Izračunati sumu reda:

∑n=1

∞ (−1 )n+1

2n

Rješenje: Dati izraz je ekvivalentan izrazu

12∑n=1

∞ (−1 )n+1

n

Po definiciji suma reda je jednaka graničnoj vrijednosti njegove k-te parcijalne sume. U ovome zadatku ćemo uzeti 2k-tu parcijalnu sumu jer ne znamo predznak posljednjeg člana u redu, time ćemo otkloniti tu nedoumicu.

S= limk→∞

S2 k=12limk→∞ (1−12 +1

3− 14+⋯+ 1

2k−1− 12 k )=12 limk→∞ ((1+ 13+ 15 +⋯+ 1

2k−1 )−( 12+ 14 +⋯+ 12 k ))=12 limk→∞ ((1+ 12+ 13 + 1

4+ 15+⋯+ 1

2k−1+ 12k )−2( 12 + 1

4+⋯+ 1

2k ))=12 limk→∞ ((1+12 + 13+ 14+ 15+⋯+ 1

2k−1+ 12k )−2∙ 12 (1+ 12+ 13 ⋯+1

k ))=12 limk→∞ (( γ+ε2k+ ln 2k )−(γ+εk+ lnk ))=¿ 12limk→∞

( ln2 k−ln k )=¿ 12limk→∞ (ln 2 kk )=12 limk→∞ ( ln2 )=1

2ln 2¿¿

U izradi zadatka korišten je poznati limes: limk→∞ (1+ 12+ 13 + 1

4+ 15+⋯+ 1

k−ln k )=γ

Tj. da vrijedi 1+ 12+ 13+ 14+15+⋯+ 1

k=γ+εk+ ln k