SUPERFICIENELLO SPAZIO,

LORO AREA.FORMULE DELLA

DIVERGENZAE DI STOKES

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Superficie nello Superficie nello spazio. Loro areaspazio. Loro area

Formule della Formule della divergenza e di Stokes divergenza e di Stokes

SUPERFICIENELLO SPAZIO.

LORO AREA

Già abbiamo incontrato le superficieGià abbiamo incontrato le superficiein in RR33 come grafico di una funzione. come grafico di una funzione.

Converrà presentare altri modi perConverrà presentare altri modi perdescrivere una superficie;descrivere una superficie;precisamente ci occuperemoprecisamente ci occuperemodella loro della loro rappresentazionerappresentazioneimplicitaimplicita come superficie di livello come superficie di livellodi una funzione di una funzione f(x,y,z) f(x,y,z) e dellae dellaloro loro rappresentazione parametricarappresentazione parametrica

x x(u,v)

y y(u,v)

z z(u,v)

con con x(u,v), y(u,v), z(u,v)x(u,v), y(u,v), z(u,v) funzioni funzionidefinite sulla chiusura di un apertodefinite sulla chiusura di un apertoconnessoconnesso E E R R22, che supporremo , che supporremo sufficientemente regolari: sufficientemente regolari: tipicamente di classe tipicamente di classe C1(E)

Cominciamo ad occuparci delle Cominciamo ad occuparci delle superficie in forma implicita. Sia superficie in forma implicita. Sia Dunque data una funzione Dunque data una funzione f:f: AA R R3 3 RR,,che supporremo sufficientemente che supporremo sufficientemente regolare: solitamente funzione di regolare: solitamente funzione di classe classe C1(A)

Per il teorema di Dini sulle funzioni Per il teorema di Dini sulle funzioni implicite sappiamo che se implicite sappiamo che se f(xf(x00,y,y00,z,z00)) = 0= 0 e e ffzz(x(x00,y,y00,z,z00)) ≠ 0≠ 0, allora esistono un , allora esistono un intorno intorno UU di di (x(x00,y,y00)) e uno e uno V V di di zz00, tali , tali che l’insieme dei punti che soddisfanoche l’insieme dei punti che soddisfanol’equazione l’equazione f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 e che stanno e che stanno

in in U U V V è il grafico di una funzione è il grafico di una funzionez = g(x,y)z = g(x,y), definita su , definita su UU e a valori e a valori in in VV, di classe , di classe C1(U)

Dunque, sotto ipotesi di sufficienteDunque, sotto ipotesi di sufficienteregolarità, un’equazione regolarità, un’equazione f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0è in grado di descrivere una è in grado di descrivere una superficie in superficie in RR33

Determiniamo l’equazione del piano Determiniamo l’equazione del piano tangente a una superficie tangente a una superficie implicitamente definita in un suo implicitamente definita in un suo punto punto (x(x00,y,y00,z,z00))TT

Consideriamo una curva regolare cheConsideriamo una curva regolare chegiace sulla superficie e che passa pergiace sulla superficie e che passa peril punto il punto (x(x00,y,y00,z,z00))TT

Tale curva abbia equazioni Tale curva abbia equazioni parametriche parametriche x = x(t)x = x(t), , y = y(t)y = y(t), , z = z(t)z = z(t). Deve accadere che. Deve accadere cheF(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni per ognitt in in [0,1][0,1] e, per esempio, e, per esempio, x(0) =x(0) = xx0 0 , , y(0) =y(0) = yy0 0 e e z(0) =z(0) = zz0 0 . .

Poiché necessariamente Poiché necessariamente F’(t) = 0F’(t) = 0,,è, in particolare, è, in particolare, F’(0) = 0F’(0) = 0; ma ; ma F’(0) =F’(0) = <grad f(x(0),y(0),z(0)), <grad f(x(0),y(0),z(0)), (x’(0),y’(0),z’(0))(x’(0),y’(0),z’(0))TT > = 0 > = 0

Dunque ogni vettore tangente allaDunque ogni vettore tangente allasuperficie e passante per superficie e passante per (x(x00,y,y00,z,z00))TT è ortogonale a è ortogonale a grad f(xgrad f(x00,y,y00,z,z00))

Ma i vettori ortogonale a un Ma i vettori ortogonale a un assegnato vettore di assegnato vettore di RR33 stanno tutti stanno tuttisu uno stesso piano. su uno stesso piano.

Questo piano si dice il Questo piano si dice il piano tangentepiano tangente alla superficie in alla superficie in (x(x00,y,y00,z,z00))TT

Dunque l’equazione del piano Dunque l’equazione del piano tangente alla superficie tangente alla superficie f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0in in (x(x00,y,y00,z,z00))T T è in termini vettorialiè in termini vettoriali

f (x 0 ,y 0 , z0 ), (x x 0 ,y y 0 , z z0)T 0

ossia, esplicitamente:ossia, esplicitamente:

(∂(∂xxf)f)00(x-x(x-x00) + (∂) + (∂yyf)f)00(y-y(y-y00) + ) + (∂(∂zzf)f)00(z-z(z-z00) = 0) = 0

Dove Dove (∂(∂xxf)f)0 0 indica la derivata indica la derivata parziale di parziale di ff rispetto a rispetto a xx calcolata in calcolata in(x(x00,y,y00,z,z00))TT e notazioni analoghe per e notazioni analoghe perle altre derivate parziali.le altre derivate parziali.Il vettore Il vettore grad f(xgrad f(x00,y,y00,z,z00)) è normale è normale alla superficie alla superficie f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = 0 nel punto nel punto (x(x00,y,y00,z,z00))TT

Supponiamo ora che una superficieSupponiamo ora che una superficie sia data in forma parametricasia data in forma parametrica

: E : E R R2 2 RR33

con con (u,v) (u,v) E E e e (u,v) = (u,v) = ( x(u,v), y(u,v),( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )z(u,v) )TT

Diremo che la superficie Diremo che la superficie è è regolareregolarese è di classe se è di classe C1(E) e inoltre la matrice e inoltre la matrice jacobiana ha caratteristica massima,jacobiana ha caratteristica massima,cioè cioè 22, in ogni punto interno di , in ogni punto interno di EE..

x u yu zu

x v yv zv

Esempi di questa situazione sono:Esempi di questa situazione sono:(u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v,(u,v) = (R sen u cos v, R sen u sen v,R cos u)R cos u)T T , , E = [0, π]E = [0, π] [0, 2π] [0, 2π] : : (sfera di centro l’origine e raggio (sfera di centro l’origine e raggio RR))

Una superficie si dirà semplice seUna superficie si dirà semplice se(u(u11,v,v11))TT ≠≠ (u(u22,v,v22))TT implica implica (u(u11,v,v11) ≠) ≠ (u(u22,v,v22) ) quando almeno uno dei due quando almeno uno dei due punti è interno ad punti è interno ad EE

Consideriamo una superficie regolareConsideriamo una superficie regolaresemplice e un punto semplice e un punto (u(u00,v,v00))TT E E. Al . Al variare di variare di uu in modo che in modo che (u,v(u,v00))TT E E otteniamo una linea d’equazione otteniamo una linea d’equazione (u, v(u, v00) ) che giace su che giace su e passa pere passa per(u(u00, v, v00)). Analogamente troveremo. Analogamente troveremo

una linea d’equazione una linea d’equazione (u(u00, v) , v) che che giace su giace su e passa per e passa per (u(u00, v, v00)). Tali . Tali linee si diranno linee si diranno linee coordinatelinee coordinate della dellasuperficie passanti per superficie passanti per xx0 0 = = (u(u00, v, v00)). .

Per le ipotesi fatte sul rango dellaPer le ipotesi fatte sul rango dellamatrice jacobiana, sappiamo che i matrice jacobiana, sappiamo che i due vettori due vettori uu(u(u00, v, v00) ) ee vv(u(u00, v, v00)) sono sono linearmente indipendenti e sono linearmente indipendenti e sono tangenti alla superficie. Il vettoretangenti alla superficie. Il vettoreuu(u(u00, v, v00) ) vv(u(u00, v, v00) ) è ortogonale a è ortogonale a

V

L’equazione del piano tangente siL’equazione del piano tangente siottiene sviluppando il determinanteottiene sviluppando il determinante

x x 0 y y 0 z z0

xu(u0 ,v 0) yu(u

0 ,v 0) zu(u0 ,v 0)

xv(u0,v 0) yv(u

0,v 0) zv(u0 ,v 0)

0

N = - fN = - fuu e e11 - f - fvv e e22 + e + e33

Il vettore ha norma Il vettore ha norma |N| = √[1+|grad f||N| = √[1+|grad f|22]]

Il versore normale è Il versore normale è n = N/|N|n = N/|N|

Se, in particolare, la superficie è Se, in particolare, la superficie è data in forma cartesiana, data in forma cartesiana, x = ux = u, , y = vy = v, , z = f(u,v)z = f(u,v), il vettore normale, il vettore normaleè è (1,0,f(1,0,fuu))T T (0,1,f(0,1,fvv))T T ==V

Vogliamo ora occuparci del problemaVogliamo ora occuparci del problemadella definizione dell’area di una della definizione dell’area di una superficie regolare. Il problema non èsuperficie regolare. Il problema non èbanale, poiché l’idea intuitiva di banale, poiché l’idea intuitiva di approssimare una superficie con tratti approssimare una superficie con tratti di superficie triangolare, prendendo di superficie triangolare, prendendo il sup di queste aree, non è praticabile.il sup di queste aree, non è praticabile.Infatti semplici esempi mostrano Infatti semplici esempi mostrano come anche un cilindro possa esserecome anche un cilindro possa essereavvolto con carta sufficientemente avvolto con carta sufficientemente ““increspata” in modo che il sup sia +∞increspata” in modo che il sup sia +∞

Partendo dall’osservazione che l’areaPartendo dall’osservazione che l’areadi un parallelogramma delimitato dadi un parallelogramma delimitato dadue vettori due vettori aa e e bb è data dal modulo è data dal modulodel prodotto vettoriale di del prodotto vettoriale di aa e e bb, , definiremo definiremo elemento d’areaelemento d’area sulla sullasuperficie superficie come seguecome segue

d | u v |dudvV

Cioè Cioè d d = |N| dudv = |N| dudv

Data una superficie regolare semplice Data una superficie regolare semplice d’equazione d’equazione : E : E R R2 2 RR3 3

definiremodefiniremo area della superficiearea della superficie il il valore del seguente integralevalore del seguente integrale

VA () |u

E v | dudv |N | dudv

E

Se Se è data in forma cartesiana è data in forma cartesiana esplicitaesplicita

EA () 1 | f |2dxdy

Se Se è la sfera di centro l’origine e è la sfera di centro l’origine e raggio R, avente l’equazione raggio R, avente l’equazione parametrica già ricordata, si trovaparametrica già ricordata, si trovad d = R = R22 sen u dudv sen u dudv , con , con 0 ≤ u ≤ π0 ≤ u ≤ πe e 0 ≤ v ≤ 2 π0 ≤ v ≤ 2 π. L’area è. L’area è

A () R2 senudu dv 4R2

0

2

0

Supponiamo che sia data una lineaSupponiamo che sia data una lineanel piano nel piano x zx z, , x ≥ 0x ≥ 0, d’equazione , d’equazione (u) = (x(u),z(u))(u) = (x(u),z(u))TT , , u u [a,b] [a,b] . Se . Se facciamo rotare questa linea intorno facciamo rotare questa linea intorno all’asse all’asse zz di un angolo di un angolo ]0,2 π] ]0,2 π] , , otteniamo una otteniamo una figura di rotazionefigura di rotazione..

Ricordiamo cheRicordiamo che

x

xds

l( )

dà l’ascissa del baricentro della curvadà l’ascissa del baricentro della curva . L’equazione della superficie di . L’equazione della superficie di rotazione è rotazione è (u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u))(u,v) = (x(u) cos v,x(u) sen v,z(u))TT con con E = [a,b] E = [a,b] [0, [0,] ]

uu(u(u00, v, v00) ) vv(u(u00, v, v00) =) =(- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v, (- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v, x(u) x’(u) )x(u) x’(u) )TT

VV

e il modulo è e il modulo è

|u v | x 2(u) z 2(u)x(u) | (u) | x(u)

Ma Ma

CioèCioè

A () x l( )

A () | (u)| dudv x(u)ds

E x(u)

Quanto abbiamo appena enunciatoQuanto abbiamo appena enunciatoè il è il Primo teorema di Pappo-GuldinoPrimo teorema di Pappo-Guldino

L’area di una superficie di rotazioneL’area di una superficie di rotazioneottenuta rotando di un angolo ottenuta rotando di un angolo ]0,2 π]]0,2 π] attorno all’asse attorno all’asse zz una curva una curva regolare semplice regolare semplice è data da è data da

A () x l( )

dove dove xx è l’ascissa del baricentro di è l’ascissa del baricentro di(I)(I)

L’area del toro ottenuto rotando L’area del toro ottenuto rotando intorno all’asse intorno all’asse zz un cerchio di raggio un cerchio di raggio rr nel piano nel piano x zx z , cerchio a distanza , cerchio a distanza R > rR > r con centro sull’asse con centro sull’asse xx è è

A(T) = 2π R (2π r) = 4 πA(T) = 2π R (2π r) = 4 π22 R r R r

0

1

0.5

0

-0.5

-1

0

32

10

-1-2

-3

0

3

2

1

0

-1

-2

-3

RR++

rrxx

zz

EE

xx

zz

Sia Sia EE un dominio del piano un dominio del piano x, zx, z , con , con x ≥ 0x ≥ 0, e lo si faccia rotare di un , e lo si faccia rotare di un angolo angolo ]0,2 π] ]0,2 π] , intorno all’asse , intorno all’asse zz..Vogliamo determinare il volume del Vogliamo determinare il volume del solido di rotazione solido di rotazione SS generato da generato da EE..

Sia Sia D = ED = E [0, [0,] ] e sia e sia F: DF: D S S data data da da F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v)F(u,v,w) = (u cos w, u sen w, v)TT che ha determinante jacobiano che ha determinante jacobiano = u > 0= u > 0

AlloraAllora

V (S) 1dxdydz ududvdw

D

S

dw ududv xdm

E

E

0

xm(E)

dove dove xx è l’ascissa del baricentro è l’ascissa del baricentrodel dominio del dominio EE . Dunque abbiamo . Dunque abbiamo

Secondo teorema di Pappo - GuldinoSecondo teorema di Pappo - Guldino

Il volume di un solido di rotazione Il volume di un solido di rotazione SSottenuto rotando di un angolo ottenuto rotando di un angolo ]0,2 π]]0,2 π] , intorno all’asse , intorno all’asse zz un undominio dominio EE, contenuto nel piano , contenuto nel piano x, zx, z, , con con x ≥ 0x ≥ 0 è dato da è dato da

V(S) = V(S) = x m(E) x m(E)

dove dove xx è l’ascissa del baricentro è l’ascissa del baricentrogeometrico di geometrico di EE..

Applicato al toro, questo teoremaApplicato al toro, questo teoremaci dà il volumeci dà il volume

V(T) = 2πR π rV(T) = 2πR π r2 2 = 2π= 2π22 R r R r22

FORMULE DELLADIVERGENZAE DI STOKES

Una superficie regolare Una superficie regolare si può si può orientare localmente scegliendoorientare localmente scegliendocome positivo uno dei duecome positivo uno dei dueorientamenti possibili delorientamenti possibili delvettore normale vettore normale N N o o -N-N. In . In generale si potrà dire che è data,generale si potrà dire che è data,almeno localmente, un’orientazionealmeno localmente, un’orientazionepositiva se in un intorno di uno positiva se in un intorno di uno stesso punto è assegnata stesso punto è assegnata un’orientazione dell vettore un’orientazione dell vettore normale.normale.

Il vettore normale, se la superficieIl vettore normale, se la superficieè regolare, varia in modo continuoè regolare, varia in modo continuocon il punto nel quale è calcolato.con il punto nel quale è calcolato.Se, al variare del punto sulla Se, al variare del punto sulla superficie superficie nn è una funzione continua è una funzione continuasu tutta la superficie, allora la su tutta la superficie, allora la superficie superficie si dice si dice orientabileorientabile..

Sfortunatamente esistono superficieSfortunatamente esistono superficienon orientabili non orientabili qualiquali ilil nastro di Möbiusnastro di Möbius

0

1

0.5

0

-0.5

-1 0

2

1

0

-1

-2

0

32

10

-1-2

Il nastro di Möbius ha equazioniIl nastro di Möbius ha equazioni

con con 0 ≤ v ≤ 2π0 ≤ v ≤ 2π e e -1 ≤ u ≤ 1-1 ≤ u ≤ 1, , r > hr > h

)2

1(),(

)())2

1cos((),(

)cos())2

1cos((),(

vsenhuvuz

vsenvhurvuy

vvhurvux

Ma molte superficie sono orientabiliMa molte superficie sono orientabilicome la sfera o come le superficie come la sfera o come le superficie che delimitano un dominio normaleche delimitano un dominio normalerispetto al piano rispetto al piano x yx y..

Data una funzione Data una funzione f : Af : A R R3 3 R R , , ff continua, e data una superficie continua, e data una superficie regolare con sostegno regolare con sostegno == (E) (E) A A , , definiremo l’integrale superficiale didefiniremo l’integrale superficiale diff esteso a esteso a , come segue, come segue

fd f (E

(u,v)) |u v | dudvV

Se indichiamo con Se indichiamo con E = |E = | uu||2 , con, conGG = |= | vv||2, e con , e con F = < F = < uu, , vv> > si trova si trova che che

| u v | EG F 2V

Sia dato un dominio regolare Sia dato un dominio regolare DDnormale rispetto al piano normale rispetto al piano x yx y, , delimitato da due superficie di classedelimitato da due superficie di classeC1(A), ,, : A: A R R2 2 RR e sia e sia Z(x,y,z)Z(x,y,z)una funzione continua con la sua una funzione continua con la sua derivata rispetto a derivata rispetto a zz su un aperto su un aperto contente contente DD. . Allora vale il seguente Allora vale il seguente

Teorema(Formula di Gauss)

Nelle ipotesi dette in precedenza, si haNelle ipotesi dette in precedenza, si ha

Zz

D (x,y, z)dxdydz Zne,e3d

Qui si è scelta come positiva laQui si è scelta come positiva lanormale esterna. Dalla formula dinormale esterna. Dalla formula diriduzione per corde si hariduzione per corde si ha

Zz

D dxdydz dxdy( Zzdz

(x ,y)

(x ,y)

A

)

Z(x,y, (x,y))dxdy Z(x,y,)dxdy

A

A

Zne,e3 d

Più in generale, con procedimentiPiù in generale, con procedimentianaloghi, si può dimostrare cheanaloghi, si può dimostrare che

(Xx

D Yy Zz )dxdydz (X ,Y , Z)T ,ne d

Lo scalare Lo scalare XXxx + Y + Yyy + Z + Zzz si dice la si dice la divergenza divergenza del campo del campo F =F = (X,Y,Z)(X,Y,Z)T T ::div Fdiv F

Dunque la divergenza di un campo Dunque la divergenza di un campo su un dominio su un dominio DD uguaglia il flusso uguaglia il flusso uscente dalla superficie lateraleuscente dalla superficie laterale

Infine abbiamo il teorema di StokesInfine abbiamo il teorema di Stokes

Teorema(Teorema di Stokes)

Sia Sia AA un dominio nel piano un dominio nel piano x yx y avente avente

frontiera frontiera AA gen. reg. e orientata gen. reg. e orientata

positivamente. Sia positivamente. Sia f(x,y)f(x,y) di classe di classe C1(A)

Sia Sia X(x,y,z) X(x,y,z) continua con le derivatecontinua con le derivate

XXyy e e XXzz su un aperto contenente su un aperto contenente f(A)f(A)..

Allora valeAllora vale

denXenXXdx zy ),,(23

dove dove = f( = f(A)A)

Infatti, posto Infatti, posto g(x,y) = X(x,y f(x,y))g(x,y) = X(x,y f(x,y)), , risulta risulta ggyy = X = Xyy + X + Xzz f fyy

Per GreenPer Green

denXenX zy ),,( 23

dxdyfXXA

yzy )( A

dxdyggdxXdx y

Se Se Y(x,y,z)Y(x,y,z) e e Z(x,y,z)Z(x,y,z) soddisfano soddisfanoipotesi analoghe con le loro derivateipotesi analoghe con le loro derivateopportune, e la superficie è opportune, e la superficie è rappresentabile esplicitamente anche rappresentabile esplicitamente anche nelle variabili nelle variabili x, zx, z e e y, zy, z, allora, allora

dnrotFZdzYdyXdx ,)(

con con F = (X,Y,Z)F = (X,Y,Z)TT

AAAA

nn