superficies de riemann - bifigopar/teaching/web_slides_cv_5_2015.pdf · por ejemplo, para un...
TRANSCRIPT
![Page 1: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/1.jpg)
Superficies de Riemann
● Raíz cuadrada
![Page 2: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/2.jpg)
Aplicación: Circuito RLC
(a) (b)
![Page 3: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/3.jpg)
Para el circuito (a):
De la ley de Ohm con
Aplicación: Circuito RLC
![Page 4: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/4.jpg)
Aplicación: Circuito RLC
Es más conveniente utilizar un voltaje complejo
● Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones lineales que relacionan al voltaje y a la corriente:
![Page 5: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/5.jpg)
Aplicación: Circuito RLC
● En resumen, si la respuesta “matemática” a un voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la respuesta “real” al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]
![Page 6: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/6.jpg)
● Para el circuito (b) en estado estacionario:
con con
tenemos tenemos
De aquí se definen las impedancias (resistencias puramente imaginarias)
Aplicación: Circuito RLC
![Page 7: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/7.jpg)
Aplicación: Circuito RLC
Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]:
Tomando la parte real
tenemos finalmente
![Page 8: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/8.jpg)
Aplicación: Circuito RLC
Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas del “voltaje complejo” para una interpretación del resultado:
Definiendo y
Entonces
es decir
● De modo que el voltaje y la corriente difieren en amplitud ( ) y están desfasados por una fase
![Page 9: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/9.jpg)
Aplicación: circuito RLC
● Equivalentemente, un circuito está descrito por una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff).
Por ejemplo, para un circuito RLC
![Page 10: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/10.jpg)
Aplicación: circuito RLC
tenemos la ec. diferencial
: carga● Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal
La ec. diferencial se resuelve suponiendo que
y
● Sustituyendo Q y V encontramos:
![Page 11: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/11.jpg)
Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
De aquí que la corriente I, dada por
con
viene dada por
![Page 12: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/12.jpg)
Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
o bien, introduciendo la impedancia Z:
● Finalmente, considerando la parte real
![Page 13: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/13.jpg)
Integración Compleja● Hemos visto que la noción de derivada vista en
Cálculo (variables reales) se ve modificada debido al caracter bidimensional del plano complejo, e.g., una función puede aproximarse a un límite desde un número infinito de direcciones.
● Este caracter bidimensional afecta también a la teoría de integración.
● Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo de curvas en el plano (no únicamente sobre segmentos del eje x)
● Uno de los resultados principales que veremos es el teorema de Cauchy
![Page 14: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/14.jpg)
Integración compleja
● Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real.
Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t:
● Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones. En particular, el teorema fundamental del Cálculo.
![Page 15: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/15.jpg)
Integración compleja
● Sin embargo, tenemos la siguiente propiedad:
![Page 16: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/16.jpg)
Integración compleja (contornos)
● Contornos o caminos
Imaginemos que trazamos una curva en el plano complejo, en un intervalo de “tiempo”:
De modo que en un instante “t” dibujamos el punto
De esta manera podemos considerar que es el rango de la función
Se dice que es una parametrización de
![Page 17: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/17.jpg)
Integración compleja (contornos)
● Al conjunto de puntos z=(x,y) en el plano complejo se les llama arco o camino, si
e
son funciones continuas del parámetro t
Existen diferentes tipos de arcos (caminos),e.g.:
● Arcos simples (suave):● Arcos simples cerrados:● Arcos no simples: 8
suaveNo suave
![Page 18: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/18.jpg)
Integración compleja (contornos)
También el orden de los puntos del arco es importante, usualmente esto se indica con una flecha
Así, el punto precede a si
![Page 19: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/19.jpg)
Integración compleja (contornos)● Contorno
Se le llama contorno (o C ) a una secuencia finita de curvas , tal que el punto final de la curva coincide con el punto inicial de la curva . Se puede decir que
● Si el punto final e inicial del contorno coinciden, el contorno es cerrado
● Un contorno cerrado simple es aquel que divide al plano en dos dominios: el interior que es acotado y el exterior que no es acotado
![Page 20: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/20.jpg)
Integración compleja (contornos)Comentarios:
● La parametrización de un arco no es única● Un mismo conjunto de puntos pueden formar
distintos arcos● La longitud de un arco no depende de la
parametrización y está dada por (como en Cálculo):
![Page 21: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/21.jpg)
Integración compleja (contornos)● Se dice que el arco descrito por z(t) es un arco
diferenciable si las derivadas
son continuas en el intervalo
Además la función
es integrable en el intervalo
● Aún más, se dice que el arco es suave si z'(t) es continua y no nula en el mismo intervalo
![Page 22: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/22.jpg)
Integración compleja (contornos)
● Integrales de contorno (o de camino)
Las integrales de camino dependen, en general, de la curva (suave) que va de un punto a al punto b y de la misma función f(z), por supuesto. Se denota la integral como
Si la curva está descrita por una parametrización z=z(t) con
![Page 23: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/23.jpg)
Integración compleja (contornos)
Entonces
Nótese que al considerar una curva suave, la derivada z'(t) existe.
Además la integral es independiente de la parametrización utilizada.
![Page 24: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/24.jpg)
Integración compleja (contornos)
Si es la curva/camino sobre la que se integra f(z(t)), la curva , recorre los mismos puntos, pero en sentido inverso y
● Si un contorno está formado por curvas suaves y f es continua en ,entonces
![Page 25: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/25.jpg)
Integración (Teorema de Cauchy)
Primitivas
Vamos a estudiar las condiciones bajo las cuales las integrales de camino no dependen del contorno utilizado.
● Esto nos lleva a introducir el concepto de función primitiva F (continua en un dominio D) tal que:
F'(z) = f(z) para toda z en el dominio D
![Page 26: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/26.jpg)
Integración (Teorema de Cauchy)
Antes veamos el siguiente resultado sobre cotas superiores para el módulo de una integral de camino
● donde M es una constante tal que y L la longitud del contorno/camino
![Page 27: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/27.jpg)
Teorema: Sea f(z) una función continua en un dominio D. Las siguientes proposiciones son equivalentes:
i) f(z) tiene una primitiva F(z) en D
ii) todas las integrales de f(z) sobre contornos contenidos en D, con punto inicial z1 y punto final z2 , tienen el mismo valor
iii) Las integrales de f(z) sobre contornos cerrados contenidos en D tiene valor cero
![Page 28: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/28.jpg)
Integración (Teorema de Cauchy)
Teorema de Cauchy
Este teorema establece que si f(z) es una función analítica y su derivada f '(z) es continua en cada punto dentro y sobre el contorno cerrado simple C, entonces
![Page 29: Superficies de Riemann - BIFIgopar/TEACHING/web_slides_CV_5_2015.pdf · Por ejemplo, para un circuito RLC. Aplicación: circuito RLC tenemos la ec. diferencial: carga Notemos que](https://reader035.vdocuments.net/reader035/viewer/2022062505/5bb4d2f709d3f2b63a8b8304/html5/thumbnails/29.jpg)
Integración (Teorema de Cauchy)
Teorema de Cauchy-Goursat
La condición sobre la continuidad f´'(z) puede omitirse como lo demostró Goursat
● Así, si f es función analítica en un dominio simplemente conexo D y C cualquier contorno cerrado en D, entonces