sucesiones 2015 2_3
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Unidad 2. Funciones Sucesiones
Sucesiones parte 3
Ejercicio 4.- Suponga que tiene kn discos circulares ocupando n renglones e inscritos en un triángulo
equilatero como se ve el la �gura
Entonces k1 = 1, k2 = 1 + 2 = 3, k3 = 1 + 2 + 3 = 6, ...Sea A el área del triangulo equilatero y sea Akn el área total de los kn discos.
Hallar
lımn→∞
AknA
Solución Primero calcularemos el área del triangulo
Según la �gura, por le teorema de pitagoras
h2 +(a
2
)2
= a2 ⇒ h =
√3a
2
por lo tanto el área del triángulo sera:
A =a ·√3a2
2⇒ A =
√3a2
4
Ahora bien h es bisectriz del triángulo equilatero
por lo tanto los ángulos α son iguales, también
ambos triángulo tienen un angulo recto y por lo
tanto el tercer ángulo β es el mismo en el otro
triángulo.
Por lo tanto son triángulos semejantes
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral 1
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
Unidad 2. Funciones Sucesiones
Por semejanza de triángulos se tiene
√3a2a2
=x
r⇒√
3 =x
r⇒ x = r
√3
Según la �gura
2x = a ⇒ x =a
2
Sustituimos en
x = r√
3 ⇒ a
2= r√
3 ⇒ r =a
2√
3
Para el caso k2 = 1 + 2 = 3 tiene
por semejanza de triángulos
√3a2a2
=x
r⇒√
3 =x
r⇒ x = r
√3
también
2x+2r = a ⇒ 2r√
3+2r = a ⇒ r =a
2√
3 + 2
Para el caso k3 = 1 + 2 + 3 = 6 tiene
por semejanza de triángulos
√3a2a2
=x
r⇒√
3 =x
r⇒ x = r
√3
también
2x+4r = a ⇒ 2r√
3+4r = a ⇒ r =a
2√
3 + 4
continuando con este proceso se tiene la sucesión de radios
a
2√
3,
a
2√
3 + 2,
a
2√
3 + 4, ...,
a
2√
3 + 2(n− 1)
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Unidad 2. Funciones Sucesiones
Ahora bien para sumar las áreas de los circulos kn correspondientes se tiene
Ak1 = (1)π
(a
2√
3
)2
, Ak2 = (1+2)π
(a
2√
3 + 2
)2
, Ak3 = (1+2+3)π
(a
2√
3 + 4
)2
,
..., Akn
(n(n+ 1)
2
)π
(a
2√
3 + 2(n− 1)
)2
Vamos ahora a calcular el límite
lımn→∞
AknA
= lımn→∞
(n(n+ 1)
2
)π(
a2√3+2(n−1)
)2
√3a2
4
= lımn→∞
4n(n+ 1)πa2
2√
3(2√
3 + 2(n− 1))2a2= lımn→∞
n(n+ 1)π
2√
3(√
3 + (n− 1))2
= lımn→∞
π
2√
3· n2 + n
(2√
3 + (n− 1))2= lımn→∞
π
2√
3·
n2
n2 + nn2
( 2√3
n + (n−1)n )2
=π
2√
3
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Unidad 2. Funciones Sucesiones
Ejercicio En la �gura se ilustran dos circulos C y D de radio 1. Se construye una sucesión de circulos
de la siguiente manera:
El primer circulo C1 es tangente a C y D
El segundo circulo C2 es tangente a C, D y C1
este procedimiento se continua en forma inde�nida.
Encuentre una sucesión {Cn} que de los diametros de los circulos.
¾Cual será el diametro del n-ésimo circulo?
Solución Para calcular el diámetro del primer circulo te-
nemos: Por el teorema de pitágoras
12 + (1− r1)2
= (1 + r1)2
entonces
r1 =1
4⇒ DiamC1 =
1
2
Para calcular el diámetro del segundo circulo te-
nemos: Por el teorema de pitágoras
12 + (1− 2r1 − r2)2
= (1 + r2)2
entonces
r2 =1
12⇒ DiamC2
=1
6
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Unidad 2. Funciones Sucesiones
Para calcular el diámetro del tercer circulo tene-
mos: Por el teorema de pitágoras
12 + (1− 2r1 − 2r2 − r3)2
= (1 + r3)2
entonces
r3 =1
24⇒ DiamC3
=1
12
Tenemos entonces la sucesión de diametros
{an} = {1
2,
1
6,
1
12, ...,
1
n(n+ 1)}
y el diametro del n-ésimo circulo es
Diamcn =1
n(n+ 1)
De�nición 1. Se dice que una sucesión de números reales es monótona creciente si cada término es
menor o igual que el siguiente. Es decir los términos van aumentando su valor o, a lo sumo, son iguales.
an ≤ an+1 ∀ n ∈ N
De�nición 2. Se dice que una sucesión de números reales es monótona estrictamente creciente si cada
término es menor que el siguiente. Es decir los términos van aumentando su valor.
an < an+1 ∀ n ∈ N
Ejemplo Probar que la sucesión de término general
an =
(1 +
1
n
)nes monotona creciente
Solución Usando el desarrorollo del binomio se tiene
an =
(1 +
1
n
)n= 2 +
1
2!
(1− 1
n
)+
1
3!
(1− 1
n
)(1− 2
n
)+ ...
Vamos a comparar los términos ak y ak+1, tenemos entonces que
ak =
(1 +
1
k
)k= 2+
1
2!
(1− 1
k
)+
1
3!
(1− 1
k
)(1− 2
k
)+...+
1
k!
(1− 1
k
)(1− 2
k
)(1− 3
k
)···(
1− k − 1
k
)+...
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Unidad 2. Funciones Sucesiones
ak+1 =
(1 +
1
k + 1
)k+1
= 2 +1
2!
(1− 1
k + 1
)+
1
3!
(1− 1
k + 1
)(1− 2
k + 1
)+ ...+
1
(k + 1)!
(1− 1
k + 1
)(1− 2
k + 1
)(1− 3
k + 1
)· · ·
(1− k
k + 1
)+ ...
Vamos a comparar los k-ésimos términos
1
k!
(1− 1
k
)(1− 2
k
)(1− 3
k
)· · ·
(1− k − 1
k
)1
k!
(1− 1
k + 1
)(1− 2
k + 1
)(1− 3
k + 1
)· · ·
(1− k
k + 1
)tenemos que:
n < n+ 1 ⇒ 1
n<
1
n+ 1⇒ − 1
n< − 1
n+ 1⇒ − h
n< − h
n+ 1, h = 1, 2, 3, ..., k − 1
⇒ 1− h
n< 1− h
n+ 1, h = 1, 2, 3, ..., k − 1
por lo tanto término a término
an =
(1 +
1
n
)n<
(1 +
1
n+ 1
)n+1
= an+1
por lo tanto la sucesión {an} es monotona estrictamente creciente
Teorema 1. Si {an} es una sucesión monotona creciente y acotada superiormente entonces {an} es
convergente
Demostración. Sea A = {an ∈ {an}|n ∈ N} se tiene que A 6= ∅ y A esta acotado superiormente por tanto
existe supA = αpor ser α = supA se tiene que α ≥ an ∀n ∈ N por tanto α+ ε > an ∀n ∈ N ε > 0por otro lado al ser α = supA se tien que existe Nε tal que α− ε < aNε y como an es monotona creciente
entonces si n > Nε entonces α− ε < aNε < an para todo n > Nεpor tanto α− ε < an < α+ ε para todo n > Nε esto quiere decir que
−ε < an − α < ε ∀n > Nε ⇒ |an − α| < ε ∀n > Nε ⇒ lımn→∞
an = α
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