STUDI CIRCA LA FORMAZIONE E LO SVILUPPOPROFESSIONALE DEGLI INSEGNANTI

We present the main research topics on teachers’ mathematicseducation and professional development and we sketch sometheoretical frames and constructs which now are used ineducational practices for teachers. We report about some Italianresearch studies realized in this frame and also about some studiesof ours realized with/for teachers to approach early algebraaccording the new trends of teaching/learning. We conclude withsome considerations on the social relapse of these studies and inparticular on the indications they offer for the future teacherseducation.

Nicolina A. MalaraDipartimento di Matematica

Università di Modena e Reggio E.

STUDI CIRCA LA FORMAZIONE E LO SVILUPPOPROFESSIONALE DEGLI INSEGNANTI

Nicolina A. MalaraDipartimento di Matematica, Università di Modena e Reggio E.

In ricordo di Donatella Iannece,vera formatrice di insegnanti,generosa, sensibile e schiva,carissima ‘sorella di cuore’.

SOMMARIO Si presentano le principali tematiche di ricerca sullaformazione e lo sviluppo professionale in matematica degli insegnanti e sidescrivono brevemente alcuni quadri e costrutti teorici oggi entrati nellapratica della formazione. Si presentano alcuni studi italiani realizzati inquesto campo ed anche nostri studi realizzati con/per insegnanti perl’avvio all’early algebra secondo le attuali indicazioni di insegnamento/apprendimento. Si conclude con alcune considerazioni circa la ricadutasociale di tali studi ed in particolare sulle indicazioni che offrono per lafutura formazione degli insegnanti.

INTRODUZIONEIl problema della formazione degli insegnanti è un problema

costante che si pone in modo forte in particolari momenti storici, acausa dell’evoluzione delle conoscenze, dei mutamenti sociali e deibisogni educativi che si affacciano nelle società.

Nel mondo occidentale gli anni ‘60 hanno segnato una svoltaepocale che ha portati mutamenti sull’educazione ed anche

sull’insegnamento della matematica. In Italia nasce la scuola mediaunica, viene abolito il latino e viene unificato l’insegnamento dellamatematica con quello delle scienze, cosa che pone il problemadella formazione degli insegnanti (De Finetti 1964). Viene inoltrestudiata una proposta di ristrutturazione della scuola secondariasuperiore e vengono messi a punto nuovi programmi con unanotevole amplificazione e ristrutturazione dei contenuti diinsegnamento (De Finetti 1967). In tali programmi vienepropugnata una nuova visione dell’insegnante: questi non è più unmero esecutore di un programma predefinito anno per anno ma èvisto come professionista dell’educazione, con una sua cultura eduna sua capacità di decisionale circa i contenuti da insegnare,l’organizzazione e la scelta dei tempi e delle relative modalità. Vi èuna grande enfasi verso i problemi dell’insegnamento/apprendimento della matematica, si riconosce la necessità diinvestimenti nel settore dell’educazione scientifica e vengonorealizzati investimenti oltre che nella scuola anche nell’universitàper la ricerca sulla didattica delle discipline scientifiche.

Negli ambienti della ricerca didattica in Europa da quegli anni adoggi si è assistito ad un profondo mutamento. Alle iniziative dellacommissione CIEAEM (Commission International pour l’Étude etl’Amélioration de L’Enseignement des Mathématiques), negli anni’60 propulsiva di una ‘rifondazione’ dell’insegnamento matematicosu basi più concrete e lontane dal rigore logico della tradizioneeuclidea, se ne affiancano altre per gemmazione, come quelle delGIRP (Groupe International de Recherche en Pedagogie de laMathematique). Nel 1969 si ha la nascita dell’ICME (InternationalCommission for Mathematics Education), data che si puòidealmente considerare come l’inizio della costituzione dellaEducazione Matematica come disciplina. Alcuni anni più tardi(1976) nasce il gruppo internazionale PME (Psychology of

Mathematics Education) oggi amplissimo e leader nel mondo. Conla caduta del muro di Berlino e sull’onda della visione di un’europaunita nasce l’ERME (European Society for Research inmathematics Education) e prende avvio il relativo congressobiennale CERME (1998).

La fine del novecento vede un fitto fiorire di iniziative e di studia livello sia nazionale sia internazionale con importanti momenti diconfronto collettivo tra i ricercatori ai congressi PME, CIEAEM,CERME e soprattutto ai congressi quadriennali ICME, che indicanomutamenti di prospettiva e danno il via a nuovi percorsi di ricerca.Al decimo congresso ICME (Copenhagen, 2004) Anna Sfard (2005)traccia una breve sintesi della evoluzione delle tematiche di ricercain Educazione Matematica affrontate dagli anni ’70, evidenziando ilsuccedersi di tre periodi: il primo rivolto allo studio dei curricoli edella programmazione di classe (planning era), il secondo rivoltoagli apprendimenti ed alle difficoltà degli studenti (students era), ilterzo, rivolto agli insegnanti ed ai problemi della loro formazione(teachers era). Nello stesso congresso, in seduta plenaria, un paneldi ricercatori presenta un quadro della ricerca internazionale sullaformazione degli insegnanti indicando nuovi possibili indirizzi,quali ad esempio l’avvio di studi su vasta scala tramite iniziativeistituzionali (Adler & al. 2005).

L’imporsi di questo tema ed il crescente interesse verso di esso èdocumentato dal rapido affermarsi della rivista internazionaleJournal of Mathematics Teachers Education, nata nel 1996 edivenuta in breve tempo il principale riferimento per i ricercatori delsettore; dal fatto che in seno al PME negli anni 2000 il tema figuracome uno dei cinque principali trattati (Gutierrez & Boero 2006);dalla scelta della commissione internazionale ICMI di dedicare allaformazione ed allo sviluppo professionale degli insegnanti unospecifico studio, il quindicesimo, svoltosi in Brasile nel 2005 (Even

& Ball 2009a). L’attualità del tema è anche testimoniata dallacrescita esponenziale delle presenze nello specifico sottogruppo aipiù recenti congressi europei CERME, basti pensare che all’ultimocongresso, per la numerosità dei contributi offerti, si è dovutospezzare il sottogruppo e raddoppiare il team di coordinamento(Santos & Al 2012).

La centralità del problema della formazione degli insegnanti sideve al profondo mutamento avvenuto nella concezionedell’insegnamento/apprendimento della matematica, visto non piùnel rapporto unidirezionale insegnante→studente, essenzialmenterivolto alla trasmissione di conoscenze ed alla verificadell’apprendimento individuale degli studenti, ma al contrarioconcepito aperto alla interazione nel gruppo classe, centrato sulladevoluzione agli studenti della costruzione del sapere matematicoda acquisire e da svilupparsi nel quadro dell’evoluzione storico-epistemologica della disciplina. Nella ‘Matematica per il cittadino’(Anichini & Al.. 2001-2004) contenente le proposte dei programmiper la matematica dalla primaria alla secondaria superiore messe apunto da un’ampia commissione paritetica UMI e MIUR siprefigura un insegnamento che pone al centro il laboratorio dimatematica e vede l’azione cooperativa degli studenti in rapportodialettico con l’insegnante, azione finalizzata allo studio esplorativodi situazioni problematiche, alla riflessione collettiva su quantoemerso, alla ratifica delle conoscenze prodotte ed al controllo degliapprendimenti. L’obiettivo di fondo è la valorizzazione delpassaggio dai processi di matematizzazione agli aspetti teorici delladisciplina nel rispetto della sua dimensione culturale edepistemologica. Questa stessa prospettiva si trova anche nelleindicazioni nazionali per i licei scientifici oggi in vigore, neidettami del profilo educativo dello studente si richiede infatti lapratica dei metodi di indagine, il costante riferimento al

laboratorio, la pratica dell’argomentazione e del confronto. E’perciò compito dell’insegnante, nello sviluppo dell’attività di classe,guidare la classe nella progressiva e consapevole tessitura della retedi conoscenze prodotte fino a giungere al loro inquadramento inteorie matematiche. Questo radicale mutamento di prospettivanell’insegnamento spiega perché oggi la ricerca sulla formazione esullo sviluppo professionale degli insegnanti sia considerata vitale(Artigue 2011).

Molte e di vario genere sono le questioni attualmente affrontate alivello di ricerca sulla formazione insegnanti. Fare un quadrosintetico ed esaustivo di esse è un’opera non facile per la varietàdelle culture e degli ambienti in cui le ricerche si collocano. Esseriguardano e coinvolgono insegnanti di vari livelli scolari (dallescuole dell’infanzia all’università), di vari tipi di scuole (licei,tecnici, professionali), affrontano questioni inerenti il rapporto degliinsegnanti con l’innovazione curricolare e metodologicanell’insegnamento, con l’uso di artefatti e strumenti multimediali.Centrali sono le ricerche sulla figura dell’insegnante, sulle sueconoscenze e competenze matematiche in riferimento a specifichearee di contenuto, le sue concezioni circa la matematica ed il suoinsegnamento, ma anche i suoi comportamenti, le sueconsapevolezze, le sue emozioni (Malara & Zan 2008). Più direcente si sono intensificate le ricerche sul versante dei percorsi diformazione con uno scivolamento di prospettiva dalla formazioneiniziale a quella in servizio nell’ottica della formazione continua(long life learning), con un’enfasi su strumenti e metodi diformazione (es. interventi in presenza o a distanza, attivazione diforum e piattaforme per la comunicazione, costituzione di comunitàdi pratica o di indagine, ecc) ed osservando i loro effetti sullosviluppo professionale degli insegnanti.

In questo quadro si è affacciata anche la questione dellaformazione dei formatori, figure di raccordo tra ambientiaccademici e scuola reale, in relazione alle pratiche costitutive dellaloro professionalità ed al loro ruolo in esse.

Per dare una idea delle problematiche e dei risultati di ricercaconsolidati su questo tema ci rifacciamo a quanto esposto nelvolume del relativo studio ICMI (Even & Ball cit.). Ciconcentriamo su due tematiche dominanti nel dibattito della ricercaattuale: 1) la questione della specificità del carattere dellaconoscenza matematica necessaria all’insegnamento; 2) laformazione in servizio e le pratiche di osservazione e riflessionecritica di processi di classe come mezzo per lo sviluppoprofessionale degli insegnanti. Tracciamo poi una breve sintesi dialcuni studi italiani realizzati con/per insegnanti e ci soffermiano sunostri studi rivolti alla formazione degli insegnanti per l’avvioall’early algebra ed a metodi e strumenti da noi messi a punto perpromuovere l’osservazione di sé stessi nell’azione di classe.

2. QUESTIONI CIRCA LA FORMAZIONE INSEGNANTIEMERSE DAL 15° STUDIO ICMI

Lo studio ICMI nasce nell’intento di raccogliere risultati etracciare prospettive di ricerca sui problemi della formazioneiniziale e continua degli insegnanti di matematica. Lo studio èorganizzato attorno a due grandi temi: 1) la preparazione degliinsegnanti ed i primi anni di insegnamento; 2) l’apprendimentoprofessionale per e nella pratica. Il primo tema è volto ad indagaresulle modalità della formazione iniziale, sull’intreccio tra contenutiteorici ed attività pratiche nei percorsi di formazione, sull’approccioall’insegnamento ed alle responsabilità della classe degli insegnantinovizi. Il secondo è volto ad individuare come viene affrontato nei

vari paesi il problema del superamento del gap tra formazioneteorica (spesso lontana dai reali bisogni degli insegnanti) e attivitàprofessionale reale e quali sono le tipologie e modalità dei progettimessi in atto per la formazione continua e per lo sviluppoprofessionale degli insegnanti.

Il volume è articolato in tre sezioni, le prime due sono relative aitemi sopradetti, la terza raccoglie contributi di alcuni studiosi suquestioni chiave per la ricerca.

La prima sezione è quella decisamente più ricca di contributi maanche quella più variegata per l’ampia diversità circa i contestiformativi (università, college, scuola, enti terrtoriali), la durata deglistudi (3-6 anni), i contenuti richiesti, per la qualità della offertaformativa. Due i tipi di struttura emersi per i percorsi di formazione:una concorrente dove l’educazione generale si intreccia con quellaprofessionale; un’altra consecutiva articolata in un periodo diformazione generale seguito da uno di preparazioneall’insegnamento.Un aspetto messo in luce nello studio ICMI e generalmenteaccettato, riguarda il fatto che la maggior parte di quello che accadenelle classi è determinato dalla conoscenza individuale degliinsegnanti, a sua volta collegata alla loro esperienza scolasticapregressa. Altrettanto accettato è il fatto che nella formazioneoccorra partire dalle convinzioni dei futuri insegnanti -elementocentrale della loro conoscenza, frutto di una rete di ideeinterconnesse sulla matematica, sul suo l’insegnamento/apprendimento e sulla scuola- generate in tempi molto lontani.Essendo tali concezioni radicate e per questo spesso lontane e nonin linea con quanto la ricerca indica idoneo alle buone pratiche, siritiene di conseguenza che nella formazione occorra operare perriconvertire convinzioni e correggere misconcetti che potrebberoimpedire l’attuazione di un insegnamento efficace (Liljedahl 2005).

Dall’analisi degli effetti dei sistemi di formazione, circa laconoscenza data dei contenuti matematici per l’insegnamento,risulta l’emergere di diffuse carenze negli insegnanti non solo discuola primaria, per effetto dell’educazione generalista chericevono, ma a anche in quelli della scuola secondaria, per effetto diuna educazione avanzata ma paradossalmente nonprofessionalmente adeguata. Un possibile argine al fenomeno,affermano i curatori dello studio, è ottenibile con l’attuazione distrategie di selezione all’accesso ai percorsi diprofessionalizzazione o attraverso la formazione consecutiva, dovel’acquisizione della conoscenza matematica precede quella delleproblematiche del suo insegnamento. Si evidenzia inoltre che nellaformazione degli insegnanti di scuola secondaria viene enfatizzatamaggiormente la conoscenza matematica pedagogica, seppure a varilivelli di intensità, mentre viene trascurata quella pedagogicagenerale, avviene invece il contrario nel caso degli insegnanti discuola primaria, per i quali è preoccupante la carenza di formazionesul versante pedagogico-disciplinare.

Lo studio ICMI rileva una crescente tendenza a considerare leesperienze pratiche parte integrante del percorso formativo ed anchel’emergere dell’esigenza di un progressivo allungamento dei tempidedicati alla pratica di classe. I curatori lamentano tuttavia lamancanza di un quadro chiaro e dettagliato dello spazio dato neivari percorsi ai contenuti matematici, agli aspetti pedagogicigenerali e alla pratica didattica e soprattutto lamentano la mancanzadi indicatori circa elementi distintivi di una pratica efficace per fardiventare un ‘buon insegnante’. Per la prevalente presenza di studicircoscritti e legati ad un dato contesto, auspicano studitransnazionali su vasta scala, di verifica di percorsi formativi messia punto sulla base di esperienze locali di successo.

Nel commento conclusivo allo studio (Even & Ball 2009b), lecuratrici sottolineno la centralità degli insegnanti e la complessitàdel loro ruolo ma lamentano che le modalità di formazione nonaiutano gli insegnanti a sviluppare le abilità e le visioni necessarieper l’insegnamento. Indicano tre problemi che andrebbero affrontatiattraverso studi e collaborazioni internazionali. Precisamentesostengono che:

1. C’è bisogno di centrare la formazione degli insegnanti sullapratica e di farlo in modo serio ed efficace. Sottolineano che perfarlo nel modo più consistente possibile gli insegnanti necessitanodi robusti esempi di processi di classe su cui lavorare. Occorreperciò raccogliere e classificare molto attentamente esempi diattività di classe ma occorre nello stesso tempo studiare modalitàper la loro analisi ed individuare indicatori che rendano chiaroperché un certo esempio è importante e significativo ai fini dellosviluppo professionale degli insegnanti.

2. C’è bisogno di focalizzare l’attenzione sull’identificazione diconoscenze e metodi che caratterizzino i formatori visti come‘promotori dello sviluppo degli insegnanti‘ e sulla strutturazione dipercorsi che promuovono la loro professionalità. Le studioseconsiderano la disparata composizione culturale e professionale dicoloro che ‘insegnano agli insegnanti’, si soffermano sul fatto chenon essendo codificata una loro precisa ‘identità’ viene pococonsiderato il problema di chiarire ed esplicitare cosa un‘insegnante di insegnanti’ deve conoscere e cosa deve essere capacedi fare perché l’apprendimento degli insegnanti sia efficace;auspicano che programmi e modalità per la formazione deiformatori siano condivisi internazionalmente per consolidare icaratteri di questa professione chiave per una formazione di qualitàdegli insegnanti.

3. C’è bisogno di trovare metodi e strategie condiviseinternazionalmente che rendano valida ed affidabile la valutazionedegli apprendimenti degli insegnanti poiché non è ragionevole chequesti vengano valutati attraverso la soluzione di problemimatematici o attraverso le loro riflessioni su cosa hanno imparato afare nella formazione. E’ cruciale individuare ‘misure’ o altriindicatori della qualità ed efficacia dell’istruzione matematica che ifuturi insegnanti ricevono ed è altrettato cruciale saperne di piùcirca efficaci modalità di valutazione sia della pratica siadell’apprendimento dalla pratica così come di individuare elementidi valutazione condivisibili internazionalmente.

2.1 Alcuni importanti costrutti teorici discussi nello studioICMI

Nello studio ICMI vengono trattate questioni relative a: 1) teorieeducative generali funzionali all’educazione matematica; 2) modellidi intervento per la formazione; 3) costrutti teorici utili alla praticadella formazione; 4) strumenti chiave. Ci limitiamo ad un esempioper ciascuno di tali punti.

2.1.1. Le comunità di praticaTra le teorie cognitive presentate nei corsi di pedagogia generale,

un tema di insegnamento consolidato è il costruttivismo nelle suevarie forme. Accanto ad esso iniziano ad essere insegnate teorie piùrecenti come quella dell’ insegnamento situato di Lave & Venger(1991), con particolare riferimento al costrutto di ‘comunità dipratica’. Questa teoria è in contrasto con quella usuale in cui lapratica è appendice dell’apprendimento, in essa viceversal’apprendimento è considerato parte integrante della pratica (insenso generativo e storico). Una comunità di pratica è caratterizzatada: il dominio, la comunità, la pratica.

Il dominio della pratica, pur denotando l’area tematica su cui lacomunità si focalizza, è ciò che crea un terreno comune tra ipartecipanti attraverso: il dare corpo alle loro azioni e iniziative, ilvalorizzare il significato delle loro interazioni; il legittimarel’appartenenza alla comunità attraverso la realizzazione deipropositi espressi, lo sviluppare il senso di una comune identitàfermo restando le diversità tra i suoi membri.

La pratica concerne la conoscenza specifica che la comunitàmette in atto, condivide, sviluppa. Fa riferimento ad un insieme diquadri concettuali, idee, strumenti, informazioni, stili, linguaggio,storie, documenti che i membri della comunità condividono. Essa sievolve come un ‘prodotto collettivo’ integrato nel lavoro deipartecipanti; la conoscenza prodotta risulta effettivamente utile per ipartecipanti poiché riflette le loro iniziali prospettive. Considerandol’apprendimento come frutto dell’appartenenza e dellapartecipazione, elemento centrale risulta la comunità, intesa comegruppo di persone che interagisce, impara insieme, costruiscerelazioni, e sviluppa un senso di mutuo coinvolgimento e diappartenenza. L’idea di comunità di pratica rifuggedall’omogeneità, al contrario nella interazione i membri esplicitanomodi di vedere e stili di partecipazione diversi che ne determinanola differenziazione. Segni di appartenenza alla comunità sonocostituiti dalle relazioni implicite tra i partecipanti, dalleconvenzioni tacite assunte, dalle intuizioni condivise, dallespecifiche percezioni e dalle comprensioni che emergono dellapratica. Il concetto di pratica evidenzia il carattere sociale enegoziale dell’esplicito e del tacito nella vita dei partecipanti. Varilevato che strutture istituzionali implicanti attività da svolgersi incomune non necessariamente determinano una comunità di pratica.Ciò che le rende tali è la vitalità delle forme di coinvolgimento, ilsenso di condivisione e di appartenenza.

Questo costrutto teorico è oggi consolidato e riconosciutoadeguato sia al contesto classe che al contesto della formazionedegli insegnanti.

2.1.2 Il lesson StudyUn modello per lo sviluppo professionale degli insegnanti che si

sta sempre più imponendo è il ‘Lesson Study’. Originario dalla Cinaed ispirato al confucianesimo, è giunto in Giappone da più di 100anni ed è oggi estesamente praticato nelle scuole di ogni ordine egrado1. Importato negli USA nell’ultimo decennio è stato applicato,seppure con variazioni ed adattamenti, in numerosissimesperimentazioni in importanti aree del paese; contemporaneamentesi è diffuso nei paesi asiatici di influenza americana, in Australia edin Inghilterra, dove di recente è stata persino fondata una rivistadedicata interamente ad esso. A livello mondiale il Lesson Study èoggi oggetto di studio e ricerca per la formazione degli insegnanti edei formatori di insegnanti, al riguardo si vedano ad esempioShimizu (2002), Takahasi & Al. (2006), Isoda & Al. (2007), Hart(2011). Al 15° congresso ICMI diversi report hanno riguardatoproprio risultati di percorsi di formazione in cui esso è statosprimentato ed altrettanto è accaduto al recente Congresso EuropeoCERME 7 (Pytlak & Al. 2012).

Il ‘Lesson Study’ consiste essenzialmente di un ciclo di macro-azioni professionali dell’insegnante che nascono e si sviluppanoattorno alla progettazione, realizzazione e analisi di una ‘LessonResearch’, lezione centrata sul problem solving e posing, aperta avari sviluppi possibili, in cui gli studenti ricercano strade risolutive 1 Video di lezioni in inglese svolte in scuole giapponesi con modalità ‘Lesson

Study’ sono reperibili e scaricabili all’indirizzo:http://www.criced.tsukuba.ac.jp/math/video/previous/.

per le questioni poste, strategie che vengono discussecollettivamente e raccolte. Queste le fasi costituenti il ciclo:formulazione degli obiettivi d’apprendimento, progettazione dellalezione, insegnamento ed osservazione della lezione, riesame dellalezione e suo raffinamento sulla base dei dati raccolti, suaeventuale riproposizione in classi parallele.

Nei percorsi di formazione gli insegnanti lavorano a gruppi aduna ‘Lesson Research’ per l’individuazione degli obiettivi e lastesura di un canovaccio di azioni a seconda dell’articolazioneprevista e degli sviluppi ipotizzati, svolta la lezione procedono poialla osservazione del video di essa e svolgono sessioni di riflessionesull’osservazione e sui raffinamenti possibili del percorso attuatoper poi riproporlo, e così ciclicamente.Classici esempi di lesson study sono: 1) la pianificazione di unalezione di ricerca attorno al problema di confrontare 2/3 e 4/5 (Hart2011); 2) la pianificazione di una lezione di ricerca per portare glistudenti a concepire una dipendenza tra diametro e circonferenzanei cerchi e ed a scoprirne il carattere (Takahasi & Al., 2006). Peraltri esempi rimandiamo ai testi citati e agli studi di Hino (2009) edi Miyakawa & Winsløw (2009) più facilmente reperibili.Lo schema suggerito agli insegnanti per la preparazione di unalesson research si articola in: a) scelta dei problemi e delle attivitàpreviste ed individuazione di domande chiave da porre agli studentiper indirizzare la ricerca, b) previsione delle possibili reazioni deglistudenti alle domande scelte e stesura di una serie di risposte edomande che gli studenti possono porre, c) individuazione di punticritici che possono determinarsi ed influenzare lo sviluppo delprocesso.Questo modello metodologico non viene attuato occasionalmente onel breve periodo ma viene utilizzato per tutti i contenuti diinsegnamento. Si vengono così a collezionare repertori di piani

didattici e materiali di vario genere frutto delle sperimentazioni.Negli studi sulla formazione insegnanti basati su tale modello sicerca di mettere a fuoco fattori di contesto che influenzanopositivamente lo sviluppo professionale degli insegnanti e diformulare indicatori dell’evoluzione di questi ultimi. Dagli studisvolti punti problematici emersi circa gli insegnanti riguardano lacapacità di modificare/raffinare piani di lezioni per dare spazioall’indagine ed alla scoperta e di prevedere domande /risposte deglistudenti (Hart 2011).2.1.3. Il Knowledge quartetCirca i costrutti teorici utili alla pratica della formazione uno oggiconsolidato soprattutto in ambiente anglosassone, è Il ‘Knowledgequartet’ (Quartetto di conoscenza) introdotto da T. Rowland & Al.(2005) come strumento funzionale per pensare ai modi in cui laconoscenza matematico-pedagogica dell’insegnante su un certotema entra in gioco nella classe. Il costrutto si articola in quattrocomponenti: 1. Fondamenti, riguardanti la conoscenza e leconcezioni dell’insegnante, i modi di intendere e di vedere acquisitia livello accademico; 2. Trasformazione, riguardanti la conoscenzadell’insegnante nell’azione, espressa sia nella progettazione sianell’attuazione dell’insegnamento; 3. Connessione: la capacitàdell’insegnante di collegare in un quadro d’insieme scelte fattenell’insegnamento di parti specifiche della matematica; 4.Contingenza capacità di decisioni immediate dell’insegnante peraccadimenti imprevisti che impongono deviazioni dall’impiantoprogrammato della lezione.Saperi caratterizzanti le diverse componenti del quartetto sonoindicati nella seguente tavola.

Fondamenti Transformazione Connessione ContingenzaAvere:- conoscenza

approfonditadellamatematica.

- controllo ecapacità diuso dellaterminologia

- controllo ecapacità diuso dei libridi testo

- sicurezzanelleprocedure

Sapere:- come la

matematica vacomunicataall’allievo.

- scegliere esempisia dal reale sia inaltre discipline.

- indicare analogie-insegnare/

commentaredimostrazioni

- attivarerappresentazioni

- indicareillustrazioni

Sapere:- fare

connessioni traconcettimatematici

o tra procedurematematiche

- organizzare l’insegnamentodi unargomento

- controllare lacomplessità conconsapevolezzadelle difficoltàdegli studenti.

Sapere:- pensare con la

propria testa- rispondere a

domandeimprovvise

- deviare sulmomento dalpiano previsto

- approfittare diunaccadimentovantaggioso.

Questo costrutto sembra prestarsi bene anche come strumento dautilizzarsi in attività laboratoriali di tirocinio indiretto per l’analisidell’attività insegnante, in quanto consente di mettere in lucel’incidenza della teoria e della formazione pratica dell’insegnantesulle scelte che compie, le concezioni maturate, i modi di porsi nellaclasse, il controllo sul progetto educativo e la capacità di azioneimprovvisa di fronte ad accadimenti imprevisti.

2.1.4 I Professional Learning TasksVari sono gli strumenti appositamente concepiti per la pratica

dell’insegnante, recentemente in ambienti USA un diffuso interessestanno incontrando tra educatori, ricercatori e formatori i cosidetti‘Professional learning tasks’ (PLTs), ossia attività situate edorganizzate attorno a componenti ed artefatti di pratica istruzionaleche riproducono o simulano il lavoro dell’insegnante. Sono costruiti

attorno a materiali curricolari, protocolli di studenti, video onarrazioni di episodi di classe, con una prevalenza di questi dueultimi strumenti. I PLTs problematizzano e rendono disponibiliall’esplorazione e all’indagine processi e prodotti del lavorodell’insegnante e forniscono stimoli ed occasioni per sviluppare eraffinare la pratica di chi li affronta. Essi sono il cardine di unametodologia di formazione denominata ‘Practice-based professionaldevelopment’ (PBPD) finalizzata alla progettazione e all’attuazionedi percorsi formativi in educazione matematica centrati su attivitàmatematiche di base nell’insegnamento (Smith 2001).

Un esempio di PLTsSituazione E’ stato chiesto ad Alex ed a Morgan di trovare l’intersezione conl’asse x del grafico della funzione y = x2-2x-3.Alex dice: Poiché l’intersezione si ha quando y=0 Sostituisco 0 alposto di y nell’equazione y = x2-2x-3 Poi scrivo la formula quadraticadelle radici, sostituisco i valori numerici e risolvo l’equazione (Poi fai calcoli)Morgan dice : Poiché l’intersezione si ha quando y=0 scompongo iltrinomio in x-3 ed x+1, pongo uguale a zero ogni fattore e risolvo.Così trovo le intersezioniQuesito per gli insegnantiCome ha trovato l’intersezione Alex? Come l’ha trovata Morgan?Quali sono le somiglianze tra la soluzione di Alex e quella diMorgan? In un quesito a tempo sarebbe meglio quella di Alex oquella di Morgan? Puoi dare una regola generale che dice quandopotrebbe essere meglio usare la via di Alex e quando invece quella diMorgan?

L’assunto è che la PBPD trattando in modo integrato il contenutomatematico, la pedagogia che entra in gioco e il pensiero deglistudenti simula efficacemente il reale lavoro dell’insegnante e con

alta probabilità porta gli insegnanti che studiano i PLTs ad acquisireconoscenze spendibili nella loro pratica professionale, a rafforzareed affinare la loro conoscenza matematica ad avere la capacità diattuare sottili distinzioni e sfumature nei giudizi di fronte asituazioni complesse.

Un semplice esempio di PLTs riguardante un attività curricolarestandard su grafici nel piano cartesiano è riportato nella tavolaprecedente. L’attività per gli studenti mira al coordinamento traaspetti geometrici e algebrici, all’insegnante si chiede di analizzarecomparativamente le strategie risolutive attuate da due studenti e divalutarne la generalità.Ciò che tuttavia viene rilevato da Silver (2009) è che questi assuntiteorici, di per sé chiari e coerenti, non sono quasi mai accompagnatida una conferma empirica. Per la ricerca rimane aperto il problemadi come verificare l’effettivo apprendimento degli insegnantipartecipanti ad un PBPD e soprattutto la loro accresciuta capacitàd’azione grazie all’esperienza di studio.

2.2. La conoscenza degli insegnanti e la ‘Matematica perl’insegnamento’

Un discorso a sé stante, per la mole degli studi che si stannoproducendo, merita il problema della caratterizzazione dellaconoscenza necessaria all’insegnante per affrontare l’insegnamentodella matematica. Tra gli studiosi c’è un generale accordo nelconsiderarla la risultante di tre principali componenti che nelprocesso di formazione progressivamente si integrano fino afondersi: la conoscenza dei contenuti, la conoscenza pedagogicagenerale e la conoscenza matematico-didattica. Tali componentipossono ricondursi a quelle introdotte da Shulman (1986, 1987),ormai consolidate nella ricerca e usualmente denominate con irelativi acronimi: SMK (subject matter knowledge), PK

(pedagogical knowledge), PCK (pedagogical content knowledge),alle quali Shulman affianca la Curricolar Content Knowledge(CCK), ossia la conoscenza matematica del curricolo. A Shulmanva il merito di avere sottolineato l’inadeguatezza per la professionedell’insegnante dei corsi universitari di matematica, in buona partededicati a contenuti specialistici, in genere parti iniziali di teoriematematiche avanzate, e per ciò stesso non spendibilinell’insegnamento secondario, e di avere enucleato la PCK comeconoscenza peculiare all’insegnamento disciplinare, in quantoconoscenza più complessa e variegata, riguardante nel nostro casol’intreccio tra matematica e pedagogia in riferimento alle condizionie alle modalità di insegnamento/apprendimento di specificicontenuti matematici a vari livelli di scolarità. Riguardo alla PCK inEven e Ball (cit, p.25) si evidenzia come essa ‘catturi sia il legamesia la distinzione tra il conoscere qualcosa per sé stessi e l’esserecapace di portare altri a conoscerlo’.Partendo dagli studi di Shulman, Ball & Bass (2003) affrontano ilproblema di una caratterizzazione più fine ed efficace dellaconoscenza matematica necessaria per l’insegnamento, chechiamano Mathematics Knowledge for Teaching (in acronimoMKT) e attraverso una serie di studi (si vedano ad esempio Bass2005, Ball & Al. 2008) giungono alla chiarificazione ed allaenucleazione delle sue componenti caratteristiche in rapporto allaSMK (subject matter knowledge) ed alla PCK (pedagogical contentknowledge) di Shulman; inoltre, cosa di per sé molto importante,giungono a dare corpo a questa conoscenza come particolaredisciplina.Tali autori partono dall’assunto che occorra considerare laMatematica per l’insegnamento come una disciplina con unaspecificità propria differente dalla matematica. Mettono in luce unadifferenza basilare tra le due per il fatto che una caratteristica

potente della matematica è la sua capacità di comprimere (packing)informazioni in forme astratte utili in una vasta generalità di casi. Alcontrario la matematica che deve essere insegnata richiede unaspecie di decompressione (unpacking), ossia una analisi edesplicitazione delle idee soggiacenti ai vari contenuti matematici. Inparticolare Ball & Al. (cit) attraverso numerosissime osservazionidal vivo dell’attività di classe, analizzano i caratteri dellamatematica che entrano in gioco nel lavoro dell’insegnamento. Illoro studio li porta ad identificare due sottodomini della PCK: a) Laconoscenza dei contenuti in rapporto agli studenti, b) Laconoscenza dei contenuti in rapporto all’insegnamento. Seguendopoi idee di allievi di Shulman (ma lasciando aperto il problema diverificare l’appropriatezza della scelta) collocano la categoria‘conoscenza curricolare’ di Shulman all’interno della PCK. Ma,cosa più interessante, in riferimento alla conoscenza dei contenutimatematici (SMK) identificano un importante sottodominio di‘pura’ conoscenza matematica unicamente rivolta al lavorodell’insegnamento: La conoscenza specializzata dei contenuti(Specialized Content Knowledge, SCK), che consideranonettamente distinta dall’area di conoscenza di matematicaelementare comune a tutti (Common Content Knowlwdge, CCK) edall’area da loro detta Conoscenza dell’orizzonte dei contenuti’(Orizon Content Knowledge, OCK) rivolta alla consapevolezza dicome gli argomenti di matematica si collegano tra loro e sisviluppano lungo l’arco di tutto il curricolo. Questo il diagrammasintetico dei domini di conoscenza per l’insegnamento dellamatematica da loro considerati come raffinamento della SMK ePCK di Shulman.

Secondo i nostri autori specifici compiti di ‘matematica perl’insegnamento’ sono: presentare idee matematiche; rispondere ai‘perché’ degli studenti; trovare esempi per un punto matematicospecifico; riconoscere cosa è coinvolto nell’uso di una specificarappresentazione matematica; collegare rappresentazioni a ideesoggiacenti o ad altre rappresentazioni; collegare un argomento dainsegnare con argomenti fatti in anni precedenti o da fare in annifuturi; valutare ed adattare il contenuto matematico di un libro ditesto; modificare compiti in modo che siano più facili o più difficili;valutare (all’impronta) la plausibilità delle affermazioni deglistudenti; dare o valutare spiegazioni matematiche; scegliere esviluppare definizioni usabili; usare linguaggio e notazionimatematiche e criticarne l’uso; porre problemi matematiciproduttivi; selezionare rappresentazioni per particolari propositi;

controllare equivalenze e finanche spiegare ai genitori obiettivimatematici e ragioni per le quali si introduce un dato argomento.Questo un esempio di SCK da loro considerato tipico: Dare ragioniperché un qualsiasi numero le cui due ultime cifre danno un numerodivisibile per 4 è esso stesso divisibile per 4.Essi sostengono la maggiore efficacia di una formazione degliinsegnanti centrata sulla conoscenza matematica per l’insegnamento(SMT) e sulla matematica specializzata per l’insegnamento (KMT)poiché da test nazionali su vasta scala è risultato che gli studenti diinsegnanti formati su SMT e su KMT conquistano punteggi piùelevati. La forza e l’importanza degli studi di Ball, Bass e collaboratori stanell’aver capovolto un punto di vista, assimilando a contenutomatematico questioni un tempo considerate di natura metodologicateorizzando così il passaggio dalla ‘didattica della matematica’ alla‘matematica per l’insegnamento’.Nell’ambiente della ricerca tali studi hanno prodotto vasta eco edattualmente molti contributi vengono dati sia per approfondire edesplicitare ulteriormente nuances dei caratteri di tali aree, sia pertestare la conoscenza e gli apprendimenti degli insegnanti inriferimento ad esse. In particolare si segnalano studi chericonoscono e caratterizzano il dominio SCK in riferimento sia allascuola primaria sia secondaria (per riferimenti ed approfondimentisi veda Neubrand, Seago & Al. 2009).

2.3. Sviluppo dell’insegnamento in e nella praticaNel 15° studio ICMI il tema ‘Learning in and from practice’ è

stato centrale. Per la mole ed i caratteri degli studi presentati esso èstato organizzato in quattro aree tematiche, rivolte rispettivamentea: 1) individuazione dei fattori caratterizzanti i processi di sviluppoprofessionale degli insegnanti e i punti nodali per tale sviluppo; 2)

ruolo nei processi di formazione della riflessione cognitiva, dellacollaborazione, della comunicazione e degli ambienti socio-istituzionali e socio-culturali; 3) modelli, strumenti e strategie diformazione quali: compiti per insegnanti, uso di video per lo studiodi casi, lesson studies, processi di condivisione e riflessione suspecifiche esperienze, e-learning; 4) questioni di bilanciamento earmonizzazione tra lo sviluppo dei contenuti matematici e quellodegli aspetti pedagogici implicati. Per questioni di spazio cisoffermeremo qui solo su alcuni punti qualificanti emersi inrelazione alle prime due aree tematiche, perché più in sintonia conla tradizione italiana e con gli studi da noi svolti.

Fattori considerati importanti nello sviluppo professionale degliinsegnanti riguardano i loro quadri epistemologici circa teoriecognitive e dell’apprendimento, le loro concezioni sia esplicite,espresse tangibilmente nell’azione di classe, sia tacite, inespresse oinconsapevoli; il loro background relativo alla conoscenzadisciplinare, alla preparazione didattica ed alle esperienze diinsegnamento; le opportunità di perfezionamento in servizio e lacollocazione degli insegnanti in riferimento alla propria professionee la motivazione all’insegnamento-apprendimento della matematica.

Un importante elemento di questi studi riguarda le strutture diintervento dei ricercatori e/o formatori verso gli insegnanti, dovebisogni e interessi dei singoli sono indirizzati verso finalitàcollettive. Varie sono le espressioni utilizzate per indicare talistrutture: ‘comunità di indagine’, ‘sistemi adattivi’, ‘partecipazionecollettiva’, ‘conversazione sostenuta’, ‘dialogo egualitario’. Si trattasempre di tipi di intervento in cui gli insegnanti vengono portatiprima a riflettere sui caratteri dei loro progetti didattici (obiettivi,punti chiave, articolazione di un intervento, potenzialità e difficoltàdei compiti, indicazioni per gli studenti, provisioni di schemi diinterazione, difficoltà etc), e successivamente vengono aiutati ad

analizzare l’accaduto guardando alle scelte dell’insegnante eall’incidenza di tali scelte sui comportamenti degli studenti.

I curatori della sezione evidenziano che questi momenti dicollaborazione comune si potrebbero definire in temini di ‘noicollettivo’ piuttosto che di ‘collezione di io’ (Davis, Brown & Al,2009). Dagli studi emerge con forza come l’atteggiamento degliinsegnanti sia elemento vitale nell’alimentare e sostenere l’interessedegli studenti.

Caposaldo di questi studi è la riflessione critica, vista non solocome atteggiamento da instillare negli insegnanti assieme alladisposizione all’indagine ma anche come responsabilitàprofessionale. Ricordiamo che essa trae origine dagli studi di Schön(1983, 1987) il quale teorizza sulla valenza della riflessionedell’insegnante sulla propria pratica a vari livelli: sull’azione, perl’azione, nell’azione, sostenendo che “la riflessione su e perl’azione di un insegnante, che guarda criticamente a quello che èaccaduto nella pratica e che progetta attività future lo porta ad unacrescente consapevolezza di questioni e una teorizzazione di fatti inmodo che nel momento di scegliere e di decidere in classe egli ècapace di assumere nel vivo della azione decisioni ‘colte’ (frutto dieducazione, ragionate, motivate)2 . Nel seguito molti altri studiosisostengono la valenza di essa e delle pratiche di condivisione di taliriflessioni tra insegnanti e tra ricercatori ed insegnanti (ci limitiamoqui a citare studi classici di Mason 1998, 2002, Jaworski 1998,2003, 2004 e Shoenfeld 1998). In particolare Mason sostiene che laformazione di un insegnante ‘reale’ richiede in lui lo sviluppo diuna consapevolezza a vari livelli: dell’azione; della disciplina; delprogetto educativo (Mason 1998). Per educare a questaconsapevolezza egli indica la pratica della discipline of noticing, 2 Citazione di Shön tratta da Jaworski (2003).

finalizzata ad acquisire la capacità di una costante ed attentaosservazione di sé nel vivo dell’azione, raccomandando dicondividere le proprie osservazioni con i colleghi per la lorovalidazione (Mason 2002). Jaworski (1998) sostiene che l’essenzadella pratica riflessiva è ‘il rendere espliciti approcci e processi diinsegnamento in modo che possano divenire oggetto di minuziosoesame critico’. La studiosa oggettiva la riflessione stessa come“azione socialmente e politicamente orientata”, il cui prodotto è lapratica, intesa come “azione impegnata, frutto di educazione”(Jaworski 2003), esalta l’efficacia delle “comunità di indaginenell’insegnamento”, gruppi misti costituiti da insegnanti e daricercatori coinvolti in un progetto comune, e sottolinea come lapartecipazione al gruppo sia un “processo del diventare” e portil’insegnante all’assunzione di una identità (Jaworski 2004).

Dagli studi svolti emergono come risultato consolidato lepratiche di sviluppo professionale centrate sulla co-osservazionecosì come l’idea che gli insegnanti debbano condividere pensieri emodi di concepire le cose più che apprendere cose da fare e che laloro osservazione di differenti realtà e modi di agire li porti adassimilare modi nuovi di concepire il proprio ruolo nella classe epiù in generale la propria professione.

Questa filosofia educativa, ormai consolidata nella ricerca,permea sin dagli anni ’80 tutta la pratica della ricerca italiana ineducazione matematica ed appartiene a pieno titolo alla nostra storiaeducativa (Ferrari & Al. 1992).

3. STUDI ITALIANI SULLA FORMAZIONE INSEGNANTIIn sintonia con quanto avvenuto a livello internazionale, nellaricerca italiana il problema della formazione insegnanti emergevistosamente solo nell’ultimo decennio quando, in conseguenzadella apertura delle scuole di specializzazione all’insegnamento

secondario, ci si pone nell’ottica di estendere alla scuola reale nostririsultati di innovazione. In precedenza vi sono varie ed importantiiniziative per la formazione degli insegnanti, quali ad esempio laproduzione di collane di testi specifici per la formazioneall’insegnamento matematico, promosse a cavallo degli anni 90 dalCNR, o successivamente la realizzazione di corsi residenziali perinsegnanti in servizio su argomenti disciplinari con la produzione dispecifici testi di riferimento, realizzati nell’ambito di unaconvenzione tra l’unione matematica italiana e il ministerodell’istruzione e della ricerca ed anche studi su iniziative attuate oda attuare per andare incontro ai bisogni di formazione degliinsegnanti (si vedano ad esempio Ferrari o Speranza (1994)).Tuttavia fino al 2000 non vi è ancora alcuna ricerca avente comeoggetto gli insegnanti (futuri o in servizio) nel rapporto conl’insegnamento/apprendimento della matematica.Il primo studio con queste caratteristiche che appare in Italia puòdirsi quello di Iannece e Tortora (2002), esso ha come oggetto laristrutturazione di conoscenze, di concezioni e di atteggiamentiverso la matematica di futuri insegnanti di scuola primariaattraverso percorsi educativi di impronta socio-costruttivistarealizzati nell’ambito dell’insegnamento di ‘Fondamenti dimatematica’ per il corso di laurea per maestri, allora di nuovaistituzione. Lo studio riporta risultati sull’evoluzione deipartecipanti circa le tematiche in oggetto dopo il primo biennio direalizzazione del corso. Obiettivo strategico del corso è quello dimettere i futuri insegnanti nelle condizioni di riconoscere, esercitaree sviluppare le proprie funzioni cognitive naturali nell’esplorazionedi problemi e situazioni. Il corso viene strutturato su un modello didinamica cognitiva, appropriato per l’insegnamento/apprendimentoad ogni livello scolare, basato sul costrutto di risonanza (fra mondoesterno, cultura e risorse dei discenti), come più avanti specificato.

Due gli assunti di fondo in questo modello: a) il fatto chegeneralmente la genesi dei concetti matematici dipenda dallanecessità ‘spontanea’ dell’uomo di passare dall’osservazione dellanatura alla sua interpretazione; b) il fatto che la matematica debbaessere vissuta da ciascuno in continuità ed in sintonia con ilprocesso naturale di conoscenza attivo in ogni essere umano fin daiprimi anni di vita. In questo modello l’apprendimento è il risultatodi un processo di risonanza che si basa sul capire – inteso nelsignificato etimologico di ‘capere’ ossia di appropriarsi disignificati e trarre di conseguenza motivazioni all’apprendere - chesi sviluppa attraverso percorsi di conoscenza in cui grazie allamediazione dell’insegnante vengono tenute sotto controllo ledinamiche di senso e vengono posti in risonanza le reali potenzialitàdelle strutture cognitive individuali (risorse), i modelli forniti dalleculture codificate (cultura); i condizionamenti provenienti dalmondo reale (mondo esterno). Un obiettivo culturale èl’evidenziare, per quanto possibile, gli aspetti di continuità checorrelano, attraverso la mediazione del linguaggio, la necessità di‘capire’ le fenomenologie fisiche elementari con il ‘senso’ degli entimatematici (Guidoni & Al. 2005). Un elemento chiavenell’attuazione di questo modello, sia nell’insegnamento che nellepratiche di formazione degli insegnanti, sono gli spazi dati allacondivisione ed alla riflessione sui processi di insegnamento/apprendimento esplorati e vissuti. Successivamente tale modelloviene integrato ed esteso attingendo ad importanti contributi offertidalle neuroscenze, che vedono nelle pre-rappresentazioni unelemento interpretativo chiave dei processi cognitivi naturali(Iannece & Tortora, 2008). Il modello costituisce da allora la baseteorica nelle sperimentazioni di innovazione per l’insegnamento/apprendimento matematico-scientifico condotte dal gruppo diNapoli ed un importante riferimento teorico per molti altri gruppi.

Un’altra serie di studi interessante per la sua originalità è quellasviluppata a partire dal 2000 da A. Pesci. Essa riguarda lastrutturazione e la pratica di un modello di formazione insegnantifinalizzato alla proposizione nelle classi di attività di indaginematematica di una certa complessità da affrontare attraversomodalità di lavoro collaborativo3. Questo modello punta aconiugare gli obiettivi educativi disciplinari con altri di caratteresociale, portando gli studenti ad attuare le attività previste secondomodalità operative organizzate, oggi tipiche del mondo del lavoro(Pesci 2007a, 2010). Il modello coniuga elementi consideraticruciali dalla ricerca: il compito (di non facile soluzione),l’indagine, la riflessione, la collaborazione. L’obiettivo delleanaloghe pratiche che si attuano con gli insegnanti è quello di farvivere loro esperienze matematiche pregnanti in modo che essi aloro volta possano, con cognizione di causa, introdurre il modellocollaborativo nella propria classe portando gli studenti a realizzareindagini su problemi matematici non semplici (un significativoesempio è riportato in Pesci 2007b). Una condizione checaratterizza l’attuazione del modello è ‘l’interdipendenza positiva’:i membri del gruppo vengono a comprendere che nellacollaborazione il successo individuale non esiste senza successocollettivo e che il fallimento di un singolo nel gruppo è unfallimento per tutti. Un’altra condizione caratteristica è ladefinizione e l’assegnazione di ruoli agli studenti: la ripartizione dicompetenze sociali e disciplinari tra i membri del gruppo favorisce

3 La studiosa nei suoi primi articoli utilizza il termine cooperativo, come

sinonimo di collaborativo, per la maggiore diffusione del primo terminerispetto al secondo. Successivamente adotta il secondo perché dal punto divista tecnico indica che nell’articolazione del lavoro di gruppo i compiti deisingoli sono definiti ed assegnati dall’insegnante.

la collaborazione e l’interdipendenza, assicura che le abilitàindividuali vengano utilizzate per obiettivi comuni e riduce lapossibilità che qualcuno si rifiuti di cooperare o tenda a dominare.Con l’attribuzione di un ruolo ad uno soggetto, aldilà del suo status,si dà piena attuazione alla sua autonomia, cioè lo si autorizza aprendere delle decisioni, a valutare e a controllare. Si mette in atto ilsuo protagonismo, cioè l’insieme delle sue emozioni, la sua capacitàdi decidere e di gestire le varie competenze.Dalla metà degli anni 2000 il problema della riqualificazioneprofessionale degli insegnanti viene affrontato attraverso iniziativea vari livelli: nazionali, regionali o territoriali, sia per gli importantistudi svolti per la ristrutturazione del nostro sistema scolastico ed ilrinnovo dei programmi nazionali (Anichini & Al. cit), sia per gliinvestimenti promossi dalla unione europea in conseguenza dellecarenze educative emerse in vaste aree del nostro paese dal testinternazionale P.I.S.A.. E’ impossibile riportare di tutte le iniziativerealizzate, ci limitiamo qui a riferire brevemente di alcuniimpegnativi studi, tuttora in corso, che hanno la particolarità diessere realizzati in collaborazione con le istituzioni.Un importante e vasto studio realizzato su tutto il territorionazionale in sinergia con varie istituzioni (MIUR, ANSAS, USR,Università) è il progetto mat@bel coordinato da F. Arzarello, chevede il coinvolgimento di una grande massa di insegnantiimpegnata in pratiche de visu ed on line coordinate da ricercatori esupportata capillarmente da numerosi insegnanti tutor. Il progetto hala finalità di diffondere su vasta scala contenuti metodi e strumentidi innovazione per l’insegnamento matematico in sintonia con itrend educativi attuali. Un particolare spazio in questo progetto èdato alle nuove tecnologie che vengono ultilizzate sia nella attivitàscolastica con gli studenti sia nelle pratiche rivolte agli insegnanti. Ipiani di intervento si caratterizzano per il progressivo intrecciarsi

dell’aggiornamento con le sperimentazioni in classe. In questeultime si punta all’osservazione dei processi più che ai prodotti, egrazie alla compilazione da parte degli insegnanti del Diario diBordo, si riflette su di essi in specifiche attività laboratorialicoordinate da tutor e realizzate anche attraverso piattaforma web.Nelle scuole si vengono così a determinare comunità di pratica checonsentono, grazie alle sinergie che si sviluppano, una crescitadell’insegnante superando il gap tra curricolo attuato e quellopromosso dalle indicazioni programmatiche nazionali.Un altro studio circoscritto all’ambito regionale è dovuto a M.Bartolini e collaboratori. Esso trae origine da uno studio di Bartolinie Mariotti (2008) di sintesi di varie esperienze di innovazione nelleclassi sull'uso di artefatti (macchine per l’attuazione ditrasformazioni o il tracciamento di luoghi geometrici, macchine dicalcolo, software, …) per l’esplorazione di situazioni concepite perl’apprendimento di specifici contenuti matematici. In questo tipod’attività vi è da parte degli studenti una produzione di segnicorrelata all’uso dell’artefatto, segni che da individuali, grazieall’attività collettiva diventano condivisi. Dall’osservazione edall’analisi delle dinamiche di interazione nei processi le autricifocalizzano l’attenzione sul ruolo del docente, il quale comeresponsabile del contenuto matematico da raggiungere, consapevoledelle potenzialità semiotiche del particolare artefatto in uso, si ponecome regolatore dei segni che emergono dall’attività e comestimolatore dell’evoluzione dei significati ad essi sottesi, in modoche gli allievi li possano trasformare in segni matematici, esprimentila relazione tra l’artefatto e la conoscenza matematica in gioco.Essendo il processo culturale associato all’evoluzione dei segni nonspontaneo, complesso e da realizzare nel lungo termine, le studiosedelineano un quadro teorico in cui viene oggettivato il ruolodell’insegnante come mediatore semeiotico. Per promuovere una

tale professionalità tra gli insegnanti in servizio M. Bartolini ed ilsuo team realizzano in collaborazione con la regione EmiliaRomagna iniziative di formazione insegnanti in cui questi sonocoinvolti nell’esplorazione delle potenzialità matematiche di datiartefatti e nella formulazione di consegne adatte agli studenti inriferimento all’uso di questi nell’attività di classe (Martignone2011).Questo studio, il Mat@abel prima descritto e altri più circoscrittirealizzati in Piemonte da Arzarello e suoi collaboratori sono statioggetto del seminario nazionale 20124 assieme agli studi sulversante della fomazione insegnanti realizzati in seno al nostroprogetto ArAl di cui ora parleremo.

3.1. Gli studi per la formazione degli insegnanti in seno alprogetto ArAlIl nostro “Progetto Aral: percorsi di aritmetica in chiaveprealgebrica” (Malara & Navarra 2003) nasce nell’intento didiffondere nelle scuole un insegnamento dell’algebra rivolto allamodellizzazione algebrica, al problem solving ed alla dimostrazionevia linguaggio algebrico5. In sintonia con gli attuali trend educativiesso propone sin dai primi anni di scuola primaria un approccioall’algebra in chiave relazionale di tipo linguistico-costruttivo eaffronta nello stesso tempo il problema della qualificazione

4 Per indicazioni sul seminario nazionale rinviamo al sito

www.seminariodidama.unito.it/5 Il progetto è diffuso a macchia di leopardo sul territorio nazionale e coinvolge

istituti di scuola primaria e secondaria spesso consorziati in reti. Dalla suaistituzione (1997/8 ad oggi) ha visto coinvolti 33.000 insegnanti.

professionale degli insegnanti coivolti nelle sperimentazioniattraverso un lavoro parallelo focalizzato sul loro ruolo nella classe.L’ipotesi di fondo del progetto è che i modelli mentali propri delpensiero algebrico vadano costruiti sin dalla scuola elementare inambito aritmetico (ma non solo) attraverso un contratto didatticobasato sul principio prima rappresenta poi risolvi e la costruzionedi un ambiente di classe che consenta l’elaborazione autonoma diquello che noi chiamiamo balbettio algebrico, ossial’appropriazione sperimentale di un nuovo linguaggio, interno allamatematica, nel quale le regole vengono a trovare la lorocollocazione gradualmente attraverso l’analisi e la discussione dirappresentazioni iniziali sintatticamente promiscue. Attraverso ungioco di traduzione e interpretazione tra espressioni in linguaggionaturale e linguaggio formale gli allievi si avvicinano all’uso dellelettere, attivano la costruzione e l’elaborazione di prime espressionialgebriche, costruiscono e risolvono equazioni riflettendo suiprocessi soggiacenti, interpretano il significato di scritture formaliin relazione a specifiche questioni. In tal modo vengono adacquisire consapevolezza del significato di segni e simboli, del lororuolo nelle scritture formali.Le attività di classe che si propongono ruotano attornoall’esplorazione di situazioni e si sviluppano con modalità socio-costruttive. In queste esplorazioni si promuove l’argomentazione, ilproblem solving e posing, la rappresentazione algebrica. Elementimatematici di base sono: la simmetria del segno ‘uguale’; lapluralità di rappresentazioni di un numero; l’oggettivazione delleproprietà delle operazioni aritmetiche dal confronto di strategienella risoluzione di problemi; il confronto del valore di espressioninumeriche senza fare calcoli; la modellizazione algebrica e lasoluzione di problemi con dati incogniti; l’individuazione e larappresentazione di regolarità numeriche e di leggi di

corrispondenza.In questo approccio elemento chiave è l’insegnante, occorre infattiche egli attui una didattica di interazione in cui si dia grande spaziosia ad aspetti linguistici di traduzione e rappresentazione di dati eprocessi, sia a quelli meta-cognitivi per il controllo della pertinenzaed adeguatezza delle rappresentazioni, per il riconoscimento el’identificazione di quelle equivalenti e per la selezione delleottimali. Tutto questo richiede una profonda ristrutturazione dellesue concezioni sia sul versante dei contenuti sia su quellometodologico-didattico.Per promuovere un tale cambiamento si realizzano con/per gliinsegnanti ‘comunità di indagine per l’insegnamento”, in cui siattuano processi di co-apprendimento per reindirizzare l’attività diclasse attraverso uno studio critico comune. In tal modo si dà agliinsegnanti l’opportunità di oggettivare il proprio insegnamento e,attraverso scambi di esperienze e riflessioni a tutto campo, didivenire artefici di un nuovo modo di operare nelle classi(ri)costruendo la loro professionalità.Il nostro obiettivo sul versante della formazione insegnanti è quellodi portarli ad acquisire una crescente capacità di interpretare lacomplessità dei processi di classe propri del nostro approccioall’early algebra attraverso l’analisi delle ‘micro-situazioni’ che licompongono, di riflettere sulla efficacia del proprio ruolo edacquisire consapevolezza sugli effetti delle proprie ‘micro-decisioni’; di raggiungere inoltre un maggiore e più fine controllosui comportamenti e sugli stili comunicativi da loro adottati edosservare, nella prosecuzione dell’attività di classe, l’influenza dellostudio critico-riflessivo via via svolto sui comportamenti esull’apprendimento degli allievi.Questo obiettivo viene realizzato attraverso una articolata attività dianalisi critica delle trascrizioni dei processi di classe e di riflessione

su di essi, mirata ad evidenziare le interrelazioni tra conoscenzecostruite dagli studenti e comportamenti dell’insegnante nel guidaregli studenti in tali costruzioni. Tale analisi si sviluppa attraverso lacostituzione di quelli che noi chiamiamo ‘Trascrizionimulticommentate’ (MT, da multicommented transcripts) realizzatesulla base del trasferimento in versione testuale digitale delleaudioregistrazioni di lezioni su temi concordati in precedenza. Sonoeffettuate dagli insegnanti sperimentatori che le inviano,accompagnandole con commenti e riflessioni, ai mentori-ricercatori,i quali le commentano a loro volta e le rinviano agli autori, ad altridocenti impegnati in attività analoghe e talvolta ad altri ricercatori.Spesso gli autori reintervengono nel ciclo commentando i commentio inserendone dei nuovi. Quello che caratterizza questa metodologiaè la coralità di rete, per i fitti scambi via mail che determinano lacostituzione degli MT, e la fertilità delle riflessioni che emergonodai vari commenti espressi. Gli MT divengono strumenti di lavoroimportanti in quanto forniscono un quadro complessivo dell’azionedidattica dell’insegnante e permettono di verificare la coerenza fraprassi didattica e riferimento alla teoria (matematica edell’educazione matematica) in gioco. Forniscono sia all’insegnanteche ai ricercatori elementi per potenziare l’efficacia degli interventinei rispettivi ambiti, e consentono la rilevazione della cultura edegli atteggiamenti degli insegnanti. Permettono al docente,attraverso i commenti, di sviluppare competenze e consapevolezze,e quindi di migliorare la qualità complessiva della sua azionedidattica. Favoriscono, attraverso il loro invio agli altri componentidel gruppo e le periodiche riflessioni de visu sui brani piùsignificativi, la condivisione dei saperi in gioco e l’individuazionedi importanti elementi distintivi del proprio lavoro, riflettendo sullaloro efficacia o sui loro limiti attraverso il confronto tra la propriarealizzazione di un certo passo del percorso di insegnamento con

quella di altri colleghi (per approfondimenti si vedano Malara 2008,Malara & Navarra 2011, Cusi, Malara &Navarra 2011).In seno al nostro progetto Cusi (2009), sulla base dell’osservazionedel ruolo dell’insegnante in svariati processi di classe giunge adefinire il costrutto M-CAce, configurante un profilo di docente chesi pone come “Modello di Comportamenti ed AtteggiamentiConsapevoli ed Efficaci”. Tale costrutto delinea i caratteri di undocente che assolve essenzialmente due macro ruoli: quello dimodello nell’esplorazione di un problema e quello di guidametacognitiva. Come modello nell’esplorazione di un problema untale docente: (a) si pone come “soggetto che indaga”, stimolando unatteggiamento di ricerca nei confronti del problema in esame, ecome elemento costituente del gruppo classe nel lavoro di ricercache viene attivato; (b) si pone come guida operativa/strategica,mediante un atteggiamento di condivisione (anziché ditrasmissione) delle strategie adottate e delle conoscenze da attivarelocalmente; (c) cerca di stimolare e provocare la costruzione dellecompetenze chiave nella produzione di pensiero via linguaggioalgebrico (saper tradurre, anticipare, manipolare, interpretare),ponendosi come “attivatore” di processi interpretativi e d“attivatore” di pensieri anticipatori. Come guida metacognitiva untale docente: (d) si pone come guida al controllo dei significati dellescritture a cui si perviene, sia sul piano sintattico che semantico, conl’obiettivo di realizzare un armonico equilibrio tra i due aspetti; (e)si pone come guida riflessiva nell’individuazione di modellioperativi/strategici efficaci durante le attività di classe; (f) si pone,con l’obiettivo di stimolare e provocare atteggiamenti di tipo meta,come “attivatore” di atteggiamenti riflessivi ed “attivatore” di attimetacognitivi, con particolare riferimento al controllo del sensoglobale dei processi.

Da nostri primi studi, tale costrutto appare un’idonea ‘lente teorica’utile all’insegnante per riflettere su di sé e giungere a concepire edattuare forme di autocontrollo ed autocorrezione (Cusi & Malara2011). Esso oggi è per noi un importante strumento di studio sianella strutturazione con gli insegnanti dei processi di classe siacome riferimento per la conseguente analisi di essi.

4. BREVI CONSIDERAZIONI CONCLUSIVERiassumendo, abbiamo parlato dei principali indirizzi di ricerca alivelo internazionale ed esaminato esempi di teorie cognitive,costrutti teorici, modelli e strumenti di formazione professionale.Abbiamo parlato degli studi sulle caratterizzazione delleconoscenze necessarie all’insegnante, della concezione ormaiconsolidata della formazione in e per la pratica da svolgersi nellungo termine, del ruolo fondamentale delle pratiche di riflessionecritica sulla attività di classe in comunità di indagine tra ricercatoried insegnanti. Abbiamo parlato poi della situazione italiana e dialcuni studi attuati secondo questi trend con interventi su ampiezone territoriali per la formazione at large degli insegnanti inservizio.Ci rendiamo conto della diversità e pluralità degli aspetticonsiderati. Ci sembra tuttavia di avere indicato a sufficienza lostato dell’arte della ricerca sui problemi di formazione e sviluppoprofessionale degli insegnanti.Prima di chiudere tuttavia desideriamo sottolineare la complessità edelicatezza della professione dell’insegnamento e della necessità discelte politiche coraggiose e mirate al riguardo. Concordiamo conBass (2005) dell’importanza che si investa sulla ‘matematicaspecifica per l’insegnamento’ sia a livello di percorsi formativi distudio sia a livello di testi universitari.Per finire ci piace rifarci alla conclusione dell’ormai classico lavoro

di Shulman (1986). Nel chiudere l’articolo l’autore riprende ilcaustico aforisma di G. B. Shaw “Chi può fa, chi non può insegna”6 e lo ribalta scrivendo: “Ci dispiace di questa calunnia di Mr.Shaw. In accordo con Aristotele sosteniamo che il test dicomprensione definitivo consiste nella capacità di trasformare lapropria conoscenza in insegnamento: Quelli che possono, fanno.Quelli che capiscono insegnano”.7

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