INOM EXAMENSARBETE ELEKTROTEKNIK,GRUNDNIVÅ, 15 HP

, STOCKHOLM SVERIGE 2017

Successiv transponering av luftledningar för högspänd växelströmSuccessive Transpositioning of High Voltage AC Overhead Lines

STAFFAN LUNDMARK

GUSTAV EKHOLM

KTHSKOLAN FÖR TEKNIK OCH HÄLSA

Sammanfattning Trefas högspänd växelströmsöverföring via luftledningar medför överföringsförluster och magnetiska störfält. Fasledarnas inbördes avstånd och konfiguration påverkar dessa fenomen. Genom att låta fasledarna successivt byta plats (transponeras) mellan varje stolpe/torn skulle effekterna av fenomenen potentiellt kunna minskas. En slinga bestående av en ledare samt återledare av rostfritt stål fastsydd i ett nylonband tillverkades samt geometriska och elektromagnetiska modelleleringar av en successivt transponerad luftledning utfördes. Utifrån den geometriska modelleringen och med ett existerande △-konfigurerat trefassystem som förlaga kontruerades en ekvivalent trefasmodell i miniatyr. Experiment utfördes på slingan och på luftledningsmodellen. Späningsfallen i en krets med en rak respektive skruvad slinga mättes med oscilloskop. Magnetfälten kring den raka och de transponerade modellerna mättes med en mätspole. Experimenten gav att induktansen ökade med graden av successiv transponering medan kapacitansen minskade. Överlag syntes störfälten minska vid transponering. En dylikt transponerad ledningstyp skulle kunna vara ett alternativ till en rak när en minskning av magnetfälten är önskad. Magnetfältsmätningarnas tillförlitlighet begränsades av fasasymmetri i mätuppställningen och avvikelser i positioneringen av mätspolen mellan mätserierna. Därmed krävs ytterligare experiment för att exakt fastställa effekterna av successiv transponering. Nyckelord: luftledning, överföringsförluster, skruvning, transponering, magnetfält, induktans.

Abstract Three phase high voltage alternating current overhead line systems are associated with losses along the lines and disrupting magnetic fields surrounding the conductors. These negative effects could possibly be combated by twisting the conductors. The twist was achieved by gradually shifting the conductors positions (transposition) over each span of transmission line. A test circuit with a stainless steel wire was made. Geometric and electromagnetic modelling of a successively transposed power line was performed. A miniature three phase overhead line model was constructed.. The model was based on the results from the geometric modeling and data from a real △-configured power system application. Experiments were made with both the steel wire circuit and the overhead line model. Voltage drops in the circuit with a straight - and twisted wire was measured with an oscilloscope. Magnetic flux around the overhead line models were measured with a solenoid. The results from the experiments showed that twisting the conductors resulted in an increase in inductance and a decrease in capacitance. Regarding the magnetic fields, indications of an overall decrease was observed with the twisted configurations compared to the straight. Twisted overhead lines could be viable when an overall decrease in magnetic field is needed. Due to uncertainties in the magnetic field measurements, more extensive experiments should be conducted in order to solidify the results of this work. Keywords: Overhead lines, losses, twisted conductors, transposition, magnetic fields, inductance.

Förord För att förstå denna rapport bör man ha kunskaper i ellära och elkraftsteknik på högskolenivå. Rapporten beskriver ett examensarbete på KTH:s högskoleingenjörsutbildning inom elektroteknik med inriktning elkraft. Vi vill tacka vår handledare Hans Edin för stödet och vägledningen i arbetet. Vi vill dessutom tacka doktorand Patrick Janus som förevisat oss labutrustning och varit till hjälp vid de experiment som utförts på KTH:s campus.

Innehåll 1 Inledning 1

1.1 Bakgrund 1 1.2 Problemformulering 1 1.3 Målsättning 2 1.4 Avgränsningar 2 1.5 Författarnas bidrag 2

2 Teoretisk bakgrund 3 2.1 Transponering och skruvning 3 2.2 △-konfiguration 4 2.3 Elektriskt minimiavstånd vid trefas kraftöverföring i luftledning 4 2.4 Dimensioner för trefas kraftöverföringssystem 5 2.5 Strömförträngningseffekten 6 2.6 Strömtålighet 7 2.7 Faradays lag, Lenz lag, magnetfält, induktion och induktans 7 2.8 Induktans för två raka ledare i fria rymden 9 2.9 Distribuerad kapacitans mellan två ledare 9 2.10 Ekvivalent djup 9 2.11 Induktans för en rak ledare och dess ekvivalenta återledare i jord 9 2.12 Strömberäkning vid stum fas till fas kortslutning 10

3 Metod och resultat 13 3.1 Motivering till vald av metod 13 3.2 Enfas induktansexperiment 14 3.3 Modellering 19

3.3.1 Matematisk geometrisk modellering 19 3.3.2 Elektromagnetisk modellering 21

3.4 Trefassexperimentet 24

4 Analys 39 4.1 Enfasexperimentet 39 4.2 Modellering 39 4.3 Trefasexperimentet 39

4.3.1 Magnetisk fältstyrka 40 4.3.2 Övertoner 41 4.3.3 Magnetfältsdispersion 42 4.3.4 Inducerade strömmar 43

4.4 Metodens begränsningar 45 4.5 Potentiell samhällsnytta med successiv transponering 45

5 Slutsatser 47

Referenser 49

Figurreferenser 51

1 Inledning Här presenteras bakgrunden till examensarbetet, frågeställningen som arbetet ska besvara, målsättningar samt avgränsningar som gjordes.

1.1 Bakgrund I en avhandling av Niclas Schönborg undersöks bland annat hur induktans och magnetfält påverkas när ledare skruvas. Där presenteras matematiska lösningar för reaktans i och magnetfält kring ledare som skruvats spiralformat på en cylinder. Ett laborativt experiment med en trefaskonfiguration lindad på en cylinder redovisas också. Enligt avhandlingen ökar induktansen med skruvningsgraden medan magnetfälten minskar [1]. Transponeringen av luftledningar och dess påverkan på den elektromagnetiska kopplingen mellan olika ledningssystem har undersökts av Raunig, Schmautzer och Fickert. De presenterar beräkningsmodeller för den induktiva kopplingen mellan olika ledningssystem i relation till transponeringens utförande [2].

1.2 Problemformulering Vid trefasig högspänd växelströmsöverföring via luftledning uppkommer överföringsförluster och magnetiska störfält. Examensarbetet ämnade undersöka hur nämnda fenomen påverkas vid en praktiskt tillämpad skruvning av ledarna map reaktans och magnetfältstyrkor. Denna skruvning utfördes genom att faserna successivt transponerades, dvs bytte plats mellan varje ledningsstolpe/torn enligt figur 1.

Figur 1. Successivt transponerad ledning.

1

1.3 Målsättning Utifrån problemformuleringen delades arbetet upp i en rad målsättningar enligt följande: Matematisk modellering för transponerade ledningar gällande:

● De geometriska sambanden mellan ledaravstånd, ledningslängder och transponeringsvinkel. ● Induktans- och kapacitansberäkningar.

Laborationsexperiment: ● Konstruktion av ekvivalent enfasluftledning med fram- och återledare för jämförelse av

reaktanser mellan rak och skruvad ledning. ● Konstruktion av en testanläggning i miniatyr för ekvivalent trefas luftledning. Med hjälp av

oscilloskop och mätspole utföra magnetfältsmätningar på en icke-transponerad ledning samt en successivt transponerad ledning med 60°, 90° respektive 120° vridning per torn.

Analys av experimenten: ● Undersöka hur reaktans och magnetfält ändras vid transponering av varierande täthet och

analysera innebörden av detta ur ett samhällsperspektiv.

1.4 Avgränsningar ● De luftledningstyper som testades var enbart den enfasiga, med återledare, samt den

△-konfigurerade trefasiga. ● Problematik relaterad till specifika konstruktionsdetaljer (utformning av torn, upphängning av

ledningar och dylikt) för en fullskalig successivt transponerad luftledning behandlades ej. ● Tidsbudgeten för arbetet var 10 veckor motsvarande 1600 arbetstimmar. ● De spänningsnivåer som användes i experimenten begränsades till klenspänningsområdet. ● Maxbudgeten för inköp av material var 2000 kr.

1.5 Författarnas bidrag Författarna Gustav Ekholm och Staffan Lundmark gjorde gemensamt samtliga delar av arbetet.

2

2 Teoretisk bakgrund I detta kapitel presenteras den teori som arbetet bygger på. Matematiska formler för induktans, kapacitans och magnetfält redovisas också här.

2.1 Transponering och skruvning Transponering av luftledningar innebär att faserna, vid trefas kraftöverföring, med jämna mellanrum byter plats med varandra. Detta gör att reaktansen, över en given sträcka, blir lika stor i varje fasledare [3]. Ett exempel på en transponeringspunkt visas i figur 2.

Figur 2. transponerad (transponerad) luftledning [I]. I kraftkablar för lågspänning tillämpas skruvning av ledarna, se figur 3. Detta görs främst av flexibilitets- och hållfasthetsskäl men även i vissa fall för att minska effekterna av de magnetiska fälten kring kabeln [4].

Figur 3. Kabel med skruvade ledare [II].

3

2.2 △-konfiguration Vid trefas kraftöverföring kan en △-konfiguration användas. Det innebär att fasledarna I1, I2 och I3, betraktat i tvärsnitt, bildar en liksidig triangel enligt figur 4.

Figur 4. Fasledare i △-konfiguration [III][IV].

2.3 Elektriskt minimiavstånd vid trefas kraftöverföring i luftledning Luft kan motstå spänningsskillnader motsvarande en elektrisk fältstyrka på ca: 3 kV/mm , därefter sker urladdningar via luften. Ett exempel på en sådan urladdning är ett blixtnedslag [5]. För en given spänningsnivå begränsas därmed det minsta tillåtna avståndet mellan fasledare samt mellan fasledare och jord. Om avståndet underskrids finns risk för överslag. I tabell 1 redovisas värden på minsta tillåtna avstånd mellan faser samt mellan fas och jord för olika spänningsnivåer enligt standarden BS:162 [6].

4

Tabell 1. Minsta avstånd mellan faser samt mellan fas och jord för olika spänningsnivåer.

Spänning [kV] Avstånd fas till fas [mm] Avstånd fas till jord [mm]

6.6 139,7 177.8

11 177.8 228.6

22 279.4 330.2

33 381 431.8

66 685.8 787,4

110 863.6 990.6

132 1066.8 1219.2

220 1778 2057.4

2.4 Dimensioner för trefas kraftöverföringssystem För en traditionell luftledning i rak konfigurering med spänningsnivåer på mellan 11 kV och 66 kV (figur 5) gäller följande mått för ledningens stolpar: Höjd: 10 m Avstånd mellan respektive närliggande faser: 0,6 m. Isolatortyp dikteras av spänningsnivån. Därutöver styr isolatortypen spannlängden [7].

Figur 5. Stolpe för trefas överföring, faser i rak konfiguration.

5

För system i △-konfiguration med spänningsnivåer på 10 kV, 20 kV respektive 35 kV har dessa mått använts: Avstånd mellan fasledare: 1,9 - 3,2 m, tornhöjd: 9-15 m, ledararea: 50-95 mm2 (Aluminium), spannlängd: 106-137 m. Måtten varierar då dessa styrs av klimatförhållandena på konstruktionsplatsen [8].

2.5 Strömförträngningseffekten Strömförträngningseffekten är ett växelströmsfenomen. Strömförträngning innebär att strömtätheten är som störst vid ytan av en ledare för att successivt minska in mot mitten. Därav minskar ledarens totala konduktans av effekten. Detta medför ökade överföringsförluster i förhållande till motsvarande likströmsöverföring där strömtätheten är jämnt fördelad i ledaren. Växelströmmen orsakar ett tidsvarierande magnetfält i ledaren. Magnetfältet (B i figur 6) inducerar i sin tur virvelströmmar (eddy currents) inuti ledaren. Virvelströmmarna förstärker strömmen vid ledarens yta medan de motverkar strömmen in mot ledarens mitt, se figur 6. Så förklaras strömförträngningseffekten.

Figur 6. Virvelströmmar i ledare orsakad av tidsvarierande magnetfält. Skin-djupet är det avstånd från ledarens yta där strömtätheten har minskat till 1/e av tätheten vid δ ytan. Skin-djupet minskar med ökad frekvens hos växelströmmen samt med ökad ledardiameter. Djupet beräknas med följande formel [9][10]:

δ = √ 2ω·μ·σ (1)

där: = vinkelfrekvens [rad/s]ω = absolut magnetisk permeabilitet = [H·m], = relativ magnetisk permeabilitet förμ μr · μ0 μr

materialet och = permeabilitet för vakuum = 1,26 H/mμ0 μ = konduktivitet [S/m]σ

6

2.6 Strömtålighet Valet av ledararea styrs av strömtåligheten kopplad till kylförhållandena, dvs förlusteffekten RI2 samt solvärmeupptaget och energiutbytet från ledaren till omgivningen. Beräkningar för ett givet fall görs utifrån uppgifter om omgivningstemperatur, material och ytstruktur på ledningen, vindförhållanden samt strömbehovet enligt formel 2.

P Resistans + P sol = P Konvektion + P Strålning ⇔

I 5, 5 T )RAC2 + α′ · S ′ · d = 1 9 · 10−4 · (V )

vind · d 0,462 · ( Ledare − T Omgivning

+ ε · σ · π · d · (T )Ledare4 − T Omgivning

4 (2)

där: = Växelströmsresistansen .RAC

= solabsorptionskoefficient (beror av ledarens ålder och skick)α′ = strålningsintensitet [W/cm2]S ′

d = Ledardiameter [cm]. Vindhastighet [cm/s] V

vind = = emissionskoeffcient (beror av ledarens ålder och skick) [11].ε

Om växelströmsfrekvensen är låg ( 50 Hz) och ledarradien liten (<10 mm) blir ≈

strömförträngningseffekten försumbar för en kopparledning [12]. Då kan växelströmsresistansen beräknas enligt formeln 3 för likströmsresistansen [13].RAC RDC

R = ρA · l (3)

där: = ledarmaterialets resistivitet [ ]ρ Ω · m

= ledararean [ ]A m2

= ledningslängden [ ]l m

2.7 Faradays lag, Lenz lag, magnetfält, induktion och induktans Faradays lag ger att ström induceras i en slinga som befinner sig i ett tidsvarierande magnetfält. Lenz lag ger att den inducerade strömmens riktning är sådan att magnetfältet som strömmen skapar motverkar magnetfältsändringen. Magnetfältet B på avståndet r från en rak strömförande ledare bestäms enligt formel 4, vilken är giltig för avstånd r avsevärt mindre än ledningens längd.

B = 4πμ I0 ∫

r2

d s × r︿

⇒ {om avståndet r är mycket mindre än ledarens längd} ⇒

B = 2π·rμ ·I 0 (4)

där: Storheten I är strömmen i ledaren.

7

Det magnetiska flödet Φ orsakat av ett homogent magnetfält genom en yta S definieras enligt formel 5:

⋅A ⋅A⋅cosθΦ = B = B(5)

där: är magnetfältsvektorn och B är vektorns belopp. är en areavektor som består av arean SB A

och en enhetsnormalvektor dvs . Vinkeln θ är den mellan vektorerna A och B. Se A = S · n︿ figur 7.

Figur 7. Areavektor, magnetfältsvektor och vinkeln emellan dem [V]. Om magnetfältet ej är homogent ändras formel 5 till följande motsvarande integraluttryck enligt formel 6:

Φ = ⋅ds ∮

sB (6)

En ändring av det magnetiska flödet leder till att en elektromotorisk kraft (emk) verkar över slingan ε enligt formel:

−ε = dtdΦ (7)

Om slingan är en spole med N varv blir formeln för emk:

−ε = N dtdΦ (8)

Formel 2 och 4 ger tillsammans att en emk kan skapas genom att magnetfältet B ändras, att arean S ändras eller att vinkeln mellan A och B ändras.

förhåller sig till induktansen L enligt [14][15][16]:ε = eller annorlunda uttryckt −ε = dt

dΦ − L · dtdi N · Φ = L · I (9)

där: = strömändring per tidsenhetdt

di I = strömstyrkan

8

2.8 Induktans för två raka ledare i fria rymden Distribuerad induktans mellan två raka ledare i rymden betecknas l och bestäms enligt formeln [17]:

n( )) H/ml = μ02π · ( 4

μr + l rd (10)

där: = permeabiliteten för ledarmaterialet (=1 för icke magnetiskt material)μr

d = avståndet mellan ledarna r = ledarradien

2.9 Distribuerad kapacitans mellan två ledare Den distribuerade kapacitansen c mellan två ledare definieras enligt formeln [18]:

F /mc = π·εln( )r

d (11)

där: absolut permittivitet = relativ permittivitet för mediet. ε = ,εr · ε0 εr =

= permittiviteten för vakuum = 8,854 F/mε0 n d = avståndet mellan ledarna r = ledarradien

2.10 Ekvivalent djup Runt en växelströmströmförande ledare existerar ett tidsvarierande magnetfält. Magnetfältet runt en ledare ovan mark inducerar strömmar i jorden. Dessa strömmar, med omvänd riktning relativt luftledarens, kan beräkningsmässigt ersättas med en återledare på ett visst ekvivalent djup Deq. Djupet beräknas enligt Carsons’s formel [19] :

58 Deq = 6 · √ fρ

där: f = nätfrekvensen och jordresistiviteten. I praktiken kan aldrig bli mindre än dubbla ρ = Deq ledningshöjden H eftersom luftledningens magnetiska avspegling i markytan motsvarar detta avstånd. Carsons’s formel blir därför missvisande för höga frekvenser. Därför skrivs formel om enligt Edin som [20]:

H 58 Deq = 2 + 6 · √ fρ (12)

2.11 Induktans för en rak ledare och dess ekvivalenta återledare i jord Induktansen mellan en rak ledare och dess beräkningsmässigt motsvarande återledare, vid det ekvivalenta djupet Deq, som representerar de i jorden inducerade strömmarna beräknas enligt följande [19]:

L = n( ))μ02π · ( 4

1 + l rDeq · l (13)

där: r = ledarradien och =ledningslängdenl

9

2.12 Strömberäkning vid stum fas till fas kortslutning

Vid en stum fas till fas kortslutning, dvs med impedansfri kortslutningspunkt, bildas en sluten krets enligt illustrationen i figur 8.

Figur 8. Krets vid stum fas till fas kortslutning i trefas elkraftsystem.

Kortslutningsströmmen IK betraktas här som positiv i fas A, dvs IA= IK , och negativ i fas B enligt IB= -IK = - IA. Om fas C är obelastad, dvs IC = 0 och beloppet på fasspänningen betecknas så blir:U 0

, U och U U A = U 0 B = U 0 · ej240c = U 0 · ej120

Detta innebär att faserna är inbördes fasförskjutna 120°. En potentialvandring i kretsen A-B ger enligt Kirchhoffs spänningslag [21]:

U U U U U A − Δ A + Δ B − U B = 0 ⇔ U A − U B = Δ A − Δ B (14)

kan också uttryckas mha den sk förlustmatrisen beskriven i figur 9.U och ΔU Δ A B

Figur 9. Samband mellan spänningsfall, impedans och ström i trefassystem via förlustmatrisen.

10

Av figur 9 framgår att kan betecknas:U och ΔU Δ A B +U Δ A = ZAA · IA ZAB · IB + ZAC · IC (15) +U Δ B = ZBA · IA ZBB · IB + ZCC · IC (16)

där: = = . Termen R är summan av resistansen i ledaren enligt formel 3 samtZAA ZBB L ZCC = R + ω

resistansen i jordåterledaren som beräknas enligt . L är induktansen mellan respektive fas och 8ωμ0

dess återledare enligt formel 13. = Ömsesidig impedans mellan fasledare A och B (rent ZAB = ZBA induktivt) som definieras : ωL j AB = ωLj BA

Här motsvarar L den ömsesidiga induktansen mellan fasledare A och B som definieras: ln( ) H/mu0

2πDeq

d = dab ba (17)

där: =avståndet mellan fasledare a och b. dab = dba

Insättning av formlerna 15 och 16 i formel 14 ger:

( + U A − U B = ZAA · IA + ZAB · IB + ZAC · IC − ZBA · IA ) ZBB · IB + ZCC · IC ⇒

I , I − } { C = 0 B = IA ⇒ U A − U B = ZAA · IA − ZAB · IA − ZBA · IA + ZBB · IA

⇒ I , Z , Z } { A = IK AA = ZBB AB = ZBA ⇒ (Z + ) U A − U B = IK AA − ZAB − ZAB ZAA ⇒

IK = (U −U )A B2·(Z −Z )AA AB

(18)

Detta är uttrycket för kortslutningsströmmen fas till fas i ett trefas luftledningssystem [19][20].

11

12

3 Metod och resultat Här presenteras metoden som användes för att lösa frågeställningen. Arbetet inleddes med litteraturstudier av tidigare liknande arbeten. Studier av facklitteratur gav teori och formler som användes i arbetet, vilka presenteras i kapitel två. Därutöver studerades datablad med mått för olika typer av kraftledningsstolpar som låg till grund för utformningen av modellerna som användes i experimenten. Därefter följde dels ett enfas experiment med fokus på reaktans och dels ett trefasexperiment med huvudsyfte att utreda hur magnetfälten påverkas av successiv transponering. I metoden ingick även geometrisk- och elektromagnetisk modellering. I kapitlet redovisas resultaten från experimenten och modelleringen. Kapitlet inleds med en motivering till den valda metoden.

3.1 Motivering till vald av metod Litteraturstudien gav exempel på hur skruvning av ledare inverkar på reaktansen. Inget av de undersökta exemplen motsvarade dock den successiva transponeringen som avsågs undersökas i denna rapport. För de matematiskt beskrivna förhållandena mellan skruvningsgrad och reaktans som presenterades hittades inga motsvarande laborativt erhållna resultat. Därför beslöts att inledningsvis utföra ett enfasexperiment där den för arbetet aktuella skruvninggradens inverkan på reaktansen undersöktes. Gällande reaktansens och magnetfältets påverkan vid olika grader av successiv transponering gjordes inledningsvis ingen analytisk modellering. Bedömningen gjordes nämligen, i samråd med handledaren, att en sådan modellering skulle bli för matematisk omfattande och tidskrävande för att genomföras inledningsvis. Beslut fattades att därför först utföra experiment och sedan utifrån resultaten av dessa utveckla förenklade matematiska modeller av densamma.

13

3.2 Enfas induktansexperiment Experimentet genomfördes för att undersöka hur impedansen i en specifik två-ledare påverkas av en skruvning i storleksordningen ett varv per meter. För att uppnå en ledningskonstruktion med bibehållet avstånd mellan ledarna trots skruvning och med neutral permeabilitet syddes en vajer i rostfritt stål fast med nylontråd i ett nylonband till formen av en slinga. Slingan består av en fram- respektive återledare parallellt konfigurerade enligt figur 10.

Figur 10. Slingans anslutnings- respektive slutände med ansluten mätresistans samt skruvning. Nylonbandet har längden 5 meter och bredden 5 cm. Vajern har radien 0,6 mm. Resistansen för slingan mättes till 12,5 och induktansen samt kapacitansen för den rakt utsträckta slingan, Ω uppspänd fritt svävande i rummet, mättes mha en LCR- mätare till 10,5 H respektive 29,0 pF. μ Nylonbandet med slingan skruvades sedan fem varv, dvs ett varv per bandmeter, varefter induktansen och kapacitansen åter mättes. Induktansmätningarna utfördes seriellt med sluten slinga medan kapacitansmätningarna gjordes parallellt med slingan öppen i båda ändarna. Mätfrekvensen för mätningarna med RLC-mätaren var 1000 Hz. Mätvärdena för det skruvade fallet blev identiska med det raka. Motsvarande värden för en rak slinga beräknades också teoretiskt enligt formel 9 och 10, där den rostfria stålvajern antogs ha samma permeabilitet som vakum:

n( )) 0, 5 n( )) , 7 μHLrak slinga = μ02π · ( 4

μr + l rd · l = 2π

1,256637061·10−6

· ( 2 + l 0,050,0006 · 5 ≈ 4 6

1, pFCrak slinga = π·εln( )r

d · l = π·ε0

ln( )0,050,0006

· 5 ≈ 3 4

För utförandet av induktansmätningarna med nylonbandet inkopplat i en krets, via spänningsfall över en mätresistans och via fasförskjutningar mellan spänning och ström, valdes mätfrekvens och mätresistans efter en rad kriterier. Värdena på våghastigheten i mediet och slingans längd användes för att bestämma den högsta möjliga användbara sinusformade testfrekvensen utan transienta resonansfenomen i slingan. Testfrekvensen måste ligga under den frekvens som motsvarar en ¼ våglängd på 5 m för att inte överlagringar av reflekterade signaler vid ledningsändarna skall reflekteras i fas och bygga upp spänningen där successivt. Denna gräns räknades fram enligt formel 19, där vågutbredningshastigheten i slingan antogs vara som ljushastigheten i vakuum.

5 MHzf41 = c

4λ = 4·53·108

= 1 (19)

14

För att minimera inverkan av dessa reflexer gjordes en begränsning av högsta tillåtna testfrekvens till 1/15 av dvs 1 MHz. För denna frekvens antogs potentialskillnaden av den utbredda transienta f

41

vågen över slingan i änden, relativt matningsspänningen, gå mot noll. Beloppet av den maximala förväntade potentialskillnaden, utgående från då det är som störst vid nollgenomgångarna av matningsspänningen, beräknades också enligt formel 20.

u (sin (2πf t) in (2πf (t t))Δ = Agenerator − s − Δ ⇒ (20)

Δu| max| = A (sin (2πfΔt))|| generator

|| ⇒

, 1 V olt Δu| max| = 4 sin |||

· √2 2π( · 106 · 53·108 )|

||= 0 0

För att kunna mäta strömmens belopp och fasvinkel i kretsen, i förhållande till en spänningskälla, måste resistansen som anslutas till kretsen vara av lämplig storlek. Över denna erhålls ett Rmät

mätbart spänningsfall. Utifrån ett ekvivalent 𝛑-schema för slingan (figur 11), där ena halvan av 2Cslinga

kapacitansen utelämnats eftersom den ligger över den kortslutna änden, togs ett uttryck för mätuppställningens impedans fram enligt formel 21.

Figur 11. Ekvivalent 𝛑-schema för mätuppställningen.

Z tot = Rmät + +jωL +R1

jω 2Cslinga slinga slinga

·(jωL +R )1

jω 2Cslinga slinga slinga

= Rmät +·(L + )2

Cslinga slinga jωRslinga

−ω L +jωR2Cslinga

2slinga slinga

(21)

Gränsen för över vilken den kapacitiva reaktansen för slingan är mindre än den induktiva ω XC

definieras av likheten enligt:XL då ω där X respektive X ωL |

|1

jωC|| = jωL| | = √ 1

LC C = 1jωC L = j

15

Detta definierar egenresonansvinkelfrekvensen för slingan enligt Bergström och Nordlund [22]:ω0

7, Mrad/s ω0 = √ 1LC = √ 1

10,5 ·10 ·29·10−6 −12 = 5 3 Resonansvinkelfrekvensen för slingan beror dock till viss del av [22] . blir dock ωr Rslinga ωr

försumbart lägre än i detta fall enligt formel 22.ω0

7, Mrad/s ωr = ω0 ·√1 − Lslinga

·R2Cslinga 2

slinga = √ 110,5·10 ·29·10−6 −12 · √1 − 2·10,5·10−6

29·10 ·12,5−12 2

≈ 5 3 (22)

Mätresistansen bör dock inte påverka i detta fall eftersom den, om spänningskällan ersätts Rmät ωr med en kortslutning, kan betraktas som parallell med slingan. Om skiljer sig från med en ω2

mät 1LC

faktor 1/100 förhåller sig den induktiva reaktansen till den kapacitiva med en faktor 100 och förändringshastigheten för impedansen med frekvensen kan antas ha planat ut. Detta förhållande definierar en övre gräns för mätfrekvensen, enligt formel 23, som medför att kapacitansen kan försummas och mätkretsen för denna frekvens och lägre kan förenklas enligt figur 12.

ω ωmät2 = 100

ω02⇔ mät

2 = 1100·LC ⇒ ωmät = √ 1

100 · √ 1LC ⇒

ω , 3 Mrad/s , 12 Mhz mät = 10ω0

⇒ ωmät = 10

57,3 Mrad/s = 5 7 = 0 9 (23)

Figur 12. Mätkretsen.

16

En annan faktor som styrde valet av mätvinkelfrekvens var det direkta förhållandet mellan den totala resistansen i kretsen och den induktiva reaktansen XL, där storleken på den senare i förhållande till resistansen är proportionerlig till noggrannheten i mätningen. Om den undre gränsen för mätvinkelfrekvensen väljs utifrån en likhet i belopp dessa emellan erhålles ett enligt uttrycket 24. ω Spänningsfallet över mätresistansen förhåller sig då som till en eventuell induktansförändring, in45 s ° se figur 13.

då ω , 3 Mrad/s 27 kHzR|| slinga + Rmät|| ≈ ωL| | = L

R +Rslinga mät

= 12,5+2,510,5·10−6 ≈ 1 4 = 2 (24)

Figur. 13. Önskat förhållande mellan induktiv reaktans och resistans. Det för mätningen definierade frekvensspannet på - 912 kHz ger ett skin-djup i vajern 27 kHz 2 enligt formel 1, där den övre gränsen 912 kHz = 5,73 Mrad/s och konduktiviteten för rostfritt stål [23] är insatt :

, 4 mm δ = √ 2ω·μ·σ = √ 2

5,73·10 ·μ ·σ60 stål

= √ 25,73·10 ·1,26·10 ·1.45·106 −6 6 = 0 4

Tvärsnittsarean på området innanför skin-djupet uttryckt i procent av den totala tvärsnittsarean blir

. Då skin-djupet här är av samma storleksordning som radien får således00 3 %0,442

(0,6−0,44)2

· 1 = 1

strömförträngningseffekten begränsad inverkan på konduktiviteten. Som mätfrekvenser valdes, i jämna siffror enligt det definierade frekvensspannet, 500 kHz respektive 1,00 MHz. Ett förenklat uttryck för mätkretsen (fig. 12) ställdes upp för beräkning av induktansen L utifrån mätvärdena (formel 25).

U|| mät|| = U generator · |

||

RmätjωL+R +Rslinga mät

|||⇒

L = ω√ − R +R( Umät

U ·Rgenerator mät)2

( slinga mät)2

(25) Förhållandet mellan och , spänningskällans amplitudområde samt förlusteffektkapaciteten U mät Rmät hos de för laborationen tillgängliga låginduktiva resistorena, styrde valet av mätresistans. Som mätmotstånd valdes fyra parallellkopplade 10 ohms 0,5 W kolkompositresistorer för en mätresistans på 2,5 och en möjlig maximal förlusteffekt på 2 W.Ω

17

Två mätprober kopplades in till oscilloskopet och kalibrerades map kapacitansen mot signalgeneratorn vid respektive vald mätfrekvens för att där erhålla nominell generatorspänning på 4,00 V RMS. Generatorns utgång ställdes in som lågimpediv, dvs , och kretsen med ΩZgenerator ≈ 0 slingan och resistorerna kopplades in. Den för 4,00 V RMS motsvarande spänningen topp-topp till kretsen med slingan vid de två valda frekvenserna var ., 0 1, V 4 0 · √2 · 2 = 1 3 Mätserier om tre mätningar med 500 kHz respektive 1,00 MHz gjordes för de två fallen, rak och skruvad slinga (ett varv per meter). Amplituden på spänningen över mätmotståndet och dess fasförskjutning efter spänningskällans noterades för varje fall. Se tabeller nedan. Tabell 2. 500 kHz, rak slinga.

Mätserie 1 2 3

∆t [ s]μ 0,348 0,356 0,355

∆u [mV] 675 675 675

Tabell 3. 500 kHz, skruvad slinga.

Mätserie 1 2 3

∆t [ s]μ 0,355 0,352 0,355

∆u [mV] 675 675 675

Tabell 4. 1,00 Mhz, rak slinga.

Mätserie 1 2 3

∆t [ s]μ 0,206 0,197 0,206

∆u [mV] 402 402 402

Tabell 5. 1,00 MHz, skruvad slinga.

Mätserie 1 2 3

∆t [ s]μ 0,206 0,209 0,206

∆u [mV] 402 402 410

För att bekräfta att mätfrekvensen befann sig på rätt sida om impedanskurvan, dvs låg under systemets resonansfrekvens undersöktes medianvärdena för fasförskjutningen uttryckt i ∆t [ s] i varje tabell μ ovan. Dessa ställdes i proportion till periodtiden av aktuell mätfrekvens och fasförskjutningen av f mät strömmen efter spänningskällan i grader för de två erhållna medianvärdena. Värden på fasförskjutningen i grader erhölls enligt formel 26.

∆t 1/fmät

· 360° (26)

18

Fasförskjutningen i mätkretsen syntes öka med frekvensen inom mätområdet, vilket var väntat: , 55 , 001/fmät

∆t 0,500 MHz · 360° ⇒ 0 3 · 10−6 · 0 5 · 106 · 360° = 63, 9°

, 06 , 0 4, 1/fmät

∆t 1,00 MHz · 360° ⇒ 0 2 · 10−6 · 1 0 · 106 · 360° = 7 2 ° De uppmätta medianvärdena på i försöken för de två olika frekvenserna sattes in i formel 25 U mät och värden på slingans induktans, baserade på mätningarna, togs fram enligt:

2, μHL500 kHz ≈ 2π·500·103√ − (12,5+2,5)( 4·2,5

0,675/(2 )√2 )2 2

≈ 1 5

0, μHL1 MHz ≈2π·1,00·106

√ − (12,5+2,5)( 4·2,50,402/(2 )√2 )2 2

≈ 1 9

3.3 Modellering En analys av hur de geometriska sambanden mellan fasledarnas minimi- och maxavstånd principiellt förhåller sig till transponeringsvinkeln mellan stolparna gjordes. Utifrån resultaten av det inledande experimentet med en skruvad ledning, de tillgängliga vedertagna beräkningsmetoderna för raka ledare och geometriska samband (härledda i detta stycke) ställdes matematiska modeller upp för induktans och kapacitans för successivt transponerade ledare.

3.3.1 Matematisk geometrisk modellering Om en transponering av en △-konfigurerad luftledning utförs successivt under sträckan mellan varje stolpe uppstår vissa karakteristiska geometriska formationer. Om man betraktar enbart avstånden, två av ledarna emellan, under ett spann stolpe-stolpe kan det åskådliggöras med den ekvivalenta tvådelade kilformen enligt den övre avteckningen i figur 14.

Figur 14. Transponeringsgeometrin.

19

Det minsta acceptabla avståndet mellan två ledare dikteras av spänningsnivån och luftens dmin isolationsförmåga (dvs motstånd mot överslag). Om ej ska underskridas måste en ökning av dmin avstånden inom isolatorkonfigurationen göras för att en transponering skall vara genomförbar. Detta avstånd står i direkt proportion till transponeringssvinkeln , med ett gränsvärde vid diso Φtrans 180o då avståndet går mot oändligheten, enligt figur 15 och uttrycket i formeln 27:

Figur 15. Isolationsavstånds-samband vid transponering.

diso = dmin

cos( 2Φtransp)

(27)

De grå områdena i figur 14 utgör den extra yta som tillkommer mellan ledarna vid en transponering. Geometriskt förhåller sig den sammanlagda extra ytan över ett spann direkt till Aextra transponeringsvinkeln enligt formel 28.

d )Aextra = ( iso − dmin · lstolpe−stolpe (28) Den totala extra ytan beror endast av , och den totala ledningslängden. Detta Aextra, tot dmin Φtrans oavsett antalet spann över sträckan, eftersom summan av alla produkter av höjder och baser i de ekvivalenta trianglar som bildas över en given sträcka i alla fall blir densamma. Uttrycket för hur den totala extra ytan förhåller sig till transponeringssvinkeln över en sträcka med ett godtyckligt antal stolpspann kan då skrivas enligt formel 29.

) Aextra, tot = ( 1cos( 2

Φtrans)− 1 · dmin · la−b (29)

20

Ledningslängden för den successivt transponerade ledningen mellan två stolpar förhåller sig till isolatoravståndet , transponeringssvinkeln och stolpavståndet enligt formel 30.diso Φtrans lstolpe−stolpe

lstolpe−stolpe, transponerad ledning = √lstolpe−stolpe2 + (d )iso − dmin

2⇔

lstolpe−stolpe, transponerad ledning = √lstolpe−stolpe2 + ( dmin

cos( 2Φtrans)

− dmin)2

(30)

Ett uttryckt i form av en skalfaktor för den tillkommande ledningslängden vid successiv σtrans transponering, relativt raka ledare, som förhåller sig till stolpavståndet, minimi-isolationsavståndet och transponeringsvinkeln definierades enligt formel 31.

σ trans =lstolpe−stolpe

√l + −dstolpe−stolpe

2 ( dmin

cos( 2Φtrans) min)

2

(31)

Det tre ytor som uppstår mellan och avgränsas av respektive ledarpar i den transponerade △-formationen är skruvformade (figur 14, nedre delen). Ytorna har kontinuerligt föränderlig lutning/vinkel längs ledningsvägen mellan två stolpar, med respektive start- och slutvinklar i enlighet med isolatorernas orienteringar. Ytornas riktningsförändringar har brytpunkter vid respektive stolpar/isolatorer.

3.3.2 Elektromagnetisk modellering För att begränsa modelleringens komplexitet gjordes följande förenklingar/linjäriseringar:

● Ledarna betraktades parvis. ● Ledningen delades in i segment där medelvärden användes som parametrar.

Om ett ledarpar betraktas över sträckan dmin - dmin illustreras geometrin som uppstår i figur 16. Där är det grå området den extra area som uppstår vid transponering jämfört raka ledningar, diso är avståndet mellan ledarna vid isolatorn och dmedel är medelavståndet mellan ledarna över den aktuella sträckan.

Figur 16. Geometri över sträckan dmin - dmin.

Om dmin i figur 16 subtraheras från både dmedel och diso erhålls geometrin illustrerad i figur 17.

21

Figur 17. Geometrisk tolkning av subtraktionen med dmin. Av figur 17 framgår att längdskillnaden mellan dmedel och dmin kan betecknas enligt formel 32:

⇒ d dmedel − min = 2(d −d )iso min +dmedel = 2

(d −d )iso min dmin (32) Om ett ledarpar betraktas över sträckan dmedel-dmedel kan en uppdelning i två segment göras enligt figur 18.

Figur 18. Segmentering av ledningen. Dessa segment, I och II, bildar ett upprepat geometriskt mönster längs ledningen. Av figur 18 framgår att respektive segment har ett medelavstånd mellan ledarna som skiljer sig från dmedel. Skillnaden är:

2(d − d )medel min = 4

(d −d )iso min Medelavståndet för segment I beskrivs därför enligt formel 33.

d dmedel, iso = medel + 4(d −d )iso min ⇒ d +{ medel = 2

(d −d )iso min dmin} ⇒

+ = +dmedel, iso = 2(d −d )iso min dmin 4

(d −d )iso min 4d +3dmin iso (33)

På motsvarande sätt erhålls medelavståndet mellan ledarna i segment II enligt formel 34.

= dmedel, min dmedel − 4(d −d )iso min ⇒ d +{ medel = 2

(d −d )iso min dmin} ⇒

= - =dmedel, min +2(d −d )iso min dmin 4

(d −d )iso min 43d +dmin iso (34)

22

Med utgångspunkt i formlerna 10 och 11 för induktans respektive kapacitans erhölls motsvarande formler, 35 och 36, för successivt transponerade ledningar enligt :

H/m l = μ02π · n( 4

μr + l ( rd)) ⇒ {sektion I och II jämnt fördelade över ledningssträckan} ⇒

l = 21 μ0

2π n( 4μr + l ( r

dmedel, iso)) + 21 μ0

2π n( 4μr + l ( r

dmedel, min )) = μ04π n( 2

μr + l ( r2

d ·dmedel, iso medel, min )) ⇒ d , d{ medel, iso = 4

d +3dmin iso medel, min = 43d +dmin iso } ⇒

l = μ0 4π n( 2

μr + l ( 16·r23d + (d ·d ) + 9 (d ·d ) + 3d 2

min min iso min iso2iso )) ⇔

/m l = μ0 4π n( 2

μr + l ( 16·r23d + 10 (d ·d ) + 3d 2

min min iso2iso ))H (35)

F /mc = π·ε

ln( )rd ⇒ {sektion I och II jämnt fördelade över ledningssträckan} ⇒

πε c = 21 ( π·ε

ln( rdmedel, iso)) + 2

1 ( π·εln( r

dmedel, min)) = 21 ( 1

ln( rdmedel, iso)

+ 1ln( r

dmedel, min))⇒

d , d{ medel, iso = 4d +3dmin iso medel, min = 4

3d +dmin iso } ⇒

πε /m c = 21 ( 1

ln( 4·rd +3dmin iso) + 1

ln ( 4·r3d +dmin iso))F (36)

23

3.4 Trefassexperimentet Utifrån ett valt område med trefas systemspänningar på 11 kV - 35 kV (se stycke 2.10) konstruerades en geometriskt skalenlig modellanläggning i skala 1:20 av ett luftledningssystem med △-konfiguration. Det består av två ledningsgator som avses ställas upp horisontellt i raka led. Den ena ledningen utföres traditionellt för raka ledare och den andra med varierbar transponeringsgrad mellan isolatorerna. Någon topplina är inte inkluderad i systemet. Modellen består av ett antal ledningsstolpar i 15 x 15 mm furuträ med isolatorer/distanser i 2 mm papp och fotstycken i 7 mm furuplywood (figur 19). Isolatorerna kan steglöst monteras på stolparna i olika vinklar. Utifrån de av system- spänningen och strömmen givna förutsättningarna vad gäller ledningsarea och utförande användes motsvarande mångtrådiga isolerade ledare som fasledare.

Figur 19. Stolpkonstruktionen. Experimentet utfördes i en lokal på tredje våningen av fyra i ett hus med betongstomme, betongvalv/betonggolv och tegelfasad. Rummet är rektangulärt och har dimensionerna 6600 x 3900 x 2900 mm. Minimi-isolationsavståndet definierades skalenligt utifrån förlagan till 0,050 m och dmin ledningshöjden över golv bestämdes likaledes till 0,48 m. Den raka ledningen utfördes med isolatoravstånd enligt Den transponerade utfördes med tre isolatoruppsättningar, . diso = dmin anpassade map isolatoravstånd utifrån minimi-isolationsavståndet för , respektive 60° 90° 120° transponering per stolpspann enligt formel 27.

24

stolpavståndet minskades relativt förlagan, av mättekniska skäl, med faktorn 10 till att bli . Detta för att stolpavståndet vid laborationen och transponeringsvinkeln antogs, 0 m100 m

20 ggr · 110 = 0 5

stå i proportion till det avstånd på vilket fasledarnas superpositionerade magnetfält i riktningen längs ledningens axial opponerar varandra. Ett längre stolpavstånd skulle således kräva ett längre avstånd mellan magnetfältsgivaren och ledningsgatan för mätbarhet av skillnader mellan systemen. En ökning av ledningslängden skulle då dessutom krävas liksom följaktligen en högre strömstyrka behöva användas i systemet. Det totala antalet stolpar som tillverkades för att utgöra de två ledningssträckningarna a´ 5 m uppgick till 22 st. Beräkningarna för isolatoravstånden samt ledningslängderna för transponeringen enligt de tre fallen utfördes enligt formlerna 27 och 30:

≈ 0, 58 mdiso, 60° = 0,050cos( 2

60° ) 0

≈ 0, 71 mdiso, 90° = 0,050cos( 2

90° ) 0

≈ 0, 0 mdiso, 120° = 0,050cos( )2

120° 1

= 0, 0006 m lstolpe−stolpe, transp. ledning, 60 ° √0, 0000 5 2 + , 50000( cos( 260° )

0,050000 − 0 0 )2

=

5

= 0, 0043 m lstolpe−stolpe, transp. ledning, 90 ° √0, 00005 2 + , 50000( cos( 290° )

0,050000 − 0 0 )2

=

5

= 0, 0250 m lstolpe−stolpe, transp. ledning, 120 ° √0, 00005 2 + , 50000( cos( )2120°

0,050000 − 0 0 )2=

5

Som ledningstyp för laborationen valdes mångtrådig pvc-isolerad installationskabel av koppar med en area på 1,5 mm2.. Ledaren är av typen RK 1,5 vars resistivitet är = [24]. ρ , 2 Ωm1 7 · 10−8

Ledningsresistansen beräknades enligt formel 3:

, 0 , 57 ΩR = ρA · l = 1,50·10−6

1,72 ·10−8· 5 0 = 0 0

En ledning spändes upp mellan två torn placerade 0,50 meter ifrån varandra. Graden av sträckning, dvs nedhäng av ledningen, prövades fram visuellt utifrån förlagan och den följaktliga ledningsförlängningen för varje spann uppmättes till 2,0 mm. För de fyra fallen med det raka och de tre transponerade konfigurationerna lades ledningar ut i raka led med tre fasledare för respektive ledning. Markeringar för stolpinfästningar gjordes sedan längs ledarna, utifrån de enligt formel 30 beräknade ledningslängderna mellan respektive stolpspann, med tillägg på 2 mm för nedhänget.

25

Den raka och den 120° transponerade ledningsgatan ställdes upp parallellt med ett avstånd på 0,96 meter c-c mellan dem och med 1,15 m mellan den transponerade ledningen till ytterväggen enligt figur 20.

Figur 20. Ledningsuppställningen. En fristående undercentral utrustad med ett 16 A trefasuttag, en trefasig jordfelsbrytare och en trefasig säkring försågs med en anslutningssladd och en 16A stickpropp för anslutning till elnätet. En 2 kVA/fas trefas laboratorietransformator med 400 V primärlindningar och 70,0 V fullt isolerade sekundärlindningar användes. Transformatorn anslöts till 400 V nätspänning och jordades via en anslutningskabel med en 16 A stickpropp. Transformatorn kopplades som Y/D (figur 21) och därigenom erhölls en primärlindningsspänning på och på sekundärsidan en isolerad 00 31 V1

√3 · 4 = 2

systemspänning för laborationen på . Detta innebar att klenspänningsdirektivet 0, V 0, V1√3 · 7 0 = 4 4

för personskydd SELV (Safety Extra Low Voltage) kunde uppfyllas [25]. Det maximalt uttagbara värdet på sekundärströmmen erhölls utifrån den angivna skenbara märkeffekten per fas Imax, sekundär

och med hänsyn tagen till den, med faktorn , sänkta primärlindningspänningen enligt formel 37 för 1√3

skenbar effektberäkning:

S = U · I (37)

⇔ I = SU ⇒ S{ 231 V ≈ √3

S400 V } ⇒

8, AImax, sekundär = 2·10 3

·40,4√3= 2 6

26

Tre reostater anslöts y-konfigurerat till transformatorns sekundärsida för erhållande av en spänning

över reostatlindningarna på , se figur 21. En 3 x 2,5 m2 kabel flätades och försågs med 3, V3√ 40,4 = 2 2

kabelskor i ena änden och banankontakt-honor i andra änden samt anslöts till reostaternas släpsko-reglerade uttag.

Figur 21. Den Y/D-kopplade transformatorn och de tre Y-kopplade reostaterna.

27

Den raka ledningsgatan försågs med en kortslutningsbygling i avslutningsänden och anslutningsänden kopplades via banankontakter och 3 x 2,5 m2 kabeln till reostaterna (se figur 22). Systemet spänningssattes och reostaterna injusterades mha en tångamperemeter så att linjeströmmen i ledningen vid kontinuerlig drift förblev 8 A, med avvikelser på maximalt 3 %.

Figur 22. Ledningens anslutning till reostaterna samt kortslutningsände.

Figur 23 illustrerar schematiskt hela systemet från transformator till och med ledning (icke ansluten).

Figur 23. Schematiskt bild av systemet från transformator till ledning.

28

För magnetfältsmätningarna, som utfördes tredimensionellt, valdes tre mätpunkter per mätuppställning. De specifika mätavstånden var:

A. En ledningshöjd, dvs 0,480 m över golv och med avståndet 0,480 m till respektive ledning. B. Två ledningshöjder, 0,960 m över golv med till respektive ledning., 80 , 79 m √2 · 0 4 = 0 6

C. Tre ledningshöjder, 1,44 m över golv med till respektive ledning., 80 , 7 m √5 · 0 4 = 1 0

Mätpunkterna valdes så att ledningssystemets magnetiska fältbilder skulle bli de dominanta i mätningarna och inte fältbilderna från de inducerade strömmarna i golvet. Om ytterligheten varit fallet, att golvytan under mätuppställningen bestått av ett motståndsfritt elektriskt ledande material, skulle den inducerade fältbilden i golvytan således avtagit med avståndet som om den utgått från en

position minst längre bort från mätpunkten än respektive , 80 , 93 m √(2 , 80)· 0 4 2 + 0, 804 2 − 0 4 = 0 5

ledning. De respektive fasströmmarnas magnetiska flödesvektorer är i en godtycklig punkt utanför ledarna orienterad vinkelrätt mot ledaren och i tangentens till cirkeln runt ledarens riktning. Summaflödet av de tre fasströmmarna i punkten ändrar därför riktning successivt och cykliskt med nätfrekvensen. Flödesvektorerna går dock mot samma riktning (bortsett polaritet) då avståndet mellan den godtyckliga punkten och ledningsgatan går mot oändligheten. Således avtar fenomenet med riktningsändringen med avståndet. Då avstånden mellan respektive ledning och valda mätpunkter var minst i storleksordningen 5 ggr större än det inbördes avståndet mellan fasledarna antogs summaflödesvektorns riktningsförändring under en cykel, i varje fall, vara liten nog för att kunna försummas vid mätningarna.

29

En mätställning konstruerades av 35 x 35 mm samt 40 x 75 mm furu och 7 mm furuplywood. Konstruktionen sammanfogades med endast trälim och respektive mätposition definierades i form av markeringskryss vars positioner lodades fram utifrån ett referenskryss på ställningsfoten (figur 26).

Figur 26. Mätuppställningen.

30

Som mätprob arrangerades en spole försedd med en kärna av alnico magneter (elgitarrmikrofon) så att den kunde orienteras på mätställningen i enlighet med de tre specifika perpendikulära riktningarna x, y och z. (se figur 27).

Figur 27. Mätspole och kablage. Mätspolens induktans och resistans är av storleksordningen 5 uH och 5 k . Mätsignalen leddes Ω genom den tvinnade spol-anslutningskabeln och det skärmade kablaget till oscilloskopet via en operationsförstärkarkoppling med en förstärkning vid 50 -100 Hz på av storleksordningen 200 ggr (se figur 27). Mätställningen placerades vid mitten av ledningslängderna längs ett vertikalplan mitt emellan gatorna i linje med positionerna för isolatorerna i mitten av ledningsgatorna. För 120° transponeringsvinkel utfördes även en mätserie med de tre mätpunkter A, B och C i linje med positionerna för det minsta avståndet dmin mellan ledarna, ett halvt stolpspann från mitten. För varje mätuppställning bestämdes den fasföljd av de sex möjliga alternativen som gav den största i oscilloskopet observerade grundtonsamplituden i z-led (vertikalt) vid mätposition A. En av ledningsgatorna i taget för varje mätpunkt spänningssattes i turordning under ca: 1 minut och oscilloskopet avlästes map spänningsbelopp med mätspolen riktad x-led. Spolen orienterades sedan i tur och ordning i y-led respektive z-led, i båda fallen med mätningar som genomfördes enligt nämnd procedur. Ett medelvärde av fasströmmarna i systemet noterades också, före respektive efter varje mätserie (se tabeller 6-10). Vid uppställningen med den raka och den transponerade ledningen definierades även 120 ° flödesvektorns riktning för mätpunkterna A och B genom en orientering av mätproben enligt två fall. Utifrån en orientering av spolen vilken gav ett inducerat minimibelopp definierades planet inom vilken flödesvektorn befann sig som vinkelrätt mot spolens riktning. Genom den orientering av spolen i det planet som gav ett maxbelopp kunde flödesriktningen bestämmas. Det senare gav också ett mätvärde på flödesvektorns belopp.

31

För uppställningen med den raka och den transponerade ledningen utfördes också en mätserie 60° med ledningsgatorna omkastade för att undersöka laborationsrummets eventuella elektromagnetiskt asymmetriska inverkan på mätuppställningen (se figur 28).

Figur 28. Omkastad mätuppställning för rak och transponerad ledning. 60° Beloppen av de magnetiska flödestätheterna i de tre dimensionerna vid de tre/sex mätpunkterna för det raka fallet respektive motsvarande belopp av de , och transponerade ledningarna 60° 90° 120°

redovisas i tabellerna 6-10.

32

Induktansen och kapacitansen för den raka ledningskonfigurationen mättes med en RCL-mätare av modell Hewlett Packard 4284A. Värdena 10,52 respektive 31,58 erhölls vid 1000 Hz Hμ Fp mätfrekvens (figur 29).

Figur 29. RCL-mätvärde för induktans [Ls] och kapacitans [Cp] vid rak ledningskonfiguration. Tabell 6. Magnetfältsmätningar med transponeringsvinkel 60°.

Medelströmvärde före: 8,23 A

diso- upp- ställ- ning

Trans- ponering per spann

x-led (perpendikulärt vågrätt) [mV]

y-led (längs med) [mV]

z-led, (perpendikulärt lodrätt) [mV]

Vektors- belopp [mV]

√x +2 + y2 z2

A 0° 8,96 5,36 10,3 14,67

A 60° 10,1 10,5 8,00 16,62

B 0° 4,88 3,92 6,96 9,36

B 60° 1,68 5,44 2,88 6,38

C 0° 2,16 2,72 3,84 5,18

C 60° 1,28 2,80 1,68 3,51

Medelströmvärde efter: 8,10 A

33

Tabell 7. Magnetfältsmätningar med transponeringsvinkel 60° med omkastad mätuppställning.

Medelströmvärde före: 8,05 A

diso- upp- ställ- ning

Trans- ponering per spann

x-led (perpendikulärt vågrätt) [mV]

y-led (längs med) [mV]

z-led, (perpendikulärt lodrätt) [mV]

Vektors- belopp [mV]

√x +2 + y2 z2

A 0° 7,76 4,08 11,1 14,1

A 60° 9,44 3,12 6,88 12,1

B 0° 5,12 3,20 2,80 6,66

B 60° 4,80 1,92 3,60 6,30

C 0° 2,56 2,56 1,76 4,03

C 60° 1,76 2,24 1,84 3,39

Medelströmvärde efter: 8,01 A Induktans och kapacitans mättes med RCL-mätare vid 60° transponering. Mätaren visade 10,30 Hμrespektive 32,68 .Fp Värden för induktans och kapacitans vid 60° transponering beräknades också enligt formel 35 och 36:

L = μ0 4π n( 2

μr + l ( 16·r23d + 10·(d ·d ) + 3d 2

min min iso2iso )) · l ⇒

d ≈ 0, 58 m, d 0, 5 m, l , m r , 0069 m} { iso, 60° 0 min = 0 = 5 0 = √ π0,0015 = 0 0 ⇒

, 1 μF L = μ0 4π n( 2

1 + l ( 16·0,0006923·0,05 + 10·(0,05·0,058) + 3·0,058

2 2 )) · 5 = 4 6

πε C = 21 ( 1

ln( 4·rd +3dmin iso)

+ 1ln ( 4·r

3d +dmin iso)) · l ⇒

d ≈ 0, 58 m, d 0, 5 m, l , m r , 0069 m} { iso, 60 0 min = 0 = 5 0 = √ π0,0015 = 0 0 ⇒

π , 54 1, 9 pF C = 21 · 8 8 · 10−9 · ( 1

ln( 4·0,000690,05+3·0,058 ) + 1

ln ( 4·0,000693·0,05+0,058)) · 5 = 3 1

34

Tabell 8. Magnetfältsmätningar med transponeringsvinkel 90°.

Medelströmvärde innan: 8,20 A

diso- upp- ställ- ning

Trans- ponering per spann

x-led (perpendiku-lärt vågrätt) [mV]

y-led (längs med) [mV]

z-led, (perpendikulärt lodrätt) [mV]

Vektors- belopp [mV]

√x +2 + y2 z2

A 0° 8,88 4,48 10,2 14,2

A 90° 8,80 8,80 6,00 13,8

B 0° 4,32 3,76 6,72 8,83

B 90° 1,76 3,20 1,26 5,30

C 0° 2,24 2,72 3,84 5,21

C 90° 0,880 2,40 1,84 3,15

Medelströmvärde efter: 8,01 A Induktans och kapacitans mättes med RCL-mätare vid transponering på 90°. Mätaren visade 10,52

respektive 30,54 .Hμ Fp Värden för kapacitans och induktans vid transponering på 90° beräknades också enligt formel 35 och 36:

L = μ0 4π n( 2

μr + l ( 16·r23d + 10·(d ·d ) + 3d 2

min min iso2iso )) · l ⇒

d ≈ 0, 58 m, d 0, 5 m, l , m r , 0069 m{ iso, 60° 0 min = 0 = 5 0 = √ π0,0015 = 0 0 }⇒

, 2 μF L = μ0 4π n( 2

1 + l ( 16·0,0006923·0,05 + 10·(0,05·0,071) + 3·0,071

2 2 )) · 5 = 4 7

πε C = 21 ( 1

ln( 4·rd +3dmin iso)

+ 1ln ( 4·r

3d +dmin iso)) · l ⇒

d ≈ 0, 71 m, d 0, 5 m, l , m r , 0069 m{ iso, 90 0 min = 0 = 5 0 = √ π0,0015 = 0 0 }⇒

π , 54 1, 3 pF C = 21 · 8 8 · 10−9 · ( 1

ln( 4·0,000690,05+3·0,071) + 1

ln ( 4·0,000693·0,05+0,071)) · 5 = 3 1

35

Tabell 9. Magnetfältsmätningar med transponeringsvinkel 120° vid positionen diso. Medelströmvärde innan: 8,25 A

diso- upp- ställ- ning

Trans- ponering per spann

x-led (perpendiku-lärt vågrätt) [mV]

y-led (längs med) [mV]

z-led, (perpendiku-lärt lodrätt) [mV]

Vektors- belopp [mV]

√x +2 + y2 z2 , (mätvärde)

Vektors- riktning [x,z ; x,y; y,z]

A 0° 8,80 3,92 11,08 14,7 (11,1)

140°;135°;45°

A 120° 12,2 6,16 3,60 14,1 (12,8)

15°;25°;40°

B 0° 4,10 4,10 7,12 9,2 (7,00)

45°;65°;45°

B 120° 3,44 4,64 4,48 7,3 (6,32)

60°;45°;40°

C 0° 3,0 3,2 4,3 6,1 (-)

-

C 120° 2,0 3,3 3,3 5,1 (-)

-

Medelströmvärde efter: 8,03 A Tabell 10. Magnetfältsmätningar med transponeringsvinkel 120° vid positionen dmin. Medelströmvärde innan: 8,20 A

dmin- upp- ställ- ning

Trans- ponering per spann

x-led (perpendiku-lärt vågrätt) [mV]

y-led (längs med) [mV]

z-led, (perpendikulärt lodrätt) [mV]

Vektors- belopp [mV]

√x +2 + y2 z2 (mätvärde)

A 0° 9,12 3,92 11,0 14,8

A 120° 10,8 10,7 4,96 16,0

B 0° 4,32 3.20 6,88 8,73

B 120° 2,96 5,20 4,16 7,29

C 0° 2,72 2,40 3,44 5,00

C 120° 0,960 2,40 2,40 3,53

Medelströmvärde efter: 8,10 A

36

Induktans och kapacitans mättes med RCL-mätare vid transponering på 120°. Mätaren visade 10,82 respektive 28,74 Hμ F .p

Beräknade värden för kapacitans och induktans enligt formel 35 och 36:

L = μ0 4π n( 2

μr + l ( 16·r23d + 10·(d ·d ) + 3d 2

min min iso2iso )) · l ⇒

d ≈ 0, 0 m, d 0, 5 m, l , m r , 0069 m{ iso, 120° 1 min = 0 = 5 0 = √ π0,0015 = 0 0 }⇒

, 2 μH L = μ0 4π n( 2

1 + l ( 16·0,0006923·0,05 + 10·(0,05·0,10) + 3·0,10

2 2 )) · 5 = 4 9

πε C = 21 ( 1

ln( 4·rd +3dmin iso)

+ 1ln ( 4·r

3d +dmin iso)) · l ⇒

d ≈ 0, 0 m, d 0, 5 m, l , m r , 0069 m{ iso, 120° 1 min = 0 = 5 0 = √ π0,0015 = 0 0 }⇒

π , 54 9, 9 pF C = 21 · 8 8 · 10−9 · ( 1

ln( 4·0,000690,05+3·0,10 ) + 1

ln ( 4·0,000693·0,05+0,10)) · 5 = 2 7

37

38

4 Analys I detta kapitel analyseras resultatet av arbetet. Felkällor samt begränsningar i och alternativ till metoden redovisas. Potentiella tillämpningar för successivt transponerade ledningar presenteras också.

4.1 Enfasexperimentet Varken LF- mätningen (vid 1 kHz) via RLC-mätaren eller HF-mätningen (vid 500 kHz - 1000 kHz) via oscilloskopet visade på några skillnader i induktans mellan den raka och den, med ett varv per band-meter, skruvade slingan. Inte heller kapacitansen syntes påverkas i det fallet vid 1 kHz. Någon HF-analys av kapacitansen gjordes aldrig. I praktiken ökar dock ledningslängden mellan två givna punkter med skruvningsgraden, relativt en rak ledning. Därmed ökar också resistansen, induktansen och kapacitansen för sträckan pga den ökade ledningslängden. Ledningslängden för det lskruvad ledning skruvade fallet erhålls ur det geometriska förhållandet mellan ledningssträckan , ledaravståndet la−b

och skruvningsvarv per meter . Sambandet uttrycks i formel 38.dledare−ledare R lskruvad ledning = la−b + la−b · R · dledare−ledare · π (38)

Varken R eller var definierat vid utförandet av experimentet men är 5,00 m och la−b lskruvad ledning antalet skruvningsvarv var 5, vilket ger sambandet . Ett ekvationssystem kan då R = 5

la−b

skrivas: 1. R = 5

la−b

2. l a−b =lskruvad ledning

1+R·d ·πledare−ledare

Detta ger, via substitution mellan 1. och 2. värden enligt: och ., 9 varv/mR = 1 1 l , 1 m a−b = 4 2 Vid fallet med det 0,050 m breda nylonbandet blir ökningsfaktorn för ledningslängden meter sträcka i enlighet med den andra termen i formel 38 vid transponeringsgraden R l )( a−b · R · dledare−ledare · π varv/m enligt: . Således är den faktor som , 9 , 50 , 87 ggr1 1 · 0 0 · π = 0 1 1 ) ggr( + R · dledare−ledare · π parametervärdena ledningslängd, resistans, induktans och kapacitans måste multipliceras med vid skruvning av en ledning över en sträcka (av den graden och storleksordningen som undersöktes i experimentet) utifrån värdena för motsvarande oskruvade ledning. För det aktuella fallet blir denna faktor ., 87 , 9 ggr1 + 0 1 ≈ 1 1

4.2 Modellering Arbetet med modelleringen resulterade i formler som var användbara under arbetets gång. Dels när trefasmodellens mått skulle bestämmas men även när uttryck för induktans och kapacitans framtogs.

4.3 Trefasexperimentet Detta experiment redovisas i fyra delar: magnetisk fältstyrka, övertoner, magnetfältsdispersion och inducerade strömmar.

39

4.3.1 Magnetisk fältstyrka Resultatet visade på minskade magnetiska fältstyrkor inom vissa områden kring de transponerade ledningkonfigurationerna relativt den motsvarande raka. I mätpunkt A ökade magnetfältet för 60° och 120° transponeringsvinkel, dock minskade magnetfälten i denna punkt för 90° transponering. Genomgående vid alla undersökta transponeringsgrader syntes de största vinsterna vid mätpunkt B. I mätpunkt C varierade resultaten med transponeringsvinkeln. Den transponeringsgrad som visade på den största nettovinsten i form av minskade fältstyrkor med endast marginellt ökade värden på resistans och induktans var den, med per isolator, transponerade ledningen. En rad 90°

osäkerhetsfaktorer togs dock för troliga, så resultatet behöver bekräftas med fler undersökningar. De minskningar i medelvärde av magnetfälten vid det transponerade fallet och förändringen av 90°

de distribuerade elektriska storheter som mätningarna visade på där, relativt det raka fallet, uttrycks mha formeln 31 enligt:

inskning i magnetisk fältsyrka 00 1%M = 14,2+8,83+5,2114,2+8,83+5,21− (13,8+5,30+3,15) · 1 ≈ 2

esistansökning ggrR =lstolpe−stolpe

√l + −dstolpe−stolpe

2 ( dmin

cos( 2Φtrans) min)

2

− 1 ⇒

esistansökning , 0086 ggr , 86 % R = 0,50√0,50 + −0,0502 ( 0,050

cos( 290°) )

2

− 1 = 0 0 = 0 0

nduktansförändring 00 , 095% I = ( 10,5178μH10,5168μH − 1) · 1 = − 0 0

apacitansförändring 00 , % K = ( 31,58 pF30,54 pF − 1) · 1 = − 3 3

Minskningen av induktansen vid transponeringen i detta fallet antas ligga inom felmarginalen för mätningen medan kapacitansminskningen var förväntad. För mätpunkt B endast, vid det 90°

transponerade fallet, uttrycks magnetfältsminskningen enligt:

inskning i magnetisk fältstyrka i mätpunkt B 00 0%M = 8,838,83− 5,30 · 1 ≈ 4

40

4.3.2 Övertoner Genomgående syntes övertonskomponenter mer eller mindre i oscilloskopet under mätserierna. Även om märkström-maxbeloppet på reostaterna var 9 A syntes, vid linjeströmmar av den storleksordningen, övertonsinnehållet vara oönskat stort för enkel mätbarhet av grundtonen. Särskilt förekom den tredje övertonen 150 Hz vilken har en periodtid på ⅓ av grundtonen 50 Hz och därför teoretiskt summeras i samma fasläge från de tre fasledarna (se figur 30). Därför begränsades mätströmmen till 8 A.

Figur 30. Tredje övertonskomponenten synlig vid 9A linjeström. Att fasföljden i samtliga fall av ledningsuppställningar, även vid 8 A ström, också hade effekter på övertonsinnehållets mängd och amplituder upptagna av mätspolen kan ha flera förklaringar. Kombinationen av spänningskällan, dvs nätet via full-transformatorn och de fristående reostaterna, och respektive ledningsgata måste ha utgjort en icke helt symmetrisk last. Detta även om strömbeloppen, sådana som tångamperemetern visade dem, som mest bara skiljde åt med 3 % mellan faserna. Vid de transponerade ledningsuppställningarna borde dock alla fasledare, till skillnad från den raka uppställningen, fått liknande elektriska egenskaper. Detta då de, var och en, i princip befann sig under lika stor del av sträckan på varje position. Operationsförstärkarkopplingen har ett teoretiskt amplitudomfång på över 500 mV och var således långt ifrån övertonsgenererande mättning/distorsion vid de signaler med toppvärden på högst 15 mV som förekom under mätningarna. Förstärkaren utgjorde därmed troligen ingen signifikant källa till övertoner. Någon mättning av mätspolens kärnor bör inte heller ha förekommit eftersom mätsignalstyrkan låg väl under spolens normala arbetsområde.

41

Det faktum att summaflödet för en △-konfigurerad trefasledning ändrar riktning över växelströmsperioden förklarar i alla fall till del ett övertonsinnehåll i mätningarna. Detta eftersom mätspolen, till skillnad från summaflödet, inte ändrar riktning periodiskt. Ju närmare ledningarna mätspolen befann sig desto mer skiljde sig avstånden mellan spolen och respektive ledning åt. Förutom att orsaka olika magnetiska fältbelopp från de olika faserna vid mätpunkten så ökade också summaflödets riktningsförändringsgrad av spolens närheten till ledningarna. Den asymmetri i magnetisk fältbild som antas omgärda en △-konfigurerad trefasledning bör bestå av dalar och toppar i fältstyrka kring en cirkeln dragen runt ledningessystemet. Fältstyrkelinjerna runt en △-konfigurerad luftledning bör nämligen så att säga vara blombladsformade. Detta skulle givetvis påverka mätvärdet utifrån mätpositionen. Inverkan av detta fenomen analyserades inte i detta arbete.

4.3.3 Magnetfältsdispersion Då det magnetiska fältet kring en ledare fysikaliskt betingat är direkt beroende av strömmen i densamma kan principiellt inte fältsyrkan i en given punkt utanför ledaren minskas utan att strömmen minskas. Den magnetiska fältstyrkan betraktad från en punktkälla (dipol) avtar samtidigt med kvadraten på avståndet dvs med . En konventionell rakt konfigurerad kraftledning antas dock r 1

r2

inte utgöra någon ren tredimensionell punktkälla, om den betraktas på ett avstånd som är mycket mindre än den totala ledningslängden, utan bör snarare kunna beskrivas som en tvådimensionell punktkälla (se formel 4). Tack vare att samtliga fasledare i den raka ledningen är orienterade i en och samma riktning kan vektorerna för de enskilda fasströmmarnas bidrag till summamagnetfältet således beskrivas av det tvådimensionella planet som är vinkelrätt mot ledningens riktning. Den icke för den beskrivningen nödvändiga tredje dimensionen definieras då som kraftledningens riktning. Således kan den magnetiska fältstyrkan antas avta proportionellt med avståndet dvs med och inte med r r

1

kvadraten på avståndet från ledaren, inom avstånd till ledaren som är mycket mindre än den totala ledningslängden. I ett kontinuerligt transponerat ledningssystem befinner sig samtliga fasledare alltid orienterade i olika riktningar, vilka inte kan beskrivas med enbart två dimensioner. Följaktligen måste då också de magnetiska flödesvektorerna kopplade till respektive fasströmmar definieras tredimensionellt. Under förutsättning att linjeströmmen är likvärdiga i det raka och det transponerade fallen kommer således i det senare summamagnetföltet i en godtycklig punkt utanför ledningen att bestämmas av bidragen från de tredimensionella flödesvektorena från respektive faser. Detta till skillnad från i det raka fallet då flödesvektorerna, som till beloppen här är desamma som vid det transponerade fallet, summeras tvådimensionellt. Således ges att de i tre dimensioner uppdelade flödesvektorerna i det transponerade fallet summerar till ett belopp lika med eller mindre än de i två dimensioner uppdelade motsvarande flödesvektorerna vid det raka fallet.

42

Allmänt måste nämligen gälla att om tvådimensionella vektorer med specifika belopp och vinklar summeras blir summabeloppet likamed eller större än motsvarande tredimensionella vektorer av samma belopp och samma tvådimensionella vinklar som tillförs vinklar i en tredje dimension. Vid det aktuella fallet med transponeringen enligt experimenten upprätthålls dock inte de tvådimensionella vinkelförhållandena mellan respektive fasers magnetflödesbidrag strikt vid en transponering relativt den raka konfigurationen. Principiellt bör resonemanget vara giltigt här ändå, vilket skulle kunna förklara de mätresultat som erhölls under experimentet.

4.3.4 Inducerade strömmar Då golvet under experimentuppställningen var av typen betongvalv antas att minst ett och möjligen flera rutformade armeringsnät av järn befinner sig på avståndet av ett par cm till någon dm under linoleummattan (se figur 31).

Figur 31. Betonggolv med armering [VI].

Således antas magnetfälten från strömmarna i fasledarna inducerat strömmar i armeringsnätet, som troligen har relativt stor tvärsnittsarea och därför försumbart låg resistans. Om armeringsnätets maskstorlek samtidigt antas vara avsevärt mindre än ledningshöjden H skulle det ge implikationer på kapacitansen i systemet. De uppmätta och de beräknade kapacitansvärdena skilde sig dock inte särskilt mycket åt varför nätets inverkan i på kapacitansen i detta fall antogs vara försumbar. Inducerade strömmarna i nätet kan däremot förväntas ha en inverkan på systemets induktans. Även om armeringen och testuppställningen är galvaniskt skilda åt utgör sannolikt armeringsnätet i sig en sluten krets i vilken inducerade strömmar kan flyta runt relativt förlustfritt. Således skulle systemet kunna betraktas som i viss mån likvärdig med ett direktjordat luftledningssystem, men med inducerade strömmar i en magnetiskt och inte elektriskt sluten krets. Det ekvivalenta djupet Deq skulle enligt ovan, som om systemets med mätkretsen neutralpunkt vore direktjordat till armeringen, kunna betraktas som drygt 2H dvs ca: och beräknas enligt formel 12:, 0 cm , m2 · 0 5 = 1 0

658 , 0 658 , m Deq = 2 · H + · √ fρ ≈ 2 · 0 5 + · √ 0

50 = 1 0

43

Om hänsyn tas till ett Deq enligt detta resonemang vid beräkningarna av induktansen i testuppställningen erhålls följande värden, med utgångspunkt i formel 18, eftersom ledningen då kan betraktas som en stum fas till fas kortslutning med inducerade strömmar i en jordåterledare dvs i armeringen. Detta ger:

där nämnaren utgör systemets impedans. IK = (U −U )A B2·(Z −Z )AA AB

Z )2 · ( AA − ZAB

Om kortslutningsimpedansens resistans och kapacitans i formel 18 försummas återstår induktansen, vilken för det raka fallet beskrivs enligt formel 39:

L = 2 · ln( μ02π · n( 4

1 + l ( rDeq )) · l − u0

2π ( Deqd = dab ba

) · l) = 2 · μ02π 0, 5 n n( 2 + l ( r

Deq ) − l ( Deqd = dab ba

)) · l ⇔

= L = πμ0 0, 5 n( 2 + l ( ( r

Deq )( Deq

d = dab ba))) · l πμ0 0, 5 n( 2 + l ( r

d =dab ba)) · l (39)

Värt att notera är att det ekvivalenta djupet betraktas som lika stort för båda ledarna i formel 39 och därför kan förkortas bort. Detta gäller således endast för de två ledarna i den raka △-konfigurationen som ligger på samma höjd. För den tredje ledaren får det ekvivalenta djupet ett annat värde enligt formel 12. I formel 39 betraktas dock induktansen enbart mellan två ledare med samma ekvivalenta djup, dvs på samma höjd ovan underlaget. För transponerade ledningar blir, med samma resonemang om sektorer och medelavstånd som vid härledningen för induktansuttrycket i formel 36 samt en enhetlig höjd över golvet, motsvarande uttryck enligt formel 40:

Ltrans = μ02π 0, 5 n , 5 n( 2 + l ( r

dmedel, iso) + 0 2 + l ( rdmedel, min )) · l =

μ02π · 0, n( 5 + l ( r2

d ·dmedel, iso medel, min )) · l ⇒ d , d{ medel, iso = 4d +3dmin iso medel, min = 4

3d +dmin iso } ⇒

Ltrans = μ02π · 0, n( 5 + l ( 16·r2

3d + 10(d ·d ) + 3d 2min min iso

2iso )) · l (40)

Med insatta insatta värden i formel 39 och 40 erhölls tabell 11 med värden för induktans vid rak och transponerad ledningskonfiguration: Tabell 11. Induktansvärden beräknade med formlerna 39 och 40.

Transponeringsnings-grad

(rak)0° 60° 90° 201 °

Induktans [ ]Hμ 9,07 9,21 9,44 9,85

Det faktum att dessa värden ligger nära de med RCL-mätaren uppmätta värdena talar för resonemanget om en magnetisk koppling till golvets armering och dess inverkan på induktansen. Värdena ökar också med stigande transponeringsgrad som förväntat eftersom medelavstånden inbördes mellan ledarna ökar med transponeringsgraden, enligt den geometriska lösningsmodellen för bibehållet minimiavstånd i formel 27.

44

Mot bakgrund av beräkningsresultaten presenterade i tabell 11 och motsvarande induktansmätningar framstår modelleringen enligt formel 35 samt formel 39 och 40 som lämpliga för att beräkna det aktuella testsystemets induktans.

4.4 Metodens begränsningar I den lokal som trefasexperiment utfördes i var avstånden från testsystemet till väggar och tak så pass korta att rumsytornas samverkan med systemet, och således inverkan på resultaten, inte kan försummas. En labbsal med mått som i alla dimensioner överstiger testsystemets längd hade varit en mer lämplig testmiljö, så att därigenom denna felkälla kunnat undvikas/begränsas. Genom att förlägga en matta av metall under labbuppställningen, jordansluta den till elnätet och direktjorda systemets neutralpunkt till mattan genom en y-koppling av sekundärlindningen i den matande transformatorn hade en tydligt definierad jordåterledare kunnat användas i kalkylerna. De släpkontaktsförsedda reostaterna som användes i experimentet var en källa till asymmetri mellan fasströmmarna. Spänningskällans fassymmetri bör säkerställas genom användande av spänningstransformering med ren varvtalsbalans snarare än släpkontaktsförsedda reostater. Ledningssystemets impedanssymmetri mellan faserna bör säkerställas genom att den raka referens-ledningskonfigurationen transponeras vid minst två punkter över ledningssträckan.

4.5 Potentiell samhällsnytta med successiv transponering Förutsatt att resultaten från trefasexperimentet håller för vidare prövning finns vissa potentiella samhällsvinster att hämta med successiv transponering. En praktisk tillämpning av principen för luftledningar kan i så fall möjliggöra en mera effektiv markanvändning i tätbebyggda områden då det fria området kring kraftledningsgatorna således kunde minskas tack vare reducerade magnetfält. Därmed skulle miljöpåverkan vara mindre för successivt transponerade ledningar än för motsvarande raka. Successivt transponerade ledningar kan därmed också vara lämpliga i områden som är extra känsliga för magnetiska störfält eller om en allmän minskning av magnetfälten önskas.

45

46

5 Slutsatser Det framgick att reaktansen påverkades av en successiv transponering av luftledningar. Induktansen ökade medan kapacitansen minskade med transponeringsgraden. Induktansökningen var dock begränsad för de transponeringsgrader som undersöktes, så även kapacitansminskningen. Enligt de utförda mätningarna minskade magnetfälten med upp till 40 % inom det aktuella mätområdet. Detta för en transponeringsvinkel på 90°. Närmare studier behövs för att exakt fastställa effekterna på magnetfälten vid successiv transponering. Successivt transponerade ledningar skulle, förutsatt att resultatet i detta arbete är korrekt, kunna vara lämpliga i områden som är extra känsliga för magnetiska störfält eller om en allmän minskning av magnetfälten önskas. En lösningsmetodik för att uppnå nödvändig isolatortäthet längs ledningen måste dock utvecklas för att principen för experimenten skall kunna tillämpas rakt av. För framtida experiment kan med fördel en lokal användas där avstånd till väggar och tak är stort i förhållande till testsystemet. Därutöver vore det önskvärt att underlagets inverkan på magnetfält/induktans är tydligt definierad. Detta kan exempelvis åstadkommas genom att använda någon typ av folie- golv/matta. Vidare bör spänningskällans och ledningssystemets strömsymmetri säkerställas. Användande av spänningstransformering med ren varvtalsbalans snarare än släpkontaktsförsedda reostater rekommenderas. Alternativt skulle en roterande omformare också kunna användas för att frikoppla systemet från elnätet. Även den raka referens-ledningskonfigurationen bör transponeras vid minst två punkter över ledningssträckan för erhållande av symmetri. Vidare skulle även transponeringsgraden samt längre stolpavstånd 5

2π = 72° kunna undersökas.

47

48

Referenser [1] N. Schönborg, “Low frequency electromagnetic theory for twisted configurations”, ISSN 1100-1593, KTH, 1998. [2] C. Raunig, E. Schmautzer, L. Fickert, “A new approach for the estimation of interference phenomena between coupled transmission lines”, PowerTech (POWERTECH), IEEE Grenoble, 2013. [3] L. Andersson, R. Blondell, H. Hermansson, K.A. Jacobsson , S. Lidström, L. Lundén , et al. Elkrafthandboken – Elkraftssystem 1, 2:a uppl, Stockholm, Liber AB, ISBN 978-91-47-05176-2, 2013, s.142. [4] Electrical Engineering Stack Exchange, “Why are twisted pair cables used in electric power distribution systems?”, http://electronics.stackexchange.com/questions/110995/why-are-twisted-pair-cables-used-in-electric-power-distribution-systems Publicerad 2015-03. Hämtad 2017-04-27. [5] The Physics Factbook “Dielectric Strength of air”, http://hypertextbook.com/facts/2000/AliceHong.shtml Publicerad 2000. Hämtad 2017-05-29. [6] Electrical Notes & Articles, “Minimum Electrical Clearence”, https://electricalnotes.wordpress.com/2011/04/22/minimum-electrical-clearance-2/ Publicerad 2011-04-22. Hämtad 2017-05-29. [7] H. Ryan, “High Voltage Engineering and Testing”, 2:a uppl, London, IEE, ISBN 0-85296-775-6, s 168. [8] Steel lattice towers for 10, 20 and 35 kV transmission lines, “INSTRUCTIONS FOR DEPLOYMENT OF TOWERS “, http://www.dalekovod-proizvodnja.com/EasyEdit/UserFiles/pdf/steel-lattice-towers-for-10-20-and-35-kv.pdf Publicerad 2010. Hämtad 2017-05-29. [9] University of Colorado, “The Skin Effect”, https://ecee.colorado.edu/~ecen4634/Chapter%2020%20-%20The%20Skin%20Effect.pdf Hämtad 2017-05-29. s. 382-385. [10] Electrical Engineering, “Variation of resistance within conductor due to Skin effect”, http://electronics.stackexchange.com/questions/75194/variation-of-resistance-within-conductor-due-to-skin-effect Publicerad: 2013-07-08. Hämtad 2017-04-27.

[11] H. Ryan, “High Voltage Engineering and Testing”, 2:a uppl, London, IEE, ISBN 0-85296-775-6, s 215-216.

49

[12] University of Colorado, “The Skin Effect”, https://ecee.colorado.edu/~ecen4634/Chapter%2020%20-%20The%20Skin%20Effect.pdf Hämtad 2017-05-29. s. 385. [13] L. Andersson, R. Blondell, H. Hermansson, K.A. Jacobsson , S. Lidström, L. Lundén , et al. “Elkrafthandboken – Elkraftssystem 1”, 2:a uppl, Stockholm, Liber AB, ISBN 978-91-47-05176-2, 2013, s.138. [14] Massachusetts Institute of Technology, “Chapter 9 Sources of Magnetic Fields”, [https://www.google.se/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=5&ved=0ahUKEwjHuujElJfUAhXIIpoKHUtyCJoQFghPMAQ&url=http%3A%2F%2Fweb.mit.edu%2Fviz%2FEM%2Fvisualizations%2Fcoursenotes%2Fmodules%2Fguide09.pdf&usg=AFQjCNGvM-hyM7Zzl1U5QjZa0MxWqwhV3w&sig2=cJEkWN5o6Gbx_S45RZaVrQ&cad=rja] Hämtad 2017-04-27 [15] Massachusetts Institute of Technology, “Faraday’s Law of Induction”, http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/coursenotes/modules/guide10.pdf Hämtad 2017-04-27. [16] C. Nordling, J. Österman, “Physics Handbook for Science and Engineering”, 7:e upplagan, Studentlitteratur, Lund, ISBN 91-44-03152-1, 2004, s. 205, 214. [17] L. Andersson, R. Blondell, H. Hermansson, K.A. Jacobsson , S. Lidström, L. Lundén , et al. “Elkrafthandboken – Elkraftssystem 1”, 2:a uppl, Stockholm, Liber AB, ISBN 978-91-47-05176-2, 2013, s.139. [18] Circuit Globe, “Capacitance of Transmission Line”, http://circuitglobe.com/capacitance-of-transmission-line.html Hämtad 2017-04-27. [19] R. Eriksson, “Electrotechnical Dimensioning”, KTH, 1998, Kap. 2, stycke 2. [20] H.Edin, “Lecture 2 Transmission lines and cables continued. Models of cables and lines”, EI2436/EI2435, KTH, 2016-09-07. [21] L. Bergström, L, Nordlund, “Ellära, Krets- och fältteori”, 3:a uppl, Stockholm, Liber AB, ISBN 978-91-47-10619-6, 2012, s. 13-15. [22] L. Bergström, L, Nordlund, “Ellära, Krets- och fältteori”, 3:a uppl, Stockholm, Liber AB, ISBN 978-91-47-10619-6, 2012, s. 257. [23] ThougtCo, “Table of Electrical Resistivity and Conductivity”, https://www.thoughtco.com/table-of-electrical-resistivity-conductivity-608499 Publicerad 2011. Hämtad 2017-06-11. [24] IACS, “The International Annealed Copper Standard “, [https://www.nde-ed.org/GeneralResources/IACS/IACS.htm] Hämtad 2017-06-07.

50

[25] OH6NT, “Klenspänning - vad är det?”, http://www.multi.fi/~oh6ag/pdf_dokus/Klenspanning.pdf Publicerad 2008. Hämtad 2017-05-30.

Figurreferenser [I] OpenStreetMap, “Powet_tower_medium_voltage_line”, http://wiki.openstreetmap.org/w/images/f/f5/Power_tower_medium_voltage_line.jpg Hämtad 2017-06-09. [II] Rutab, “H07RN-F (RDOE, RDOT)”, http://www.rutab.se/produkter/kabel/anslutnings-och-kopplingskabel/h07rn-f-(rdoe-rdot)-product Hämtad 2017-06-09. [III] EGE, “Lattice towers 220 kV - 400 kV”, http://www.ege.cz/en/products-and-services/steel-structures/prihradove-stozary-220---400-kv Publicerad 2013. Hämtad 2017-06-09. [IV] N. Schönborg, “Low frequency electromagnetic theory for twisted configurations”, ISSN 1100-1593, KTH, 1998, s.9. [V] Massachusetts Institute of Technology, “Faraday’s Law of Induction”, http://web.mit.edu/viz/EM/visualizations/coursenotes/modules/guide10.pdf Hämtad 2017-04-27. [VI] Insuldeck, “Achieve design objectives”, http://insuldeck.com/wp-content/uploads/2013/07/Achieve-Design-Objectives.jpg Hämtad 2017-04-27.

51

TRITA STH 2017:47

www.kth.se