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Unidad III: Series Infinitas
*omo naa nn ∀≤ +1 entonces la sucesión
+12n
nes Monótona Creciente#
(2!
=
,.....
1,....,
3
1,
2
1,1
1
nn
1
111 +
== +n
an
ann
nnnnnn
aa nn ∀≥+⇒∀+
≥⇒≥ + 11
111 + entonces naa nn ∀≥ +1 as% la sucesión
n
1 es
Monótona Decreciente#
Sucesiones Acotadas.-Una sucesión { }na se dice ue est- ACOTADA si y sólo si tiene una cota superior y una cota
inferior#
$a sucesión { }na es ACOTADA SUPERIORMENTE si e.iste una constante M tal ue M an ≤
para todo n y es ACOTADA INFERIORMENTE si e.iste una constante N tal ue na N ≤ para
todo n#
&jemplo:
=
,.....1,....,
31,
21,11
nnes acotada ya ue:
*ota superior=1,2/,# (0 1! y la *ota inferior=/,1, (04/!
nn SupCot Inf Cot
∀≤<...
11
0
5eorema: Una sucesión monótona acotada es coner!ente#
6or ejemplo
=
,.....1
,....,
3
1,
2
1,1
1
nn
es una sucesión monótona (decreciente! y es acotada,
as% es una sucesión coner!ente#
"#$ite de una sucesión.-
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Unidad III: Series Infinitas
6or lo tanto { }
=
nnsena
n
π
7
(2! { }
+= 12n
n
an
2
1
12limlim =
+=
∞→∞→ n
na
nn
n, entonces { }
+=
12n
nan 7
Pro(iedades de )as Sucesiones.-Si { }na y { }nb son sucesiones conver"entes y 9c es una constante entonces:
(i! Si una sucesión es conver"ente, su l%mite es único
(ii! $a sucesión constante {c} es 7 y ccn
=∞→
lim
(iii! ( ) nn
nn
nnn
baba∞→∞→∞→
±=± limlimlim
(iv! nn
nn
acca∞→∞→
= limlim
(v! ( ) nn
nn
nnn
baba∞→∞→∞→
= lim*lim*lim
(vi! 0lim,lim
limlim ≠=
∞→∞→
∞→
∞→ n
nn
n
nn
n
n
nb si
b
a
b
a
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Unidad III: Series Infinitas
SERIES INFINITAS
De%.- 8ada la sucesión { }na le asociamos la sucesión { }n
S , entonces:
∑∞
=
++++++=1
4321 ...........n
nn aaaaaa se denomina SERIE INFINITA* donde
nn aaaaS aaaS aaS aS ++++=++=+== ....,...,,, 321321321211 , representan los T+RMINOS DE
"A SERIE+ mientras ue: ∑=
++++==n
i
nin aaaaaS 1
321 ... se denomina n-,si$a Su$a Parcia) y
{ }nS se llama Sucesión de Su$as Parcia)es de la serie#
*onver"encia y 8iver"encia de Series
Sea ∑∞
=1n
na una serie infinita y { }nS la sucesión de sumas parciales de la serie, entonces:
Si
⊄
∞→ sumatieneno y DIV divergentees serielaentoncesexiste Noii
serielade sumalaesS yeconvergent es serielaentoncesS aigual es y xisteiS n
n )(,)(
)(,)(lim
&jemplo: 8ada la serie infinita ∑∞
=
+−
1 1
11
n nn, encontrar los 3 primeros elementos de { }nS y
determinar una fórmula para S n en t;rminos de n#
1
11
+−=nn
an (t;rmino "eneral de la serie!
( ) ( )( ) ( ) ( )
1
11
11
1
43
41
41
31
31
21
21
3213
32
31
31
21
21
212
21
21
11
=−=−+−+−=++=
=−=−+−=+=
=−==
n
aaaS
aaS
aS
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Unidad III: Series Infinitas
011
limlim ≠=+
=∞→∞→ n
na
nn
n DIV por *#0#*#
(2! ∑
∞
= +++++=1
32
.........32n
nn
n
eeee
n
e
0limlimlim ≠∞===∞→∞→∞→
n
n
n
nn
ne
n
ea DIV por *#0#*#
(3! ∑∞
=
++++++=1
....1
...4
1
3
1
2
11
1
n nn
0lim1
limlim ===∞→∞→∞→ nn
nn n
a (no 'ay suficiente información de la serie ∑∞
=1
1
n n
usando la *#0#*#, 'ay
ue usar otro criterio!
Serie 'eo$,trica.-
De%.- $a serie dada por: ∑∞
=
++++++=0
32......
n
nnar ar ar ar aar , se llama SERIE 'EOM+TRICA
DE RA/ÓN 0r1#Teore$a.-
Una serie "eom;trica de raón 9r
−=<<
≥
r
aS es sumacuyar siC!NV"#
r si DIV"#
1:,10,
1,
&jemplos: &studiar la conver"encia o diver"encia de las si"uientes series:
(1! ∑∞
=
==+
+
+
+=0
32
2
1,3.....
2
13
2
13
2
133
2
3
n
n r a
donde ,102
1 <=< r entonces: ∑∞
=0 2
3
n
n7 y su suma 6
1
3
12
1=
−=
−=
r
aS
32n
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Unidad III: Series Infinitas
$a pserie
>
≤
1,
1,
p siC!NV"#
p si DIV"#
&jemplos:
(1! ∑∞
=
++++++=1
....1
...4
1
3
1
2
11
1
n nn, p=1, entonces ∑
∞
=1
1
n n
DIV
(2! ∑∞
=
++++++=1
22222 ....
2...
4
2
3
2
2
22
2
n nn, p=21, entonces ∑
∞
=12
2
n n
7
Serie Te)escó(ica.-6ara encontrar la suma total de una serie ∑
∞
=1n
na se tiene ue calcular primero la suma parcial
∑=
++++==n
i
nin aaaaaS 1
321 ... pero no e.iste un m;todo "eneral para 'allar S n# &ntre los pocos
casos en ue es posi?le calcular el valor de S n, siempre y cuando se pueda e.presar an deuna de las si"uientes formas, se encuentra:
nnn bba −= +1 , entonces:nnnn bbbbbbbbaaaaS −++−+−+−=++++= +1342312321 .......
11 bbS nn −= +
1+−= nnn bba , entonces:
1433221321 ....... +−++−+−+−=++++= nnnn bbbbbbbbaaaaS
11 +−= nn bbS
&jemplos:
(1! Sea la serie ∑∞
= +1 )1(
1
n nn
, calcular S n
1)1(
1+==
$ %an 1&%'n(1)($n %&1 $&*1
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Unidad III: Series Infinitas
SERIES DE T+RMINOS POSITI&OS
Una serie de t;rminos positivos es conver"ente si y sólo si su sucesión de sumas parciales
tiene una cota superior#
Criterio de Co$(aración Directa.- *onsiste en comparar una serie, con t;rminos an-lo"ospero m-s complicados, con otra m-s sencilla cuya conver"encia o diver"encia ya esconocida#*ondiciones:
,####3,2,1n?a/ nn =≤≤
(i! Si ∑
∞
=1nn? *A0B&CD& entonces ∑
∞
=1nna *A0B&CD& (si la serie mayor conver"e
entonces la serie menor conver"e!
(ii! Si ∑∞
=1n
na 8IB&CD& entonces ∑∞
=1n
n? 8IB&CD& (si la serie menor diver"e entonces las
serie mayor diver"e!
E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en
(1! ∑∞
= +1nn
321
Sol#
(i! Fuscar una nueva serie ( ∑∞
=1n
n? , la serie mayor!, la cual puede ser "eom;trica o pserie#
∑ ∑∞
=
∞
=
=1n 1n
nn3
1? (Serie "eom;trica!
(ii! *omparar: ∑∞
=1n
na y ∑∞
=1n
n?
∑∑ ∞∞
=1
a ∑ ∑∞ ∞
=1
?
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Unidad III: Series Infinitas
Sol#
(i! Fuscar una nueva serie ( ∑∞
=1n
n? , la serie mayor!, la cual puede ser "eom;trica o pserie#
∑∑ ∞
=
∞
==
1n2
1n
nn
1? (pserie!
(ii! *omparar: ∑∞
=1n
na y ∑∞
=1n
n?
∑∑ ∞
=
∞
= +=
1n2
1n
n1n
1a ∑∑
∞
=
∞
=
=1n
21n
nn
1?
2n
nG1
1=a
2n
n
1=? , entonces:
22
n
14
nG1
1 para todo nH1, as%:
1n?a nn ≥<
(iii! Berificar la conver"encia o diver"encia de ∑∞
=1n
n?
∑∑ ∞
=
∞
=
=1n
21n
nn
1? (pserie!, donde p=21, por lo tanto: ∑
∞
=1nn? 7
(iv!*onclusión: 8ado ue ∑∞
=1n
na 4 ∑∞
=1n
n? y ∑∞
=1n
n? 7, entonces ∑∑ ∞
=
∞
= +
=1n
2
1n
n
1n
1a 7 por el
criterio de comparación directa#
(3! ∑∞
= +1n 2n
1
Sol#
(i! Fuscar una nueva serie: ∑
∞
= =1nn
n
1
?
(ii! *omparar:nG2
1=an
n
1=?n , entonces:
n
14
nG2
1 nH1
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Unidad III: Series Infinitas
8ado ue ∑ ∑∞
=
∞
=
=1n 1n
nn
1a 4∑
∞
= +=
1nn
n2
1? y ∑ ∑
∞
=
∞
=
=1n 1n
nn
1a DIV, entonces
∑ ∑
∞
=
∞
= +=
1n 1nn n2
1?
DIV por el criterio de comparación directa#
Criterio de Co$(aración en e) "#$ite.- Su procedimiento es similar al criterio anterior, pues
de?e ?uscarse una nueva serie ( ∑∞
=1n
n? !, la cual puede ser serie "eom;trica o pserie
dependiendo de la estructura de la serie dada# Supon"amos ue 0>na , 0>n? y $
?
alim
n
n
n
=∞→
,
donde $ es finito y positivo# &ntonces, las dos series: ∑∞
=1n
na y ∑∞
=1n
n? , son conver"entes o
diver"entes#
*ondiciones:
(i! Si 0>=∞→
$
?
alim
n
n
n, am?as conver"en o diver"en, depende de la conver"encia o
diver"encia de ∑∞
=1n
n? #
(ii! Si 0=∞→ n
n
n ?
alim y ∑
∞
=1n
n? conver"e, entonces ∑∞
=1nna 7
(iii! Si ∞=∞→ n
n
n ?
alim y ∑
∞
=1n
n? diver"e, entonces ∑∞
=1n
na DIV
E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en∞ n
<
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Unidad III: Series Infinitas
(iv! *onclusión: 8ado ue /1?
alim
n
n
n>=
∞→ y ∑∑
∞
=
∞
=
=1n
n
n
1n
n3
<? DIV, entonces ∑∑
∞
=
∞
= +=
1nn
n
1n
n31
<a
DIV por el *riterio de comparación en el $imite#
(2! ∑∞
= ++−
1n>
2
1n2n3
1n2
Sol#
(i! Fuscar una nueva serie ( ∑∞
=1n
n? !
∑ ∑∞
=
∞
=
=1n 1n
3>
2
n1
nn (pserie! ∑∑ ∞
=
∞
= ++−=
1n>
2
1nn
1n2n31n2a
(ii! 8efinir la conver"encia o diver"encia de ∑∞
=1n
n?
∑ ∑∞
=
∞
=
++++==1n 1n
3333n #####,<
1
3
1
2
11
n
1? donde p=31 as% ∑
∞
=1n
n? 7
(iii! &valuar el l%mite:
/32
1n2n3nn2limnK
1n2n31n2lim
?alim
>
3>
n
3
>
2
nn
n
n>=
++−=
++−=
∞→∞→∞→
(iv! *onclusión: 8ado ue /3
2
?
alim
n
n
n>=
∞→y ∑ ∑
∞
=
∞
=
=1n 1n
3n ,n
1? 7, entonces
∑∑ ∞
=
∞
= ++−
=1n
>
2
1nn
1n2n3
1n2a 7 por el *riterio de comparación en el $imite#
(3! ∑∞
1
nln
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Unidad III: Series Infinitas
Criterio de )a Inte!ra).- Si f es una función continua, positiva y decreciente para toda .Ha y
!n(f a n = , entonces: ∑∞
=an
na y ∫ ∞
a
d.!.(f , am?as conver"en o diver"en# &s decir, la serie
infinita: ∑∞
=
++++=an
######!n(f ######!2(f !1(f !n(f es conver"ente si la inte"ral impropia
∫ ∞
a
d.!.(f 7, y es diver"ente si la inte"ral impropia ∫ ∞
a
d.!.(f DIV#
E2e$()os: Enaliar si las si"uientes series conver"en o diver"en
(1! ∑∞
=
+++=1n
L<n#####
e
3
e
2
e
1
e
n2
Sol# *ondiciones ue de?e cumplir f'x):
++ .nn
e
.!.(f
e
na!n(f =⇒==
(i! f de?e ser positiva:
1n/e
na,######,/
e
3a,/
e
2a,/
e
1a
2nnL3<21 ≥∀>=>=>=>=
(ii! f de?e ser continua:
2.e
.!.(f = es continua 1. ≥∀
(iii! f de?e ser decreciente:
1.,/e
.21
e
e.2e!.(Mf
2<
22
.
2
.
.2.
≥∀<−
=−
=
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Unidad III: Series Infinitas
1.
.!.(f !n(f
1n
na
22n +=⇒=
+=
(i) f de?e ser positiva:
1n/1n
na,######,/
1/
3a,/
>
2a,/
2
1a
2n321 ≥∀>+
=>=>=>=
(ii) f de?e ser continua:
1.
.!.(f
2 += es continua para toda . N R
(iii) f de?e ser decreciente:
1.,/!1.(
.1!1.(
.21.!.(Mf 22
2
22
22
≥∀<+−=+−+=
8ado ue f,'x)4/, entonces f'x) es decreciente#
Una ve ue se 'an cumplido las condiciones, entonces se procede a evaluar la inte"ralimpropia:
( ) [ ] ∞=−+=
+=+
=+ ∞→∞→
∞
∞→
∞
∫ ∫ !2ln(!1?ln(lim2
11.ln
2
1limd.
1.
.limd.
1.
. 2
?
?
1
2
?
1
2?
1
2
&ntonces ∞=+∫
∞
1
2 d.1.
. DIV
*onclusión# 8e?ido a ue ∫ ∞
+1
2 d.1.
. DIV, entonces∑
∞
= +1n2
1n
nDIV, por el *riterio de la
Inte"ral#
Criterio de )a Ra#3.- Sea $alim nn
n
=∞→
(i! Si $41, entonces la serie ∑∞
na *A0B&CD&
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Unidad III: Series Infinitas
(2! ∑∞
=1nn
3
3
n
Sol#
n3
n
n3
nn
3
n
nn
3
n
nlim3
1
3
n
3
nlim
3
nlim
∞→∞→∞→===
Cesolviendo la forma indeterminada: O0
/.
3lim
.
.ln3lim.ln#
.
3lim.lnlimyln.limy
...
.3
.
.3
.===
==⇒=∞→∞→∞→∞→∞→
1.limy1y/yln .3
.==⇒=⇒=
∞→
&ntonces:
13
1!1(
3
1n
3
1alim n
3n
nn
<===∞→
*onclusión# 8ado ue 1
3
1alim n
nn
<=∞→
, entonces la serie
∑
∞
=1nn
3
3
n7, por el *riterio de la Ca%#
Criterio de) Cociente Ra3ón.- Sea ∑∞
=1n
na una serie con t;rminos no nulos#
(i! Si 1$a
alim
n
1n
n
<=+
∞→, entonces la serie ∑
∞
=1n
na *A0B&CD& (*#E!#
(ii! Si 1$a
alimn
1n
n
>=+
∞→ó si ∞=+
∞→n
1n
n aalim , entonces ∑
∞
=1nna 8IB&CD&
(iii! Si 1a
lim 1n =+el criterio no decide
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Unidad III: Series Infinitas
(2! ∑∞
=1n !Pn3(
1
Sol#!Pn3(
1an =( ) !P3n3(
1P!1n(3
1a 1n +=
+=+
( )( )
( )( ) ( )
1/!1n3!#(2n3#(3n3
1lim
!Pn3!#(1n3!#(2n3#(3n3
Pn3lim
P3n3
Pn3lim
a
alim
nnnn
1n
n
<=+++
=+++
=+
=∞→∞→∞→
+
∞→
*onclusión# 8ado ue 1/a
alim
n
1n
n
<=+
∞→, entonces la serie ∑
∞
=1n !Pn3(
1 7, por el *riterio del
*ociente#
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Unidad III: Series Infinitas
SERIES A"TERNANTES*CON&ER'ENCIA A4SO"UTA 5 CON&ER'ENCIA CONDICIONA"
Series A)ternantes.- Son auellas series cuyos t;rminos son positivos y ne"ativos en formaalternada# &jemplos:
1# ∑∞
=
++ −=+
−+−+−+−
1n
1n1n
n
!1(#####
n
!1(#####
>
1
<
1
3
1
2
11
2# ∑∞
=
−=+
−++−+−+−
1nn
n
n
n
2
<!1(#####
2
<!1(#####
J
1
<
1
2
112
3# ∑∞
=
++ −=+−++−+−+−1n
1n1nn!1(#####n!1(#####@><321
Criterio (ara )a coner!encia de )as series a)ternantes.-
$a serie ∑∞
=
+ +−+−=−1n
<321n
1n#########aaaaa!1( conver"e si se cumplen las si"uientes
condiciones:
(i! n1n aa/ ≤< + , para todo n ue pertenece a los enteros positivos#
(ii! /alim nn
=∞→
&jemplos:
(1! #######e
1
e
1
e
11
e
!1(32
/nn
n
+−+−=−∑
∞
=
Sol#
8e?en cumplirse las si"uientes condiciones, para ue la serie alternada ∑∞
=1n
na sea
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Unidad III: Series Infinitas
(i!( )
/<
1
>n2
3nlimalim
2
2
nn
n≠=
−
+=
∞→∞→ (no se cumple!
*onclusión# 8ado ue /alim nn
≠∞→ entonces la serie alternada ∑∞
= −+−
1n2
2n
!>n2(
3n!1( DIV#
Coner!encia A6so)uta 7 Condiciona)
Una serie ∑∞
=1n
na *A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E#! si la serie correspondiente de
valores a?solutos ∑∞
=1n
na conver"e#
Teore$a: Si ∑∞
=1n
na conver"e, entonces ∑∞
=1n
na conver"e#
Una serie ∑∞
=1n
na *A0B&CD& *A08I*IA0E$Q&05& (*#*! si la serie ∑∞
=1n
na conver"e y la
serie de valores a?solutos ∑
∞
=1nna diver"e#
E2e$()os:
(1! ∑∞
=
+−+−=+
−
1n
n
#####I
1
>
1
3
1
1n2
!1(
Sol# ∑∞
=1nna es una serie alternada, para ue sea 7 de?e cumplir con las si"uientes
condiciones:
(i! /1n2
1limalimn
nn
=+
=∞→∞→
(se cumple!
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Unidad III: Series Infinitas
/2
1
1n2
nlim
?
alim
nn
n
n>=
+=
∞→∞→
8ado ue /2
1
?
a
limn
n
n >=∞→ y ∑
∞
= =1nn n
1
? DIV, entonces ∑∑
∞
=
∞
= += 1n1nn
1n2
1
a DIV
Conclusión Final # 8e?ido a ue ∑∞
=1n
na 7, por el criterio de series alternantes, y ∑∞
=1n
na
DIV, por el criterio de comparación en el limite, entonces la serie ∑∞
= +
−
1n
n
1n2
!1( *A0B&CD&
*A08I*IA0E$Q&05& (*#*!#
(2! ∑∞
=
+ +−+−=−1n
<
12
3
L
2
@3
n
n31n #########
<
2
3
2
2
22
n
2!1(
Sol#
&valuando la serie ∑∞
=1n
na :
∑ ∑∑
∞
=
∞
=
+∞
= =
−
= 1n 1nn
n3
n
n31n
1nn n
2
n
2!1(
a
Se aplicar- el criterio de la ra%#
1/n
2lim
n
2limalim
3
nn
n
n3
n
nn
n<===
∞→∞→∞→
*onclusión ( ∑∞
=1n
na !# 8ado ue 1/alim nn
n<=
∞→ , entonces la serie ∑
∞
=1n
na 7, por el criterio
de la ra%#
Conclusión Final.- 8e?ido a ue ∑∞
=1n
na 7, por el criterio de la ra%, entonces ∑∞
=1n
na 7, por
lo tanto la serie *A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E!#
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Unidad III: Series Infinitas
(vi! decreciente:( )
/!.(ln.
2.ln!.(Mf
32 <+−
= , as% f decrece#
Eplicando el criterio de la inte"ral:
!2ln(
1
!2ln(
1
!ln(
1
.ln
1lim
!.(ln.
d.d.!.(f
?
22 2.2
=+∞
−=
−==∫ ∫
∞ ∞
∞→(7!
*onclusión ( ∑∞
=2n
na !# 8e?ido a ue!2ln(
1
!.(ln.
d.d.!.(f
2 2
2 ==∫ ∫
∞ ∞
7, entonces ∑∞
=2n
na 7,
por el criterio de la inte"ral#
Conclusión Final.- 8ado ue ∑
∞
=2nna 7 entonces ∑ ∑
∞
=
∞
=
+−
=2n 2n2
1n
n !n(lnn
!1(
a 7, por lo tanto la serie
*A0B&CD& EFSA$U5EQ&05& (*#E!#
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Unidad III: Series Infinitas
SERIES INFINITAS*AB&CD&0*IE A 8IB&CD&0*IE AFS&CBE*IA0&S
SERIE 'EOMETRICA:
∑∞
=
++++++=0
32......
n
nnar ar ar ar aar
−=<<
≥
r
aS es sumacuyar siC!NV"#
r si DIV"#
1:,10,
1,
P-SERIE: ∑∞
=
++++++=1
....1
...4
1
3
1
2
11
1
n p p p p p
nn p-0
>
≤
1,
1,
p siC!NV"#
p si DIV"#
PRUE4A E-NESIMA PARA "A DI&ER'ENCIAC.N.C
Si 0lim ≠∞→ n
na R ∑
∞
=1n
na DIV"#
CRITERIO DE COMPARACIÓN DIRECTA:,####3,2,1n?a/ nn =≤≤
∑∞
=1n
na :serie menor ∑∞
=1n
n? :serie mayor
(i! ∑∞
=1nn? C!NV"# R ∑
∞
=1n
na C!NV"#
(ii! ∑∞
=1n
na DIV"# R ∑∞
=1nn? DIV"#
∑∞
=1nn? : es una pserie
o serie "eom;trica
CRITERIO DE COMPARACIÓN EN E" "8MITE:
0>na , 0>n? Lb
a
n
n
n
=∞→
lim
(i! 0> L , si ∑∞
=1n
n? C!NV"# R ∑∞
=1nna
C!NV"#
si ∑∞
=1nn? DIV"# R ∑
∞
=1n
na DIV"#
(ii! 0= L y ∑∞
=1nn? C!NV"# R ∑
∞
=1n
na
C!NV"#
(iii! ∞= L y ∑∞
=1nn? DIV"# R ∑
∞
=1n
na DIV"#
CRITERIO DE "A INTE'RA"(i! ∫
∞
a
d.!.(f C!NV"# R ∑∞
=1n
na C!NV"# Si f es una funcióncontinua, positiva ydecreciente para toda
1L
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Unidad III: Series Infinitas
(ii! ∫ ∞
a
d.!.(f DIV"# R ∑∞
=1nna DIV"#
.Ha
CRITERIO DE "A RAI/
$alim nn
n
=∞→
(i! $41R ∑∞
=1nna C!NV"# %$S!L./%MN/
(ii! $1 ó O R ∑
∞
=1n
na DIV"#
(iii! $=1, entonces el criterio no decide#
CRITERIO DE" COCIENTE
∑∞
=1nna es una serie con t;rminos no nulos#
La
a
n
n
n
=+
∞→
1lim
(i! $41R ∑∞
=1n
na C!NV"# %$S!L./%MN/
(ii! $1 ó O R ∑∞
=1n
na DIV"#
(iii! $=1, entonces el criterio no decide#
CRITERIO DE "AS SERIES A"TERNANTES
∑∞
=
+ +−+−=−1n
<321n
1n #########aaaaa!1(
(i) n1n aa/ ≤< + , para todo n ue pertenece a losenteros positivos#
(ii! /alim nn
=∞→
CON&ER'ENCIA A4SO"UTA 5 CONDICIONA"
∑∞
=1n
na C!NV"# %$S!L./%MN/ 'C0%0) si la
serie ∑∞
=1n
na conver"e#
∑
∞
=1nna C!NV"# C!NDICI!N%LMN/ 'C0C) si
la serie ∑∞
=1nna conver"e y ∑
∞
=1n
na diver"e#
Teore$a:
∑∞
=1nna C!NV"# R
∑∞
=1n
na C!NV"#
2/