Struttura Nucleare

F. A.

Potenziale Nucleone – Nucleone VNN

anni 80-90 potenziali di alta precisione (χ2/dato ≈ 1) costruiti sulla

base di modelli di scambio di pioni (Parigi, Bonn, …)

→ dalla Effective Field Theory alla chiral perturbation theory

→ esistenza di uno sviluppo sistematico in termini di (Q/Λχ)n - potenziali NNLO ( Epelbaum 2000) ed N3LO (Machleidt 2003)

• χ2/dato confrontabile con quello di potenziali fenomenologici di alta precisione • generazione naturale di forze a più corpi

repulsione a brevi distanze (alti impulsi) Approccio standard

Matrice di reazione G risomma tutte le eccitazioni di due particelle al di sopra di un fissato livello di Fermi (ladder diagrams) → dipendenza dall’energia

Vlow-k

Fissato un valore di taglio Λ per l’impulso, è possibile disaccoppiare gli spazi k<Λ e k>Λ e definire in ognuno di essi un potenziale a partire da VNN

Proprietà di Vlow-k

• riproduce, per l’energia di legame del deutone ed i dati della diffusione elastica NN fino al cutoff Λ, i risultati del potenziale VNN

• potenziale smooth che può essere direttamente usato sia in calcoli di campo medio che nella definizione dell’interazione efficace del modello a shell

),',(1

),'(/2),'(),,'( 222

2

0

2 kkqTqk

qkdqVqkkVkkkT klowklowklowklow

',),',(),',( 22 kkkkkTkkkT klow

• Generazione dell’interazione efficace del modello a shell Q-box + folded diagrams→ Studio di nuclei esotici in prossimità dei nuclei magici 100Sn e 132Sn (Covello et al. Phys.Rev.C 2006)

- Test dell’interazione n-p - Necessità di modifiche nelle spe in nuclei molto spostati verso la drip line neutronica

→ Spettroscopia di nuclei complessi nella regione dello Sn (Guazzoni et alPhys.Rev.C 2005)

Softness di Vlow-k

→ Calcoli autocompatibili di modello a shell nei nuclei leggeri della shell p (Coraggio et al Phys.Lett. 2005)

- HF per i core di 4He + interazione efficace nella base HF così ottenuta

→ Proprietà dello stato fondamentale di nuclei magici (Coraggio et al. Phys.Rev.C 2006)

- HF + termini dello sviluppo perturbativo di Goldstone fino al terzo ordine

CBF Metodo delle Funzioni di Base Correlate(Bisconti et al.Phys.Rev.C 2006)

Approccio variazionale

Stato fondamentale di un sistema di A nucleoni

Ψo(1,2,…,A) = S[Πi<j Fij ] Φ0(1,2,…,A)

Le funzioni di correlazione F hanno la forma

Fij = Σp fp(rij) Opij

Op operatori di spin,tensoriali,spin-orbita ed isospin

tecnica di risommazione FHNC nell’approssimazione SOC

applicazioni a nuclei medio pesanti con differenti numeri di protoni e neutroni

Interazioni a due e tre corpi (Argonne, Urbana)

→ energie di legame , distribuzioni di densità ad uno e a due corpi

Teorie di campo medio interazione efficace ↔ funzionale E[ρ] non relativistico ( Skyrme, Gogny)

relativistico (Finelli et al. Nucl.Phys. 2006)

L = Lfree+ L int + Lem costanti di accoppiamento G = G(0) + G(π)

connessioni alla QCD

Stato fondamentale → punto di equilibrio del funzionalepiccole oscillazioni → stati eccitati vibrazionali descritti in approssimazione armonica RPA

→ mezzo molto efficiente and elegante per caratterizzare i modi collettivi |ν> =Q†

ν |0> Qν |0> = 0

[H,Q†ν] ≈ ħω Q†

ν

Q†ν = Σph [Xν

ph a†p ah + Yν

ph a†h ap ]

• L’approssimazione di quasi bosoni in cui è ricavata è adeguata solo le correlazioni nello

stato fondamentale sono trascurabili.

(Colò et al. Phys.Rev. 2004) Compressibilità K∞ della materia nucleare ↔ KA → EISGMR = ( ħ2 A KA / m <r2> )½

calcolo microscopico della relazione fra KA e K∞

consistenza del calcolo → accordo risultati non relativistici ~235 MeV RMF → 255 MeV→ Skyrme dipendenza dalla densità α =1/6 o α=0.3563

Risonanze scambio carica (Colò et al Phys.Rev. 2005 , Guillot et al. Phys.Rev.

2006)

reazioni (p,n) ed (3He,t) risonanze giganti isovettoriali → interazione T=1, energia di simmetria IAR ( ΔL=ΔJ=ΔS=0) GTR (ΔL=0 ΔJ=ΔS=1)Calcolo HFB +QRPA completamente consistente→ andamento delle energie delle IAR nella catena isotopica 104-132Sn

→ analisi delle sezioni d’urto misurate nelle reazioni (t,3He) su 48Ca e

58Ni

→ (Bortignon et al. Eur.Phys.J. 2005) Risonanze multipolari giganti nei nuclei esotici doppiamente magici 78Ni 100Sn 132Sn • risultati abbastanza simili a quelli dei nuclei stabili – • ISGMR nel 78Ni

Effetti di polarizzazione del mezzo→ (Baroni et al.) effetti delle correlazioni QRPA sulle energie di legame di varie catene isotopiche Ecorr = -(2λ+1) ∑λnελ(n) ∑ki|Yλ

ki(n)|

→ Pairing gaps (Donati et al. J.Phys.G 2005 , Gori et al. Phys.Rev. 2005 ,Barranco et al Phys.Rev. 2005)

Δπ(N,Z)= -½ [B(N-1,Z) + B(N+1;Z) - 2B(N,Z)]

• l’interazione bare rende conto solo ≈ 50 %• rinormalizzazioni → scambio di vibrazioni superficiali di bassa energia fra coppie di nucleoni in stati time-reversed prossimi alla sperficie di Fermi

(Lo Iudice et al. Phys. Rev.C 2004,2006)

Scissors mode in nuclei rapidamente rotanti e superdeformati Cranked QPRA [HΩ, Oν

†] = ħων Oν†

HΩ = H0 - Σ(τ=p,n) λτ Nτ - ħ Ω I1 + V

V=VPP+VQQ+VMM+Vσσ

Trasformazione di Bogoliubov → operatori di quasiparticella

M1 summed strength e momento d’inerzia

• m1(M1)sc

= Σn ωn Bn (M1)

=(3/8π ) J ω2

(scissors mode)

M1 moments and moment of inertia

m1(M1)sc =

= Σn ωn Bn (M1) =

(3/8π ) J ω2

(signature of the scissors mode )

Evidenze sperimentali di eccitazioni multifononiche

* Bassa energia M. Kneissl. H.H. Pitz, and A. Zilges, Prog. Part. Nucl. Phys. 37, 439 (1996); M. Kneissl. N. Pietralla,

and A. Zilges, J.Phys. G, 32, R217 (2006) : • Multipletti a due e tre fononi

Q2 × Q3|0>, Q2×Q2×Q3|0>

• Stati protone-neutrone (F-spin) di simmetria mista (N. Pietralla et al. PRL 83, 1303 (1999)

[Q2(p) - Q2

(n)] (Q2(p) + Q2

(n)) N|0>,

** Alta energia(N. Frascaria, NP A482, 245c(1988); T. Auman, P.F. Bortignon, H. Hemling, Ann. Rev. Nucl. Part.

Sc. 48, 351 (1998))• Doppie and (probabilmente) triple risonanze dipolari giganti D × D |0>

Dal campo medio ad approcci multifononici• estensioni dirette della RPA (e della SRPA) che vanno oltre l’approssimazione di quasi-bosoni (Gambacurta et al.P.R.2006)

RPA ed SRPA →

Applicata ad un modello (solubile) di Lipkin a tre livelli.

ERPA e ESRPA migliorano i risultati delle corrispondenti versioni non estese per energie di correlazione dello stato fondamentale,energie di eccitazione, strength functions e numeri di occupazione

HFaaaaZNRPAHF hphphhpp

''''2

11

HF0

''

''''hp

phphhphp YZX

Stati dipolari in nuclei stabili e instabili(Bortignon et al. Phys.Lett.B 2004)

QRPA + Phonon Coupling

HF + BCS e QRPA • interazione Skyrme nel canale p-h e zero range pairing dipendente dalla densità nel canale p-p

• inclusione di stati 2p-2h (o 4 qp) descritti come coppie p-h più uno stato collettivo di bassa energia

→ accordo con i dati sperimentali ( energia ed ampiezza della GDR ) in 120Sn e 208Pb → previsioni per 132Sn

Sviluppi bosonici

• Operator mapping (S. T. Belyaev and V. G. Zelevinsky, Nuc. Phys. 39, 582 (1962))

b†

μ = Σ

ph c

ph a

†

pah ⇨ b†

μ = Σ

ix

i B

†

i + Σx

ijk B

†

i B

†

j B

†

k + …..

[Bi, B†

j] = δ

i j

Vanno sodisfatti i commutatori Fermionici esatti

[bν ,b†

μ ] = Σ

c

ph c

p’h’ [a

†

h’ap’ , a†

pah ]

⇨ fissa i valori dei coefficienti xi xijk …

• State vector mapping (T. Marumori et al. Prog. Theor. Phys. 31, 1009 (1964))

|n> = b†

μ b†

ν ….b†

ρ |0> ⇨ |n) = B

†

i B

†

j …..B

†

k |0)

<n|OF|n> = (n|O

B|n)

→ In generale convergenza dello sviluppo piuttosto lenta

(Gambacurta et al. P.R. 2006) N coppie in Ω livelli doppiamente degeneri equispaziati stati di seniorità zero Hamiltoniana di pairing H = Σi εi Ni – g Σij P†

i Pj

Soluzioni esatte (Richardson 1965) note

Sviluppo bosonico alla Marumori → immagine hermitiana di H che include solo termini a due e quattro operatori bosonici→ rappresentazione p-h per studiare possibili estensioni della RPA

Mapping fenomenologico FB → IBM modello algebrico• descrive il nucleo in termini di bosoni efficaci costruiti a partire dai nucleoni di valenza• interazioni dipendenti da parametri aggiustati alla riproduzione di dati sperimentali .

Nel caso più semplice A

J=0,2= Σ c

ij (a†

i ⊗a†

j)

J=0,2 → (s, d)

• Per valori particolari dei parametri gli autovalori dell’Hamiltoniana possono essere classificati secondo specifiche catene di sottogruppi di O(6)

• applicato con successo nella spettroscopia di bassa energia

• stati multifononici a simmetria mista• transizioni di fase di forma legate alle simmetrie ai punti critici introdotte da Iachello simmetrie E(5), X(5), Y(5)

(Fortunato et al. Nucl.Phys.2006,Phys.Rev.C 2006)

→ soluzioni analitiche dell’Hamiltoniana di Bohr

→ soluzioni approssimate nel caso di nuclei triassiali con vari potenziali modello applicazioni agli isotopi dell’Osmio

(Vitturi et al. Phys.Rev.C 2005)

→ studio dell’analogo della transizione sferico – gamma instabile nel caso dei nuclei pari-dispari nell’ambito dell’IBFM

H = HB + HF + VFB

un parametro in HB permette la transizione del core bosonico riproducendo la transizione di fase di forma descritta da Iachello con la superalgebra E(5/4)→ nuova banda eccitata→ possibile uso dei fattori spettroscopici fra nuclei pari e dispari vicini come segnatura della transizione di fase

Stati pn a simmetria mista → IBM2

• Stati simmetrici protone-neutrone (F=Fmax)

|n, ν>s = QSn |0 >

= (Qp + Qn)n |0 >

• stati pn a simmetria mista (MS) (F = Fmax -1)

|n, ν>MS = QAQS (n-1) |0 >

= (Qp - Qn) (Qp + Qn) (n-1) |0 >

• Segnature:

• Grandi B(E2; n→n+1) fra stati con la stessa

simmetria pn che differiscono per un fonone

• Grandi B(M1; n→n) fra stati con lo stesso

numero n di fononi e differente simmetria pn

Multiphonon spectrum in 94Mo

(Lo Iudice et al. Phys. Rev. 2006) QPM Hamiltoniana separabile

• a†p ah (αiαj,α

†α†i) (Bogoliubov)

• (αiαj,α†α†

i) (Qν , Q†

ν) ( fononi RPA)

• H HQPM= Σiν ωiν Q†

ν Qν + Hvq

• Ψν (JM) = Σici Q†

ν(i) +

+ Σij cij Q† (i) Q

†(j) +

+ Σijk cijk Q†(i) Q

†(j) Q†(k)

Risultati QPM• Transizioni permesse (solo fra stati con la stessa simmetria pn)

M(E2) ~ Q† + Q

B(E2; n → n+1)• Transizioni Proibite (solo fra stati con differente simmetria pn)

M(M1) ~ α†iα

j

B(M1; n → n)

IBM and QPM Picture•

n=2 M1 n=2 E2

n=1 E2 M1 n=1 E2

n=0 Sym MS

Stati 0+ in nuclei deformati (Lo Iudice et al. Phys.Rev. C 2005,2006)

• Grande numero di livelli 0+ popolati in esperimenti (p,t) (Munich, Koln, Yale coll.)

• 158Gd n=13 0+ (E< 3.2 MeV)

• 228Th, 230Th and 232U n ~10 0+ (E< 3.0 MeV)

• 168Er n ~ 22 0+ ( E < 4 MeV )

H = HWS - G0 P†0 P0 - Σ

τλ G

τλ P†

λ Pλ

- Σλ

τ1τ2 κλ

τ1τ2 M†λ (τ1)

M λ

(τ2)

dove τ = p,n  

Pλ ≡ pairing multipolare compreso quadrupolo Mλ = Rλ (r) Yλμ (,) ≡ campi di multipolo compreso ottupolo

Stati QPM

Ψn = Σi Ci (n) | i, 0+ > + Σij Cij (n) | (λi λj)0+ >

Base

| i, 0+ >RPA | (λi λj)0+ > λ = 1,2,3,4,5

approccio QPM

Risultati

• La sola RPA non dà conto di tutti il livelli 0+

• E’ necessario includere il sottospazio di due fononi

• Nessuno degli stati 0+ ha collettività quadrupolare → pairing vibrations

• Stati ottupolari di bassa energia solo nel 158Gd

In linea di principio un calcolo di ˝ modello a shell ˝ è il modo più accurato per riprodurre lo spettro di un sistema e valutarne le anarmonicità.

→ studio del cluster metallico Na8 nell’ambito di un modello a jellium (Catara et al. Phys.Lett.A 2006)

base di HF - eccitazioni fino a 4p-4h

l’analisi delle transizioni di dipolo permette l’identificazione degli stati interpretabili come eccitazioni plasmoniche (GDR) singole e doppie e

di valutarne l’anarmonicità

→ numericamente gravoso -impraticabile per strutture più complesse

Un metodo di equazioni del moto per la soluzione esatta del problema agli autovalori in uno spazio multifononico microscopico

∙ problema agli autovalori in uno spazio multifononico H | Ψ ν > = Eν | Ψ ν >

→ Generazione iterativa della base multifononica con l’uso di equazioni del moto

|n; β> = Σ α ph cβph a

†

p ah | n-1; α >

Ingrediente fondamentale

< n; β | [H, a†p ah] | n-1; α> →

< n; β | [H, a†p ah] | n-1; α> = ( Eβ

(n) - Eα

(n-1)) < n; β | a

†

p ah| n-1; α >

• ortogonalità dei sottospazi con differente numero di fononi

• calcolo e linearizzazione del commutatore tutte le quantità necessarie definibili iterativamente

→ Generazione di una successione di problemi agli autovalori nei singoli sottospazi |n; β> = Σ α ph c

αph a

†

p ah | n-1; α >

ridondanza del’’insieme degli stati di base →

analisi della matrice degli overlaps

H = Σ nα

E α

(n) |n; α><n;α| + (diagonali)

n’ = n ±1, n±2 + Σ

nα β |n; α><n;α| H |n’;β><n’;β| (non diagonali)

• eliminazione della spuriosità di CM