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SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 1 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Susceptibilités magnétiques
uniformes
comportements typiqueset méthodes de mesure
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 2 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
M(H) dans différents cas
champ appliqué H
aimantation M
champ appliqué H
Msaturation
Mremanent
H
M
Paramagnétique ferromagnétique
Supraconducteur type II
M
champ appliqué H
aimantation M
Diamagnétique
réponse linéaire
réponse linéaire
réponse non
linéaire
réponse non
linéaire
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 3 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Susceptibilité uniforme dans quelques solides simples
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 4 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
où DE0 est la perturbation en énergie due à l’effet de B.
On doit donc faire un calcul au 2nd ordre en perturbation pour un Hamiltonien sous l’effet de B pour trouver DE0
B
E
V
N
BM
0H
0 B
M B
E
BV
N
00
Calcul de la susceptibilité uniforme magnétique
Susceptibilité uniforme
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 5 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Calcul pour les isolants avec des spins isolés
SBgV
m
rAepB
Z
ielectronsi
el
ii .2
)(
1
2
H
2/rBA
Z
ielectrons
ii
ii
Z
ielectrons el
ii rBm
erBp
m
e
m
p
m
rAep
1
222
1
2
82.
22
)(
LBprBrBpi
ii
i
ii .)().(
elB me /
Z
i
iB rBm
eSgLB
1
22
8).(0HH
On choisit une jauge
d’où
On reconnait le moment orbital
En écrivant il vient
finalement :
Hamiltonien d’un atome dans un champ magnétique
Susceptibilité uniforme dans les isolants
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 6 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
nn nnn EE
nnnnE
' '
2
0
0
'HHHH
)(0,, 22222
iiiii yxBxyBrB
Développement en perturbation au second ordre en gardant au plus les termes quadratiques avec B//Oz:
Z
i
iB rBm
eSgLB
1
22
8).(0HH
Susceptibilité uniforme dans les isolants
nn nn
BZ
i
iB EE
nSgLBnnrB
m
ennSgLnB
' '
2
1
22 ').(
8)(
nn nn
BZ
iiiB EE
nSgLBnnyxnB
m
enSgLnB
' '
2
1
2222 ').(
)(8
)(
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 7 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Diamagnétisme de Larmor
nn nn
BZ
iiiBn EE
nSgLBnnyxnB
m
enSgLnBE
' '
2
1
2222 ').(
)(8
)(
2
1
22
3
20)(0 rZyx
Z
iii
222
000
3
2
8rZB
m
e
BBV
N
B
E
BV
Ndia
22
0 6rZ
m
e
V
Ndia
Contribution de ce terme à la susceptibilité magnétique :
on utilise : où r = rayon ionique
On supp. qu’on est à suffisament basse température par rapport aux écarts en énergie, et on garde seulement l’effet sur le fondamental
Susceptibilité uniforme dans les isolants
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- négatif, faible, independant de T- existe dans tous les solides- est la seule contribution dans les isolants à couche pleine (où L=S=0)
Diamagnétisme de Larmor
T
c
22
0 6rZ
m
e
V
Ndia
Susceptibilité uniforme dans les isolants
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 9 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Différents diamagnétismes mis en évidence dans un gradiant de champ magnétique
graphite
Susceptibilité uniforme dans les isolants
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Différents diamagnétismes mis en évidence dans un gradiant de champ magnétique
graphitegrenouille
cupratesupraconducteur
Susceptibilité uniforme dans les isolants
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 11 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Paramagnétisme de Van Vleck
nn nn
BZ
iiiBn EE
nSgLBnnyxnB
m
enSgLnBE
' '
2
1
2222 ').(
)(8
)(
Contribution de ce terme à la susceptibilité magnétique : on garde seulement l’effet sur le fondamental
0 0
2
0000).(
n n
B
EE
SgLBn
BBV
N
B
E
BV
N
0 0
2
)(0
n n
B
EE
nSgLa
Susceptibilité uniforme dans les isolants
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 12 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
- positif, faible, indep. de T- existe seulement dans les solides à couches non pleines
Paramagnétisme de Van Vleck
T
c
0 0
2
)(0
n n
B
EE
nSgLa
Susceptibilité uniforme dans les isolants
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 13 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
nn nn
BZ
iiiBn EE
nSgLBnnyxnB
m
enSgLnBE
' '
2
1
2222 ').(
)(8
)(
Contribution de ce terme à la susceptibilité magnétique :
On ne peut plus supp. qu’on est à suffisament basse température par rapport aux écarts en énergie, car écarts entre les Jz (J=L+S) peuvent être faibles par rapport à la température.Calcul de physique statistique (voir Kittel ou Ashcroft)
)(Tk
JHgJBg
V
NM
B
BJB
)2
coth(2
1)
2
12coth(
2
12)(
J
x
Jx
J
J
J
JxBJ
Susceptibilité uniforme dans les isolants
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 14 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
)(Tk
JHgJBg
V
NM
B
BJB
TkJHgx BB / n’est pas petit
réponse non linéaire : on ne peut pas déterminer c
1/ TkJHgx BB
d’où
réponse linéaire : on peut déterminer c
HTk
JJg
V
NM
B
B
3
)1()( 2
T
CCurie
B
B
k
JJg
V
NC
3
)1()( 2
0
est la constante de Curie
Paramagnétisme de Curie
Susceptibilité uniforme dans les isolants
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- positif, en 1/T, domine les autres à basse T- existe seulement dans les solides à couches non pleines
Paramagnétisme de Curie
T
cT
CCurie
Susceptibilité uniforme dans les isolants
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 16 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Susceptibilité uniforme totaledans un isolant à couches non pleines
Diamagnétisme de Larmor
Température
c
Paramagnétisme de Van Vleck
Paramagnétisme de Curie Susceptibilit
é totale
CurieVanVleckdia
Susceptibilité uniforme dans les isolants
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Cas des métaux
Le calcul est différent et fait apparaître le spin et le moment orbital des électrons de conduction (voir TD).
Deux contributions :
-une susceptibilité de spin « de Pauli »
-une susceptiblité orbitale « de Landau »
Les termes de Larmor et de Van Vleck sont toujours
présents.
)(20 FBPauli En
PauliLandau 3
1
Susceptibilité uniforme dans les métaux non corrélés
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 18 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Susceptibilité uniforme dans un métal « standard »
Température
c
Paramagnétisme de Van Vleck
Paramagnétisme de Pauli
Susceptibilité totale
Diamagnétisme de Landau
Diamagnétisme de Larmor
LandauPauliVanVleckdia
Susceptibilité uniforme dans les métaux non corrélés
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Dépendance en température de la susceptibilité de Pauli dans quelques métaux de transition
Susceptibilité uniforme dans les métaux non corrélés
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 20 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Susceptibilité dans quelques solides simples
métaux
isolants à couches pleines
ferromagnétiques
Susceptibilité uniforme dans les solides simples
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Quelques comportements de susceptibilités
magnétiques uniformes plus « exotiques »
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 22 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Quelques comportements de susceptibilité exotiques
Shimizu et al., PRB (1995)
csteT
exp
il y a un gap D dans les excitations de spin
Chaîne de spins 1 corrélés antiferromagnétiquement mais sans ordre à grande distance
Y2BaNiO5
Ni O
c
Susceptibilité uniforme dans des systèmes exotiques
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 23 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Cuprate supraconducteur à haute TC
en fonction du dopage, quand T>TC
YBa2Cu3O6+x
Cu
O
supra dopage x
AntiferroSupraconducteur
T
AntiFerro
~ indep de T donc Pauli
TC
très forte dep en T : pseudogapc
Johnson et al
Susceptibilité uniforme dans des systèmes exotiques
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 24 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
0 100 200 300 4000.00
0.05
0.10
x=0.44
x=1
T (K)
23 K
c (%
)Cobaltates NaxCoO2
très bons conducteurs ioniques (piles)supras non conventionnelstrès fort pouvoir thermoélectrique
c
Lang et al., PRB0 0.25 0.50 0.75 1
x
supra
antiferromagnétisme
x=0.66
x=0.58
x=0.3
x=0.5
x=0.62
x=0.44
Susceptibilité uniforme dans des systèmes exotiques
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 25 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Différentes techniques de
magnétométries pour mesurer la
susceptibilité uniforme
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 26 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
Magnétométrie utilisant une forceBalance de Faraday
on place l’échantillon dans un gradiant de champ magnétiquetel que :
cstez
H z
z
HMHMF z
zz
00 ).(
on mesure la force exercée sur la balance :
d’où l’aimantation Mz selon z
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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balance de Faraday
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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M
magnétométrie par f.e.m induitePar extraction :
on place l’échantillon dans une bobine. La tension U aux bornes de la bobine vaut par Faraday :
dt
dtU
)(
Quand l’échantillon d’aimantation M est inséré dans la bobine, il apparait un changement de flux :
U(t)
bobine
MtU dt)(
echantillon
MANAHAMHH dadavidebobinenechantilloavecbobine )1()( 000
MAAHAMH aavidebobinenechantilloavecbobine 000 )(
Ha
d’où on peut mesurer une variation de tension :Si on tient compte du champ démagnétisant (pour de fortes aimantations) :
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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M
magnétométrie par f.e.m induitePar extraction :
U(t)
bobine
echantillon
t
U
intégrale proportionnelleà l’aimantation
MtU dt)(
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 30 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
magnétométrie par f.e.m induitePar vibration : VSM vibrating Sample Magnetometer
on insère l’échantillon périodiquement à la fréquence n
Mesure d’une tension périodique à n par détection synchrone
t
U
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 31 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
VSM : fréquences de l’ordre de 100Hz
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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magnétométrie par SQUID
SQUID : Superconducting Quantum Interference Device
supra
isolant
supra
squid DC squid AC (rf)
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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Le SQUID AC (rf):
sin)sin( 0120 III s
jonction Josephson : les paires de Cooper tunnellent via l’isolant, et il apparaît un courant IS continu lié aux phases de la fonction d’onde supra des deux côtés de la jonction
Is
quantification du flux dans l’anneau:
ehnanneau 2/0 2/00 nanneau
avec jonction :
sans jonction :
On applique un flux exterieur (L : inductance anneau) :
0
0
2sin
22sin
sin
0
0
0
anneau
anneau
LI
nLI
LI
LI
ext
ext
ext
sextanneau
supraisolantsupra
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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0
2sin0 anneauLIextanneau
exple : 00 25.1 LI
le flux dans l’anneau varie périodiquement avec le flux extérieur, de période F0
En mesurant le flux dans l’anneau, on peut donc mesurer le flux dans une bobine avec une précision bien meilleure que F0 : excellente sensibilité car F0 =2.10-15 Wb est très faible.
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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Mise en œuvre du squid AC : mesure par induction
M
bobine
echantillon
Ha
mutuelleinductance
mutuelleinductance
mesure comme pour l’extraction dans une bobine :l’aimantation passe dans la bobine
transfert par induction du flux de la bobine dans la boucle SQUID
mesure dans un circuit résonant RLC placé à sa résonance : le changement du flux se traduit par une modif de L et donc de la tension
courant rf
zone à 4.2K sous TC du supra
U
t
traitement et mesure finalement de l’aimantation par intégration
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
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SQUID
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squid DC : un autre montageMesure expérimentale de la susceptibilité uniforme
SUSCEPTIBILITE UNIFORME & MAGNETOMETRIES page 38 - Cours de M2 CFP - Propriétés Electroniques des Solides (Julien Bobroff)
avantages et inconvénients du SQUIDgrande sensibilité + pas besoin de faire une extraction rapide
MAIS
champs limité à 7 à 9 Teslas & coût élevé
Mesure expérimentale de la susceptibilité uniforme