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Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 11
CAPÍTULO 9: CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
SUMARIO:
INTRODUCCIÓN
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
PARTE TEÓRICA DEL TEMA:
9.1.- Definición.
9.2.- Suma y producto.
9.3.- Partes real e imaginaria.
9.4.- Forma binómica.
9.5.- Potencias de la unidad imaginaria.
9.6.- Suma y producto en forma binómica.
9.7.- Complejos conjugados.
9.8.- Cociente en forma binómica.
9.9.- Módulo y argumento de un número complejo.
9.10.- Interpretación geométrica.
9.11.- Formas trigonométrica y polar.
9.12.- Forma exponencial.
9.13.- Producto y cociente en forma exponencial.
9.14.- Potencia de un número complejo. Fórmula de Moivre.
9.15.- Raíces de un número complejo.
9.16.- Logaritmo neperiano de un número complejo.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 22
9.17.- Potencias de base y exponente complejo.
9.18.- Fórmulas de Euler.
PROBLEMAS RESUELTOS
INTRODUCCIÓN
En el cuerpo R de los reales hay operaciones que no tienen solución. Por
ejemplo, no existe ningún número real que verifique la ecuación 2 1 0x + = . Se hace necesario, entonces, definir un nuevo conjunto de
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 33
números y se introduce un nuevo elemento, la unidad imaginaria i ,
dando origen al cuerpo de los números complejos.
Construiremos el nuevo conjunto definiendo una relación binaria en 2R
y obteniendo el conjunto cociente. Veremos que existe un isomorfismo
entre R y el subconjunto de C formado por los pares ( 0)r, , con lo que
R quedará incluido en C .
Definiremos analíticamente los conceptos de módulo y argumento y
estudiaremos las diferentes operaciones para las distintas formas de
expresar un número complejo.
Haremos una interpretación geométrica asignando a cada complejo un
vector definido por el módulo y el argumento del mismo, comprobando
que el módulo y argumento de la suma se corresponden, respectivamente,
con los del vector suma representativo. Asimismo, destacaremos que el
producto de un complejo por otro de módulo 1 y argumento θ equivale a
un giro de θ radianes del vector correspondiente.
Estas propiedades hacen de este conjunto y sus operaciones una
herramienta muy eficaz en muchos campos. En concreto en Física y
Circuitos eléctricos las impedancias de los circuitos de corriente alterna
se expresan en forma compleja para facilitar la representación de la
diferencia de fase que se presenta entre la intensidad y la tensión de las
diferentes ramas del circuito, dependiendo de los elementos
(condensadores, bobinas, resistencias) que contengan.
Además, el cálculo con números complejos es de aplicación directa en la
resolución de ecuaciones, en la determinación de primitivas de funciones
racionales o en temas más avanzados como es el estudio de Variable
Compleja que el alumno ha de tratar en otras asignaturas de Matemáticas.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 44
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
• Plantear la necesidad de ampliar sucesivamente los conjuntos
numéricos de los números naturales, enteros, racionales y reales para
definir el conjunto de los números complejos.
• Introducir el concepto de unidad imaginaria. Manejar las distintas
formas de escribir un mismo número complejo con las respectivas
conversiones de unas en otras.
• Saber realizar las operaciones de suma, producto, cociente,
potenciación, radicación y cálculo de logaritmos con estos números, no
solo para su utilización en otros temas de matemáticas, sino para su
aplicación directa en asignaturas como Física o Teoría de Circuitos.
• Saber interpretar geométricamente los números complejos y sus
operaciones.
• Resaltar el carácter vectorial que se puede asignar a los números
complejos.
9.1. DEFINICIÓN
Se define un número complejo como un par ordenado de números reales.
( ){ }C a b a b R= , / , ∈ .
La relación de igualdad en este conjunto es tal que ( )1 1 1z a b= ,
coincidiría con ( )2 2 2z a b= , , si y solo si 1 2a a= y 1 2b b= .
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 55
9.2. SUMA Y PRODUCTO
Dados los números complejos ( )1z a b= , y ( )2z c d= , , se definen:
9.2.1. Suma
( ) ( ) ( )1 2z z a b c d a c b d+ = , + , = + , +
9.2.2. Producto
( )( ) ( )1 2z z a b c d ac bd ad bc= , , = − , +
Con estas operaciones el conjunto C tiene la estructura de cuerpo
conmutativo.
9.3. PARTES REAL E IMAGINARIA
Entre el conjunto de los números reales R y el subconjunto C∗ de los
números complejos, constituido por los elementos de la forma ( )0a, , se
puede establecer un isomorfismo, de manera que al complejo ( )0a, le
hacemos corresponder el número real a .
Por otro lado, los complejos de la forma ( )0 b, , reciben el nombre de
imaginarios puros.
Así, en ( )z a b= , , a la componente ” a ” se le llama parte real y a ”b ”
parte imaginaria.
En particular, al número ( )0 1, se le llama unidad imaginaria y lo
representamos por i .
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MATEMÁTICA I 66
9.4. FORMA BINÓMICA
Con lo anterior,
( ) ( ) ( )0 0z a b a b= , = , + , . Pero,
( ) ( )( )0 0 0 1b b, = , ,
Entonces,
( ) ( ) ( )( )0 0 0 1z a b a b a bi= , = , + , , = +
Esta expresión z a bi= + , recibe el nombre de forma binómica del
número complejo.
9.5. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Con las operaciones anteriores, 2 (0,1)(0,1) ( 1,0) 1i = = − = − 3 2.i i i i= = − 4 3. 1i i i= =
En general, quedará ni k= , siendo,
1 44 1
1 4 24 3
k para nk i para nk para nk i para n
= =
= = +
= − = +
= − = +
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 77
9.6. SUMA Y PRODUCTO EN FORMA BINÓMICA
La utilización de la forma binómica nos permite operar con los complejos
como si fueran polinomios.
9.6.1. Suma
( ) ( ) ( ) ( )1 2z z a bi c di a c b d i+ = + + + = + + +
9.6.2. Producto
( )( ) ( ) ( )21 2z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + = + + + = − + +
9.7. COMPLEJOS CONJUGADOS
Dado el complejo z a bi= + , llamaremos complejo conjugado a
z a bi= − .
Propiedades
1 2z z C∀ , ∈
a) ________
1 2 1 2z z z z+ = +
b) _____
1 2 1 2z z z z=
9.8. COCIENTE EN FORMA BINÓMICA
Para dividir complejos en forma binómica se multiplican,
respectivamente, el numerador y el denominador por el conjugado del
denominador.
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MATEMÁTICA I 88
( )( )( )( )
1 21 2 2 2 2 2
2 2
a bi c diz z ac bd bc adz z iz z c di c di c d c d
+ − + −= = = +
+ − + +
9.9. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado z a bi= + , se define el módulo como 2 2z zz a b| |= = + .
Propiedades
a) 0.z C z∀ ∈ ⇒ ≥
0, (0,0).z si y solo si z= =
1 2z z C∀ , ∈
b) 1 2 1 2z z z z=
c) Si ( )2 0 0z ≠ , , 11
2 2
zzz z
=
d) 1 2 1 2z z z z+ ≤ +
9.10. ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dado el número complejo z a bi= + , se define el argumento como aquel
ángulo θ , que tomaremos en el intervalo [ )0 2π, , tal que,
,a bcos senz z
θ θ= =
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 99
9.11. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Podemos establecer una correspondencia entre el conjunto C de números
complejos y el conjunto de puntos del plano 2R , de tal forma que
representando en el eje horizontal (eje real) la parte real y en el eje
vertical (eje imaginario), la parte imaginaria, a cada elemento z C∈ le
corresponde uno y sólo un punto de 2R . Este punto recibe el nombre de
afijo del número complejo.
Figura 1
b z a bi= +
E. imaginario
E. real
θ
a
z
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MATEMÁTICA I 1100
Asimismo, a cada número complejo le corresponde uno y solo un vector
de 2R . Vector que tendrá como origen el origen de coordenadas y como
extremo el afijo del complejo.
Con las operaciones suma, ya definida, y la operación externa ∗ ,
producto por un escalar perteneciente a un cuerpo K , el conjunto C
adopta la estructura de espacio vectorial y podemos establecer un
isomorfismo entre C y el espacio vectorial V de los vectores libres de 2R , lo cual nos va a permitir trabajar indistintamente con números
complejos ó con vectores, según convenga a nuestras aplicaciones.
Se observa que
2 2z a b| |= + (módulo del vector)
btga
θ = ; a z cosθ=| | , b z senθ=| |
9.12 FORMAS TRIGONOMÉTRICA Y POLAR
Sustituyendo en z a bi= + las expresiones anteriores queda,
( )z z cos isenθ θ=| | + (forma trigonométrica)
Escribiendo en forma simbólica el complejo z como z z θ=| | , se obtiene
la llamada forma polar ó módulo-argumental.
9.13 FORMA EXPONENCIAL
Desarrollando en serie las funciones ie θ , cosθ y senθ se puede
comprobar,
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 1111
ie cos isenθ θ θ= +
Sustituyendo en la forma trigonómetrica se puede escribir
( ) iz z cos isen z e θθ θ=| | + =| | (forma exponencial)
9.14 PRODUCTO Y COCIENTE EN FUNCIÓN DE LOS MÓDULOS Y
ARGUMENTOS
Sean, 11 1
iz z e θ=| | y 22 2
iz z e θ=
9.14.1 Producto ( )1 2
1 2 1 2iz z z z e θ θ+=| || |
Los módulos se multiplican y los argumentos se suman.
9.14.2 Cociente
( )1 211 2
2
izz z ez
θ θ−| |=
| |
Los módulos se dividen y los argumentos se restan.
9.15. POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO. FÓRMULA DE MOIVRE.
Sea iz z e θ=| |
nn i n inz z e z eθ θ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= | | =| |
En forma trigonométrica quedaría
( )n nz z cos n isen nθ θ=| | + (Fórmula de Moivre)
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MATEMÁTICA I 1122
9.16 RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS.
Sea z z θ=| | . Su raiz n-ésima será otro número complejo r , r r α=| | , tal
que, nn z r r z= ⇒ =
De esta igualdad, nr z| | =| | , 2n kα θ π= +
Es decir, nr z| |= | | , 2kn
θ πα +=
En principio, k puede adoptar los valores 0 1 2 3, ± , ± ,± ,..., pero solo se
obtienen argumentos α distintos para ” n ” valores. Tomaremos
0 1 2 3 1k n= , , , , ..., − . Para otros valores de k se repetirían valores de
raíces ya obtenidos.
Los afijos de las n-raíces estarían sobre una circunferencia de radio n z| |
y el ángulo comprendido entre cada par de vectores correspondientes a
sendas raíces consecutivas, todos iguales, valdrá nθ⎛ ⎞.⎜ ⎟
⎝ ⎠
9.17 LOGARITMO NEPERIANO DE UN NÚMERO COMPLEJO.
Sea iz z e θ=| |
Notemos que figurando θ en el exponente, podríamos pensar, para
generalizar, sustituir θ por 2kθ π+ , ya que ( )2cos cos kθ θ π= + y
( )2sen sen kθ θ π= + , pero,
( ) ( )2 2 2 2i k i i k i ie e e e cos k isen k eθ π θ π θ θπ π+ = = + =
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 1133
Es decir, que mientras figure en el exponente no se están restringiendo
soluciones por escribir θ en lugar 2kθ π+ . Pero, al aplicar logaritmos el
exponente pasaría como factor y pondríamos: ( )2i kz z e θ π+=| | .
( ) ( )2ln ln ln ln 2i kz z e z i kθ π θ π+= | | + = | | + +
Para 0 1 2 3k = ,± ,± ,± ...
Existirían infinitas soluciones para el logaritmo, todas con la misma parte
real. Aquel complejo que se obtiene para el valor de 2k kθ π π/ | + |≤ ,
recibe el nombre de valor principal del logaritmo.
Los afijos de los correspondientes logaritmos estarían sobre una recta
vertical.
9.18 POTENCIAS DE BASE Y EXPONENTe COMPLEJO.
Supongamos que siendo 1z y 2z números complejos, queramos efectuar
la operación 21zz .
Sea 21
zz z= , aplicando logaritmos neperianos
( )2 1 2 1 1ln ln ln 2z z z z z i kθ π= = | | + +⎡ ⎤⎣ ⎦
( )2 1 1ln 2z z i kz e θ π| |+ +⎡ ⎤⎣ ⎦=
9.19 FÓRMULAS DE EULER.
Aprovechando las igualdades que se obtienen de los correspondientes
desarrollos en serie: i
i
e cos isene cos isen
θ
θ
θ θθ θ−
⎫= +⎬
= − ⎭
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MATEMÁTICA I 1144
Sumando: 2
i ie ecosθ θ
θ−+
=
Restando: 2
i ie eseni
θ θ
θ−−
=
Dividiendo ambas: ( )
2
2
11
i i i
i i i
e e etgi e e i e
θ θ θ
θ θ θθ
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
− −= =
+ +
PROBLEMAS
1.- Expresar en las formas trigonométrica y exponencial los complejos
a) 1 2 2z i= −
b) 2 2 2z i= +
c) 3 2 2z i= − −
d) 4 2z i= −
SOLUCIÓN:
a) 1 2 2z i= − .
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 1155
En valor absoluto 2 12
tgα = = , es decir, 4
radπα = con lo que
172
4 4radπ πθ π= − = , o bien, en sentido negativo, 1 4
πθ = −
1 2 2 2z| |= + =
Forma trigonométrica:
17 724 4
z cos isenπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Forma exponencial: 74 4
1 2 2i i
z e eπ π
−= =
b) 2 2 2z i= +
2
2− 1z
E. imaginario
E. real
θ1
α
Figura 2
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MATEMÁTICA I 1166
2 1tgθ = ; 02 1 45
4arctg radπθ = = =
2 2 2 2z| |= + =
Forma trigonométrica:
2 24 4
z cos isenπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Forma exponencial:
42 2
iz e
π
=
2
2 2z
E. imaginario
E. real
θ2
Figura 3
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 1177
c) 3 2 2z i= − −
De la figura,
1tgα = ; 454
o radπα = = ⇒ 354πθ π α= + =
3 2z =
Forma trigonométrica:
35 524 4
z cos isenπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
E. imaginario
θ3
α Eje real
2−
2−
Figura 4
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MATEMÁTICA I 1188
Forma exponencial : 54
3 2i
z eπ
=
d) 4 2z i= −
434
radπθ = , o bien, 4 2radπθ = −
4 2z =
Forma trigonométrica:
43 322 2
z cos isenπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Forma exponencial 32 2
4 2 2i i
z e eπ π
−= =
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 1199
2.- Expresar en forma binómica 23
5z π= .
SOLUCIÓN:
2 2 1 3 5 5 35( ) 53 3 2 2 2 2
z cos isen i iπ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3.- Hallar el conjugado de 11 2
izi
+=
−.
SOLUCIÓN:
Primero debemos escribir el complejo en forma binómica. Para ello
efectuamos el cociente. Multiplicando numerador y denominador por el
conjugado del denominador:
( )( )( )( ) ( )
2
2
1 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2
i i i i izi i i
+ + + + += =
− + −, sustituyendo 2 1i = − , resulta:
1 3 1 31 4 5 5
iz i− += = − +
+
El conjugado sería:
1 35 5
z i= − −
4.- Efectuar ( )81z i= − .
SOLUCIÓN:
Se podría desarrollar por el binomio de Newton pero es mucho más
cómodo expresar el complejo de la base en forma polar.
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MATEMÁTICA I 2200
1 2i| − |= ; ( )14
arg i Radπ− = −
Así, 8
42z π
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )84
2 084
2 2 16 16z ππ −−
= = = =
5.- Hallar las raíces cúbicas de ( )3z i= − + .
SOLUCIÓN:
Hallaremos el módulo y el argumento de z
1 333
tgα = = ; 306
o radπα = = ⇒ 5 1506 6
oradπ πθ π= − = =
3 1 2z| |= + =
Así,
33 5
6
3 2i π− + = y utilizando la expresión vista en la introducción
teórica,
33 5
6
2 2απ = , siendo 5 26
3
kπ πα
+= para 0 1 2k = , , .
Si el argumento lo expresásemos en grados,
3 31502 2α= , siendo 150 360
3
o o kα += para 0 1 2k = , ,
Con esta última expresión,
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 2211
Para 0k = ; 331 50 2 50 502 o
o or cos isen⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= = +
Para 1k = ; 332 170 2 170 1702 o
o ocos isenγ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= = +
Para 2k = ; 33 33 290 70 2 70 702 2o o
o or cos isen⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
= = = − + − =
3 2 70 70o ocos isen⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= −
6.- Hallar ( )3 3L i+ .
SOLUCIÓN:
3 3 3 3 6i+ = + =
( )3 34
arg i π+ =
Con esto,
( )3 3 6 24
L i L i kπ π⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
El valor principal se obtendrá para aquel valor de k que verifique
24
kπ π π+ ≤ . En este caso se cumple para 0k = .
Así, valor principal:
( )3 3 64
L i L i π⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
7.- Hallar los valores de la potencia ( )1 ii+ .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 2222
SOLUCIÓN:
Sea ( )1 iA i= +
Aplicando logaritmos neperianos, ( )1LA iL i= +
Calculamos ( )1L i+
1 2i| + |= ; ( )14
arg i π+ =
( )1 2 24
L i L i kπ π⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Sustituyendo:
2 2 2 24 4
LA i L i k iL kπ ππ π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
( )2 2 2 24 4k iL k ilA e e e
π π π π⎛ ⎞− + +⎜ ⎟ − +⎝ ⎠= =
Identificando este resultado con la forma exponencial iz z e θ=| |
2
4k
A eπ π⎛ ⎞− +⎜ ⎟
⎝ ⎠=
222
LArg A L rad= =
Hacer notar que existen infinitos complejos que son resultado de esta
potencia, todos con el mismo argumento.
8.- Calcular los valores de (1 3 ) 2 2i i− − .
SOLUCIÓN:
Sea (1 3 ) 2 2iA i−= − , aplicando logaritmos neperianos,
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 2233
( )2 21 3
L iLA
i−
=−
2 2 8i| − |= ; ( )2 24
arg i π− = −
Con esto,
( )( )( )
2
8 2 1 38 244
1 3 1 3 1 3
8 3 2 3 8 24 4
1 3
L i k iL i kLA
i i i
L k i L k
i
ππ ππ
π ππ π
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ + − + ++ − + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦= = =− − +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
+
8 3 2 3 8 24 44 4
L k L ki
π ππ π⎛ ⎞− − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠= +
8 3 2 3 8 24 44 4
L k L ki
A e e
π ππ π⎛ ⎞− − + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
= con lo que,
8 3 24
4
L k
A e
π π⎛ ⎞− − +⎜ ⎟⎝ ⎠
| |=
3 8 24
4
L karg A
π π− − +=
9.- Hallar el argumento de un complejo de la forma ( )9 241 iLiπ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
++ que
tenga módulo 1.
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 2244
SOLUCIÓN:
Ya hemos visto en anteriores ejercicios que las potencias de base y
exponentes complejos dan lugar a infinitas soluciones (según los valores
de k ). En este caso, tomaremos el valor de k que haga que su módulo
sea la unidad.
( )9 241 iLA iπ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+= +
( )9 2 14
LA iL L iπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= + +
( )1 2 24
L i L i kπ π⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Sustituyendo,
9 2 2 24 4
LA iL L i kπ π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
29 92 2 2 2 24 4 4 4
L L k i L kπ π π ππ π⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
2 99 2 22 2 24 44 4
i L kL L kA e e
π ππ π ππ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ + +− + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦= ; 9 2 2 24 4
L L kA e
π π π⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠| |=
Para que 1A| |= , tiene que ser 9 2 2 2 04 4
L L kπ π π⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎝ ⎠
92 2 04 4
L kπ π π⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠
, 9 2 04 4
kπ π π⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠
, 1k =
Es decir, para 1k = el módulo del complejo dado vale 1 y el argumento
pedido será
( )2 22 29 92 2
4 4 4 4L
L π π πθ π⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 2255
10.- Resolver la ecuación 1z ize i+
= − .
SOLUCIÓN:
Aplicando logaritmos neperianos
( )1z i L iz+
= − , ( )1z i zL i+ = − , ( )1 1
izL i
=− −
( )1 2 24
L i L i kπ π⎛ ⎞− = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
Sustituyendo,
( ) ( )( ) ( )( ) ( )22
2 2 142 1 2 2 1 24 4
k i LizL i k L k
π π
π ππ π
− + + −= =
− + − + − + − +
( ) ( ) ( ) ( )2 222
2 2 142 1 4 2 2 1 24
k Lz iL k L k
π π
ππ π π
− + −= +
− + − + − + − +
11.- La suma de dos números complejos es 3 2i+ , el cociente es un
número imaginario puro y la parte real de uno de ellos es 2 . Hallar
dichos números complejos.
SOLUCIÓN:
Sean 1z a bi= + y 2z c di= +
Imponiendo las condiciones del enunciado:
( ) ( )1 2 3 2z z a c b d i i+ = + + + = + ( )1
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 2266
1
2
z a bi kiz c di
+= =
+ ( )2
y, por ejemplo, tomaremos la parte real de z , 2a = .
Sustituyendo este valor en ( )1 e identificando:
2 3 2c b d+ = + =
De aquí, 1c = y 2d b= −
Sustituyendo en ( )2 :
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2 1 22 2 2 4 31 2 1 2 1 2 1 2 1 2
bi b ibi b b b i kib i b i b i b b
+ − −⎡ ⎤+ + − − +⎣ ⎦= = + =+ − + − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ + − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
La parte real ha de ser cero,
( )
22
22 2 0 2 2 01 2
b b b bb
+ −= ⇒ + − =
+ −
De aquí 1 3b = ±
Para 1 3 2 1 3 1 3b d= + , = − − = −
Para 1 3, 1 3b d= − = +
Así, hay dos parejas de soluciones:
( )1 22 1 3 1 1 3z i y z i⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + = + −
1 22 1 3 1 1 3z i y z i⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + − = + +
12.- Hallar el valor principal de 2 11
iz Li i
+=
−.
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 2277
SOLUCIÓN:
( )( )( )( )1 11 2
1 1 1 2i ii i i
i i i+ ++
= = =− − +
Así ,
2z Lii
=
Como 1i| |= y 2
arg i π= , queda,
1 22
Li L i kπ π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
, con lo que el valor principal ( 0k = ), será,
2Li i π
=
Sustituyendo,
22
z ii
π π= =
13.- Calcular los valores de z en la ecuación 4 3senz i= .
SOLUCIÓN:
Con las fórmulas de Euler, quedaría
4 32
iz ize e ii
−−= −
Operando, 2 2 3 1iz ize e i−− = +
Multiplicando por ize y ordenando,
( )22 1 3 2 0iz ize i e⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
− + − =
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 2288
( ) ( )21 3 1 3 16 1 3 8 64 4
iz i i i ie+ ± + + + ± +
= = ( )1
Calculemos 8 6i+
8 6 10i| + |= ( ) 38 64
arg i arctg α+ = = (1 o cuadrante)
Con la expresión vista en la introducción teórica,
22
8 6 10 ki α π++ = para { }0 1k = , .Sustituyendo los valores de k:
12
10r α= ( 2 )22
10r α π+=
En forma binómica:
1 102 2
r cos isenα α⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
siendo, 34
tgα =
Pero, 2
1111 3 10
2 2 2 10tgcoscos
αα α+
++= = =
y, entonces, 2 1012 2 10
sen cosα α= − =
Sustituyendo,
13 10 1010 3
10 10r i i
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sabemos que las raíces cuadradas de un número complejo son complejos
opuestos ya que sus argumentos difieren en π radianes. Así, la otra raiz
será 2 3r i= − − .
Sustituyendo en ( )1 ,
para 1 3r i= +
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 2299
( ) ( )1 3 34
iz i ie
+ ± += ( )2
para 2 3r i= − −
( ) ( )1 3 34
iz i ie
+ ± − −= ( )3
Por supuesto, basta con tomar ( )2 ó ( )3 y operar con las dos soluciones
correspondientes ya que las otras dos coincidirían, respectivamente, con
estas.
Por ejemplo, de ( )2 :
( ) ( )1 3 31
4iz i i
e i+ + +
= = + y ( ) ( )1 3 3 1 14 2 2
iz i ie i
+ − += = − +
Por un lado,
1ize i= + ; ( )1 2 24
iz L i L i kπ π⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2 4 22 2
4L i k
z k iLiπ π π π
+ + ⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟⎝ ⎠
Por otro lado,
1 12 2
ize i= − + , 1 1 1 22 2 2 4
iz L i L i kπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
12 2 24 2 4
z k iL k iLπ ππ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
14.- Obtener las raíces de la ecuación 5 4 3 22 2 2 0x x x x x− + − + − = .
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 3300
SOLUCIÓN:
Las posibles raíces enteras serían { }1 2± , ± . Sólo admite la raíz 2x = .
Factorizando,
( )( )5 4 3 2 4 22 2 2 2 1 0x x x x x x x x− + − + − = − + + =
Las restantes raíces las obtendremos resolviendo la ecuación bicuadrada 4 2 1 0x x+ + = . Haciendo 2x t= :
2 1 0t t+ + = ; 1 3 1 3 1 32 2 2 2
it i− ± − − ±= = = − ±
Para 1 32 2
t i= − + ; 1 32 2
x i= − +
Pero,
1 3 12 2
i− + = y 1 3 2arg2 2 3
i π⎛ ⎞− + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Así, 2 2( 2 )33 2
1 1k
x π π π+= = , para { }0 1k = ,
Para 0k = , 3
1 31 13 3 2 2
x cos isen iππ π⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
La otra solución de la raíz cuadrada sería el complejo opuesto
1 32 2
i⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. De todas formas, vamos a obtenerla.
Para 1k = , 23
2 2 1 31 13 3 2 2
x cos isen iππ π
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − + − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 3311
Para el otro valor, 1 32 2
t i= − − , 1 32 2
x i= − −
Pero,
1 3 12 2
i− − = y 1 3 4 22 2 3 3
arg i π π⎛ ⎞− − = = −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Así,
2 2( 2 )33 2
1 1k
x π π π− +−= = , para { }0 1k = , .
Para 0k =
3
1 31 13 3 2 2
x cos isen iππ π
−⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
Para 1k = , se obtendría,
1 32 2
x i= − +
Las soluciones son entonces,
1 2 3 4 51 3 1 322 2 2 2
x x i x i, ,= , = ± , = − ±
15.- Expresar en forma binómica ( ) ( )1 3 1 3n n
i i+ + − .
SOLUCIÓN:
Para desarrollar las potencias expresamos los complejos en forma
exponencial.
1 3 2i| + |= , ( )1 33
arg i π+ =
Así, 31 3 2i
i eπ
+ =
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 3322
1 3 2i| − |= , ( )1 33
arg i π− = −
Así, 31 3 2i
i eπ
−− =
Sustituyendo,
( ) ( ) 3 3 3 3 3 31 3 1 3 2 2 2 2 2n n n n n nn n i i i i i in n ni i e e e e e e
π π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + − = + = + = +
Recordando las fórmulas de Euler,
2
i ie ecosθ θ
θ−+
=
En este caso,
3 323 2
n ni inn e ecos
π π
π−
+=
Despejando y sustituyendo,
( ) ( )1 3 1 3 2 2n n
ni i+ + − = 123 3
nn ncos cosπ π+=
16.- Hallar el lugar geométrico del afijo de 1 2
a iza i+
=+ +
, sabiendo que
a R∈ .
SOLUCIÓN:
Sea z x iy= + . Sustituyendo,
1 2a ix iy
a i+
+ =+ +
Operaremos para despejar a e imponer la condición que es real,
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 3333
22 2x ax ix iy ayi i y a i+ + + + + = +
( )2 2 1a x yi i x ix iy y+ − = − − − +
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
1 2 1 212 1 2 2 1 2 2 1 2
y x i x y x i yy x i x ya
x i y x i y x i y− + − − − −⎡ ⎤− + − − ⎣ ⎦= = =
− + − + − −
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )2 22 2
2 1 2 1 1 2 1 22 1 4 2 1 4
y x x y x y x y x y x yi
x y x y− − + − − − − − − −
= +− + − +
Si a es real, su parte imaginaria ha de ser nula,
( )( ) ( )1 2 1 2 0x y x y x y− − − − − =
Operando, 2 22 2 3 1 0x y x y+ − − + =
2 2 3 1 1 02 2 2
x y x y+ − − + =
El lugar geométrico es, pues, una circunferencia de centro 3 14 4
⎛ ⎞,⎜ ⎟⎝ ⎠
y
radio 24
.
17.- Demostrar que si los vértices de un triángulo equilátero son los afijos
de los números 1 2 3z z z, , se verifica , 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + + .
SOLUCIÓN:
Recordando la interpretación vectorial de los números complejos (ver
figura) y llamando 1 2z z, y 3z , respectivamente, a los complejos
(vectores), representativos de los vértices, los lados correspondientes, con
Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.
MATEMÁTICA I 3344
los sentidos que se indican, vendrán representados por ( ) ( )2 1 2 3z z z z− , −
y ( )3 1z z− .
Por otro lado, sabemos que multiplicar un complejo por otro de módulo 1
y argumento α, equivale geométricamente a girar el vector representante
del primero un ángulo α.
Así,
( ) 32 1 2 3
32 13 1
i
i
z z z z e
z z z z e
π
π
⎫⎪⎪⎪⎬⎪
⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭
− = −
− = −
Dividiendo ambas expresiones,
2 32 1
3 1 2 1
z zz zz z z z
−−=
− −
Operando, 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3z z z z z z z z z+ + = + +
3z
1z 2z
Figura 5
Conjunto de los números complejos
MATEMÁTICAS I 3355
Bibliografía
FERNÁNDEZ VIÑA, J. A. (1986). Análisis Matemático I. Madrid.
Tecnos S.A.
GARCÍA, A.; GARCÍA, F.; GUTIÉRREZ, A.; LÓPEZ, A.;
RODRÍGUEZ, G. y DE LA VILLA, A. (1996). Cálculo I. Madrid.
Universidad Pontificia de Comillas.
GRANERO, F. (1995). Cálculo Infinitesimal. Madrid. McGraw-Hill.
GRANERO, F. (1991). Ejercicios y Problemas de Cálculo. Tomo I.
Albacete. Tébar Flores.
LOSADA, R.. (1978). Análisis Matemático. Madrid. Pirámide S.A.
MARTÍNEZ SALAS, J. L. (1975). Elementos de Matemáticas.
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R.A.E.C. (1971). Problemas de Cálculo Infinitesimal. Madrid. R.A.E.C.
Madrid.
TÉBAR, E. (1977). Problemas de Cálculo Infinitesimal. Albacete. Tébar
Flores.