studio di funzione - university of cagliariunica2.unica.it/roberarg/pdf/studio di...
TRANSCRIPT
Studio di funzione
R.Argiolas
STUDIO DI FUNZIONE
110
Introduzione Presentiamo lo studio del grafico di alcune funzioni svolte durante le esercitazioni del corso di analisi matematica I e assegnate nelle prove scritte. Ringrazio anticipatamente tutti quelli che vorranno segnalarmi eventuali errori o consigli per migliorare il lavoro.
R.A.
STUDIO DI FUNZIONE
111
Indice Ricerca degli asintoti di una funzione pag. 112
• Asintoto verticale
• Asintoto orizzontale
• Asintoto obliquo Punti di non derivabilità pag. 113
• Punti angolosi
• Cuspidi
• Flesso a tangente verticale Teoremi sulle derivate pag.117 Esercizi sullo studio di funzione pag. 119
STUDIO DI FUNZIONE
112
Ricerca degli asintoti di una funzione
Asintoto verticale Se al tendere di 0 a xx la funzione tende ad infinito, cioè se è verificata la condizione:
±∞=→
)(lim0
xfxx
la retta di equazione 0xx = (retta parallela all'asse delle ordinate) è un asintoto della funzione detto asintoto verticale. La ricerca degli asintoti verticali si riconduce quindi a quella dei valori finiti che rendono infinita la funzione. Osservazioni: 1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti verticali, 2. una funzione algebrica razionale fratta ammette tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri del suo denominatore, 3. una funzione algebrica irrazionale fratta ammette tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri reali del suo denominatore appartenenti al dominio di tutti i radicali di indice pari, 4. le funzioni goniometriche ammettono infiniti asintoti verticali o nessuno, 5. la funzione esponenziale )( xfa ammette tanti asintoti verticali quanti sono i valori finiti della x che rendono infinita, positiva, la funzione f(x) se a>1, infinita negativa se 0<a<1, 6. la funzione logaritmica ammette tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri reali della funzione e i valori finiti della x che rendono infinita la funzione. Asintoto orizzontale Se al tendere di ∞ a x la funzione tende ad un numero finito, cioè se è verificata la condizione:
kxfx
=±∞→
)(lim la retta di equazione ky = (retta parallela all'asse delle ascisse) è un asintoto della funzione detto asintoto orizzontale.
STUDIO DI FUNZIONE
113
Osservazioni: 1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti orizzontali, 2. una funzione algebrica razionale fratta ammette asintoto orizzontale y=k (con k uguale al rapporto tra i coefficienti di grado massimo) quando il numeratore e il denominatore sono dello stesso grado, inoltre una funzione algebrica razionale fratta ammette per asintoto l'asse delle ascisse se il grado del denominatore è superiore al grado del numeratore. Asintoto obliquo Assegnata una funzione, si utilizza il calcolo dei limiti per determinare l'eventuale asintoto obliquo a tale funzione. Ricordiamo che un asintoto obliquo è una retta del tipo:
qmxy += tale che
[ ] 0)()(lim =+−±∞→
qmxxfx
dove:
zero da diverso finito esistere deve )(limxxfm
x ±∞→=
( ) finito esistere deve )(lim mxxfq
x−=
±∞→
Osservazioni: 1. una funzione algebrica intera non presenta asintoti obliqui, 2. una funzione algebrica razionale fratta ammette un solo asintoto obliquo (che non potrà mai coesistere con l'asintoto orizzontale) solo quando il grado del numeratore supera di uno il grado del denominatore, 3. le funzioni irrazionali il cui campo di esistenza si estende all'infinito potranno anche aver più asintoti obliqui o asintoti orizzontali e obliqui. Punti di non derivabilità Punti angolosi
STUDIO DI FUNZIONE
114
Indicati con DD ′ e rispettivamente il dominio della funzione f(x) e della sua derivata ( )xf ′ , se in un punto Dx ∈0 ma Dx ′∉0 , esistono finite e diverse la derivata sinistra ( )xf −′ e destra ( )xf +
′ , si dice che il grafico della funzione presenta nel punto un ( ))(, 00 xfxP punto angoloso (si può chiamare anche punto angoloso un punto per
quale uno dei due limiti destro o sinistro del rapporto incrementale esista finito e l'altro infinito). Esempio: La funzione xxf =)( presenta in x=0 un punto angoloso, infatti la funzione è definita su tutto l'asse reale mentre la sua derivata prima è definita ovunque tranne che nell'origine. Grafico della funzione
-4 -2 2 4
12345
<−
>==′
01
01)(
x
x
xxxf
La derivata destra e sinistra sono diverse fra loro ma finite, infatti:
1)0( =′+f 1)0( −=′
−f quindi l'origine è un punto di non derivabilità per la funzione assegnata e prende il nome di punto angoloso. Cuspidi Indicati con DD ′ e rispettivamente il dominio della funzione f(x) e della sua derivata
( )xf ′ , se in un punto Dx ∈0 , ma Dx ′∉0 , e inoltre
+∞=′+→
)(lim0
xfxx
−∞=′−→
)(lim0
xfxx
oppure
STUDIO DI FUNZIONE
115
−∞=′
+→)(lim
0xf
xx +∞=
−→)(lim
0xf
xx
il grafico della funzione presenta nel punto ( ))(, 00 xfxP una cuspide. Esempio
La funzione 31
)( xxf = presenta nell'origine un punto di cuspide, infatti è definita su tutta l’asse reale ed è ivi continua, ma la sua derivata prima:
xxxxf ⋅=′ − 3
2
31)(
non è definita nell'origine. In tale punto si ha:
( ) +∞=′+ 0f ( ) −∞=′
− 0f Grafico
-2 -1 1 2
0.20.40.60.81
1.2
Flesso a tangente verticale Indicati con DD ′ e rispettivamente il dominio della funzione f(x) e della sua derivata
( )xf ′ , se un punto Dx ∈0 , ma Dx ′∉0 e inoltre:
+∞=′+→
)(lim0
xfxx
+∞=′−→
)(lim0
xfxx
oppure
−∞=′+→
)(lim0
xfxx
−∞=−→
)(lim0
xfxx
allora si dice che il grafico della funzione presenta nel punto ( ))(, 00 xfxP un flesso a tangente verticale.
STUDIO DI FUNZIONE
116
Esempio
La funzione 31
)( xxf = è definita su tutto l'asse reale ed è ivi continua ma presenta nell'origine un flesso a tangente verticale, infatti:
32
31)( −=′ xxf
non è definita nell'origine. In tale punto si ha:
( ) +∞=′+ 0f ( ) +∞=′
− 0f Esercizio Studiare la continuità e derivabilità della funzione:
21arccos xy −= Svolgimento La funzione è goniometrica irrazionale con indice pari. Dominio:
[ ]2,2.. −=EC La funzione è continua in tutto il dominio di definizione. Calcoliamo la derivata
( )
>−<−−
−
<<−−
=−−
−−−=′
1 1 21
11 1
11
1111
22
2
2
2
22
xxxx
x
xxx
x
xx
xx
xxy
è definita per ( ) ( ) ( ) ( )2,11,00,11,2 ∪∪−∪−−∈x Analizziamo il comportamento della derivata destra e sinistra nei punti di non derivabilità:
( ) 10 =′+f ( ) 10 −=′
−f
STUDIO DI FUNZIONE
117
In x=0 si ha un punto angoloso con tangenti rispettivamente di coefficiente angolare 1 e -1. Le equazioni delle rette tangenti sono y=x (tangente destra) e y=-x (tangente sinistra). Inltre
( ) −∞=−′+ 1f ( ) +∞=−′− 1f Quindi in x=-1 si ha un punto di cuspide. Mentre in x=1 si ha
( ) −∞=′+ 1f ( ) +∞=′
− 1f Perciò in x=1 abbiamo un altro punto di cuspide. Inoltre
( ) +∞=−′+ 2f ( ) −∞=′− 2f
Grafico
-1 -0.5 0.5 1
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
Teoremi sulle derivate Il teorema di Lagrange Data una funzione continua nell' intervallo chiuso e limitato [ ]ba, e derivabile nell'intervallo aperto ( )ba, esiste (almeno) un punto c tale che:
( )ab
afbfcf−−
=′ )()(
Significato geometrico del teorema Il teorema di Lagrange afferma che è sempre possibile determinare un punto appartenente all'intervallo considerato per il quale la retta tangente al grafico della
STUDIO DI FUNZIONE
118
funzione in quel punto è parallela alla retta congiungente gli estremi. Infatti la quantità:
abafbf
−− )()(
individua il coefficiente angolare della retta di estremi ))(,( )),(,( bfbBafaA mentre
( )cf ′ individua il coefficiente angolare della retta tangente ( vedi significato geometrico di derivata di una funzione in un punto ) nel punto ))(,( cfcC L'uguaglianza tra le due quantità è la ben nota condizione di parallelismo tra due rette. Osservazione: Il teorema afferma l'esistenza di almeno un punto c. Ciò equivale ad affermare non l'unicità di tale punto ma la possibilità che di punti che soddisfano tale condizione ve ne siano più di uno! Un punto però è sempre possibile determinarlo (purchè siano soddisfatte le ipotesi del teorema!!!) Esempio Dire se è applicabile il teorema di Lagrange alla funzione xy = negli intervalli [-2,1] , [1,3], [0,1]. Svolgimento 1. La risposta è negativa nell'intervallo [-2,1]. Infatti la funzione assegnata non soddisfa le ipotesi del teorema, non è derivabile nel punto 0 che appartiene all’intervallo ( -2,1), benché sia continua in tutto l'intervallo assegnato. 2. La risposta è positiva nell'intervallo [1,3], infatti in tale intervallo la funzione è continua e derivabile in qualsiasi punto. 3. La risposta è positiva nell'intervallo [0,1], infatti si osservi che benché la funzione non sia derivabile nel punto 0 questo non crea problemi perchè il teorema richiede come ipotesi la derivabilità nell'aperto e non negli estremi! Grafico
-4 -2 2 4
12345
STUDIO DI FUNZIONE
119
Esercizio Dire se è applicabile il teorema di Lagrange alla funzione:
1arctan −= xy nell’intervallo [ ]2,1− . Svolgimento La funzione assegnata è continua in tutto l'intervallo (chiuso), bisogna stabilire anche se è derivabile in tutto l'intervallo aperto, per far questo calcoliamo la derivata prima:
( ) ( )1sgn1
1112
1−
−−+=′ x
xxy
Si vede con pochi calcoli che la funzione presenta un punto di cuspide ( e quindi di non derivabilità) nel punto di ascissa x=1, pertanto nell'intervallo assegnato non è applicabile il teorema di Lagrange. Grafico
-2 -1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Esercizi sullo studio di funzione
Nello studio di una funzione ( )xf è sempre meglio seguire uno scheda preordinato in modo poter utilizzare tutte le informazioni necessarie per poter tracciare un grafico della funzione il più accurato possibile. Lo schema che consigliamo è il seguente: 1. Determinare il campo di esistenza della funzione assegnata (questo è il punto più importante, determinare un errato campo di esistenza compromette l'intero
STUDIO DI FUNZIONE
120
studio di funzione). A tal proposito, ricordiamo quanto già enunciato nella dispensa “funzioni reali di variabile reale e continuità”:
Le funzioni elementari Si dividono in due classi:
1. Funzioni algebriche Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni razionali intere b) Funzioni razionali fratte c) Funzioni irrazionali
2. Funzioni trascendenti Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y non è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni goniometriche b) Funzioni esponenziali c) Funzioni logaritmiche
Dominio o campo di esistenza
Assegnata una funzione è necessario determinare l’insieme dei valori della variabile indipendente che definisce la funzione. Ricordiamo il dominio delle funzioni elementari. 1. Funzioni algebriche
a) Le funzioni razionali intere sono definite in tutto il campo reale b) Le funzioni razionali fratte sono definite per tutti quei valori che NON
annullano il denominatore
( )( ) ( ){ }0/C.E. )( ≠== xQxxQxPxf
c) Il dominio delle funzionali irrazionali dipende dall’indice della radice,
distinguiamo quindi due casi.
• Se l’indice della radice è un numero pari il campo di esistenza è dato da tutti quei valori della x che rendono il radicando maggiore o uguale a zero.
STUDIO DI FUNZIONE
121
( ) ( ){ }0/C.E. pari indicecon Q)( ≥== xQxxxf n
• Se l’indice è dispari, le funzioni irrazionali sono definite su tutto il campo
reale.
( ) ℜ== C.E. dispari indicecon Q)( n xxf . 2. Funzioni trascendenti
a) Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono definite in tutto l’asse reale, mentre tangente e cotangente sono definite per tutti quei valori che non annullano il denominatore. Le funzioni inverse sono definite come segue:
( ) { }
( ) { }
( )
( ) ℜ=
ℜ=
≤=
≤=
:C.E. cot
:C.E. arctan
1x/ :C.E. arccos
1 / :C.E. arcsin
xarcxf
xxf
xxxf
xxxxf
b) Le funzioni esponenziali sono definite in tutto l’asse reale.
c) La funzione logaritmica è definita per tutti i valori della x che rendono
l’argomento (del logaritmo) strettamente positivo.
( )+∞== ,0 C.E. log)( xxf a 2. Stabilire se vi sono eventuali simmetrie (rispetto all'origine, rispetto all'asse y o rispetto ad una retta generica, etc.). Ricordiamo che: Una funzione si dice “pari” (o simmetrica rispetto all’asse delle ordinate) se
( ) C.E. x )( ∈∀−= xfxf
Una funzione si dice “dispari” (o simmetrica rispetto all’origine) se
( ) C.E. x )( ∈∀−−= xfxf 3. Determinare le eventuali intersezioni con gli assi.
STUDIO DI FUNZIONE
122
4. Studiare il comportamento della funzione agli estremi del dominio di definizione, determinando quindi gli eventuali asintoti verticali, orizzontali e obliqui. 5. Se conviene, studiare il segno della funzione per stabile dove è positiva e dove è negativa ( a seconda della funzione questo calcolo risulta complicato, conviene quindi non utilizzarlo sempre, ma solo quando è conveniente). 6. Studiare la derivata prima. Analizzare i punti di non derivabilità e successivamente studiare il segno della derivata per determinare eventuali punti di massimo e minimo. 7. Calcolare, quando è conveniente, la derivata seconda e determinare gli eventuali punti di flesso. Concavità e convessità Sia ℜ→If : , dove I è un intervallo di numeri, una funzione continua due volte derivabile in I. Diremo che:
• f è convessa in I se e solo se 0≥′′f in I • f è concava in I se e solo se 0≤′′f in I
Test di monotonia Sia ℜ→If : , derivabile. Allora
( ) Ixxfcrescentef ∈∀≥′⇔ 0
( ) Ixxfedecrescentf ∈∀≤′⇔ 0 . _____________________________________________________________________
ESERCIZI
Esercizio 1 Studiare il grafico della seguente funzione:
xxexf1
)(−
= Dire se è applicabile il teorema di Lagrange nell'intervallo [-1,1]. svolgimento
STUDIO DI FUNZIONE
123
Si tratta di una funzione esponenziale fratta. Dominio
( ) ( )+∞∪∞−= ,00,..EC Simmetrie La funzione è dispari, infatti
( ) ( ) C.E. x )(1
∈∀=−−=−− −−
xfexxf x sarà quindi sufficiente studiarla solo nell'intervallo ( )+∞,0 . Si osservi che nel dominio considerato il valore assoluto è superfluo! Comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza
0lim1
0=
−
+→
x
xxe
Nel punto x=0 la funzione presenta una discontinuità eliminabile. Possiamo quindi prolungare con continuità la funzione ridefinendola come segue:
( )
=
≠=
−
00
01
x
xxexG
x
Inoltre
+∞=−
+∞→
x
xxe
1
lim Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.
1limlim1
1
===−
+∞→
−
+∞→
x
x
x
xe
xxem
)1(lim)(lim11
−=−=−
+∞→
−
+∞→
x
x
x
xexxxeq
poiché:
STUDIO DI FUNZIONE
124
xe x 11
1
−≈−−
si ha:
1)1(lim −=−=+∞→ x
xqx
quindi la retta y = x-1 è un asintoto obliquo per la funzione. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo
( )
+=′
−
xexf x 11
1
la derivata prima, nell'intervallo considerato, non si annulla mai ed è sempre positiva, la funzione quindi è sempre crescente. Si osservi inoltre che:
( ) òx
x xexf 011lim
1
0=
+=′
−
+→
Derivata seconda
( ) xex
xf1
3
1 −
=′′
La derivata seconda non si annulla mai in ( )+∞,0 , inoltre poiché la funzione è sempre crescente in ( )+∞,0 , la derivata seconda è sempre positiva in ( )+∞,0 . Grafico
-1 -0.5 0.5 1
-0.02
-0.01
0.01
STUDIO DI FUNZIONE
125
a) Il teorema di Lagrange non è applicabile poiché la funzione non è continua nel punto x=0 (punto interno all'intervallo assegnato)
Esercizio 2 Studiare il grafico della seguente funzione:
xexxf1
2)(−
= svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale fratta. Dominio
( ) ( )+∞∪∞−= ,00,..EC Simmetrie La funzione è pari, infatti:
( ) ( )xfexxf x =−=− −−
12)(
Sarà quindi sufficiente studiarla solo nell'intervallo ( )+∞,0 . Comportamento della funzione agli estremi del campo di esistenza
0lim1
2
0=
−
+→
x
xex
Il punto x=0 è una discontinuità eliminabile. Possiamo quindi prolungare con continuità la funzione ridefinendola come segue:
( )
=
≠=
−
00
01
2
x
xexxG
x
Inoltre
+∞=−
+∞→
x
xex
12lim
Quindi non ci sono asintoti orizzontali.
STUDIO DI FUNZIONE
126
Ricerca degli asintoti obliqui
+∞===−
+∞→
−
+∞→
x
x
x
xxe
xexm
11
2
limlim
non vi sono quindi asintoti obliqui (si ricordi che m deve esistere finito diverso da zero). Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo
( ) ( )121
+=′−
xexf x La derivata prima, nell'intervallo considerato, cioè ( )+∞,0 non si annulla mai ed è sempre positiva, la funzione quindi è sempre crescente. Inoltre si osservi che:
( ) ( ) 012limlim1
00=+=′
−
+→+→xexf x
xx
Derivata seconda
( )
++
=′′−
2
21 122x
xxexf x
La derivata seconda è sempre positiva (nell'intervallo considerato) essendo la funzione sempre crescente. Grafico
-1 -0.5 0.5 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Esercizio 3.
Studiare il grafico della seguente funzione:
STUDIO DI FUNZIONE
127
1arctan34
)( −+−= xxxf π
svolgimento Si tratta di una funzione goniometrica irrazionale (con indice pari). Dominio La funzione è definita su tutto l'asse reale
( )+∞∞−= ,..EC Comportamento agli estremi del dominio
±∞=
−+−=
±∞→±∞→1arctan
34lim)(lim xxxfxx
π
Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.
411arctan
34lim =−+−
=±∞→ x
xx
mx
π
61arctan
3lim
411arctan
34lim πππ
=
−+−=
−−+−=
±∞→±∞→xxxxq
xx
quindi la retta 64π
+=xy è un asintoto obliquo per la funzione.
Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo.
<−
⋅−
−=′
>−
⋅+=′
=−−
⋅−
⋅−+
+=′
1121
21
41)(
112
1141)(
11
121
111
41)(
2
1
xxx
xf
xxx
xf
xx
xxxf
Si osservi che il campo di definizione della derivata è differente da quello della funzione iniziale, infatti per la derivata abbiamo:
STUDIO DI FUNZIONE
128
( ) ( )+∞∪∞−= ,11, derivata della ..EC Studio dei punti di non derivabilità:
( ) +∞=′+→
xfx 1lim ( ) −∞=′
−→xf
x 1lim
quindi nel punto di ascissa x=1 si ha una cuspide. Sostituendo x=1 nella funzione
determiniamo il punto
−
341,1 πP .
Si osservi inoltre che )(1 xf ′ è sempre positiva per x>1, mentre per )(2 xf ′ si ha:
( )
0 0)85( 4)1()2(
21)2( 0124
21)2( 0121
21
41
22 <⇒<+−⇒>−−⇒
⇒>−−⇒>−−−−−
⇒>−−
−
xxxxxx
xxxx
xxxx
Il punto
−
12,0 πQ è un punto di massimo per la funzione.
Derivata seconda
( )
( ) ( )
<−−
−⋅
−=′′
>−−
−=′′
=′′
1114
342
1)(
1114
31)(
)(
22
21
xxx
xx
xf
xxxx
xxf
xf
Non ci sono punti di flesso.
Grafico
STUDIO DI FUNZIONE
129
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
Esercizio 4 Studiare il grafico della funzione:
)2ln(13)(−−
=x
xf
Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta Dominio
),2()2,2(.. 2ex
2x
0)2ln(1
02+∞+∪+=⇒
+≠
>⇒
≠−−
>−eeEC
x
x
Comportamento agli estremi del dominio:
0)2ln(1
3lim2
=−−+→ xx
In x=2 vi è un punto di arresto. Inoltre
( )−∞=
−−++→ )2ln(13lim
2 xex
STUDIO DI FUNZIONE
130
( )+∞=
−−−+→ )2ln(13lim
2 xex
La retta x=2+e è un asintoto verticale. infine
0)2ln(1
3lim =−−+∞→ xx
La retta y=0 è un asintoto orizzontale, non vi sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei punti massimo e minimo
( )( )2)2ln(123)(
−−−=′
xxxf
si osservi che la derivata prima non si annulla mai, inoltre è positiva per:
( )( ) ..per 0)2ln(12 2 ECxxx ∈∀>−−− La funzione non presenta né massimi né minimi, ed è sempre crescente. Derivata seconda
( )( ) ( )32 )2ln(12
)2ln(13)(−−−
−+=′′
xxxxf
Grafico
3 4 5 6 7 8 9
-40
-20
20
40
Esercizio 5
STUDIO DI FUNZIONE
131
Studiare il grafico della seguente funzione:
−
−=1
1log)(x
xxf
Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta Dominio
21 1 1
1 0
11 <⇒−<⇒<
−⇒>
−− xxx
xx
xx
inoltre 01 ≠−x quindi:
∞−=
21,..EC
Comportamento agli estremi del dominio di definizione Si osservi che:
<<
−−
≤
−−
=
−
−=
210
112log
0 1
1log
11log)(
xxx
xx
xxxf
quindi:
−∞=
−−
−→ 1
12loglim21 x
xx
La retta 21
=x è un asintoto verticale (destro) per la funzione
Inoltre
−∞=
−−
−∞→ 11loglim
xx
Non vi sono asintoti orizzontali
STUDIO DI FUNZIONE
132
Ricerca di eventuali asintoti obliqui. Non vi sono asintoti obliqui, infatti:
0)1log(lim1
1log1lim =−−
=
−−
=−∞→−∞→ x
xxx
mxx
(m deve esistere finito diverso da zero) Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi
( )( )
<<−−
−
<−−
=
−
−−
−−
=′
210
1121
0 1
1
1
1)1(
1
11
1)(2
xxx
xx
xx
xx
xx
xxf
Si osservi che il campo di esistenza della derivata è differente da quello della funzione assegnata, infatti si ha:
( )
∪∞−
21,00, :derivata della ..EC
Determiniamo quindi gli eventuali punti di non derivabilità:
( )( ) 1112
1lim0
−=−−
−+→ xxx
( ) 11
1lim0
=−−
−→ xx
In x=0 la funzione presenta un punto angoloso. In corrispondenza di tale punto si hanno due rette tangenti al grafico della funzione, y=-x (retta tangente destra) e y=x (retta tangente sinistra). Inoltre
0
01
01
1
0)( <
>−
>−
−
⇒>′ x
xx
xx
xf
STUDIO DI FUNZIONE
133
quindi la funzione è crescente per x<0, decrescente in 0<x<1/2. Derivata seconda
( )
( ) ( )
<<−−
−
<−
=′′
210
11234
0 1
1
)(
22
2
xxx
x
xx
xf
Si verifica facilmente che non ci sono punti di flesso. Grafico:
-8 -6 -4 -2
-4
-3
-2
-1
Esercizio 6.
Studiare il grafico della seguente funzione:
)1(51
2 )1()( +−−= xexxf Svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale irrazionale (con indice dispari) Dominio:
( )+∞∞−= , ..EC Comportamento agli estremi
STUDIO DI FUNZIONE
134
0)1(lim )1(51
2 =− +−
+∞→
x
xex (per la gerarchia degli infiniti)
La retta y=0 è un asintoto orizzontale destro, mentre
+∞=− +−
−∞→
)1(51
2 )1(lim x
xex
quindi non vi è asintoto orizzontale sinistro. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.
+∞=−
=+−
−∞→ xexm
x
x
)1(51
2 )1(lim
Non ci sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca di eventuali punti di massimo e minimo:
campo di esistenza della derivata:
( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞−= ,11,11, ..EC studio dei punti di non derivabilità:
−∞=′−−→
)(lim1
xfx
−∞=′+−→
)(lim1
xfx
+∞=′
−→)(lim
1xf
x +∞=′
+→)(lim
1xf
x
nei punti di ascissa 1±=x il grafico della funzione presenta dei flessi a tangente verticale. Si osservi inoltre che:
5261
5261 0525 0)( 2 +
<<−
⇒<−−⇒>′ xxxxf
la funzione presenta nei punti di ascissa 5
261−=x e
5261+
=x , rispettivamente,
un minimo e un massimo.
)1(
54
2
2
)1(5
525)( +−
−
−−−=′ xe
x
xxxf
STUDIO DI FUNZIONE
135
Grafico (lasciato al lettore come esercizio con il calcolo della derivata seconda)
Esercizio 7. Studiare il grafico della seguente funzione:
24
)( −+
= xx
xexf svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale fratta Dominio:
( ) ( )+∞∪∞−= ,22,..EC Comportamento agli estremi del dominio
+∞=−+
+→
24
2lim x
x
xxe
0lim 24
2=−
+
−→
xx
xxe
la retta x=2 è un asintoto verticale destro per la funzione Si osservi che:
xexe xx
~24
−+
per ±∞→x quindi
−∞=−+
−∞→
24
lim xx
xxe
+∞=−+
+∞→
24
lim xx
xxe
Perciò non ci sono asintoti orizzontali Ricerca di eventuali asintoti obliqui:
ex
xemxx
x==
−+
−∞→
24
lim ex
xemxx
x==
−+
+∞→
24
lim
STUDIO DI FUNZIONE
136
−=
−=
−−+
−∞→
−+
−∞→1limlim
124
24
xx
x
xx
xexeexxeq
−=
−=
−−+
+∞→
−+
+∞→1limlim
124
24
xx
x
xx
xexeexxeq
si osservi che:
26~1
124
−
−
−−+
xe x
x
per ±∞→x
quindi:
ex
xeexeqx
xx
x6
26lim1lim
124
=−
=
−=
±∞→
−−+
±∞→
abbiamo il seguente asintoto obliquo: y=ex+6e Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo:
( )24
2
2
224
)2(410
261)( −
+−+
−+−
=
−
−=′ xx
xx
ex
xxx
xexf
Si osservi che il campo di esistenza della derivata è lo stesso della funzione iniziale, non vi sono quindi punti di non derivabilità. Inoltre:
215,215 0410 0)( 2 +>−<⇒>+−⇒>′ xxxxxf abbiamo in corrispondenza dei punti 215 e 215 +=−= xx , rispettivamente, un punto di massimo e uno di minimo. Derivata seconda
24
4)2(4860)( −
+
−−
=′′ xx
exxxf
Annullando la derivata seconda si trova il punto di flesso per
−4
54,
54 eF .
Grafico (lasciato al lettore come esercizio)
STUDIO DI FUNZIONE
137
Esercizio 8. Studiare il grafico della seguente funzione:
xxxf log)( 32
= svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica irrazionale (con indice dispari). Dominio:
( )+∞= ,0..EC Comportamento agli estremi del dominio
[ ] 0loglim)1( posto 0loglim32
32
0=
−===∞⋅=
+∞→+→ y
yx
yxxyx
(dalla gerarchia degli infiniti)
In x=0 si ha una discontinuità di terza specie (eliminabile). Inoltre
+∞=+∞→
xxx
loglim 32
Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui:
0loglimloglim31
32
===+∞→+∞→
x
xx
xxmxx
non ci sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimi
)3log2(31)( 3
1
+=′−
xxxf
Risulta
23
03log2 0)(−
>⇒>+⇒>′ exxxf
nel punto di ascissa 23
−
= ex la funzione presenta un minimo.
STUDIO DI FUNZIONE
138
Inoltre si osservi che:
−∞=+=′−
+→+→)3log2(
31lim)(lim 3
1
00xxxf
xx
Derivata seconda
)3log2(91)( 3
4
+−=′′−
xxxf
Annullando la derivata seconda si trova il punto di flesso
eeF
23,2
3
.
Grafico:
1 2 3 4 5
1
2
3
4
Esercizio 9
Studiare la seguente frunzione:
)2arctan(2)( −−= xexxf Svolgimento La funzione è goniometrica. Dominio
),(.. +∞−∞=EC
STUDIO DI FUNZIONE
139
Si osservi che operando la traslazione X=x-2 la funzione assume la forma:
xexXfxg arctan)2()( =+= Comportamento agli estremi del dominio
+∞=+∞→
x
xxe arctanlim −∞=−
−∞→
x
xxe arctanlim
Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca degli eventuali asintoti obliqui
2arctanarctan
limlimπ
eex
xem x
x
x
x===
+∞→+∞→
[ ] 2arctan
2
2arctan
222arctan
1lim01limlim
ππππ
eex
xexexexeq x
x
Hx
x
x
x−=
+−
=∞⋅=
−=
−=
+∞→
+−
+∞→+∞→
2arctan
arctan
limlimπ
−
+∞→−∞→−=−=
−= ee
xxem x
x
x
x
[ ] 2arctan
2
2arctan
222arctan
1lim01limlim
ππππ−
−∞→
+−
−∞→
−
−∞→=
+=∞⋅=
+−=
+−= ee
xxexexexeq x
x
Hx
x
x
x
abbiamo quindi l’asintoto obliquo +∞→−= xxey per)1(2π
e
−∞→−−=−
xxey per)1(2π
. Derivata prima e eventuali punti di massimo e minimo La derivata non è definita in x=0, analizziamo la natura di questo punto di non derivabilità:
<
+++
−
>
+++
=
++=′
0 1
1
0 1
1
1)(
2
2arctan
2
2arctan
2
arctan
xx
xxe
xx
xxe
xx
xxexg
x
x
x
La derivata non è definita in x=0, analizziamo la natura di questo punto di non derivabilità:
STUDIO DI FUNZIONE
140
11
1lim2
2arctan
0=
+++
+→ xxxe x
x 1
11lim
2
2arctan
0−=
+++
−−→ x
xxe x
x
abbiamo qundi un punto angoloso di ascissa x=0. Si osservi inoltre che la derivata prima non si annulla mai, e la funzione è sempre crescente per 0≥x e decrescente per x<0. Grafico:
-6 -4 -2 2 4 6
2
4
6
8
10
Esercizio 10. Studiare il grafico della seguente funzione:
+−
−+=11arcsin32)(
2
2
xxxxf
Svolgimento Si tratta di una funzione goniometrica fratta Dominio Si osservi che il denominatore della frazione è sempre diverso da zero, deve risultare:
0) x(tranne 0 11 1 11 222
2
2
=≥⇒+≤−⇒≤+− xxx
xx
quindi
STUDIO DI FUNZIONE
141
( )+∞∞−= ,..EC Comportamento della funzione agli estremi del dominio
±∞=
+−
−+±∞→ 1
1arcsin32lim2
2
xxx
x
Non vi sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui
111arcsin32
lim2
2
=
+−
−+=
±∞→ xxxx
mx
232
11arcsin32lim
2
2 π−=
−
+−
−+=±∞→
xxxxq
x
abbiamo determinato l'asintoto obliquo di equazione:
232 π
−+= xy
Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi:
( )
>+−
<++
=+
−=+
⋅
+−
−
−=′
0 15
0 17
)1(61
14
111
31)(
2
2
2
2
2222
2
2
xxx
xxx
xxx
xx
xx
xf
si osservi che il campo di definizione della derivata è differente dal campo di definizione della funzione iniziale, per la derivata si ha:
( ) ( )+∞∪∞−= ,00,..EC Studiamo quindi la derivata sinistra nel punto zero:
( ) 7lim0
=′−→x
xf ( ) 5lim0
−=′+→x
xf
Nell'origine si presenta un punto angoloso
STUDIO DI FUNZIONE
142
Studiando il segno della deriva prima si determina un punto di minimo con ascissa 5=x .
Derivata seconda
( )
( )
>+
<+
−
=′′
0 1
12
0 1
12
)(
22
22
xx
x
xx
x
xf
Grafico:
-2 2 4
-4
-2
2
4
6
Esercizio 11. Studiare il grafico della seguente funzione:
( )
−
+=
11
arctanxx
xf
Svolgimento Si tratta di una funzione goniometrica fratta
STUDIO DI FUNZIONE
143
Dominio Posto 01 ≠−x , da cui segue che:
( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞−= ,11,11,..EC Comportamento agli estremi del dominio
411
arctanlim π=
−
+±∞→ x
xx
La retta 4π
=y un asintoto orizzontale.
Inoltre
211
arctanlim1
π=
−
+−−→ x
xx
21
1arctanlim
1
π−=
−
++−→ x
xx
Perciò nel punto x=-1 si ha una dicontinuità di prima specie. Infine
211
arctanlim1
π−=
−
+−→ x
xx
21
1arctanlim
1
π=
−
++→ x
xx
Nel punto x=1 si ha una dicontinuità di prima specie. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo
( ) ( )
( ) )1(1
11
11
1
1)(222 xx
xx
xxxx
xx
xx
xf+
−=−
+−−
⋅
−
++
=′
Si osservi che il dominio della derivata è differente dal dominio della funzione assegnata. La derivata ha il seguente dominio:
( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∪−∪−∞−= ,11,00,11,..EC Studiamo quindi il comportamento della derivata in x=0
STUDIO DI FUNZIONE
144
1)1(
lim20
−=
+−
+→ xxx
x 1
)1(lim
20=
+−
−→ xxx
x
ne deduciamo che nel punto x=0 si ha un punto angoloso. Si osservi inoltre che la funzione è sempre decrescente per x>0, mentre è crescente per x<0. Derivata seconda
22 )1()(
xx
xf+
−=′
Grafico:
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Esercizio 12. Studiare il grafico della seguente funzione:
))1log(log()( xxf −= Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica Dominio
STUDIO DI FUNZIONE
145
0 1-1
1
0)1log(
01<⇒
>
<⇒
>−
>−x
x
x
x
x
Quindi
( )0,.. ∞−=EC Comportamento agli estremi del dominio:
−∞=−−→
))1log(log(lim0
xx
Non ci sono asintoti orizzontali. La retta x=0 è un asintoto verticale destro. Inoltre
+∞=−−∞→
))1log(log(lim xx
Ricerca di eventuali asintoti obliqui:
01
)log(lim)1log( (posto ))1log(log(lim =−
=−==−
=−∞→−∞→ yyx e
yxyx
xm
Non ci sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo
xxxf
−−
⋅−
=′1
1)1log(
1)(
La deriva prima non si annulla mai nel dominio di definizione, inoltre è sempre negativa, quindi la funzione è sempre decrescente. Derivata seconda
( )( ) )1(log1
1log1)(22 xx
xxf−−
−−=′′
Grafico
STUDIO DI FUNZIONE
146
-10 -8 -6 -4 -2
-6
-4
-2
Esercizio 13.
Studiare il grafico della seguente funzione:
)2log()2()( 3 −⋅−= xxxf Svolgimento La funzione è logaritmica irrazionale Dominio
2 02
0)2( 3
>⇒
>−
>−x
x
x
Comportamento agli estremi
0)log(1lim)2
1 (posto)2log()2(lim23
3
2=−=
−==−⋅−
+∞→+→y
yxyxx
yx
Inoltre
+∞=−⋅−+∞→
)2log()2(lim 3 xxx
Non ci sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui.
STUDIO DI FUNZIONE
147
+∞=−⋅−
=+∞→ x
xxm
x
)2log()2(lim
3
Derivata prima e ricerca dei punti di massimo e minimo
( )
+−−=′ 1)2log(232)( 2
1
xxxf
Si ha:
( ) 32
21
2 x2 01)2log(232 0)(
−
+==⇒=
+−−⇒=′ exxxxf
Inoltre:
( ) 01)2log(232lim)(lim 2
1
22=
+−−=′
+→+→xxxf
xx
Derivata seconda:
( )
+−−=′′ − 4)2log(232
21)( 2
1
xxxf
Si ha:
32
31
32
2 023)2(
−−
+=⇒>=+′′ exeef ascissa del punto di minimo.
Si osservi che il punto x=2 va escluso in quanto non appartiene al campo di esistenza.
Annullando la derivata seconda si trova il punto di flesso
−+ −− 43
8
38,2 eeF
Inoltre la funzione è crescente per 32
2−
+> ex , mentre per 32
22−
+≤< ex la funzione è decrescente. Grafico
STUDIO DI FUNZIONE
148
3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
Esercizio 14. Studiare il grafico della seguente funzione:
112
)( −+
= xx
xexf svolgimento Si tratta di una funzione esponenziale fratta Dominio:
( ) ( )+∞∪∞−= ,11,..EC Comportamento agli estremi del dominio
0lim 112
1=−
+
−→
xx
xxe
+∞=−+
+→
112
1lim x
x
xxe
la retta x=1 è un asintoto verticale sinistro per la funzione Inoltre
STUDIO DI FUNZIONE
149
−∞=−+
−∞→
112
lim xx
xxe
+∞=−+
+∞→
112
lim xx
xxe
Non ci sono asintoti orizzontali Ricerca di eventuali asintoti obliqui:
2112
lim ex
xemxx
x==
−+
+∞→ 2
112
lim ex
xemxx
x==
−+
+∞−
−=
−=
−−+
+∞→
−+
+∞→1limlim
2112
22112
xx
x
xx
xexexexeq
−=
−=
−−+
−∞→
−+
−∞→1limlim
2112
2224
xx
x
xx
xexexexeq
si osservi che:
13~1
2112
−
−
−−+
xe x
x
per ±∞→x
quindi:
222112
2 31
3lim1lim ex
xeexeqx
xx
x=
−=
−=
±∞→
−−+
±∞→
abbiamo il seguente asintoto obliquo: )3(2 += xey Derivata e ricerca dei punti di massimo e minimo:
112
2
2
)1(15)( −
+
−+−
=′ xx
ex
xxxf
Si osservi che il campo di esistenza della derivata è lo stesso della funzione iniziale, non vi sono quindi punti di non derivabilità. Inoltre:
2215,
2215 015 0)( 2 +
>−
<⇒>+−⇒>′ xxxxxf
STUDIO DI FUNZIONE
150
abbiamo in corrispondenza dei punti 2
215 e 2
215 +>
−< xx , rispettivamente, un
punto di massimo e uno di minimo. Grafico: (lasciato al lettore come esercizio insieme al calcolo della derivata seconda)
Esercizio 15 Studiare il grafico della seguente funzione:
−−
=42log)(
2
xxxf
Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Dominio:
( ) ( ) ( )+∞∪∪−∞−=⇒
≠
>−⇒
≠−
>−−
,44,22,.. 4x
02
04
042
2
2
ECx
x
xx
Comportamento agli estremi del dominio:
−∞=
−−
−−→ 42loglim
2
2 xx
x −∞=
−−
+→ 42loglim
2
2 xx
x
La retta 2−=x un asintoto verticale (sinistro), mentre la retta 2=x un asintoto verticale (destro). Inoltre
+∞=
−−
−→ 42loglim
2
4 xx
x +∞=
−−
+→ 42loglim
2
4 xx
x
La retta 4=x un asintoto verticale Inoltre
STUDIO DI FUNZIONE
151
+∞=
−−
±∞→ 42loglim
2
xx
x
perciò non vi sono asintoti orizzontali. Ricerca di eventuali asintoti obliqui
04
2log1lim2
=
−−
=−∞→ x
xx
mx
042log1lim
2
=
−−
=+∞→ x
xx
mx
Infatti:
04log
lim41log4log21loglog2
lim4
2log1lim22
=
−
=
−−−
−+
=
−−
=−∞→−∞→−∞→ x
x
x
xx
x
xx
xm
xxx
Non vi sono asintoti obliqui. Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi
)2)(4(28)(
2
2
−−+−
=′xxxxxf
Si osservi che 0)( >′ xf quando:
( )+∞+∈∀⇒>−−+− ,144 0
)2)(4(28
2
2
xxxxx
(nella risoluzione della disequazione si è tenuto conto anche del campo di definizione della funzione) La funzione presenta un minimo in 144 +=x . Lasciamo al lettore lo studio della derivata seconda. Grafico:
STUDIO DI FUNZIONE
152
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
8
Esercizio 16
Studiare il grafico della seguente funzione:
−=
xxf
34log)(
Svolgimento Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Dominio:
3 03
4<⇒>
−x
x
quindi:
( )3,.. ∞−=EC Simmetrie Non vi sono simmetrie Comportamento agli estremi del dominio
+∞=
−=
− −→−→ xx xx 34limlog
34loglim
33
STUDIO DI FUNZIONE
153
La retta x=3 è un asintoto verticale (sinistro) per la funzione. Inoltre
−∞=
−=
− −∞→−∞→ xx xx 34limlog
34loglim
quindi non vi sono asintoti orizzontali Ricerca di eventuali asintoti obliqui
03
4log1lim =
−−∞→ xxx (dalla gerarchia degli infiniti)
non vi sono asintoti obliqui. Derivata prima ricerca dei punti di massimo e minimo
xxf
−=′
31)(
La derivata prima non si annulla mai, inoltre è sempre positiva nel dominio considerato, quindi la funzione è sempre crescente. Derivata seconda
( )231)(
xxf
−=′′
Grafico
-10 -8 -6 -4 -2 2-1
1
23
45
6
Esercizio 17.
STUDIO DI FUNZIONE
154
Studiare il grafico della seguente funzione:
−=
13log)(
xxxf
Si tratta di una funzione logaritmica fratta Dominio:
10 1
0 0
13
><⇒
>
>⇒>
−xx
x
x
xx
quindi:
( ) ( )+∞∪∞−= ,10,..EC Simmetrie La funzione non presenta simmetrie. Comportamento della funzione agli estremi del dominio:
−∞=
−−→ 13loglim
0 xx
x +∞=
−+→ 13loglim
1 xx
x
La retta di equazione x=0 è un asintoto verticale sinistro mentre la retta x=1 è un asintoto verticale destro. Inoltre
3log1
3loglim =
−−∞→ xx
x 3log
13loglim =
−+∞→ xx
x
La retta y=log 3 è un asintoto orizzontale per la nostra funzione (non vi sono quindi asintoti obliqui). Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi
)1(1)(−
−=′xx
xf
La derivata prima non si annulla mai. Inoltre è sempre positiva nel dominio di definizione, quindi la funzione è sempre decrescente. Derivata seconda
STUDIO DI FUNZIONE
155
22 )1(12)(
−−
=′′xxxxf
E’ facile verificare che la funzione non presenta flessi. Grafico:
-10 -5 5 10
-4
-2
2
4
6
Esercizio 18
Studiare il grafico della seguente funzione:
111
)( −+= xexf Si tratta di una funzione esponenziale irrazionale (con indice pari) e fratta. Dominio:
−≥≠
⇒
≥+
≠−+
10
01
011
xx
x
x quindi: [ ) ( )+∞∪−= ,00,1..EC
Simmetrie la funzione non presenta simmetrie. Comportamento della funzione agli estremi del dominio
STUDIO DI FUNZIONE
156
0lim 111
0=−+
−→
x
xe 0lim 11
1
0=−+
+→
x
xe
Nel punto x=0 la funzione presenta una discontinuità di seconda specie, inotre la retta di equazione x=0 è un asintoto verticale (sinistro) per la funzione. Inoltre
1lim 111
=−+
+∞→
x
xe
la retta y=1 è un asintoto orizzontale per la funzione. Non vi sono quindi asintoti obliqui. Inoltre si osservi che:
1)1( −=− ef Derivata prima e ricerca dei massimi e minimi
( )11
1
2
11121)( −+
+−+−=′ xe
xxxf
La derivata non si annulla mai, inoltre è sempre negativa nel dominio di definizione, quindi la funzione è sempre decrescente. Si osservi anche che il campo di definizione della derivata è differente dal campo di esistenza della funzione f(x) , infatti la derivata non è definita nel punto di ascissa x=-1. Studiamo quindi il comportamento della derivata prima in tale punto:
( ) −∞=
+−+− −+
+−→
111
21 1112
1lim x
xe
xx
Grafico (lasciato al lettore come esercizio insieme al calcolo della derivata seconda).