Optimizao da Forma de uma Estrutura Usando um Mtodo sem Malha

Vtor Manuel da Costa Ferreira

Dissertao do MIEM

Orientador na FEUP: Prof. Lcia Maria de Jesus Simas Dinis

Orientador na FEUP: Doutor Jorge Amrico Oliveira Pinto Belinha

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Mestrado Integrado em Engenharia Mecnica

Setembro 2012

ii

Agradecimentos

Com a concluso deste trabalho, fecha-se este percurso acadmico. Assim, pretendo

aproveitar este espao para fazer os devidos agradecimentos a todas as pessoas que

contriburam de forma essencial neste meu trajecto.

Em primeiro lugar gostaria de agradecer Professora Lcia Maria de Jesus Simas Dinis,

minha orientadora na dissertao, pela oportunidade e todas as condies que me

proporcionou para o desenvolvimento deste projecto.

Gostaria de agradecer ao Doutor Jorge Amrico Oliveira de Pinto Belinha, meu co-orientador

neste projecto, por toda a compreenso e disponibilidade desde o primeiro momento.

Agradecer-lhe por ter aturado algum que nunca foi um bom estudante durante este trabalho.

De seguida gostaria de agradecer a todos os amigos e companheiros neste percurso, onde a

escola deixou de ser cinzenta muda e passou a umas gargalhadas. Sem vocs existiriam mais

noites de sono, mas poucas recordaes de insnias.

minha Me e Pai por aquilo que me permitiram fazer, pelos ensinamentos dados e pelo

Amor sem pedir nada em troca.

Ao meu irmo pelos momentos divertidos e amizade.

Finalmente, a ti Tnia Bochechas, pela amizade, carinho, pacincia e Amor incondicional

demonstrados em todos os momentos, mas principalmente nos mais difceis, obrigado.

iii

iv

v

Resumo

O objectivo deste trabalho alargar o campo de aplicaes dos mtodos sem malha para o

campo da optimizao de estruturas.

A maior parte dos problemas resolvidos recorrendo a mtodos numricos assentam em

formulaes de elementos finitos, no entanto no estudo de geometrias complexas ou o uso de

elementos muito deformados leva a problemas numricos, o que influncia directamente a

performance do mtodo. Assim, para contornar este problema, os mtodos sem malha, que

so mtodos numricos mais flexveis e igualmente precisos, tm sofrido uma grande

evoluo.

O mtodo sem malha utilizado neste trabalho foi o NNRPIM Natural Neighbour Radial

Point Interpolation Method desenvolvido pelo Doutor Belinha.

vi

vii

Abstract

The brief objective of the present Project is to extend a meshless method to a optimization of

a structural shape.

In the last twenty years the scientific community has witness the birth and development of

several meshless methods. The finite element method (FEM) complex geometries or the

generation of highly distorted elements causes low quality shape functions, which affects

directly the performance of the FEM. Meshless methods appear to suppress this need. The

meshless method used in this project is the Natural Neighbour Radial Point Interpolation

Method (NNRPIM), a numerical method developed in FEUP. Although being a recent

numerical method, the NNRPIM has already been extended to many engineering fields.

The aim of this project is the extension of the NNRPIM to structural shape optimization.

viii

ix

Sumrio

1 Introduo ......................................................................................................................................... 11

1.1 Estado da arte ................................................................................................................................. 11

1.2 Objectivos do trabalho..................................................................................................................... 15

1.3 Desenvolvimento da tese ................................................................................................................ 15

2 Mtodos sem malha .................................................................. 17

2.1 Introduo aos mtodos sem malha ............................................................................................... 17

2.2 Natural Neighbour Radial Point Interpolation Method (NNRPIM) .................................................... 19

2.2.1 Vizinhos naturais ............................................................................................................................. 20

2.2.2 Clulas de influncia e Conectividade Nodal .................................................................................. 22

2.2.3 Integrao Numrica NNRPIM ........................................................................................................ 23

2.2.3.1 Ordem de integrao 0....................................................................................................... 25

2.2.3.2 Ordem de integrao 1....................................................................................................... 26

2.3 Construo das funes de forma .................................................................................................. 26

2.4 Mecnica dos Slidos ..................................................................................................................... 29

2.4.1 Equaes Fundamentais ................................................................................................................. 29

2.4.2 Lei de Hooke Relao da tenso com a deformao ................................................................... 31

2.4.3 Equaes de equilibrio .................................................................................................................... 32

2.5 Formulao Matricial ....................................................................................................................... 32

2.5.1 Forma Fraca de Galerkin ................................................................................................................ 32

2.5.2 Matriz de rigidez .............................................................................................................................. 35

2.5.3 Vector Fora .................................................................................................................................... 35

2.5.4 Imposio das condies de Fronteira ............................................................................................ 36

3 Estudos mtodos sem malha ............................................................................................................ 37

3.1 RPIM ............................................................................................................................................... 37

3.2 Estudo da convergncia .................................................................................................................. 38

3.3 Estudo da integrao ......................................................................................................................... 39

3.4 Estudo da influncia .......................................................................................................................... 40

4 Exemplos Elasto-Plsticos ................................................................................................................ 44

4.1 - Placa Quadrada submetida a tenso uni-axial ................................................................................. 44

4.2 - Viga em consola .............................................................................................................................. 51

4.3 Placa Quadrada com furo circular ...................................................................................................... 54

5 Exemplos de Optimizao ................................................................................................................ 57

5.1 Algoritmo de Optimizao ............................................................................................................... 57

5.2 Viga em consola carga a meio da extremidade livre .................................................................... 60

5.3 Viga em consola carga ponto superior da extremidade livre ........................................................... 65

5.4 Estrutura sobre vrios carregamentos ............................................................................................... 70

5.5 Influncia do parametro de optimizao.......................................................................................... 75

6 Concluses ........................................................................................................................................ 78

7 Bibliografia ......................................................................................................................................... 82

x

11

1 Introduo

1.1 Estado da arte

O mtodo dos elementos finitos (MEF) tem sido amplamente aplicado indstria e a

problemas de engenharia, sendo as dificuldades da mecnica computacional cada vez

mais complexas e exigentes. Para a resoluo de problemas que envolvam grandes

deformaes, em que existam geometrias complexas, descontinuidades do domnio ou

propagao de fracturas, o mtodo de elementos finitos, devido necessidade de uma

malha no adequado para simular a realidade, pois no se adequa ao tratamento de

descontinuidades que no coincidam com as linhas da malha inicial (Belytschko,

Krongauz, Organ, Fleming, & Krysl, 1996).

Assim surgem os mtodos sem malha, com o objectivo de eliminar o processo de

gerao da malha, no entanto, muito destes mtodos recorrem a estas em algumas etapas

do processo. Os mtodos sem malha, tal como o mtodo de elementos finitos, um

mtodo de aproximao nmerica para a resoluo de equaes diferenciais, porm

neste prossuposto a discretizao do domnio por ns colocados arbitariamente sem

que exista qualquer tipo de interligao entre estes. Assim, esta metodologia permite

definir as funes de aproximao nicamente em termos dos ns (Guedes, 2006).

Apesar de os mtodos sem malha terem origem anterior a 1970 (Liu & Gu, 2005), o

primeiro mtodo a ser desenvolvido de forma consistente surgiu na decada de 70 (Lucy,

1977), o mtodo hidrodinmica de particulas suavizadas (SPH Smooth Particle

Hidrodynamics), que foi usado para modelar fenmenos astrofsicos sem fronteiras

como exploses de corpos celestes. Com base neste trabalho, surgem o Reproduced

Kernel Particle Method (RKPM) (Liu, Jun, Li, Adee, & Belytschko, 1995), onde foram

introduzidas correces nas funes peso, e o Corrected Smooth Particle

12

Hidrodynamics (CSPH) (Kulasegaram, 1999), modificando-se as funes de peso e do

processo de integrao.

J nos anos 90, Nayroles et al. apresentam o Diffuse Element Method (DEM) (Nayroles,

Touzot, & Villon, 1992), o qual se baseia no mtodo dos mnimos quadrados mveis;

Em 1994 melhoram o mtodo anterior criando assim o Element Free Galerkin Method

(EFGM) (Belytschko, Lu, & Gu, Element free Galerkin methods, 1994), o qual um

mtodo consistente e estvel. Resulta do refinamento do clculo das derivadas e do

mtodo para a imposio das condies de fronteira essenciais.

Uma outra formulao de mtodos sem malha o Finite Point Method (FPM) proposto

por por Oate et. al (Oate, Idelsohn, Zienkiwicz, & Taylor, 1996) baseia-se na

aproximao dos mnimos quadrados ponderados e um mtodo para a soluo de

equaes que governam os fenmenos de escoamentos viscosos, incluindo efeitos de

transferncia de massa e de calor. No entanto pode tambm ser aplicado a problemas de

deformao elstica e plstica.

Segundo Belytschko a aproximao pelo mtodo dos mnimos quadrados essencial

para os mtodos sem malha apresentados anteriormente, que apesar de implementados

com sucesso, apresentam dois problemas, nomeadamente, a dificuldade de

implementao de condies de fronteira essenciais, devido falta da propriedade de

Kronecker nas funes de forma, e devido complexidade nos algoritmos para o

clculo das funes de forma e as suas derivadas.

Para o primeiro problema foram encontradas vrias solues como o mtodo da

penalidade (Zhu & Atluri , 1988), o mtodo da colocao (forma forte) (Wagner & Liu ,

2000) ou o Lagrangiano (Lu, Belytshko, & Gu, 1994). A computao em paralelo

(Danielson, Hao, Liu, Aziz Uras, & Li, 2000) uma tcnica onde vrios clculos so

realizados em simultneo, contornando, assim, o problema da complexidade.

Um mtodo que tem a mesma base que o EFGM o hp-clouds Method (Duarte &

Tinsley, 1996) sendo mais flexvel no que se refere introduo de ns na malha

durante a anlise.

Um outro mtodo, baseado no mtodo dos mnimos quadrados mveis o proposto por

Atluri e Zhu (Atluri & Zhu, 1998), Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG), aplicando

localmente a formulao de Galerkin em subdomnios simples, como elipses, de forma

de facilitar as integraes e evitar o uso de uma estrutura de elementos para o domnio

13

global. A criao deste mtodo teve o objectivo de estudar problemas de potencial linear

e no linear.

Um mtodo proposto para resolver os dois problemas expostos pelo uso do mtodo dos

mnimos quadrados o Point Interpolation Method (PIM) (Liu & Gu, 2001). Neste, as

funes de aproximao passam por cada n num domnio de influncia, e assim, as

suas funes de forma tm a propriedade de Kronecker. Por outro lado, estas so

simples quando comparadas com o mtodo dos mnimos quadrados.

Um mtodo desenvolvido a partir deste ltimo o Radial Point Interpolation Method

(RPIM) (Wang & Liu, 2002), que se baseia na combinao de funes de base radiais e

polinomiais. A utilizao de funes de base radial permite ultrapassar a singularidade

associada aos mtodos sem malha baseados nicamente em funes de fase polinomial.

O Natural Element Method (NEM) (Braun & Sambridge) utiliza o mtodo de Galerkin

para a resoluo das equaes em derivadas parciais. As coordenadas dos vizinhos

naturais so obtidas atravs das clulas de Voroni e da triangulao de Delaunay.

O Node-Based Smoothed Point Interpolation Method (NS-PIM) (Wu S. , Liu, Zhang ,

Xu, & Li, 2009) um mtodo til para problemas de transfncia de calor onde so

usadas geometrias e condies de fronteira complexas.

O Edge-Based Point Interpolation Method (ES-PIM) (Wu S. , Liu, Cui, Nguyen, &

Zhang, 2010) utilizando o polinmio do Point Interpolation Method na contruo das

funes de forma com a propriedade da funo delta de Kronecker viabiliza o

tratamento das condies de fronteira essenciais.

Em todos os ramos da cincia a optimizao de recursos tem vindo a impor-se, levando

a concepo de produtos com uma topologia melhorada, onde a distribuio de cargas

efectuada sobre todo o volume da pea e no concentrada nos pontos de aplicao

destas.

Assim, os mtodos numricos so os grandes aliados destes estudos, onde o mtodo de

elementos finitos est muito enraizado. Porm, este apresenta certas limitaes, como

problemas que envolvam grandes deformaes devido necessidade de uma

regenerao da malha ou perda de preciso nas fronteiras do problema (Boraru &

Mukherjee, 1999).

14

Para contornar estes entraves recorremos aos mtodos sem malha, e no caso deste

trabalho recorremos a estes para a optimizao de estruturas.

Um dos primeiros trabalhos nesta rea surge por Bendse et al. (Bendse & Kikuchi)

utilizando o mtodo da homogenizao que se baseia na representao de uma estrutura

por um modelo de material compsito com vazios microscpicos onde procurada a

melhor porosidade do meio. Outro mtodo desenvolvido em 1993 por Xie e Steven,

nomeadamente, Evolutionary Structural Optimization (ESO) (Xie & Steven, 1993)

objectivo de

obter a melhor topologia. A escolha dos elementos a serem eliminados tem como base a

contribuio de cada elemento em relao a um dado critrio de optimizao, como por

exemplo, a tenso efectiva ou a energia de deformao. O trabalho On various aspects

of evolutionary strutural optimization for problems with stiffness constraints (Nha Chu,

Xie, Hira, & Steven, 1997) um ponto de partida para a familiarizao com este

mtodo, onde so discutidos vrios problemas e influncias dos parmetros nos

resultados da optimizao.

Por outro lado, surge o Additive evolutionary structural optimisation (AESO) (Querin,

Steven, & Xie, 2000), que segue a ideia introduzida pelo ESO, porm so adicionados

elementos onde so mais necessrios. A evoluo deste algoritmo levou criao do Bi-

directional evolutionary structural optimisation (BESO) (Querin, Young, Steven, &

Xie, 2000), onde agora elementos podem ser eliminados e acrescentados.

Com o desenvolvimento dos mtodos sem malha, a optimizao de estruturas passou a

contar com novas ferramentas, no entanto ainda existem poucos trabalhos utilizando

estes mtodos numricos. Em 2006 apresentado um trabalho (Cho & Kwak, 2006)

para problemas elasto-estticos utilizando o mtodo RKPM, sendo um mtodo robusto e

capaz de calcular deformaes elevadas. Em 2009 publicado um artigo sobre a

optimizao de estruturas articuladas, (Lee, Lee, & Bae , 2009) utilizando o mtodo

RPIM e testados alguns exemplos numricos. Os mtodos sem malha podem ser

utilizados com sucesso para anlise de estruturas no-lineares como apresentado no

artigo Topology design optimization of geometrically non-linear structures using

meshfree method (Cho & Kwak, 2006).

15

1.2 Objectivos do trabalho

Um dos pontos-chave em design estrutural, como em edifcios ou pontes, a rigidez da

estrutura. Encontrar a melhor relao entre o custo e a rigidez um desafio

interminvel, devendo o projectista procurar a geometria que melhor distribui o campo

de tenses pelo menor volume de material possvel. Assim, ao longo de varias dcadas

muitas teorias de optimizao foram aplicadas no design estrutural.

A maior parte dos problemas resolvidos recorrendo a mtodos numricos assenta em

formulaes de elementos finitos, no entanto no estudo de geometrias complexas ou o

uso de elementos muito deformados leva formao de funes de forma de baixa

qualidade, o que influncia directamente a performance do mtodo. Assim, para

contornar este problema, os mtodos sem malha, que so mtodos numricos mais

flexveis e igualmente precisos, tm sofrido uma grande evoluo.

O mtodo sem malha escolhido neste projecto o mtodo de integrao radial por

pontos usando vizinhos naturais, (Natural Neighbour Radial Point Interpolation

Method NNRPIM) desenvolvido na FEUP.

Este trabalho visa alargar o uso do NNRPIM para a optimizao topolgica de

estruturas.

1.3 Desenvolvimento da tese

Este trabalho encontra-se dividido em seis captulos, incluindo esta introduo, onde

foram abordados alguns trabalhos na comunidade cientfica, e uma inicializao aos

conceitos dos mtodos sem malha. So tambm apresentados trabalhos realizados na

rea da optimizao de estruturas. Por fim, uma reflexo sobre as razes para o

desenvolvimento deste trabalho.

No segundo captulo faz-se uma descrio dos mtodos sem malha, expondo as suas

principais etapas. De seguida apresentada a formulao do NNRPIM e os pontos que o

distinguem dos demais mtodos. Por ltimo efectuada uma reviso sobre a mecnica

dos slidos, aonde se chegam s leis de deformaes dos corpos, utilizando uma

formulao fraca.

16

No captulo 3 apresentado um estudo de convergncia do RPIM modificando vrios

parmetros, para o problema de uma viga em consola sujeita a uma carga distribuda,

como por exemplo, o nmero de ns ou o nmero de pontos de integrao usando

malhas irregulares e regulares obtendo-se o valor do erro relativo das tenses e dos

deslocamento de um determinado ponto.

No captulo 4 so apresentados exemplos de validao do NNRPIM, onde feito um

estudo de convergncia comparando com o RPIM e a soluo analtica, usando para isso

o clculo do deslocamento e tenso de alguns pontos.

De seguida so discutidos os resultados da optimizao de problemas, como a viga em

consola ou uma viga simplesmente apoiada com varias cargas, onde so apresentadas as

topologias finais, assim como a influncia de alguns parmetros nestas.

Por ltimo temos as concluses deste trabalho, onde efectuada uma anlise critica aos

resultados obtidos.

17

2 Mtodos sem malha

2.1 Introduo aos mtodos sem malha

Os mtodos sem malha tm ganho, na ltima dcada, bastante importncia para

resoluo de equaes diferenciais parciais, apresentando a vantagem de no ser

necessrio construir uma malha. Nestes, os ns podem ser distribudos de forma

arbitrria uma vez que as funes so aproximadas com um domnio de influncia ao

invs de um elemento (Gu, 2005). Em oposio regra de no sobreposio entre

elementos do mtodo de elementos finitos, nos mtodos sem malha os domnios de

influncia podem e devem sobrepor-se entre si (Belinha, 2010). Um mtodo sem malha

dividido em trs fases nucleares: funes de aproximao ou interpolao, formulao

e integrao (Gavete, Alonso, Benito, & Urea, 2004).

As funes de aproximao necessitam de um domnio de aplicabilidade, tendo cada n

um domnio de influncia, no qual a funo de aproximao no nula. Nos mtodos

sem malha este domnio designado por domnio de influncia, sendo necessria a sua

determinao para cada n. Devido variao da forma e do tamanho consoante o n. O

mtodo para a determinao do domnio de influncia depende do mtodo sem malha

utilizado (Belinha, 2010).

A formulao utilizada pelos mtodos sem malha pode ser classificada segundo duas

categorias: a formulao forte e a formulao fraca. A forma forte usa directamente as

equaes diferenciais parciais, para obter a soluo. Por outro lado, a formulao fraca

usa o princpio variacional para minimizar o resduo ponderado das equaes

diferenciais (Belinha, 2010). O resduo obtido pela substituio da equao da soluo

exacta por uma funo de aproximao multiplicada por uma funo teste (Belinha,

2010). A formulao fraca muito importante, pois, na aplicao a casos prticos, as

18

equaes diferenciais no admitem solues suficientemente suaves, sendo a forma

fraca a nica ferramenta que as permite resolver (Belinha, 2010).

Para calcular o integral do resduo ponderado da equao diferencial necessrio

escolher um mtodo de integrao. A integrao pode ser realizada atravs de uma

malha de integrao em segundo plano, que compreenda todo o domnio do problema

que composta pelos pontos de integrao. Estes devem estar definidos em termos de

rea de influncia, que no se deve sobrepor, e um peso, que corresponde massa

terica infinitesimal. No mtodo de integrao descrito utilizada uma malha de

integrao, normalmente, independente da malha nodal, o que deprecia a designao de

mtodo sem malha. Noutros mtodos de integrao a malha de integrao a prpria

malha nodal, passando os ns a serem os pontos de integrao, onde a rea de influncia

do ponto de integrao a rea de influncia do n e o peso de integrao substitudo

pelo volume de influncia do n (Belinha, 2010). Estes esquemas de integrao, ao

contrrio da opinio de alguns autores, so to precisos quanto os primeiros e

apresentam-se como mtodos verdadeiramente sem malha (Belinha, 2010).

19

2.2 Natural Neighbour Radial Point Interpolation Method (NNRPIM)

O NNRPIM resulta da combinao do Radial Point Interpolation Method (RPIM) com

os conceitos geomtricos dos vizinhos naturais. O RPIM tem como base o Point

Interpolation Method (PIM), que consiste na construo das funes interpoladoras

polinomiais, baseadas apenas num grupo de pontos distribudos, que possuem a

propriedade de delta de Kronecker, as quais so derivadas usando princpios

variacionais. No entanto, este mtodo apresenta muitos problemas numricos, e assim,

para evit-los, foi criado o RPIM. Neste mtodo uma base de funes radiais foi

adicionada na construo das funes de interpolao, que permitiu, assim, estabilizar o

mtodo. (Belinha, 2010)

O NNRPIM o passo seguinte no RPIM. A conectividade nodal obtida atravs de

uma clula de influncia ou invs do domnio de influncia utilizada no RPIM. Assim,

para a obteno das clulas de influncia, so consideradas as construes geomtricas e

matemticas como os diagramas de Vorono (Vorono, 1908) e a triangulao de

Delaunay (Delaunay, 1934). Desta forma, atravs das clulas de Vorono, um conjunto

de clulas de influncia criado a partir de um conjunto de ns no estruturado.

Os tringulos de Delaunay so aplicados para criar uma malha de fundo, dependente dos

ns, usada na integrao das funes de interpolao do NNRPIM (Belinha, 2010).

Devido dependncia da malha de integrao relativamente malha nodal, o NNRPIM

pode ser considerado um mtodo verdadeiramente sem malha. Pelo contrrio, no MEF,

as restries geomtricas dos elementos so impostas para a convergncia do mtodo,

enquanto no NNRPIM no existem essas restries, permitindo uma distribuio dos

ns totalmente aleatria para a discretizao do problema. As funes de interpolao

do NNRPIM utilizam a forma fraca de Galerkin, e so construdas de uma forma

semelhante ao mtodo RPIM, no entanto com algumas diferenas que alteram o

desempenho do mtodo (Belinha, 2010).

20

2.2.1 Vizinhos naturais

O conceito de vizinho natural foi introduzido por Sibson (Sibson, 1987) para

ajustamento de dados e suavizao. No NNRPIM, o conceito de vizinhos naturais

usado para a criao das clulas de influncia e para auxlio da malha de integrao.

Para a determinao dos vizinhos naturais de cada n pertencente malha global

utilizam-se diagramas de Vorono e a triangulao de Delaunay.

Considerando num espao Euclidiano 2, um conjunto N, com N ns distintos

(Belinha, 2010),

21,..., nN n n (1.1)

O diagrama de Vorono de N a diviso do domnio definido por N em sub-regies IV .

A cada regio IV associada ao n I , In , para que qualquer ponto no interior de IV est

mais prximo de In do que outro n, Jn . Por termos mais simples, IV o lugar

geomtrico onde todos os pontos esto mais prximos de In do que de outro n

(Belinha, 2010).

Figura 1 a) conjunto inicial de potenciais ns vizinhos. b) Clula final contendo ns vizinhos. c) Clula de

Vorono. d) Diagrama de Vorono.

Para a construo de uma clula, consideremos a figura 1(a) que representa um conjunto

de potenciais vizinhos. Observando a figura 1(b), os ns vizinhos so obtidos pela

interseco de domnios, cujos limites so definidos pela linha que intersecta o n J (n

21

potencialmente vizinho) e normal linha tracejada 0J, onde 0 o n de interesse. Por

definio, s os ns no permetro do domnio final, V0*, so considerados como ns

vizinhos (Belinha, 2010). A clula de Vorono, V0, obtida como representado na

figura 1 (c). A clula V0 a forma homottica de . Um procedimento similar

aplicado para a determinao das restantes clulas.

Como acima mencionado, o diagrama de Vorono usado para a criao das clulas de

influncia, ou seja, a imposio da conectividade entre os ns.

usada outra ferramenta, a triangulao de Delaunay, para a criao da malha de

integrao. Para a sua construo, so usadas a clulas de Vorono que possuem

domnios comuns. A dualidade entre o diagrama de Vorono e a triangulao de

Delaunay implica que uma aresta de Delaunay exista entre dois ns no plano se e s se

as suas clulas de Vorono partilharem uma aresta comum. Uma importante

caracterstica dos tringulos de Delaunay o critrio do circuncrculo vazio (Lawson,

1977). Se um conjunto de ns t j k ln n n n N

formam um tringulo Delaunay

ento um circuncrculo formado por um tringulo tn no contm mais ns de N . No

contexto da interpolao de vizinhos naturais estes crculos so conhecidos como

circuncrculos naturais vizinhos (Watson, 1992). Como representado na figura 2

(Belinha, 2010) o centro do circuncrculo natural vizinho o vrtice da respectiva clula

Vorono.

Figura 2 a) Diagrama de Vorono inicial. b) Triangulao de Delaunay. c) Circuncrculos naturais vizinhos.

22

2.2.2 Clulas de influncia e Conectividade Nodal

Nos trabalhos iniciais com RPIM (Liu, 2001; Wang 2002) a conectividade nodal

obtida pela sobreposio dos domnios de influncia de cada n. Estes domnios so

obtidos procurando ns suficientes dentro de uma rea fixa, para problemas

bidimensionais, no caso tridimensional utiliza-se um volume. No entanto, a variao do

tamanho e forma destes domnios de influncia ao longo do domnio do problema afecta

o desempenho do mtodo e a sua soluo final (Belinha, 2010). importante que todos

os domnios de influncia do problema tenham um nmero aproximado de ns. No caso

de existirem fronteiras irregulares ou aglomerados de ns na malha nodal estes podem

induzir domnios de influncia desequilibrados (Belinha, 2010). Assim, estes domnios

no devem ter formas regulares nos procedimentos dos mtodos sem malha. Ento, no

NNRPIM, a conectividade nodal imposta pela sobreposio de domnios de influncia

(Dinis, Jorge, & Belinha, 2007). A clula formada por n ns que contribuem para a

interpolao do ponto de interesse designado por clula de influncia. Apesar de na

figura abaixo estar representado s a determinao para o caso bidimensional, este

conceito pode ser aplicado ao espao D-dimensional (Belinha, 2010).

Figura 3 a) clulas de influncia de primeiro grau. b) clulas de influncia de segundo grau.

23

Podemos classificar as clulas de influncia em dois tipos:

Clula de influncia de primeiro grau: Um ponto de interesse, xi, procura pelos ns

vizinhos de acordo com o diagrama de Vorono, ou seja, clula de influncia de

primeiro grau constituda pelos primeiros vizinhos naturais.

Clula de influncia de segundo grau: da mesma forma que nas clulas de primeiro

grau, um ponto de interesse procura os seus vizinhos naturais e constri as clulas

atravs do diagrama de Vorono. Aps este procedimento, os vizinhos naturais dos

primeiros vizinhos do ponto de interesse, xi, so adicionados clula de influncia.

Numa fase inicial, depois da discretizao do domnio numa malha de ns, as clulas de

Vorono so construdas. Estas clulas podem ser consideradas como uma malha de

fundo com o propsito de integrao, sendo determinada a clula de influncia para

cada um dos pontos de integrao (Belinha, 2010).

2.2.3 Integrao Numrica NNRPIM

A integrao numrica usada neste trabalho baseia-se, como explicado anteriormente,

na triangulao de Delaunay e na tesselao de Vorono. (Belinha, 2010)

Com a construo das clulas de Vorono, , a interseco dos pontos, (das arestas

da vizinhana de ) pode ser estabelecida, e ento, os pontos mdios, , so obtidos.

Assim, as clulas de Vorono so divididas em n quadrilteros, formando clulas

menores, (Belinha, 2010).

Figura 4 a) Clula de Vorono e respectivos pontos de interseco. B) Pontos mdios e respectivos quadrilteros

gerados. c) Quadriltero resultante.

S

24

Para uma malha regular, os pontos mdios coincidem com as arestas de interseco

dos pontos . Analisando a figura 5 podemos afirmar que esta coincidncia geomtrica

leva formao de tringulos, em vez de quadrilteros, como no caso da malha irregular

(Belinha, 2010).

Qualquer n com J ns vizinhos, que juntos formam a clula de Vorono ,

contendo J sub-clulas, , onde,

1

, 0I Ii Ii

n

V S S

i

A A A (1.2)

sendo a rea da clula de Vorono e a rea da sub-clula (Belinha, 2010).

O esquema de integrao tanto mais simples quanto mais coincidente o ponto de

integrao for com cada n. Ento o peso de cada ponto de integrao a soma de cada

uma das reas das sub-clulas. Este tipo de integrao no suficiente para integrar as

funes de interpolao do mtodo NNRPIM, sendo ento necessrio um procedimento

de estabilizao (Dai, Liu, Han, & Li, 2006), que aumenta o custo do mtodo

computacional reduzindo a eficincia do NNRPIM (Belinha, 2010).

S

Figura 5 a) Clula de Vorono. b) gerao do tringulo. c) tringulo gerado.

25

2.2.3.1 Ordem de integrao 0

As coordenadas de cada ponto de integrao so calculadas em cada sub-clula, IiS ,

sendo o peso de cada ponto de integrao a rea da respectiva sub-clula. Numa malha

irregular, sendo, neste caso, as sub-clula de forma quadrangular, as coordenadas so

obtidas atravs de 4

1

1

4I ix x . Pelo contrario, aquando de utilizao de uma malha

regular, as coordenadas so obtidas atravs de 3

1

1

3I ix x .

Tendo como base a figura 6, a rea do quadriltero vem,

2 1 2 1 4 1 4 1

3 1 3 1 3 1 3 1

1 det det2I

x x y y x x y yA

x x y y x x y y (1.3)

e a rea do tringulo,

2 1 2 1

3 1 3 1

1 det2I

x x y yA

x x y y (1.4)

Figura 6 Formas triangular e quadrangular e respectivo ponto de integrao

26

2.2.3.2 Ordem de integrao 1

Usando este esquema de integrao, as formas apresentadas na figura 6, passam a ser

divididas em quadrilteros. Comea-se por determinar o centro geomtrico do tringulo

ou quadriltero original, e atravs deste e dos pontos mdios das arestas, obtm-se os

novos quadrilteros, como representado na figura 7.

Para cada uma destas subreas utiliza-se o esquema de integrao zero, como

apresentado no ponto anterior.

2.3 Construo das funes de forma

Consideremos uma funo ( )u x ,definida no domnio , que contm um certo nmero

de pontos dispostos arbitrariamente, N . assumido que s os ns dentro da clula de

influncia do ponto de interesse Ix tm influncia em ( )Iu x . O valor da funo ( )Iu x

no ponto de interesse Ix dado por,

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ,n m

T T

I i I j I i I j I I I

i i

aR a P b

bu x x x x x R x P x (1.5)

Figura 7 Esquema de integrao de ordem 1 para as forma triangular e quadrangular.

27

onde ( )i IR x a base de funes radiais (RBF) e n representa o nmero de ns dentro

da clula de influncia de Ix . Os coeficientes e i I j Ia bx x so os coeficientes de

e i I j IR Px x , respectivamente (Belinha, 2010).

Os vectores na equao (1.5) so definidos por,

1 2

1 2

1 2

1 2

, ,..., ,

, ,..., ,

, ,..., ,

, ,..., ,

T

I I n I

T

I I m I

T

I I n I

T

I I m I

R R R

P P P

a a a

b b b

R x x x

P x x x

a x x x

b x x x

(1.6)

O nmero de monmios m da base polinomial deve ser menor que o nmero de ns,

m n , para obter uma funo mais estvel (Belinha, 2010). Para garantir a consistncia

das funes do RPIM adicionaram-se polinmios, assegurando assim, a reproduo de

um campo linear (C1 consistncia) e consequentemente ajudar o RPIM a passar o

patch-test (Belinha, 2010). Trabalhos anteriores (Lawson, 1977) utilizando RPIM

apoiam a ideia que o mtodo em conjunto com a RBF no consistente e tem

dificuldades em reconstruir um campo linear de forma exacta. No entanto, foi provado

que o RPIM no requer uma funo de base polinomial para passar o patch-test, o que

reduz bastante o tempo de computao (Belinha, 2010). Numa base de funes radiais, a

varivel a distncia Iir entre o ponto Ix e o ponto vizinho ix .Para problemas num

espao bidimensional a distancia Iir vem,

2 2 1/2[( ) ( ) ]Ii I i I ir x x y y (1.7)

Este trabalho utiliza a funo multiquadrada (MQ) desenvolvida por Hardy (Hardy,

1971), definida por,

2 2( ) ( ) pIi IiR r r c (1.8)

onde c e p so parmetros de forma que necessitam de optimizao (Wang & Liu,

2002), pois carecem de preciso e estabilidade (Dinis, 2007). Esta a maior

28

desvantagem dos mtodos sem malha que utilizam funes de base radial, pois a

modificao dos parmetros afecta o performance das funes de base radial e no

existem mtodos eficientes para obter valores ptimos para c e p.

A base de funes polinomiais definida pelos seguintes monmios, para uma anlise

em 2D,

2 2[1, , , , , ]T x y x xy yP (1.9)

No entanto, utilizou-se a base nula, que corresponde ausncia do polinmio da base,

simplificando a equao (1.5) (Belinha, 2010).

Com o uso de uma base polinomial, existe um requerimento extra para garantir uma

aproximao nica (Liu, Bernard, & Chun, 2006):

1

( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 , 1,2,...,n

T

j i i i i i

i

P a j mx x P x a x (1.10)

Substituindo na equao (1.5), podemos escrever, sobre a forma matricial,

00

Q ms

T

m

R Pu a aG

P b b (1.11)

onde,

1, 2 ,...,

T

s nu u uu (1.12)

11 12 1

21 22 2

1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

n

Q

n n nn

R r R r R r

R r R r R r

R r R r R r

R (1.13)

1 1 2 1 1

1 2 2 2 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

m

m

m

n n m n

P x P x P x

P x P x P x

P x P x P x

P (1.14)

29

Devido distncia ser independente da direco, ( ) ( )ij jiR r R r , a matriz QR uma

matriz simtrica, e assim a soluo nica obtida se a matriz QR admitir inversa.

Substituindo na equao (1.4),

1( ) ( ), ( )0

( )

sT T

I I I

I s

aG

b

uu x R x P x

(1.15)

onde ( )I representa a matriz de funes de forma, definida por,

1 2( ) ( ), ( ),... ( ),..., ( )I I I k I n I (1.16)

2.4 Mecnica dos Slidos

2.4.1 Equaes Fundamentais

Considerando o slido de o domnio , com superfcie de fronteira e foras de

volume b , como representado na figura 8. Podemos dividir esta fronteira em dois tipos,

as fronteiras essenciais u e as naturais t . As primeiras relacionam-se com os

impedimentos dos deslocamentos, enquanto as naturais esto relacionadas com a

aplicao das cargas t . (Belinha, 2010)

Figura 8 - (Belinha, 2010) Slido de domnio e superfcie , sujeito a um campo de foras t , aplicado na

fronteira natural t e deslocamentos restringidos na fronteira essencial u .

30

Considerando um volume infinitesimal do slido de dimenses , sujeito a

um estado de tenso na sua superfcie, com seis componentes distintas,

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

(1.17)

ou ainda na forma vectorial,

T

xx yy zz xy yz zx (1.18)

com as correspondentes deformaes,

T

xx yy zz xy yz zx (1.19)

Considerando u, v e w como os deslocamentos segundo as direces x, y e z,

xx xy

yy xy

zz xy

u u v

x y x

v v w

y z y

w w u

z x z

(1.20)

Sob a forma matricial, as equaes anteriores vm,

Lu (1.21)

onde L o operador diferencial e u o campo de deslocamentos,

0 0 0

L 0 0 0

0 0 0

x y z

y x z

z y x

u

v

w

u

(1.22)

31

2.4.2 Lei de Hooke Relao da tenso com a deformao

Atravs da Lei de Hooke generalizada possvel relacionar a tenso e a deformao,

considerando uma deformao que no ultrapasse os limites elsticos do material.

Assim,

c (1.23)

onde c representa a matriz das propriedades do material determinadas

experimentalmente. A lei enunciada pode ser expressa em funo da tenso,

s (1.24)

onde,

1s c (1.25)

10 0 0

10 0 0

10 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

yx zx

x y z

yx zy

x y z

yzxz

x y z

xy

yz

xz

E E E

E E E

E E E

G

G

G

s (1.26)

onde representa o mdulo de Elasticidade segundo a direco i, representa o

coeficiente de Poisson na direco j quando aplicada uma tenso segundo a direco i

e representa o mdulo de corte entre as direces ij (Belinha, 2004).

Esta matriz utilizada para materiais ortotrpicos, sendo as constantes obtidas

experimentalmente. Graas simetria da matriz, possvel relacionar o coeficiente de

Poisson com o mdulo de Elasticidade.

32

2.4.3 Equaes de equilbrio

As componentes do tensor de tenses tm de satisfazer as seguintes equaes de

equilbrio:

0 TL b (1.27)

T (1.28)

Substituindo na equao (1.28), de forma a simplificar, as equaes (1.22) e (1.24),

0TL c L u b (1.29)

2.5 Formulao Matricial

O sistema de equaes da forma forte o sistema de equaes diferenciais que

governam o caso em estudo. Idealmente, atravs desta, obtemos a soluo exacta para o

problema, no entanto, para problemas complexos de engenharia extremamente difcil

(Belinha, 2004).

Pelo contrrio, a forma fraca requer uma consistncia menor nas funes de

aproximao escolhidas (Belinha, 2004). Assim, as formas fracas produzem um sistema

de equaes algbricas estveis que conduzem a resultados mais precisos que a forma

forte (Belinha, 2004).

2.5.1 Forma Fraca de Galerkin

A forma fraca de Galerkin um princpio variacional baseado num princpio energtico.

De todas as possveis configuraes de deslocamento que respeitem as condies de

compatibilidade e as condies de fronteira essenciais, a configurao que corresponde

soluo real aquela que minimiza o Langrangiano, L,

fL T U W (1.30)

33

sendo o funcional L a energia potencial elstica, onde T representa a energia cintica,

U a energia de deformao e fW o trabalho produzido pelas foras exteriores (Belinha,

2010).

Na forma integral, a energia cintica definida por,

1

d2

TT u u (1.31)

onde u a velocidade e a densidade do slido. A energia de deformao, para

materiais elsticos, definida por,

1

d2

TU (1.32)

onde representa o vector deformao e representa o vector tenso. O trabalho

produzido pelas foras exteriores definido por,

d d

t

T T

fW u b u t (1.33)

Minimizando a equao (1.30) e aps a manipulao dos vrios termos (Belinha, 2010),

obtm-se, negligenciando o termo da energia cintica, uma vez que se trata de um

problema esttico, a equao (1.34)

c d d d 0

t

T T TLu Lu u b u t (1.34)

A equao acima representa a forma fraca de Galerkin escrita em funo do

deslocamento para o caso do problema esttico. A principal vantagem desta equao

no ser necessria a integrao por partes para ser resolvida (Belinha, 2004).

Para obter o campo de deslocamentos, necessrio aproximar o deslocamento num

ponto usando as funes de forma e os parmetros do deslocamento nodal dos ns

contidos no domnio do ponto. O prximo passo consiste em obter um conjunto de

equaes algbricas atravs da equao (1.34), e resolvendo essas equaes obtm-se

valores do campo de parmetros nodais do deslocamento para os ns do domnio do

problema (Belinha, 2004).

34

Para a obteno do campo de deslocamentos temos,

( )tn n

h

i j j

j i

u x u (1.35)

onde tn o nmero total de ns do problema, n o nmero de ns dentro do domnio de

influncia do n i, ( )i jx representa do valor da funo de forma do n i em relao ao

n j, sendo j o ponto de interesse, hju o campo de parmetros nodais do deslocamento

e u o campo de deslocamentos.

A formulao utilizada pelo NNRPIM estabelecida em termos da forma fraca da

equao diferencial. Num contexto de utilizao na mecnica dos slidos necessria a

utilizao da equao do trabalho virtual,

d d d 0L d d d (1.36)

onde a deformao d duB , em que B representa a matriz de deformao,

0

0

T

x

y

y x

B (1.37)

o que substituindo no segundo termo da equao (1.37) obtemos,

d d d 0L du d d (1.38)

35

2.5.2 Matriz de rigidez

A matriz de rigidez pode ser determinada tendo em considerao a variao do trabalho

virtual no segundo termo da equao (1.38), em ordem aos deslocamentos generalizados

,du

0

[ d ]

d d

T

I

T T

dL d

d d

d

B

B

K u

(1.39)

onde dB 0 pois apenas so consideradas deformaes pequenas, o que faz com que a

matriz B seja independente de u ; d definida como,

d c d (1.40)

substituindo na equao (1.26),

dT

IdL cB B K (1.41)

2.5.3 Vector Fora

O terceiro termo da equao (1.38) representa as foras de volume que actuam sobre o

slido e o quarto termo as foras aplicadas sobre a fronteira, que podem ser reescritos

como,

2 d bdL d db u f (1.42)

3 d tdL d dt u f (1.43)

onde o vector fora f definido por,

b tf f f (1.44)

que na forma matricial vem,

36

d dT T tf H b H (1.45)

sendo H a matriz das funes de interpolao para o n de interesse i definida por,

i iH I (1.46)

onde i a funo de interpolao para o n i e I a matriz identidade (Belinha, 2010).

2.5.4 Imposio das condies de Fronteira

Devido propriedade de Kronecker das funes de interpolao as condies de

fronteira podem ser impostas directamente. Podemos distinguir dois tipos de fronteira,

nomeadamente, a fronteira essencial, que est relacionada com os deslocamentos, e a

fronteira natural, que est relacionada com a aplicao de foras. Atravs da equao do

trabalho virtual (1.36), a equao de equilbrio pode ser reescrita sobre a forma

matricial,

Ku f (1.47)

cc cd c c

dc dd d d

K K u f

K K u f (1.48)

onde cu so os deslocamentos desconhecidos, du so os deslocamentos prescritos,

e c df f so respectivamente, as foras aplicadas conhecidas e as reaces desconhecidas

devido imposio dos deslocamentos (Belinha, 2010).

37

3 Estudos mtodos sem malha

3.1 RPIM

A abordagem aos mtodos sem malha comeou pelo estudo da formulao RPIM, num

programa desenvolvido pelo Doutor Jorge Belinha, em MATLAB.

Assim, a formulao escolhida a descrita por (Wang & Liu, 2002), onde os parmetros

de forma . Quando no esta a ser estudado o esquema de integrao

nem o domnio de influencia, foram considerados, respectivamente pontos de

integrao por clula de integrao e os dezasseis ns mais prximos do ponto de

interesse.

Para todos os exemplos foi considerada uma viga, representada na figura 9, sob uma

carga vertical uniformemente distribuda na extremidade livre, de intensidade

. Para as propriedades materiais da viga considerou-se um mdulo de elasticidade

e um coeficiente de Poisson . A viga apresenta um comprimento

, uma largura e profundidade de .

Figura 9 Viga em consola

38

As coordenadas do ponto A so .

3.2 Estudo da convergncia

Para o estudo da convergncia do mtodo utilizou-se o erro relativo do deslocamento

vertical do ponto A, variando o nmero de ns e consequentemente o nmero de pontos

de integrao. Assim, a equao do erro relativo vem,

RPIM exacto

exacto

v vErro

v (1.49)

Figura 10 - Deslocamento do ponto A usando a formulao terica e o RPIM com uma malha regular e

irregular.

Observando a figura com os resultados do deslocamento vertical do ponto A,

constatamos que o valor independente do tipo de malha utilizada, ou seja, o

deslocamento calculado do ponto A muito semelhante utilizando uma malha regular

ou uma malha irregular. Consequentemente os resultados obtidos comportam-se de

igual modo em relao soluo exacta. Quando usado um nmero de ns baixo o

deslocamento obtido moderadamente diferente da soluo exacta, no entanto quando o

nmero de ns aumenta esta diferena diminui. Os dados obtidos com a formulao

RPIM parecem convergir para um valor, no entanto sempre superior soluo exacta.

4.50E-01

4.60E-01

4.70E-01

4.80E-01

4.90E-01

5.00E-01

5.10E-01

5.20E-01

5.30E-01

5.40E-01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

De

slo

ca

me

nt

o [

mm

]

log(nmero de ns)

v RPIM REGULAR

v RPIM IRREGULAR

v Exact

39

Figura 11 - Erro do deslocamento vertical do ponto A para uma malha regular e irregular em relao

soluo exacta.

A figura 11 refora a ideia que em ambos os casos, existe uma diminuio do erro com

o aumento do nmero de ns.

3.3 Estudo da integrao

Para o estudo da integrao, considerou-se o mesmo exemplo anterior, com as mesmas

propriedades materiais e de carregamento. Neste caso, fez-se variar a malha de fundo de

integrao, considerando-a cada vez mais densa. Utilizaram-se duas malhas, uma

regular e outra irregular, ambas com 297 ns, para o estudo do deslocamento do ponto

A.

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04lo

g(E

rr)

log(nmero de ns)

RPIM REGULAR

v RPIM IRREGULAR

5.00E-01

5.10E-01

5.20E-01

5.30E-01

5.40E-01

5.50E-01

5.60E-01

5.70E-01

0 2 4 6 8 10

De

slo

ca

me

nto

[m

m]

nmero pontos de integrao por n

V REGULAR

V IRREGULAR

v Exact

Figura 12 - Deslocamento do ponto A usando a formulao terica e o RPIM com uma

malha regular e irregular.

40

Analisando a figura, o deslocamento vertical do ponto A, podemos afirmar que existe

convergncia dos valores obtidos quer para uma malha regular quer para uma malha

irregular, alm de que quando utilizado um nmero suficientemente elevado de pontos

de integrao por n, o tipo de malha no muito relevante pois os resultados do

deslocamento vertical atravs do RPIM so anlogos. Contudo, o valor do deslocamento

obtido, independentemente da malha, um valor diferente do valor exacto, apresentado

a malha regular melhores resultados, quer a nvel de convergncia quer em valor de

deslocamento quando o nmero de ns baixo.

No entanto existe uma zona aonde o deslocamento calculado aproxima-se do

deslocamento exacto para um nmero intermdio de pontos de integrao.

Figura 13 - Erro do deslocamento vertical do ponto A para uma malha regular e irregular em relao

soluo exacta.

Esta ltima afirmao apoiada quando observamos o grfico da figura 13, onde se

nota claramente a zona aonde o erro menor para um nmero intermdio de pontos de

integrao.

Percebemos que, mais uma vez, existe um valor para o qual a formulao RPIM

converge, com o aumento do nmero de pontos de integrao, tanto usando uma malha

irregular como uma malha regular.

3.4 Estudo da influncia

Neste exemplo, pretende-se verificar a influncia do nmero de pontos no domnio de

influncia de cada n. Mais uma vez considerou-se o exemplo da viga em consola, com

-1.70

-1.65

-1.60

-1.55

-1.50

-1.45

-1.40

-1.35

-1.30

-1.25

-1.20

log

(Err

)

nmero de pontos de integrao por n

Erro REGULAR

Erro IRREGULAR

41

as mesmas propriedades materiais e de carregamento. O estudo foi efetuado quer para

uma malha regular como para uma malha irregular.

Figura 14 - Deslocamento do ponto A usando a formulao terica e o RPIM com uma malha regular.

Verificamos atravs da anlise da figura que o deslocamento, independentemente do

tipo de malha, apresenta diferenas em relao soluo exacta que no sero

colmatadas com o aumento do nmero de pontos de influncia por n. No entanto

ambos os resultados convergem sendo praticamente semelhantes quando o nmero de

ns elevado. Pelo contrrio, se se usarem poucos pontos de influncia por n o mtodo

tem alguma variao, apresentando diferenas no valor calculado para o deslocamento,

aonde a utilizao de uma malha regular apresenta melhores resultados.

0.50

0.51

0.51

0.52

0.52

0.53

0.53

0.54

Des

loca

men

to

[mm

]

pontos de influncia por n

v REGULAR

v IRREGULAR

v Exact

42

Figura 15 - Erro do deslocamento vertical do ponto A para uma malha regular e irregular em relao

soluo exacta.

Atravs da anlise da figura 15, o erro relativo vai diminuindo com o aumento do

nmero de ns dentro do domnio de influncia at atingir um mnimo valor ptimo

do parmetro nmero de pontos de influncia, a partir do qual aumenta tanto para a

malha regular como a irregular.

Se com um nmero elevado de ns no domnio de influncia os dois tipos de malha

apresentam resultados semelhantes, com poucos a malha irregular apresenta um erro

superior ao apresentado pela malha regular, ou seja, o nmero de ns dentro do domnio

de influncia apresenta resultados significativamente diferentes quanto usamos uma

malha regular ou uma irregular.

Neste captulo foi estudada a performance do mtodo RPIM, usando malhas regulares e

irregulares, para um problema de uma viga em consola, onde se observaram os

resultados do deslocamento e do erro relativo do deslocamento de um ponto. A

convergncia do valor de deslocamento obtido quando se aumento o nmero de ns na

malha nodal independente do tipo de malha. O estudo da influncia do nmero de

pontos de integrao mostra que existe um valor ptimo que maximiza a preciso do

mtodo. O resultado do deslocamento variando o nmero de pontos de influncia por n

influenciado pelo tipo de malha utilizado.

2.5E-02

log

(Err

)

pontos de influncia por n

Erro REGULAR

Erro IRREGULAR

43

Pode-se concluir que a preciso deste mtodo depende da densidade da malha, nmero

de pontos de integrao e do nmero de ns no interior do domnio de influncia.

Observou-se tambm que a preciso do mtodo, geralmente, diminui com o uso de

malhas irregulares.

44

4 Exemplos Elasto-Plsticos

Neste captulo so apresentados alguns estudos de convergncia e a respectiva

comparao entre mtodos, nomeadamente entre RPIM, NNRPIM.

Apesar de no ser o objectivo deste trabalho, pretendesse demostrar o comportamento

do NNRPIM em relao a outros mtodos bem estabelecidos, usando malhas regulares e

irregulares.

Assim, de modo a avaliar a validade da convergncia utiliza-se o erro mdio do

deslocamento e o erro mdio da tenso definidos por,

2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )1

| |1

| |

Q

i iexacto i iexacto i iexacto

iiexacto iexacto iexacto

n

i exacto

iQ exacto

u u v v w w

n u v w

n

(1.50)

onde n representa o nmero de ns do problema e nQ representa o nmero de pontos de

integrao.

4.1 - Placa Quadrada submetida a tenso uniaxial

Uma placa quadrada, de lado unitria, submetida a uma tenso uniforme ,

e condies de fronteira como representado na figura 16. As propriedades do material

da placa so um mdulo de elasticidade de e um coeficiente de Poisson de

A soluo analtica do problema dada por,

45

xu

E L

yv

E L

(1.51)

O problema foi discreterizado em malhas regulares e irregulares, como as que podemos

observar na figura abaixo.

Figura 16 Placa quadrada submetida a uma tenso uniaxial.

Figura 17 a) Malha regular. b) Malha irregular.

46

Nas figuras abaixo so apresentados os estudos de convergncia do deslocamento para

os pontos A, B, C de coordenadas, ,

respectivamente, usando a formulao NNRPIM e RPIM, e o erro em relao soluo

analtica.

Figura 18 - Deslocamento do ponto A para o problema da placa unitria.

A convergncia dos resultados obtidos para o deslocamento vertical do ponto A

atingida primeiro pela formulao RPIM, e utilizando um nmero suficiente de ns na

malha o deslocamento calculado muito semelhante nas quatro situaes, e aproxima-

se no valor terico.

Figura 19 Erro do deslocamento do ponto A em relao soluo analtica.

Atravs da figura 19 reforada a ideia da mais rpida convergncia do mtodo RPIM.

O erro relativo do deslocamento do ponto A utilizando uma malha regular ser

semelhante para as duas formulaes apresentando o RPIM um valor ligeiramente

9.70E-02

9.80E-02

9.90E-02

1.00E-01

1.01E-01

1.02E-01

1.03E-01

1.04E-01

1.05E-01

1.06E-01

1.07E-01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

Des

loca

men

too

[m

m]

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Regular

RPIM Irregular

Analitico

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Regular

RPIM Irregular

47

melhor. No entanto quando se utiliza um nmero suficiente de ns a formulao RPIM

com malha irregular apresenta os melhores resultados, porm a tm a pior

convergncia.

Figura 20 - Deslocamento vertical do ponto B para o problema da placa unitria.

Analisando a figura 20, onde est representado o deslocamento vertical do ponto B,

podemos desde logo dizer que existe uma convergncia independentemente do mtodo

ou malha utilizada, e para o valor da soluo terica. Os resultados obtidos utilizando a

formulao NNRPIM aproximam-se da soluo terica por valores inferiores a este,

pelo contrrio a utilizao RPIM leva a uma aproximao dos valores por excesso.

Figura 21 - Erro do deslocamento vertical do ponto B em relao soluo analtica.

-3.50E-02

-3.00E-02

-2.50E-02

-2.00E-02

-1.50E-02

-1.00E-02

-5.00E-03

0.00E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

Des

loca

men

to [

mm

]

log(Nmero de Ns)

NNRPIM_Regular

NNRPIM_Irregular

RPIM_Regular

RPIM_Irregular

Analitico

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM_Regular

NNRPIM_Irregular

RPIM_Regular

RPIM_Irregular

48

Observando a figura 21, o erro relativo do deslocamento vertical de B, superior

usando a formulao NNRPIM. Com o aumento do nmero de ns este erro diminui,

independente da malha para as duas formulaes confirmando os resultados do

deslocamento. Os valores obtidos so em geral independentes do tipo de malha, pois s

com um nmero elevado de ns se nota alguma diferena.

Figura 22 - Deslocamento horizontal do ponto B para o problema da placa unitria.

Para o deslocamento horizontal do ponto B, os valores obtidos pela formulao RPIM

convergem mais rapidamente para o valor exacto e apresenta-se mais prximo deste que

os obtidos com a formulao NNRPIM, no entanto os resultados so muito similares

quando utilizado um nmero elevado de ns.

Figura 23 - Erro do deslocamento horizontal do ponto B em relao soluo analtica.

9.40E-02

9.60E-02

9.80E-02

1.00E-01

1.02E-01

1.04E-01

1.06E-01

1.08E-01

1.10E-01

1.12E-01

1.14E-01

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

Des

loca

men

to [

mm

]

log(Nmero de Ns)

NNRPIM_Regular

NNRPIM_Irregular

RPIM_Regular

RPIM_Irregular

Analitico

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM_Regular

NNRPIM_Irregular

RPIM_Regular

RPIM_Irregular

49

Atravs da figura do erro do deslocamento, figura 23, observamos a maior facilidade

que o mtodo RPIM ou NNRPIM apresenta em convergir quando utilizada uma malha

regular, no entanto quando usada uma malha irregular na formulao RPIM, o valor

do erro menor quando o nmero de ns elevado. Pelo contrrio, uma malha irregular

leva ao aumento do erro do deslocamento quando usada a formulao NNRPIM.

Figura 24 - Deslocamento do ponto C para o problema da placa unitria.

Figura 25 - Erro do deslocamento do ponto C em relao soluo analtica.

No caso do ponto C, o RPIM os valores tendem mais rapidamente para o valor exacto

dos que obtidos usando o mtodo NNRPIM. No entanto, como nos caso dos pontos

anteriores, com o aumento do nmero de ns o resultado bastante similar, com a

-2.60E-02

-2.55E-02

-2.50E-02

-2.45E-02

-2.40E-02

-2.35E-02

-2.30E-02

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

Des

loca

men

to [

mm

]

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Irregular

RPIM Irregular

Analitico

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E-01 1.E+00 1.E+01

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Regular

RPIM Irregular

50

excepo que usando uma malha irregular o mtodo NNRPIM os resultados apresentam

grandes variaes.

Figura 26 - Erro mdio de tenso para o problema da placa unitria.

Quanto ao erro mdio da tenso, a formulao NNRPIM apresenta valores de erro

menores quando usadas malhas regulares em comparao com os valores obtidos com

formulao RPIM quando usado um nmero elevado de ns. Para malhas irregulares o

erro apresentado superior ao erro das malhas regulares, como era esperado.

Estes resultados levam a concluir que o mtodo NNRPIM mais preciso no clculo da

tenso do que o mtodo RPIM. No entanto, para o clculo dos deslocamentos, o mtodo

RPIM apresenta melhores resultados. A convergncia do valores obtidos superior

neste ltimo mtodo.

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Er)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Regular

RPIM Irregular

51

4.2 - Viga em consola

Neste exemplo, estudada uma viga em consola com uma carga distribuda no lado

livre. As dimenses da viga so e com uma espessura .

Considerou-se o material da viga com um mdulo de elasticidade de e um

coeficiente de Poisson de .

Na figura 28 so apresentados exemplos das malha regulares e irregulares utilizadas.

Figura 28 a) malha regular. b) malha irregular para a viga em consola.

A soluo exacta para o campo de deslocamentos dado por,

a) b)

Figura 27 Viga em consola.

52

22

2 2 2

(2 )3 (2 )6 4

4 5(3 ) 3 ( )

6 4

Py Du L x x v y

EI

P vv x L x L x y D x

EI

(1.52)

onde o momento de inrcia, 3

12DI . O campo de tenses definido por,

22

( )

0

2 4

xx

yy

xy

P L x y

I

P Dy

I

(1.53)

Figura 29 Deslocamento vertical ponto A para o problema viga em consola.

Os valores obtidos pelo mtodo NNRPIM, quer com malhas regulares quer irregulares

apresenta melhores resultados iniciais que formulao RPIM, quando comparamos com

o valor terico. No entanto com o aumento do nmero de ns a preciso do mtodo

RPIM aumenta, sendo no final um pouco melhor que a do NNRPIM. Estes resultados

reflectem-se na evoluo do erro, figura 30.

-0.39

-0.38

-0.37

-0.36

-0.35

-0.34

-0.33

-0.32

-0.31

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

Des

loca

men

to [

mm

]

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Regular

RPIM Irregular

Analitico

53

Figura 30 Erro do deslocamento do ponto A em relao soluo analtica.

Quando o problema discretizado com poucos ns, a formulao NNRPIM apresenta

um erro menor, sendo mesmo a malha irregular a apresentar o melhor resultado. No

final, com nmero elevado de ns os resultados so muito semelhantes.

Figura 31 - Erro mdio de tenso xx para o problema da viga em consola.

Como seria de esperar, o erro assume valores menores para malhas com maior nmero

de ns. Para malhas regulares, o erro da tenso apresenta valores muito semelhantes

com os dois mtodos, apresentando o NNRPPIM um valor ligeiramente melhor para

malhas regulares.

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04lo

g(E

rr)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Regular

RPIM Irregular

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM Regular

NNRPIM Irregular

RPIM Regular

RPIM Irregular

54

No entanto para malhas irregulares, a tenso obtida com o mtodo NNRPIM apresenta

um valor inicial elevado.

4.3 Placa Quadrada com furo circular

Neste exemplo considerada uma placa quadrada, que devido simetria apenas

analisada um quarto desta. O carregamento apresentado na fig. 31 dado por,

2 4

2 4

2 4

2 4

2 4

2 4

3 31 cos(2 ) cos(4 ) cos(4 )

2 2

1 3cos(2 ) cos(4 ) cos(4 )

2 2

1 3sin(2 ) sin(4 ) sin(4 )

2 2

xx

yy

xy

a a

r r

a a

r r

a a

r r

(1.54)

As propriedades do material considerado so um mdulo de elasticidade de

, um coeficiente de Poisson . Quanto geometria da placa, esta tem um

lado de , uma espessura e um orifcio de raio

Figura 32 Placa quadrada com furo circular. S estudamos um quarto da placa

devido simetria.

55

Figura 33 - Erro mdio de tenso xx para o problema da viga em consola.

Aps anlise da figura 33 possvel verificar uma maior preciso para o mtodo RPIM

no clculo da tenso , constatando que com a malha irregular deste so obtidos

menores valores de erro do que com uma malha regular usando a formulao NNRPIM.

Figura 34 - Erro mdio de tenso yy para o problema da viga em consola.

Para o caso da tenso yy , a malha regular RPIM apresenta um erro ligeiramente

inferior ao verificado pela formulao NNRPIM, porem os valores calculados para a

tenso, exceptuando o obtido usando uma malha irregular desta ultima tendem para o

mesmo valor.

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM_Regular

NNRPIM_Irregular

RPIM_Regular

RPIM_Irregular

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM_Regular

NNRPIM_Irregular

RPIM_Regular

RPIM_Irregular

56

Figura 35 - Erro mdio de tenso xx para o problema da viga em consola.

Neste ltimo caso, para tenso , quando utilizados poucos ns a formulao

NNRPIM apresenta um erro superior, no entanto, com o aumento deste o NNRPIM

apresenta melhores resultados para o caso de uma malha regular. A formulao RPIM

apresenta resultados quase independentes do tipo de malha.

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+02 1.E+03 1.E+04

log

(Err

)

log(Nmero de Ns)

NNRPIM_Regular

NNRPIM_Irregular

RPIM_Regular

RPIM_Irregular

57

5 Exemplos de Optimizao

5.1 Algoritmo de Optimizao

A utilizao deste mtodo para a obteno de uma estrutura optimizada baseia-se na

ideia de retirar deste material desnecessrio. Assim, calculada a contribuio de cada

n na estrutura sendo os menos significativos removidos.

O algoritmo desenvolvido neste trabalho teve como base o programa fornecido pelo

Doutor Belinha para anlise esttica de estruturas atravs de mtodos sem malha.

Como tal, executado o NNRPIM, discretizando a malha nodal e atravs dos vizinhos

naturais a malha de integrao e as clulas de influncia. As funes de interpolao so

construdas a partir das clulas de influncia, usando interpoladores Radiais Pontuais

(Belinha, 2010).

assemblada a matriz de rigidez, a qual permite calcular os deslocamentos atravs de

.

agora possvel determinar o campo de tenses e deformaes. Atravs do campo de

tenses calculamos a tenso efectiva em cada ponto de integrao, determinando assim

os ns da malha nodal que sero eliminados, por outras palavras, os ns que

apresentarem menor tenso efectiva so eliminados. A tenso efectiva vem,

Aps a determinao dos ns a serem eliminados, identifica-se os pontos de integrao

correspondentes, estabelecendo-se uma nova malha nodal e de integrao.

58

De seguida so eliminados os domnios dos primeiros vizinhos e dos segundos vizinhos

correspondentes aos ns eliminados.

por ltimo so determinadas as novas funes de interpolao, atravs das novas malhas

nodais e de integrao e das novas clulas de influncia.

ento assemblada uma nova matriz de rigidez e o processo continua at atingir o

critrio de optimizao.

Uma forma de controlar os resultados passa pelo limite mximo de volume retirado

correspondente a 50% do volume inicial, a partir do qual o processo de optimizao

para.

O processo para tambm quando algum dos ns da fronteira natural retirado.

59

Figura 36 Algoritmo de optimizao

60

5.2 Viga em consola carga a meio da extremidade livre

Neste exemplo considerou-se uma viga em consola como representado na figura, onde

0.2 xL m , 0.10 yL m com uma espessura 0.005 t m . Com uma carga aplicada a

meio da extremidade livre 3 P kN , sendo a extremidade esquerda encastrada. O

mdulo de elasticidade 207 GPaE e o coeficiente de Poisson, 0.3 . O rcio de

remoo de ns de 2 % (NRR) do nmero inicial de ns.

A malha de ns utilizada a representada na figura abaixo, tendo a estrutura sido

discretizada em ns. Usando como critrio de optimizao o volume da pea

final, obtemos a estrutura da figura 39.

Figura 37 - Viga em consola com carga a meio da extremidade livre

Figura 38 Malha 60x40 utilizada para discretizar o problema.

61

Figura 39 estrutura optimizada aps 12 iteraes para o problema 1.

A estrutura formada assemelha-se interiormente a uma estrutura articulada, e por fora

apresenta uma variao contnua. Os pontos que aparecem isolados no conseguiram ser

eliminados nesta iterao.

Figura 40 campo de tenses aps 12 iteraes para o problema 1.

62

Com o auxlio da figura 40, a representao do campo de tenses da estrutura

optimizada, apercebemo-nos que a distribuio da carga de faz por tudo a estrutura ao

invs de se encontrar concentrada nas zonas de fronteiras naturais e geomtricas. Assim,

alm destas, as zonas mais solicitadas da estrutura so as que se encontram o permetro

das cavidades formadas pela remoo de material.

. A remoo de material apresenta uma evoluo constante, devido ao nmero de ns

retirados ser uma percentagem constante do nmero de ns inicial.

Para melhor compreender a evoluo topolgica da estrutura sob este tipo de

carregamento, nas figuras abaixo podemos ver a sua evoluo.

Figura 41 - Percentagem do volume inicial em cada iterao para o problema 1.

63

Na figura 43 est representada a estrutura inical, onde podemos observar pelo campo de

tenses que existe uma rea onde o material praticamente no solicitado, no entanto

existem, nas zonas de fronteira na aplicao da carga e no impedimento dos

deslocamentos picos de tenso.

Aps as primeiras duas iteraes removido material na zona menos solicitada da

estrutura, no entanto a rea de material desnecessrio ainda significativa.

Na figura 42 a estrutura j desenvolveu cavidades e ramificaes centrais, existindo uma

concentrao de tenses nestas novas zonas. Podemos tambm observar que a zona sobre

tenso devido s condies de fronteira essencial aumenta na direco ao centro da

estrutura, devido em grande parte cavidade que se formou na zona esquerda.

Figura 42- Estrutura optimizada aps 2 iteraes e respectivo campo de tenso efectiva

Figura 43 Estrutura inicial e respectivo campo de tenses

64

Aps dez iteraes a estrutura apresenta-se com uma forma muito semelhante final,

contendo mais cavidades e ramificaes do que a observada na figura anterior. Nesta as

tenses distribuem-se mais por todo o domnio da estrutura, restando poucas zonas

significativamente pouco carregadas.

Atravs da anlise das ltimas figuras, observamos que primeiro retirado o material

que se encontra livre em torno da aplicao da carga e material com pouca solicitao

na zona das condies de fronteira geomtrica. Aps estes primeiros ciclos, o material

retirado da zona interior da pea, formando estruturas articuladas.

De notar que a estrutura obtida simtrica.

Figura 44 Estrutura optimizada aps 6 iteraes e respectivo campo de tenso efectiva

Figura 45 Estrutura optimizada aps 10 iteraes e respectivo campo de tenso efectiva

65

Os resultados obtidos so muito semelhantes aos apresentados por (Nha Chu, Xie, Hira,

& Steven, 1997).

5.3 Viga em consola carga ponto superior da extremidade livre

Para este exemplo considerou-se a mesma situao do problema anterior, no entanto,

com a carga na parte superior da viga, como demonstra a figura.

Comparando com o exemplo anterior, a nica diferena o ponto de aplicao da carga.

A malha utilizada para discretizar o domnio novamente ns.

Figura 46 - Viga em consola com carga na parte superior da extremidade livre.

Figura 47 Malha utilizada para discretizar o problema

66

Tal como no problema anterior, a parte central da estrutura apresenta cavidades e

ramificaes, assemelhando-se a uma estrutura articulada. A zona perifrica mostrar-se

com uma curvatura na zona oposta aplicao da carga. Por outro lado muito pouco

material retirado da parte superior da estrutura, aonde se encontram duas zonas

crticas.

Figura 48 Estrutura optimizada aps 24 iteraes.

Figura 49 Campo de tenso efectiva da estrutura optimizada final.

67

Na figura 49 est representado o campo de tenses da estrutura final optimizada, que, a

par com o problema anterior, tem um nvel de carregamento notoriamente aplicado a

todo o domnio do problema. Existem as zonas aonde a tenso efectiva elevada

quando comparada com a restante estrutura, por exemplo, nas zonas de fronteira natural

e geomtrica e nos contornos das cavidades formadas pela remoo do material.

A topologia final assimtrica devido colocao da carga no extremo superior direito

do domnio.

A evoluo do volume da pea apresentado na figura 50, onde podemos ver que existe

uma 25 iterao, no entanto nesta so eliminadas as condies de fronteira essencial,

pelo qual o programa aborta o ciclo de optimizao. Neste caso a remoo de ns no

to linear como no caso onde a carga se encontrava a meio, no entanto a razo pode

passar pelo maior nmero de iteraes obtidas devido ao rcio de remoo ser 1%.

Para melhor compreender a evoluo topolgica da estrutura sob este tipo de

carregamento, nas figuras abaixo podemos ver a sua evoluo.

Figura 50 - Percentagem do volume inicial em cada iterao para o problema da viga em

consola com carga na extremidade superior.

68

Na figura51 est representada a estrutura inical, onde podemos observar pelo campo de

tenses que existe um dominio onde o material no carregado, no entanto existem, nas

zonas de fronteira, natural e essencial, tenses elevadas.

Figura 52 - Estrutura optimizada aps 10 iteraes e respectivo campo de tenso efectiva.

Na figura 52 a estrutura j desenvolveu cavidades e ramificaes centrais, existindo uma

concentrao de tenses nestas novas zonas. Na zona exterior j foi retirado o material

desnecessrio.

Podemos tambm observar que a zona sobre tenso devido s condies de fronteira

essencial e natural mantm praticamente a mesma intensidade, ou seja, a remoo de

material aps dez iterao afectou muito a distribuio da tenso pelo domnio da estrutura.

Figura 51 Estrutura inicial e campo de tenso efectiva correspondente