superficies de segundo orden - unal.edu.co
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SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN
4 2 5 9 9
U N I V E R S I D A D N A C I O N A L DE C O L O M B I A
S E C C I O N A L M A N I Z A L E S
DEPARTAMENTO DE C I E N C I A S
MARZO. 1987
L U I S A L V A R O S A L A Z A R S A L A Z A R
A mi esposa
A mis hijos
A la Universidad Nacional de Colombia
TABLA DE CONTENIDO
pág.
INTRODUCCION 1
FUNCION REAL DE VARIAS VARIABLES 3
GRAFICA DE UNA FUNCION REAL DE VARIAS VARIABLES 4
CONJUNTOS DE NIVEL Y SECCIONES DE UNA FUNCION REAL DE VARIAS VARIABLES 9
TECNICA DE CONJUNTOS DE NIVEL Y SECCIONES PARA REPRESEN-TAR LA GRAFICA DE UNA FUNCION REAL DE VARIAS VARIABLES 28
TECNICA DE CONJUNTOS DE NIVEL Y SECCIONES PARA REPRESEN-TAR LA GRAFICA DE OTRAS SUPERFICIES 29
SUPERFICIES CUADRICAS O DE SEGUNDO ORDEN 42
SUPERFICIES CUADRICAS EN POSICION CANONICA 43
SUPERFICIES CUADRICAS TRASLADADAS 87
SUPERFICIES CUADRICAS ROTADAS 95
SUPERFICIES CUADRICAS ROTADAS Y TRASLADADAS 117
OBSERVACIONES 132
BIBLIOGRAFIA 135
La perfección derrotaría a
la muerte porque no tendrían
fin las formas de la vida.
Julio Ernesto Márquez
INTRODUCCION
Uno de l o s temas de matemática elemental más t raginados en l a s
ca r re ras de a p l i c a c i ó n como en l a misma matemática es l a Geometría
A n a l í t i c a ; pr incipalmente por e l soporte g r á f i c o que aporta en
e l proceso de obtención de o t ros conceptos de a l t o grado de
abst racc ión y a l mismo tiempo por l a hab i l i dad que se requiere para
l l e v a r a l a imaginación elementos suyos de d i f í c i l o imposible
representación g r á f i c a .
Los métodos de t r a b a j o t r a d i c i o n a l e s de l a Geometría A n a l í t i c a
son muy elegantes e in tachab les , pero han tenido d i f i c u l t a d e s
con l a s genera l i zac iones y a g i l i d a d de algunos procesos. Esos
mismos métodos han cont r ibu ido notablemente a l d e s a r r o l l o de una
joven d i s c i p l i n a matemática llamada Algebra L i n e a l ; l a cua l por
su carác te r a l g o r í t m i c o re t roa l imenta ahora a l a Geometría A n a l í t i c a
con métodos mas generales y á g i l e s .
Este t r a b a j o se propone poner a l alcance de estudiantes de primeros
semestres de Carreras de a p l i c a c i ó n de l a matemática, un a lgor i tmo
proporcionado por e l A lgebra L i n e a l , para t r a t a r con mas
genera l idad, a g i l i d a d y l i b e r t a d unos objetos de l a Geometría
A n a l í t i c a de no f á c i l manipulación por o t ros métodos y que se
conocen como Super f i c ies de Segundo Orden o Super f i c ies Cuádricas.
En este orden de ideas , e l autor considera importante que con
este t ratamiento se i n c l u y a este tema en una as ignatura , que por
su forma de a p l i c a r l o s métodos d e l A lgebra L i n e a l a l a Geometría
A n a l í t i c a , hemos denominado Geometría V e c t o r i a l , con l a evidente
precaución de que se estudien antes l a s curvas de segundo orden
o cón icas .
F U N C I O N R E A L DE V A R I A S V A R I A B L E S
las llamaremos las va r iab les independientes de l a función f . E l
3
Estamos muy fami l i a r i zados con e l concepto de función r e a l de
una v a r i a b l e r e a l , pero probablemente no, con e l concepto de función
r e a l de var ias va r iab les rea les .
Llamaremos función r e a l de var ias var iab les reales a una función
f con dominio un sub-conjunto A de R n y reco r r ido un sub-conjunto
B de R. Como un elemento X de A se nota
donde cada es una va r iab le r e a l para
va lor de l a función es o t ra va r iab le r e a l , que notaremos que de-pende de l o s valores de por l o cual esta va r iab le
se llama va r iab le dependiente de la función. Todos estos
hechos se resumen en l a expresión
La función f de f in ida por l a expresión
donde son var iab les r e a l e s , v e s una función r e a l de
dos var iab les rea les .
La función g def in ida por l a expresión
donde son var iab les rea les , es una función rea l de
4
Sabemos que s i f es una función de R en R con dominio D, l a g r á f i c a
de f es e l subconjunto de const i tu ido por los puntos de l a
forma »cuando x está en D, es d e c i r ,
La g r á f i c a de f puede ser una curva continua del plano, o puede
ser l a reunión de var ios sectores de curvas o simplemente un conjunto
de puntos separados de l plano.
Para una función r e a l de var ias var iab les de l a forma
l a g r á f i c a de f es e l subconjunto de const i tu ido por los puntos
de l a forma
g r á f i c a de
con en e l dominio de f , es d e c i r ,
g r á f i c a de
La g r á f i c a del f puede ser una super f i c i e continua de , o puede ser l a reunión de var ios sectores de super f i c ies ó simplemente
un conjunto de puntos separados del espacio.
En general l a g r á f i c a de una función rea l f de n var iab les con
o
GRAFICA DE UNA FUNCION REAL DE VARIAS VARIABLES
t res var iab les rea les .
En l o sucesivo para r e f e r i r n o s a una función r e a l de var ias var iab les
reales diremos solamente función rea l de var ias va r iab les ó s imple-
mente función de var ias var iab les
5
l a podemos representar en e l plano como aparece en l a f i g u r a 1.
Una pregunta surge de inmediato: ¿Cómo se hace una representación
en e l plano de l a g r á f i c a de una función rea l de dos var iab les?
ó ¿Cómo se hace l a g r á f i c a de una función rea l de dos var iab les?
Las técnicas son var ias y para algunas g rá f i cas se requiere de
técnicas muy especial izadas como e l cá lcu lo d i f e r e n c i a l de funciones
de var ias var iab les ó e l computador. E l l i b r o CALCULO VECTORIAL
de J e r r o l d E. Marsden y Antony J . Tromba, publicado en español
por Fondo Educativo Interamericano, S . A . , en 1981, muestra en sus
f i guras 2.1.15, 2.2.14, 2.2.15, 2.2.16, 2.7.1 y 2 .7.2, g rá f i cas
de funciones de dos var iab les generadas por computador. x
Estudiaremos a continuación una técnica llamada de conjuntos de
n i v e l y secciones, pero para eso debemos antes conocer que es un
conjunto de n i v e l y que es una sección.
Naturalmente l a g r á f i c a de una función rea l de n v a r i a b l e s , no
l a podemos t r a z a r o d i b u j a r . La g r á f i c a de una función r e a l de
una va r iab le l a dibujamos en un plano. De l a g r á f i c a de una función
rea l de dos var iab les podemos hacer una representación en e l plano,
aunque l a g r á f i c a es un subconjunto de . Por ejemplo l a función
g r á f i c a de
dominio U es e l subconjunto de cons t i tu ido por los puntos
de l a forma
con
Figura 1. Representación en el plane de la aráfica de la funninn
7
FIGURA N O . 1
9
C O N J U N T O S DE N I V E L Y S E C C I O N E S DE UNA F U N C I O N R E A L
DE V A R I A S V A R I A B L E S .
Cuando l o s topógrafos quieren d e s c r i b i r l a forma de un t e r r e n o ,
en un plano, l o hacen dibujando las curvas que representan en
e l te r reno una a l t u r a constante. Estas curvas se llaman curvas
de n i v e l . Así una curva de n i v e l es l a t r a y e c t o r i a que describimos
a l caminar sobre e l ter reno permaneciendo a una a l t u r a f i j a . Para
cada v a l o r de l a a l t i t u d se obtiene una curva de n i v e l y con todas
l a s curvas de n i v e l se hace e l llamado mapa t o p o g r á f i c o .
S i a una montaña l e asignamos un sistema coordenado x Y h , donde
h representa l a a l t u r a , l a s u p e r f i c i e de l a montaña será posiblemen-
de n i v e l y mapa topográ f i co de l a montaña, observemos l a s f i gu ras
2 y 3.
te una func ión Para i l u s t r a r l o s conceptos de curvas
Cada curva de n i v e l está formada por l o s puntos de l plano x Y
que sa t i s facen l a ecuación.
donde X es una constante r e a l .
Las curvas de n i v e l son casos par t i cu la res^de conjuntos de n i v e l ,
son l o s conjuntos de n i v e l de una función r e a l de dos va r iab les .
En genera l , s i f es una func ión r e a l de n va r iab les con dominio
D, y k es un número r e a l f i j o , e l conjunto de n i v e l de v a l o r k ,
está c o n s t i t u i d o por todos l o s puntos X de D para l o s cuales
S i n = 2 l o s conjuntos de n i v e l se llaman curvas de n i v e l y s i
n = 3 l o s conjuntos de n i v e l se llaman s u p e r f i c i e s de n i v e l .
Veamos algunos ajemplos. Ya mostrados en l a f i g u r a 1 l a g r á f i c a
Figura 2. Curvas de n i v e l de una montaña para a l tu ras de G, 10. 20, 30, y 35 metros.
F I G U R A N O . 2
11
Figura 3. Mapa topográf ico de Aquí solo se muestran de h: 0, 10, 20, 30 y
l a montaña mostrada en l a f i g u r a 2. las curvas de n i v e l para los valores 35 metros.
F I G U R A N O . 3
13
de la función
Analicemos para esta función algunos conjuntos de nivel. Llamemos
, es decir,
Z es entonces siempre mayor o igual a cero. Si Z = 0; entonces
lo cual solo es posible si x = 0 y Y = 0« due
el conjunto de nivel para Z = D es
y el conjunto de nivel es Si Z = 1; entonces
Si Z = 2; entonces y el conjunto de nivel es
tales que
Si Z = 3; el conjunto de nivel es
tales que
En general si Z = a para a un número real positivo,
el conjunto de nivel es
tales que
En la figura 4 mostramos los conjuntos de nivel que hemos analizado
Al observar la figura 4 podemos elevar mentalmente cada conjunto
r e s z = 0 , z = 1, z = 2 , z = 3, z = s .
F I G U R A NO. 4
17
Figura 4 . C o n j u n t o s de n i v e l de p a r a l o s v a i o
19
La forma de parábola que t iene l a g r á f i c a de esta función se puede
p e r c i b i r de o t ra manera d i s t i n t a a l mero esfuerzo mental de imagi -
nársela. Esa manera está l i gada a l concepto de sección.
una hoja de papel encurvada en forma de una parabola. La s u p e r f i c i e
que muestra l a f i g u r a 7 se acostumbra a l lamar c i l i n d r o parabó l ico .
Una idea i n t u i t i v a de la g r á f i c a de la función es:
Si elevamos mentalmente cada curvS de n i v e l de l a f i g u r a S a l a
a l t u r a indicada por Z y hacemos que Z tome todos los va lores p o s i -
b les , formados en l a mente l a g r á f i c a que nos muestra l a f i g u r a
7.
La f i g u r a 6 muestra algunas curvas de n i v e l de l a función
está cons t i tu ido por las rectas para
y para a un numero r e a l p o s i t i v o , e l conjunto de n i v e l
de n i v e l para Z = 4 está const i tu ido por las rectas Y
Analogamente e l conjunto por las rectas
número r e a l . Luego e l conjunto de n i v e l para Z = 1 está cons t i tu ido
S i siendo también en este caso Y cualquier
es l a recta junto de n i v e l para
y entonces pero Y es cualquier número r e a l , así que e l con-
t é , Z es entonces siempre mayor o i g u a l a cero. Cuando siendo así Z l a va r iab le dependien
Como segundo ejemplo analicemos los conjuntos de n i v e l de la fun-
c ión
de n i v e l a l a a l t u r a indicada por Z. Y s i hacemos que Z tome todos
los valores reales posib les vamos formando en l a mente la g r á f i c a
de l a func ión, l a cual "vac iada" en e l papel nos dará l o que muestra
la f i g u r a 5 ó l a f i g u r a 1.
Figura 5. Curvas de nivel de la función la gráfica
llevadas a
F I G U R A N O . 5
21
Figura 6. Curvas de n i v e l de la función z = x2
F I G U R A N O . 6
23
Figura 7.
Gráfica de
la Función F
IGU
RA
NO
. 7
27
Para los ejemplos que hemos mostrado podemos d e s c r i b i r les conjuntos
de n i v e l como las intersecciones de l a g r á f i c a con planos hor i zonta -
l e s . Haciendo una analogía con esta descr ipc ión de los conjuntos
de n i v e l , una sección es la in tersecc ión de l a g r á f i c a con un
plano v e r t i c a l perpendicular a alguno de l os e jes . Luego, en l a
las secciones son parábolas o rec tas . función
Si es una función r e a l de n var iab les con
dominio D, un conjunto de n i v e l de f l o obtenemos cuando hacemos
que l a va r iab le dependiente tome un valor constante.
Con esta observación al concepto de conjunto de n i v e l , formalizamos
e l concepto de sección de una función real de n variables a s i :
Si f es una función real de n variables con dominio D, llamaremos
sección a l conjunto de que satisface la ecuación que se obtiene
al hacer que una variable indepen diente tome un va lor constante.
Si e l va lo r constante tomado por la variable independiente es
cero, l a sección se llama sección cero.
De esta forma los conceptos de conjunto de nivel y de sección
se d i fe renc ian en e l hecho de que la va r iab le aue se hace constante
sea dependiente o independiente, respectivamente y en e l hecho
de que e l conjunto de n i v e l es un sub-conjunto de l dominio de
la función y la sección no.
Pero esta es apenas una idea i n t u i t i v a de sección. Para dar una
d e f i n i c i ó n más formal de sección es necesario que hagamos una
observación a l concepto de conjunto de n i v e l , relacionada cor
lo que hemos llamado var iab les dependientes e independientes de
una func ión.
28
Técnica de Conjuntos de n i ve l y secciones para representar l a g rá f i ca
de una función real de var ias v a r i a b l e s .
Antes que todo advertimos que esta técnica no resuelve el problema de
representar l a g r á f i c a de toda función de varias va r iab les . Algunas
funciones requieren del cá lcu lo d i f e r e n c i a l de var ias var iab les para
poder tener una representación aceptable de la g r á f i c a . Para otras
funciones no es posib le representar su g r á f i c a en un plano o en el es-
pacio. Por ejemplo las funciones de en
En las funciones de en l a técnica de conjuntos de nivel y secc io -
nes, consiste en d ibu jar en un plano un sistema coordenado para en
ese sistema coordenado, se dibujan los conjuntos de n ive l cada uno a la
a l t u r a señalada por l a va r iab le dependiente y sobre el plano correspon-
diente, en ese mismo sistema coordenado se dibujan las secciones cada
uno en el plano señalado por l a var iab le independiente; f inalmente se
completa l a g r á f i c a con los deta l les que se consideren necesarios. A l
d ibu jar los conjuntos de n ive l y las secciones en el sistema coordenado
para debe tenerse en cuenta que se está representando en un plano
, o sea tener en cuenta la un subconjunto no precisamente plano de perspect iva.
Analicemos ahora como ejemplo los conjuntos de nivel y las secciones de
l a función
f ( x , y ) = y 2 - x 2 ,
con el proposi to de u t i l i z a r l o s para d ibu jar l a g r á f i c a .
Estudiemos primero los conjuntos de n i v e l .
Si Z = f ( x , y ) , Z es la var iab le dependiente
obtenemos de que el conjunto de n ive l es una h ipér -
Para se t iene que entonces resultando
que el conjunto de nivel está const i tu ido por dos rectas que se cortan
en el or igen.
29
bola con focos sobre el e je y asíntotas
entonces El conjunto de n ive l es una h ipérbola con
focos sobre el e je y asíntotas
entonces el conjunto de n ive l es la h ipérbola con ecuación con focos sobre el e je x y con asíntotas
el conjunto de n ive l es la h ipérbola con ecuación
focos sobre el e je x y con asíntotas
Estos conjuntos de n ive l se han dibujado en la f i g u r a 8. Al hacer siendo a un número real cua lqu iera , el conjunto de n i -
vel t iene como ecuación y podemos asegurar que todos los con-
juntos de n i v e l de esta función son h ipérbo las , admitiendo que un par
de rectas que se cortan es un caso de degeneración de la h ipérbola.
De las secciones analizaremos tan solo dos:
Si entonces y l a sección es una parábola con v é r t i c e en el or igen del plano XZ, e je de s imet r ía el e je Z y que abre hacia abajo.
Si entonces la sección es una parábola con ecuación , v e r -t i c e en el or igen del plano Y Z, e je de s imet r ía el e je Z y que abre hacia a r r i b a .
La g r a f i c a de la función está dibujada en la f i g u r a 9 y se acostumbra a l lamar s i l l a de montar o también paraboloide h ipe r -
bó l i co . Más adelante explicaremos porque esa s u p e r f i c i e t iene ese se-
gundo nombre.
Técnica de Conjuntos de Nivel y Secciones para representar l a g r á f i c a
de otras s u p e r f i c i e s ,
Hasta ahora hemos estudiado l a técnica de conjuntos de n ive l y secc io -
nes para estud iar la g r á f i c a de una función real de dos v a r i a b l e s , la
cual generalmente es una s u p e r f i c i e de Pero ex i s ten super f i c ies cuya ecuación en coordenadas cartesianas no representa a una
función real de dos va r iab les , Por ejemplo la ecuación
Figura 8. Curv/as de nivel de la función f ( x , y ) = y2 _ x 2 .
t
F I G U R A N O . 8
Figura 9. Gráfica de la función
F I G U R A NO. 9
33
Observe que tiene forma de siila de montar.
no representa a una función real de dos variables, porque si tomamos a Z como variable dependiente, al despejar Z de la ecuación obtenemos
35
obtiene para Si- el conjunto de nivel es también una el ipse, la misma que se
la cual tiene como representación en a una el ipse.
S i , entonces el conjunto de nivel tiene con ecuación
e l conjunto de nivel tiene como ecuación venio veamos algunos conjuntos de nivel : variables independientes son, por consiguiente, Con este con-
ninguna de las variables es función de las otras dos, entonces por conveniencia ( l a cual analizaremos mas adelante) tomaremos como var ia-ble dependiente Y por estar acompañada atrás por el signo menos. Las
, cuya representación en es una el ipse.
te propósito también utilizaremos la técnica de los conjuntos de nivel y secciones y también para mostrar un ejemplo en el cual se puede u t i -l i z a r esa técnica aunque no se trate de una función. En la ecuación
como podemos evidenciarlo enseguida. Con es-es una superf icie de
lo cual s ign i f i ca que para los mismos valores de se pueden obte-ner valores diferentes de Z, A la misma conclusión se l lega si toma-mos a x como variable dependiente o y como variable dependiente. Sin-embargo la gráf ica de la ecuación
36
Esta superficie se acostumbra a llamar la hiperboloide e l ip t i co de una hoja porque sus secciones son hipérbolas y sus conjuntos de nivel son elipses y porque la gráf ica está constituida por una sola superf ic ie. En general el lector puede ver i f i car con esta técnica que la ecuación
con a, b y c números reales posit ivos, tiene como gráfica un hiperbo-loide e l ip t i co de una hoja.
y representa en una hipérbola con focos sobre el eje x. En la f i -gura 11 se aprecian los conjuntos de nivel y las secciones de la su-perf ic ie .
y que es una hipérbola con focos sobre el eje 1, Si la sección tiene como ecuación
Si la sección tiene como ecuación
Concluimos asi que cualquier conjunto de nivel es una el ipse. Estos conjuntos de nivel los mostramos en la f igura 10. También en este caso solo necesitamos calcular dos secciones, la sec-
y la sección ción
es una elipse con ecuación Si- para cualquier k número real, entonces el conjunto de nivel
F igura 10. Conjutos de n i v e l de l a ecuación
4 9 16
F I G U R A N O . 10
38
Figura 11. Grá f ica de la ecuación x.2_ j¡/2 z2 1 A 9 16
F I G U R A N O . 11
40
Superficies Cuádratj cas ó de Segundo Orden.
En el estudio de las curvas en el plano, se da un tratamiento especial a las llamadas "c6n¿c.ca", Etimológicamente "c6níc.a" es: intersección de un cono c i rcular recto con un plano. Según la forma como el plano corte al cono se obtienen dos tipos diferentes de cónicas. Si el pla-no corta al cono sin pasar por el vér t ice , se obtiene una cónica "no de.gznQJia.da": hipérbola, parábola o elipse (según que el plano sea pa-ralelo a dos, a una ó a ninguna de las generatrices del cono). Si el plano pasa por el vértice del cono se obtiene una cónica degenerada (un punto, una circunferencia, una recta, un par de rectas secantes, ó s i el cono degenera en un c i l indro , el vért ice del cono se "a tz ja " al inf in i to , resultando entonces dos rectas paralelas).
Estas curvas llamadas cónicas no degeneradas también se pueden c las i -f i ca r , según la posición en la cual esten con respecto a un sistema coordenado cartesiano xy , así : En posición canónica (focos sobre uno de los ejes y centro en el origen para elipse y la hipérbola y foco sobre uno de los ejes y vért ice en el origen para la parábola), trans-ladadas (centro en un punto diferente del origen y focos sobre una rec-ta paralela a uno de los ejes para la elipse y la hipérbola y foco so-bre una recta paralela a uno de los ejes y vértice en un punto diferen-te del origen para la parábola), o rotadas (focos en una recta no para-lela a los dos ejes centro en el origen, para la elipse y la hipérbola y vert ice en el origen y foco en una recta no paralela a los dos ejes, para l a parábola). Es importante notar que podemos encontrar casos de cónicas rotadas pero no transladadas, cónicas transladadas pero no ro-tadas y también cónicas rotadas y transladadas.
A las cónicas también se les llama curvas de segundo orden porque su ecuación cartesiana siempre es de la forma
ax2 + 2b xy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0,
es decir, una ecuación general de segundo grado en dos variables. Ade-más se puede demostrar que cuando el conjunto solución de la ecuación
42
general de segundo graao no es vacio, es una cónica (admitiendo dege-neraciones).
Ahora en el estudio de las superficies de CH3 , nos dedicaremos a a l -gunos casos especiales, llamados superficies de segundo orden o super f i c ies cuádraticas.
Para estudiar estas superficies de segundo orden, las clasificaremos inicialmente en tres tipos segün su posición con respecto a un s is te -ma coordenado cartesiano para EK3 : En posición canónica, translada-das y rotadas.
Superficies Cuádraticas en Posición Canónica,
Aunque tratemos en esta sección solamente las superficies cuádricas en posición canónica, estará impl íc i ta en este tratamiento la def in i -ción general de superficie cuádrica, ya que, como se podrá ver más adelante, una superficie cuádrica rotada o transladada siempre se po-drá l levar a posición canónica con una adecuada escogencia de ejes coordenados, ó, dicho de otra forma toda superficie cuádrica está en posición canónica para algún sistema coordenado. Mostrar cómo encon-trar el sistema coordenado donde una superficie cuádrica está en posi-ción canónica, es uno de los objetivos principales' de este escrito.
Apoyados en el conocimiento que ya tenemos de la técnica de conjuntos de nivel y secciones para estudiar las gráficas de superficies y fun-ciones reales de varias variables, definimos como superficie cuá-drica en posición cónica a todo conjunto de nivel no vacio o sección cero no vacío de una función f de CR3 en ER de la forma
f ( x , y , z ) = Ax2 + By2 + Cz2
donde A, B y C son constantes reales, no todas simultáneamente iguales
a cero.
Como ya lo dijimos atras los conjuntos de nivel y las secciones de una función de CR3 en D* son superficies de CR3 y para poderlas graf icar
43
también utilizaremos la técnica de los conjuntos de m'yel y las seccio-nes, con lo cual, no solo podremos esbozar la gráf ica, sino que también le podremos asignar un nombre» reciprocamente al conocer como son, las secciones y los conjuntos de n ive l , sabremos como se llama y enton-ces esbozar la gráf ica,
Naturalmente se entiende que no nos proponemos estudiar la gráfica de la funci&n,
f ( x , y , z ) = Ax2 + By2 + Cz2
porque sabemos que es un subconjunto de CR4
Como algunos de los conjuntos de nivel o secciones de la función
f ( x , y , z ) = Ax2 + By2 + Cz2
no representan funciones de D*2 en $ (situación que se d ivers i f i ca mucho dependiendo de cual o cuales de las constantes A, B y C sean ce-ro ó de los signos de dichas constantes),es necesario que establezca-mos un c r i te r i o para la nominación o designación de las variables de-pendientes o independientes para los casos en los cuales la sección o el conjunto de nivel no representa a una función. (Ya sabemos que cuando se tiene una función las variables independientes son las va-riables de la función).
Para eso llamemos w al valor de la función f en el punto ( x , y , z ) o sea, f ( x , y , z ) = w . AsT la definición de está función toma la forma:
ü) = Ax2 + By2 + Cz2
Si A, B y C son todos positivos o todos negativos u> es la variable de-pendiente en cualquiera de las secciones de f . En los conjuntos de n ive l , una cualquiera de las variables se puede f i j a r como dependien-te y las otras dos independientes. Este mismo c r i te r io de designación utilizaremos en el caso de que una de las constantes A, B ó C sea ce-ro y las otras dos tengan el mismo signo. En cualquier otro caso fijaremos como variable dependiente aquella que esté precedida por signo diferente, es decir, si dos están precedidas por signo menos esas serán las independientes y la otra la dependiente
44
si dos están pre ce di des por signo más estas serán las independientes y la otra la dependiente,
De acuerdo con estos cr i ter ios de asignación de variable dependiente e independiente les daremos los siguientes nombres a las superficies cuádricas:
1, Elipsoide, Si todas las secciones y todos los conjuntos de nivel son el ipses,
2, Hiperboloide e l i p t i c o . Si las secciones son hipérbolas y los con-juntos de nivel son elipses. Se presentan dos tipos diferentes de hiperboloides e l ip t icos :
a) Todos los conjuntos de nivel son diferentes de vacio, se llama hiperboloide e l íp t i co de una hoja.
b) Algunos conjuntos de nivel son vacios, se llama hiperboloide e l ip t ico de dos hojas.
3, Paraboloide e l i p t i co . Si todas las secciones son parábolas y los conjuntos de nivel son elipses,
4, Paraboloide hiperbólico (o s i l l a de montar). Si todas las seccio-nes son parábolas y los conjuntos de nivel son hipérbolas.
i 5, Cono e l i p t i co . Si las secciones cero son pares de rectas secantes
y los conjuntos de nivel son elipses.
6, Superficies cuádricas degeneradas, Cualquier otro caso diferente a los anteriores, Entre estas se encuentran los ci l indros (repre-sentación gráfica en CR 3 de una ecuación cartesiana con solo dos variables). Los nombres de los ci l indros pueden determinarse más exactamente al conocer su d i rec t r i z . Si la d i rec t r i z es una e l ip -se se dice c i l indro e l i p t i c o , si la d i rec t r i z es una parábola
45
se dice c i l indro parabólico y se dice c i l indro hiperbólico s i la d i -rec t r i z es una hipérbola, La esfera es un caso de elipsoide degene-rado.
Ahora s i podemos comprender claramente que la superficie mostrada en la f igura 11 se llama hiperboloide e l ip t i co de una hoja (las seccio-nes son hipérbolas y los conjuntos de nivel elipses, ninguno es vacio) y que las superficies de las figuras 7 y 9 se llaman c i l indro parabó-l i c o y paraboloide hiperbólico respectivamente, Las superficies mos-tradas en las figuras 7, 9 y 11 son superficies cuádricas en posición canónica,
A manera de ejemplo e i lustración de lo dicho hasta ahora sobre super-f ic ies cuádricas, analicemos enseguida algunos conjuntos de nivel y al gunas secciones de la función
f ( x , y , z ) = Ax2 + By2 + CZ2
determinando de antemano cuales de las constantes A o B ó C son cero
y el signo de las que no son cero.
1. Si A = 1/a2; B = 1/b2; C = 1/c2 para a, b y c números reales po-s i t i vos , entonces
u> = f ( x , y , z ) = - ^ + X 2 + J L 2 , ó , a2 b 2 c 2
_ x2 y 2 z2
a2 b2 c2
Estudiemos algunos conjuntos de nivel de f . Veamos el conjunto de nivel u> = O Si o» = O, entonces
x % lK O a2 b2 c2
Claramente el único punto de CR3 que s a t i s f a c e es t a i g u a l d a d es ( 0 , 0 * 0 ) .
Así el conjunto de nivel es un punto.
46
Si w = k 2 , para k una constante posi t iva, entonces
47
ó
y
Son elipses.cuando no son vacios. Las secciones x = 0 y y = 0 son
y es una elipse en el caso en que el valor absoluto de h es menor que ck, es un punto en el caso en que el valor absoluto de h es igual a ck y es vacio en el caso en que el valor absoluto de h es mayor que ck. Asf vemos claramente que los conjuntos de nivel de
o sea, una elipse en posición canónica con semiejes de longitud ak y bk respectivamente. Si z = h para h una constante real posit iva el conjunto de nivel satisface la ecuación
Esta ecuación está describiendo el conjunto de puntos de que cons-t i tuyen el conjunto de nivel w = k2 de la función f , pero no lo pode-mos reconocer aún. Para poderlo reconocer hallaremos sus conjuntos de nivel y sus secciones. Como ya acordamos atrás podemos llamar va-r iable dependiente a cualquiera de las variables. Sea z la variable dependiente. Si z = 0, el conjunto de nivel será el conjunto de puntos tales que
o
respectivamente. Como las secciones son elipses y los conjuntos de nivel son el ipses, entonces la ecuación
es la de un ELIPSOIDE, La gráf ica de este el ipsoide la mostramos en la f igura 12,
Sigamos analizando los conjuntos de nivel de f ,
Si u = - k 2 , para k una constante real cualquiera, entonces
Esta ecuación tiene solución vacía en ¡IR3.
Resumiendo, los conjuntos de nivel de f son: Para w = 0, un punto; para w = k un el ipsoide y para w = -k2 , vacio
Estudiemos ahora las secciones cero de f .
Si x = 0, entonces la sección será la superf ic ie cuya ecuación es
Esta superf ic ie no la podemos reconocer, pero para hacerlo estudiemos sus conjuntos de nivel y sus secciones. Como w es función de Y y de z , entonces w es la variable dependiente y Y y z las variables independientes.
Si a) = 0, el conjunto de nivel es el conjunto cuyo único elemento es (0,0).
Si ai = k2 , para k una constante real pos i t i va , entonces el conjunto
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Figui-a 12. Conjunto de n i v e l a) = k 2 de l a función Esta s u p e r f i c i e se llama E l ipso ide
F I G U R A N O . 12
de nivel será la elipse con ecuación
son elipses,cuando no son vacios; y las secciones son parábolas, en-tonces esa superficie se llama un PARABOLOIDE ELIPTICO.La figura 13 muestra la gráfica del paraboloide e l ip t i co .
Las otras secciones cero de f , cuyas ecuaciones son
para y = 0; z = 0 respectivamente, son también paraboloides e l íp t i cos , como efectivamente puede ver i f i ca r lo el lector a manera de^e.jercició.
52
con vértice en (0,0) y eje de simetría el eje w posit ivo
Como los conjuntos de nivel de
y con vért ice en (0,0) y eje simetría el eje w posi t ivo,
Si z = 0, la sección será la parábola cuya ecuación es:
Veamos las secciones. Si y = 0, entonces la sección será la parábola con ecuación
Si y = -,k2 , para k una constante real diferente de cero, entonces el conjunto de nivel es vacio.
con semiejes de longitud ak y ck respectivamente.
Figura 13. Sección x = O, de la función f(x,y,z) Esta superficie se llama Paraboloide Eliptico.
F I G U R A N O . 13
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Así hemos terminado el análisis de los conjuntos de nivel y seccio-nes de la función
2, Si
para a, b y c números reales posit ivos, entonces
ó
Estudiemos los conjuntos de nivel de f .
Si uj = 0, entonces
La superficie cuyos puntos satisfacen esta ecuación, tal vez no la podamos ident i f i car en este instante. Para poderla ident i f icar en-contremos sus conjuntos de nivel y sus secciones. En este caso, ninguna de las variables es función de las otras, pero x esta pre-cedida de signo posit ivo y las otras dos variables están precedi-das de signo negativo, por lo cual tomamos como variable dependien-te a x.
Si x = 0, el conjunto de nivel se reduce al punto (0,0). Si x = k, para k cualquier número real no cero, el conjunto de nivel será una elipse con ecuación
Es decir , todos los conjuntos de nivel son elipses.
56
Veamos ahora las secciones. Si y = 0, entonces
lo cual implica que
o , ecuaciones que corresponden a
un par de rectas que pasan por el origen.
Si z = 0, la sección está constituida por este par de rectas:
y y
que se cortan en el origen
Como èn la superficie con ecuación
>
los conjuntos de nivel son elipses y las secciones cero son pares de rectas que se cortan, entonces esa superficie es un CONO ELIPTICO.
La f igura 14 muestra la gráfica de ese cono e l ip t i co .
Otro conjunto de nivel de f se obtiene si hacemos u> = k 2 , para k cua quier constante real posit iva. La ecuación de ese conjunto de nivel es:
Para esquematizar la gráfica de esa superficie de n ive l , estudiemos sus curvas de nivel y sus secciones. Lo mismo que en el caso ante-r i o r , ninguna de las variables es función de las otras dos, entonces
57
o
Figura 14. Conjunto de n i v e l w= 0 de l a función
F I G U R A N O . 14
59
Esta super f i c i e se llama Cono E l i p t i c o
por la disposición de los signos le corresponde a x ser variable de-pendiente. Si x = 0, la ecuación del conjunto de nivel es
la cual no se satisface con ningún punto del plano Y Z, es decir el conjunto de nivel es vacio,
Si x = h, para h cualquier constante real no nula, la ecuación del conjunto de nivel es:
»
la cual tiene solución vacía cuando el valor absoluto de h es menor que ka, tiene solución un punto cuando el valor absoluto de h es i -gual a ka y tiene como solución una elipse cuando el valor absoluto de h es mayor que ka.
En síntesis algunos conjuntos de nivel de la superficie s o n vacios y los otros son elipses.
Veamos las secciones de la superf icie.
Si y = 0, la ecuación de la sección es
y representa a una hipérbola en posición canónica en el plano xy y con focos sobre el eje x .
Si z = 0, la ecuación de la sección es
61
y es una hipérbola en posición canónica en el plano xy con focos so-bre el eje x.
Como los conjuntos de nivel de esta superficie son algunos vacios y otros son elipses y las secciones son hipérbolas, entonces la super-f i c i e es un HIPERBOLOIDE ELIPTICO DE DOS HOJAS. La figura 15 muestra la gráf ica de esta superf ic ie.
Otro conjiunto de nivel de f , se obtiene cuando w = - k 2 , para cual-quier constante real posit iva k. La ecuación de esa superficie de nivel es
Para esbozar la gráfica de esta superficie se deben analizar los con-juntos de nivel y las secciones. Como ninguna de las variables es función de las otras dos, pero la variable x está precedida de signo menos, mientras que Y y z están precedidas de signo más, se toma a x como variable dependiente y a Y y z como variables independientes. Al hacer los cálculos correspondientes se obtiene una superficie co-mo la que muestra la f igura 11, pero con denominaciones diferentes en los ejes. Para ser más precisos mostramos en la figura 16 esta superficie de nivel llamada HIPERBOLOIDE ELIPTICO DE UNA HOJA.
En la f igura 17 mostramos todos los conjuntos de nivel o> = 0; w = k2 ; cu = - k 2 , de 1 a función
ó
62
Figura 15. Conjunto de n i v e l w = k2 de l a función
. Esta s u p e r f i c i e se l lama Hiperboloide E l i p t i c o de dos ho-j a s .
F I G U R A N O . 15
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Figura 16. Superficiede nivel u>= -k 2 de la función
Esta superficie
se l lama Hiperboloide E l i p t i c o ae una hoja
F I G U R A N O . 16
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F igura 17. Super f ic ies de n i v e l u)= 0, œ= k2 y uj= - k 2 de l a función
F I G U R A NO. 17
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dibujados en un Onico sistema de coordenadas.
Las secciones x = 0; y = 0; z = 0 de la función fTson las superfi-cies
: Paraboloide e l i p t i c o
: Paraboloide hiperbólico
: Paraboloide hiperbólico,
respectivamente. El lector puede rea l i zar , como e je rc ic ios , el aná-l i s i s completo de estas superficies y dibujar sus gráficas.
3. Si A = 0; para b y c números reales posi-
t i vos , entonces
ó
Estudiemos primero los conjuntos de nivel de f .
Si w = 0 ; ^ , es decir ,
^ ; x cualquier número real. Entonces
el conjunto de nivel w = 0 está constituido por un par de planos que se cortan en el eje x. La figura 18 muestra la gráf ica de esa superficie de nivel .
Si « = k 2 , para k, cualquier constante real posi t iva, entonces la ecuación de la superficie de nivel es:
70
Figura 18. Super f i c ies de n i v e l oj=0;o)=k2î u)=-k2 de l a función x2 2
f ( x , y , z ) = - 2 , . tr c¿
F I G U R A NO. 18
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k2 = já _ $ . _¿£ « ! b2 c2 (kb)2 (kc)2
con x cualquier número real. Esa superficie de nivel es entonces un c i l indro hiperbólico con generatriz el eje x y que corta al eje Y en los puntos (0,kb,0) y (O^-kb.O). Su gráfica se muestra también en la f igura 18.
Si oj = - k 2 , para k una constante real posit iva calquiera, entonces la ecuación de la superficie es:
k2 _ y 2 z2 Ó z2 y 2 = 1
b2 c2 (kc)2 (kb)2
con x cualquier número real. Esa superficie de nivel es entonces un c i l indro hiperbólico con generatriz el eje x y que corta al eje z en los puntos (0,0,kc) y ( 0 , 0 , - k c h En la figura 18 también se muestra esta superficie de nivel .
Ahora estudiemos las secciones cero de f .
Sección x = 0. Si x = 0, entonces la superficie obtenida tendrá ecuación
J¿1 z2 u = — -
b2 c2
y sabemos que esa superficie es un Parabolide hiperbólico o s i l l a de montar. Para convencerse de esto el lector puede analizar las cur-vas de nivel y las secciones. La figura 19 muestra la gráf ica de esta sección de f .
Sección y = 0. Si y = 0, entonces la superficie obtenida tendrá co-mo ecuación
z2 O) =