Strumentazione per bioimmagini Introduzione alle immagini digitali

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Introduzione

• Immagini: risultato di un sistema di acquisizione/elaborazione/visualizzazione della radiazione EM visibile (400-700nm) per riprodurre stimoli visivi “realistici”

•Piu’ generale: analisi di dati/proprieta’ attraverso la loro visualizzazione

temperatura pressione densita’

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Introduzione

ralemultispett]1,0[

colore]1,0[

grigi di scala]1,0[

: ),( 332

NN R

R

R

RIyxIc

Immagine “ideale” continua: le variabili x,y,c e sono continue

Immagine numerica: le variabili x,y,c e sono discrete (quantizzate)

ralemultispett],0[

colore],0[

grigi di scala],0[

: ),(

max

33max

max2

NN ZV

ZV

ZV

ZIyxIc

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Acquisizione di immagini

• Ci si aspetta che un sistema di acquisizione/visualizzazione “ideale”sia in grado di distinguere dettagli a qualsiasi scala (risoluzione “infinita”)

• Ma:

– Limiti fisici (diffrazione, apertura …)

– Campionamento

– Distorsione

Scena da acquisire

Sistema di acquisizione

Immagine (misura)

S(x,y) I(x,y)??

5

Acquisizione di immagini

• Risposta impulsiva del sistema di acquisizione si chiama Point Spread Function (PSF),

• Impulso bidimensionale = punto ideale

Scena da acquisire

Sistema di acquisizione

Immagine (misura)

S(x,y) I(x,y)PSF(x,y)

ddyxIPSFyxPSFyxSyxI IN ,,),(),(,

6

Point Spread Function

• Al diminuire della scala i dettagli tendono a “sfocare” fino a “svanire”

• La Point Spread Foint (PSF) può modellare questo fenomeno

Point Spread Function

Convoluzione

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Rumore

Il rumore nelle immagini puo’ essere generato in qualsiasi punto della catena del segnale:

• Rumore gaussiano (termico): • Speckle noise (elettrico): il rumore e’ proporzionale (correlato)

all’immagine “sottostante”• Rumore “salt&pepper”: pixel “difettosi” nella camera, transienti anomali

immagine originale Gaussiano Speckle Salt & pepper

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Quantizzazione

• Immagine numerica: le variabili x,y,c e sono discrete (quantizzate)

• Quantizzazione delle coordinate spaziali x,y– Risoluzione: numero di pixel per mm2 di immagine.

All’aumentare della risoluzione aumenta la qualita’, ma anche la memoria richiesta ed i tempi di elaborazione

– Nelle applicazioni biomediche la risoluzione minima e’ determinata dal livello di dettaglio richiesto dalla diagnosi

• Quantizzazione del colore/livelli di grigio– La quantizzazione del colore comporta perdita di dettagli (variazioni). Una

quantizzazione uniforme non e’ sempre la scelta ottimale!

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Qualita’ delle immagini: quantizzazione

quantizzazione

Meno livelli di grigio

Menopixels

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Elaborazione numerica delle immagini

• Immagini come segnali discreti bidimensionali

• Estensione finita: Le immagini digitali vengono “naturalmente” rappresentate da matrici

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

n

m matrice MxN

n[0…N-1]

m[0…M-1]

I=f(n,m)

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Convoluzione/filtraggio

• Come per i segnali 1D e’ possibile definire un prodotto di convoluzione

• E’ possibile applicare i concetti della teoria dei sistemi (deterministici e stocastici) con i dovuti accorgimenti matematici

•modello ingresso-uscita risposta impulsiva del sistema filtraggio

•energia dell’immagine

•autocorrelazione dell’immagine e cross-correlazione con l’uscita: descrizione statistica delle immagini

1

0

1

0

N

r

M

s

s,rhsm,rnfm,nu:gf

12

Convoluzione/filtraggio

• Filtraggio: risposta impulsiva finita (FIR) maschera di convoluzione

3

3

3

3

,,,:r s

srhsmrnfmnuhf

filtro h = FIR 7x7 immagine f

n

m

r

s

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La Trasformata Discreta di Fourier (DFT)

• La 2D DFT e’ definita come

1

0

1

0

2N

n

M

m M

lm

N

knjexpm,npm,npFl,kP

Tempo Continuo

Tempo Discreto

FrequenzeContinuo

Trasformata di Fourier

Trasformata Discreta di Fourier

Frequenze Discrete

Serie di Fourier

Trasformata Finita di Fourier

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Linearità e convoluzione (DFT)

• Teorema della convoluzione:

),(),( lkBlkAbaF baBAF 1

• Linearità della DFT:

),(),(),(),( lkBlkAjibjia F

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Basi della DFT

l crescente

k crescente

• Le MxN basi rappresentano livelli crescenti di dinamica spaziale della scala dei grigi

livelli progressivi dettaglio

• Al variare del rapporto relativo tra l e k: orientazione della base

• Queste immagini mostrano la parte reale di B(n,m) al crescere delle frequenze l,k

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Fast Fourier Transform (FFT)

• Ulteriore motivo di “popolarita’” della DFT: algoritmo veloce di calcolo (FFT). La convoluzione viene calcolata nel dominio della frequenza invece che nel dominio del tempo. Con la stessa facilita’ si realizza la trasformazione inversa (IFFT)

I1

I2

FFT

FFT

IFFT I3

convoluzione

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Fast Fourier Transform (FFT)

• Quando si applica la FFT occorre considerare l’effetto “finestra”:l’immagine è il risultato di un “ritaglio” di una scena che si estende indefinitamente nelle due dimensioni

S

I

A=rect(x0,y0,lx,ly)

Windowing (1)

),(),(),(

),,,(),(),(),(),( 00

vuAvuSvuI

llyxrectyxsyxayxsyxi yx

a(x,y) A(u,v)

Comparsa di alte frequenze

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Windowing (2)• Un metodo per risolvere questo problema è “finestrare” l’immagine con una finestra che

abbia bordi smooth: funzioni a decrescenza rapida

i(x,y)a(x,y)i(x,y)a(x,y)

F(i(x,y)a(x,y)) F(i(x,y))

FFT FFT

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Risoluzione in frequenza

•Se abbiamo N campioni di un segnale x(0), x(),x(2), … x((N-1)):

njN

n

enxN

X

1

0

)(1

)(

N

u

•La risoluzione in frequenza è tanto maggiore quanto più elevato è il numero di campioni N!

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Filtraggio nel dominio della DFT

low-pass

band-pass

high-pass

IDFT

DF

T filtraggio

•Le frequenze alte sono associate alle transizioni “rapide” (bordi)

•Le frequenze basse sono associate alle transizioni “lente”

blu: stop-band del filtro