I. N. H E R S T E I N

della Corn~ll University

SUI COMMUTATORI DEGLI ANELLI SEMPLICI (1)

(Conferenza tenuta il 3 maggio 1962)*

SUNTO. - - Dimos t r i amo che u n e lemento di un anello semplice ( r i s t r e t t o d a u n a condizione sul la c a r a t t e r i s t i c a ) che soddisfa ad u n ' i p o t e s i sui c o m m u t a t o r i p i5 alt i , dev' essere d' u n a f o r m a molto specifica.

In un recente articolo [1] abbiamo studiato la s t r u t t u r a degli anelli soddisfacenti ad una condizione di Engel, in cui cio~, costruendo i commutatori successivi di un elemento arbi trar io dell' anello, si ot- t iene lo zero dopo un numero f ini to di termini. Per esprimere cib in modo pill preciso indichiamo con R u n anello e siano, per a, x in R, [ a , x ] l : a x - - x a , [ a , a , x ] 2 z a [ ~ , x ] l - - [ a , x ] l a ..... [ a , a , . . . , a , X ] n - -

- - a [ c b , . . . , a, x]n_l - - [ a , . . . , a, x]n_l a. Si dice dunque che R sod- disfa ad una condizione di Engel se per qualsiasi a ed x in R esiste un intero n = n ( a , x), dipendente da a ed x, tale che [a, a,..., a, x]n--0 . Diciamo, inoltre, che R soddisfa ad una condizione fissa di Engel se esiste un intero fisso, n, tale che [a, a . . . . , a, x]~-= 0 per ogni a ed x in R.

Si potrebbe tentare di localizzare il problema, cio~, di domandare : dato un elemento par t i co lare a R, pel quale valga [a, a,..., a, x] ~ -~ 0

per tut t i gli x~R, che cosa si pub dire della na tura di a? Si noti che un elemento qualunque, a, della forma a -- ~ -4- b, dove 2 ~ nel centro di R e dove bm-- 0, automaticamente soddisfa alla relazione [ a , a , . . . , a , x]2m+l-~ 0. I1 nostro scopo qui ~ di stabilire una pro- priet~ inversa per una part icolare classe di anelli, cio~ per la classe di anelli semplici r is t ret t i da una condizione sulle caratterist iche.

(1) Lavoro eseguito in Roma quale Fel low della ~ J o h n Simon G u g g e n h e i m Memor i a l F o u n d a t i o n >> e col con t r ibu to della << Na t iona l Science F o u n d a t i o n , G r a n t G - 1 9 6 5 5 , e della r A r m y Resea rch G r a n t (AROD)>> al la Cornel l U n i - ve r s i t y .

* P e r v e n u t a in t i p o g r a f i a il 25 luglio 1962.

SUI COMMUTATORI DEGLI ANELLI SEMPLICI 81

Iniziamo 1' argomento vero e proprio col

LEMMA 1. S/~ D un corpo di caratteristica zero o maggiore di n. Supponiamo che a E D soddisfi alla relazione [a, a . . . . . a, x] n = 0 per ogni xED. Allora a deve essere contenuto in Z, centro di D.

DIMOSTRAZIONE. Dapprima facciamo un' osservazione generale che non dipende dal fat to che D ~ un corpo. Come mostra un calcolo semplice, [a, xy]l = [a, x]~ y + x[a, y]~; quindi la funzione [a, x] l soddisfa alle propriet~ formali di una derivata. Proseguendo cosi otteniamo 1' analogo della regola di Leibniz:

(1) [ a , . . . , a , x y ] ~ = z ( n ) [ a , . . . , a , x ] . _ i [ a . . . . , a , y ] , \ /

i

( n ) indica il coefficiente bino- per ogni x, y in R. In questa somma i miale e [a, a , . . . , a, X]o -- x.

Torniamo al lemma. Se D & un corpo e se, per qualche a E D, [a . . . . ,a,x]n----0 per tu t t i gli x in D, allora, ponendo in (1) [ a , . . . , a, z]._2 al posto di y e facendo uso di [a, a , . . . , a, x ] k - - 0 per k >_ n, si ottiene

(2) n [ a , a , . . . , a , x ] ~ _ l [ a , a , . . . , a , z ] n _ l = O

per ogni y e z in D. La condizione che abbiamo imposto sulla earat ter is t ica di D ci

permette di semplificare ul ter iormente la (2): infat t i la (2) si riduce alla [ a , a , . . . , a , x ] n _ l [ a , a . . . . , a , z ] ~ _ ~ = 0 per ogni x e z in D. Ma ci6 implica, essendo D un corpo, che [a, a , . . . , x]=_x--0 per tu t t i gli x in D. Usando un' induzione sopra n, otteniamo [a, x] ~ -- O, cio~, a dev' essere un elemento di Z.

Delineiamo un po' il corso che intendiamo seguire hello studio dei r isultat i analoghi per gli anelli semplici. Dapprima stabiliremo la na tu ra di un tal ' elemento, a, per 1' algebra di tu t te le matrici . Poi, per mezzo della teoria degli anelli primitivi, part ieolarmente dal teorema di densit~ di Jacobson, risaliremo da cib al caso generale. Per questa ragione ci interesseremo ora dell' algebra di tut te le ma- trici sopra un campo.

LEMMA 2. Sia F u n campo algebricamente chiuso di earatteristica zero o maggiore d i n e sia Fr l'algebra di tut te le matrici r x r sopra F. Supponiamo che aEFr soddisfi alla condizione [a, a . . . . . a, x]n -- 0 per tu t t i gli x in F~. Allora esiste un eIemento ~ E F tale che ( a - - ) . )n - - O .

82 L N. HERSTEIN

DIMOSTR~ZIONE. Poich~ F ~ a l g e b r i e a m e n t e chiuso poss iamo s u p - po r r e che l' e lemento a s i a nella sua f o r m a t r i ango la r e ,

A~ , ) et ~--- A2 �9

0 "" ~tr

P e r d i m o s t r a r e il l emma dobbiamo sol tan to s tab i l i re che

Calcol iamo la conseguenza della re laz ione [a, a , . . . , a, x] n --- 0 pe r la m a t r i c e speciale (oo)

x = 0 0 0 .

i : o o o

Not iamo, dappr ima , ehe

0 � 9 0 ~ ( '~t - - ~'r) \

[a, x h = 0 0 0 ) o 6 b

Perc i6 , ( 0 . . . 0 ~ ( ~ - - ~ ) ~ )

0 ---- [a, a, . . . , a, x]n = 0 0 0 i ! : ' 0 0 b

donde a(~l - -~ , . )n z 0. Ne segue, per l' a rbi t rar ie t /~ di a in F ~1 ~ ~r �9

P o n i a m o a - -

che

(o ,~ , o re a~ ~ la m a t r i e e ( r - - 1) )< ( r ~ 1)

A,r--1

ed u ~ un ve t t o r e (colonna). Quando si ve r i f i ca 1' impl icaz ione di

[ a , a , . . . , a , x ] n = O per x = 0 0 in eui b ~ una m a t r i e e a r b i -

~ t r a r i a ( r - - 1 ) N ( r - - 1 ) , si vede, poieh~ [ a , x ] l = 0 0 '

ehe [ai, a~ . . . . . a~, b]~_~ = 0 pe r quals ias i ma t r i ee ( r ~ l ) x ( r ~ l ) b -

P e r l ' induzione sull ' o rd ine delle, ma t r i e i possiamo eone ludere ehe in

( ~t * ) ~

) ' r - -1 ,

SUI COMMUTATORI DEGLI ANELLI SEMPLICI 83

Avendo gi~ d i m o s t r a t o che 21 : 2 r a b b i a m o l' u g u a g l i a n z a di t u t t i i 21 - - 22 - - . �9 �9 ---- 2r, onde il l e m m a ~ d i m o s t r a t o .

COROLLARIO. Sia F u n campo di cara t t e r i s t i ca zero o m a g g i o r e

di n; suppon iamo , inol tre, che a in Fr sia un e lemento tale che

[a . . . . . a, x]n - - 0 per ogni x in F r �9 AlIora es is te un 2 in F tale che (a - - 2 ) n - - 0.

DIMOSTRAZIONE. Poich~ la condiz ione impos t a , [a, a , . . . , a, x]n----0,

l i nea re in x, essa suss i s te quando p a s s i a m o da Fr a Kr dove K ~ la

c h i u s u r a a l g e b r i c a di F. Quindi , dal l e m m a p o s s i a m o conc lude re che

es is te in K un e lemento 2 t a le che (a - - 2) n _-- 0.

P r o v e r e m o o ra che ~ ~, di f a t t o , in F. Poich~ ( a - 2) ~ ----0, il

po l inomio min imo , p(x) , per a s o p r a F ha so l t an to una rad ice d i s t in ta ,

cio~ 2; da cib segue p(x ) z ( x - - 2 ) m con m _< n. Ques to impl i ca che

il coefficiente al (che ~ in F) di x m-1 in p ( x ) deve s o d d i s f a r e al la al - - - - m L E p p u r e m _< n ~ della c a r a t t e r i s t i c a di F, sicchd m V = 0 ;

e s sendo m in F, a va lendo 2 - - ~ , o t t e n i a m o che ~ deve esse re ~t

c o n t e n u t o in F. Ques to p r o v a il corol lar io .

Sia R u n anello semplice , senza n e s s u n a condiz ione sul la sua

c a r a t t e r i s t i c a . S u p p o n i a m o , inol t re , che pe r un e l emen to a in R [a, a . . . . . a, x]n ---- 0 p e r ogni e l emen to x in R. S v i l u p p a n d o [a ... . . a, x]n

si o t t i e n e l' equazione :

a n x - - 1 an-lxa--t - . . . -t- ( - - 1 ) i l n )an - i xa ' - t " " ' - t - ( - - 1 ) ' x a ~ - - 0 "

Cosi l' ideale dest ro , a"R ~ con tenu to in Ra , ossia a n R c R a . Da ques to a b b i a m o RanR e R a . Perb , RanR ~ un ideale b i l a t e r a l e di R ;

R e s sendo sempl ice ci sono solo due possibi l i tY: R a n R - (0) o

R ~ n R - R. L a p r i m a possibi l i t~ impl i ca che a n = 0, la seconda , R - - R a .

S i m i l m e n t e , o p e r a n d o invece a l la s in i s t r a , o t t e n i a m o a n = 0 od a R - - R . Cosi deve va l e r e o a n ---- 0 o R a - - a R - - R. Ma in un anel lo sempl i ce

u n a re laz ione a R - - R a - - R pu5 e s i s t e r e s o l a m e n t e quando t t h a

un ' un i t~ e quando a, di pifi, ~ inve r t ib i l e in R. In ta l m o d o a b b i a m o

d i m o s t r a t o il

LEMMA 3. S /a R u n anello sempl ice e suppon iamo che a s i a u n ele-

m e n t o in R tale che [a, a . . . . . a, x ] n - - 0 per t u t t i gli x in R. Al lora ,

o a n - - 0 o R ha un' u n i t s ed a ~ inver t ib i Ie in R.

P r o p o n i a m o c i , ora, come nos t ro p r o s s i m o compi to , di r i d u r r e

l ' i nd ice di n i lpo tenza di a nei l emmi p receden t i . Lo f a r e m o m e d i a n t e il

84 I. N. HERSTEIN

LEMMA 4. S/~ R u n anello semplice di caratteristica zero o maggiore d in . Supponiamo che a in R sia nilpotente e che [a, a . . . . . a, x ] . - - 0

per ogni x in R. Allora a ~ - 0 dove s ~ l ' intero tale che s _< ( n + 1) /2 ~ s ~ 1.

DIMOSTRAZIONE. C o m e a b b i a m o gi~ visto, quando si s v i l u p p a

[a, a . . . . . a, x]n - - 0 si o t t i e n e :

(1) a a x - - ( 1 ) a n - l x a + . . . -~ ( - -1 ) i (n )an- i xa i -~ - . . .+( - -1 ) ' xau- - - -O .

Poich~ a ~ n i lpo ten te , a k : 0, a k-1 ~ 0 pe r qua lche i n t e r o k. Se

fosse a ~ V: 0 p e r la s u d d e t t a s, s iccome n - - s _< s, s a r e b b e a n c h e

a n-~ r Mol t ip l i cando la (1) a s i n i s t r a pe r a k - ( ' - ~ ) - I ed a d e s t r a

p e r a k-~- t a v r e m m o i ak-~xak-1 = 0 pe r ogni x in R. P e r 1' ipo tes i

f a t t a su l ia e a r a t t e r i s t i c a , questo , a sua vol ta , ci p o r t e r e b b e a l i a

ak-~xak-~ = 0. P e r ques ta r a g i o n e ak-~N s a r e b b e un ideale des t ro ni l -

po ten te , cosa imposs ib i l e in un anel lo sempl ice a m e n o t h e a k - l R = ( 0 ) .

Ino l t re , ak-~R = (0) i m p l i e h e r e b b e a k-~ = 0, c o n t r a d d i c e n d o a k-1 ~ 0.

E ' qu indi a" - - 0.

Si d o v r e b b e o s s e r v a r e t h e nel r a g i o n a m e n t o non a b b i a m o f a t t o uso di t u t t a 1' ipotes i della sempl ie i t~ di R ; i n f a t t i lo s tesso r i s u l t a t o si ha nel easo in cui si s u p p o n e ehe R s ia so l t an to un anel lo p r i m o .

COROLLARIO. S /a R come nel lemma 4 e sia a in R tale che [a, a . . . . . a, x ] . ~ 0 per ogni x in R. Supponiamo, inoltre, che a ~ sia nilpotente per qualche ~ in Z, centro di R. Allora ( a - - ~ ) " - - 0 dove s ~ l' intero tale che s _< (n ~- 1)/2 ~ s 4- 1.

A b b i a m o o ra t u t t e le p a r t i r i ch ies te pe r d i m o s t r a r e il r i s u l t a t o p r i n c i p a l e dell ' a r t i co lo :

TEOREMA. S/a R u n aneUo sempIice di earatteristica zero o maggiore d i n . Supponiamo che a in R soddisfi alla condizione [ a , a . . . . . a , x ] , - - 0 per tut t i gli x in R. Allora esiste un ~ neI centro, Z, di R tale che ( a - - 4 ) " - - - - 0 dove s ~ l ' intero pel quale s _< (n + 1)/2 ~ s + 1.

DIMOSTRAZIONE. Se fosse a n i lpo ten te a l lo ra s a r e b b e a s s i c u r a t a la va l id i t~ del t e o r e m a come una conseguenza del l e m m a 4. Cosi p o s s i a m o s u p p o r r e che a non s ia n i lpo ten te . In quel caso, il l e m m a 3 imp l i ca che R h a un ' uni t~ e che a ~ inve r t ib i l e in R.

A v e n d o un ' uni t~ ed essendo sempl ice , R dev ' e s se re un anel lo p r i m i t i v o ; qu ind i R ~ i s om or fo ad un anello denso di t r a s f o r m a z i o n i l inear i su uno spazio ve t to r i a l e s o p r a un co rpo D. I1 cen t ro , Z, di R

SUI COMMUTATORI DEGLI ANELLI SEMPLICI 85

contenuto nel centro di D. Come ~ ben noto [2] esiste un prolunga- mento K del centro di D, percib anche di Z, tale che R X z K sia un anello denso di t rasformazioni lineari su uno spazio vettoriale V s o p r a K. La condizione [a, a . . . . . a, X] n ~ 0 e l ineare in x, co si vale anche nell' anello semplice R Xz K.

Dimostriamo, dapprima, che esiste un elemento ~ in K per cui ( a - -~)~ = 0; stabilito cib, passiamo a mostrare che ~ ~ di fa t to in Z.

Sia v - ~ 0 un elemento qualunque in V. Asseriamo che v, v a , . . . , v a n non possono essere l inearmente indipendenti sopra K, al tr imenti , per la densit~ di R Xz K su V esisterebbe un elemento x E ~ Xz K tale che

(1) v x - - v a -n, va ix - - - -O p e r i - - ~ l , 2 , . . . , n.

Poich~

~ 1 7 6 § . . . § ( - ' c T J . . . § ( _ , . x o . : O,

v ( a " x - - ( nl ) a " - l x a + . . . + ( - - 1 ) ~ x a " ) = O. F a c e n d o uso de l l a (1)

vediamo che v x a ~ - - 0 in contraddizione con v x a n = v r O.

Cosi, per qualche k <_ n, vak ~ una combinazione lineare degli elementi v, v a . . . . . v a k-1 con coefficienti in K. In questo modo, Vo, lo spazio in V generato dagli elementi v, v a . . . . , va" ~ invar iante rispetto ad a. Sia T(Vo) -- {x 6 R X z K 1 Vox c Vo} e sia N(Vo) -- -- {x E T(Vo) ] V o x - - (0)}. Il teorema di densitY, in questi termini , asserisce che T(Vo)/N(Vo) ~ isomorfo all' algebra K~, r ---- dimK (Vo), di tu t te le matrici r x r sopra K. L' elemento a ~ in T (Vo); quindi la condizione [a, a , . . . , a, x]n----0 per ogni elemento x in R, e percib, per ogni x in T(Vo), ~ conservata dall' omomorfismo naturale di T(Vo) su T(Vo)/N(Vo). Sia 5 1' immagine di a in T(Vo)/N(Vo); tu t t a l' ipo- tesi del corollario al lemma 2 ~ soddisfatta. Quindi esiste un ~ in K tale che ( 5 - ~)~--0 ; questo ~ precisamente equivalente all' a f fer - mazione ( a - - ~ ) n ~ N(Vo). Questo ultimo fat to asserisce che V o ( a - - ~ ) n i (0), e quindi v ( ~ - - ~ ) n- - 0.

Siano v, w due elementi a rb i t ra r i in V (e diversi dallo 0). Come abbiamo ora visto, si trovano ~, ~ in K per cui v ( a ~ ) ~ - - 0

e w ( a ~ ~)~ -- 0. Vogliamo stabilire che ~ --/~. Lo spazio V1 ge- nera to dai v, v a , . . . , v a n, w , w a . . . . , w a n ~ dimensione f ini ta ed invar iante rispetto ad a. Con ragionamento identico a quello svolto nel capoverso precedente si vede che esiste un elemento ~, E K tale ehe V ~ ( a ~ ) n --(0), cio~ v ( a - - ~,)" - - 0 e w ( a - - v)" ----- O. Poich~ a ha soltanto un autovalore distinto su V~ possiamo concludere che

86 I. N. HERSTEIN

~ ~ e # - - ~ , donde ~ - - ~ . Da ques to segue i m m e d i a t a m e n t e che V ( a - - ~ ) n z ( 0 ) , sicch~ ( a - - ~ ) n z 0 . A b b i a m o cosi d i m o s t r a t o la

p r i m a o s se rvaz ione f a t t a , cio~, che (a - - ~)n - - 0 p e r qua lche ~ in K. Ci r i m a n e o ra da d i m o s t r a r e che ~ ~ in Z.

Quando si s v i l u p p a ( a - - ~ ) n , p e r le p r o p r i e t ~ d' un p r o d o t t o t e n - soriale , p o s s i a m o s c r i v e r e po(a) -~ al p l (a) + . . . § ak pk(a) dove po(a) . . . . . pk(a) sono in R e sono po l inomi in a con coefficienti in Z, e dove al . . . . , ak sono in K, l i n e a r m e n t e i nd ipenden t i s o p r a Z. Es sendo (a - - ~)~ : 0, s a p p i a m o che po(a) z . . . = pk(a) - - O. I n o l t r e , p e r la s u a f o r m a speci f ica , po(a)_= a ~ + ~la~-~ ~ - . . . ~ -o~ dove a~ . . . . . o, sono tu t t i in Z. In a l t r e paro le , a ~ a lgebr i co s o p r a Z d ' un g r a d o non s u p e r i o r e ad n. Ino l t re , s iccome ( a - - ~)~ z 0, a h a s o l t a n t o u n a u t o v a l o r e d is t in to , donde il po l inomio m i n i m o pe r ~ s o p r a Z, q(x) , che ha un g r a d o non s u p e r i o r e ad n, dev ' essere del la f o r m a q ( x ) - - ( x - - ~ ) ~ con m < n . S v i l u p p a n d o e c o n f r o n t a n d o i coeffi- c ient i si g i u n g e al la - - m ~ - ~ il coefficiente di x ~-~ in q (x ) ; pe rc ib m ~ E Z. L a n o s t r a ipotes i sulla c a r a t t e r i s t i c a di R dunque imp l i ca che ~ E Z. In conseguenza ( a - - ~ ) ~ - - 0 pe r qua lche ~ in Z.

I n v o c a n d o il corol lar io al l e m m a 4 a b b i a m o il r i s u l t a t o ( a - - ~ ) ~ : 0 dove s ~ l' i n t e ro t a le che s < (n ~- 1)/2 < s + 1. Con ci6 a b b i a m o

d i m o s t r a t o il t eo rema .

SUMMARY. - - We show t h a t an e lement in a simple r i ng ( r e s t r i c t ed by a condit ion on i ts charac te r i s t ic ) which sa t i s f ies a hypothes is on its h i g h e r com- m u t a t o r s m u s t be of a very specific form.

B I B L I O G R A F I A

[1] I. N. HERSTEIN, (~ Sugli Anelli Soddisfacent i ad una Condizione di Enge l ~ in corso di s t ampa nei r Rendiconti dell' Accademia dei Lincei ~.

[2] N. JACOBSON, ~Structure of Rings ~>, Colloquium Series, Amer . Math . Soc. ; vol. 37, 1956.