾 = 𝛾

(podľa vety 7).Zo sublem 1, 2, 3 a 4 už vyplýva dokazované tvrdenie.

D Nech 𝐴 je množina a 𝛼 je konečná postupnosť. Potom de inujme množinu Pfx(𝐴, 𝛼) vzťahom

Pfx(𝐴, 𝛼) = {𝛼 ‖ 𝛽 ∶ 𝛽 ∈ 𝐴}.

V 10

Nech 𝐴 a 𝐵 sú množiny konečných postupnostı́. Nech 𝛼 je konečná postupnosť. Potom

𝐴 ⊆ 𝐵 práve vtedy, keď Pfx(𝐴, 𝛼) ⊆ Pfx(𝐵, 𝛼).

→ 𝛾 ∈ Pfx(𝐴, 𝛼)(predpoklad s cieľom 𝛾 ∈ Pfx(𝐴, 𝛼)),

𝛾 ∈ {𝛼 ‖ 𝛽 ∶ 𝛽 ∈ 𝐴}(podľa de inı́cie Pfx),

existuje 𝛽 z 𝐴, že 𝛾 = 𝛼 ‖ 𝛽,existuje 𝛽 z 𝐵, že 𝛾 = 𝛼 ‖ 𝛽

(lebo 𝐴 ⊆ 𝐵),


𝛾 ∈ {𝛼 ‖ 𝛽 ∶ 𝛽 ∈ 𝐵},𝛾 ∈ Pfx(𝐵, 𝛼)

(podľa de inı́cie Pfx).← 𝛽 ∈ 𝐴

(predpoklad s cieľom 𝛾 ∈ 𝐵),𝛼 ‖ 𝛽 ∈ Pfx(𝐴, 𝛼)

(podľa de inı́cie Pfx),𝛼 ‖ 𝛽 ∈ Pfx(𝐵, 𝛼)

(lebo Pfx(𝐴, 𝛼) ⊆ Pfx(𝐵, 𝛼)),existuje 𝛾 z 𝐵, že 𝛼 ‖ 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛾

(podľa de inı́cie Pfx),𝛽 = 𝛾

(podľa vety 7),𝛽 ∈ 𝐵

(lebo 𝛾 ∈ 𝐵).

V 11

Nech 𝛼 je konečná postupnosť. Nech 𝐴 je množina konečných postupnostı́. Potom funkcia 𝐹 z 𝐴 de inovanávzťahom 𝐹(𝛽) = 𝛼 ‖ 𝛽 je bijekcia z 𝐴 na Pfx(𝐴, 𝛼).


Nech 𝛽 , 𝛽 ∈ 𝐴. Potom postupne platı́:𝐹(𝛽 ) = 𝐹(𝛽 )

(predpoklad s cieľom 𝛽 = 𝛽 ),𝛼 ‖ 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛽

(podľa de inı́cie 𝐹),𝛽 = 𝛽

(podľa vety 7).

2 𝐹 je surjektıv́na na Pfx(𝐴, 𝛼).

𝛾 ∈ Pfx(𝐴, 𝛼)(predpoklad s cieľom 𝛾 ∈ rng(𝐹)),

existuje 𝛽 z 𝐴, že 𝛾 = 𝛼 ‖ 𝛽,𝛾 = 𝐹(𝛽)

(podľa de inı́cie 𝐹),𝛾 ∈ rng(𝐹).

Dokazované tvrdenie vyplýva zo sublem 1 a 2.

V 12

Nech𝑀 je množina. Potom platı́:• {{ε}} ∪ {Pfx(FSq , (𝑚))} ∈ je rozklad množiny FSq .• Navyše ak𝑚 ,𝑚 ∈ 𝑀 a Pfx(FSq , (𝑚 )) ∩ Pfx(FSq , (𝑚 )) ≠ ∅, tak𝑚 = 𝑚 .• Ak 𝛽 ∈ FSq , tak 𝛽 ∈ Pfx(FSq , (𝛽(0))).

1 Ak 𝛽 ∈ FSq . Potom 𝛽 ≠ ε práve vtedy, keď dom(𝛽) ≥ 1.

𝛽 ≠ ε,akk 𝛽 ≠ ∅

(podľa de inı́cie ε),


akk dom(𝛽) ≠ ∅,akk dom(𝛽) ≠ 0,akk dom(𝛽) ≥ 1

(lebo podľa de inı́cie FSq platı́ dom(𝛽) ∈ ℕ).

2 Ak𝑚 ∈ 𝑀, tak ε ∉ Pfx(FSq , (𝑚)).

Tvrdenie dokážeme sporom.Postupne platı́:ε ∈ Pfx(FSq , (𝑚))

(predpoklad s cieľom dospieť k sporu),existuje 𝛼 z FSq , že ε = (𝑚) ‖ 𝛼

(podľa de inı́cie Pfx),dom(ε) = dom((𝑚) ‖ 𝛼),dom(ε) = dom((𝑚)) + dom(𝛼)

(podľa vety 1),0 = 1 + dom(𝛼),čo je spor.

3 Ak 𝛽 ∈ FSq a 𝛽 ≠ ε, tak 𝛽(0) ∈ 𝑀 a 𝛽 ∈ Pfx(FSq , (𝛽(0))).

Postupne platı́:𝛽 = (𝛽(𝑖)) dom( )

(lebo 𝛽 ∈ FSq ),𝛽 = (𝛽(0)) ‖ (𝛽(𝑖 + 1)) dom( )

(lebo podľa sublemy 2 platı́ dom(𝛽) ≥ 1),(𝛽(0)) ∈ FSq a (𝛽(𝑖 + 1)) dom( ) ∈ FSq

(podľa vety 2),𝛽(0) ∈ 𝑀,existuje 𝛼 z FSq , že 𝛽 = (𝛽(0)) ‖ 𝛼

(stačı́ za 𝛼 vziať (𝛽(𝑖 + 1)) dom( ) ∈ FSq ),𝛽 ∈ Pfx(FSq , (𝛽(0)))

(podľa de inı́cie Pfx).

4 Ak𝑚 ,𝑚 ∈ 𝑀 a Pfx(FSq , (𝑚 )) ∩ Pfx(FSq , (𝑚 )) ≠ ∅, tak𝑚 = 𝑚 .

Postupne platı́:Pfx(FSq , (𝑚 )) ∩ Pfx(FSq , (𝑚 )) ≠ ∅

(predpoklad),existuje 𝛽, že 𝛽 ∈ Pfx(FSq , (𝑚 )) ∩ Pfx(FSq , (𝑚 )),pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́ 𝛽 ∈ Pfx(FSq , (𝑚 )),pre obe 𝑘 z {0, 1} existuje 𝛼 z FSq , že 𝛽 = (𝑚 ) ‖ 𝛼

(podľa de inı́cie Pfx),(𝑚 ) ‖ 𝛼 = (𝑚 ) ‖ 𝛼

(obe strany rovnosti sa rovnajú 𝛽),𝑚 = 𝑚

(podľa vety 8).


V 13

Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné ℕ-postupnosti. Potom platı́:• cfs(𝛼) ≤ cfs(𝛼 ‖ 𝛽).• cfs(𝛽) ≤ cfs(𝛼 ‖ 𝛽).

Podľa vety 1 je 𝛼 ‖ 𝛽 konečná ℕ-postupnosť, takže znenie vety je korektné.• cfs(𝛼 ‖ 𝛽)= cfs(𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼)))

(podľa de inı́cie konkatenácie),≥ cfs(𝛼)

(podľa vety 4.9).• cfs(𝛼 ‖ 𝛽)= cfs(𝛼 ∪ shf(𝛽, dom(𝛼)))

(podľa de inı́cie konkatenácie),≥ cfs(𝛽)

(podľa vety 4.8).

A1.6 Pre ixy 38A1.6 Pre ixy 38A1.6 Pre ixy 38

A1.6 Pre ixy

...

D Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné postupnosti. Potom budeme hovoriť, že 𝛼 je pre ix 𝛽, a označovať 𝛼 ≼ 𝛽, ak 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛾pre nejakú konečnú postupnosť 𝛾.

• Pre ixmi konečnej postupnosti (♡,♣,♢,♡) sú práve konečné postupnosti• (♡,♣,♢,♡) (lebo (♡,♣,♢,♡) = (♡,♣,♢,♡) ‖ ε),• (♡,♣,♢) (lebo (♡,♣,♢,♡) = (♡,♣,♢) ‖ (♡)),• (♡,♣) (lebo (♡,♣,♢,♡) = (♡,♣) ‖ (♢,♡)),• (♡) (lebo (♡,♣,♢,♡) = (♡) ‖ (♣,♢,♡)),• ε (lebo (♡,♣,♢,♡) = ε ‖ (♡,♣,♢,♡)).

• Pre ixom konečnej postupnosti (2, 4, 3) je naprı́klad konečná postupnosť (2, 4), nie však konečné postupnosti(2, 3), (4, 3) či (2, 2).

V 1

Nech 𝛼 je konečná postupnosť. Potom ε ≼ 𝛼.

𝛼 = ε ‖ 𝛼(podľa vety 5.6),

ε ≼ 𝛼(podľa de inı́cie pre ixu).

V 2

Nech 𝛼 a 𝛽 sú konečné postupnosti. Potom

𝛼 ≼ 𝛽, práve keď 𝛼 ⊆ 𝛽.

→ Postupne platı́:𝛼 ‖ 𝛽

(predpoklad),existuje konečná postupnosť 𝛾, že 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛾

(podľa de inı́cie pre ixu).𝛽 = 𝛼 ∪ shf(𝛾, dom(𝛼))

(podľa de inı́cie konkatenácie),𝛼 ⊆ 𝛽.

← Postupne platı́:𝛼 ⊆ 𝛽

(predpoklad),existuje konečná postupnosť 𝛾, že platı́ 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛾

(podľa vety 5.9),𝛼 ≼ 𝛽

(podľa de inı́cie pre ixu).

V 3

Relácia ≼ je usporiadanie na triede konečných postupnostı́.

A1.6 Pre ixy 39A1.6 Pre ixy 39A1.6 Pre ixy 39

Podľa vety 2 pretože⊆ je usporiadanie na triede Set.

V 4

Nech 𝛼, 𝛽 a 𝛾 sú konečné postupnosti. Potom 𝛼 ‖ 𝛽 ≼ 𝛼 ‖ 𝛾, práve keď 𝛽 ≼ 𝛾.

𝛼 ‖ 𝛽 ≼ 𝛼 ‖ 𝛾,akk existuje konečná postupnosť 𝛿, že 𝛼 ‖ 𝛾 = (𝛼 ‖ 𝛽) ‖ 𝛿

(podľa de inı́cie pre ixu),akk existuje konečná postupnosť 𝛿, že 𝛼 ‖ 𝛾 = 𝛼 ‖ (𝛽 ‖ 𝛿)

(podľa vety 5.5),akk existuje konečná postupnosť 𝛿, že 𝛾 = 𝛽 ‖ 𝛿

(podľa vety 5.7),akk 𝛽 ≼ 𝛾

(podľa de inı́cie pre ixu).

V 5

Nech 𝛼 je konečná postupnosť. Nech 𝐴 je množina konečných postupnostı́. Potom funkcia 𝐹 z 𝐴 de inovanávzťahom 𝐹(𝛽) = 𝛼 ‖ 𝛽 je izomor izmus množı́n 𝐴 a Pfx(𝐴, 𝛼) usporiadaných prı́slušnými zúženiami usporia-dania ≼.• Podľa vety 5.11 je funkcia 𝐹 bijekcia z 𝐴 do Pfx(𝐴, 𝛼).• Nech 𝛽, 𝛾 ∈ 𝐴. Potom platı́:𝑓(𝛽) ≼ 𝑓(𝛾)

(predpoklad s cieľom 𝛽 ≼ 𝛾),akk 𝛼 ‖ 𝛽 = 𝛼 ‖ 𝛾

(podľa de inı́cie 𝐹),akk 𝛽 ≼ 𝛾

(podľa vety 4).Podľa vety 3 a de inı́cie Pfx to znamená, že množina Pfx(𝐴, 𝛼) je usporiadaná reláciou≼ ↾ (Pfx(𝐴, 𝛼)) .

…

A1.7 Stromy 40A1.7 Stromy 40A1.7 Stromy 40

A1.7 Stromy

...

D Neprázdnu konečnú množinu 𝑇 konečných ℕ-postupnostı́ nazveme strom, ak platı́:• Ak 𝛼 ∈ 𝑇 a 𝛽 ≼ 𝛼, tak 𝛽 ∈ 𝑇.• Ak 𝛼 ‖ (𝑘) ∈ 𝑇 a 𝑙 ≤ 𝑘, tak 𝛼 ‖ (𝑙) ∈ 𝑇.Množinu všetkých stromov označı́me Trs („trees“ – stromy).

• Ak strom obsahuje konečnú postupnosť (1, 0, 2, 1), musı́ obsahovať aj tieto konečné postupnosti:• (1, 0, 2) (podľa 1. bodu de inı́cie stromu),• (1, 0) (podľa 1. bodu de inı́cie stromu),• (1) (podľa 1. bodu de inı́cie stromu),• ε (podľa 1. bodu de inı́cie stromu),• (1, 0, 2, 0) (podľa 2. bodu de inı́cie stromu),• (1, 0, 1) (podľa 2. bodu de inı́cie stromu),• (1, 0, 0) (podľa 2. bodu de inı́cie stromu),• (0) (podľa 2. bodu de inı́cie stromu).Okrem nich v ňom ešte môžu byť naprı́klad (0, 0), (0, 1) či (1, 0, 0, 0). Všetky uvedené konečné postupnosti užnaozaj tvoria strom.

P Strom môžeme prehľadne znázorniť vo forme diagramu tvoreného uzlami a ich spojnicami. Uzly budú zod-povedať konečným ℕ-postupnostiam a spojnice budú spájať každú z nich so všetkými jej bezprostrednýmipredlženiami. Všetky konečné ℕ-postupnosti rovnakej dlžky pritom budú ležať na jednej vodorovnej úrovnia konečné ℕ-postupnosti s menšou dlžkou budú vyššie než konečné ℕ-postupnosti s väčšou dlžkou.

• Toto je diagram stromu z predchádzajúceho prı́kladu, uzly sú označené v zjednodušenej notácii:

V 1

Nech 𝑇 ∈ Trs a 𝛼 a 𝛽 sú konečné ℕ-postupnosti. Potom ak 𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇, tak 𝛼 ∈ 𝑇.

Postupne platı́:𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇

(predpoklad),𝛼 ≼ 𝛼 ‖ 𝛽

(podľa de inı́cie pre ixu),𝛼 ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie stromu).


V 2Ak 𝑇 ∈ Trs, tak ε ∈ 𝑇.

Postupne platı́:𝑇 ≠ ∅

(podľa de inı́cie stromu),existuje konečná ℕ-postupnosť 𝛼, že 𝛼 ∈ 𝑇

(lebo podľa de inı́cie stromu je 𝑇množina konečných ℕ-postupnostı́),ε ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie stromu, lebo podľa vety 6.1 platı́ ε ≼ 𝛼).

V 3

Nech 𝑇 ∈ Trs Potom {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} ∈ ℕ.

Rozoberme dva prı́pady:• Nech {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} = ∅.Potom {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} = 0 ∈ ℕ.

• Nech {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} ≠ ∅.

1 {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} je konečná.

Nech 𝐹 je funkcia z {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} do 𝑇 de inovaná vzťahom 𝐹(𝑖) = (𝑖). Potom platı́:|{𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}|≤ |𝑇|

(lebo𝑚 = max{𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}),∈ ℕ

(podľa de inı́cie stromu).Podľa sublemy 1 a predpokladu neprázdnosti {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}, táto množina má maximum. Označme ho𝑚.

2 {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} ⊆ 𝑚 + 1.

{𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}⊆ {0,… ,𝑚}

(lebo𝑚 = max{𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}),= 𝑚 + 1.

3 (𝑖) ∈ 𝑇 a 𝑗 ≤ 𝑖, tak (𝑗) ∈ 𝑇.

Postupne platı́:(𝑖) ∈ 𝑇

(predpoklad),ε ‖ (𝑖) ∈ 𝑇

(podľa vety 5.6),ε ‖ (𝑗) ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie stromu),(𝑗) ∈ 𝑇

(podľa vety 5.6).

4 𝑚 + 1 ⊆ {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}.


𝑗 ∈ 𝑚 + 1(predpoklad s cieľom 𝑗 ∈ {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}),

𝑗 < 𝑚 + 1,𝑗 ≤ 𝑚,𝑗 ∈ {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}

(podľa sublemy 3, lebo𝑚 ∈ {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}, kedže𝑚 = max{𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇}).Zo sublem 2 a 4 už dostávame {𝑖 ∶ (𝑖) ∈ 𝑇} = 𝑚 + 1 ∈ ℕ.

D De inujme zobrazenie bgh („bough“ – konár) z množiny Trs × FSq takto:Nech 𝑇 ∈ Trs a 𝛼 ∈ FSq. Potom

bgh(𝑇, 𝛼) = {𝛽 ∶ 𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇}.

• Ak 𝑇 je strom

z predchádzajúceho prı́kladu, tak bgh(𝑇, (1, 0)) je takýto strom:

Všimnime si, že ak pred každý uzol predpı́šeme 10 (čo je naša konečnáℕ-postupnosť (1, 0)), dostávame presnetú časť pôvodného stromu, ktorá je pod uzlom 10.

V 4

Nech 𝑇 ∈ Trs a 𝛼 ∉ 𝑇. Potom bgh(𝑇, 𝛼) = ∅.

bgh(𝑇, 𝛼)= {𝛽 ∶ 𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇}

(podľa de inı́cie bgh),= ∅

(lebo podľa vety 1 by z 𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇 vyplynulo sporné 𝛼 ∈ 𝑇).

V 5

Nech 𝑇 ∈ Trs a 𝛼 ∈ 𝑇. Potom bgh(𝑇, 𝛼) ∈ Trs.

1 bgh(𝑇, 𝛼) ⊆ FSq.

𝛽 ∈ bgh(𝑇, 𝛼)


(predpoklad s cieľom 𝛽 ∈ FSq),𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie bgh),𝛼 ‖ 𝛽 ∈ FSq

(podľa de inı́ciı́ stromu),𝛽 ∈ FSq

(podľa vety 5.2).

2 bgh(𝑇, 𝛼) je konečná mnnožina.

|bgh(𝑇, 𝛼)|= |{𝛼 ‖ 𝛽 ∶ 𝛽 ∈ bgh(𝑇, 𝛼)}|

(lebo ak 𝐹 je zobrazenie z bgh(𝑇, 𝛼) de inované vzťahom 𝐹(𝛽) = 𝛼 ‖ 𝛽, tak podľa vety 5.11 je 𝐹 bijekciaz bgh(𝑇, 𝛼) do {𝛼 ‖ 𝛽 ∶ 𝛽 ∈ bgh(𝑇, 𝛼)}),

= |{𝛼 ‖ 𝛽 ∶ 𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇}|(podľa de inı́cie bgh),

≤ |𝑇|(lebo {𝛼 ‖ 𝛽 ∶ 𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇} ⊆ 𝑇).

< |ℕ|(podľa de inı́cie stromu).

3 Ak 𝛽 ∈ bgh(𝑇, 𝛼) a 𝛾 ≼ 𝛽, tak 𝛾 ∈ bgh(𝑇, 𝛼).

Postupne platı́:𝛽 ∈ bgh(𝑇, 𝛼)

(predpoklad),𝛼 ‖ 𝛽 ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie bgh),𝛼 ‖ 𝛾 ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie stromu, keďže 𝛼 ‖ 𝛾 ≼ 𝛼 ‖ 𝛽, a to podľa vety 6.4, lebo 𝛾 ≼ 𝛽),𝛾 ∈ bgh(𝑇, 𝛼)

(podľa de inı́cie bgh).

4 Ak 𝛽 ‖ (𝑘) ∈ bgh(𝑇, 𝛼) a 𝑙 ≤ 𝑘, tak 𝛽 ‖ (𝑙) ∈ bgh(𝑇, 𝛼).

Postupne platı́:𝛽 ‖ (𝑘) ∈ bgh(𝑇, 𝛼)

(predpoklad),𝛼 ‖ (𝛽 ‖ (𝑘)) ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie bgh),(𝛼 ‖ 𝛽) ‖ (𝑘) ∈ 𝑇

(podľa vety 5.5),(𝛼 ‖ 𝛽) ‖ (𝑙) ∈ 𝑇

(podľa de inı́cie stromu),𝛼 ‖ (𝛽 ‖ (𝑙)) ∈ 𝑇

(podľa vety 5.5),𝛽 ‖ (𝑙) ∈ bgh(𝑇, 𝛼)

(podľa de inı́cie bgh).Sublemy 1, 2, 3 a 4 znamenajú podľa de inı́cie Trs tvrdenie vety.

V 6

Nech 𝑇 ∈ Trs Potom bgh(𝑇, ε) = 𝑇.


bgh(𝑇, ε)= {𝛼 ∶ ε ‖ 𝛼 ∈ 𝑇}

(podľa de inı́cie bgh),= {𝛼 ∶ 𝛼 ∈ 𝑇}

(podľa vety 5.6),= 𝑇.

V 7

Nech 𝑇 ∈ Trs a 𝛼 a 𝛽 sú konečné postupnosti. Potom

bgh(bgh(𝑇, 𝛼), 𝛽) = bgh(𝑇, 𝛼 ‖ 𝛽).

bgh(bgh(𝑇, 𝛼), 𝛽)= {𝛾 ∶ 𝛽 ‖ 𝛾 ∈ bgh(𝑇, 𝛼)}

(podľa de inı́cie bgh),= {𝛾 ∶ 𝛼 ‖ (𝛽 ‖ 𝛾) ∈ 𝑇}

(podľa de inı́cie bgh),= {𝛾 ∶ (𝛼 ‖ 𝛽) ‖ 𝛾 ∈ 𝑇}

(podľa vety 5.5),= bgh(𝑇, 𝛼 ‖ 𝛽)

(podľa de inı́cie bgh).

D De inujme zobrazenie trc („tree construction“ – stromová konštrukcia) takto:Nech 𝑛 ∈ ℕ a nech (𝑇 ) je konečná Trs-postupnosť. Potom

trc((𝑇 ) ) = {ε} ∪ Pfx(𝑇 , (𝑖)).

• Ak 𝑇 , 𝑇 a 𝑇 sú nasledujúce tri stromy:

tak trc((𝑇 , 𝑇 , 𝑇 )) je takýto strom:

Vstupnú postupnosť stromov sme teda „zavesili“ na nový vrchol ε, pričompred každý ich uzol pridámeporadovéčı́slo prı́slušného stromu.


V 8

Nech 𝑛 ∈ ℕ a nech (𝑇 ) je konečná Trs-postupnosť. Potom platı́:• Ak 𝑖 < 𝑛, tak (𝑖) ∈ Pfx(𝑇 , (𝑖)).• {{ε}} ∪ {Pfx(𝑇 , (𝑖))} je rozklad množiny trc((𝑇 ) ).• Ak 𝑖 , 𝑖 < 𝑛, tak Pfx(𝑇 , (𝑖 )) ∩ Pfx(𝑇 , (𝑖 )) ≠ ∅, tak 𝑖 = 𝑖 .

1 Ak 𝑖 < 𝑛, tak (𝑖) ∈ ∩Pfx(𝑇 , (𝑖)).

Postupne platı́:ε ∈ 𝑇

(podľa vety 2),(𝑖) ‖ ε ∈ Pfx(𝑇 , (𝑖))

(podľa de inı́cie Pfx),(𝑖) ∈ Pfx(𝑇 , (𝑖))

(podľa vety 5.6).

2 Ak 𝑖 < 𝑛, tak {ε} ∩ Pfx(𝑇 , (𝑖)) ≠ ∅.

{ε} ∩ Pfx(𝑇 , (𝑖))⊆ {ε} ∩ Pfx(FSq, (𝑖))

(podľa vety 5.10, lebo podľa de inı́cie Trs platı́ 𝑇 ⊆ FSq),⊆ ∅

(podľa vety 5.12).

3 Ak 𝑖 , 𝑖 < 𝑛, tak Pfx(𝑇 , (𝑖 )) ∩ Pfx(𝑇 , (𝑖 )) ≠ ∅, tak 𝑖 = 𝑖 .

Postupne platı́:Pfx(𝑇 , (𝑖 )) ∩ Pfx(𝑇 , (𝑖 )) ≠ ∅

(predpoklad),Pfx(FSq, (𝑖 )) ∩ Pfx(FSq, (𝑖 )) ≠ ∅

(pre obe 𝑘 z {0, 1} podľa vety 5.10, lebo podľa de inı́cie Trs platı́ 𝑇 ⊆ FSq),𝑖 = 𝑖

(podľa vety 5.12).Zo sublem 1, 2 a 3 a de inı́cie trc už vyplýva dokazované tvrdenie.

V 9

Nech 𝑛 ∈ ℕ a nech (𝑇 ) je konečná Trs-postupnosť. Potom trc((𝑇 ) ) ∈ Trs.

1 trc((𝑇 ) ) je neprázdna podmnožina FSq.

Postupne platı́:ak 𝑖 ∈ 𝑛 a 𝛼 ∈ 𝑇 , tak 𝛼 ∈ FSq

(podľa de inı́cie stromu),ak 𝑖 ∈ 𝑛 a 𝛼 ∈ 𝑇 , tak (𝑖) ‖ 𝛼 ∈ FSq

(podľa vety 5.2, lebo (𝑖) ∈ FSq, a to podľa de inı́cie FSq, keďže 𝑖 ∈ 𝑛 ⊆ ℕ),ak 𝑖 ∈ 𝑛, tak {(𝑖) ‖ 𝛼 ∶ 𝛼 ∈ 𝑇 } je podmnožina FSq,ak 𝑖 ∈ 𝑛, tak Pfx(𝑇 , (𝑖)) je podmnožina FSq

(podľa de inı́cie Pfx),⋃ Pfx(𝑇 , (𝑖)) je podmnožina FSq{ε} je neprázdna podmnožina FSq,{ε} ∪ ⋃ Pfx(𝑇 , (𝑖)) je podmnožina FSq,


trc((𝑇 ) ) je neprázdna podmnožina FSq(podľa de inı́cie trc).

2 trc((𝑇 ) ) je konečná množina.

|trc((𝑇 ) )|= |{ε} ∪ ⋃ ∈ Pfx(𝑇 , (𝑖))|

(podľa de inı́cie trc),= |{ε}| + ∑ |Pfx(𝑇 , (𝑖))|

(lebo podľa vety 8 sú všetky tieto množiny disjunktné),= 1 + ∑ ∈ |Pfx(𝑇 , (𝑖))|,= 1 + ∑ ∈ |𝑇 |

(lebo pre každé 𝑖 z 𝑛 zobrazenie 𝐹 de inované vzťahom 𝐹(𝛽) = (𝑖) ‖ 𝛽 je podľa vety 5.11 bijekcia z 𝑇 naPfx(𝑇 , (𝑖))),

< |ℕ|(lebo 𝑛 < |ℕ| a pre každé 𝑖 z 𝑛 podľa de inı́cie Trs platı́ |𝑇 | < |ℕ|).

3 Ak 𝛼 ∈ trc((𝑇 ) ) a 𝛽 ≼ 𝛼, tak 𝛽 ∈ trc((𝑇 ) ).

Rozoberme dva prı́pady:• Nech 𝛽 = ε.Podľa de inı́cie trc preto 𝛽 = ε ∈ {ε} ⊆ trc((𝑇 ) ).

• Nech 𝛽 ≠ ε.Potom postupne platı́:𝛽 ≼ 𝛼

(predpoklad),existuje konečná ℕ-postupnosť 𝛿 taká, že 𝛼 = 𝛽 ‖ 𝛿

(podľa de inı́cie pre ixu),existuje konečná ℕ-postupnosť 𝛾 taká, že 𝛽 = (𝛽(0)) ‖ 𝛾

(podľa vety 5.12),𝛼 = ((𝛽(0)) ‖ 𝛾) ‖ 𝛿,𝛼 = (𝛽(0)) ‖ (𝛾 ‖ 𝛿)

(podľa vety 5.5),𝛽(0) ∈ 𝑛 a 𝛾 ‖ 𝛿 ∈ 𝑇 ( )

(podľa de inı́cie trc, lebo𝛼 ∈ trc((𝑇 ) ) a𝛼 ≠ ε, lebo podľa vety 5.1 platı́ dom(𝛼) ≥ dom((𝛽(0))) =1, a teda 𝛼 ≠ ε),

𝛾 ∈ 𝑇 ( )(podľa de inı́cie stromu, lebo podľa de inı́cie pre ixu platı́ 𝛾 ≼ 𝛾 ‖ 𝛿),

(𝛽(0)) ‖ 𝛾 ∈ Pfx(𝑇 ( ), 𝛽(0))(podľa de inı́cie Pfx),

𝛽 ∈ Pfx(𝑇 ( ), (𝛽(0))),𝛽 ∈ trc((𝑇 ) )

(podľa de inı́cie trc).

4 Ak 𝛼 ‖ (𝑘) ∈ trc((𝑇 ) ) a 𝑙 ≤ 𝑘, tak 𝛼 ‖ (𝑙) ∈ trc((𝑇 ) ).

Rozoberme dva prı́pady:• Nech 𝛼 = ε.


Potom postupne platı́:𝛼 ‖ (𝑘) ∈ trc((𝑇 ) )

(predpoklad),ε ‖ (𝑘) ∈ trc((𝑇 ) ),(𝑘) ‖ ε ∈ trc((𝑇 ) )

(podľa vety 5.6),𝑘 ∈ 𝑛

(podľa de inı́cie trc, lebo podľa vety 5.1 platı́ dom((𝑘) ‖ ε) ≥ dom((𝑘)) ≠ ∅),𝑙 ∈ 𝑛

(lebo 𝑙 ≤ 𝑘 a 𝑛 ∈ ℕ),(𝑙) ‖ ε ∈ trc((𝑇 ) )

(podľa de inı́cie trc, lebo podľa vety 2 platı́ ε ∈ 𝑇 ),ε ‖ (𝑙) ∈ trc((𝑇 ) )

(podľa vety 5.6),𝛼 ‖ (𝑙) ∈ trc((𝑇 ) ).

• Nech 𝛼 ≠ ε.Postupne platı́:existuje konečná ℕ-postupnosť 𝛾, že 𝛼 = (𝛼(0)) ‖ 𝛾

(podľa vety 5.3),𝛼 ‖ (𝑘) ∈ trc((𝑇 ) )

(predpoklad),((𝛼(0)) ‖ 𝛾) ‖ (𝑘) ∈ trc((𝑇 ) ),(𝛼(0)) ‖ (𝛾 ‖ (𝑘)) ∈ trc((𝑇 ) )

(podľa vety 5.5),𝛼(0) ∈ 𝑛 a 𝛾 ‖ (𝑘) ∈ 𝑇 ( )

(podľa de inı́cie trc, lebo podľa vety 5.1 platı́ dom((𝛼(0)) ‖ (𝛾 ‖ (𝑘))) ≥ dom((𝛼(0))) = 1, a teda(𝛼(0) ‖ (𝛾 ‖ (𝑘)) ≠ ε),

𝛼(0) ∈ 𝑛 a 𝛾 ‖ (𝑙) ∈ 𝑇 ( )(podľa de inı́cie stromu),

(𝛼(0)) ‖ (𝛾 ‖ (𝑙)) ∈ trc((𝑇 ) )(podľa de inı́cie trc),

((𝛼(0)) ‖ 𝛾) ‖ (𝑙) ∈ trc((𝑇 ) )(podľa vety 5.5),

𝛼 ‖ (𝑙) ∈ trc((𝑇 ) ).Sublemy 1, 2, 3 a 4 znamenajú tvrdenie vety.

V 10

Zobrazenie trc je injektıv́ne.

Nechpreobe𝑘 z {0, 1}platı́𝑛 ∈ ℕ a (𝑇 ) je konečnáTrs-postupnosť anechtrc((𝑇 ) ) = trc((𝑇 ) ).

1 𝑛 = 𝑛 .

Tvrdenie dokážeme sporom. Nech 𝑛 < 𝑛 , kde {𝑘, 𝑙} = {0, 1}. Potom platı́:


ε ∈ 𝑇(podľa vety 2),

(𝑛 ) ∈ Pfx(𝑇 , (𝑛 ))(podľa vety 8),

(𝑛 ) ∈ trc((𝑇 ) )(podľa de inı́cie trc),

(𝑛 ) ∈ trc((𝑇 ) )(lebo podľa predpokladu trc((𝑇 ) ) = trc((𝑇 ) )),

existuje 𝑖 z 𝑛 , že (𝑛 ) ∈ Pfx(𝑇 , (𝑖))(podľa de inı́cie trc, lebo (𝑛 ) ≠ ε),

existuje 𝛼 z 𝑇 , že (𝑛 ) = (𝑖) ‖ 𝛼(podľa de inı́cie Pfx),

existuje 𝛼 z 𝑇 , že (𝑛 ) ‖ ε = (𝑖) ‖ 𝛼(podľa vety 5.6),

𝑛 = 𝑖(podľa vety 5.8),

𝑛 ∈ 𝑛 ,čo je spor.

2 Nech 𝑖 < 𝑛 . Potom 𝑇 = 𝑇 .

Tvrdenie dokážeme sporom. Nech neplatı́ 𝑇 ⊆ 𝑇 , kde {𝑘, 𝑙} = {0, 1}. Potom platı́:existuje 𝛼 z 𝑇 ⧵ 𝑇 ,𝛼 ∈ 𝑇 , ale 𝛼 ∉ 𝑇 ,(𝑖) ‖ 𝛼 ∈ Pfx(𝑇 , (𝑖))

(podľa de inı́cie ),(𝑖) ‖ 𝛼 ∈ trc((𝑇 ) )

(podľa de inı́cie trc),(𝑖) ‖ 𝛼 ∈ trc((𝑇 ) )

(lebo podľa predpokladu trc((𝑇 ) ) = trc((𝑇 ) )),existuje 𝑗 z 𝑛 , že (𝑖) ∈ Pfx(𝑇 , (𝑗))

(podľa de inı́cie trc, lebo (𝑖) ≠ ε),existuje 𝛽 z 𝑇 , že (𝑖) ‖ 𝛼 = (𝑗) ‖ 𝛽,𝑖 = 𝑗 a 𝛼 = 𝛽

(podľa vety 5.8),𝛼 = 𝛽 ∈ 𝑇 = 𝑇 ,čo je spor.

Zo sublem 1 a 2 už dostávame (𝑇 ) = (𝑇 ) .

A1.8 Ohodnotené stromy 49A1.8 Ohodnotené stromy 49A1.8 Ohodnotené stromy 49

A1.8 Ohodnotené stromy

toto do indukcie...

V 1 (o matematickej indukcii cez prirodzené vrstvy)Nech𝑀 je množina a 𝑓 je funkcia z𝑀 do ℕ. Nech 𝐴 ⊆ 𝑀. Nech pre každé 𝑥 z𝑀 z {𝑦 ∈ 𝑀 ∶ 𝑓(𝑦) < 𝑓(𝑥)} ⊆ 𝐴vyplýva 𝑥 ∈ 𝐴. Potom 𝐴 = 𝑀.

Tvrdenie dokážeme sporom. Postupne platı́:𝐴 ≠ 𝑀

(predpoklad, ktorý chceme vyvrátiť),množina𝑀 ⧵ 𝐴 je neprázdna

(lebo podľa predpokladu vety 𝐴 ⊆ 𝑀),množina 𝑓[𝑀 ⧵ 𝐴] je neprázdna podmnožina ℕ

(lebo podľa predpokladu vety platı́ rng(𝑓) ⊆ ℕ),existuje𝑚 z ℕ, že𝑚 = min(𝑓[𝑀 ⧵ 𝐴]),existuje 𝑥, že 𝑥 ∈ 𝑀 ⧵ 𝐴 a 𝑓(𝑥) = 𝑚,(𝑀 ⧵ 𝐴) ⊆ {𝑦 ∈ 𝑀 ∶ 𝑓(𝑦) ≥ 𝑚}

(z minimality𝑚),(𝑀 ⧵ 𝐴) ⊆ (𝑀 ⧵ {𝑦 ∈ 𝑀 ∶ 𝑓(𝑦) < 𝑚})

(lebo podľa predpokladu vety platı́ rng(𝑓) ⊆ ℕ),{𝑦 ∈ 𝑀 ∶ 𝑓(𝑦) < 𝑚} ⊆ 𝐴

(lebo 𝐴 ⊆ 𝑀 aj {𝑦 ∈ 𝑀 ∶ 𝑓(𝑦) < 𝑚} ⊆ 𝑀),{𝑦 ∈ 𝑀 ∶ 𝑓(𝑦) < 𝑓(𝑥)} ⊆ 𝐴,𝑥 ∈ 𝐴

(podľa predpokladu vety),𝑥 ∈ 𝐴 ∩ (𝑀 ⧵ 𝐴),𝑥 ∈ ∅,čo je spor.

...

D Zobrazenie 𝑒 nazývame ohodnotený strom, ak dom(𝑒) ∈ Trs.Triedu ohodnotených stromov budeme označovať ETr („evaluated trees“ – ohodnotené stromy).

• Nasledujúci obrázok:

⋅ ⋅


gra icky znázorňuje ohodnotený strom 𝑒, kde𝑒 = {⟨ε, +⟩, ⟨(0), ⋅⟩, ⟨(0, 0), 𝑥⟩, ⟨(0, 1), 𝑦⟩, ⟨(1), ⋅⟩, ⟨(1, 0), 2⟩, ⟨(1, 1), +⟩, ⟨(1, 1, 0), 𝑥⟩, ⟨(1, 1, 1), 𝑦⟩}.

Potomdom(𝑒) = {ε, (0), (0, 0), (0, 1), (1), (1, 0), (1, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1), },

v gra ickej podobe

D De inujme zobrazenie etc („evaluated tree construction“ – konštrukcia ohraničeného stromu) takto:Nech 𝑠 ∈ Set, 𝑛 ∈ ℕ a (𝑒 ) je konečná ETr-postupnosť. Potom

etc(𝑠, (𝑒 ) ) = {⟨ε, 𝑠⟩} ∪∈{⟨(𝑖) ‖ 𝛼, 𝑒 (𝛼)⟩ ∶ 𝛼 ∈ dom(𝑒 )}.

• Nech 𝑠 = + a 𝑒 a 𝑒 sú tieto ohodnotené stromy:

⋅

⋅

Potom etc(𝑠, (𝑒 , 𝑒 )) je tento už známy ohodnotený strom:

⋅ ⋅

Podobne ako pri (neohodnotených) stromoch teda vznikol nový koreň, tentoraz s predpı́sanou hodnotou, naktorý sa pripojili ohodnotené stromy z pôvodnej postupnosti. Na rozdiel od označenı́ uzlov, ktoré sa aj tu meniapripı́sanı́m poradových čı́sel ich pôvodných stromov, ich hodnoty ostali nenezmenené.

V 2

Nech 𝑠 ∈ Set, 𝑛 ∈ ℕ a (𝑒 ) je konečná ETr-postupnosť. Potom etc(𝑠, (𝑒 ) ) ∈ ETra dom(etc(𝑠, (𝑒 ) )) = trc((dom(𝑒 )) ∈ ).


1 etc(𝑠, (𝑒 ) ) je zobrazenie.

Podľa de inı́cie etc je etc(𝑠, (𝑒 ) )množina usporiadaných dvojı́c.Nech ⟨𝑥, 𝑦 ⟩, ⟨𝑥, 𝑦 ⟩ ∈ etc(𝑠, (𝑒 ) ). Rozoberme dva prı́pady podľa de inı́cie etc:• Nech ⟨𝑥, 𝑦 ⟩ = ⟨ε, 𝑠⟩ a ⟨𝑥, 𝑦 ⟩ = ⟨(𝑖) ‖ 𝛼, 𝑒 (𝛼)⟩, kde 𝑖 ∈ 𝑛 a 𝛼 ∈ dom(𝑒 ), pričom {𝑘, 𝑙} = {0, 1}.Potom však ε = 𝑥 = (𝑖) ‖ 𝛼, čo je v spore s vetou 5.12.Tento prı́pad teda nenastane.

• Nech pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́ ⟨𝑥, 𝑦 ⟩ = ⟨(𝑖 ) ‖ 𝛼 , 𝑒 (𝛼 )⟩.Potom postupne platı́:pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́ 𝑥 = (𝑖 ) ‖ 𝛼 ,(𝑖 ) = (𝑖 ) a 𝛼 = 𝛼

(podľa vety 5.12),𝑒 (𝛼 ) = 𝑒 (𝛼 ),𝑦 = 𝑦 .

2 dom(etc(𝑠, (𝑒 ) )) = trc((dom(𝑒 )) ∈ ).

dom(etc(𝑠, (𝑒 ) ))= dom({⟨ε, 𝑠⟩} ∪ ⋃ ∈ {⟨(𝑖) ‖ 𝛼, 𝑒 (𝛼)⟩ ∶ 𝛼 ∈ dom(𝑒 )})

(podľa de inı́cie etc),= dom({⟨ε, 𝑠⟩}) ∪ dom(⋃ ∈ {⟨(𝑖) ‖ 𝛼, 𝑒 (𝛼)⟩ ∶ 𝛼 ∈ dom(𝑒 )})

(lebo ak 𝑓 ∪ 𝑓 je funkcia, tak aj 𝑓 a 𝑓 sú funkcie a dom(𝑓 ∪ 𝑓 ) = dom(𝑓 ) ∪ dom(𝑓 )),= dom({⟨ε, 𝑠⟩}) ∪ ⋃ ∈ dom({⟨(𝑖) ‖ 𝛼, 𝑒 (𝛼)⟩ ∶ 𝛼 ∈ dom(𝑒 )})

(lebo ak⋃ ∈ 𝑓 je funkcia, tak pre každé 𝑖 z 𝐼 je 𝑓 funkcia a dom(⋃ ∈ 𝑓 ) = ⋃ ∈ dom(𝑓 )),= {ε} ∪ ⋃ ∈ {(𝑖) ‖ 𝛼 ∶ 𝛼 ∈ dom(𝑒 )},= trc((dom(𝑒 )) ∈ )

(podľa de inı́cie trc).Zo sublem 1 a 2 a vety 7.9 už dostávame dokazované tvrdenie.

V 3

Zobrazenie etc je injektıv́ne.

Nech pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́ 𝑠 ∈ Set, 𝑛 ∈ ℕ a (𝑒 ) je konečná ETr-postupnosť. Nech etc(𝑠 , (𝑒 ) ) =etc(𝑠 , (𝑒 ) ). Túto spoločnú hodnotu označme 𝑒, podľa vety 2 platı́ 𝑒 ∈ ETr.

1 Pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́ 𝑒(ε) = 𝑠 .

𝑒(ε)= (etc(𝑠 , (𝑒 ) ))(ε)= 𝑠

(podľa de inı́cie etc).

2 𝑠 = 𝑠

Podľa sublemy 1.

3 𝑛 = 𝑛 a pre každé 𝑖 z 𝑛 platı́ dom(𝑒 ) = dom(𝑒 ).

Postupne platı́:etc(𝑠 , (𝑒 ) ) = etc(𝑠 , (𝑒 ) )

(predpoklad),


dom(etc(𝑠 , (𝑒 ) )) = dom(etc(𝑠 , (𝑒 ) )),trc((dom(𝑒 )) ∈ ) = trc((dom(𝑒 )) ∈ )

(podľa vety 2 a opäť podľa vety 2),(dom(𝑒 )) ∈ = (dom(𝑒 )) ∈

(podľa vety 7.10).

4 Pre obe 𝑘 z {0, 1} platı́, že pre každé 𝑖 z 𝑛 a pre každé 𝛼 z dom(𝑒 ) platı́ 𝑒 (𝛼) = 𝑒((𝑖) ‖ 𝛼).

Postupne platı́:𝑒 (𝛼)= (etc(𝑠 , (𝑒 ) ))((𝑖))

(podľa vety 2),= 𝑒((𝑖)).

5 Pre každé 𝑖 z 𝑛 a pre každé 𝛼 z dom(𝑒 ) platı́ 𝑒 (𝛼) = 𝑒 (𝛼).

Zo sublemy 4, keďže podľa sublemy 3 platı́ dom(𝑒 ) = dom(𝑒 ).

6 Pre každé 𝑖 z 𝑛 platı́ 𝑒 = 𝑒 .

Zo sublemy 5, keďže pre obe 𝑘 z {0, 1} je 𝑒 podľa de inı́cie ETr funkcia.Zo sublem 1 a 6 už dostávame ⟨𝑠 , (𝑒 ) ⟩ = ⟨𝑠 , (𝑒 ) ⟩.

D De inujme zobrazenie dsc („descendant“ – potomok) z množiny Trs × FSq takto:Nech 𝑒 ∈ ETr a 𝛼 ∈ FSq. Potom dsc(𝑒, 𝛼) = 𝑑, kde dom(𝑑) = bgh(dom(𝑒), 𝛼), a ak 𝛽 ∈ dom(𝑑), tak

𝑑(𝛽) = 𝑒(𝛼 ‖ 𝛽).

• Ak 𝑒 je opäť ohodnotený strom:

⋅ ⋅

tak dsc(𝑒, 11) je ohodnotený strom:

V 4

Nech 𝑒 ∈ ETr a 𝛼 ∉ dom(𝑒). Potom dsc(𝑒, 𝛼) = ∅.


dom(dsc(𝑒, 𝛼))= bgh(dom(𝑒), 𝛼)

(podľa de inı́cie dsc),= ∅

(podľa vety 7.4, lebo podľa predpokladu 𝛼 ∉ dom(𝑒)).

V 5

Nech 𝑒 ∈ ETr a 𝛼 ∈ dom(𝑒). Potom dsc(𝑒, 𝛼) ∈ ETr.𝑒 ∈ ETr

(predpoklad),dom(𝑒) ∈ Trs

(podľa de inı́cie ETr),bgh(dom(𝑒), 𝛼) ∈ Trs

(podľa vety 7.5),dom(dsc(𝑒, 𝛼)) ∈ Trs

(podľa de inı́cie dsc),dom(dsc(𝑒, 𝛼)) ∈ Trs

(podľa de inı́cie ETr).

V 6

Nech 𝑒 ∈ ETr. Potom dsc(𝑒, ε) = 𝑒.

1 dom(dsc(𝑒, ε)) = dom(𝑒).

dom(dsc(𝑒, ε))= bgh(dom(𝑒), ε)

(podľa de inı́cie dsc),= dom(𝑒)

(podľa vety 7.6).

2 Ak 𝛼 ∈ dom(dsc(𝑒, ε)), tak dsc(𝑒, ε))(𝛼) = 𝑒(𝛼).

dsc(𝑒, ε))(𝛼)𝑒(ε ‖ 𝛼)

(podľa de inı́cie dsc),= 𝑒(𝛼)

(podľa vety 5.6).Zo subl

stromy - Ústav informatiky pf upjŠ · 2016. 5. 17. · a1.3konečnéfunkcieaichkódovanie 9 a1.3...

Documents