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1
Successioni numeriche 1/
Def. Si chiama successione numerica ogni funzione f da N in R definita in un insieme del tipo
I= {n ∈ N | n ≥ n0}, con n0 numero naturale e che associa ad un intero n di I un numero reale f(n).
In generale però porremo f: N→R
Inoltre spesso si pone: nanf )( (labeling) si ottiene così l’insieme
ordinato (codominio della funzione f ) :
Nnnn aaaa
,....,...,, 21
Il grafico di una successione è costituito da infiniti punti isolati di coordinate
0con );( nnan n
Esempi:
1a Primo termine
na Termine Generale
2
Successioni numeriche 2/
Esempi:
Successioni notevoli:
Armonica Di Wallis
nan
1
n
na )1(
3
Successioni numeriche 3/
A volte le successioni possono essere definite per ricorrenza:
1 1
1
1
nan
a
a
nn
1n
1
1
1
1
0
nnn aaa
a
a
Def. Successioni limitate
Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di successioni:
• limitate inferiormente
• limitate superiormente
• limitate
nonchè di:
• estremo inferiore ed estremo superiore
• minimo e massimo
di una successione.
Fibonacci
4
Successioni numeriche 4/
A volte le successioni possono essere definite per ricorrenza:
1 1
1
1
nan
a
a
nn
2n
1
1
21
2
1
nnn aaa
a
a
Def. Successioni limitate
Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di successioni:
• limitate inferiormente
• limitate superiormente
• limitate
nonché di:
• estremo inferiore ed estremo superiore
• minimo e massimo
di una successione.
Esempio
Stabilire per ognuna delle successioni (1)-(6) se e limitata e
determinarne estremo inferiore e superiore, precisando se sono minimo
e massimo.
(Fibonacci)
5
Successioni numeriche 5/
Def. Successioni monotone
Precisamente, una successione {an} è :
• crescente se e solo se an ≤ an+1 per ogni n
• strettamente crescente se e solo se an < an+1 per ogni n
• decrescente se e solo se an ≥ an+1 per ogni n
• strettamente decrescente se e solo se an > an+1 per ogni n
Esempio
Studiare la monotonia delle successioni (1)-(6).
Def. Proprietà vere denitivamente
Diciamo che una proprietà P(n) è vera definitivamente se P(n) è vera per tutti gli n sufficientemente
grandi, cioè se : nknPNk veraè )(:
Esempi
Si consideri:
!
10
n
n
6
Successioni numeriche 6/
Esempi
I termini della successione {n-5} sono definitivamente positivi.
I termini della successione non sono definitivamente positivi.
I termini della successione sono definitivamente maggiori di 25.
La successione è definitivamente decrescente.
!
10
n
n
2n
n)1(
Def. Limiti di Successioni
Si hanno allora 3 possibili risultati:
(finito) lim Lann
La successione è detta CONVERGENTE
lim
nn
a
La successione è detta DIVERGENTE a +∞
Lnnn n00 a : 0
: 0 00 K annnK n
lim
nn
a : 0 00 K annnK n
La successione è detta DIVERGENTE a -∞
7
Successioni numeriche 7/
Def. Successioni infinitesime
0lim
nn
aLa successione {an} è detta infinitesima se e solo se:
esiste lim nonann
La successione è detta IRREGOLARE
Def. Successioni infinite
La successione {an} è detta infinita se e solo se:
n
nalim
Es.
Rq sia Nn
nq
si chiama progressione geometrica di ragione q .
Se q ≤-1, la progressione geometrica e irregolare.
Se q > -1, la progressione geometrica e regolare e si ha :
1per
1per 1
1per 0
lim
q
q
q
qn
n
8
Successioni numeriche 8/
Es.
Verificare che le seguenti successioni sono convergenti e determinarne i rispettivi limiti.
9
Successioni numeriche 9/
10
Successioni numeriche 10/
11
Successioni numeriche 10/
12
Successioni numeriche 11/
13
Successioni numeriche 12/
A volte le successioni possono essere definite per ricorrenza:
1 1
1
1
nan
a
a
nn
1n
1
1
1
1
0
nnn aaa
a
aFibonacci
14
Successioni numeriche 13/
Es. Limiti di successioni definite per ricorrenza:
15
Progressioni
Progressioni Aritmetiche 1/
Def. Una progressione aritmetica é una successione di numeri reali tale che la differenza tra due
termini consecutivi della successione è costante. Questa costante si chiama ragione della
progressione stessa: se la ragione è positiva la successione è crescente, se la ragione è negativa
la successione è decrescente.
Indicando con an il termine generale e con d la ragione:
dnaan 11
16
Progressioni Aritmetiche 1/
Def. Una progressione aritmetica é una successione di numeri reali tale che la differenza tra due
termini consecutivi della successione è costante. Questa costante si chiama ragione della
progressione stessa: se la ragione è positiva la successione è crescente, se la ragione è negativa
la successione è decrescente.
Indicando con an il termine generale e con d la ragione:
dnaan 11
Es.
drsaa rs 1
1
n
aad n
17
Progressioni Aritmetiche 2/
Es.
Es.
18
Progressioni Aritmetiche 3/
Es.
Es. Inserimento Medi Aritmetici Es. Inserire m medi fra
due estremi a e b.
1
m
abd
19
Progressioni Aritmetiche 4/
Poiché in generale abbiamo che la somma dei termini equidistante dagli estremi è
uguale alla somma dei termini estremi :
2
1 nn
aanS
Es. Somma dei primi n numeri pari
Es. Somma dei primi n numeri dispari
naaa n 2;..;4;2 21 12
22
nn
nnPn
12;..;3;1 21 naaa n
2
2
121n
nnDn
20
Progressioni Geometriche 1/
Def. Una progressione geometrica o successione geometrica è una successione di numeri tali
che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è sempre costante.
Tale costante è detta ragione della successione e la indicheremo con q (per semplicità supporremo
sempre q>0).
.....
3
134
2
123
12
qaqaa
qaqaa
qaa
1
1
n
n qaa 1
1
nn
a
aq
r
sr
s aqa
crescente succ. 1
costante succ. 1
edecrescent succ. 1
q
q
q
21
Progressioni Geometriche 2/
Es. Inserire m medi geometrici tra a e b (a,b,q>0)
Basta porre : 1 m
a
bq
1
1
nn
a
aqLo si ottiene da: Con:
2
1
mn
ba
aa
n
Es. Medio geometrico:
a
bq baaqmg
Il medio geometrico fra due estremi corrisponde al medio proporzionale di una proporzione
continua del tipo:
E’ facile dimostrare che la media aritmetica è maggiore della media geometrica.
Scriviamo infatti:
22
Progressioni Geometriche 3/
Es.
Somma dei termini di una progressione geometrica
q
qaS
n
n
1
11
23
Progressioni Geometriche 4/
Limite della Somma
-1q
1q
1q 1
lim
1
q
a
Snn
Es. Notazione in base 10 e frazioni generatrici di numeri periodici
la somma di una serie geometrica di valore iniziale 1/10 e ragione 1/10 che per la
Regola:
“La frazione generatrice di un numero decimale periodico si ottiene mettendo al numeratore il
numero privato della virgola meno il numero formato dalla parte intera e dall’antiperiodo (se c’è) e
al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre
dell’antiperiodo.”
24
Progressioni Geometriche 5/
Es.
Es.
25
Serie Numeriche 1/
Sia data la successione
La locuzione “serie di termine generale an”, a cui associamo il simbolo
Ran
Si consideri la successione delle somme parziali RSn
nn aaS
aaaS
aaS
aS
...
...
0
2102
101
00
(1) 0
n
na
va intesa come abbreviazione di “successione delle somme parziali di {an } “
Quindi tutto ciò che si riferisce alla serie, si riferisce alla successione delle somme parziali { Sn}.
26
Serie Numeriche 2/
Def. Studiare la serie (1) significa studiare la successione delle somme parziali { Sn}.
Si dice che la serie (1) converge ad S ϵ R se la successione { Sn} converge
ad S. Il numero S si dice anche somma della serie. In tal caso si scrive :
(2) S0
n
na
Analogamente si dice che la serie (1) diverge (positivamente o negativamente) se la successione
{ Sn} diverge (positivamente o negativamente). In tal caso si scrive:
(3) 0
n
na
Infine si dice che la serie (1) non è regolare se tale risulta la successione { Sn} .
Gli esempi più semplici di serie numeriche si presentano quando è possibile dare un’espressione
analitica per la successione { Sn} e quindi calcolarne il limite.
Precisiamo che si tratta di situazioni estremamente rare.
Nota: Ci riferiremo alle espressioni “convergente, divergente, non regolare “come al “carattere”
della serie.
27
Serie Geometrica 4/
Serie geometrica
Nnqn
1 se
1
1
1 se 1
0 qq
qn
qSn
k
k
n
Passando al limite:
1 se
1 se
1 se 1
1
limlim0
qirregorale
q
qSn
k
k
nn
n
Es. Numeri periodici (vedi sopra)
28
Serie Geometrica 5/
Serie geometrica
2
2
11
1
2
1
0
k
k
Esempi ( con particolare attenzione all’uso degli indici):
1122
1
1
k
k
2
1
2
112
2
1
2
k
k
1,19
10
10
11
1
10
1
0
k
k
1,09
11
9
10
10
1
1
k
k
10,090
1
90
990100
10
11
9
10
10
1
2
k
k
29
Serie Telescopiche 6/
Serie Telescopiche
Es. Studiamo la convergenza della serie
111
12
n
B
n
A
n
Introduciamo lo sviluppo in
somme parziali
1
1
1
1
2
1
1
12 nnn
22 1
1
n n
Scriviamo i primi termini:
......
7
1
5
1
2
1
16
1
16
1
2
16
6
1
4
1
2
1
15
1
15
1
2
15
5
1
3
1
2
1
14
1
14
1
2
14
4
1
2
1
2
1
13
1
13
1
2
13
3
11
2
1
12
1
12
1
2
12
n
n
n
n
n Otteniamo:
1
11
2
11
2
1
nnSn
4
3lim
n
nS
30
Serie Telescopiche 7a/
Serie Telescopiche
Es. Serie di Mengoli:
1 )1(
1
n nn
Scriviamo i primi termini:
......
4/13/13
3/12/12
2/111
n
n
n Otteniamo:
1lim
nn
S
Osserviamo:
1
11
nSn
1)1(
1
n
B
n
A
nn
1
1
B
A
1
11
)1(
1
nnnn
31
Serie Telescopiche 7b/
Serie Telescopiche
Es. Studiamo la convergenza della serie
1
11ln
n n
Scriviamo i primi termini:
......
)3ln()4ln(3
)2ln()3ln(2
)1ln()2ln(1
n
n
n Otteniamo:
nn
Slim
Osserviamo: )ln()1ln(1
1ln nnn
)1ln( nSn
32
Teoremi su serie convergenti 8/
Teoremi sulle serie convergenti
Teo 1 (Condizione necessaria di convergenza)
Ove non sia possibile dare un’espressione analitica alla successione delle somme
parziali o calcolarne il limite, ci si accontenta di stabilire il carattere della serie
(convergente, divergente, non regolare).
Per questo motivo (non interessa la somma delle serie), la serie verrà indicata
genericamente con
na Omettendo il range degli indici
Condizione necessaria affinché la serie na Converga è che: 0lim
nn
a
Nota : la condizione è solo necessaria infatti :
01
1lnlim
nn
Ma la serie relativa è divergente (vedi es. precedente)
Inoltre si dimostra che la serie “armonica” n
1
È divergente pur avendo il termine generale che tende a zero
33
Teoremi su serie convergenti 9/
Teo 2
Siano: na nb Convergenti. Allora:
na nn ba Sono convergenti, e vale:
nn aa nnnn baba
Teo 3
Siano: na nb Divergenti con lo stesso segno . Allora:
na nn ba Sono divergenti.
34
Serie a termini positivi 10/
Def. La serie na Si dice a termini positivi se (almeno definitivamente) 0na
Nota 1: Ogni serie a termini positivi è regolare, precisamente o converge o diverge
positivamente.
Nota 2: Ogni serie a termini definitivamente negativi ha lo stesso carattere della serie di
segno opposto.
Teo 4 (Criterio del rapporto)
Seguono teoremi sui criteri immediati (non hanno necessità di confronto con serie
“standard”)
Data la serie: na se:
diverge serie la 1lim 1
n
n
n a
a
converge serie la 1lim 1
n
n
n a
a
Es. Si determini il carattere della seguente serie:
35
Criterio del Rapporto 11/
Es. Si determini il carattere della seguente serie:
La serie assegnata è convergente
Es. Si determini il carattere della seguente serie:
La serie assegnata è divergente
36
Criterio del Rapporto 12/
Es. Si determini il carattere della seguente serie:
La serie assegnata è divergente
37
Criterio della Radice 15/
Teo 5 (Criterio della radice)
Data la serie: na se:
diverge serie la 1lim
nn
na
converge serie la 1lim
nn
na
Es. Si determini il carattere della seguente serie:
La serie assegnata è convergente
Es. Si determini il carattere della seguente serie:
La serie assegnata è convergente
38
Serie Armoniche Generalizzate 16/
Teo 6 (Criterio di Riemann – Serie armonica generalizzata)
La serie:
1 )(log
1
n nn
Detta serie «armonica generalizzata» ha il seguente
carattere:
divergente 1
divergente 1
econvergent 1 1
econvergent 1
1 )(log
1
n nn
Def. Serie asintotiche
Due successioni nn ba Si dicono asintotiche (o meglio asintoticamente
equivalenti) se:
1lim
n
n
n b
aSi scrive: nn ba
39
Criterio del Confronto 16/
Teo 7 (Criterio del confronto)
Siano
diverge diverge nn ba
nb Serie a termini positivi tali che (definitivamente): nn ba
Allora se:
converge converge nn ab
Es.
na
40
Criterio del Confronto 17/
Es. (carattere della serie armonica)
Partendo da: e
n
n
11
Passando al logaritmo:
x
xxf
11)(
11
1ln
nn
nn
111ln
Avendo già dimostrato che la serie:
diverge 1
diverge 1
1ln
nn
41
Criterio del Confronto 18/
Es.
Es.
42
Criterio del Confronto Asintotico 19/
Teo 8 (Criterio del confronto asintotico)
Siano na nb Serie asintoticamente equivalenti. Allora esse lo stesso
carattere .
Cioè uno converge (risp. diverge) se e solo se l’altra converge (risp. diverge) .
Es. nn 232 nn 323
n
n
n
3
2
23
32
Poiché :
n
3
2È convergente, ne segue che
23
32n
n
23
32n
n
È convergente
43
Criterio del Confronto Asintotico 20/
Es. nn 232 nn 323
n
n
n
3
2
23
32
Poiché :
n
3
2È convergente, ne segue che
23
32n
n
23
32n
n
È convergente
Es.
2
12n
n
nn
n 1
2
12
La serie è divergente
Es.
44
Criterio del Confronto Asintotico 21/
Es.
Es.
45
Criterio Integrale per Serie 22/
Teo 9 (Criterio dell’integrale per serie)
46
Serie a termini alternati 23/
Teo 10 (Criterio di Leibniz)
Sia: n
n a)1( Con an≥0, una serie a termini alterni. Supponiamo che:
i) an sia monotona strettamente decrescente
0lim
nn
aii) Allora la serie n
n a)1( È convergente
È convergente
Es.
Es. 0lim
nn
a
47
Serie a termini alternati 24/
48
Serie a termini alternati 25/
Es.
0lim
nn
a
Per la monotonia :
nn aa
11
1
n375
Dunque la serie è convergente
49
Somma di Serie Particolari 2/
0 !
1
n
en
1
2
2 6
1
n n
0
2
2 8)12(
1
n n
Rkp
kn primop
kn
k
1
1)(
1
1
Riemann di Zetafunzione )(k
1
4
4 90
1
n n
1
6
6 945
1
n n
1
1
)2ln()1(
n
n
n
1
1
412
)1(
n
n
n