Pruebas de Hipótesis

1er C. 2019

Mg. Stella Figueroa Clase Nº 13

Esquema para realizar una prueba de hipótesis

1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa

2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema).

3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba y

determinación de la región crítica 4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico. 5) Comparación de valores. 6) Conclusiones

Prueba de hipótesis para la varianza poblacional

Un fabricante esta produciendo piezas de 8 mm de longitud, y se

sabe que las longitudes de estas piezas se distribuyen

normalmente.

Con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25

piezas de una línea de producción para estimar la varianza de

todas las longitudes de las piezas. Si su estimación resultó ser de

0.009 mm2. Con un nivel de significación de 0.05. ¿Se puede

concluir que la varianza poblacional es menor que 0.01 mm2?

Prueba para la comparación de Medias

varianzas poblacionales conocidas

Se hace un test de eficiencia a 50 ingenieros industriales y 60

ingenieros mecánicos, obteniéndose los siguientes resultados:

Verificar con un nivel de significación del 5% si la diferencia se

puede atribuir a la casualidad o no.

5 87

7 89

22

11

X

X

Prueba de hipótesis para comparar medias con varianzas poblacionales desconocidas

Comparación de varianzas poblacionales

1) Plantear las hipótesis 2) Establecer el estadístico de prueba.

2

1

2

2

ob

SF

S

3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico. Hallar los valores críticos. Si

1 2

2 1

1, 1,12

1, 1,2

1

n n

n n

FF

1 2

1 2

4,4;0,011, 1;

2

1, 1,14,4;0,012

15,977

1 10,0625

15,977

n n

n n

F F

FF

Tener en cuenta que es el inverso porque los tamaños de las muestras son

iguales

0,02

Prueba de hipótesis para comparar medias con varianzas poblacionales

desconocidas

Se espera que dos operadores produzcan, en

promedio, el mismo número de unidades

terminadas en el mismo tiempo .

Los datos son los números de unidades

terminadas para ambos en una semana de

trabajo: Operador

1

Operador

2

12 14

11 18

18 18

16 17

13 16

Si se supone que el número de unidades

terminadas diariamente por los dos

trabajadores son variables aleatorias

independientes distribuidas normalmente. ¿Se

puede establecer diferencia entre las medias a

un nivel de significación del 0,1 ?

Análisis de Regresión y

Correlación Lineal

1er C. 2019

Mg. Stella Figueroa Clase Nº 14

Tipos de relaciones entre variables

Modelo determinista Modelo estadístico

• Ejemplo: Relación de la altura con la edad en niños.

• Niños de la misma edad no tendrán la misma altura.

• Pero, a través de un modelo estadístico es posible concluir que

la altura aumenta con la edad.

• Podríamos predecir la altura de un niño de cierta edad y asociarle un

ERROR DE PREDICCIÓN que tiene en cuenta: ERRORES DE MEDICIÓN y

VARIABILIDAD ENTRE INDIVIDUOS.

Existe un componente aleatorio por

lo que las predicciones tienen

asociado un error de predicción.

Análisis de Regresión

• Involucra el estudio la relación entre dos variables

CUANTITATIVAS.

• Investiga si existe una asociación entre las dos variables

• Estudia la forma de la relación. Se grafican los datos en un

diagrama de dispersión para elegir un modelo para la relación.

• A partir del modelo será posible predecir el valor de una variable

a partir de la otra. (modelo de regresión lineal)

• Estudia la fuerza de la asociación, a través del coeficiente de

correlación de Pearson.

Ejemplos

• Un ingeniero puede querer predecir la cantidad de óxido que se formaría en la superficie de un metal, calentado en un horno durante un tiempo especificado a 200°C.

• El tiempo de un desgaste entre recubrimientos de una cubierta de una rueda de un auto, que tiene una composición y espesor de cuerda dados.

• Tales predicciones requieren una fórmula que relacione la variable dependiente con una o más variables independientes.

• Sólo consideraremos el caso en el que una variable dependiente se deba predecir en función de una sola variable independiente.

Herramientas para relacionar dos variables

1. Diagrama de dispersión

2. Covarianza

3. Coeficiente de correlación de Pearson

,Cov x y E y y x x

cov( )

x y

xyr

Modelo de regresión lineal simple

No hay correlación

Correlación positiva

Correlación negativa

Predice el efecto de una variable explicativa Y sobre

otra variable predictiva X, ambas cuantitativas.

Diagramas de dispersión

Media condicional

Si a cada valor de x, le corresponden varios valores de y

1 1 2 32 toma los valores y 5; y 7 ;y 12x

media condicional

2

5 7 12entonces y 8

3

Media condicional es la media aritmética de los valores

de y correspondientes al valor de X = x xy

Dependencia de correlación

Se llama dependencia de correlación de Y respecto de X,

a la dependencia funcional

de la media condicional respecto de x

( )xy f x Ecuación de regresión de Y en X

Función de

regresión de

Y en X

Análogamente se determina ( )yx g y

Cálculo de la Recta de Regresión de Y en X

Para el cálculo de la recta de regresión se aplica el método de mínimos cuadrados entre dos variables.

Consideramos el caso distintos valores de x de la variable X y

distintos valores de y de la variable Y, observados una vez

cada uno.

yxY bx a donde b

Se eligen las estimaciones de los parámetros a y b de

manera tal que los valores observados se encuentren lo más

cerca posible a la recta de regresión.

Diagrama de dispersión recta de regresión

Notación

Como no podemos hacer mínima cada desviación, haremos mínima su suma:

:desviación, donde Y es una ordenada calculada por la ecuación

correspondiente al valor observado y

i i i

i

Y y

1

n

i i

i

Y y

Esta suma se puede hacer cero de muchas

maneras y los errores compensarse.

2

1

( , )n

i i

i

F a Y y

22

1 1

( , )n n

i i yx i i

i i

F a Y y x a y

Minimizar

Resolviendo el sistema obtenemos

22

i i i i

yx

i i

n x y x y

n x x

i iy xa

n n

x yxy x aEcuación muestral de regresión de Y en X

Ecuación muestral de regresión de X en Y y xyx y c

1

1

1

2

1

2 . 00

2 00

n

yx i i i

i

i in

yx i i

i i i i i

FFx a y x

y an xFF

x a yx y a x xaa

22

1 1

( , )n n

i i yx i i

i i

F a Y y x a y

Ejemplo

X: tiempo de recalentamiento

Y: los espesores de óxido de cierta pieza

X

(min)

20 30 40 60 70 90 100 120 150 180

Y

(Ang)

3,5 7,4 7,1 15,6 11,1 14,9 23,5 27,1 22,1 32,9

18469i ix y 860ix 165,2iy

2 98800ix 0,17 1,76 0,17 1,76yx xa y x

Con geogebra

¿Cómo efectuar predicciones?

0,17 1,9xy x

Para predecir el espesor de óxido de hierro de una pieza

calentada durante 80 minutos:

0,17.80 1,9 15,5 Angstromxy

La pendiente b no mide la FUERZA de la asociación. Su

valor numérico depende de las unidades de medida de las

dos variables.

Un cambio de unidades en una de ellas puede producir un

cambio drástico en el valor de la pendiente.

Coeficiente de correlación de Pearson

cov( )

x y

xyr

2 2

.

E y y x xr

E y y E x x

Mide la calidad del ajuste de la recta de regresión

Dice cuánto se relacionan las dos variables X e Y

x

xy

y

r xyr

Si la covarianza

es cero, las

variables son

independientes

Notar que si σx=σy

Valores posibles del coeficiente de correlación r